CN1805279A - 一种处理变换域自适应滤波器的方法 - Google Patents

Abstract

本发明为一种处理变换域自适应滤波器的方法，所述自适应滤波器采用基于小波变换的自适应算法，进行小波变换时，采用小波函数的输入数据块长度是可变的。本发明在基于小波变换自适应滤波器计算方法的基础上，提出了一种降低自适应滤波器计算复杂度的方法，本方法在保证收敛和失准度的同时，可大幅度降低自适应滤波器计算复杂度。

Description

一种处理变换域自适应滤波器的方法

技术领域

本发明涉及自适应滤波器，具体地讲涉及一种处理变换域自适应滤波器的方法。

背景技术

自适应滤波器在通信领域的应用非常广泛，比如系统辨识、预测反卷积、自适应均衡、自适应谱估计及信号检测等。在这些应用中，滤波器通常采用抽头延迟线(Tapped Delay Line)的形式，调整滤波器参数的最常用自适应算法是LMS算法，LMS算法步骤为：

设n时刻的输入信号向量为：x_n＝[x(n)，x(n-1)，…，x(n-N+1)]^T；

设此时的权向量为h_n，滤波器的相应输出为： $z_n=x_n^T{h}_n;$

n时刻的输出误差e_n为期望响应d(n)与自适应滤波器输出z_n之差e_n＝d(n)-z_n；

LMS算法就是使误差e_n的均方值最小，对权向量的更新如下：

h_n+1＝h_n+2μx_ne_n

其中，常量μ为正数。

LMS算法的收敛性取决于输入向量相关矩阵 的条件数。事实上，收敛速度可以表示成(r-1)²/(r+1)²，其中r是最大特征值与最小特征值之比，也称作相关矩阵R的特征值分布。由上可知，特征值分布越分散，收敛速度越慢，反之亦然。

若采用此算法，特别是存在噪声时，自适应滤波器的收敛性通常较差，对此人们提出了一系列方法以提高自适应滤波器的收敛性能。

目前，为加快收敛，我们可以将输入向量x_n变换为

但这种方法的缺点是增加算法的计算量。

目前，还可采用变换域自适应滤波方法，其中有基于K-L(Karhunen Loéve)变换、离散余弦(DCT)变换的自适应滤波算法，但上述算法的缺点也是算法复杂。

目前，还提出了基于小波变换的自适应滤波算法。

首先，对离散小波变换进行说明。

小波(wavelet)，即小区域的波。小波定义为：设Ψ(t)∈L²(R)，其中，L²(R)表示平方可积的实数空间，即能量有限的信号空间，若其傅里叶变换为 并当傅立叶变换 满足允许条件： $C_{\mathrm{\&psi;}}=\underset{R}{\&Integral;}\frac{{\left|\widehat{\mathrm{\&psi;}}\left(\mathrm{\&omega;}\right)\right|}^2}{\left|\mathrm{\&omega;}\right|}\mathrm{d\&omega;}<\&infin;$ 时，我们称Ψ(t)为一个基本小波或母小波函数。

将母函数Ψ(t)进行伸缩和平移，设其伸缩因子为a(又称尺度因子)，平移因子为b，令其平移和伸缩后的函数为ψ_a，b(t)，则可以得到一个小波序列：

${\mathrm{\&psi;}}_{a,b}\left(t\right)=\frac{1}{\sqrt{\left|a\right|}}\mathrm{\&psi;}\left(\frac{t-b}{a}\right)$ a，b∈R；a≠0

ψ_a，b(t)为依赖于参数a、b的小波函数，由于尺度因子和平移因子b是取连续变化的值，因此称ψ_a，b(t)为连续小波基函数，它们是由同一母函数Ψ(t)经平移、伸缩后得到的一组函数系列。

将任意L²(R)空间中的函数x(t)在小波基下进行展开，称这种展开为函数x(t)的连续小波变换(CWT：Continue Wavelet Transform)，其表达式为：

