DE10112625A1

DE10112625A1 - Verfahren zur Berechnung von Parametern für frequenz- und/oder amplitudenmodulierte elektromagnetische Pulse

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Publication number: DE10112625A1
Application number: DE10112625A
Authority: DE
Inventors: Lorenz Mitschang
Original assignee: Bundesrepublik Deutschland; Bundesministerium fuer Wirtschaft und Technologie
Current assignee: Bundesrepublik Deutschland Vertr D D Bundesmin
Priority date: 2001-03-14
Filing date: 2001-03-14
Publication date: 2002-11-28
Anticipated expiration: 2021-03-15
Also published as: DE10112625B4; WO2002073229A1; US7275010B2; US20040167751A1; EP1368673A1

Abstract

Ein Verfahren zur Berechnung von Parametern für frequenz- und/oder amplitudenmodulierte elektromagnetische Pulse für adiabatische Transfervorgänge in einem quantenmechanischen System, wobei die dynamischen Vorgänge des quantenmechanischen Systems mit einem Hamilton-Operator DOLLAR I1 in einem aktuellen Koordinatensystem beschrieben werden, hat die Schritte: DOLLAR A a) Transformation des Hamilton-Operators DOLLAR I2 vonn einem aktuellen Koordinatensystem in ein folgendes Koordinatensystem zur Beschreibung der Zeitabhängigkeit der Richtungsänderung des Hamilton-Operators DOLLAR I3; DOLLAR A b) Bestimmen der Selbstkommutation des Hamilton-Operators DOLLAR I4 zur Zeit t und des Hamilton-Operators DOLLAR I5 zur Zeit t' im jeweiligen Koordinatensystem, wobei ein Differentialgleichungssystem erhalten wird; DOLLAR A c) Berechnen der Parameter aus dem erhaltenen Differentialgleichungssystem.

Description

Die Erfindung betrifft ein Verfahren zur Berechnung von Parametern für frequenz- und/oder amplitudenmodulierte elektromagnetische Pulse für adiabatische Transfer vorgänge in einem quantenmechanischen System, wobei die dynamischen Vorgänge des quantenmechanischen Systems mit einem Hamilton-Operator (t) in einem ak tuellen Koordinatensystem beschrieben werden.

Der Magnetismus der Materie beruht auf magnetischen Momenten von Elemen tarteilchen, aus denen die Materie zusammengesetzt ist, wobei die magnetischen Momente mit einem äußeren Magnetfeld in Wechselwirkung treten können. In einem statischen äußeren Magnetfeld führen die magnetischen Momente eine Präzessi onsbewegung durch. Die Präzessionsfrequenz der magnetischen Momente hängt von der magnetischen Feldstärke ab. Wenn nun zusätzlich zum statischen Magnet feld noch ein magnetisches Wechselfeld mit einer Frequenz angelegt wird, die auf die Präzessionsfrequenz der magnetischen Momente abgestimmt ist, so erfolgt eine Resonanzabsorption von Energie aus dem magnetischen Wechselfeld. Auf diesem Prinzip beruhen alle Phänomene, die unter dem Begriff "magnetische Resonanz" subsummiert werden.

Die Ursache der magnetischen Momente der Elementarteilchen ist ihr Gesamtdre himpuls, in dem der Spin als quantenmechanische Größe enthalten ist. Die theoreti sche Behandlung der magnetischen Resonanzen erfolgt daher auf Basis der Quan tenmechanik und Relativitätstheorie. Die Dynamik des quantenmechanischen Sy stems wird durch den sogenannten Hamilton-Operator beschrieben, der in der so genannten Schrödinger-Gleichung enthalten ist. Die Schrödinger-Gleichung ist eine Bewegungsgleichung für den den Zustand eines quantenmechanischen Systems beschreibenden Zustandsvektor. Zur Definition der Schrödinger-Gleichung und des Hamilton-Operators wird auf Lexikon der Physik, Band 3 und 5, Spektrum Akademi scher Verlag, Heidelberg, 2000 verwiesen.

Frequenz- und amplitudenmodulierte elektromagnetische Pulse werden zum adiaba tischen Polarisations- und Kohärenztransfer in der Atom- und Molekülspektroskopie (Laseroptik, magnetische Resonanz) und in bildgebenden Verfahren (Kernspintomo graphie) eingesetzt. Bei den Versuchen tritt zum einen das Problem der stochasti schen Wechselwirkungen zwischen den Elementarteilchen auf, was zu Relaxations prozessen führt, die das System nach einer Auslenkung in den Gleichgewichtszu stand zurück drängen. Zum anderen werden theoretisch feste Werte für die System variablen, wie Übergangsfrequenz, Feldamplitude etc., angenommen, obgleich diese Größen in einer makroskopischen Probe Schwankungen unterworfen sein können, oder ihre Werte nicht hinreichend bekannt sind.

Es werden daher adiabatische Techniken eingesetzt, die vor allem dann vorteilhaft sind, wenn ein spektrokopischer Parameter breitbandig ist (Variation der Stärke ei ner molekularen Kopplung, durch Feldgradienten erzeugte Verteilung von Über gangsfrequenzen), oder wenn eine schwierige Adjustierung vermieden werden soll (Homogenität externer Felder).

Die Pulsformen und Parameter der frequenz- und/oder amplitudenmodulierten elek tromagnetischen Pulse werden herkömmlicherweise empirisch bestimmt. Als Kontrollkriterium wird hierbei verlangt, dass eine erfolgreiche Pulsform, die sogenannte adiabatische Bedingung erfüllt ist. Diese adiabatische Bedingung ist ein Kriterium in Form einer Ungleichung für die sogenannte adiabatische Näherung und kann auf verschiedene Weise ausformuliert werden. Wenn z. B. das Quadrat des Betrages des Quotienten aus maximaler Winkelgeschwindigkeit eines Eigenzustands (Energieni veau) und minimaler Übergangsfrequenz zu einem benachbarten Eigenzustand (Energieniveau) sehr viel kleiner als 1 ist

wird die adiabatische Nä herung als gültig betrachtet. Der Begriff adiabatisch, also Dynamik im Sinne der adiabatischen Näherung, ist von Ehrenfest so definiert, dass die Änderung des Sy stems während der Wirkung des elektromagnetischen Feldes so langsam ist, dass der Wechsel der Energieniveaus vernachlässigbar klein ist. Mit anderen Worten folgt im betrachteten Falle der magnetischen Momente die Magnetisierung der Richtung des magnetischen Feldes, wenn sich die Feldrichtung ausreichend langsam ändert.

Die plötzliche und adiabatische Änderung des Hamilton-Operators ist theoretisch in Albert Messiah, Quantenmechanik, Band 2, 2. Auflage, Walter Der Gruyter, Berlin, New York 1985, Kapitel 17.2, Seiten 223 bis 236 eingehend erläutert.

Die adiabatische Näherung entspricht einer Vereinfachung in der Beschreibung der Dynamik des Systems, indem eine durch die zeitlich veränderliche Trägerfrequenz und Amplitude verursachte Kopplung zwischen einem Strahlungsfeld und dem Sy stem vernachlässigt wird. Die Dynamik ist dann näherungsweise stationär, das heißt es wird angenommen, dass die Trägerfrequenz und Amplitude der Einstrahlung nicht zeitlich veränderlich sondern auf ihren instantanen Werten konstant sind. Die adia batische Bedingung kann für eine gegebene Pulsform stets erfüllt werden, wenn die zeitliche Änderung der Modulationsfunktionen hinreichend klein gemacht wird. Aller dings wird hierdurch die Dauer des angestrebten Polarisations- oder Kohärenz transfers entsprechend verlängert. In B. Shore, The Theory of Coherent Atomic Ex citation, John Wiley, New York 1990, Seite 303 ist offebart, dass Pulsformen aus dem Bedürfnis analytischer Lösungen der Bewegungsgleichung zu erhalten, be stimmt und erst in einem zweiten Schritt durch Verlangsamung der Modulationen und damit des angestrebten Transfers adiabatischer Dynamik realisiert wurde.

Bei anderen Ansätzen wird die adiabatische Bedingung von der Form einer Unglei chung, die ungeeignet zur Berechnung von Modulationsfunktionen ist, unter Zuhilfe nahme weiterer physikalischer Annahmen auf die Form einer Gleichung transfor miert. Diese ist als Bedingungsgleichung in den gesuchten Funktionen zu verstehen und erlaubt deren Bestimmung gegebenenfalls unter Hinzunahme von Nebenbedin gungen. Wiederum muss das zeitliche Veränderungsverhalten der Modulationsfunk tionen empirisch gesetzt werden, um im Gültigkeitsbereich der adiabatischen Nähe rung zu liegen. Dies Ansätze sind zum Beispiel in
C. J. Hardy, W. A. Edelstein und D. Vatis, Journal of Magnetic Resonance 66, 470, 1986;
A. Tannus und M. Garwood, Journal of Magnetic Resonance A 120, 133, 1996; und
D. Rosenfeld und Y. Zur, Magnetic Resonance in Medicin 36,124, 1996
beschrieben.

