CN1624652A - 混q进制、进位行数字工程方法和混q算盘 - Google Patents

Abstract

本发明涉及数字工程方法和算盘领域，提出一种新的数字工程方法，大大提高运算速度，而且大大降低笔算的出错率。本发明的混Q进制、进位行数字工程方法包括：将参与运算的K个普通Q进制数的每一位数字都加上一个数符，对K个数同时进行混Q进制的求和。从最低位开始按位相加，即在某一位上，得到“按位和”，将此和数记入下一运算层，作为“部分和”数；同时所得“混Q进位”，则存放到下一运算层的任一进位行中与该位相邻的高位处。经过如此反复运算，直至不产生“混Q进位”为止。则最后一次“按位加”所得和数，即为所求加法结果。本发明同时提供了数字工程领域的混Q进制算盘。

Description

混Q进制、进位行数字工程方法和混Q算盘

技术领域

本发明涉及数字工程方法和算盘领域。

背景技术

数字工程包括数字电视、数码相机、数控机床以及大中型数字化设备和数字系统工程等等。本发明中“数字工程”是专指“数字计算工程”。它不是解决一个个具体的算题，而是四则运算法则本身的数字工程实现技术方案。它与具体的计算工具密切相关。众所周知，“计算”有好多种，除“近似计算”、“模拟计算”及“无工具计算(心算、指算、口算，包括口诀、速算、估算)”外，则为“采用工具的数字计算”。

“采用工具的数字计算”仅有三种，这就是数字电算、珠算、笔算。与此相应的数字计算工程也就仅有三种：数字计算机；算盘；采用笔和纸进行笔算的数字计算工程，简称为“笔算工程”。

四则运算是数的最基本运算。正如恩格斯所说：“四则(一切数学的要素)。”加法又是四则运算的最基本的运算。因此，我们理所当然应当对四则运算，尤其是对加法运算给予特别的关注。当前数字工程方法中数学的四则运算，首先是加法，有许多不尽如人意之处。主要表现为运算速度慢；在减法中，未能充分利用负数的作用，而且，不能“连减”。尤其在加减混合运算中，不能一步到位；在乘法中，加法的缺点更加扩大严重；在除法中，上述缺点依旧。总之，在最小的数体——有理数体中，四则运算情况并不满意。

在笔算数字工程中，对运算的解剖，表明存在一些隐含的操作程

123456+345678＝469134    78+297+259＝634

式一                                    式二

序，以至产生“隐患”。以加法为例。例一“两数相加”。算式如式

一。其中，十位上的和数3，解剖一下，其微程序操作是：(凡未注明所属数制的数，均为普通十进制数。下同。)

个位上来的进位(见标志) 十位上5、7两数字与低位进位相加，即(5+7+1)。取其和的个位。 上列(5+7+1)和的进位送到高位(见标志)。其余各位情况类似。又如，例二，设三数求和，算式如式二：78+297+259＝634

如图可见，上述情况更为加重。

显然，存在下列缺点：

a.进位标示困难。若用小数字表明，则易混淆且字面积受限。特别是表456789时就更烦人；若以“.”字写在数字间，则易与小数点混淆且表示456789也不便；若以手指数数，则速度慢且不方便；若心算，则费脑力且易错。总之，比较讨厌，易出错。

b.一般两数相加时，每一位上要有三个数相加求和。于是，需二次运算。三及三以上个数求和时，则更不方便。

c.验算困难。一般采用重做一遍，费时费力。

②减法比加法麻烦。且不能在同一竖式中“连减”，必须断开。特别在加减混合运算时，不能一步到位。

③乘除法中，这类情况更为严重。而且，加减乘除运算格式不统一，除法时另起炉灶。

另一方面，在电子计算机的数字工程中，同样有大量的数值运算。这些数一般均采用普通二进制数制{二}来表示。其负数常以原码、反码、补码、移码之类来表示。在现有计算机中运算均以二个数运算，而无法实现“多重运算”。所谓“多重运算”是指多于二个数同时进行加减。

在采用其他普通Q进制{Q}等普通数制的电子计算机中，存在相应的许多复杂性。[Q为自然数。]

发明内容

本发明提出一种新的数字工程方法，显著提高运算速度，同时加强运算正确性的保障，使出错的可能性显著减少。

本发明的另一个目的是提供一种新的算盘。它运算的数不仅可以是普通十进制数，而且可以是包含普通十进制数在内的混十进制数。Q＝10时，混Q进制数即混十进制数，故本发明称为“混Q算盘”。

根据本发明的一个方面，提供一种混Q进制、进位行数字工程方法，包括以下步骤：

第1步，将参与运算的普通Q进制数的每一位数字都加上一个数符，即表示该位数为正或负，使它成为每一位均带符号的混Q进制数，设，参予运算的数为K个混Q进制数，K为≥2的正整数；

第2步，对K个数同时进行混Q进制的求和运算，从最低位开始按位相加，即在某一位上，取前述K个数中的二个数按位相加，得到“按位和”为该位这二个数相加的和数；将此和数记入下一运算层，作为“部份和”数；同时所得“混Q进位”，则存放到下一运算层的任一进位行与该位相邻的高位处；

第3步，在该位上取K个数中的另二个数，进行第2步的运算，如此反复，直至K个数均取完为止；当K个数中仅剩下一个数时，则直接移至下一运算层的同一位上作为“部份和”数；

