CN1619483A - 偏q进制、进位行数字工程方法和笔算工程 - Google Patents

Abstract

本发明涉及数字工程方法和笔算工程领域，提出又一种新的数字工程方法，显著提高运算速度，而且大大降低笔算的出错率。本发明采用“偏Q进制”“进位行方法”：将参与运算的K个普通Q进制数转换成偏Q进制数。然后对K个数一起进行偏Q进制的求和。从最低位开始或各位同时“按位加”，和数记入下一运算层，同时所得“偏Q进位”，则存放到下一运算层的任一进位行中与该位相邻的高位处。经过如此反复运算，直至不产生“偏Q进位”为止。则最后一次“按位加”所得和数，即为所求偏Q进制加法结果。本发明同时提供了数字工程领域的偏Q进制、进位行笔算工程。

Description

偏Q进制、进位行数字工程方法和笔算工程

技术领域

本发明涉及数字工程方法和笔算工程领域

背景技术

数字工程包括数控机床、大中型数字化设备和数字系统工程等等。本发明中“数字工程”是专指“数字计算系统工程”。它不是解决一个个具体的算题、或定理证明、或几何问题、或某种数学思想，而是解决四则运算法则等计算系统本身的数字工程实现技术方案。它与具体的计算工具密切相关。众所周知，“计算”有好多种，除“近似计算”、“模拟计算”及“无工具计算”(心算、指算、口算，包括口诀、速算、估算)外，则为“采用工具的数字计算”。“采用工具的数字计算”历史上包括笔算、珠算、机械算、电算，以及筹算等。现代仅剩下三种，这就是数字电算、珠算、笔算。与此相应的数字计算系统工程也就仅有三种：数字计算机；算盘；采用笔和纸进行笔算的数字计算系统工程，简称为“笔算工程”。

四则运算是数的最基本运算。正如恩格斯所说：“四则(一切数学的要素)。加法又是四则运算的最基本的运算。因此，我们理所当然应当对四则运算，尤其是对加法运算给予特别的关注。当前数字工程方法中的四则运算，首先是加法，有许多不尽如人意之处。主要表现为运算速度慢；在减法中，未能充分利用负数的作用，而且，不能“连减”。尤其在加减联合运算中，不能一步到位；在乘法中，加法的缺点更加扩大严重；在除法中，上述缺点依旧。总之，在最小的数体——有理数体中，四则运算情况并不满意。

在笔算数字工程中，对运算的解剖，表明存在一些隐含的操作程

 式一                      式二

序，以至产生“隐患”。以加法为例，例一“两数相加”，算式如式一。[文中凡未标明数制的数，均指普通十进制数。下同。]其中，十位上的和数3，解剖一下，其微程序操作是： 个位上来的进位(见标志)十位上5、7两数字与低位进位相加，即(5+7+1)。取其和的个位。

上列(5+7+1)和的进位送到高位(见标志)。其余各位情况类似。又如例二，设三数求和，算式如式二78+297+259＝634。如图可见，上述情况更为加重。

显然，存在下列缺点：

a.进位标示困难。若用小数字表明，则易混淆且字面积受限。特别是表456789时就更烦人；若以“.”字写在数字间，则易与小数点混淆且表示456789也不便；若以手指数数，则速度慢且不方便；若心算，则费脑力且易错。总之，比较讨厌，易出错。

b.一般两数相加时，每一位上要有三个数相加求和。于是，需三重运算。三及三以上个数相加求和时，则更不方便。

c.验算困难。一般采用重做一遍，费时费力。

减法比加法麻烦。而且不能在同一竖式中“连减”，必须断开。特别在加减混合运算时，不能一步到位。乘除法中，这类情况更为严重。而且，加减乘除运算格式不统一，除法时另起炉灶。

另一方面，在电子计算机的数字工程中，同样有大量的数值运算。这些数一般均采用普通二进制数制来表示。其负数常以原码、反码、补码、移码之类来表示。在现有计算机中运算均以二个数运算，而无法实现“多重运算”。所谓“多重运算”，是指多于二个数同时进行加减。

在采用其他普通Q进制等普通数制的电子计算机中，存在相应的许多复杂性。[Q为自然数。]