Typischerweise werden Pulsformen für das Zwei-Niveau-System (Spin-1/2) entwic kelt, in dem keine internen Wechselwirkungen bestehen und die Dynamik aus schließlich durch die aufgeprägte Einstrahlung bestimmt und damit vollständig kon trollierbar ist.

Die herkömmliche Bestimmung von Pulsformen für adiabatische Polarisations- und Kohärenztransfers hat folgende Nachteile:
Die semi-empirischen Methoden berücksichtigen nicht die Relaxationsprozesse, de nen das System unterworfen ist. Ein erfolgreicher adiabatischer Transfer muss in einer kürzeren Zeit ablaufen, als das System signifikant relaxiert. Es wird daher an gestrebt, schnelle Modulationen anzuwenden. Dies steht aber im Widerspruch zur zugrundeliegenden adiabatischen Näherung. Es müssen daher im Rahmen der adiabatischen Bedingung optimale Pulsformen für den schnellstmöglichen Transfer gefunden werden. Die adiabatische Bedingung gibt aber als Ungleichung nur einen relativ breiten Rahmen für diese Aufgabe vor. Es ist somit schwierig, Pulsformen zu bestimmen, welche einen gewünschten adiabatischen Transfer nahezu optimal, das heißt über eine gegebene Parameterbandbreite in kürzester Zeit ausführen. Herköm licherweise versucht man somit die Parameter für frequenz- und/oder amplitudenmo dulierte elektromagnetische Pulse für adiabatische Transfervorgänge durch Experi mente zu optimieren. Dieses aufwendige Vorgehen muß nicht zum Ziel führen, was zu vergleichsweise verringertem Signal-zu-Rausch-Verhältnis führt. Bei hinreichend schnell relaxierenden Systemen muß derzeit auf die Anwendung adiabatischer Techniken verzichtet werden.

Neben den relaxationsbedingten Verlusten treten sogenannte diabatische Verluste als Folge eines imperfekten adiabatischen Transfers auf. Sie werden von der ver nachlässigten Kopplung verursacht, da die tatsächliche Dynamik des Systems von der im Rahmen der adiabatischen Näherung angenommenen theoretischen Dynamik abweicht. Die Größe der diabatischen Verluste wird von der Güte der adiabatischen Bedingung bestimmt. Für schnellere Transfervorgänge steigen die diabatischen Verluste an.

Für inhärent zeitabhängige Systeme, bei denen zeitabhängige Wechselwirkungen auch ohne Einstrahlung auftreten, ist es sehr schwer, überhaupt geeignete Pulsfor men zur Induktion adiabatischer Dynamik zu finden.

Es gibt zudem keine Pulsformen, die speziell für adiabatische Polarisations- und Ko härenztransfers im Mehr-Niveau-Systemen gegebenenfalls mit internen Wechselwir kungen entwickelt wurden. Derartige Prozesse wurden bislang mit Modulationsfunk tionen ausgeführt, die für ein Zwei-Niveau-System bestimmt wurden.

Aufgabe der Erfindung war es, ein Verfahren zur Berechnung von Parametern für frequenz- und/oder amplitudenmodulierte elektromagnetische Pulse für adiabatische Transfervorgänge in einem quantenmechanischen System zu schaffen, mit dem op timale Pulse gewonnen werden, die einen schnellen adiabatischen Transfer ohne wesentliche diabatische Verluste ermöglichen.

Die Aufgabe wird gelöst durch die Schritte:

a) Transformation des Hamilton-Operators (t) von dem aktuellen Koordinaten system in ein folgendes Koordinatensystem zur Beschreibung der Zeitabhän gigkeit der Richtungsänderung des Hamilton-Operators (t);
b) Bestimmen der Selbstkommutation des Hamilton-Operators (t) zur Zeit t und des Hamilton-Operators (t') zur Zeit t' im jeweiligen Koordinatensystem, wo bei ein Differentialgleichungssystem erhalten wird;
c) Berechnen der Parameter aus dem erhaltenen Differentialgleichungssystem.

Erfindungsgemäß beruht das Verfahren auf einer exakten Beschreibung der Sy stemdynamik unter frequenz- und amplitudenmodulierter Einstrahlung, so dass keine Näherungsbetrachtung im Sinne der adiabatischen Näherung erforderlich ist. Die erhaltenen Pulsformen können sogar die konventionelle adiabatische Näherung ver letzen, sind aber durch das zugrundegelegte Verfahren anwendbar. Somit können adiabatische Transfervorgänge in kürzerer Zeit als herkömmlich möglich erreicht werden. Die gewonnenen Pulse können damit auch für relativ schnell relaxierende Systeme angewendet werden.

Der Hamilton-Operator im Zwei-Niveau-System (Spin-1/2) lautet zum Beispiel:

H₀(t) = Δ₀(t)I_z ± ω₀(t)I_x = a₀(t){cosθ₀(t)I_z + sinθ₀(t)I_x}

wobei im folgenden I_z, I_x und I_y die Komponenten des magnetischen Winkelmoments des Spin-1/2 in einer definierten Z-, X,- und Y-Achse des rotierenden Koordinatensy stems (rotating-wave-approximation bei linear polarisierter Einstrahlung) sind. Der Resonanz-Offset Δ₀(t) definiert die interne Energie des Systems in dem rotierenden System und die Feldamplitude ω₀(t) die Kopplungsstärke der beiden Energieni veaus. Eine willkürliche Anfangsphase der Strahlung ist zu Null gesetzt. An Stelle der kartesischen Koordinaten Δ₀(t) und ω₀(t) läßt sich H₀(t) auch mittels Polarkoordina ten effektives Feld

und Drehwinkel

darstellen. Die Zeitabhängigkeit der Richtungsänderung des Hamilton-Operators H₀(t) kann durch Transformation vom aktuellen, dem rotierenden Koordinatensystem, in ein folgendes Koordinatensystem beschrieben werden, dessen Z-Achse in jedem Fall entlang des effektiven Feldes im rotierenden Koordinatensystem zeigt. Im neuen Koordinatensystem, das den Index 1 trägt, lautet der Hamilton-Operator

H₁(t) = a₀(t)I_z - ₀(t)I_y

mit

Das Produkt ₀(t)I_y ist das fiktive Feld als Winkelmoment, das die Reorientierung des effektiven Feldes im vorhergehenden, dem rotierenden Koor dinatensystem erzeugt.

Im Gegensatz zur herkömmlichen adiabatischen Näherung wird dieses fiktive Feld nicht mehr vernachlässigt. Es wird nunmehr die Selbstkommutation des Hamilton- Operators (t) zur Zeit t und (t') zur Zeit t', als Funktion

verwendet und aus dieser Bedingung, die im folgenden als exakte adiabatische Be dingung bezeichnet wird, ein Differentialgleichungssystem berechnet. Aus dem er haltenen Differentialgleichungssystem kann dann in bekannter Weise durch Lösen desselben die gewünschten Parameter bestimmt werden.

Die Schritte a) und b) werden vorzugsweise iterativ durchgeführt, wobei die Trans formation von dem aktuellen Koordinatensystem in ein folgendes Koordinatensystem um den Drehwinkel θ des Vektoranteils des Hamilton-Operators (t) in einer defi nierten Z-Achse des aktuellen Koordinatensystems erfolgt.

Auf diese Weise werden eine Vielzahl von Differentialgleichungen gewonnen. Die Selbstkommutation kann durch Berechnung der Matrixgleichung

bestimmt werden, wobei i die ganzzahlige fortlaufende Nummer des entsprechenden Koordinatensystems, t die Zeit und t' eine von t verschiedene Zeit mit t und t' < 0 ist.

