DE102004016937A1

DE102004016937A1 - Verfahren zum Bestimmen des Frequenz- und/oder Phasenversatzes bei unbekannten Symbolen

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Publication number: DE102004016937A1
Application number: DE200410016937
Authority: DE
Inventors: Kurt Dr. Schmidt; Stephan Neumann
Original assignee: Rohde and Schwarz GmbH and Co KG
Current assignee: Rohde and Schwarz GmbH and Co KG
Priority date: 2003-04-07
Filing date: 2004-04-06
Publication date: 2004-11-04
Anticipated expiration: 2024-04-07
Also published as: DE102004016937B4

Abstract

In der vorliegenden Anmeldung wird ein Schätzverfahren vorgestellt, mit dem man die Frequenz- und Phasenverschiebung eines Übertragungssystems sehr genau bestimmen kann. Das Verfahren arbeitet rückkopplungsfrei und ist auf beliebige Symbolalphabete anwendbar. Zur systematischen Herleitung des Schätzalgorithmus wird zunächst eine geeignete Kostenfunktion aus der Likelihood-Funktion bestimmt. Durch Mittelung über alle möglichen Symbolfolgen (Non-Data-Aided-Prinzip) wird die Datenabhängigkeit der Likelihood-Funktion beseitigt. Aus der Kostenfunktion läßt sich dann der Schätzalgorithmus herleiten. Da die Schätzgenauigkeit von der Qualität der nachgebildeten Nichtlinearität der Kostenfunktion abhängt, wird mit dem hier vorgestellten Non-Data-Aided-Schätzer eine deutliche Verbesserung erzielt. Es hat sich gezeigt, daß ein Fourier-Reihen-Ansatz zwar schon gute Ergebnisse ergibt, aber keine besondere Rücksicht auf die wichtigen Spitzen der Nichtlinearität nimmt. In der vorliegenden Anmeldung wird deshalb ein gewichteter MMSE-Ansatz zur Reihenentwicklung als besonders vorteilhaft empfohlen.

Description

Die Aufgabe eines digitalen Übertragungssystems besteht in einer möglichst fehlerfreien Datenübermittlung vom Sender zum Empfänger. Die gesendeten Daten müssen dem Empfänger – zumindest teilweise – unbekannt sein, da sonst keine Information übertragen wird. Die als Detektion bezeichnete Rückgewinnung der Nutzdaten wird dadurch erschwert, daß noch weitere unbekannte Größen im Empfangssignal enthalten sind. Dazu zählen nicht nur die Störbeiträge, die im Übertragungskanal hinzukommen, sondern auch Parameter wie die Frequenz- und Phasenverschiebung zwischen den Oszillatoren von Sender und Empfänger. Eine erfolgreiche Datendetektion ist nur dann möglich, wenn man die Frequenz- und Phasenverschiebung ausreichend genau bestimmt und anschließend korrigiert. Dieser Vorgang wird als Synchronisation bezeichnet. Wie in 1 veranschaulicht, kann zwischen rückgekoppelten und rückkopplungsfreien Synchronisationsverfahren unterschieden werden.
Viele der bisher eingesetzten Synchronisationsverfahren arbeiten rückgekoppelt. Ein typisches Beispiel ist die sogenannte Phase-Lock Loop (PLL). Rückgekoppelte Verfahren haben den Nachteil, daß sie mitunter erst nach langer Zeit oder gar nicht einschwingen. Dieses Verhalten wird üblicherweise als Hang Up bezeichnet. Ein rückkopplungsfreies System zeigt keine Hang Ups und besitzt außerdem eine genau definierte Akquisitionszeit, was insbesondere bei der Übertragung kurzer Datenfolgen (Bursts) von Vorteil ist.
Auch bei der Parameterschätzung kann eine Klassifizierung vorgenommen werden. Steht zum Schätzen des Frequenz- und Phasenoffsets eine dem Empfänger bekannte Symbolfolge zur Verfügung, z. B. durch eine Präambel während der Akquisition, dann spricht man von einer Data-Aided-Schätzung. Im Gegensatz dazu hat ein Non-Data-Aided-Schätzer zu keiner Zeit Kenntnis über die gesendeten Daten, weshalb die Bestimmung geeigneter Schätzvorschriften im allgemeinen recht schwierig ist. Die wenigen bekannten Non-Data-Aided-Schätzer sind meist auf spezielle Symbolalphabete zugeschnitten.
In der vorliegenden Anmeldung werden zum Vergleich zwei rückkopplungsfreie Verfahren diskutiert, mit denen man die Frequenz- und Phasenverschiebung eines Übertragungssystems sehr genau schätzen kann. Aufgrund der hohen Genauigkeit sind die Verfahren auch für die Meßtechnik geeignet. Die Herleitung erfolgt nicht heuristisch, sondern gezielt mit Hilfe der Maximum-Likelihood-Theorie. Betrachtet werden linear modulierte Signale mit beliebigem Symbolalphabet.

Das erste Verfahren wurde in der DE 196 35 444 A1 erstmals angegeben. Es beruht auf dem Data-Aided-Prinzip, ist für beliebige Symbolalphabete geeignet und zeichnet sich auch bei niedrigen Störabständen durch eine brauchbare Schätzgenauigkeit aus. Das bekannte Verfahren ist außerdem ein gutes Beispiel für die systematische Herleitung von Schätzalgorithmen mit Hilfe der Maximum-Likelihood-Theorie.

Der Erfindung liegt die Aufgabe zu Grunde, ein Verfahren zum Bestimmen des Frequenz- und/oder Phasenversatzes eines Übertragungssystems so zu verbessern, daß eine noch höhere Schätzgenauigkeit jedenfalls für den Non-Data-Aided Fall erreicht wird.

Das Verfahren wird durch die Merkmale des Anspruchs 1 gelöst. Die Unteransprüche betreffen vorteilhafte Weiterbildungen des erfindungsgemäßen Verfahrens.

Das erfindungsgemäße Verfahren basiert auf dem Non-Data-Aided-Prinzip Die Schätzgenauigkeit, die durch das erfindungsgemäße Verfahren erzielt wird, kommt jetzt bis an die theoretische Grenze, die sogenannte Cramér-Rao-Grenze heran. Das Verfahren ist primär für eine mehrstufige Quadratur-Amplitudenmodulation (M-QAM) ausgelegt, kann jedoch leicht auf beliebige Symbolalphabete angepaßt werden.