发明内容

本发明提出又一种新的数字工程方法，显著提高运算速度；同时加强运算正确性的保障，在“笔算工程”中，大大降低笔算的出错率。

本发明的另一个目的是提供又一种新的“笔算工程”技术方案，显著提高“笔算工程”的运算速度。同时加强运算正确性的保障，在“笔算工程”中，大大降低笔算的出错率。

根据本发明的一个方面，提供一种偏Q进制、进位行数字工程方法，采用“偏Q进制”的“进位行方法”。包括以下步骤：

第1步，设K个普通Q进制数参予运算，K为≥2的正整数，Q为自然数；将这些数转换成偏Q进制数；

第2步，对K个数同时进行偏Q进制的求和运算，从最低位开始或各位同时按位相加，即在某一位上，取K个数中的二个数按位相加，得到“按位和”为该位这二个数相加的和数，将此和数记入下一运算层，作为“部份和”数；同时所得“偏Q进位”，则存放到下一运算层的任一进位行中与该位相邻的高位处；

第3步，在该位上取K个数中的另二个数，进行第2步的运算，如此反复，直至K个数均取完为止；当K个数中仅剩下一个数时，则直接移至下一运算层的同一位上作为“部份和”数；

第4步，在上述某位的相邻高位上，重复第2步及第3步的运算，直至K个运算数的每一位都已全部操作；当K个数的各位同时进行第2步及第3步运算时，则本步可跳越过去；

第5步，在下一个运算层中，将上述“按位和”数与进位行中的“进位数”进行前述第2步、第3步、第4步求和运算；

第6步，重复第2步至第5步的运算，直至不产生“偏Q进位”为止，则最后一次“按位加”所得和数，即为所求偏Q进制加法运算结果。

上述偏Q进制数可以不编码；或以普通二进制数编码；或以正负码等来编码；或以全一码来编码，即将各个偏Q进制数的每一位数S，都以|S|个1从最低位顺序至高位排列来对应，其余高位均为0，总位数则为Q/2位；同时，将偏Q进制数中该位的数符，即表示该位为正为负，作为相应全一码中每一位上的数符。全一码编码偏Q进制数时，二数加法仅为二数中1的不重复排列，称为“排1”。

上述运算数是偏Q进制数，Q为自然数；或者是普通对称Q进制数，Q为＞1的整数；或者是混数数制数。

根据本发明的另一个方面，提供一种偏Q进制、进位行“笔算工程”技术方案，包括：采用增Q进制、进位行方法、普通Q进制数转换为增Q进制数；以及增Q进制数，转换为普通Q进制数。方案还包括采用全一码编码；或者采用二进制数编码；或者不编码。在运算过程中，首先将普通Q进制转换为增Q进制数，然后采用“进位行方法”进行运算。在加减运算的情况下，进行增Q进制、进位行“增进方法ZJF”的求和运算。运算结果可得“增Q进制”的“增Q数”。当最终需要时，再将“增Q数”转换为普通Q进制数；或者普通十进制数。

新“笔算工程”技术方案中运算数是偏Q进制数，Q为自然数；或者是普通对称Q进制数，Q为＞1的整数；或者是混数数制数。

具体实施方式

第一部分  偏Q进制、进位行数字工程方法

1.《进位行方法》

1.1进位与《进位行方法》

在电子计算机中，运算速度提高的关键之一，就在于“进位”。进位的获得，进位的存贮以及进位的参予运算都是至关重要的。“进位”就是争“速度”。在笔算工程中，还直接影响到“出错率”。

所谓《进位行方法》就是，在运算过程中，将产生的进位存放在参予运算与“按位和”数同等的位置上，然后与“按位和”一起进行运算。通常将同运算层中两数相加时，各位上的进位排列成一行，称为“进位行”。(运算层的概念，见下节)