Dies ist äquivalent zu der Bedingung _i-1 = tan(θ_i)a_i-1(t), wobei θ_i als Konstante angenommen wird. Die Bestimmung der Selbstkommutation erfolgt somit durch An nahme eines konstanten Verhältnisses der Drehwinkelgeschwindigkeit zur Größe des Vektoranteils des Hamilton-Operators (t) im vorhergehenden, dem (i - 1)-ten Koordinatensystems über die Zeit t nach der Bedingung

Die Kon stante ist der Tangens des Drehwinkels θ im aktuellen, dem i-ten Koordinatensy stem. Das erfindungsgemäße Verfahren beruht auf der Erkenntnis, dass analog der oben beschriebenen Situation in dem rotierenden Koordinatensystem der Hamilton- Operator _i(t) ein effektives Feld im i-ten Koordinatensystem mit der Amplitude

und einem Versatzwinkel θ_i relativ zu der Z-Achse des i- ten Koordinatensystems definiert. Wenn frequenz- und amplitudenmodulierte Funk tionen Δ₀(t) und ω₀(t) (der Index i numeriert die Lösung in Bezug auf die Kommuta torbedingung im i-ten Koordinatensystem) jeweils so bestimmt und angewandt wer den, dass die Selbstkommutationsbedingung _i-1 = tan(θ_i)a_i-1(t) mit θ_i = konstant erfüllt ist, können a_i-1(t) und _i-1(t) variieren, aber ihr Verhältnis tanθ_i und somit ihr Winkel θ_i ist zeitinvariant. Das System ist somit relativ zum i-ten Koordinatensystem "spin-locked", wenn es anfänglich in einem Eigenzustand von H_i(0) war. Unter dem Begriff "spin-locking" ist eine Stabilisierung der ausgelenkten Kernmagnetisierung durch andauernde Einstrahlung eines elektromagnetischen Feldes zu verstehen. Die so beeinflusste Magnetisierung nimmt nicht mit der normalen "Spin-Relaxationszeit", sondern mit einer charakteristischen Zeitkonstanten ab.

Schnelle adiabatische Transfervorgänge mit geringen diabatischen Verlusten können erreicht werden, wenn für jedes Koordinatensystem der Drehwinkel θ_j für θ_j = 0, 1, . . ., i-1 des Hamilton-Operators j monoton von 0 bis zum einen Maximalwert θj_max über die Zeit ansteigt. Der Index j gibt hierbei die ganzzahlige fortlaufende Nummer des jeweiligen Koordinatensystems an.

Hierbei wird die Bewegung des effektiven Feldes in einem Koordinatensystem durch Transformation in das folgende Koordinatensystem beschrieben. Die Selbstkommu tationsbedingung muss dann für das zuletzt betrachtete (i-te) Koordinatensystem er füllt sein.

Insbesondere für den Fall, dass das erhaltene Differentialgleichungssystem unterbe stimmt ist, kann das Differentialgleichungssystem mit mindestens einer Nebenbedin gung für das betrachtete physikalische System gelöst werden. Derartige Nebenbe dingungen sind hinreichend bekannt und werden bereits zur Ermittlung von Pulsfor men nach der konventionellen adiabatischen Bedingung eingesetzt. Eine Nebenbe dingung kann zum Beispiel ein definierter Weg der Spitze des Hamilton-Operators (t) in einem festgelegten Koordinatensystem sein, wobei der Weg zum Beispiel kreisförmig, elipsenförmig oder rechteckförmig ist.

Die Nebenbedingungen können z. B. holonom sein, d. h. als Gleichungen in den ge suchten Variablen des Systems und der Zeit vorliegen. Sie können aber auch nicht- holonom sein und ebenso wie die Kommutatorbedingung ein Differentialgleichungs system darstellen.

Die Art der verwendeten Koordinaten kann in Abhängigkeit von den Nebenbedingun gen für das betrachtete System ausgewählt werden. So können zum Beispiel Polar koordinaten, elliptische Koordinaten oder kartesische Koordinaten verwendet wer den.

Das erhaltene Differentialgleichungssystem kann als Anfangswertproblem oder als Randwertproblem gelöst werden, um die Parameter zu berechnen. Bei der Trans formation des Hamilton-Operators _i-1(t) vom aktuellen, dem (i - 1)-ten Koordinatensy stem in das folgende, das i-te Koordinatensystem tritt ein fester Versatzwinkel θ_i auf. Der Hamilton-Operator _i-1(t) ist in einer definierten Z-Achse des (i - 1)-ten Koordina tensystems ausgerichtet. Die Z-Achse des folgenden, i-ten Koordinatensystems wird nach Drehung um den Winkel θ_i-1 in Richtung des Vektors a_i-1 angenommen. Die Drehung erfolgt in der durch die Z- und X- oder Y-Achse des (i - 1)-ten Koordinatensy stems aufgespannten Ebene, so dass die verbleibende Y- oder X-Achse für das (i - 1)- te und i-te Koordinatensystem identisch ist. Der Vektor der Drehwinkelgeschwindig keit _i-1, weist in diese Richtung. Die Richtung des resultierenden Hamilton- Operators _i(t) = a_i-1(t)I_z + _i-1(t)I_x,y ergibt sich damit aus den Komponenten a_i-1(t) in Z-Richtung und _i-1(t) in Y- oder X-Richtung. Der resultierende Hamilton-Operator _i(t) weist in den Raum des i-ten Koordinatensystems hinein und ist relativ zu dem Vektor a_i-1(t) in Z-Achse des i-ten Koordinatensystems um den Winkel θ_i versetzt.

Es sind Systembedingungen denkbar, in denen es vorteilhaft ist, eine Transformation des Koordinatensystems um den aus der Transformation resultierenden Versatzwin kel θ_i zwischen der definierten Z-Achse des i-ten Koordinatensystems und dem Ha milton-Operator _i(t) in diesem Koordinatensystem durchzuführen, um den Einfluss des Versatzwinkels θ_i zu eliminieren.

Das Verfahren kann vorteilhaft auch zur Berechnung der Parameter der Zeemanfre quenz oder der Parameter eines zugeschalteten linearen Feldgradienten zur Be stimmung der Zeemanfrequenz eingesetzt werden.

Das Verfahren kann auch zur Berechnung der Parameter für frequenz- und/oder am plitudenmodulierte elektromagnetische Impulse mehrerer Einstrahlquellen verwendet werden.

Das Verfahren kann auch zur Berechnung der Parameter einer mechanischen Dre hung einer betrachteten Probe, wie z. B. die Orientierung der Drehung und die Rota tionsgeschwindigkeit verwendet werden.

Die Erfindung wird nachfolgend anhand der beigefügten Zeichnungen näher erläu tert. Es zeigen:

Fig. 1 Prinzipskizze eines Resonanzspektrometers für adiabatische Transfer vorgänge;

Fig. 2 Zeigerdiagramm eines um den Hamilton-Operator rotierenden ma gnetischen Moments ;

Fig. 3 Zeigerdiagramm eines an dem Hamilton-Operator angeschmiegten rotierenden magnetischen Moments ;

Fig. 4 Zeigerdiagramm des um den Winkel θ₀ wandernden Hamilton- Operators;

Fig. 5 Diagramm des Hamilton-Operators im 0-ten Koordinatensystem;

Fig. 6 Diagramm des transformierten Hamilton-Operators im 1-ten Koordina tensystem;

Fig. 7 Diagramm des transformierten Hamilton-Operators im 2-ten Koordina tensystem;

Fig. 8 Diagramm des transformierten Hamilton-Operators im 3-ten Koordina tensystem;

Fig. 9 Trajektorie des Hamilton-Operators und des maßgeblichen Moments auf einem Oktant der Einheitskugel des 0-ten Koordinatensystems für eine Modulationsfunktion 1-ter Ordnung;

Fig. 10 Trajektorie des Hamilton-Operators und des magnetischen Moments auf einem Oktant der Einheitskugel des 0-ten Koordinatensystems für eine Modulationsfunktion 2-ter Ordnung;

Fig. 11 Trajektorie des Hamilton-Operators und des magnetischen Moments auf einem Oktant der Einheitskugel des 0-ten Koordinatensystems für eine Modulationsfunktion 3-ter Ordnung;

Fig. 12 Kurve der bestimmten Frequenz- und Amplitudenmodulationsfunktionen 1-ter bis 3-ter Ordnung über die Zeit.

Zum Verständnis des erfindungsgemäßen Verfahrens wird zunächst das quanten mechanische System erläutert, in dem die adiabatischen Transfervorgänge durch geführt werden.

Ein elektrischer Kreisstrom I erzeugt ein magnetisches Dipolfeld mit einem magneti schen Dipolmoment µ = I × A, wobei A als Vektor senkrecht auf der vom Kreisstrom I aufgespannten Fläche definiert ist. In einem homogenen Magnetfeld mit der magne tischen Induktion B erfährt der magnetische Dipol ein Drehmoment M = µ × B, das Null ist, wenn das Dipolmoment µ parallel zu der magnetischen Induktion B ausge richtet ist, das heißt wenn der Kreisstrom I senkrecht zu der magnetischen Induktion B fließt. Zur Verdrehung des Dipolmoments um einen Winkel α gegen die magneti sche Induktion B ist Energieaufwand erforderlich. Hierbei muss gemäß der Gesetze der Quantenmechanik berücksichtigt werden, dass nur diskrete Energiezustände (Orientierungen) möglich sind.

Bei dem Bahn-, Spin- und Kernmagnetismus wird das um den Kern mit der Ge schwindigkeit v und dem Radius r kreisende geladene Teilchen (Elektron, Proton, Neutron) als kreisförmiger elektrischer Strom I betrachtet. Die Stromstärke I ergibt sich hierbei aus der Ladung und der Umlaufzeit. Analog zu dem magnetischen Di polmoment der Bahnbewegung eines Teilchens kann das magnetische Dipolmoment des Teilchen proportional zum Eigendrehimpuls (Spin) angenommen werden. Der Spin des Teilchens ergibt sich aus der Lösung der relativistischen Dirac-Gleichung.