Ausführungsbeispiele der Erfindung werden nachfolgend unter Bezugnahme auf die Zeichnung näher beschrieben.
In der Zeichnung zeigen:
1 ein Schema einer rückgekoppelten und rückkopplungsfreien Synchronisation;
2 das Prinzip der Parameterschätzung;
3 die Fehlerfunktion;
4 das Bandpaßsystem;
5 das äquivalente Tiefpaßsystem;
6 das Beispiel für die Kostenfunktion einer 16-QAM;
7-12 die Standardabweichung und Effizienz eines Data-Aided-Schätzers einer 16-QAM und 64-QAM;
13-15 die Dichte der Schätzwerte einer 16-QAM eines Data-Aided-Schätzers;
16 ein Beispiel einer Nichtlinearität zur Verstärkungsschätzung einer 64-QAM des erfindungsgemäßen Non-Data-Aided-Schätzers;
17 einen vergrößerten Ausschnitt von 16;
18 die Betragsentscheidung bei einer 64-QAM;
19 die Nichtlinearität einer 16-QAM mit S/N =25dB;
20 die Sicht von oben auf die Nichtlinearität einer 16-QAM;
21 die Nichtlinearität als Funktion der Phase;
22 die Nichtlinearität einer 16-QAM mit S/N = 20dB;
23 die Nichtlinearität einer 16-QAM mit S/N = 30dB;
24 die Nichtlinearität einer 64-QAM mit S/N = 30dB;
25 die Nichtlinearität einer 8-PSK mit S/N = 25dB;
26 die Nichtlinearität einer 16-QAM mit S/N = 40dB;
27 die Nichtlinearität und ihre K-Faktoren einer 16-QAM mit S/N = 25dB;
28 einen Fourier-Reihen-Ansatz mit einem Koeffizienten (K₀);
29 einen Fourier-Reihen-Ansatz mit zwei Koeffizienten (K₀, K₄);
30 einen Fourier-Reihen-Ansatz mit drei Koeffizienten (K₀, K₄, K₈);
31 einen Fourier-Reihen-Ansatz mit 26 Koeffizienten (K₀, K₄..., K₁₀₀);
32 einen gewichteten MMSE-Ansatz mit einem Koeffizienten (K₀);
33 einen gewichteten MMSE-Ansatz mit zwei Koeffizienten (K₀, K₄);
34 einen gewichteten MMSE-Ansatz mit drei Koeffizienten (K₀, K₄, K₈);
35 einen gewichteten MMSE-Ansatz mit 26 Koeffizienten (K₀, K₄..., K₁₀₀),
36 die Vorschätzung der Verstärkung g = 1 einer 16-QAM mit N = 256;
37 die Vorschätzung der Verstärkung g = 1 einer 64-QAM mit N = 1024;
38 Rice-Dichten;
39 bedingte Erwartungswerte und ihre Sollwerte;
40 Beispiele für die Kostenfunktion einer 16-QAM mit N = 256;
41 Beispiele für die Kostenfunktion einer 64-QAM mit N = 1024;
42 Standardabweichung und Effizienz des Verstärkungsschätzers einer 16-QAM mit N = 256;
43 Standardabweichung und Effizienz des Verstärkungsschätzers einer 64-QAM mit N = 1024;
44 Dichte der Verstärkungsschätzwerte g ^ einer 16-QAM mit S/N = 40dB;
45 Frequenzfehler der Grobschätzung mit Fourier-Reihen-Ansatz (16-QAM);
46 Frequenzfehler der Grobschätzung mit MMSE-Ansatz (16-QAM);
47 Phasenfehler der Grobschätzung mit Fourier-Reihen-Ansatz (16-QAM);
48 Phasenfehler der Grobschätzung mit MMSE-Ansatz (16-QAM);
49 Frequenzfehler der Grobschätzung mit Fourier-Reihen-Ansatz (64-QAM);
50 Frequenzfehler der Grobschätzung mit MMSE-Ansatz (64-QAM);
51 Phasenfehler der Grobschätzung mit Fourier-Reihen-Ansatz (64-QAM);
52 Phasenfehler der Grobschätzung mit MMSE-Ansatz (64-QAM);
53 Gestörtes Nutzsymbol auf der Nichtlinearität einer 16-QAM mit S/N = 10dB;
54 Standardabweichung
des Frequenzschätzers einer 16-QAM mit g ^ = g und S/N-abhängigen K-Faktoren;
55 Standardabweichung
des Phasenschätzers einer 16-QAM mit g ^ = g und S/N-abhängigen K-Faktoren;
56 Standardabweichung
des Frequenzschätzers einer 64-QAM mit g ^ = g und S/N-abhängigen K-Faktoren;
57 Standardabweichung
des Phasenschätzers einer 64-QAM mit g ^ = g und S/N-abhängigen K-Faktoren;
58 Standardabweichung
des Frequenzschätzers einer 16-QAM mit g ^ = g und (S/N)_ref = 25dB;
59 Standardabweichung
des Phasenschätzers einer 16-QAM mit g ^ = g und (S/N)_ref = 25dB;
60 Standardabweichung
des Frequenzschätzers einer 64-QAM mit g ^ = g und (S/N)_ref = 25dB;
61 Standardabweichung
des Phasenschätzers einer 64-QAM mit g ^ = g und (S/N)_ref = 25dB;
62 Standardabweichung
des Frequenzschätzers einer 16-QAM mit S/N = 20dB und 1–10σ_g,CR ≤ g ^ ≤ 1 + 10σ_g,CR;
63 Standardabweichung
des Phasenschätzers einer 16-QAM mit S/N = 20dB und 1–10σ_g,CR ≤ g ^ ≤ 1 + 10σ_g,CR;
64 Standardabweichung
des Frequenzschätzers einer 64-QAM mit S/N = 20dB und 1–10σ_g,CR ≤ g ^ ≤ 1 + 10σ_g,CR;
65 Standardabweichung
des Phasenschätzers einer 64-QAM mit S/N = 20dB und 1–10σ_g,CR ≤ g ^ ≤ 1 + 10σ_g,CR;
66 Dichte der Schätzwerte Δf ^ einer 16-QAM mit S/N = 40dB; gewichteter MMSE-Ansatz mit 25 K-Faktoren;
67 Dichte der Schätzwerte Δϕ ^ einer 16-QAM mit S/N = 40dB; gewichteter MMSE-Ansatz mit 25 K-Faktoren;
68 Dichte der Schätzwerte Δf ^ einer 8-PSK mit S/N = 25dB; Non-Data-Aided-Schätzer mit einem K-Faktor (K₈);
69 Dichte der Schätzwerte Δf ^ einer 8-PSK mit S/N = 25dB; Potenzierung mit anschließender Phasenregression;
70 Dichte der Schätzwerte Δf ^ einer 8-PSK mit S/N = 15dB; Non-Data-Aided-Schätzer mit einem K-Faktor (K₈);
71 Dichte der Schätzwerte Δf ^ einer 8-PSK mit S/N = 25dB; Potenzierung mit anschließender Phasenregression;
72 Verlauf der Momentanphase ohne Cycle-Slips; 8-PSK mit S/N = 15dB;
73 Verlauf der Momentanphase mit einem Cycle-Slip; 8-PSK mit S/N = 15dB.
In dieser Anmeldung werden folgende Formelzeichen und Abkürzungen verwendet:
A Matrix
A^-1 Inverse der Matrix A
{A₁, A₂, ..., A_M} Symbolalphabet
a Symbolfolge
α_mn Element der Matrix A
α_μ Symbol
|α ^_μ| Schätzwert für den Betrag des Symbols α_μ
arg{·} Argument, Winkel
B zweiseitige Bandbreite
B_α unterschiedliche Beträge eines Symbolalphabets
b Vektor
b_m Element des Vektors b
C Konstante
Δf, Δf ^, Δf ~ Frequenzoffset (Ist-Wert, Schätzwert, Versuchswert)
Δϕ, Δϕ ^, Δϕ ~ Phasenoffset (Ist-Wert, Schätzwert, Versuchswert)
E_S mittlere Energie des Sendesignals innerhalb einer Symboldauer T
E_S/N₀ Störabstand vor dem Empfangsfilter
E{·} Erwartungswert
e Schätzfehler
F Fehlerfunktion
F - mittlere Fehlerfunktion, Kosten, Risiko
FFT{·} Fast Fourier Transform
f_S, f_R Trägerfrequenz (Sender, Empfänger)
f_μ(t) Basisfunktion
G(θ) Gewichtsfunktion
G_α Entscheidungsgrenze
g, g ^, g ~ Verstärkung (Ist-Wert, Schätzwert, Versuchswert)
H_S(jω), H_E(jω) Übertragungsfunktion (Sender, Empfänger)
h(t), h_S(t), h_E(t) Impulsantwort (Gesamt, Sender, Empfänger)
I_p(x) modifizierte Besselfunktion der Ordnung p
Im{·} Imaginärteil
J Fischer-Informationsmatrix
K_n K-Faktor
L Likelihood-Funktion, Kostenfunktion
l Log-Likelihood-Funktion, Kostenfunktion
M Anzahl der Symbole eines Alphabets
N Anzahl der beobachteten Meßwerte
N mittlere Störleistung der Abtastwerte r_μ
N_FFT FFT-Länge
N₀ Rauschleistungsdichtespektrum
NL(y) Nichtlinearität
n(t) Rauschsignal nach dem Empfangsfilter
n_BP(t) Rauschsignal in Bandpaßlage
n_α absolute Häufigkeit des Betrages B_α
n_μ Abtastwert des Rauschsignals n(t)
ω Kreisfrequenz
P(x) Wahrscheinlichkeit von x
p_x(x), p(x) Wahrscheinlichkeitsdichte von x
p_x|y(x|y), p(x|y) Wahrscheinlichkeitsdichte von x unter der Bedingung y
p_xy(x, y), p(x, y) Verbundwahrscheinlichkeitsdichte von x und y
Φ_μ Momentanphase
ϕ_S, ϕ_R Trägerphase (Sender, Empfänger)
φ_μ Phase des Abtastwertes r_μ
θ Phase der Nichtlinearität NL(y)
R_x(t₁, t₂) Autokorrelationsfunktion des Zufallsprozesses x(t)
Re{·} Realteil
r(t) Empfangssignal
r_BP(t) Empfangssignal in Bandpaßlage
r_x,n(t₂ – t₁) Fourier-Koeffizient der Autokorrelationsfunktion R_x(t₁, t₂) eines zyklostationären Zufallsprozesses x(t)
r_μ Abtastwert des Empfangssignals r(t)
S mittlere Nutzleistung der Abtastwerte r_μ
S/N Störabstand nach dem Empfangsfilter
S_w(ω) Leistungsdichtespektrum des Rauschsignals w(t)
s(t) Sendesignal
σ Standardabweichung
σ² Varianz
T Symboldauer
t Zeit
Var{·} Varianz
w(t) Rauschsignal vor dem Empfangsfilter
X_ν FFT der Abtastwerte x_μ
x(η) Zufallsvariable
x = x(η) Ergebnis eines Zufallsexperiments
x(η) Vektor aus Zufallsvariablen
x = x(η) Ergebnisvektor eines Zufallsexperiments
x(η, t) Zufallsprozeß
x Vektor
x_n Element des Vektors x
x ^ Schätzwert
x ^(w) Schätzalgorithmus, Schätzer
x ~ Versuchs- bzw. Probierwert
x_μ Abtastwert
AKF Autokorrelationsfunktion
AWGN Additive White Gaussian Noise
BP Bandpaß
CR Cramér-Rao
DA Data-Aided
DD Decision-Directed
FFT Fast Fourier Transform
IFFT Inverse Fast Fourier Transform
MAP Maximum-A-Posteriori
ML Maximum-Likelihood
MSE Mean-Square-Error
MMSE Minimum-Mean-Square-Error
NDA Non-Data-Aided
NL Nichtlinearität
PLL Phase-Lock Loop
PSK Phase-Shift Keying
QAM Quadratur-Amplitudenmodulation
TP Tiefpaß
Zum besseren Verständnis der Erfindung werden zunächst die Grundlagen der Schätztheorie erläutert.
Grundlagen der Schätztherorie
2 veranschaulicht den Grundgedanken bei der Parameterschätzung.
Im Empfänger eines digitalen Übertragungssystems wird eine möglichst fehlerfreie Detektion der gesendeten Nutzdaten angestrebt. Die Qualität der Detektion hängt u. a. von der Genauigkeit ab, mit der sich der Empfänger auf Signalparameter wie z. B. den Abtastzeitpunkt oder die Trägerfrequenz synchronisieren läßt. Die Herleitung und die Beurteilung von Algorithmen zur Bestimmung der zur Synchronisation benötigten Signalparameter sind Bestandteile der sogenannten Schätztheorie, deren Grundlagen im folgenden beschrieben werden.
Ohne Beschränkung der Allgemeinheit wird zunächst angenommen, daß der zu schätzende Parameter x das Ergebnis eines Zufallsexperiments ist, welches durch die kontinuierliche Zufallsvariable x(η) und die Wahrscheinlichkeitsdichte p_x(x) beschrieben werden kann. Für den Beobachter zugänglich sind lediglich die Meßwerte w_i mit i = 1, 2, ..., N, die im Vektor w = (w1, w2, ..., wN) (1)zusammengefaßt sind. Die Meßwerte w sind die Ergebnisse eines zweiten Zufallsexperiments mit dem Zufallsvektor w(η), dessen Verlauf vom Ausgang x des ersten Experiments abhängt. Der Zusammenhang zwischen den Meßwerten w und dem gesuchten Parameter x ist durch die bedingte Wahrscheinlichkeitsdichte p_w|x(w|x) gegeben. Der Schätzalgorithmus x ^(w) verarbeitet die Meßwerte w zu einem Schätzwert x ^. Auch der Schätzwert x ^ kann als das Ergebnis eines Zufallsexperiments mit der Zufallsvariablen x ^(η) aufgefaßt werden. Der für Zufallsvariablen formulierte Schätzer lautet x ^(η) = x ^(w(η)). (2)
Es werden vier der gängigsten Schätzvorschriften näher betrachtet. Zuvor sind jedoch noch einige wichtige Begriffe und Definitionen der Schätztheorie aufzuführen.
Schätzfehler: Der Schätzfehler ist die Differenz zwischen dem gesuchten Parameter und seinem Schätzwert: e(η) = x(η) – x ^(η). (3)
Erwartungstreue: Ein Schätzer heißt erwartungstreu, wenn für alle N gilt: E{x ^(η)} = E{x(η)}. (4)
Er heißt asymptotisch erwartungstreu, falls sich die Erwartungstreue erst mit steigendem N einstellt:
Effizienz: Ein Schätzer heißt effizient, wenn es keinen anderen Schätzer gibt, der einen kleineren mittleren quadratischen Schätzfehler aufweist: E{[x(η) – x ^(η)]2} = min. (6)
Für den mittleren quadratischen Schätzfehler kann eine theoretische Untergrenze angegeben werden. Für erwartungstreues Schätzen eines nichtzufälligen Parameters wird diese Untergrenze als Cramér-Rao-Grenze bezeichnet.
Ein Schätzer heißt asymptotisch effizient, falls die theoretische Untergrenze erst mit steigendem N erreicht wird.
Konsistenz: Ein Schätzer heißt konsistent, wenn der mittlere quadratische Schätzfehler mit steigendem N gegen null geht:
Zur Herleitung einer Schätzvorschrift muß zunächst eine geeignete Fehlerfunktion F(e(η)) definiert werden, mit der der Schätzfehler e(η) gewichtet wird. Anschließend wird die mittlere Fehlerfunktion F - = E{F(x(η) – x ^(η))} → min (8)minimiert. Man spricht auch von Minimierung der mittleren Kosten bzw. des Risikos. Der Erwartungswert in (8) kann wie folgt berechnet werden:
Das kleinste Risiko ergibt sich dann, wenn man das innere Integral in (9) für jeden Meßvektor w minimiert:
In 3 sind die Fehlerfunktionen F1(e(η)) = [x(η) – x ^(η)]2 (Fehlerquadrat), (11) F2(e(η)) = |x(η) – x ^(η)| (Fehlerbetrag) (12)und
dargestellt. Mit diesen Fehlerfunktionen werden die nachfolgenden Schätzvorschriften hergeleitet.
Zur Bestimmung des Mean-Square-Error-Schätzers wird das Fehlerquadrat F₁(e(η)) verwendet. Das zu minimierende Integral in (10) lautet dann
Die Lage des Minimums kann wie folgt gefunden werden:
Zur Bestimmung des Absolute-Error-Schätzers wird der Fehlerbetrag F₂(e(η)) verwendet. Das zu minimierende Integral in (10) lautet dann
Die Lage des Minimums kann wie folgt gefunden werden:
Zur Bestimmung des Maximum-A-Posteriori-Schätzers wird die einheitliche Fehlerbewertung F₃(e(η)) mit einem beliebig kleinen Δ verwendet. Das zu minimierende Integral in (10) läßt sich in folgender Form angeben:
Die minimale Differenz in (21) ergibt sich dadurch, daß man x ^_MAP(w) an die Stelle x legt, an der die A-Posteriori-Wahrscheinlichkeitsdichte p_x|w(x|w) ihr Maximum hat: px|w(x ^MAP(w)|w) = max. (22)
Die Lage des Maximums kann wie folgt gefunden werden:
Da der natürliche Logarithmus eine monoton steigende Funktion ist, kann zur Lagebestimmung auch die Gleichung
verwendet werden. Dies ist in vielen Fällen günstiger. Mit Hilfe des Bayes-Theorems
kann (24) auch in der Form
angegeben werden. An dieser Stelle sei noch einmal darauf hingewiesen, daß die bedingte Wahrscheinlichkeitsdichte p_w|x(w|x) die in 2 dargestellte zufällige Abbildung vom Parameter- in den Beobachtungsraum beschreibt. Das Verhalten des zu schätzenden Parameters wird durch die A-Priori-Wahrscheinlichkeitsdichte p_x(x) wiedergegeben.
Anhand des folgenden Beispiels sollen der Gebrauch und die Bedeutung von (26) verdeutlicht werden.
Beispiel: Um einen Parameter x zu schätzen, werden N Meßwerte w_i mit i = 1, 2, ..., N aufgenommen. Jeder Meßwert w_i setzt sich aus dem zu schätzenden Parameter x und einer additiven, mittelwertfreien Störung n_i mit Gauß-Dichte zusammen, d. h.
Die Störbeiträge n_i sind untereinander statistisch unabhängig und haben jeweils die Leistung σ 2 / n. Der Parameter x besitzt ebenfalls eine Gauß-Dichte mit x₀ als Mittelwert und σ 2 / x als Leistung. Es gilt also
Die Verbunddichte p_w|x(w|x) kann aus dem Produkt der Einzeldichten
(w_i|x) zu
bestimmt werden. Mit
ergibt sich aus (26) die folgende Lösung für den Maximum-A-Posteriori-Schätzer:
Zur Interpretation dieser Lösung werden zwei Grenzfälle betrachtet:

– σ 2 / x << σ 2 / n|N: Das A-Priori-Wissen über den zu schätzenden Parameter ist viel besser als die Information, die man aus den Meßwerten gewinnen kann. Man sollte daher gar nicht schätzen, sondern den Parametermittelwert x₀ als Ergebnis verwenden. Der genäherte Ausdruck für den obigen Schätzer ist ganz in diesem Sinne: x ^MAP(w) ≈ x0.
– σ 2 / x >> σ 2 / n|N: Hier weiß man kaum etwas über den zu schätzenden Parameter und sollte deshalb nur die Meßwerte zur Schätzung heranziehen. Da die Störanteile der Meßwerte mittelwertfrei sind, bietet sich als Schätzwert für den gesuchten Parameter das arithmetische Mittel der Meßwerte an. Auch hier spiegelt sich die Intuition im genäherten Ausdruck für den obigen Schätzer wider:

Der Maximum-Likelihood-Schätzwert x ^_ML(w) ist der Wert x, aus dem das beobachtete Meßergebnis w am wahrscheinlichsten (most likely) hervorgegangen ist: pw |x(w|xx ^ML(w)) = max. (27)
Zur Bestimmung von xx ^_ML(w) kann man sowohl
als auch
verwenden. Die Dichte p_w|x(w|x) wird auch als Likelihood-Funktion bezeichnet. Für die logarithmierte Dichte In p_w|x(w|x) ist der Ausdruck Log-Likelihood-Funktion gebräuchlich.
Der Vergleich von (29) und (26) zeigt, daß der Maximum-Likelihood-Schätzer aus dem Maximum-A-Posteriori-Schätzer hervorgeht, wenn

– die A-Priori-Wahrscheinlichkeitsdichte p_x(x) im Definitionsbereich des Parameters konstant ist oder
– die A-Priori-Wahrscheinlichkeitsdichte p_x(x) nicht bekannt ist oder
– der zu schätzende Parameter nicht zufällig ist.

Da der Maximum-Likelihood-Schätzer in dieser Arbeit eine zentrale Rolle spielt, werden im folgenden noch einige Eigenschaften aufgeführt. Als Voraussetzung wird angenommen, daß der zu schätzende Parameter nicht zufällig ist.

– Der Maximum-Likelihood-Schätzer ist asymptotisch erwartungstreu.
– Falls ein effizienter Schätzer für ein konkretes Schätzproblem existiert, dann ist es der Maximum-Likelihood-Schätzer. Asymptotisch ist der Maximum-Likelihood-Schätzer effizient und erreicht – da auch asymptotische Erwartungstreue vorliegt – mit steigendem N die Cramér-Rao-Grenze.
– Der Maximum-Likelihood-Schätzer ist konsistent.
– Der Maximum-Likelihood-Schätzer ist asymptotisch normalverteilt, d. h. die Schätzwerte weisen mit steigendem N eine Gauß-Dichte auf.

Modellbildung
In dieser Anmeldung sollen der Frequenz- und Phasenversatz sowie die Verstärkung eines Übertragungssystems geschätzt werden. Um das Problem mit Hilfe der Maximum-Likelihood-Theorie lösen zu können, wird zunächst ein geeignetes Modell des Systems benötigt. Anschließend muß die Likelihood-Funktion bestimmt werden. Aus ihr lassen sich die Schätzalgorithmen herleiten. Zur Modellbildung zählt auch die Berechnung der Cramér-Rao-Grenzen, um die gefundenen Algorithmen beurteilen zu können.
Ausgangspunkt der Modellbildung ist das in 4 dargestellte Bandpaßsystem. Im folgenden wir die aufwendige Notation zur Kennzeichnung von Zufallsgrößen fallengelassen.
Das System zeigt einen Sender, in dem das Sendesignal s(t) aus dem Basisband in die Bandpaßlage umgesetzt wird, einen AWGN-Kanal mit dem Rauschsignal n_BP(t) und einen Empfänger, der aus dem gestörten Bandpaßsignal r_BP(t) wieder ein Signal r(t) im Basisband erzeugt. Das äquivalente Tiefpaßsystem mit der Verstärkung g sowie den verbleibenden Offsets Δf = f_S – f_R (Frequenzversatz) und Δϕ = ϕ_S – ϕ_R (Phasenversatz) ist in 5 zu sehen.
In dieser Anmeldung werden nur linear modulierte Sendesignale der Form
betrachtet. Die komplexen Symbole α_μ sind untereinander statistisch unabhängig und mittelwertfrei. Weiterhin wird angenommen, daß es sich bei dem äquivalenten Tiefpaßsystem um ein sogenanntes Nyquist-System handelt, d. h. für die Gesamtimpulsantwort h(t) = hS(t)·hE(t) (31)gilt
Mit (32) und der Eigenschaft hE(t) = hS(–t) (33)eines signalangepaßten Empfangsfilters (Matched Filter) läßt sich folgendens angeben:
Der Störabstand vor dem Empfangsfilter ergibt sich aus dem Verhältnis von E_S zu N₀. E_S ist die mittlere Energie des Sendesignals innerhalb einer Symboldauer T:
N₀ ist das Leistungsdichtespektrum des Rauschsignals w(t) in 5: Sw(ω) = N0. (39)
Zur Bestimmung von E_S wird (30) in (39) eingesetzt:
Mit
Mit (35) erhält man schließlich ES = g2 TE{|αμ|2}. (43)
Zur Berechnung des Störabstandes S/N nach dem Empfangsfilter wird das Empfangssignal r(t) benötigt. Es lautet
In (44) wurde vorausgesetzt, daß der Frequenzoffset Δf deutlich kleiner als die Systembandbreite B = 1/T ist. Die Multiplikation mit der Exponentialfunktion kann dann an den Ausgang des Empfangsfilters verschoben werden. Für die im Symboltakt gewonnenen Abtastwerte r(μT) = r_μ gilt rμ = gαμ·exp(j(2πΔfTμ+Δϕ))+nμ. (45)
Die mittlere Nutzleistung S der Abtastwerte beträgt
Die mittlere Störleistung N kann mit (37) wie folgt bestimmt werden:
Mit (43), (46) und (47) ergibt sich
d. h. der Störabstand hat sich durch die Filterung nicht verringert. Der Ausdruck in (48) wird auch als Matched-Filter-Bedingung bezeichnet.
Nach den obigen Ausführungen zum vorliegenden Übertragungssystem soll die zur Lösung des Schätzproblems benötigte Likelihood-Funktion bestimmt werden. Für das Empfangssignal r(t) kann zunächst keine Likelihood-Funktion angegeben werden, da r(t) ein zeit kontinuierlicher (zeitlich nicht zählbarer) Zufallsprozeß ist. Erst durch eine geeignete Reduktion des zeitkontinuierlichen Zufallsprozesses auf eine (zählbare) Menge an Zufallsvariablen wird die Angabe einer Likelihood-Funktion möglich. Wie sich bereits vermuten läßt, werden hier die Zufallsvariablen aus den im Symboltakt gewonnenen Abtastwerten r_μ gebildet. Im folgenden Kapitel wird gezeigt, daß der Zufallsprozeß r(t) durch seine Abtastwerte r_μ in statistischer Hinsicht ausreichend beschrieben werden kann. Nachfolgend wird dann die Likelihood-Funktion bestimmt.
Die Reduktion eines zeitkontinuierlichen Zufallsprozesses x(t) auf eine Menge an Zufallsvariablen x_μ kann mit der Reihenentwicklung nach Karhunen-Loève durchgeführt werden. Man geht zunächst von einer endlichen Reihe
aus. Die deterministischen Funktionen f_μ(t) bilden eine orthonormale Basis:
Die Beobachtungsdauer beträgt T₀. Geht man zur unendlichen Reihe über, dann gilt
Das Kürzel l.i.m. (limit in mean) ist so zu verstehen, daß der mittlere quadratische Fehler mit steigendem N gegen null geht:
Bei gegebener Basis enthält der Vektor X2N+1 = (x–N, ..., xN) (53)alle Informationen über den Zufallsprozeß x_2N+1(t). Der Vorteil der Vektordarstellung liegt darin, daß jetzt eine Wahrscheinlichkeitsdichte p(x_–N, ..., x_N) für den Prozeß x_2N+1(t) angegeben werden kann. Mit N → ∞ ist auch für x(t) eine Wahrscheinlichkeitsdichte in mathematischer Hinsicht definiert.
Die Schwierigkeit des Karhunen-Loève-Ansatzes besteht darin, eine geeignete Basis für die Reihenentwicklung zu finden. Im Abtasttheorem für bandbegrenzte, deterministische Signale wird die Basis aus si-Funktionen gebildet. Nachfolgend wird gezeigt, daß diese Basis auch für bandbegrenzte Zufallsprozesse geeignet ist. Um den Überblick in den etwas langwierigen Rechnungen nicht zu verlieren, wird zunächst die Vorgehensweise skizziert:

– Zu Beginn wird gezeigt, daß die Basisfunktionen
eine orthonormale Basis (50) bilden.
– Anschließend wird mit (49) das Abtasttheorem für bandbegrenzte, deterministische Signale hergeleitet.
– Schließlich wird (52) nachgewiesen, daß das Abtasttheorem auch für bandbegrenzte Zufallsprozesse gültig ist.

Orthonormale Basis: Mit einer unendlich langen Beobachtungsdauer T₀ kann das Integral in (50) auch als Faltung aufgefaßt werden:
Abtasttheorem für deterministische Signale: Zur Herleitung des Abtasttheorems werden zunächst die Koeffizienten x_μ in (49) benötigt. Auch hier kann die Integration als Faltung dargestellt werden:
Mit der unendlichen Reihe aus (49) ergibt sich das Abtasttheorem zu
Das Abtasttheorem für zeitlich verschobene Signale lautet
Abtasttheorem für Zufallsprozesse: Das soeben hergeleitete Abtasttheorem für bandbegrenzte, deterministische Signale wird nun in (52) eingesetzt, um seine Gültigkeit auch für bandbegrenzte Zufallsprozesse nachzuweisen:
Für die in (59) verwendete Autokorrelationsfunktion gilt Rx(t1, t2) = E{x(t1)·x*(t2)}. (60)
Um zu zeigen, daß (59) tatsächlich null ist, wird die folgende Nebenrechnung benötigt.
Nebenrechnung zum Abtasttheorem für Zufallsprozesse: Die allgemeine Autokorrelationsfunktion R_x(t₁ + τ,t₂ + τ) wird zunächst in eine Fourier-Reihe bezüglich τ entwickelt. Dies ist möglich, da der Zufallsprozeß x(t) hier zyklostationär mit der Periodendauer T ist. Es gilt
Da r_x,n(t₂ – t₁) bandbegrenzt und deterministisch ist, kann das Abtasttheorem für deterministische Signale angewendet werden. Tastet man bezüglich t₁ ab, dann gilt
Durch Einsetzen in (61) ergibt sich
Analog kann man r_x,n(t₂ – t₁) bezüglich t₂ abtasten:
Durch Einsetzen in (61) ergibt sich
Schließlich wird noch R_x(t₁ + τ,lT + τ) in (66) durch eine Fourier-Reihe ersetzt. Es gilt
Durch Einsetzen in (66) ergibt sich
Mit den Ergebnissen (64), (66) und (68) der Nebenrechnung kann jetzt leicht gezeigt werden, daß sich die vier Terme in (59) gegenseitig aufheben. Damit ist das Abtasttheorem in (57) auch für bandbegrenzte Zufallsprozesse bewiesen.
Zur Bestimmung der Likelihood-Funktion wird das abgetastete Empfangssignal rμ = gαμ·exp(j(2πΔfTμ + Δϕ)) + nμ mit μ = 0, 1, ..., N – 1 (69)verwendet. Da bekannt ist, daß sowohl der Real- als auch der Imaginärteil der komplexen Störung n_μ normalverteilt ist, kann die bedingte Dichte p(r_μ|a, g, Δf, Δϕ) durch Bestimmung ihrer Mittelwerte und Varianzen angegeben werden:
Die Verbundwahrscheinlichkeitsdichte p(r|a, g, Δf, Δϕ) kann aus dem Produkt der Einzeldichten p(r_μ|a, g, Δf, Δϕ) zu
bestimmt werden. Im Hinblick auf die gesuchte Likelihood-Funktion darf die Wahrscheinlichkeitsdichte (72) durch alles dividiert werden, was nicht von den zu schätzenden Parametern abhängt:
Damit ist
die gesuchte Likelihood-Funktion. Die Log-Likelihood-Funktion lautet
Die Cramér-Rao-Grenze beim Schätzen der Verstärkung ergibt sich aus der Log-Likelihood-Funktion l(r|a,g ^,Δf,Δϕ) = lnL(r|a,g ^,Δf,Δϕ) (76)gemäß
Mit (75) erhält man
Die Cramér-Rao-Grenzen beim gemeinsamen Schätzen von Frequenz und Phase kann man mit Hilfe der sogenannten Fischer-Informationsmatrix J bestimmen. Die Informationsmatrix J und ihre Inverse J^–1 sind durch
gegeben. Für die Varianzen der Schätzer gilt
Die Elemente der Fischer-Informationsmatrix J ergeben sich aus der Log-Likelihood-Funktion l(r|a,g,Δf ^,Δϕ ^) = ln L(r|a,g,Δf ^,Δϕ ^) (82)gemäß
Im folgenden werden die vier Elemente der Matrix J für die Log-Likelihood-Funktion aus (75) bestimmt. Danach wird die inverse Matrix J^–1 berechnet. Schließlich werden die Cramér-Rao-Grenzen für den Frequenz- und den Phasenschätzer gemäß (81) angegeben und damit die Modellbildung abgeschlossen.
Berechnung von
:
Berechnung von
:
Berechnung von
:
Informationsmatrix J:
Inverse Matrix J^–1:
Die Cramér-Rao-Grenzen für den Frequenz- und den Phasenschätzer lauten also wie folgt:
Damit es sich bei den Grenzen in (79), (92) und (93) tatsächlich um Untergrenzen für die Schätzvarianzen handelt, wurde ein Empfangssignal mit bekannter Symbolfolge a bei den Berechnungen angenommen. Im Falle einer konkreten Übertragung trifft diese Annahme natürlich nicht zu. Die gesendete Symbolfolge muß dem Empfänger – zumindest teilweise – unbekannt sein, da sonst keine Information übertragen wird. Im Gegensatz zum Datendetektor muß der Parameterschätzer eines Empfängers die unbekannte Symbolfolge eliminieren. Anhand der Methode, mit der die Datenabhängigkeit beseitigt wird, werden zwei Klassen unterschieden:

– Decision-Directed- oder Data-Aided-Schätzer: Beide Schätzer dieser Klasse verwenden eine „bekannte" Symbolfolge zum Bestimmen der gesuchten Signalparameter. Dem Data-Aided-Schätzer sind die gesendeten Daten tatsächlich bekannt, z. B. durch eine Präambel während der Akquisition. Der Decision-Directed-Schätzer „kennt" die Symbolfolge aus der zuvor durchgeführten Datendetektion. Das Henne-Ei-Problem des Decision-Directed-Schätzers besteht darin, daß die Genauigkeit der Parameterschätzung von der Qualität der Datendetektion abhängt und umgekehrt. Um verläßliche Parameter für die Decision-Directed-Schätzung zu erhalten, muß von Zeit zu Zeit eine Data-Aided-Schätzung vorgenommen werden. Dadurch wird die Nutzdatenrate verringert.
– Non-Data-Aided-Schätzer: Non-Data-Aided-Schätzer haben keine Kenntnis über die gesendeten Daten. Um die Datenabhängigkeit dennoch zu beseitigen, wird in der Regel eine Mittelung durchgeführt.

In den beiden folgenden Kapiteln werden die Algorithmen für den Data-Aided- und den Non-Data-Aided-Schätzer hergeleitet.
bekannter Data-Aided Schätzer
Die allgemeine Vorschrift zur Bestimmung eines Data-Aided-Schätzers für die Verstärkung g, den Frequenzoffset Δf und den Phasenoffset Δϕ lautet
Die Versuchs- bzw. Probiergrößen in (94) sind durch Tilden gekennzeichnet. Die Ergebnisse, die man durch Anwenden der Vorschrift erhält, sind jeweils mit einem Dach versehen. Die Vorschrift in (94) besagt folgendes: Als Versuchsfolge a ~ wird die gesendete Folge a₀ verwendet (Data-Aided). Durch Verändern der Versuchsparameter g ~, Δf ~ und Δϕ ~ wird das Maximum der Likelihood-Funktion L gesucht. Die Versuchsparameter g ~, Δf ~ und Δϕ ~, die zum Maximum führen, werden als g ^, Δf ^ und Δϕ ^ bezeichnet. Sie sind die gesuchten Schätzwerte für die tatsächlichen Parameter g, Δf und Δϕ.
Da im Gegensatz zum Non-Data-Aided-Schätzer hier keine Mittelung über die Daten durchgeführt werden muß, kann auch die Log-Likelihood-Funktion maximiert werden:
Durch Einsetzen der Versuchsgrößen in die Log-Likelihood-Funktion aus (75) erhält man
Die Folgenwerte x_μ sind bezüglich des Winkels von der Modulation befreit. Zunächst sollen nur die Frequenz und die Phase geschätzt werden. Dazu kann der zweite Term in (96) weggelassen werden. Im ersten Term können der Vorfaktor 2T/N₀ und die Verstärkung entfallen, da sie auf die Lage des Maximums keinen Einfluß haben. Zur Frequenz- und Phasenschätzung kann eine neue Kostenfunktion
angegeben werden. Faßt man die Summe in (97) als komplexe Größe A mit einem Betrag |A| und einem Winkel arg{A} auf, dann ist die Kostenfunktion l₁ nur dann maximal, wenn exp(–jΔϕ ~)·A reell ist. Dazu muß Δϕ ~ = arg{A} gelten:
Mit (98) liegt bereits eine Vorschrift zur Schätzung der Phase vor. Die Kostenfunktion zur Frequenzschätzung ergibt sich aus dem Betrag |A|
Im folgenden Kapitel wird die Frequenzschätzung in eine Grob- und eine Feinschätzung zerlegt. Zur Grobschätzung ist die Kostenfunktion l₂ ausreichend, sie kann jedoch nicht linearisiert werden. Da für die Feinschätzung eine Linearisierung erforderlich ist, muß noch eine weitere Kostenfunktion gefunden werden.
Durch Quadrieren von l₂ ändert sich die Lage des Maximums nicht. Man erhält
Die Summe Σ|x_μ|² hängt nicht von der Frequenz ab. Mit
steht jetzt eine linearisierbare Kostenfunktion zur Verfügung.
Zieht man die Ergebnisse Δf ^ und Δϕ ^ der Frequenz- und Phasenschätzung zum Bestimmen der Verstärkung heran, dann kann mit Hilfe von (96) eine Kostenfunktion für die Verstärkungsschätzung angegeben werden:
Zur Grobschätzung der Frequenz wird die Kostenfunktion l₂ aus (99) verwendet. Wählt man
Durch Auffüllen der Folge x_μ mit Nullen (Zero Padding) läßt sich die Kostenfunktion mittels FFT bestimmen:
ergibt sich der Grobschätzwert der Frequenz zu
Der maximale Frequenzfehler beträgt 1/(2N_FFTT) . Bei einer Beobachtung von N Abtastwerten gilt
für den maximalen Phasenfehler. In der nachfolgenden Feinschätzung darf der maximale Phasenfehler nicht größer als π/4 sein, da sonst eine Linearisierung der Exponentialfunktion in (101) nicht zulässig ist. Die Mindestlänge der FFT beträgt damit NFFT ≥ 4N. (108)
Zur Feinschätzung wird gemäß (100) die Folge yμ = xμ·x* –μ (109)benötigt. Sie kann wie folgt gewonnen werden: Yν = |Xν|2, yμ = IFFT{Yν}. (110)
Die mit dem Grobschätzwert Δf ^_grob kompensierte Folge
wird in die Kostenfunktion l₄ aus (101) eingesetzt:
Jetzt muß die Kostenfunktion l₄ maximiert werden:
Der Gesamtschätzwert ergibt sich aus Δf ^ = Δf ^grob + Δf ^fein. (114)
Zur Verbesserung des Gesamtschätzwertes können mehrere Iterationen nach dem folgenden Prinzip durchgeführt werden:

1. Erneutes Kompensieren der Folge y_μ mit dem Gesamtschätzwert.
2. Berechnung eines neuen Feinschätzwertes.
3. Aktualisieren des Gesamtschätzwertes.

Der Feinschätzwert konvergiert bereits nach wenigen Iterationen gegen null.
Die Vorschrift für den Phasenschätzer hat sich bereits in (98) ergeben:
Durch Ableiten der Kostenfunktion l₅ aus (102) erhält man den Algorithmus zum Bestimmen der Verstärkung:
Die Beurteilung des Data-Aided-Schätzers erfolgt anhand einer 16-QAM mit N = 256 und einer 64-QAM mit N = 1024. N ist die Anzahl der empfangenen Abtastwerte, die zur Berechnung eines Schätzwertes herangezogen werden. Für jede Systemeinstellung werden die gesuchten Parameter z. B. 10.000mal geschätzt, um statistische Kenngrößen wie Mittelwert und Standardabweichung zuverlässig bestimmen zu können.
Im folgenden Abschnitt wird die Grobschätzung der Frequenz betrachtet. Laut (106) wird das Argument ν ^ gesucht, das zum Maximum der Kostenfunktion
führt:
Mit (107) läßt sich ν ^ in den Grobschätzwert Δf ^_grob umrechnen. Zur Beurteilung des Grobschätzers kann das Aussehen der Kostenfunktion l₂ herangezogen werden. Für alle Empfangsfolgen r_μ sollte l₂ ein erkennbares Maximum in der Nähe des tatsächlichen Offsets ν = ΔfTN_FFT aufweisen. 6 zeigt ein Beispiel für die Kostenfunktion einer 16-QAM mit N = 256. Als Frequenzoffset wurde Δf = 1/(4T) bzw. ν = 256 gewählt. Der Störabstand beträgt nur 5 dB! Das Maximum ist so deutlich, daß man von einer fehlerfreien Grobschätzung ausgehen kann.
Mit dem Grobschätzwert Δf ^_grob kann nun die iterative Feinschätzung der Frequenz durchgeführt werden. Sie liefert den endgültigen Schätzwert Δf ^ für den gesuchten Offset Δf. Die noch fehlenden Werte Δϕ ^ und g ^ können mit (115) und (117) bestimmt werden. Beurteilen lassen sich die Schätzresultate anhand der in (79), (92) und (93) angegebenen Cramér-Rao-Grenzen. Die Ergebnisse für eine 16-QAM mit N = 256 und eine 64-QAM mit N = 1024 sind in den 6 nachfolgenden Bildern der 7 bis 12 dargestellt. Eine Kurve eines Bildes zeigt die Standardabweichung
. Zum Vergleich ist die jeweilige Cramér-Rao-Grenze dargestellt. Gültig ist die logarithmische Achsenbeschriftung auf der linken Bildseite. Die lineare Beschriftung auf der rechten Seite gehört zum Verlauf der sogenannten Effizienz. Die zwischen 0 und 1 liegende Effizienz eines Schätzers ergibt sich wie folgt: Effizienz = σCR/σ ^. (119)
Wie man sieht, erreichen die drei Schätzer selbst bei niedrigsten Störabständen ihre Cramér-Rao-Grenzen und können damit als effizient bezeichnet werden.
Die Dichten der Schätzwerte Δf ^, Δϕ ^ und g ^ sind in den 13 bis 15 für das Beispiel einer 16-QAM mit S/N = 15 dB skizziert. Als Referenzen sind auch die Gauß-Dichten mit den Standardabweichungen σ_Δf,CR, σ_Δϕ,CR und σ_g,CR zu sehen. Die Soll- und Ist-Dichten der drei Schätzer stimmen jeweils gut überein.
Die Eigenschaften des Data-Aided-Schätzers lassen sich wie folgt zusammenfassen:

– Der implementierte Algorithmus zur Bestimmung des Frequenz- und Phasenoffsets sowie der Verstärkung ist eine exakte Umsetzung des Maximum-Likelihood-Schätzers.
– Der Algorithmus ist auch bei nichtkonstantem Betrag des Symbolalphabets brauchbar.
– Da der Algorithmus rückkopplungsfrei ist, können keine sogenannten Cycle-Slips auftreten. Somit werden auch bei niedrigsten Störabständen die idealen Maximum-Likelihood-Schätzwerte erreicht.