第4步，在上述某位的相邻高位上，重复第2步及第3步的运算，直至K个运算数的每一位都已全部操作；

第5步，在下一个运算层中，将上述“按位和”数与进位行中的“进位数”进行前述第2步、第3步、第4步求和运算；

第6步，重复第2步至第5步的运算，直至不产生“混Q进位”为止，则最后一次“按位加”所得和数，即为所求加法运算结果。

上述混Q进制数可以不另行编码；可以普通8421码等来编码；也可以全一码来编码。即，将各个混Q进制数的每一位数S，都以S个1从最低位顺序至高位排列来对应，其余高位均为0，总位数则为(Q-1)位；同时，将混Q进制数中该位的数符，即表示该位为正为负，作为相应全一码中每一位上的数符。

上述运算数可以是混Q进制数，或者普通混Q进制数，或者混数数制数。

根据本发明的另一个方面，提供一种混十进制算盘。在盘状长方形机械框架结构中，如图1机械原理图所示，在上下框之间采用15档竖档，或多于15档，或少于15档。每根竖档上贯穿有10只算珠，上面5只算盘涂以红色，下面5只涂以绿色。上框的水平中线位置上有上框小槽。小槽中有圆型游标一只，或者一只以上，或者没有。游标可以在槽中左右滑动，作为参与运算及结果数的小数点或其他特定的定位标记。

附图说明：

图1为本发明混Q进制、进位行数字工程方法和混Q算盘的机械原理图。图中标有：1.算珠，2.左框，3.游标1，4.游标2，5.上框，6.上框小槽，7.竖档，8.右框，9.下框。竖档共15根，每根上有10只算珠，其中上面5只算珠涂以红色，下面5只涂以绿色。算珠的初始位置，均在竖档的中央部分，而竖档的上下两端均为空位。图2为本发明的另一种形式。它与图1的区别仅仅在于算珠的初始位置不在竖档的中央，而在竖档的上下端。平常初始位置时，上面5只算珠(1)依次紧靠上框(5)，下面5只算珠(1)依次紧靠下框(9)。

具体实施方式

1、《进位行方法》

1.1进位与《进位行方法》

在电子计算机中，运算速度提高的关键之一，就在于“进位”。进位的获得，进位的存贮以及进位的参予运算都是至关重要的。“进位”就是争“速度”。在笔算中，还直接影响到“出错率”。

所谓《进位行方法》就是，在运算过程中，将产生的进位存放在参予运算的位置，然后直接进行运算的方法。通常，将同运算层各位上的进位排列成一行，称为“进位行”。(运算层的概念，见下节)

举例如下，设两普通十进制数求和，算式以竖式求和。如式三：

123456+345678＝469134

式三

为简化起见，这里将横竖式合写。个位运算(6+8)＝14，其进位1写于下一行的高一位上。依此类推。

式中二数相加时，各位上不计进位的求和，称为“按位加”。其和称为“按位和”。按位和的运算行，称为“行”。

各进位排成的行，称为“进位行”。由行与进位行组成“运算层”。

式中一些“+”号已省去。以后可以知道，在《混进方法HJF》中，各个“运算层”只存在一种运算，这就是“+”。故可以不必在运算层中写出“+”号。

1.2《进位行方法》分析

1.2.1二数求和的分析

采用《进位行方法》的加法运算由上节可知：

①两数相加时，每一位上只有二个数相加，不可能二个以上数加；

②在进位行中直接标示进位，不存在任何困难；

③验算十分方便。

[引理一]两数相加时，任意位上要么有进位记为1，要么无进位记为0；

[引理二]两数相加时，任意位上的和可为0～9之一。但是，当该位上有向高位进位时，该位上的和只能为0～8之一，而不能为9。

由[引理一]和[引理二]可得：

式五                                     式四

[定理一]两数相加时，当且仅当某位上没有向高位进位时，该位上的和才可能出现9。

1.2.2层次概念及运算层

设两数求和。算式为式四、式五

由式四可见，运算是分层次进行的，每一运算层，仅完成一项简单运算。这就是运算的“层次”概念，运算层将一个运算解剖成微运算、子运算。“层次”概念在数学中是基本概念。《进位行方法》正是建立在此概念基础上。以往的加法运算方法，本质上也隐含“层次”概念。因此，《进位行方法》中的“层次”从总体上看，并未增加运算的复杂性。反之，以往的方法由于隐含了“层次”，反而进一步增加了运算的复杂性。这一点，也进一步造成运算速度被明显降低。两者对比，就会一清二楚。

在《进位行方法》中，两数相加的各个运算层，可以合并为一个运算层。如式五，请见进一步分析。

1.2.3唯一的运算层

两数相加时，特别情况下会出现多次运算层。各层有如下关系成立。

[引理三]二数相加，当某位前一运算层上有进位时，其后各运算层上均不可能出现进位。(由引理一、二得)

[引理四]二数相加，当某位后一运算层上有进位时，其前各运算层上必无进位。(由引理一、二得)

[定理二]二数相加时，同一位各运算层上，要么都无进位，要么只能有一个进位。(由引理三、四得)

[推论]可以将全部各层进位行合并为一个进位行，各运算层合

式六                   式七

并为一个运算层。

1.2.4三数及三数以上求和分析

设三数求和，算式为231+786+989＝2006(见式六)