Aufgrund der Quantenmechanik kann der Bahndrehimpuls nur diskrete Werte an nehmen. Dies gilt auch für den Eigendrehimpuls oder Spins des Teilchens. Die Bahndrehimpulsquantenzahl eines Teilchens tritt nur ganzzahlig auf. Die Spinquan tenzahl hingegen kann halbzahlige Werte annehmen. Elektron, Proton und Neutron sind Spin-1/2 Teilchen. Deshalb sind nur zwei Spineinstellungen bezüglich der Z- Richtung möglich, wobei die Z-Achse als die Achse definiert ist, um den die Eigen drehung erfolgt. Der Eigendrehimpuls präzediert somit um die Z-Achse. Mit dem Drehimpuls ist ein magnetisches Dipolmoment µ verbunden, das ebenfalls um diese Z-Achse präzediert und gequantelt ist.

Wenn sich das magnetische Dipolmoment in einem Magnetfeld mit einer magneti schen Induktion B_z befindet, so ist damit eine Vorzugsrichtung festgelegt. Relativ zu der magnetischen Induktion B_z kann sich das magnetische Dipolmoment nur in be stimmten Werten einstellen, da nur diskrete Energiezustände (Orientierungen) mög lich sind.

Wenn nun senkrecht zu dem induzierten Magnetfeld ein magnetisches Wechselfeld mit einer Resonanzfrequenz eingestrahlt wird, so erfolgt ein Übergang zwischen den Energieniveaus der Elementarteilchen und ein Umklappen des magnetischen Mo ments. Je nach Feldstärke B_z werden hierfür bei der Elektronenspinresonanz Mikro wellen im Gigaherzbereich und bei der Kernspinresonanz Radiowellen im Bereich von 60 MHz bis aktuell 1 GHz eingesetzt. Entscheidend für den jeweiligen Versuch ist nicht nur die Frequenz, sondern die Pulsform und bei mehrfacher Einstrahlung ist auch die relative Phase der Pulse wichtig.

In der Fig. 1 ist der prinzipielle Aufbau eines Resonanzspektrometers dargestellt. Mit einer Magnetanordnung 1 wird ein homogenes und konstantes Magnetfeld B_z aufgebracht, so dass eine Vorzugsrichtung festgelegt ist. In das Magnetfeld wird eine Probe 2 eingebracht. Senkrecht zu dem Magnetfeld B_z wird mit Radiofrequenzspulen 3 frequenz- und/oder amplitudenmodulierte elektromagnetische Pulse zur Anregung der Probe 2 eingebracht und ein Übergang zwischen den Energieniveaus der be trachteten Elementarteilchen erzwungen. Die Resonanzsignale werden in einer Auswerteeinheit 4 registriert und mit Hilfe einer Fourier-Transformation rekonstruiert. Durch Aufbringen einer ortsabhängigen Resonanzfrequenz (linearer Feldgradient durch Gradientenspulen erzeugt) kann eine ortsabhängige Messung durch Fre quenz- oder Phasenkodierung erfolgen. Dies wird vor allen Dingen für die medizini sche Kernspintomographie ausgenutzt.

Die aufgebrachten Pulse werden in einem Pulsgenerator 5 erzeugt und sind so be messen, dass diabatische Verluste so gut wie möglich vermieden werden. Die Transfervorgänge sollen somit adiabatisch ablaufen. Die Adiabatenhypothese in der Quantentheorie sagt aus, dass ein System, das sich anfangs in einem bestimmten stationären quantenmechanischen Zustand befindet, in diesem vebleibt, falls die Än derung der Parameter des Systems, wie zum Beispiel die äußeren Feldstärken, hin reichend langsam geschieht. Die Adiabatenhypothese trifft somit eine Aussage über die Zeitabhängigkeit des Hamilton-Operators (t) für den Grenzfall großer Zeiten. Zur Vermeidung diabatischer Verluste ist es daher erwünscht, dass sich die Rich tungsänderung (Drehung) des Hamilton-Operators (t) um den Winkel θ möglichst langsam ist. Das heißt, dass die Drehwinkelgeschwindigkeit gegen Null geht. Dies ist in der Praxis aber nicht durchführbar, da die Versuche einerseits in einer endlichen Zeit ablaufen sollen. Andererseits treten Relaxationsprozesse auf, so dass das System in den ursprünglichen Gleichgewichtszustand zurückkehrt. Der adiabati sche Transfervorgang muss daher schneller ablaufen, als die Relaxationszeit be trägt.

Das Verfahren wird anhand eines Zwei-Niveau-Systems weiter erläutert. Der Hamil ton-Operator beträgt hierbei

H₀(t) = Δ₀(t)I_z + ω₀(t)I_x,

wobei I_z, I_x und I_y die kartesischen Komponenten des Spin-1/2-Drehmoments sind. H₀(t) ist in einem rotierenden Koordinatensystem, das sich mit der instantanen Trä gerfrequenz der Einstrahlung um die Richtung des aufgebrachten äußeren konstan ten Zeemanfeldes, in der auch die Z-Achse des Koordinatensystems liegt, dreht.

Der Resonanz-Offset Δ₀(t) definiert die interne Energie des Systems und die Fel damplitude ω₀(t), die Kopplung des Zwei-Niveau-Systems an das Strahlungsfeld. Die feste Anfangsphase der Stahlung ist willkürlich zu Null gesetzt. Bei Verwendung eines linear polarisierten Feldes ist in H₀(t) bereits die sogenannte "rotating wave ap proximation" berücksichtigt (F. Block u. A. J. Siegert, Physical Review 57, 522, 1940).

Wie aus der Fig. 2 deutlich wird, rotiert der Vektor des magnetischen Momentes um die Achse des Hamilton-Operators ₀(t), so dass ein Kegel aufgespannt wird, für den Fall, dass H₀(t) eine feste Richtung hat. Von Interesse ist, wenn der Winkel zwi schen dem magnetischen Moment und dem Hamilton-Operator ₀(t) möglichst klein ist, das heißt, wenn sich der Vektor des magnetischen Momentes an den Hamilton-Operator ₀(t) anschmiegt. Dies wird "spin-locking" genannt. Dieser Zu stand ist in der Fig. 3 skizziert. Der Hamilton-Operator kann auch definiert werden als

H₀(t) = a₀(t){cosθ₀{cosθ₀(t)I_z + sinθ₀(t)I_x}}.

Die Variable a₀(t) ist hierbei die Länge bzw. Amplitude des Hamilton-Operators ₀(t) und ist definiert als

Der Drehwinkel θ₀(t) ist der Kippwinkel des Hamilton-Operators relativ zur Z-Achse des rotierenden Koordinatensystems und definiert als

Für einen adiabatischen Transfervorgang ist erwünscht, dass das magnetische Mo ment dem Hamilton-Operator (t) folgt, wenn dieser seinen Winkel θ₀ ändert. Dies ist in der Fig. 4 skizziert. Die Fig. 5 lässt den Hamilton-Operator ₀(t) mit der Amplitude a₀ im rotierenden Koordinatensystem erkennen. Die Amplitude a₀ be stimmt sich hierbei aus dem Resonanz-Offset Δ₀ und der Feldamplitude ω₀. Durch zeitliche Variation beider Größen, ändern sich Länge und Richtung (a₀(t) und θ₀(t)) von H₀(t). Letztere kann durch eine Transformation in ein ersten Koordinatensystem, dessen Z-Achse stets entlang H₀(t) liegt, beschrieben werden. Das erste und das rotierende Koordinatensystem haben eine gemeinsame Y-Achse. Der Hamilton- Operator im ersten Koordinatensystem lautet Operator im ersten Koordinatensystem lautet

mit

Der Term ₀(t)I_y, genannt "fiktives Feld", ist das Drehmoment, welches die Richtungsänderung von ₀(t) im (ursprünglichen) rotierenden Koordina tensystem erzeugt.

Die Dynamik des Zwei-Niveau-Systems erfüllt die adiabatische Näherung und heißt dann auch adiabatisch, wenn der Term ₀(t)I_y gegenüber dem Term a₀(t)I_z in ₁(t) vernachlässigt werden darf.

Dementsprechend werden die Parameter für frequenz- und amplitudenmodulierte elektromagnetische Pulse, mit denen die adiabatische Näherung erfüllt sein soll, her kömmicherweise nach der adiabatischen Bedingung bzw. Ungleichung

berechnet, wobei der Quotient

der adiabatische Faktor Q(t), ein Gütemaß für den verwendeten Puls ist (in der Lite ratur wird auch

als adiabatischer Faktor bezeichnet).