$W_x(a,b)=<x,{\mathrm{\&psi;}}_{a,b}>={\left|a\right|}^{-1/2}\underset{R}{\&Integral;}x\left(t\right)\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&psi;}\left(\frac{t-b}{a}\right)}\mathrm{dt}$

其逆变换为：

$x\left(t\right)=\frac{1}{C_{\mathrm{\&psi;}}}\underset{R^{+}}{\&Integral;}\underset{R}{\&Integral;}\frac{1}{a^2}{W}_x(a,b)\mathrm{\&psi;}\left(\frac{t-b}{a}\right)\mathrm{dadb}$

其中，W_x(a，b)称为小波变换系数。

小波变换的时频窗口形状为两个矩形：

$\left[\begin{array}{c}b-\mathrm{a\&Delta;\&psi;},b+\mathrm{a\&Delta;\&psi;}\end{array}\right]\&times;\left[\begin{array}{c}(\&PlusMinus;{\mathrm{\&omega;}}_0-\mathrm{\&Delta;}\widehat{\mathrm{\&psi;}})/a,(\&PlusMinus;{\mathrm{\&omega;}}_0+\mathrm{\&Delta;}\widehat{\mathrm{\&psi;}})/a\end{array}\right],$ 窗口中心为(b，±ω₀/a)，时窗和频窗宽分别为aΔψ和

其中b仅仅影响窗口在相平面时间轴上的位置，而a不仅影响窗口在频率轴上的位置，也影响窗口的形状。这样小波变换对不同的频率在时域上的取样步长是调节性的，即在低频时小波变换的时间分辨率较差，而频率分辨率较高；在高频时小波变换的时间分辨率较高，而频率分辨率较低，这正符合低频信号持续时间长、变化缓慢而中高频信号持续时间短、变化迅速的特点。

在实际运用中，小波基函数具有很大的相关性，信号x(t)的连续小波变换系数的信息量冗余，因此连续小波必须加以离散化，即离散小波变换(DWT：Discret Wavelet Transform)，离散后的小波基函数具有正交性，从而计算小波变换系数冗余度下降，可减少计算量。

在连续小波中，考虑函数：

${\mathrm{\&psi;}}_{a,b}\left(t\right)=\frac{1}{\sqrt{\left|a\right|}}\mathrm{\&psi;}\left(\frac{t-b}{a}\right)$

这里，b∈R，a∈R₊，且a≠0，ψ是容许的，为方便起见，在离散化中，a总限制取正值，这样相容性条件就变为：

$C_{\mathrm{\&psi;}}=\underset{0}{\overset{\&infin;}{\&Integral;}}\frac{\left|\widehat{\mathrm{\&psi;}}\left(\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&omega;}}\right)\right|}{\left|\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&omega;}}\right|}\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{d\&omega;}}<\&infin;$

通常，把连续小波变换中尺度因子a和平移因子b的离散化公式分别取作 $a=a_0^j,$ $b=k{a}_0^j{b}_0,$ 这里j∈Z(整数)，扩展步长a₀≠1是固定值，为方便起见，总是假定a₀＞1。所以对应的离散小波函数ψ_j，k(t)即可写作：

${\mathrm{\&psi;}}_{j,k}\left(t\right)=a_0^{-j/2}\mathrm{\&psi;}\left(\frac{t-k{a}_0^j{b}_0}{a_0^j}\right)=a_0^{-j/2}\mathrm{\&psi;}(a_0^{-j}t-k{b}_0)$

为了使小波变换具有可变化的时频分辨率，适应待分析信号的非平稳性，就需要改变a和b的大小。最常采用的是二进制动态采样网格，即a₀＝2，b₀＝1，每个网格点对应的尺度为2^j，而平移为2^jk，由此得到的小波：