erfindungsgemäßer Non-Data-Aided-Schätzer
Die allgemeine Vorschrift zur Bestimmung eines Non-Data-Aided-Schätzers für die Verstärkung g, den Frequenzoffset Δf und den Phasenoffset Δϕ lautet
Die Likelihood-Funktion L(r|g ~, Δf ~, Δϕ ~) erhält man aus L(r|a, g ~, Δf ~, Δϕ ~) durch eine gewichtete Mittelung über alle möglichen Symbolfolgen a
Mit P(a) wird die Wahrscheinlichkeit einer bestimmten Symbolfolge angegeben.
Anders als beim Data-Aided-Schätzer wird hier die Verstärkung als erstes bestimmt. Zur Angabe einer geeigneten Kostenfunktion wird vor dem Einsetzen der Versuchsgrößen g ~, Δf ~ und Δϕ ~ eine Näherung der Likelihood-Funktion
vorgenommen. Für hohe Störabstände weicht r_μ nur wenig von gα_μ·exp(j(2πΔfTμ + Δϕ) ab, so daß mit
eine Likelihood-Funktion
angegeben werden kann, die nicht mehr von Δf und Δϕ abhängt. Durch Einsetzen der Versuchsgröße g ~ und Mittelung über die Daten erhält man die Kostenfunktion L₁ zum Schätzen der Verstärkung:
Durch die Näherung in (124) entsteht kein datenabhängiger Fehler, da die Kostenfunktion L₁ für S/N → ∞ bzw. |r_μ| → g|α_μ| ihr Maximum bei g ~ = g hat.
Nimmt man ein Symbolalphabet {A₁, A₂, ..., A_M} mit gleichwahrscheinlichen A_m an und beachtet außerdem die Voraussetzung, daß die Symbole α_μ untereinander statistisch unabhängig sind, dann kann die Mittelung über die Daten wie folgt durchgeführt werden:
Nach erfolgter Mittelung kann man nun zur Log-Likelihood-Funktion übergehen:
Mit Hilfe der Nichtlinearität
Zur Berechnung der Nichtlinearität müssen insgesamt M Beträge |A_m| berücksichtigt werden. Die Anzahl der unterschiedlichen Beträge B_α ist jedoch im allgemeinen geringer und hängt vom Symbolalphabet ab. Betrachtet man als Beispiel eine 64-QAM, dann gibt es 9 verschiedene Beträge mit
B_α ∈ {√2, √10, √18, √26, √34, √50, √58, √74, √98}.
Wie oft ein bestimmter Betrag B_α im Symbolalphabet vorkommt, wird durch den Wert n_α angegeben. Es gilt
16 zeigt die Nichtlinearität NL(|r_μ|, g ~) einer 64-QAM mit T/N₀ = 25 dB und g ~ = 1. Wie man sieht, liegen die Maxima genau über den Beträgen B_α. Wählt man für die Versuchsgröße einen anderen Wert als g ~ = 1, dann wird die Nichtlinearität in Richtung des Betrages gestaucht oder gestreckt, je nachdem ob g ~ < 1 oder g ~ > 1 gilt. Die Maxima wandern von B_α nach g ~B_α. Da sich die Exponentialfunktionen in (128) für hohe Störabstände kaum überlappen, kann die Nichtlinearität auch in der Form
angegeben werden. Dieser Darstellung kann man leicht entnehmen, daß die Maximalwerte der Nichtlinearität durch ln n_α gegeben sind. Betrachtet man z. B. den Betrag B₁ = √2 der obigen 64-QAM, dann ergibt sich mit n₁ = 4 ein Maximalwert von ln 4 = 1.39, was auch in 17 zu erkennen ist.
Liegt die Versuchsgröße g ~ bereits in der Nähe der tatsächlichen Verstärkung g, was durch eine einfache Vorschätzung sichergestellt werden kann, dann trägt in (131) nur die Exponentialfunktion etwas zur Summe bei, deren Betrag g ~B_α zum beobachteten |r_μ| paßt.
Doch wie soll man wissen, um welchen Betrag g ~ B_α es sich dabei handelt? Da man die möglichen B_α eines Alphabets und auch den Versuchsparameter g ~ kennt, kann mit den Grenzen
eine Entscheidung getroffen werden. Anhand des Bereiches, in den die Beobachtung |r_μ| fällt, wird ein Schätzwert g ~|α ^_μ| für den Betrag g ~ B_α erzeugt. In 18 wird der Vorgang für eine 64-QAM verdeutlicht.
Setzt man den Schätzwert g ~|α ^_μ| in (131) ein, dann lautet die Kostenfunktion l₁ aus (129) wie folgt:
Der zweite Term in (133) kann vernachlässigt werden, da ln n_α,μ im allgemeinen kaum variiert (siehe 17). Mit
liegt schließlich eine geeignete Kostenfunktion zum Schätzen der Verstärkung vor.
Zur Frequenz- und Phasenschätzung werden die Versuchsgrößen Δf ~ und Δϕ ~ sowie die bereits geschätzte Verstärkung g ^ in die Likelihood-Funktion aus (122) eingesetzt. Anschließend wird eine Mittelung über die Daten durchgeführt:
Die zugehörige Log-Likelihood-Funktion lautet
Mit Hilfe der Nichtlinearität
Um das Schätzproblem weiterhin analytisch lösen zu können, wird die Nichtlinearität NL(y) = NL(|y|·ejθ) (139)in eine Reihe bezüglich der Phase θ entwickelt:
Von nun an wird angenommen, daß es sich bei der Modulation um eine M-QAM handelt. Der Schätzalgorithmus, kann jedoch leicht auf beliebige Modulationen angepaßt werden.
Im Vorgriff sind hier einige Eigenschaften der sogenannten K-Faktoren aus (140) aufgeführt:

– Die K-Faktoren sind reell, da NL(y) bezüglich θ eine gerade Symmetrie aufweist.
– Wegen der π/2-Rotationssymmetrie ist nur jeder vierte K-Faktor ungleich null.
– Es gilt K_–n(|y|) = K_n(|y|).