Die Erfindung beruht auf der Feststellung, dass die gesuchten Modulationsfunktionen das System in einem Eigenzustand halten müssen (anschmiegen an Hamilton- Operator), obgleich der Hamilton-Operator seine Richtung im rotierenden Koordina tensystem andert. Das kann erreicht werden, wenn der Hamilton-Operator H₁(t) im ersten Koordinatensystem zu keiner Zeit als Störung wirkt (adiabatischer Transfer vorgang), wenn also die Selbstkommutationsbedingung des Hamilton-Operators

[H₁(t), H₁(t')] = H₁(t)H₁(t^') - H₁(t')H₁(t) = 0, für ∀t, t' < 0

erfüllt ist. Dies ist äquivalent zu der Bedingung

₀(t) = tan(θ₁)a₀(t), mit θ₁ = konstant,

wobei θ₁ der Winkel des Hamilton-Operators relativ zur Z-Achse des ersten Koordi natensystems ist.

Das Verfahren zur Berechnung der Parameter der frequenz- und amplitudenmodu lierten elektromagnetischen Pulse basiert somit auf der exakten adiabatischen Be dingung.

Im Unterschied zum herkömmlichen Verfahren erfolgt die Berechnung der Parameter somit nicht anhand von Randbedingungen, die durch die adiabatische Ungleichung unscharf festgelegt sind, sondern auf der Basis der Betrachtung des vollständigen physikalischen Systems.

Die Dynamik des Systems wird durch Transformation des Hamilton-Operators von einem aktuellen in ein folgendes Koordinatensystem berücksichtigt. Hierdurch wird die Zeitabhängigkeit der Richtungsänderung des Hamilton-Operators (t) beschrie ben.

Anhand der Fig. 5 bis 8 wird die Transformation der Koordinatensysteme in Ab hängigkeit von den Drehwinkeln θ einsichtig, wobei die Indizes i = 0, 1, 2 und 3 die jeweilige ganzzahlige fortlaufende Numerierung des Koordinatensystems angeben. In der Beschreibung wird durchgängig der Index i als Variable zur Nummer des an gesprochenen Koordinatensystems verwendet. Das zuvor beschriebene rotierende Koordinatensystem, das Ausgangspunkt der Betrachtung ist, ist somit das 0-te Koor dinatensystem.

In dem rotierenden, oder nullten Koordinatensystem wird der Hamilton-Operator be schrieben als:

H₀(t) = Δ(t)I_z + ω₀(t)I_x.

Die Drehung um den Winkel θ₀ kann als Rotation des Koordinatensystems bzw. als Transformation des Hamilton-Operators aus dem nullten Koordinatensystem in das folgende Koordinatensystem beschrieben werden, wie in der Fig. 6 skizziert ist. Die neue Z-Achse des folgenden ersten Koordinatensystems erstreckt sich hierbei in Richtung der Amplitude a₀. Der transformierte Hamilton-Operator H₁(t) ist dann durch die Gleichung

H₁(t) = a₀(t)I_z - ₀(t)I_y

darstellbar. Die Drehgeschwindigkeit ₀ ist ein Vektor in Y-Richtung, da die Drehung in der Z-X-Ebene des ursprünglichen Koordinatensystems erfolgt. Es ergibt sich ein Versatzwinkel θ₁ des resultierenden Hamilton-Operators H₁(t) relativ zur Z-Achse Z₁ des ersten Koordinatensystems.

Nunmehr wird gefordert, dass der Hamilton-Operator H₁(t) im ersten Koordinatensy stem zu jeder Zeit selbstkommutierend ist, das heißt die Gleichung

[H₁(t), H₁(t')] = 0, für ∀t, t' ≧ 0

erfüllt, oder äquivalent dazu.

₀(t) = tan(θ₁)a₀(t), mit θ₁ = konstant.

Das ist eine Differentialgleichung in den gesuchten Modulationsfunktionen, so dass sich als Lösung die Parameter Δ₁(t) und ω₁(t) für einen frequenz- und amplituden modulierten elektromagnetischen Puls ergeben, mit dem der Transfervorgang adia batisch ist. Die Lösungsfunktionen tragen den Index 1, weil sie aus der Kommutator bedingung im 1-ten Koordinatensystem bestimmt werden. Für kleine Drehwinkel 8, geht die Drehwinkelgeschwindigkeit, dass heißt die Ableitung gegen Null, so dass die Modifizierung des Quantenstatus für finite Feldamplituden relativ lang dauern. Für größere Drehwinkel θ₁ erfolgt die Umorientierung schneller, was zu kürzeren Puls längen führt. Jedoch wird nachteilig der Winkel des Präzessionskegels erhöht, so dass der magnetische Momentenvektor nicht mehr optimal an den Hamilton- Operator angeschmiegt ist. Dies ist der Fall, wenn der Anfangszustand des Sy stems, oder die Magnetisierung zur Zeit t = 0 entlang H₀(0) im 0-ten Koordinaten system steht, was für die meisten Experimente der Fall ist.

Daher ist der Zustand niemals nahe dem Eigenzustand des Hamilton-Operators H₁(t) im ersten Koordinatensystem, so dass die adiabatische Dynamik gehemmt ist und große diabatische Verluste erwartet werden.

Jedoch können schnelle adiabatische Transfervorgänge mit geringen Verlusten er zielt werden, wenn der Winkel θ₁(t) variabel ist und nicht konstant. Hierbei wird ein adiabatisches Anwachsen des Drehwinkels θ₁(t) von Null auf einen Maximalwert θ_1max angenommen, so dass der Drehwinkel θ₁ monoton von anfänglich θ₁(0) = 0 auf den Endwert θ₁(τ) = θ_1max < 0 ansteigt, während das effektive Feld im 0-ten Koordi natensystem sich von der Z-Achse zur X-Achse wie vorstehend mit Bezug auf die Fig. 5 beschrieben, in der Zeit τ (Pulslänge) bewegt. Da die Geschwindigkeit der Modulationen praktisch begrenzt ist, muss der Drehwinkel

Jetzt ist das effektive Feld im ersten Koordinatensystem ebenfalls exakt entlang der Magnetisie rung am Anfang des Pulses ausgerichtet. Wenn eine zeitabhängige Hamilton- Funktion so festgelegt werden kann, dass der Anstieg des Drehwinkels θ₁(t) adiaba tisch ist, können große resultierende Drehwinkel θ₁(τ) ohne merkliche diabatische Verluste realsiert werden. Bis zu diesem Endzustand kann die Bewegung des Ha milton-Operators bzw. effektiven Feldes im ersten Koordinatensystems durch Trans formation in ein zweites Koordinatensystem analog zu der vorher durchgeführten Transformation beschrieben werden. Auch hier muss wieder die adiabatische Be dinungen gelten, die durch die Selbstkommutierung des Hamilton-Operators H₂(t) im zweiten Koordinatensystem ausgedrückt wird. Das spin-locking (Selbstkommutie rung) bei dem Hamilton-Operator H₂(t) = α₁(t)I_z - ₁(t)I_x mit geeignetem Modulati onsfunktionen Δ₂(t) und ω₂(t) impliziert einen festen Drehwinkel θ₂ zwischen dem effektiven Feld und der Z-Achse des zweiten Koordinatensystems. Die Magnetisie rung mit einer Komponente ∞I_z cosθ_z entlang des wirksamen Feldes des zweiten Koordinatensystems und einer orthogonalen Komponente ∞ - I_xs sinθ₂ ist wiederum nicht im Eigenzustand des Hamilton-Operators H₂(0) zur Zeit t = 0.

Jedoch können die Modulationsfunktionen des zweiten Koordinatensystems mit 0 ≦ θ₁(t) ≦ θ₁(τ) den Modulationsfunktionen des ersten Koordinatensystems mit θ₁ = konstant = θ₁(τ) bei der Erzielung eines adiabatischen Transfers überlegen sein, falls θ₂ < θ₁, da die Anforderungen an einen anfänglichen Eigenzustand in einem hö heren Maße erfüllt und die Verluste reduziert sind. Die Annahme von θ₂ < θ₁ ist im mer erfüllt, da das effektive Feld im ersten Koordinatensystem sich von θ₁(0) = 0 zu

reorientiert, während das effektive Feld im rotierenden oder 0-ten Koordi natensystem von θ₀(0) = 0 auf

zur gleichen Zeit schwenkt und daher

ist. Da

ist, ist tanθ₂ ≦ tanθ₁(τ) und damit θ₂ < θ₁(τ) = θ₁. Da die Annahme von π/2 als Maximalwert nicht notwendig ist und klei nere Werte ebenfalls angenommen werden können, gilt das Vorgesagte auch für ei nen Drehwinkel θ₃ = konstant < π/2.