举例如下，设两普通十进制数求和，算式以竖式求和。如式三：

为简化起见，这里将横竖式合写。个位运算(6+8)＝14，其进位1

123456+345678＝469134

式三

写于下一行的高一位上。依此类推。式中二数相加时，各位上不计进位的求和，称为“按位加”。其和称为“按位和”。按位和的运算行，称为“行”。

各进位排成的行，称为“进位行”。由行与进位行组成“运算层”。

式中一些“+”号已省去。以后可以知道，在偏Q进制、进位行数字工程方法《偏进方法PJF》中，各个“运算层”只存在一种运算，这就是“+”。故可以不必在运算层中写出“+”号。

1.2《进位行方法》分析

1.2.1二数求和的分析

采用《进位行方法》的加法运算由上节可知：

①两数相加时，每一位上只有二个数相加；

式四                                 式五

②在进位行中直接标示进位，不存在任何困难；

③验算十分方便。

[引理一]两数相加时，任意位上要么有进位记为1，要么无进位记为0；

[引理二]两数相加时，任意位上的和可为0～9之一。但是，当该位上有向高位进位时，该位上的和只能为0～8之一，而不能为9。

由[引理一]和[引理二]可得：

[定理一]两数相加时，当且仅当某位上没有向高位进位时，该位上的和才可能出现9。

1.2.2层次概念及运算层

设两数求和。算式为式四、式五

由式四可见，运算是分层次进行的。运算层将一个运算解剖成微运算、子运算。每一运算层，仅完成一项简单运算。这就是运算的“层次”概念。“层次”概念是数学中的基本概念，《进位行方法》正是建立在此基础上。以往的加法运算方法，本质上也隐含“层次”概念。因此，《进位行方法》中的“层次”从总体上看，并未增加运算的复杂性。反之，以往的方法由于隐含了“层次”，反而进一步增加了运算的复杂性。这一点，也进一步造成运算速度被降低。两者对比，就会一清二楚。

在《进位行方法》中，两数相加的各个运算层，可以合并为一个运算层。如式五。请见进一步分析。

1.2.3唯一的运算层

两数相加时，特别情况下会出现多次运算层。各层有如下关系成立。

[引理三]二数相加，当某位前一运算层上有进位时，其后各运算

     式六                    式七

层上均不可能出现进位。(由引理一、二得)

[引理四]二数相加，当某位后一运算层上有进位时，其前各运算层上必无进位。(由引理一、二得)

[定理二]二数相加时，同一位各运算层上，要么都无进位，要么只能有一个进位。(由引理三、四得)

[推  论]可以将全部各层进位行合并为一个进位行，各运算层合并为一个运算层。

1.2.4三数及三数以上求和分析

设三数求和，算式为231+786+989＝2006(见式六)

操作要点：①“划Q”的运用；

所谓“划Q”，即Q进位的两数在某位上相加时，其按位加和为零，但该位上产生进位(与两数符号一致)。进位放入进位行；同时，在某位上，该两数均不再参加运算。在十进制时即为“划十”。

a、同一位上两数和为“十”时，可在算式中将两数字以斜线划去，然后在高位上补1。

b、同一位上几数和为20、30、40……等时，可将几数字均划去，然后在高位上补2、3、4……等。

又，设六数求和。算式为786+666+575+321+699+999＝2046(见式七)。

②多个数相加，会出现二个及二个以上的运算层。为了减少运算层数，同一位上的同一运算层空位中，进位及和数可以任意占位。

③尽量减少运算层。a、较小的数，直接合并算；b、尽量在“配对”中进位；c、尽量减少在第一运算层上相加数的个数，尽量使第二及二以上运算层不出现。

④同一位上，“相同数”、“连续数”等可直接获得“部分和”。

2.混数及混数数制

2 1《数制理论》

2.1.1按同一种规则记录数，便于用来在一个数系统中进行运算的数的制度，称为“记数系统的制度”。简称为“数制”。一个数的质，首先就是由其所属的数制来决定的。恩格思指出：“单个的数在记数法中已经得到了某种质，而且质是依照这种记数法来决定的。”“一切数的定律都取决于所采用的记数法，而且被这个记数法所决定。”

《数制理论》就是研究数制的生成、分类、分析、比较、变换等以及数制在各邻近学科与实践中应用的科学。它是数学的基础理论之一。数学科学，即“数”的科学。“数”的基本为“数制”。因此，“数制理论”是“数论”的基础，是“核心数学”的“核心”之一。