Ersetzt man die Nichtlinearität in (138) durch eine endliche Reihe, dann kann die neue Kostenfunktion l₄ gemäß
angegeben werden. Der Faktor K₀ hat auf die Lage des Maximums keinen Einfluß. Mit den Hilfsgrößen
in denen die Abtastwerte
des Empfangssignals enthalten sind, lautet die Kostenfunktion l₄ schließlich
Aus den Kostenfunktionen l₂(g ~) und l₄(Δf ~, Δϕ ~) werden die Schätzalgorithmen hergeleitet. Zunächst folgt jedoch eine genauere Betrachtung der in (137) definierten Nichtlinearität zur Frequenz- und Phasenschätzung.
Wie im vorigen Abschnitt bereits erwähnt, muß die Nichtlinearität
in eine Reihe bezüglich der Phase θ entwickelt werden. Um die Reihenentwicklung besser zu verstehen, wird zuerst das Aussehen der Nichtlinearität anhand eines Beispiels gezeigt.
Betrachtet wird eine 16-QAM mit einem Störabstand von S/N = 25 dB. Für die Elemente des Symbolalphabets gilt Am ∈{±3 ±j3, ±3 ±j, ±1 ±j, ±1 ±j3). (144)
Das Verhältnis g ^² T|N₀ kann mit (43) und (48) wie folgt bestimmt werden:
Mit den Angaben aus (144) und (145) läßt sich die Nichtlinearität berechnen. Das Ergebnis ist in 19 zu sehen.
Die schwarze Linie in 19 stellt die Nichtlinearität für |y| = √10 dar. Sie verläuft genau durch die 8 Spitzen oberhalb der Symbole ±3 ±j und ±1 ±j3 , was auch die Draufsicht in 20 zeigt. Die Nichtlinearität NL(√10·e^jθ) als Funktion der Phase θ ist in 21 dargestellt.
Das Ziel der Reihenentwicklung bezüglich θ besteht darin, die Nichtlinearität NL(y) für jeden Betrag |y| in die Form gemäß (140) zu bringen:
Dazu müssen die K-Faktoren K_n(|y|) bestimmt werden. In den nächsten Abschnitten werden zwei Ansätze zur Lösung dieses Problems betrachtet. Zunächst folgen jedoch noch einige Beispiele zum Aussehen der Nichtlinearität.
Da die Nichtlinearität NL(y) in jedem Fall 2π-periodisch bezüglich der Phase θ ist, bietet sich die Entwicklung in eine Fourier-Reihe an. Die K-Faktoren ergeben sich aus
kann das Integral in (146) durch eine Summe genähert werden:
Die K-Faktoren können also mittels FFT berechnet werden. Im Hinblick auf eine praktische Realisierung des Schätzalgorithmus sollten die K-Faktoren vorab berechnet und in einer Tabelle abgelegt werden. Dazu muß auch der Betrag |y| gerastert werden. Auf die erforderliche FFT-Länge NF (θ) / FFT (θ) und die Genauigkeit bei der Betragsrasterung wird nachfolgend ein- gegangen. An dieser Stelle sei erwähnt, daß die mit MATLAB^® durchgeführte Berechnung der in (148) benötigten Nichtlinearität für hohe Störabstände zunächst fehlgeschlagen ist. Problematisch war der in (137) zu bildende Logarithmus, da sein Argument bei hohem S/N an vielen Stellen nahezu null ist. Mit einer Rechengenauigkeit von 10^–323 kann MATLAB^® den Logarithmus nur bis –323·ln 10 ≈ –744 bestimmen.
Zur Veranschaulichung dieses Problems ist in 26 die Nichtlinearität NL(√10·e^jθ) einer 16-QAM mit S/N = 40 dB dargestellt. MATLAB^® kann nur den oberen Teil der Kurve ermitteln; der untere Teil der Kurve liegt unterhalb der Rechengenauigkeit.
Um dennoch ein Ergebnis zu erhalten, wird die Nichtlinearität aus (137) zunächst in die Form
gebracht. Gemäß (145) ist der Exponent g ^²T/N₀ proportional zum Störabstand S/N. Für hohe Störabstände kann die Reihenfolge von Potenzierung und Summation näherungsweise vertauscht werden:
Dividiert man die gesuchte Nichtlinearität NL(y) durch eine Nichtlinearität NL_ref(y), die mit MATLAB^® gerade noch berechnet werden kann, dann gilt
Mit dieser Methode wurde der untere Teil der Kurve in 26 bestimmt. Für hohe Störabstände kann mit Hilfe von (150) auch eine neue Kostenfunktion angegeben werden, die nicht mehr von S/N und g ^/g abhängt!
Doch nun zurück zur Berechnung der K-Faktoren. 27 zeigt die Nichtlinearitäten NL(√2·e^jθ), NL(√10·e^jθ) und NL((√18·e^jθ) einer 16-QAM mit S/N = 25 dB. Für diese Beispiele werden die K-Faktoren gemäß (148) berechnet und ebenfalls in 27 dargestellt.
Wie man sieht, ist nur jeder vierte K-Faktor ungleich null. Dies liegt an der π/2-Rotationssymmetrie der QAM. Außerdem ist zu erkennen, daß die K-Faktoren mit zunehmendem n tendenziell kleiner werden. Abgesehen von K₀, der den Gleichanteil repräsentiert, ist für |y| = √2 und |y| = √18 der Faktor K₄ dominant, da die zugehörigen Nichtlinearitäten genau durch die Spitzen oberhalb der Symbole ±1 ±j bzw. ±3 ±j3 verlaufen. Für |y| = 10 werden 8 Spitzen durchlaufen. Daher ist hier auch K₈ von Bedeutung.
Bei der Herleitung der Kostenfunktion wurde die Nichtlinearität durch eine endliche Reihe ersetzt. Wie sich die Begrenzung der Anzahl an K-Faktoren auf das Aussehen der Nichtlinearität auswirkt, wird anhand der folgenden Bilder gezeigt. Zur Bezeichnung sei gesagt, daß ab jetzt nur noch die Faktoren K₀, K₄, K₈, ... gezählt werden, da die übrigen ohnehin null sind. Die Beispiele wurden für eine 16-QAM mit S/N = 25 dB erzeugt, so daß der Sollverlauf in 19 als Referenz dienen kann
Ohne den Schätzalgorithmus bereits zu kennen, kann an dieser Stelle ein Gedankenexperiment zur Aufgabe der Nichtlinearität durchgeführt werden. In die zu maximierende Kostenfunktion
aus (138) werden die Abtastwerte des Empfangssignals
sowie die Versuchsparameter Δf ~ und Δϕ ~ eingesetzt. In den Abtastwerten r_μ sind die Nutzsymbole α_μ, die Störungen n_μ sowie die tatsächlichen Offsets Δf und Δϕ enthalten. Man stelle sich ein QAM-Sieb oberhalb der Nichtlinearität vor, aus dem im Abstand T die Empfangswerte auf die Nichtlinearität fallen. Geht man zunächst davon aus, daß sowohl die Störungen als auch die Offsets null sind, dann fallen die Empfangswerte genau auf die Spitzen der Nichtlinearität. Damit erhalten sie alle das höchstmögliche Gewicht.
Nimmt man jetzt die Störungen hinzu, dann werden die Nutzsymbole beim Fallen abgelenkt und landen auf der Nichtlinearität weiter unten. Je stärker ein Symbol gestört ist, desto tiefer fällt es und wird damit für die Schätzung weniger wichtig. Bei großen Störungen können manche Empfangswerte auch auf benachbarten Bergen landen und so ein falsches Gewicht erhalten. Passiert dies zu oft, wird der Schätzalgorithmus versagen.
Ein von null verschiedener Phasenoffset bewirkt eine konstante Drehung des QAM-Siebes um Δϕ . Ein vorhandener Frequenzoffset hat eine Rotation des Siebes zur Folge. Mit jedem Symboltakt nimmt der Drehwinkel um 2πΔfT zu. Im rauschfreien Fall bewegen sich die Nutzsymbole auf Kreisen, deren Radien sich aus den Symbolbeträgen ergeben. Mit den Parametern Δf ~ und Δϕ ~ kann man nun versuchen, die Rotation zu stoppen und den Anfangswinkel zu kompensieren. Solange dies nicht gelingt, werden Empfangswerte neben den Spitzen der Nichtlinearität landen und so eine niedrige Kostenfunktion verursachen. Das Ziel beim Variieren der Versuchsparameter Δf ~ und Δϕ ~ besteht also darin, das Maximum der Kostenfunktion zu erreichen.
Das obige Gedankenexperiment macht deutlich, daß bei einer Reihenentwicklung der Nichtlinearität insbesondere die Spitzen gut nachgebildet werden müssen. Für hohe Störabstände leuchtet diese Forderung sofort ein, da sich hier das ganze Geschehen stark um die eigentlichen Nutzsymbole konzentriert. Leider nimmt der Fourier-Reihen-Ansatz auf die Spitzen der Nichtlinearität keine besondere Rücksicht. Statt dessen versucht er, die Nichtlinearität in ihrer Gesamtheit möglichst gut nachzubilden. Aus diesem Grund wird im folgenden Kapitel ein zweiter Ansatz zur Reihenentwicklung vorgestellt, was jedoch nicht den Eindruck erwekken soll, daß die Fourier-Reihe hier gänzlich ungeeignet ist. Im Gegenteil: Die Fourier-Reihe ist einfach zu berechnen und nähert mit ausreichend vielen K-Faktoren auch die Spitzen der Nichtlinearität gut an, was die obigen Bilder ja gezeigt haben. Zu 28 sei noch angemerkt, daß eine Reihe, die nur den Koeffizienten K₀ enthält, nicht zum Schätzen von Δf und Δϕ geeignet ist, da die zugehörige Nichtlinearität keinerlei Winkelabhängigkeit zeigt.
Im folgenden Abschnitt werden die K-Faktoren mit einem gewichteten Minimum-Mean-Square-Error-Ansatz bestimmt. Der längliche Name kommt von der Vorschrift zur Berechnung der Koeffizienten:
Sie besagt folgendes: Zunächst wird die Abweichung zwischen der tatsächlichen Nichtlinearität und der endlichen Reihe gebildet. Dieser Fehler wird anschließend quadriert und mit der Funktion G(θ) gewichtet. Schließlich muß der bezüglich θ gemittelte Ausdruck minimiert werden. Die gesuchten Parameter sind die K-Faktoren.
Es besteht die Erwartung, daß mit diesem Ansatz die Spitzen der Nichtlinearität besser nachgebildet werden als durch eine Fourier-Reihe mit gleicher Anzahl an Koeffizienten.
Zur besseren Darstellung der nachfolgenden Rechnung werden die Abkürzungen
eingeführt. Die K-Faktoren sind reell und bezüglich n symmetrisch. Damit gilt
Zur Bestimmung des Minimums wird (153) nach k_m abgeleitet:
Mit (156) und m = 0, 1, ..., N steht ein lineares Gleichungssystem zur Berechnung der Unbekannten k_n zur Verfügung. Beschreibt man das Gleichungssystem durch A x = b (157)mit den Elementen
dann können die k_n gemäß x = A-1 b (161)bestimmt werden. Die gesuchten K-Faktoren K_n(|y|) ergeben sich schließlich aus (154). Wie im vorherigen Abschnitt bereits gezeigt, kann man die Phase θ rastern und damit die Integrale mittels FFTs berechnen. Rastert man auch den Betrag |y|, dann können die K-Faktoren vorab ermittelt und in einer Tabelle abgelegt werden. Wenn vorher bekannt ist, daß einige der K-Faktoren ohnehin null sind, kann das Gleichungssystem reduziert werden.
Bevor die Gewichtsfunktion G(θ) näher behandelt wird, sei noch auf folgendes hingewiesen: Beim Fourier-Reihen-Ansatz kann man aus bereits berechneten K-Faktoren ohne weiteres beliebige Untermenge entnehmen. Diese Tatsache ist auf die FFT in (148) zurückzuführen. Hat man z. B. die Faktoren K₀, K₄, ..., K₁₀₀ vorliegen, möchte die Nichtlinearität aber nur mit K₀, K₄ und K₈ nachbilden, dann läßt man den Rest einfach weg. Im Gegensatz dazu muß beim MMSE-Ansatz für jede Untermenge eine eigene Berechnung durchgeführt werden, da es sich in (153) um eine Optimierung handelt.
Die Gewichtsfunktion G(θ) muß so gewählt werden, daß die Spitzen der zu entwickelnden Nichtlinearität bevorzugt in die Optimierung eingehen. Wie man in 19 sieht, ist der Betrag der Nichtlinearität im Bereich der Spitzen klein und in den Tälern groß. Damit bietet sich der Kehrwert des Betrages als Gewichtsfunktion an:
Zur Berechnung von (162) muß NL(|y|·e^jθ) < 0 gelten. Da die Nichtlinearität bei niedrigen Störabständen auch größer als null werden kann, muß eine Normierung
durchgeführt werden. Mit NL_norm(|y|·e^jθ) ≤ –C kann die Gewichtsfunktion nun berechnet werden:
Die Konstante C darf nicht zu klein gewählt werden, da sonst numerische Probleme bei der Optimierung gemäß (153) auftreten können. Eine geeignete Konstante ist z. B. C = 10^–6.
Die folgenden Beispiele zum Aussehen der Nichtlinearität wurden für eine 16-QAM mit S/N = 25 dB erzeugt, so daß ein Vergleich mit den 28 bis 31 möglich ist. Es wird noch gezeigt, daß die Nichtlinearitäten des MMSE-Ansatzes im Hinblick auf das Schätzproblem tatsächlich besser sind als die des Fourier-Reihen-Ansatzes.
Die Algorithmen zur Verstärkungsschätzung können mit der Kostenfunktion l₂ aus (134) hergeleitet werden. Die Versuchsgröße g ~ muß sich dazu bereits in der Nähe der tatsächlichen Verstärkung g befinden. Vor der eigentlichen Grobschätzung muß daher eine einfache Vorschätzung gemäß
durchgeführt werden. Verglichen wird das arithmetische Mittel der Empfangsbeträge |r_μ| mit dem Erwartungswert der Alphabetsbeträge B_α. Der Erwartungswert ergibt sich aus
Für eine 64-QAM gilt z. B. E{B_α} = 6.0869.
Zur Grobschätzung wird nun die Kostenfunktion
durch eine gerasterte Variation von g ~ maximiert. Der Variationsbereich g ^vor (1 – C) < g ~ < g ^vor (1 + C) (168)muß den maximalen Fehler der Vorschätzung abdecken. Auf die Mindestgröße der Konstanten C und auch auf die Schrittweite beim Verändern von g ~ wird noch eingegangen. Die in (167) benötigten Betragsentscheidungen g ~|α ^_μ| erfolgen wie beschrieben. Wichtig ist, daß für jedes g ~ eine eigene Folge g ~|α ^_μ| entschieden wird. Die Versuchsgröße g ~, die zum Maximum der Kostenfunktion l₂ führt, ist der gesuchte Grobschätzwert der Verstärkung:
Die zugehörige Folge g ^_grob|α ^_μ| wird schließlich noch durch g ^_grob dividiert und das Ergebnis als |α ^_μ|_grob bezeichnet. Damit stehen der nachfolgenden Feinschätzung recht zuverlässig entschiedene Beträge zur Verfügung.
Setzt man die Folge |α ^_μ|_grob in die Kostenfunktion l₂ aus (167) ein, dann kann ein erster Feinschätzwert wie folgt bestimmt werden:
Zur Verbesserung dieses Schätzwertes können mehrere Iterationen nach dem folgenden Prinzip durchgeführt werden:

1. Erneute Betragsentscheidungen g ^_fein|α ^_μ|.
2. Division der Folge g ^_fein|α ^_μ| durch g ^_fein und Bezeichnung des Ergebnisses als |α ^_μ|_fein.
3. Berechnung eines neuen Feinschätzwertes gemäß

Die Feinschätzung ist beendet, sobald bei den Betragsentscheidungen keine Veränderungen mehr auftreten. Dies ist bereits nach wenigen Iterationen der Fall. Der Schätzwert für die Verstärkung ist der zuletzt ermittelte Feinschätzwert: g ^ = g ^fein. (174)
Zur Grobschätzung wird die Kostenfunktion l₄ aus (173) verwendet. Rastert man die Versuchsfrequenz gemäß
Durch Auffüllen der Folgen x₄(μ), x₈(μ), x₁₂(μ), ... mit Nullen (Zero Padding) lassen sich die Summenterme in (176) mit FFTs bestimmen:
Für die Kostenfunktion l₄ ergibt sich
Mit der gerasterten Versuchsphase
Mit Zero Padding und einer Null am Anfang läßt sich auch die Reihe in (180) mittels FFT berechnen. Für die Kostenfunktion l₄ ergibt sich schließlich
Aus der Lage des Maximums
können die Grobschätzwerte Δf ^_grob und Δϕ ^_grob wie folgt bestimmt werden:
Die Grobschätzung der Frequenz hat einen Maximalfehler von 1/(8N (f) / FFTT) und einen Fangbereich von –1/(8T) bis +1/(8T). Die Phasenschätzung fängt zwischen –π/4 und +n/4 mit einem Maximalfehler von 2π/(8N (ϕ) / FFT).
Die FFT-Längen N (f) / FFT und N (ϕ) / FFT, die im Hinblick auf die nachfolgende Feinschätzung mindestens erforderlich sind, lassen sich analytisch nicht bestimmen, da in (143) mehrere Exponentialfunktionen mit unterschiedlichen Gradienten linearisiert werden müssen. Würde man bereits zu Beginn der iterativen Feinschätzung eine Linearisierbarkeit aller Exponentialfunktionen fordern, dann wäre die Anforderung an die Grobschätzung viel zu hoch. Glücklicherweise sind die Exponentialfunktionen mit hohen Gradienten tendenziell schwächer gewichtet, so daß die Feinschätzung auch dann noch konvergiert, wenn am Anfang nur die stärker gewichteten Exponentialfunktionen mit niedrigen Gradienten linearisierbar sind. Mit jeder Iteration wird dann die Anzahl an linearisierbaren Exponentialfunktionen größer. Die Mindestlängen der FFTs wurden experimentell ermittelt. Zum Abschluß folgen noch zwei Anmerkungen zu den FFTs in (177) und (181):

– Ungeachtet der Feinschätzung muß die FFT-Länge N (ϕ) / FFT in (181) so groß sein, daß die führende Null und alle zur Grobschätzung gewünschten X-Terme verarbeitet werden.
– Die FFTs in (177) sind zyklisch mit N (f) / FFT. Um diese Eigenschaft und die Schreibweise
zu verdeutlichen, wird für die Fälle n = 1, 2, 3, 4 jeweils der Ergebnisvektor X angegeben. Beispielhaft gilt N (f) / FFT = 8. Der Fall n = 1 beschreibt die „normale" FFT
aus der die anderen Fälle wie folgt hervorgehen: n = 1: X = [X(0) X(1) X(2) X(3) X(4) X(5) X(6) X(7)], n = 2: X = [X(0) X(2) X(4) X(6) X(0) X(2) X(4) X(6)], n = 3: X = [X(0) X(3) X(6) X(1) X(4) X(7) X(2) X(5)], n = 4: X = [X(0) X(4) X(0) X(4) X(0) X(4) X(0) X(4)].