Damit wird deutlich, dass das Verfahren mit Transformation in nachfolgende Koordi natensysteme interativ durchgeführt werden kann. Auf diese Weise können Modula tionsfunktionen n-Ordnung berechnet werden, die hinreichend verlustlose adiabati sche Transfervorgänge im rotierenden Koordinatensystem unter geeigneten An fangsbedingungen, wie zum Beispiel der Eigenzustand des Hamilton-Operators H_n(0), berechnet werden. Die Transformation von einem nullten in ein drittes Koordi natensystem ist in den Fig. 5 bis 8 skizziert. Die Gleichungssysteme ergeben sich hierbei für ein n-tes-Koordinatensystem mit n = 0, 1, 2. . . als ganze Zahl wie folgt:
Hamilton-Operator: H_n(t) = α_n-1(t)I_z + θ_n-1()I_x,y
Selbstkommutierung: [H_n(t), H_n(t')] = 0, für ∀t, t' ≧ 0
spin-locking: _n-1(t) = tan{θ_n}α_n-1(t), für θ_n = konstant

Für das Iterationsverfahren wird das Verhältnis der Drehwinkel angenommen als:

θ_n < θ_n-1max < . . . . < θ_1max < π/2.

Die Differentialgleichungen des spin-lockings stellen ein Differentialgleichungssystem dar, mit dessen Hilfe die Parameter des optimierten Modulationssignals berechnet werden können. Sie können als Anfangswert- oder Randwertproblem je nach be trachtetem System und Nebenbedingung gelöst werden.

Da sich die Amplitude des Hamilton-Operators nach der Funktion im n-ten Koordi natensystem

ergibt, wie geometrisch aus der Fig. 6 deutlich wird, kann für einen Puls nter- Ordnung folgendes Differentialgleichungssystem zur Bestimmung der Modulationen Δ_n(t) und ω_n(t) (der Index n bezieht sich auf die Lösung des Kommutators im n-ten Koordinatensystem) als Parameter aufgestellt werden:

Es handelt sich um n + 1 gekoppelte nicht-lineare Differentialgleichungen in den Grö ßen θ₀(t), θ₁(t), θ₂(t). . ., θ_n-1(t), θ_n, wobei letztere trivialerweise als Konstante in die Lö sung eingeht.

Das Gleichungssystem kann nun gelöst werden. Sofern es noch nicht ausreichend bestimmt ist, kann mindestens eine freie Nebenbedingung berücksichtigt werden, wie zum Beispiel

α₀ = α₀(t); α₀ = α₀(θ₀(t), θ₁(t), . . ., θ_n,t).

Als Nebenbedingung kann zum Beispiel auch der von der Spitze des Hamilton- Operators im nullten Koordinatensystem, das heißt der vom Vektor a₀ beschriebene Weg verwendet werden. Dieser Weg ist die Trajektorie des Hamilton-Operators α₀ = α₀(θ₀), das heißt die im nullten Koordinatensystem von dem Hamilton-Operator des Systems beschriebene Kurve. Diese Kurve kann zum Beispiel halbkreisfömig, ellipsenförmig oder rechteckförmig sein. Als Nebenbedingung kann eine adiabatische Dynamik aus dem thermischen Gleichgewicht (Magnetisierung entlang Z-Achse des O-ten Koordinatensystems) angenommen werden, indem θ₀(0) = 0 gesetzt wird. Der Weg kann hierbei zum Beispiel als Halbellipse nach der Formel

für die Trajektorie im definierten nullten Koordinatensystem beschrieben werden.

Die beiden unbekannten Parameter Δ_n(t) und ω_n(t) können aus den ermittelten Größen θ₀(t) und α₀(t) durch die bereits benannten Beziehungen

a₀(t) = (Δ_n(t)² + ω_n(t)²)^1/2 und

berechnet werden. Schlüsselelement des erfindungsgemäßen Verfahrens ist die selbstkommutierende Eigenschaft des Hamilton-Operators in dem n-ten- Koordinatensystem. Die Selbstkommutierung stellt somit eine Hauptbedingung dar. Die Nebenbedingungen können relativ frei entsprechend dem jeweils betrachteten System in bekannter Weise gewählt werden.

An Stelle der Winkelvariablen θ_i(t) kann das Gleichungssystem in der gesuchten Funktion Δ_n(t), ω_n(t) ausgedrückt werden.

Die Bedingung F(Δ_n(t), ω_n(t), t) = 0 kann dann zur Eliminierung entweder von Δ_n(t) oder ω_n(t) und den entsprechenden Ableitungen verwendet werden.

Das Verfahren wird nachfolgend anhand der Fig. 9 bis 11 anhand eines konkre ten Ausführungsbeispiels nochmals dargestellt. Die Pulslänge ist hierbei auf τ = 100 µs gesetzt. Dies heißt, dass das effektive Feld im rotierenden oder 0-ten Koordina tensystem von der Z-Achse zur X-Achse

sich in der Zeit von 100 µs bewegt. Um eine Ausrichtung in Z-Achse zum Zeitpunkt t = 0 zu erreichen, wird die Nebenbedingung verwendet, dass das wirksame Feld im rotierenden Koordinatensy stem eine Viertel Ellipse auf ihrer Trajektorie von der Z-Achse zur X-Achse nach der Bedingung

wobei A = 25 kHz und B = 8 kHz als größte und kleinste Achsen der Ellipse sind. Die Achse B ist die Amplitudenspitze des zum Zeit punkt t = τ aufgebrachten Pulses. Der Ausgangszustand des Systems ist thermisches Gleichgewicht (Magnetisierung entlang Z-Achse des 0-ten Koordinatensystems).

Das entsprechende Differentialgleichungssystem für die Modulationsfunktionen er ster, zweiter und dritter Ordnung sind numerisch mit einem Runge-Kutta-Algorithmus entsprechend der Fig. 12 integriert. Die Reorientierung des entsprechenden Hamilton-Operators in der Zeit, als auch die Trajektorie des Zustands sind auf der Ein heitsspähre des rotierenden oder 0-ten Koordinatensystems dargestellt. Für τ = 100 µs und die gewählte Nebenbedingung beträgt der konstante Drehwinkel des Pul ses erster Ordnung im ersten Koordinatensystem θ₁ = 12,4°. Wie in der Fig. 9 ge zeigt, treten große Abweichungen der Zustandstrajektorie aus dem Pfad des Hamil ton-Operators auf. Dies zeigt eine nicht adiabatische Dynamik. Zur Berechnung der Modulationsfunktionen zweiter Ordnung kann der Drehwinkel des ersten Koordina tensystems sich während der Zeit ändern. Für einen konstanten Drehwinkel θ₂ = 2,2° und einen monotonen Anstieg 0 ≦ θ₁(t) ≦ θ₁(τ) = 20° wird die Reorientierung des effektiven Feldes im ersten Koordinatensystems bei einer Rotation um π/2 des effektiven Feldes im 0-ten Koordinatensystem bei τ = 100 µs erreicht. Eine signifi kante Verbesserung des adiabatischen Transfervorgangs kann beobachtet werden, wenn Modulationen im zweiten Koordinatensystem vorgenommen werden, da die Zustandstrajektorie nahezu identisch mit dem Weg des Hamilton-Operators ist, wie aus der Fig. 11 erkennbar. Modulationspulse dritter Ordnung wurden für einen kon stanten Drehwinkel von θ₃ = 0,5° berechnet, wobei 0 ≦ θ₂(t) ≦ θ₂(τ) = 5,2, 0 ≦ θ₁(t) ≦ θ₁(τ) = 26,6° und 0 ≦ θ₀(τ) ≦ θ₀(τ) = 90° für τ = 100 µs angenommen wird. Damit führen Modulationsfunktionen bereits nach 3 Iterationsschritten zu nahezu op timalen adiabatischen Transfervorgängen, die hinreichend schnell (τ = 100 µs) sind.

Die Fig. 12 zeigt die in den oben genannten Beispielen gewonnenen Modulations funktionen, wobei die von dem 25 kHz-Wert abfallende Kurven den Resonanz-Offset, das heißt die tatsächliche Frequenzmodulationsfunktion und die von 0 kHz anstei gende Kurven die Amplitudenmodulation über die Zeit darstellen.

Die fein gestrichelten Kurven repräsentieren eine Modulationsfunktion erster Ord nung. Das steile Ansteigen der Resonanz-Offet-Funktion ist als großer Öffnungswin kel für den rotierenden magnetischen Momentenvektor zu interpretieren.

Die lang gestrichelten Kurven sind Modulationsfunktionen zweiter Ordnung. Optimale Ergebnisse lassen sich bereits mit einer Modulationsfunktion dritter Ordnung erzie len, wie sie als durchgezogene Linie skizziert ist.