操作要点：

①“划Q”的运用；

所谓“划Q”，即Q进位的两数在某位上相加时，其按位加和为零，但该位上产生进位(与两数符号一致)。进位放入进位行；同时，在某位上，该两数均不再参加运算。

在十进制时即为“划十”。

a、同一位上两数和为“十”时，可在算式中将两数字以斜线划去，然后在高位上补1。

b、同一位上几数和为20、30、40……等时，可将几数字均划去，然后在高位上补2、3、4……等。

又，设六数求和。算式为786+666+575+321+699+999＝2046(见式七)。

②多个数相加，会出现二个及二个以上的运算层。为了减少运算层数，同一位上的同一运算层空位中，进位及和数可以任意占位。

③尽量减少运算层。a、较小的数，直接合并算；b、尽量在“配对”中进位；c、尽量减少在第一运算层上相加数的个数，尽量使第二及二以上运算层不出现。

④同一位上，“相同数”、“连续数”等可直接获得“部分和”。

⑤设有m个数求和。(m为≥2的自然数。)总运算层以n来表示。(n为非负整数)。则：

式八

2、混数及混数数制

2.1《数制理论》

2.1.1按同一种规则记录数，便于用来在一个数系统中进行运算的数的制度，称为“记数系统的制度”。简称为“数制”。一个数的质，首先就是由其所属的数制来决定的。恩格思指出：“单个的数在记数法中已经得到了某种质，而且质是依照这种记数法来决定的。”“一切数的定律都取决于所采用的记数法，而且被这个记数法所决定。”

《数制理论》就是研究数制的生成、分类、分析、比较、变换等以及数在各邻近学科与实践中应用的科学。它是数学的基础理论之一。

数制是数的属性。不存在没有所属数制的数，也不存在没有所属数的数制。[文中凡未标明数制的数，均指普通十进制数。下同。]

2.1.2位值制数制

设，构造一个数系的数由各不相同位置上的“数符”来表示。“数符”又称“数字”，通常从右向左水平排列，其相应的数值由低(小)到高(大)。每个数位上的数字给定一个单位值(又称“位值”)，由此来表示整个数系中每一个数的数制，称为“位值制数制”。

我们以下讨论的数制，都是“位值制数制”。简称为“数制”。所讨论的数均约定为整数。

2.1.3数制的三大要素：数位I，数元集Zi和权Li。

a、数位I，表示数制中数的各位数字的位置。以I(序数)从右自左来表示。即，i＝1，2，3，……表示该数的第1，2，3，……位。

b、数元集Zi，表示第I位上的“数元”组成的集合。同一数制系统中，各个数同一位上不同符号的全体，组成一个该位上的数符集。该数符集中的元素，称为“数的元素”。简称为“数元”。因此，该数符集称为“数元集”。

数元集Zi可以随着i的取值不同而不同，也可以相同。

数元集Zi中的数元可为复数或其他多种多样符号。以a_j来表示数元(a₁，a₂，a₃，……)以ia_j表示第i位上数元a_j(j为自然数)

数元集Zi的基数Pi(Pi为≥2的自然数)表示了集的元素总数。它“不但决定它自己的质，而且也决定其他一切数的质。”Pi的取值不同，标示了数元集Zi的变化。各位上的Pi均相同，则称为“单一基数”；否则，称为“混合基数”。相应的数制，称为“单一数制”及“混合数制”。

c、权Li，表示第i位上的位值大小。特称此位值为“权Li。”

Li为实数(由于复数集非有序体，故不采用)。不同的Li，就决定了不同的位值。

在“编码理论”中，“编码”的主要特征就在于权Li。

实际中常见的权Li采用所谓“幂权”。即，令Li＝Q_i ^(i-1)，Q_i为实数。为便于计算起见，常取Q_i为自然数。常见各位Li均为幂权，而且成等比Q的数制。Q称为数制幂权的“底数”或数制的“底数”。底数Q的不同，决定了不同的Li，从而决定了不同的位值。通常，称这种数制为“Q进制”。当Q＝2，3，10等时，相应的数制就被称为“二进制”、“三进制”、“十进制”等。

另一种常用的权Li采用“等权”，即各位上的权相同。

根据上述数制的三大要素，数制可以有无穷无尽的种类。

2.2混数及混数数制

在任一个数制中，当p＝Q时，自然数在该数制中可以连续唯一的形态表达，称为“连续数制”，又称“普通数制”；

当P＞Q时，自然数在该数制中可以连续，但有时以多种形态表达，称为“重复数制”；

当P＜Q时，自然数在该数制中只能断续的形态表达，称为“断续数制”。

当数元集Zi中，含数元0时，该相应数制被称为“含0数制”；

当数元集Zi中，全部数元为连续整数时，该相应数制被称为“整数段数制”；

当数元集Zi中，既有正数元，又有负数元时，相应数制被称为“混数数制”；混数数制中的数，称为“混数”。“混数”中既有正数元又有负数元的数，称“纯混数”。在{Q^*}数中，既有正数元又有负数元的数，称为“纯{Q^*}数”。({Q^*}定义见下一节。)

当数元集Zi中，正负数元是相反数时，相应数制称为“对称数制”；显然，“对称数制”是“混数数制”的一种。

2.3混Q进制{Q^*}和普通混Q进制{普Q^*}

在《数制理论》中，一个数制的名称采用“ Zi Li”。例如{0，1，2，}三进制；或者Zi以文字表明其特征。

对于普通十进制，在《数制理论》中，它的名称是：“单一基数P＝10，含0，整数段，非负不对称的十进制”。可写为{十，含0，整数段，非负}十进制，或者写为{0，1，2，……，9}十进制。一般情况下，我们进一步缩写为{十}，称为“普通十进制”。