Zur Feinschätzung werden die mit den Grobschätzwerten Δf ^_grob und Δϕ ^_grob kompensierten Folgen
in die Kostenfunktion l₄ aus (143) eingesetzt:
Jetzt muß die Kostenfunktion l₄ maximiert werden:
Die Gleichungen (187) und (188) bilden ein lineares Gleichungssystem für die Unbekannten Δf ^_fein und Δϕ ^_fein. Beschreibt man das Gleichungssystem durch A x = b (189)mit den Elementen
dann können Δf ^_fein und Δϕ ^_fein gemäß x = A–1 b (193)bestimmt werden. Die Gesamtschätzwerte ergeben sich aus
Zur Verbesserung der Gesamtschätzwerte können mehrere Iterationen nach dem folgenden Prinzip durchgeführt werden:

1. Erneutes Kompensieren der Folgen x₄(μ), x₈(μ), x₁₂(μ), ... mit den Gesamtschätzwerten.
2. Berechnung neuer Feinschätzwerte.
3. Aktualisieren der Gesamtschätzwerte.

Die Feinschätzwerte konvergieren bereits nach wenigen Iterationen gegen null.
Die Beurteilung des erfindungsgemäßen Non-Data-Aided-Schätzers erfolgt anhand einer 16-QAM mit N = 256 und einer 64-QAM mit N = 1024. N ist die Anzahl der empfangenen Abtastwerte, die zur Berechnung eines Schätzwertes herangezogen werden. Für jede Systemeinstellung werden die gesuchten Parameter 10.000mal geschätzt, um statistische Kenngrößen wie Mittelwert und Standardabweichung zuverlässig bestimmen zu können.
Zunächst wird die Vorschätzung der Verstärkung betrachtet. Ihre Aufgabe besteht darin, den Suchbereich für die nachfolgende Grobschätzung festzulegen. Die Ergebnisse sind in 36 und 37 zu sehen. Als Funktion des Störabstandes sind die Mittelwerte sowie die Maxima und Minima der Schätzungen dargestellt.
Wie man erkennt, ist die Vorschätzung für niedrige Störabstände nicht erwartungstreu. Im Mittel fallen die Schätzwerte zu groß aus. Zur Erklärung wird die Schätzvorschrift aus (165) betrachtet. Dort werden die Beträge |r_μ| der empfangenen Abtastwerte gebildet. Die Wahrscheinlichkeitsdichte von |r_μ| unter der Bedingung eines bestimmten Sendesymbols α_μ kann wie folgt angegeben werden:
I₀(x) ist die modifizierte Besselfunktion Oter Ordnung. Außerdem gilt
Die Dichte in (195) wird auch als Rice-Dichte bezeichnet. Sie ist unsymmetrisch und hat einen Mittelwert E{|rμ||αμ} = √π/2σexp(–z/2)·[(z+1)I0(z/2) + zI1(z/2)], (197)der größer als der Sollwert |α_μ| ist. Für die Abkürzung z gilt
Je kleiner die Parameter |α_μ| und S/N sind, desto stärker fällt die Unsymmetrie aus. 38 zeigt die Rice-Dichten für diverse Störabstände und Sendesymbole. Die hellen Punkte kennzeichen die Mittelwerte gemäß (197). Die schwarzen Punkte sind die Sollwerte |α_μ|.
Eine zweite Darstellung des Soll-Ist-Vergleichs wird in 39 gezeigt.
Für hohe Störabstände geht die Rice-Dichte in eine symmetrische Gauß-Dichte über. Damit wird die Vorschätzung erwartungstreu.
Die Konstante C, die gemäß (168) den Suchbereich der nachfolgenden Grobschätzung definiert, kann anhand der 36 und 37 auf C = 0.3 festgelegt werden.
Die Grobschätzung der Verstärkung wird als Suche implementiert. Mit g ^_vor = 1 und C = 0.3 wird die Versuchsgröße g ~_grob in einem Bereich von –0.7 bis +1.3 variiert. Eine Schritt weite von 0.01 hat sich sowohl für die 16-QAM als auch die 64-QAM als fein genug erwie sen. Somit müssen 61 Werte der Kostenfunktion
bestimmt werden, um dann das Maximum herauszusuchen. Für jedes g ~_grob muß eine eigene Betragsfolge g ~_grob|α ^_μ| entschieden werden.
Zur Beurteilung des Grobschätzers kann das Aussehen der Kostenfunktion l₂ herangezogen werden. Für alle Empfangsfolgen r_μ sollte l₂ ein erkennbares Maximum in der Nähe der tatsächlichen Verstärkung g zeigen. Zur Überprüfung sind in 40 und 41 einige Beispiele dargestellt. Bei genügend hohen Störabständen sind ausgeprägte Maxima in der Nähe von g zu erkennen. Ein zu geringer Störabstand hat jedoch eine merkliche Abweichung des Grobschätzers zur Folge. Wie sich bereits bei der Vorschätzung gezeigt hat, fallen die Schätzwerte im Mittel zu groß aus. Als Ursache kann erneut die Rice-Verteilung der Beträge angeführt werden.
Mit dem Grobschätzwert g ^_grob und der zugehörigen Betragsfolge g ^_grob|α ^_μ| kann schließlich die iterative Feinschätzung durchgeführt werden. Sie liefert den endgültigen Schätzwert g ^ für die gesuchte Verstärkung g. Die Bewertung erfolgt anhand der in (79) angegebenen Cramér-Rao-Grenze.
Eine Kurve in 42 bzw. 43 zeigt die Standardabweichung
der Verstärkungsschätzung. Zum Vergleich ist die Cramér-Rao-Grenze als dunkle Kurve dargestellt. Gültig ist die logarithmische Achsenbeschriftung auf der linken Bildseite. Die lineare Beschriftung auf der rechten Seite gehört zum Verlauf der Effizienz.
Wie man in beiden Bildern erkennt, wird mit zunehmendem Störabstand die Cramér-Rao-Grenze erreicht. Ob die Effizienz des Verstärkungsschätzers zur anschließenden Bestimmung von Frequenz und Phase ausreichend ist, wird später noch geprüft.
Die Dichte der Schätzwerte g ^ ist in 44 für das Beispiel einer 16-QAM mit S/N = 40 dB skizziert. Als Referenz ist auch die Gauß-Dichte mit der Standardabweichung σ_g,CR zu sehen.
Nach dem Verstärkungsschätzer wird nun die Grobschätzung von Frequenz und Phase betrachtet. Zunächst wird davon ausgegangen, daß man die Verstärkung g = 1 kennt. Gemäß (182) werden die Argumente ν ^ und μ ^ gesucht, die zum Maximum der gerasterten Kostenfunktion l₄ führen:
Mit (183) und (184) können dann die Grobschätzwerte Δf ^_grob und Δϕϕ ^_grob bestimmt werden. Die in der Kostenfunktion l₄ enthaltene Nichtlinearität NL(y) kann entweder mit dem Fourier-Reihen-Ansatz oder mit dem gewichteten MMSE-Ansatz entwickelt werden. Außerdem kann die Anzahl der K-Faktoren variiert werden. Gezählt werden nur die Faktoren K₄, K₈, K₁₂, ..., da K₀ sich nicht auf die Frequenz- und Phasenschätzung auswirkt. Zur Bewertung des Grobschätzers werden für jeden betrachteten Störabstand 10.000 Schätzwerte sowie die entsprechenden Abweichungen
ermittelt. Jede Abweichung, die größer als eine halbe Rasterbreite ist, wird als Fehler gezählt. Die Ergebnisse für N (f) / FFT = 8N und N (ϕ) / FFT = 101 sind in den 8 nachfolgenden Bildern der 45 bis 52 dargestellt.
Anhand der obigen Bilder können folgende Aussagen getroffen werden:

– Für die Grobschätzung macht es keinen wesentlichen Unterschied, ob man die Nichtlinearität NL(y) mit dem Fourier-Reihen-Ansatz oder dem gewichteten MMSE-Ansatz entwickelt.
– Die Anzahl der K-Faktoren spielt beim groben Schätzen der Frequenz kaum eine Rolle. Möchte man gute Grobschätzwerte der Phase erhalten, dann sollten mindestens zwei K-Faktoren (K₄, K₈) gewählt werden. Da aber die nachfolgende Feinschätzung recht tolerant auf Phasenfehler reagiert, kann die Grobschätzung durchaus mit nur einem K-Faktor (K₄) durchgeführt werden.
– Ab einem Störabstand von 15 dB wird die Grobschätzung der Frequenz robust. Unterhalb von 15 dB steigt die Zahl der Fehler deutlich an. Zur Erklärung kann man die Symbolfehler betrachten. Obwohl der Algorithmus keine Entscheidungen trifft, besteht die Nichtlinearität doch aus einzelnen Bergen, die sich oberhalb der Nutzsymbole befinden. Fällt ein verrauschter Empfangswert nicht auf seinen eigenen, sondern einen benachbarten Berg, dann erhält er ein falsches Gewicht und stört die Kostenfunktion. Als Beispiel zeigt 53 die Nichtlinearität einer 16-QAM (Draufsicht). Um die Auswirkung der Störung zu verdeutlichen, wird nur das Symbol α_μ = 1 + j bei einem Störabstand von 10 dB gesendet. Die Offsets Δf und Δϕ sind null. Wie man sieht, befinden sich viele Emfangswerte in falschen Bereichen. Im Rückblick auf den Verstärkungsschätzer sei erwähnt, daß auch dort die Empfangswerte in falschen Betragsbereichen landen können. Durch die Fehlentscheidungen, die der Verstärkungsschätzer trifft, werden die Störbeiträge zum Teil noch vergrößert. Mit den Grobschätzwerten Δf ^_grob und Δϕ ^_grob kann schließlich die iterative Feinschätzung durchgeführt werden. Sie liefert die endgültigen Schätzwerte Δf ^ und Δϕ ^ für die gesuchten Offsets Δf und Δϕ. Die Bewertung erfolgt anhand der in (92) und (93) angegebenen Cramér-Rao-Grenzen. Die Ergebnisse sind in den vier nachfolgenden Bildern der 54 bis 57 dargestellt. Die gestrichelten Kurven zeigen die Standardabweichungen
des Fourier-Reihen-Ansatzes. Die Kurven zum gewichteten MMSE-Ansatz sind durchgezogen. Der Index k steht für die Anzahl der K-Faktoren, die beim Entwickeln der Nichtlinearität berücksichtigt wurden. Zum Vergleich sind die Cramér-Rao-Grenzen als schwarze Linien dargestellt. Die Bilder lassen folgendes erkennen:
– Je mehr K-Faktoren man spendiert, desto besser ist die Annäherung an die Cramér-Rao-Grenze.
– Im Vergleich zum Fourier-Reihen-Ansatz erreicht der gewichtete MMSE-Ansatz die Cramér-Rao-Grenze mit weniger K-Faktoren. Wie bereits erwähnt, liegt dies an den besser nachgebildeten Spitzen der Nichtlinearität. Insbesondere bei hohen Störabständen, wo die Spitzen der Nichtlinearität entscheidend sind, wird der Unterschied der beiden Ansätze deutlich. Der Nachteil des MMSE-Ansatzes besteht darin, daß die Berechnung der K-Faktoren etwas aufwendiger ist. Da die K-Faktoren aber vorab bestimmt und in einer Tabelle abgelegt werden können, fällt dieser Nachteil nicht ins Gewicht.
– Unterhalb von 15 dB nehmen bei einer 16-QAM mit N = 256 die Standardabweichungen des Frequenz- und Phasenschätzers deutlich zu. Oberhalb von 15 dB erzielt der Schätzer jedoch ausgezeichnete Ergebnisse. Bei einer 64-QAM mit N = 1024 liegt die Grenze bei ca. 20 dB.

An dieser Stelle darf natürlich nicht verschwiegen werden, daß die Ergebnisse mit einer bekannten Verstärkung g erzielt wurden. Außerdem wurde zum jeweils eingestellten Störabstand S/N die passende Nichtlinearität gewählt. Unter realistischen Bedingungen steht jedoch nur ein Verstärkungsschätzwert g ^ zur Verfügung, und über den Störabstand S/N ist im allgemeinen gar nichts bekannt. Die folgenden Fragen müssen daher noch geklärt werden:

1. Funktioniert der Frequenz- und Phasenschätzer auch dann, wenn keine Kenntnis über den Störabstand vorliegt?
2. Wie empfindlich reagiert der Algorithmus auf fehlerhafte Verstärkungsschätzwerte?