Dieses theoretisch beschriebene Verfahren kann zur Bestimmung von Pulsformen in Zwei- oder Mehrniveausystemen verwendet werden und setzt eine kohärente Strah lungsquelle mit veränderbarer Amplitude und Trägerfrequenz, wie zum Beispiel Ra diofrequenzwellen oder Laser voraus. Dies eröffnet eine Vielzahl von Anwendungen in der magnetischen Resonanz und kohärenten Optik. Das Verfahren ist daher vor zugsweise in der Medizintechnik und der optischen Industrie einsetzbar.

Für die jeweilige Anwendung kann eine Nebenbedingung in das Verfahren einge bracht werden, so dass die bestimmten Pulsformen eine verbesserte oder gar opti male Ausführung gewährleisten. Hierbei kann insbesondere auf Kriterien zurückge griffen werden, die sich schon in der Vergangenheit als förderlich erwiesen haben und verschiedlich publiziert sind.

Ein Anwendungsgebiet der Erfindung ist die Kernspintomographie. Sie basiert auf der sogenannten "slice selection", das heißt der Inversion von Population in Zwei- Niveau-Systemen für ein gegebenes Band von Übergangsfrequenzen (Breitbandin version). Dies ist die klassische Anwendung adiabatischer Techniken. In der Kern spintomographie ist es besonders wichtig, ein Inversionsprofil mit scharfem Über gang von invertiertem und nicht invertiertem Bereich zu erzeugen. In der Literatur sind verschiedene Kriterien hierfür beschrieben, die als Nebenbedingungen in das Verfahren eingebaut werden. Zum Beispiel ist in D. Rosenfeld und Y. Zur, Magnetic Resonance in Medicine 36, 124 (1996) beschrieben, dass das effektive Feld einen rechteckigen Weg mit gerundeten Ecken durchlaufen sollte. Vorstehend wurde im Unterschied hierzu der Fall eines elliptischen Weges diskutiert.

Durch das erfindungsgemäße Verfahren ist eine qualitativ bessere "slice selection" und die Erweiterung der Bildgebung auf schneller relaxierende Gewebe möglich.

Es können aber auch andere Randbedingungen als die Profilschärfe für die "slice selection" maßgebend sein. So können in ähnlicher Weise Pulsformen für optimierte Inversionen von Populationen über ein gegebenes Frequenzband unter minimaler Strahlungsbelastung (Erwärmung) der Probe oder unter Vorgabe einer maximal zu lässigen Amplitude des eingestrahlten Feldes mit dem Verfahren bestimmt werden.

Neben der Inversion von Population ist die adiabatische breitbandige Anregung von Magnetisierung eine wichtige Technik in der Kernspintomographie. Auch hier liefert das systematische Verfahren Pulsformen für eine optimierte Ausführung unter wech selnden Randbedingungen.

Ein weiteres Anwendungsgebiet für das erfindungsgemäße Verfahren ist die In-Vino- Spektroskopie. Hier werden adiabatische Techniken eingesetzt, um die Inversion von einer Ortsabhängigkeit der Amplitude über das Probevolumen, zu erreichen, da noto risch inhomogene Oberflächenspulen Verwendung finden. Das systematische Ver fahren erlaubt auch hier die Bestimmung von Pulsformen zur optimierten Inversion und Anregung unter verschiedenen Nebenbedingungen, wie minimale Probener wärmung oder schnelle Ausführung (die Feldamplitude ersetzt quasi die Übergangs frequenz bei der Anwendung in der Kernspintomographie als breitbandigen Para meter). Insbesondere können die durch das erfindungsgemäße Verfahren bestimm ten Modulationsfunktionen in das Schema der sogenannten "plan rotation pulses" eingebaut werden. Sie führen zu einer Potenzierung der Insensitivität gegenüber In homogenitäten der Amplitude des eingestrahlten Feldes und werden standardmäßig bei der Verwendung von Oberflächenspulen eingesetzt. Dies ist in M. Garwood und K. Ugurbil in NMR, Basic principals and progress (Editoren: P. Diehl, E. Fluck, H. Günther, R. Kosfeld, J. Seelig und M. Rudin) Vol. 26, Springer-Verlag, Heidelberg (1992), Seite 109 beschrieben.

Das Problem der Feldinhomogenität und die entsprechende Verwendung adiabati scher Techniken tritt in geringerem Maße auch in der Kernspintomographie auf.

Ein weiteres Anwendungsgebiet des erfindungsgemäßen Verfahrens ist die kernma gnetische Resonanzspektroskopie. Es gibt eine Vielzahl von Experimenten, die breitbandige Inversion von Populationen verlangen, so dass der Einsatz adiabatischer Techniken sinnvoll ist. Allerdings benötigt eine adiabatische Inversion bislang wesentlich länger (10 bis 100 Mal) als konventionelle Pulstechniken (nicht selektive Pulse), was ihre Verwendung auf schnell relaxierende Systeme, wie zum Beispiel in Experimenten an Biomolekülen, ausschließt. Gerade hier kann das systematische Verfahren durch schnelle adiabatische Transfers Abhilfe schaffen.

Neben den im Bezug auf die Kernspintomographie geschilderten Fälle kommt es in der Spektroskopie oftmals vor, dass in eine Inversion gleichmäßig über einen größt möglichen Bereich von Übergangsfrequenzen in möglichst kurzer Zeit zu erzeugen ist, ahne an irgendwelche Randbedingungen, wie zum Beispiel Profilschärfe oder minimale Erwärmung der Probe, gebunden zu sein. Hier bietet sich für die Bestim mung optimierter Pulsformen durch das erfindungsgemäße Verfahren als Nebenbe dingung die sogenannte "Offset-Independant-Adiabaticity" an, die ein Kriterium für besonders breitbandige Inversion unter geringerer Strahlenbelastung ist. Die Neben bedingung ist in A. Tannus und M. Garwood, Journal of Magnetic Resonance A 120, 133 1996) offenbart.

Der Polarisationstransfer von sensitiven auf weniger sensitive Kerne (von ¹H auf ¹³C oder ¹⁵N) ist eine grundlegende Technik der Festkörperresonanz. Es wurde in S. Heediger, B. H. Meier, N. D. Kurur, G. Bodenhausen und R. R. Ernst, Chemical Phy sics Letters, 223, 283 (1994) gezeigt, dass dieser Polarisationstransfer formal einer inversion von Population im Zwei-Niveau-System entspricht und erfolgreich adiaba tisch ausgeführt werden kann. Eine Optimierung eines adiabatischen Polarisation stransfers mit Hilfe des erfindungsgemäßen Verfahrens kann sowohl das Signal-zu- Rausch-Verhältnis in einer Vielzahl von Festkörperresonanz-Experimenten verbes sern, als auch den Polarisationstransfer in schnell relaxierenden Systemen erst er möglichen. Auch der Kohärenztransfer von Magnetisierung auf sogenannte quadru polare Ordnung in mit Deuterium dotierten Festkörpern kann als formal äquivalent zur Anregung von Magnetisierung im Zwei-Niveau-System gezeigt und adiabatisch ausgeführt werden. Dies ist in C. E. Hughes, R. Kemp-Harper und S. Wimperis, Journal of Chemical Physics, 108, 879 (1998) beschrieben. Der Relaxationszerfall quadrupolarer Ordnung ist ein wichtiger Indikator makromolekularer Dynamik, so dass ein optimierter adiabatischer Kohärenztransfer mit Pulsformen nach dem Verfahren vielen Experimenten mit matrialtechnischen und biophysikalischen Fragestel lungen zugute kommt. Das erfindungsgemäße Verfahren erlaubt die Bestimmung von Pulsformen für optimierte Polarisations- und Kohärenztransfervorgänge in stati schen und insbesondere rotierenden Festkörpern ("Magic Angel Spinning") mit in herent zeitabhänigen Wechselwirkungen.

Die direkte Ausführung zweier Inversionen hintereinander stellt wieder die ursprüng liche Population im Zwei-Niveau-System her. Solche "Identitäts-Manipulationen" bil den die Grundlage komplexer spektroskopischer Techniken zur Spinentkopplung und zur sogenannten isotropen Mischung, einer spezifischen Art von Kohärenztransfer. Spinentkopplung ist ein integraler Bestandteil vieler Experimente der kernmagneti schen Resonanz an Flüssigkeiten, Festkörpern und in-vivo, da spektrale Vereinfa chung und höheres Signal-zu-Rausch-Verhältnis und eine höhere Auflösung resultie ren. Es ist sehr wichtig, vor allem bei in-vivo-Anwendungen, mit möglichst geringer Feldamplitude zu entkoppeln, um die Probenerwärmung zu minimieren und eine große spektrale Bandbreite bei möglichst schneller Inversion zu überdecken, um Ar tefakte ("Decoupling Side Bands") zu unterdrücken. Dieselben Forderungen sind an eine Pulssequenz zur isotropen Mischung zu stellen, die zur Zuordnung von Reso nanzlinien in komplexen Spektren (Biomoleküle) Verwendung finden. Das erfin dungsgemäße Verfahren ist geeignet, um Pulsformen zur adiabatischen Ausführung dieser Techniken zu bestimmen, die unter anderem in Z. Starcuk, K. Bartusek, Jour nal of Magnetic Resonance A107, 24 (1994) und E. Kupce, R. Schmidt, R. Rance und G. Wagner, Journal of Magnetic Resonance 135, 361 (1998) beschrieben.