对于普通二进制在《数制理论》中，它的名称是：“单一基数P＝2，含0，整数段，非负不对称的二进制”。可写为{二，含0，整数段，非负}二进制，或者写为{0，1}二进制。一般情况下，我们进一步缩写为{二}，称为“普通二进制”。

本文中《混数、进位行方法》(简称《混进方法HJF》见下一节。)中的混数数制主要有四类。在《数制理论》中，它们的名称分别是：“单一基数P＝19，含0，整数段，对称的十进制”。可写为{十九，含0，整数段，对称}十进制，或者写为{0，±1，±2，……，±9}十进制。一般情况下，我们进一步缩写为{+^*}，称为《混十进制》(用于笔算数字工程，特别是有理数运算教科书等时)。或者，“单一基数P＝3，含0，整数段，对称的二进制”。可写为{三，含0，整数段，对称}二进制，或者写为{0，±1}二进制。一般情况下，我们进一步缩写为{二^*}，称为《混二进制》(用于计算机等时)。同样，对于{0，±1，……，±(Q-1)}Q进制称为“含0混Q进制”。当不致误解时，也称为《混Q进制》。Q为＞1的整数；同样，对于不含0的{±1，…，±Q}Q进制，缩写为{不含0 Q^*}，称为《不含0混Q进制》。Q为自然数。含0与不含0的“混Q进制”合并起来，也常常统称为“混Q进制”。以符号{Q^*}来表示，此时，Q为自然数。

在混数数制中，另一类为普通数制“Q，含0，整数段，对称Q进制”，称为“含0，整数段，对称，普通Q进制”，称为“含0普通混Q进制”。当不致误解时，也称为“普通混Q进制”，Q只能为＞1的奇数。其中典型的是{1，0，1}三进制，称为“普通混三进制”{普三^*}。[注：令负A表为，读作负A。如，负1＝ 1。下同。]

在不含0的混数数制中，有一类为普通数制“Q，不含0，整数段，对称Q进制”，称为“不含0，整数段，对称，普通Q进制”，又称为“不含0普通混Q进制”{不含0普Q^*}。其中典型的是{1，1}二进制，称为“不含0普通混二进制”{不含0普二^*}。显然，不含0普通混Q进制中，Q只能为正偶数。含0与不含0的“普通混Q进制”合并起来，也常常统称为“普通混Q进制”，以符号{普Q^*}来表示。此时，Q为＞1的整数。

除上述四类“对称混数数制”外，其他对称混数数制，称为“其他对称混数数制”；其他不对称混数数制，称为“非对称混数数制”。

3、《混进方法HJF》及其混十进制{十^*}四则运算。

采用混数和《进位行方法》来进行有理数运算的方法，称为《混数、进位行方法》，简称为《混进方法HJF》。当用于笔算数字工程，特别是有理数运算教科书等之中时，采用的是{+^*}混十进制的《混进方法HJF》。当用于电子计算机等之中时，采用的是{二^*}混二进制及{十^*}混十进制等的《混进方法HJF》。

3.1{+^*}的加法

(见式九)

式九

式中求得和为5 73。当需要转化为普通十进制{十}数时，和为427。一般来说，所求和5 73不必转化(特别是作为计算过程中间结果时)。确需转化时，方法见4.1转换法则。

3.2{+^*}的减法

3.2.1例1 23-4 5 6＝1 23+ 456＝ 339

首先化为加法来运算，这是由于混数的特性所决定。这一来，实际计算中，加减就合并为加法了。这就消除了通常连加减的困难。

例112+56-32-85+67-46＝72      (见式十)

式十一                            式十

3.2.2约混。这是指二数求和时，同一位上的相反数可以消去。也可称为“对消”或“对冲”。在算式中，可以斜线划去。也就是说，所谓“对冲”，即两相反数，其和为零。该某位上的两数不再参加以后的运算。在实际运算中，采用先“对冲”后“划Q”来获得混Q数的结果。

3.3{+^*}的乘法

例2 3 8×8 9＝12 502   (见式十一)

3.4{+^*}的除法

例5728÷23＝249……1

要点：①式十二采用原普通除法，现采用四则统一算式如式十三。

②式十三中57-23×2＝57+ 2 3×2＝57+ 4 6也就是说，由于采用混数可使除法中的“减”过程变为“加”的过程。其余同此。

       式十二                            式十三

式十四

我们为了去掉“减”过程的思路，可以令被除数变号，然后，整个“减”过程完全变成“加”过程。这可使整个运算的复杂性进一步降低。

以后，我们的除法就以此来进行。但，应该注意，此时若出现余数则要将该余数变号后，才是最终运算结果的余数。

4、《混十进制》{+^*}与《普通十进制》{十}的关系。

4.1{+^*}与{十}数的转换法

这里指整数的情况，例如{+^*}3 82 2 96＝{十}221716(式十四)。

4.1.1{十}数本身即为{十^*}数的一种特况，故{十}数不经转换即为{十^*}数。

4.1.2{十^*}数转换成{十}。方法有两种：一种将{十^*}数变为一正一负的两个{十}数求和。这有好多种。其中，典型的是将该{十^*}数中各正数字位及0位作为一正{十}数，而将各负数字位作为一负{十}数。