数制是数的属性。不存在没有所属数制的数，也不存在没有所属数的数制。

2.1.2位值制数制

设，构造一个数系，其中的数以各不相同位置上的“数符”来表示。“数符”又称“数字”。数字通常从右向左水平排列，对于每个数位上的全部数字均给定一个单位值(又称“位值”)，其值由低(小)到高(大)。以此表示整个数系中每一个数的数制，称为“位值制数制”。

我们以下讨论的数制，都是“位值制数制”。简称为“数制”。所讨论的数除特别注明的外，均约定为整数。

2.1.3数制的三大要素：数位I，数元集Zi和权Li。

a、数位I，表示数制中数的各位数字的位置。以I(序数)从右自左来表示。即，i＝1，2，3，……表示该数的第1，2，3，……位。

b、数元集Zi，表示第I位上的“数元”组成的集合。同一数制系统中，各个数同一位上不同符号的全体，组成一个该位上的数符集。该数符集中的元素，称为“数的元素”。简称为“数元”。因此，该数符集称为“数元集”。数元集Zi可以随着i的取值不同而不同，也可以相同。当各位上的Zi均为相同的Z时，相应的数制称为“单一数制”；当各位上的Zi不全相同时，相应的数制称为“混合数制”。单一数制为Q进制时，称为“单一进制”；混合数制均属Q进制时，称为“混合进制”。(Q进制定义见本节后述。)

数元集Zi中的数元可为复数或其他多种多样符号。在《数制理论》中，以a_j来表示数元(a₁，a₂，a₃，……)，j为自然数。以ia_j表示第i位上数元a_j。约定，a_j＝-A(A为实数)时，可表示为a_j＝ A。数元集Zi以集合{a₁，…，a_j，…}来表示，即Zi＝{a₁，…，a_j，…}。或者Zi以文字表明其特征。

数元集Zi的基数Pi(Pi为自然数)表示了集的元素总数。恩格思指出：它“不但决定它自己的质，而且也决定其他一切数的质。”Pi的取值不同，标示了数元集Zi的变化。各位上的Pi为相同的P，则称为“单一基数”；否则，称为“混合基数”。

在《数制理论》的“位值制数制”中，定义数中的空位表示0，具有隐含的“空位0”；在数元集中，“空位”是一种特殊的数元，称为“空位元”。简称为“空元”。“空元”是每一个“位值制数制”数元集均有的数元，其在数元集中的表示即为“空位”。另一方面，“空元”是数元集中唯一通常不计入数元a_j，也不计个数，即个数为0的数元；在特别情况下，则对“空元”加以注明将其计入数元，其个数计为1。

c、权Li，表示第i位上的位值大小。特称此位值为“权Li”。

Li为实数(由于复数集非有序体，故不采用)。不同的Li，就决定了不同的位值。在“编码理论”中，“编码”的主要特征就在于权Li。

实际中常见的权Li采用所谓“幂权”。即，令Li＝Q_i ^(i-1)，Q_i为实数。为便于计算，通常取Q_i为自然数。常见各位Li均为幂权，而且成等比Q的数制。Q称为数制幂权的“底数”或数制的“底数”。底数Q的不同，决定了不同的Li，从而决定了不同的位值。这种数制称为“Q进制”。简称为“进制”。Q_i可以阿拉伯数字来表示，也可以中文小写数字来表示。当Q＝2，3，10等时，相应的进制就被称为“二进制”、“三进制”、“十进制”等。

另一种常用的权Li采用“等权”，即各位上的权L相同。

在任一个Q进制数制中，当P＝Q时，自然数在该数制中可以连续唯一的形态表达，称为“连续数制”，又称“普通数制”；

当P＞Q时，自然数在该数制中可以连续，但有时以多种形态表达，称为“重复数制”；

当P＜Q时，自然数在该数制中只能断续的形态表达，称为“断续数制”。

根据上述数制的三大要素，数制可以有无穷无尽的种类。

2.2混数及混数数制

当数元集Zi中，含数元0时，该相应数制被称为“含0数制”；当数元集Zi中，不含数元0时，该相应数制被称为“不含0数制”。

当数元集Zi中，既有正数元，又有负数元时，相应数制被称为“混数数制”；混数数制中的数，称为“混数”。“混数”中既有正数元又有负数元的数，称“纯混数”。在{Q’}数中，既有正数元又有负数元的数，称为“纯{Q’}数”。({Q’}定义见下一节。)