Zur Beantwortung der ersten Frage muß zunächst eine Kostenfunktion gefunden werden, die nicht mehr von S/N abhängt. Anschließend werden die obigen Simulationen mit der neuen Kostenfunktion wiederholt. Erhält man ähnlich gute Ergebnisse, dann kann die Frage bejaht werden.
Setzt man die in (150) vorgestellte Näherung
in die Kostenfunktion l₃ aus (138) ein, dann gilt
Der Faktor (g ^/g)² kann entfallen, da er nichts zur Lage des Maximums beiträgt. Ebenso darf der allgemeine Störabstand S/N durch eine feste Referenz (S/N)_ref ersetzt werden. Die neue Kostenfunktion lautet dann
Mit Hilfe der Nichtlinearität
gilt
Die feste Referenz (S/N)_ref ist frei wählbar. Sie sollte jedoch groß genug sein, so daß die Näherung in (150) Gültigkeit hat. Mit l₅ steht jetzt eine Kostenfunktion zur Verfügung, die nicht mehr von dem unbekannten Störabstand S/N abhängt. Als positiven Nebeneffekt erhält man eine erheblich reduzierte K-Faktor-Tabelle, da die Nichtlinearität NL_ref(y) jetzt nur noch für einen Störabstand in eine Reihe entwickelt werden muß.
Die auf der neuen Kostenfunktion l₅ basierenden Schätzergebnisse sind in den 58 bis 61 dargestellt. Ein Vergleich mit den Bildern der 54 bis 57 zeigt übereinstimmend gute Ergebnisse für die nutzbaren Störabständen oberhalb von 15 bzw. 20 dB. Somit kann – und sollte – die vom Störabstand unabhängige Kostenfunktion l₅ zum Schätzen von Frequenz und Phase verwendet werden.
Abschließend muß noch geklärt werden, wie empfindlich der Algorithmus auf fehlerhafte Verstärkungsschätzwerte g ^ reagiert. Dazu wird der Schätzwert g ^ in einem Bereich von g – 10σ_g,CR bis g + 10σ_g,CR variiert. Die Ergebnisse für eine 16-QAM mit S/N = 20 dB und eine 64-QAM mit S/N = 25 dB sind in den 62 bis 65 zu sehen. Eine relevante Verschlechterung der Schätzergebnisse ist nicht zu erkennen. Betrachtet man den Verstärkungsschätzer nur als Vorstufe für die eigentliche Frequenz- und Phasenschätzung, dann ist seine Qualität völlig ausreichend.
Die Dichten der Schätzwerte Δf ^ und Δϕ ^ sind in den 66 und 67 für das Beispiel einer 16-QAM mit S/N = 40 dB skizziert. Zur Reihenentwicklung wurde der gewichtete MMSE-Ansatz mit 25 K-Faktoren gewählt. Als Referenzen sind auch die Gauß-Dichten mit den Standardabweichungen σ_Δf,CR und σ_Δϕ,CR zu sehen.
Der in dieser Anmeldung vorgestellte Non-Data-Aided-Schätzer ist auf beliebige Symbolalphabete anwendbar. Betrachtet man nur Symbolalphabete mit konstanten Beträgen, dann sind aus der Literatur auch andere Algorithmen zum Schätzen von Frequenz und Phase bekannt. Als Beispiel wird eine 8-PSK untersucht, bei der die Modulationsbefreiung mittels Potenzierung erfolgt. Im rauschfreien Fall sind die Empfangswerte durch rμ = αμ·exp(j(2πΔfTμ + Δϕ)) (207)gegeben. Mit der Vorschrift
erhält man eine linear verlaufende Momentanphase Φ_μ. Der Startwert Φ₀ entspricht dem gesuchten Phasenoffset Δϕ. Der Frequenzoffset Δf ist in der Steigung 2πΔfT enthalten. Nimmt man die Störung hinzu, dann wird die Momentanphase Φ_μ entlang des idealen Verlaufs gestreut. Mit Hilfe einer linearen Regression können die Schätzwerte Δf ^ und Δϕ ^ für die tatsächlichen Offsets Δf und Δϕ bestimmt werden. Das Problem dieser Methode besteht darin, daß der in (208) ermittelte Winkel arg{exp(j8(2πΔfTμ + Δϕ))} stetig fortgesetzt wer den muß, damit kein 2π-periodischer Sägezahn entsteht. Die als Unwrapping bezeichnete Fortsetzung ändert jeden Sprung, dessen Betrag größer als π ist, in sein 2π-Komplement um.
Leider tritt der Mechanismus auch dann in Kraft, wenn ein hoher Störbeitrag einen vorzunehmenden Ausgleich vorgaukelt. Ein fälschlich ausgelöster Ausgleich wird als Cycle-Slip bezeichnet. An dieser Stelle sei noch erwähnt, daß zur Berechnung der Sprunghöhe die Differenz aus zwei benachbarten Phasen gebildet wird. Die gleichzeitige Verarbeitung zweier Phasenwerte stellt eine Rückkopplung dar.
Zum Abschluß wird der rückkopplungsfreie Non-Data-Aided-Schätzer mit dem eben beschriebenen Verfahren der Potenzierung mit anschließender Phasenregression verglichen. Die Nichtlinearität NL(y) des Non-Data-Aided-Schätzers wurde bereits in 25 dargestellt. Zur Reihenentwicklung wird hier lediglich der Faktor K₈ verwendet. Die zu schätzenden Offsets betragen ΔfT = 0.001 und Δϕ = 0. Für die Beobachtungslänge gilt N = 64. Die Ergebnisse für S/N = 25 dB sind in den 68 und 69 zu sehen. Die Soll- und Ist-Dichte der Schätzwerte Δf ^ stimmen in beiden Bildern gut überein. Außerdem haben beide Verfahren die gleiche Effizienz. Da der Störabstand hoch genug ist, treten noch keine Cycle-Slips auf. Für S/N = 15 dB sehen die Verhältnisse schon anders aus. Gemäß der 70 und 71 funktioniert der Non-Data-Aided-Schätzer noch einwandfrei, wogegen die Effizienz des zweiten Verfahrens bereits annähernd null ist. Die Tatsache, daß die Dichte in 71 neben dem eigentlichen Hauptmaximum noch zwei Nebenmaxima aufweist, ist auf eine hohe Anzahl an Cycle-Slips zurückzuführen. Wie ein Vergleich der 72 und 73 zeigt, führen Cycle-Slips zu völlig falschen Schätzwerten.
Um die elegante Methode der Phasenregression dennoch anwenden zu können, darf kein Unwrapping durchgeführt werden. Dies setzt jedoch eine Grobschätzung mit anschließender Vorkorrektur voraus, um die 8fache Momentanphase aus (208) in einen Bereich zu zwingen, in dem eine eindeutige Winkelbestimmung möglich ist.
Die Eigenschaften des erfindungsgemäßen Non-Data-Aided-Schätzers lassen sich wie folgt zusammenfassen:

– Der Algorithmus zur Bestimmung des Frequenz- und Phasenoffsets ist eine direkte Umsetzung des Maximum-Likelihood-Schätzers mittels Reihenentwicklung der Nichtlinearität NL(y).
– Der Algorithmus zum Ermitteln der Verstärkung ist keine exakte Umsetzung des Maximum-Likelihood-Schätzers, da er sowohl eine Näherung für hohe Störabstände als auch Betragsentscheidungen enthält. Im Hinblick auf die Frequenz- und Phasenschätzung ist die Qualität des Verstärkungsschätzers jedoch ausreichend.
– Bei niedrigen Störabständen zeigt der Non-Data-Aided-Schätzer eine Degradation, was auf das nichtlineare Schätzproblem in Verbindung mit einer merklichen Anzahl an Symbolfehlern zurückzuführen ist.
– Für Störabstände oberhalb einer alphabetsabhängigen Grenze und mit ausreichend vielen K-Faktoren lassen sich die Cramér-Rao-Grenzen σ_Δf,CR und σ_Δϕ,CR erreichen. Die Anzahl der K-Faktoren wirkt sich im wesentlichen auf die Feinschätzung von Frequenz und Phase aus. Die Grobschätzung kommt bereits mit wenigen K-Faktoren aus.
– Der gewichtete MMSE-Ansatz ist dem Fourier-Reihen-Ansatz vorzuziehen, da er die wichtigen Spitzen der Nichtlinearität NL(y) besser nachbildet.
– Da der implementierte Schätzer rückkopplungsfrei ist, können keine destruktiven Cycle-Slips auftreten.
– Der für eine M-QAM hergeleitete Non-Data-Aided-Schätzer läßt sich leicht in seiner allgemeinen Form mit den K-Faktoren K₁, K₂, K₃, ... angeben. Er ist damit auf beliebige Symbolalphabete anwendbar.

Claims

Verfahren zum Bestimmen des Frequenzversatzes (Δf) und/oder des Phasenversatzes (Δϕ) eines digitalen Empfangssignals (r(t)) gegenüber einem digitalen Sendesignal (s(t)) mit folgenden Verfahrensschritten: – Bilden einer Likelihood-Funktion in Abhängigkeit des Empfangssignals (r(t)), der Verstärkung (g), des Frequenzversatzes (Δf), des Phasenversatzes (Δϕ) und aller durch das verwendete Symbolalphabet zugelassener Symbolfolgen (a), – Mitteln der Likelihood-Funktion über alle möglichen, zugelassenen Symbolfolgen (a) und – Durchführen einer Reihenentwicklung einer in der gemittelten Likelihood-Funktion enthaltenen Nichtlinearität mit mehr als einem Reihenglied.
Verfahren nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, daß zur Reihenentwicklung eine Fourierreihe verwendet wird.
Verfahren nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, daß die Berechnung der Koeffizienten der Fourierreihe durch eine schnelle diskrete Fouriertransformation (FFT) erfolgt.
Verfahren nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, daß zur Reihenentwicklung ein Minimum-Mean-Square-Ansatz verwendet wird.
Verfahren nach Anspruch 4, dadurch gekennzeichnet, daß für die Berechnung der Koeffizienten K_n des Minimum-Mean-Square-Ansatzes die Berechnungsvorschrift
verwendet wird, wobei G eine Gewichtungsfunktion NL die Nichtlinearität K_n die Koeffizienten n der Laufindex der Koeffizienten θ die Phase und y das Argument der Nichtlinearität NL bedeuten.
Verfahren nach Anspruch 4 oder 5, dadurch gekennzeichnet, daß zur Bestimmung der Koeffizienten der Reihenentwicklung ein lineares Gleichungssystem gelöst wird, das sich aus dem Nullsetzen der Ableitung der Berechnungsvorschrift der Koeffizienten ergibt.
Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 6, dadurch gekennzeichnet, daß durch eine Vorschätzung vor der Reihenentwicklung zunächst ein Schätzwert für die Verstärkung (g) ermittelt wird.
Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 7, dadurch gekennzeichnet, daß zunächst eine Grobschätzung der Verstärkung (g), des Frequenzversatzes (Δf) und/oder des Phasenversatzes (Δϕ) erfolgt, dann das Empfangssignal (r(t)) mit diesen Grobschätzwerten kompensiert wird und anschließend eine iterative Feinschätzung erfolgt.
Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 8, dadurch gekennzeichnet, daß die Mittelung als gewichtete Mittelung unter Berücksichtigung der Auftrittswahrscheinlichkeit (P(a)) der Symbolfolgen (a) erfolgt.
Digitales Speichermedium mit elektronisch auslesbaren Steuersignalen, die so mit einem programmierbaren Computer oder digitalen Signalprozessor zusammenwirken können, daß das Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 9 ausgeführt wird.
Computerprogramm-Produkt mit auf einem maschinenlesbaren Träger gespeicherten Programmcode-Mitteln, um alle Schritte gemäß einem der Ansprüche 1 bis 9 durchführen zu können, wenn das Programm auf einem Computer oder einem digitalen Signalprozessor ausgeführt wird.
Computerprogramm mit Programmcode-Mitteln, um alle Schritte gemäß einem der Ansprüche 1 bis 9 durchführen zu können, wenn das Programm auf einem Computer oder einem digitalen Signalprozessor ausgeführt wird.
Computerprogramm mit Programmcode-Mitteln, um alle Schritte gemäß einem der Ansprüche 1 bis 9 durchführen zu können, wenn das Programm auf einem maschinenlesbaren Datenträger gespeichert ist.