例{十^*}3 82 2 96＝{+}302006-80290＝221716

另一种方法是：{+^*}数中，连续正数字(或0)的数字段照写不变。如3×2××6。但，当其不在{+^*}数末尾(个位)时，则最低位加 1；连续负数字的数字段，则使负数字的相反正数字与所求转换数字之和为9，如×1×70×。然后，在其最低位加1。

这样，求得结果为221716，即为相应{+}数。

(注：式十四中连续负数字段右侧可划上分段线。当不致误解时，分段线可不划。)

4.2{+^*}与{+}对照表及其说明(对照表见下面表一)

表一

说明：表一中

表示为9的二次取负数(二次以上从略)，余数同此。

①表一中0+0-分别为从正负方向趋近于0所获得的0；

②表一中9表示任意非负整数位连续的9，读作“延9”。式中

表示任意非负整数位连续的0，读作“延0”。这种数，可以称为“无限延数”。

③无限延数有且仅有 四种。由于 故无限延数有且仅有

三种。亦可写为

④ 0＝0，由数10的两种表达形式可知。因此，

4.3{+^*}与{+}关系分析

4.3.1{+}数是{+^*}数的一部分，{+}数集是{+^*}数集的子集；

{+^*}数{+}数，即{+^*}数对{+}数有包含关系。

4.3.2{+}数与{+^*}数的关系是 “一多对应”关系，而不是“一一对应”关系。正由于此，{+^*}就获得了多样处理的灵活性。这是{+^*}运算中多样性、快速性的原因。从这一点来说，{+^*}具有较强的功能。

4.3.3{+^*}数转换为{+}数，只能化为相应唯一的一个数。这是因为，{+^*}数可经{+}数加减直接获得，而{+}数加减运算后的结果是唯一的。反之，{+}数也只能化为相应唯一的一组{+^*}无限延数。所以，这种{+}数的“一”与{+^*}无限延数的“一”组两者是“一一对应”关系。

由此，可建立一种{+^*}数与{+}数的互为映射关系。

由于变换是集到自身上的对应，所以：{+}与{+^*}数是“一一变换”。对于运算系统来说，{+}与{+^*}数系统是“自同构”。相应{+}数的各种运算性质，亦在{+^*}数系统中成立。

4.3.4{+^*}中P＞Q，因而在该数制中自然数有时会出现多种形态表达，这正是该数制灵活性所在，它使运算得以简便快捷。也可以说{+^*}是以多样性来换取了灵活性。

{+}中P＝Q，因而在该数制中，自然数是连续唯一形态表达，它没有这种多样性。也缺少了这种相应的灵活性。

可以这么说，本发明的关键正是在此。有了它，才有了《混进方法HJF》，才有了“笔算数字工程”的新技术方案。有了它，也才有了电子计算机新技术方案。

4.3.5应当指出，显然，上述对{+}及{+^*}的分析，完全相应于{Q}及{Q^*}的分析，因为{+}与{Q}是同构的。由此可知，①{Q}数与{Q^*}数的关系是“一多对应”，而不是“一一对应”。②同时，{Q}中的“一”个数与相应的{Q^*}中的“一”组无限延数，两者之间是“一一对应”关系。③{Q}与{Q^*}数系统是“自同构”。相应{Q}数系统的各种运算性质，亦在{Q^*}数系统中成立。

5、综合上述，可有如下简明结论：

混Q进制{Q^*}及《混进方法HJF》在数字工程中，可大大提高运算速度，而且大大降低笔算的出错率。它正是钱学森指出的数学第三层次“直接应用的工程技术”。这种“工程技术”与数字计算工程紧密结合的方法，称为“混Q进制、进位行数字工程方法”。由该“混Q进制、进位行数字工程方法”，分别获得如下三个发明：

申请号0312 2702.3混Q进制、进位行数字工程方法和笔算工程。

申请号2004 1002 8503.6混Q进制、进位行数字工程和处理器。

申请日2004年6月25日混Q进制、进位行数字工程方法和混Q算盘。

           第二部分    混Q算盘

图1为正负码₁编码的混Q算盘机械原理图。以四则运算的加法为例，被加数布珠在竖档(7)上，其个位在右边为被加数小数点的竖档(7)。游标₁(3)在上框小槽(6)中滑动到指定的被加数小数点位置。参加运算的数为混Q进制数，简称“混Q数”(包括普通Q进制数在内)。当Q＝10时，则为混十进制数，简称为“混十数”(包括普通十进制数在内)。

在运算时，依加法口诀执行。设该加数的某位为正数，则将位于竖档(7)中央的算珠(1)(称为中珠或“零珠”)，上拨依次紧靠上框(6)(称为“上珠”或“正珠”)；某位为负数时，则将位于竖档(7)中央的算珠(1)，下拨依次紧靠下框(9)(称为“下珠”或“负珠”)。进位照口诀。和数以混Q数呈现于竖档(7)上。在运算过程中，当算珠从下位移到中位，或从中位移到上位，则为“加”；反之，当算珠从上位移到中位，或从中位移到下位，则为“减”或“加”负值。运算中可充分运用“对冲”及“划十”，用来提高运算速度。