当数元集Zi中，全部数元为连续整数成为“整数段”时，该相应数制被称为“整数段数制”；恩格斯指出：“零比其他一切数都有更丰富的内容。”鉴于“0”的这种特殊重要性，在《数制理论》中，含0整数段去掉0时，仍作为一种特殊的整数段。

当数元集Zi中，正负数元是相反数时，相应数制称为“对称数制”；显然，“对称数制”是“混数数制”的一种。

2.3偏Q进制{Q’}

在《数制理论》中，一个数制的名称采用“Zi Li”。对Q进制，则为ZiQi；单一进制时，则为ZQ。其中，Q_i以中文小写数来表示。例如{0，1，2}三进制。

对于含0的普通Q进制，Z＝{0，1，…，(Q-1)}。故ZQ＝{0，1，…，(Q-1)}Q，Q为＞1的整数，称为“含0普通Q进制”。符号表示为{含0，Q}；对于不含0的{1，2，…，Q}Q，Q为自然数，称为“不含0普通Q进制”。符号表示为{不含0，Q}。

含0和不含0的普通Q进制，合起来统称为“普通Q进制”，Q为自然数。符号表示为{Q}。当不致误解时，“含0普通Q进制”亦可称为“普通Q进制”，亦以符号{Q}来表示。故可以符号{二}及{十}来表示普通二进制及普通十进制。

本文中的混数数制主要为以下几类。

对于含0的{0，±1，…，±(Q/2-1)，Q/2}Q进制，Q为正偶数，称为“含0偏Q进制”。符号表示为{含0，Q’}；对于不含0的{±1，±2，…，±(Q-1)/2，(Q+1)/2}Q，Q为正奇数，称为“不含0偏Q进制”。符号表示为{不含0，Q’}。

含0和不含0的偏Q进制，合起来统称为“偏Q进制”，Q为自然数。符号表示为{Q’}。当不致误解时，“含0偏Q进制”亦可称为“偏Q进制”，亦以符号{Q’}来表示。故可以符号{十’}及{二’}来表示“偏十进制”及“偏二进制”。在《数制理论》中，{十’}的名称是：“单一基数P＝11，含0，整数段，对称的十进制”。可写为{十一，含0，整数段，对称}十进制，或者写为{0，±1，±2，…，±5}十进制。一般情况下，进一步符号表示为{十’}，称为《偏十进制》；{二’}的名称是：“单一基数P＝3，含0，整数段，对称的二进制”。可写为{三，含0，整数段，对称}二进制，或者写为{0，±1}二进制。一般情况下，进一步符号表示为{二’}，称为《偏二进制》。

在混数数制中，另一类为普通对称含0的{0，±1，…，±(Q-1)/2}Q进制，Q为＞1的奇数，称为“含0普通对称Q进制”。符号表示为{含0，称Q}；对不含0的{±1，…，±Q/2}Q进制，Q为正偶数，称为“不含0普通对称Q进制”。符号表示为{不含0，称Q}。

含0和不含0的普通对称Q进制，合起来统称为“普通对称Q进制”。Q为＞1的整数。符号表示为{称Q}。当不致误解时，“含0普通对称Q进制”，亦可称为“普通对称Q进制”，亦以符号{称Q}来表示。

3.《偏进方法PJF》及其偏十进制{十’}四则运算。

采用偏Q进制和《进位行方法》来进行有理数运算的方法，称为《偏Q进制、进位行方法》，简称为《偏进方法PJF》。当用于算盘或笔算数字工程，采用的是{十’}偏十进制等的《偏进方法PJF》。当用于电子计算机等之中时，采用的是{二’}偏二进制以及{十’}偏十进制等的《偏进方法PJF》。

3.1{十’}的加法

例：1 23+344＝43 3    (见式八)