                ψ_j，k(t)＝2^-j/2ψ(2^-jt-k)  j，k∈Z称为二进小波(Dyadic Wavelet)。

由上可知，小波是平方可积函数空间的一族基函数，因此任一平方可积函数x(t)都可以通过对一个小波ψ(t)进行伸缩和平移来表示：

$x\left(t\right)=\underset{j,k}{\mathrm{\&Sigma;}}\sqrt{2^j}{x}_{j,k}\mathrm{\&psi;}(2^{-j}t-k)$

实际应用上，小波变换系数一般是通过金字塔算法有效地得到，从不显式计算小波。

若采样数据个数为N，用矩阵Q表示离散小波变换矩阵，则Qx就是一个正则线性变换。

其次，对基于小波变换的LMS算法进行说明。

令R(m，n)是输入过程x(·)的m和n^th采样的相关，并令R_w ^j，k(m，n)为过程x(·)在j^th小波频带的m^th分量与过程x(·)在k^th小波频带的n^th分量的互相关。研究表明，对于R(m，n)可以渐进表示如下的一类过程：

               R(m，n)＝m^α(n)e^-β(n)m(α₀(n)+o(1))+α₁(n)

当n固定m趋于无穷大或m固定n趋于无穷大时，R_w ^j，k(m，n)要比R(m，n)衰减的更快。因此，即使所分析的过程是非平稳的，小波变换也非常近似于K-L变换(可以认为是最佳变换)。也就是说，小波变换后输出的自相关矩阵R_y是近似对角化的。通过在变换域进行简单的预处理，可以大大提高收敛速度。

基于小波变换的LMS算法步骤为：

首先，输入数据向量x_n经离散小波变换矩阵Q变换成向量y_n：

                          y_n＝Qx_n

其次，对变换后的向量进行LMS迭代，步骤为：

设离散小波域自适应滤波器系数权值向量为g_n，则输出信号z_n为：

$z_n=g_n^T{y}_n$

相应的误差信号e_n为：

e_n＝d(n)-z_n

其中，d(n)是期望信号；

权值更新方程为：

g_n+1=g_n+2μΛ^-2e_ny_n

其中，Λ²通常为对角阵，(i，f)^th元素为y_n的i^th元素的功率估计。更新方程相当于在使用LMS算法前对向量x_n进行A^-1Q变换。

虽然采用基于离散小波变换的LMS算法可以提高自适应滤波器的收敛性，但计算复杂度大。为便于说明，考察自适应均衡的情况。

如图1所示为LMS自适应均衡试验框图。其中，随机噪声发生器1产生用来探测信道的测试信号x_n，随机噪声发生器2用来干扰信道输出的白噪声源v(n)，这两个随机噪声发生器是彼此独立的。自适应均衡器用来纠正存在加性白噪声的信道的畸变。经过适当延迟，随机噪声发生器1也提供用做训练序列的自适应均衡器的期望响应。

信道冲击响应可由升余弦表示：

其中，参数w用来控制输入数据向量相关矩阵的特征值分布。步长固定为0.03。滤波器长度分别设为M＝8、12、16。

图2给出了恶劣情况下，特征值分布w＝3.5的收敛情况。滤波器长度M＝8时大约迭代600次左右才收敛；M＝12和16时大约要迭代1000次以上才收敛。

图3给出了良好情况下，特征值分布w＝2.9的收敛情况。上述三种滤波器长度大约要迭代400次收敛。

由上可知，图2表明对于不同的滤波器长度M，在情况恶劣(w＝3.5)时，在收敛速度和失准度(misadjustment)上存在着折衷；而在情况良好(w＝2.9)时，图3表明收敛速度和失准度都和滤波器长度M无关。

图4给出了基于小波变换LMS的自适应均衡器的实验框图。

如果小波变换采用Daubechies函数，对于dbN，小波函数和尺度函数的支撑长度为2N-1。小波函数的消失矩阶数为N。绝大部分dbN不是严格对称的，但具有良好的正交性。