当最终结果需要转换为普通十进制数时，则照前述转换法则即可。

在竖档上的运算格式如下：

加法、乘法珠算口诀：

一去九进一    一去八进一    三去七进一    四去六进一

五去五进一    六去四进一    七去三进一    八去二进一

九去一进一

图2为正负码₂编码的混Q算盘机械原理图。当运算时，数的某位为正，则该位上算珠依次紧靠上框；当该数的某位为负，则该位上算珠依次紧靠下框。当该数的某位数＞5或＜5时，则加上该位数对“十”补数的相反数；同时，在相邻高位上加同符号数1。

运算的结果，即为各位上珠超出5的数及下珠超出5的数。

当上下珠均为5只时，该位上的数值为0。

第三部分  增Q进制{Q^△}及全一码

1.增Q进制{Q^△}

1.1定义及符号[文中凡未标明数制的数，均指普通十进制数。下同。]

{十}{二}    {一^△}                                                  {一^△}{二}{十}

                                                                       000   0    0

 0  000  0…00000000＝                                          001   1    1

 1  001  0…00000001＝1＝                                           010   1    1

 2  010  0…00000011＝11＝

                         011  10    2

 3  011  0…00000111＝111＝                     100   1    1

 4  100  0…00001111＝1111＝

               101  10    2

 5  101  0…00011111＝11111＝           110  10    2

 6  110  0…00111111＝111111＝      111  11    3

 7  111  0…01111111＝1111111＝

＝＝＝＝

    ＝       ＝     ＝      ＝

                       表三                   表二

    1

   1  1

  1 2 1        扬

 1 3  3 1      辉

1 4  6 4 1     三

   ·       ·               角

   ·       ·               形

表四

在一个数制中，凡P＝Q+1＞Q的进制，称为“增强Q进制”。简称为“增在一个数制中，凡P＝Q+1＞Q的进制，称为“增强Q进制”。简称为“增Q进制”，以符号{Q^△}来表示。Q为自然数，显然，{0，1，2}二进制，即为“增二进制{二^△}”；  { 1，0，1}二进制也就是混二进制{二^*}，亦为“增二进制{二^△}”。此外，还有其他{二^△}。

1.2增一进制{一^△}及其运算

增Q进制{Q^△}中，当Q＝1时，即为增一进制{一^△}。增一进制{一^△}中，主要有二种。其一是{0，1}一进制，其元器件为二态器件。其二是{ 1，1}一进制，其元器件亦为二态器件，它亦可表示全部整数。本文仅采用{0，1}一进制来分析。

增一进制{一^△}的运算。这里列出加法运算，例如{+}4+3+2＝9＝{一^△}110101+1011+101＝11001100010101011。

1.3增一进制{一^△}与{Q}的关系。

1. 3.1{一^△}数与{Q}数的转换法。

{一^△}数转换成{Q}数，可以将{一^△}数中的各位数字1，以{Q}计数即可。所得{Q}计数和，即为相应的{Q}数。这就是说，{一^△}数中有几个1，则相应的{Q}数即为几。显然，这是十分简单的法则。(见表二)

{Q}数转换成{一^△}数，可将{Q}数各位均乘以各位上的权，然后将这些积以同样个数的1，分别在所要表达的{一^△}数位置上，以不重复的方式列出即可。这就是说，{Q}数为几，则{一^△}数中就有几个1。显然，这也是十分简单的法则。(见表三)

1.3.2{一^△}数与{Q}数对照表及其说明

见表二、三(令Q＝2、10)

说明：①{一^△}数可表示全部{Q}数

②有较多的重复数，以4位{一^△}数为例，除0及4唯一外，其余均有重复数。其中，1有4个；2有6个；3有4个。于是，从0～4的重复数分别为1，4，6，4，1个。这与二项式展开系数C^K _n是一致的。(位数n为自然数，K为0～n。)(见表四扬辉三角形。)

③表中0表示为任意非负整数位连续的0。这与混Q进制中是一样的。称为“无限延数”。{一^△}数中，无限延数有且仅有一个，即为“ 0”。

1.3.3{一^△}与{Q}关系分析。

(1)Q1，Q为自然数；1为最小的自然数，也是最基本的自然数单元。Q包含1，这使得相应的{Q}及{一^△}之间存在自然的联系。

(2){Q}数与{一^△}数的关系是“一多对应”关系，而不是“一一对应”关系。正由于此，{一^△}就获得了多样处理的灵活性。这是{一^△}运算中快速性的原因之一。从这一点来说，{一^△}具有较强的功能。

(3){一^△}数转换为{Q}数，只能化为相应唯一的一个数。这是因为，{一^△}数可经{Q}加减直接获得，而{Q}数加减运算后的结果是唯一的。反之，{Q}也只能化为相应唯一的一组{一^△}无限延数。所以，这种{Q}数的“一”与{一^△}无限延数的“一”组两者是“一一对应”关系。由此，可建立一种{一^△}数与{Q}数的互为映射关系。对于运算系统来说，{Q}与{一^△}数系统是“同构”。相应{Q}数的各种运算性质，亦在{一^△}数系统中成立。

(4){一^△}中P＝Q+1＞Q，因而在该数制中，自然数有时会出现多种形态表达，这正是该数制灵活性所在，它使得运算得以简便快捷。也可以说，{一^△}是以多样性来换取了灵活性。