Ein weiteres Anwendungsgebiet des erfindungsgemäßen Verfahrens ist die Optik. Der Laser als Lichtquelle ermöglicht eine kohärente Spektroskopie im optischen Wellenlängenbereich. Seit geraumer Zeit können die Frequenz und die Amplitude von Laserlicht im kontinuierlichen und gepulsten Betrieb nahezu beliebig moduliert werden, was einen manigfaltigen Einsatz adiabatischer Techniken auf dem Gebiet der kohärenten Optik eröffnet. Diesbezüglich wird auf W. S. Warren, H. Rabitz und M. Daleh, Signs 259, 1581 (1993) verwiesen. Adiabatische Polarisations- und Kohä renztransfers in Anlehnung an die magnetische Resonanz, wie breitbandige Inversi on und Anregung, sind möglich. Als konkrete Anwendung des erfindungsgemäßen Verfahrens wird auf die "Stimmulated Raman Adiabatic Passage" (STIRAP) genannt, die eine Technik zum adiabatischen Kohärenztransfer im Drei-Niveau-System ist und von K. Bergmann, H. Theuer und B. W. Shore, Review of Modern Physics 70, 1003 (1998) beschrieben ist. Die STIRAP-Technik erlaubt die Populationsumkehr zwi schen zwei langlebigen Energieniveaus, deren elektrischer Dipolübergang verboten ist, unter Einbeziehung eines dritten kurzlebigen angeregten Zustand ohne zu starke Verluste durch spontane Emission. Die noch auftretenden Verluste durch spontane Emission werden durch Imperfektionen des adiabatischen Transfervorgangs verur sacht und entsprechen somit den diabatischen Verlusten. Bei dem STIRAP- Verfahren wird mit zwei Lasern (Pump- und Stokes-Lasern) nacheinander, aber um gekehrt zur intuitiven Reihenfolge eingestrahlt. Zunächst erfolgt die Einstrahlung durch den Stokes-Laser, anschließend mit dem Pump-Laser. Dieses Verfahren ist in J. Orek, F. P. Hioe und J. H. Eberly, Physical Review A 29, 690 (1984) beschrieben. Dieser komplexe Tansfer im Drei-Niveau-System ist äquivalent zur adiabatischen Anregung im Zwei-Niveau-System, so dass nach dem erfindungsgemäßen Verfahren Pulsformen für die beiden Laser berechnet werden können. Ein optimierter STIRAP- Prozess führt zu Verbesserungen auf den unterschiedlichen Anwendungen des STIRAP-Verfahrens, wie zum Beispiel der Spektroskopie chemischer Reaktionske netik. Diesbezüglich wird auf U. Gaubatz, P. Rudekki, S. Schiemann und K. Berg mann, Journal of Chemical Physics 92, 5363 (1990) verwiesen. Besonders interes sant ist die Durchführung des STIRAP-Verfahrens ohne diabatische Verluste, wobei die hierzu erforderlichen Pulsformen mit dem erfindungsgemäßen Verfahren be stimmt werden können. Dies könnte ein grundlegender Schritt zur erstmaligen Reali sierung eines Quantencomputers sein.

Die Probleme bezüglich Quantencomputer sind zum Beispiel in M. B. Plenio und P. L. Knight, Physical Review A 53, 2986 (1996) beschrieben.

Claims

1. Verfahren zur Berechnung von Parametern für frequenz- und/oder amplitu denmodulierte elektromagnetische Pulse für adiabatische Transfervorgänge in einem quantenmechanischen System, wobei die dynamischen Vorgänge des quantenmechanischen Systems mit einem Hamilton-Operator ((t)) in einem aktuellen Koordinatensystem beschrieben werden, gekennzeichnet durch

a) Transformation des Hamilton-Operators ((t)) von einem aktuellen Ko ordinatensystem in ein folgendes Koordinatensystem zur Beschreibung der Zeitabhängigkeit der Richtungsänderung des Hamilton-Operators ((t));
b) Bestimmen der Selbstkommutation des Hamilton-Operators ((t)) zur Zeit t und des Hamilton-Operators ((t')) zur Zeit t' im jeweiligen Koor dinatensystem, wobei ein Differentialgleichungssystem erhalten wird;
c) Berechnen der Parameter aus dem erhaltenen Differentialgleichungs system.

2. Verfahren nach Anspruch 1, gekennzeichnet durch iterative Durchführung der Schritte a) und b), wobei die Transformation von dem aktuellen Koordina tensystem in ein folgendes Koordinatensystem um den Drehwinkel (θ) des Vektoranteils des Hamilton-Operators ((t)) in einer definierten Z-Achse des aktuellen Koordinatensystems erfolgt.

3. Verfahren nach einem der vorhergehenden Ansprüche, gekennzeichnet durch Bestimmung der Selbstkommutation durch Berechnung der Operato rengleichung
wobei i die ganzzahlige fortlaufende Nummer des entsprechenden Koordina tensystems, t die Zeit und t' eine von t verschiedene Zeit mit t und t' < 0 ist.

4. Verfahren nach einem der Ansprüche 1 oder 2, gekennzeichnet durch Be stimmung der Selbstkommutation durch Annahme eines konstanten Verhält nisses der Drehwinkelgeschwindigkeit ((t)) zur Größe (a(t)) des Vektoran teils des Hamilton-Operators ((t)) in einer definierten Z-Achse des aktuellen Koordinatensystems über die Zeit t

5. Verfahren nach Anspruch 4, dadurch gekennzeichnet, dass die Konstante der Tangens des Drehwinkels (tanθ) des von dem Hamilton-Operator aufge spannten Vektors im aktuellen Koordinatensystem ist.

6. Verfahren nach einem der vorhergehenden Ansprüche, dadurch gekenn zeichnet, dass für jede Transformation des Koordinatensystems der Drehwin kel (θ) monoton von Null bis zum einem Maximalwert (θ_max) über die Zeit an steigt.

7. Verfahren nach einem der vorhergehenden Ansprüche, gekennzeichnet durch Lösen des erhaltenen Differentialgleichungssystems mit einer Neben bedingung für das betrachtete physikalische System.

8. Verfahren nach Anspruch 7, dadurch gekennzeichnet, dass die Nebenbe dingung holonom ist.

9. Verfahren nach Anspruch 7, dadurch gekennzeichnet, dass die Nebenbe dingung nicht-holonom ist.

10. Verfahren nach Anspruch 7, dadurch gekennzeichnet, dass die Nebenbe dingung einen definierten Weg der Spitze des von dem Hamilton-Operator ( (t)) aufgespannten Vektors in einem definierten Koordinatensystem festlegt.

11. Verfahren nach Anspruch 10, dadurch gekennzeichnet, dass der Weg kreisförmig, ellipsenförmig oder rechteckförmig verläuft.

12. Verfahren nach einem der vorhergehenden Ansprüche, gekennzeichnet durch Auswahl der Art der verwendeten Koordinaten in Abhängigkeit von den Nebenbedingungen für das betrachtete System.

13. Verfahren nach Anspruch 12, gekennzeichnet durch Auswahl von Polarko ordinaten, elliptischen Koordinaten oder kartesischen Koordinaten.

14. Verfahren nach einem der vorhergehenden Ansprüche, gekennzeichnet durch Lösen des erhaltenen Differentialgleichungssystems als Anfangswertproblem zur Berechnung der Parameter.

15. Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 13, gekennzeichnet durch Lösen des erhaltenen Differentialgleichungssystems als Randwertproblem zur Be rechnung der Parameter.

16. Verfahren nach einem der vorhergehenden Ansprüche, gekennzeichnet durch eine Transformation des Koordinatensystems um einen festen Versatzwinkel (θ_i) zwischen der definierten Z-Achse des Koordinatensystems und dem Ha milton-Operator ((t)).

17. Verfahren nach einem der vorhergehenden Ansprüche zur Berechnung der Pa rameter der Zeemanfrequenz, die auch durch lineare Gradientenfelder be stimmt sein kann.

18. Verfahren nach einem der vorhergehenden Ansprüche, gekennzeichnet durch Berechnung der Parameter für frequenz- und/oder amplitudenmodulierte elek tromagnetische Pulse mehrerer Einstrahlquellen.

19. Verfahren nach einem der vorhergehenden Ansprüche, zur Berechnung der Parameter einer mechanischen Drehung der Probe, insbesondere der Orientie rung und der Drehfrequenz.