在恶劣情况下，特征值分布w＝3.5，μ＝0.03时，分别对采用db4，db6和db8小波函数时的性能进行了测试；

图5所示为滤波器长度M＝8时的结果；图6所示为滤波器长度M＝16时的结果。比较图5和图6，我们可以发现对于Daubechies-LMS算法而言，在收敛速度和失准度上也存在着折衷。这个结论是合理的，因为收敛速度取决于滤波器长度，而失准度取决于变换矩阵的规模。

计算时，不论选择什么样的Daubechies函数，变换矩阵的规模始终保持为M×M。值得注意的是，两种情况下db4，db6和db8的性能几乎一样，这三个Daubiechies函数的计算复杂度是完全一样的。

由上述可知，虽然采用基于离散小波变换的LMS算法可以提高自适应滤波器的收敛性，但计算复杂度大，若采用数据块的长度为N，则每一步的乘加次数为(3+3+1+N)N+J，其中J为分解深度，与计算复杂度无关。

由小波函数的特点可知，使用支撑长度较短的小波函数会导致性能下降，但如果下降程度可以接受，我们情愿选择短支集小波函数，因为这样可以降低计算复杂度。因此，为降低上述计算复杂度，本发明提出一种处理自适应滤波器的方法。

发明内容

本发明在基于小波变换自适应滤波器计算方法的基础上，提出了一种降低自适应滤波器计算复杂度的方法，该方法为一种变长度块处理(MLB)方法。本方法在保证收敛和失准度的同时，可大幅度降低自适应滤波器计算复杂度。

本发明为一种处理变换域自适应滤波器的方法，所述自适应滤波器采用基于小波变换的自适应算法，进行小波变换时，采用小波函数的输入数据块长度是可变的。

所述小波函数为二进制小波函数；

采用可变输入数据块长度时，步骤为：

第一步，进行小波变换的输入数据块长度为8，采用小波函数为wav4；

第二步，所述输入数据块长度为12，采用小波函数为wav6；

第三步，所述输入数据块长度为16，采用小波函数为wav8；

其中，小波函数wav为具有4，6和8的消失矩阶数的函数。

所述小波函数采用Daubechies小波基；

采用可变输入数据块长度时，步骤为：

第一步，进行小波变换的输入数据块长度为8，采用小波函数为db4；

第二步，所述输入数据块长度为12，采用小波函数为db6；

第三步，所述输入数据块长度为16，采用小波函数为db8。

所述基于小波变换的自适应算法，步骤为：

输入数据向量x_n经小波变换变换成向量y_n：

                            y_n＝Qx_n

对变换后的向量进行LMS迭代：

$z_n=g_n^T{y}_n$

                         e_n＝d(n)-z_n

                       g_n+1＝g_n+2μΛ^-2e_ny_n

其中，Q为小波变换矩阵；g_n为权值向量，g_n ^H为权值向量g的埃米特转置向量；d(n)为期望响应，由训练序列或反馈判决得到；e(n)是期望响应d(n)和z_n之差；z_n为滤波器的输出。

采用本方法的有益效果在于：N＝16时，采用第一步，乘加次数为(3+3+1+N/2)N+J，乘加次数可减少128次；采用第二步，乘加次数为(3+3+1+N*3/4)N+J，乘加次数亦可减少64次，适当调整每一步的处理周期，在保证收敛和失准度的同时，可以大幅降低计算复杂度，其中J为分解深度，与计算复杂度无关。

附图说明

图1是LMS自适应均衡试验框图；

图2是特征值分布为3.5采用LMS算法均衡学习曲线图；

图3是特征值分布为2.9采用LMS算法均衡学习曲线图；

图4是基于小波变换的LMS自适应均衡试验框图；

图5是特征值分布为3.5采用基于Daubechies变换的LMS均衡学习曲线图；

图6是特征值分布为2.9采用基于Daubechies变换的LMS均衡学习曲线图。

具体实施方式

如图4所示的基于小波变换LMS算法的自适应均衡器的实验框图。其中，随机噪声发生器1产生用来探测信道的测试信号x_n，随机噪声发生器2用来干扰信道输出的白噪声源v(n)，这两个随机噪声发生器是彼此独立的。自适应均衡器用来纠正存在加性白噪声的信道的畸变。经过适当延迟，随机噪声发生器1也提供用做训练序列的自适应均衡器的期望响应。送入自适应滤波器的信号先进行变换域处理，在变换域处理过程中，采用小波函数进行变换，并且小波函数的输入数据块的长度是变化的。