{Q}中P＝Q，因而在该类数中，自然数是连续唯一形态表达。它没有这种多样性，也缺少了这种相应的灵活性。

(5)上述{一^△}与{Q^*}相结合，使得功能更加增强。考虑到{一^△}→{Q}→{Q^*}这其中有着内在的联系，显然，这一切均在预料之中。

1.4增一进制{一^△}的应用

1.4.1增一进制{一^△}的运算是一种优异的运算。由于它以权为1的单元1配以0构造数，故其运算中常以“传送”来实现。这是{一^△}数运算中快速性原因之一。{一^△}数运算中的“进位”，也可以当前位的二数按位加和为0，而进位为Q的“划Q”逻辑实现。这种“传送”及“划Q”的逻辑实现，结构特别简单，速度却特别的快。这是{一^△}数运算中快速性原因之二。

当{一^△}数与纯{Q^*}数结合运算时，又补充了“对冲”这一结构更为简单、速度更为快速的逻辑。这是{一^△}数运算中快速性原因之三。

1.4.2{一^△}与{Q^*}结合可作为多种新一代超高速电子计算机的技术方案。[详见下一章。]

2.全一进制、全一数及全一码

2.1全一进制和全一数

增一进制{一^△}数的多样性是{一^△}数运算快速的原因之一。{一^△}数在“多重运算”时，在没有必要获得最终结果的过程运算中，产生的每一重数据均保留在相应的多重寄存器中作为中间结果。

但是，由于{一^△}数具有极端的多样，常造成数运算形式难以把握。因此，在一般情况下，有必要对{一^△}数加以某种约束条件，使其减小多样性。这就产生了“全一进制”。

在增一进制{一^△}的正整数中，限定每一组无限延数，只选取从个位开始，从右向左连续排列1的唯一的一种形态表达。例如：{+}数3＝{一^△}数 (“/”表“或者”)，限定为{+}3＝{一^△}

这样，每一组无限延数中的重复数均被删除，只剩下一个全是1的唯一形态。我们称为“全一数”。表达“全一数”的进制称之为“全一进制”。表二中，{一^△}数最左边的形态，即为“全一进制”数。当考滤到正负整数时，可以将该全一进制数的符号，分配到该数的各位上去。从而构造带符号的全一进制。下述“全一进制”均为此种带符号的全一进制。

因此，“全一进制”是加特定约束条件的增一进制{一^△}。

在《数制理论》中，当定义空位表示0，具有隐含的“空位0”，即“空元”概念时，则全一进制可以从加符号位的{1}一进制获得；全一进制也可以从不含0的混Q进制{不含0 Q^*}中的{1，1}一进制加约束条件获得，约束条件为该进制数必须各位上符号均相同；全一进制还可以从不含0增一进制{不含0一^△}中的{1，1}一进制加上述同样约束条件获得。

2.2全一码

全一进制显然具有如下优缺点。优点：①运算速度快。“传送”代替了“翻转”。②多重运算时，不需要二、二求和，只需要先“对冲”及后“划Q”即可得结果。这就大大加快了总体运算速度。③与{Q}转换方便。缺点：①“字长”太长，位数多。但，当取可变字长时，其平均字长仅为一半。②荷载信息量较小。因此，根据全一进制的优缺点，扬长避短，以全一进制来编码{Q^*}是合适的。以“全一进制”来编码，称为“全一编码”。“全一编码”中采用的“全一数”，称为“全一码”。由上述全一进制是带符号的可知，全一码也是带符号的。表五，显示出全一码一位，编码{二}数元的情况。由表五可见，全一码一位编码的{二}数，即为{二}数本身。表六，显示出以全一码九位，编码{十}数元的情况。由表六可见，全一码九位编码的{十}，字长增加至9倍。但，当取可变字长时，其平均字长仅为5倍。

例如：{十}23＝全一码   ＝ ≡。

对于混Q进制{Q^*}，则可以全一码来编码。需要指出的是，这里全一码一位编码的{二^*}数，即为{二^*}数本身；这里{十^*}数，则

   全一码  {二}数元     全—码          {十}

    0       0

    1       1

表五                             表六

以九位全一码来编码。

2.3全一码的计算。

全一码的计算非常简单。以二数加法为例，仅为二数中1的不重复排列，简称为“排1”。如11+111＝11111。

特别是，在{Q^*}数字工程中，仅仅只需先“对冲”后“划Q”就能获得{Q^*}数运算结果。当最终结果需要输出时，才将{Q^*}数转换成{十}数输出。

2.4全一码的应用。

全一码主要应用于对{Q}及{Q^*}数进行编码。特别是，

①采用全一码九位编码{十}数，可以实现普通十进制{十}、全一码电子计算机。

②采用全一码九位编码{十^*}数，可以实现混十进制{十^*}、全一码电子计算机。

③采用全一码编码{Q^*}数，可以实现混Q进制{Q^*}、进位行、全一码电子计算机。

④采用全一码九位编码{+}或{+^*}数，再以正负码来二次编码，可以实现另一种新型算盘。

⑤采用全一码九位编码{+}或{+^*}数，再以正负码来二次编码，可以实现另一种新型笔算工程。

第四部分正负码

(一)人为构造如下正负码₁，参见表七

正负码₁编码，是将混十进制数的每一位数字s，以三位特定值之和来编码。其中，一位正值，一位0值，一位负值。(见{十^*}数与正负码₁对照表。)表中：s为{十^*}整数，r＝{十}0，1，2，3，4，5。

         表七混十进制数与正负码₁对照表

显然，

图1中算珠在竖档的上、中、下三个位置，即成为“上珠”、“中珠”和“下珠”。以上珠来表示这里的正值，以下珠来表示这里的负值，以中珠(又称为“零珠”)来表示中间值0。采用中间值0的设计，是为了存放多余的零珠。在运算过程中，当算珠从下位移到中位，或从中位移到上位，则为“加”；反之，当算珠从上位移到中位，或从中位移到下位，则为“减”或“加”负值。运算中可充分运用“对冲”及“划十”，用来提高运算速度。

(二)人为构造如下正负码₂，参见表八。

正负码₂编码，是将混十进制数的每一位数字s，以二位特定值之和的一半来编码。其中，一位正值，一位负值。(见{十^*}数与正负码₂对照表。)表中：s为{十^*}整数。

       表八混十进制数与正负码₂对照表

表八中，左下方—表示产生负进位；右上方—表示产生正进位。

图2中算珠在竖档的上、下二个位置，即成为“上珠”和“下珠”。以上珠来表示这里的正值，以下珠来表示这里的负值。至于0值，则以“上珠”与“下珠”均为5只来表示。在运算过程中，当算珠从下位移到上位，则为“加”；反之，当算珠从上位移到下位，则为“减”或“加”负值。运算中可充分运用“对冲”及“划十”，用来提高运算速度。

正负码₂与正负码₁相比，不需要“零珠”，因此，只要二位编码即可。这对拨打算珠时，希望确保状态稳定有利。但是，正负码₂判断数时，须去掉5的影响。

采用正负码来编码的优点是：(1)适于混十进制运算；(2)产生新的重复数，增强了数据表达形式的多样性，从而提高了运算速度。

采用正负码来编码的缺点是：正负码编码二位或三位，使操作的复杂性增加。

Claims (10)

1.一种混Q进制、进位行数字工程方法，包括以下步骤：

第1步，将参与运算的普通Q进制数的每一位数字都加上一个数符，即表示该位数为正或负，使它成为每一位均带符号的混Q进制数，设，参予运算的数为K个混Q进制数，K为≥2的正整数；

第2步，对K个数同时进行混Q进制的求和运算，从最低位开始按位相加，即在某一位上，取前述K个数中的二个数按位相加，得到“按位和”为该位这二个数相加的和数，将此和数记入下一运算层，作为“部份和”数；同时所得“混Q进位”，则存放到下一运算层的任一进位行中与该位相邻的高位处；

第3步，在该位上取K个数中的另二个数，进行第2步的运算，如此反复，直至K个数均取完为止；当K个数中仅剩下一个数时，则直接移至下一运算层的同一位上作为“部份和”数；

第4步，在上述某位的相邻高位上，重复第2步及第3步的运算，直至K个运算数的每一位都已全部操作；

第5步，在下一个运算层中，将上述“按位和”数与进位行中的“进位数”进行前述第2步、第3步、第4步求和运算；

第6步，重复第2步至第5步的运算，直至不产生“混Q进位”为止，则最后一次“按位加”所得和数，即为所求加法运算结果。

2.如权利要求1的混Q进制、进位行数字工程方法，其特征在于在某一位上，对K个数中的二个数进行求和运算时，如果其中两个运算数的该位为相反数，则该位和为零，然后将该两个运算数的某位均以逻辑方式置“0”，不再参加以后的运算，这称为“对冲”；如果在某一位上，对K个数中的二个数进行求和运算时，其中两个运算数的按位加和为零，但产生进位，则将其进位放入任一进位行中的相邻高位，然后将该两个运算数的某位均以逻辑方式置“0”，不再参加以后的运算，这称为“划Q”；或者，不采用“对冲”及“划Q”。

3.如权利要求1或2的混Q进制、进位行数字工程方法，其特征在于可以不编码混Q进制；可以普通8421码等来编码混Q进制数；也可以全一码来编码混Q进制数，即将各个混Q进制数的每一位数S，都以S个1从最低位顺序至高位排列来对应，其余高位均为0，总位数则为(Q-1)位；同时，将混Q进制数中该位的数符，即表示该位的数为正或负，作为相应全一码中每一位上的数符。

4.如权利要求1-3任一个的混Q进制、进位行数字工程方法，其特征在于当采用全一码来编码混Q进制数时，二数加法仅为二数中1的不重复排列。

5.权利要求1或2的混Q进制、进位行数字工程方法，其中所述运算数是混Q进制数，Q为自然数。

6、一种混Q进制、进位行算盘，即混Q算盘，在盘状长方形机械框架结构中，以人工手动方式使算珠(1)沿竖档上下移动进行数据连接计算，其特征是：具有竖档(7)，其上有可垂直移动的一些算珠(1)；具有游标1(3)、游标2(4)，可在上框(5)的上框小槽(6)中左右滑动。

7、根据权利要求6中所述的一种混Q算盘，其特征是：竖档(7)可以为15档，或15档以上，或15档以下。

8、根据权利要求6或7的混Q算盘，其特征是：每根竖档(7)上有10只算珠(1)，或者有9只算珠(1)。

9、根据权利要求6所述的一种混Q算盘，其中所述运算数用正负码编码来表示。

10、根据权利要求6所述的一种混Q算盘，其中所述运算数是混Q进制数，Q为自然数，特别是普通十进制数。

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