其中，小波函数可采用任意二进制小波函数，本实施例中采用Daubiechies小波基，采用可变输入数据块长度时，步骤为：

第一步，进行小波变换的输入数据块长度为8，采用小波函数为db4，乘加次数为(3+3+1+N/2)N+J；

第二步，所述输入数据块长度为12，采用小波函数为db6，乘加次数为(3+3+1+N*3/4)N+J；

第三步，所述输入数据块长度为16，采用小波函数为db8，乘加次数为(3+3+1+N)N+J。

这样，输入数据向量x_n经小波变换变换成向量y_n：

                            y_n＝Qx_n

然后对变换后的向量进行LMS迭代：

$z_n=g_n^T{y}_n$

                           e_n＝d(n)-z_n

                       g_n+1＝g_n+2μΛ^-2e_ny_n

其中，Q为小波变换矩阵；g_n为权值向量，g_n ^H为权值向量g的埃米特转置向量；d(n)为期望响应，由训练序列或反馈判决得到；e(n)是期望响应d(n)和z_n之差；z_n为滤波器的输出。

由小波函数的特点可知，使用支撑长度较短的小波函数虽然会导致性能下降，但如果下降程度可以接受，我们就选择短支集小波函数，因为这样可以降低计算复杂度。

采用本发明的方法，对于N＝16时，采用第一步，乘加次数为(3+3+1+N/2)N+J，与现有技术相比乘加次数可减少128次；采用第二步，乘加次数为(3+3+1+N*3/4)N+J，乘加次数亦可减少64次，适当调整每一步的处理周期，在保证收敛和失准度的同时，可以大幅降低计算复杂度，其中J为分解深度，与计算复杂度无关。

如果采用其它二进制小波函数时，还是同样的步骤，采用相应的小波函数。

上述实施例仅用于说明本发明，而非用于限定本发明。

Claims (4)

1.一种处理变换域自适应滤波器的方法，所述自适应滤波器采用基于小波变换的自适应算法，其特征在于，

进行小波变换时，采用小波函数的输入数据块长度是可变的。

2.根据权利要求1所述的方法，其特征在于，所述小波函数为二进制小波函数；

采用可变输入数据块长度时，步骤为：

第一步，进行小波变换的输入数据块长度为8，采用小波函数为wav4；

第二步，所述输入数据块长度为12，采用小波函数为wav6；

第三步，所述输入数据块长度为16，采用小波函数为wav8；

其中，小波函数wav为具有4，6和8的消失矩阶数的函数。

3.根据权利要求2所述的方法，其特征在于，所述小波函数采用Daubechies小波基；

采用可变输入数据块长度时，步骤为：

第一步，进行小波变换的输入数据块长度为8，采用小波函数为db4；

第二步，所述输入数据块长度为12，采用小波函数为db6；

第三步，所述输入数据块长度为16，采用小波函数为db8。

4.根据权利要求1或2或3所述的方法，其特征在于，所述基于小波变换的自适应算法，步骤为：

输入数据向量x_n经小波变换变换成向量y_n：

                         y_n＝Qx_n

对变换后的向量进行LMS迭代：

$z_n=g_n^T{y}_n$

e_n＝d(n)-z_n

g_n+1＝g_n+2μΛ^-2e_ny_n

其中，Q为小波变换矩阵；g_n为权值向量，g_n ^H为权值向量g的埃米特转置向量；d(n)为期望响应，由训练序列或反馈判决得到；e(n)是期望响应d(n)和z_n之差；z_n为滤波器的输出。

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