式中求得和为43 3。当需要转化为普通十进制{十}数时，和为

式八

427。一般来说，所求和43 3不必转化(特别是作为计算过程中间结果时)。确需转化时，方法见4.1转换法则。

3.2{十’}的减法

3.2.1例1 23-344＝1 23+ 3  4  4＝ 34 1

例112+1 4  4+ 3  2+ 115+133+ 154＝1 32(见式九)

首先减法化为加法来运算，这是由于混数的特性所决定。这一来，实际计算中，加减就合并为加法了。这就消除了通常连加减的困难。

3.2.2约混。这是指二数求和时，同一位上的相反数可以消去，也可称为“对消”或“对冲”。在算式中，可以斜线划去。也就是说，所谓“对冲”，即两相反数，其和为零。该位上的两数不再参加以后的运算。在实际运算中，采用先“对冲”后“划Q”来获得偏Q数的结果。

式九             式十

3.3{十’}的乘法

例2 42×1 31＝11502(见式十)

3.4{十’}的除法

的例1 4  33 2÷23＝25 1……1

要点：①式十一采用原普通除法，现采用四则统一算式如式十二。

②式十二中由于采用混数可使除法中的“减”过程变为“加”过程。其余同此。

我们为了去掉“减”过程的思路，可以令被除数变号，然后，整个“减”过程完全变成“加”过程。这可使整个运算的复杂性进一步降低。以后，

      式十一                 式十二

                                                 式十三

我们的除法就以此来进行。应该注意，此时若出现余数则要将该余数变号后，才是最终运算结果的余数。

4.《偏十进制》{十’}与《普通十进制》{十}的关系。

4.1{十’}与{十}数的转换法

这里指整数的情况，例如{十’}222 32 4＝{十}221716(式十三)。

4.1.1{十}数需经表一转换成为{十’}数，只要将这些普通Q进制数的正负符号，分配到相应这些数的每一位上去。

4.1.2{十’}数转换成{十}。方法有几种：一种是将{十’}数变为一正一负的两个{十}数求和。这有好多方式。其中，典型的是将该{十’}数中各正数字位及0位作为一正{十}数，而将各负

{十}→{十’}          {十’}→{十}

0     01     12     23     34     45     56    1 47    1 38    1 29    1 110    1011    11    

0     01     12     23     34     45     51 4   61 3   71 2   81 1   910    1011    11    

            表一

数字位作为一负{十}数。例{十’}3 82 2  96＝{十}302006-80290＝221716

再一种是在该数的各位上，使正数不变；负数变为其绝对值对10取“补”数，同时在相邻的高位减1(即加1)。

另一种方法是：式十四{十’}数中，连续正数字(或0)的数字段照写不变。如222×2×。但，当其不在{十’}数末尾(个位)时，则最低位加1；连续负数字的数字段，则使负数字变为其绝对值对9取“补”数，如×××6×5。然后，在其最低位加1。

这样，求得结果为221716，即为相应{十}数。

4.2{十’}与{十}对照表及其说明(对照表见表一)

说明：

①{十}数中有数字5的，其相应{十’}数可有重复数，也可没有；

②凡{十}数中有数字5(正或负)出现时，则相应{十}数有重复的{十’}数。此时，该相应的{十}数中可有数字5，也可没有。实质上，由于{十}的数元集中既含有5又含有 5才产生相应的重复数。换句话说，只要{十’}的数元集中去掉5或 5，则不会产生重复数。这时，相应这种无重复数的数制称为偏Q进制{Q’}，Q＝10的情况。

③{十’}数对{十}数的重复数，以5＝1 5及 5＝ 15为“主重复”，即其余重复均可由此推出。

4.3{十’}与{十}关系分析

4.3.1{十}数与{十’}数的关系是“一一对应”关系。{十’}数转换为{十}数，只能化为相应唯一的一个数。这是因为，{十’}数可经{十}数加减直接获得，而{十}数加减运算后的结果是唯一的。反之，{十}数也只能化为相应唯一的{十’}数。所以，这种{十}数的“一”个数与{十’}数的“一”个数，两者是“一一对应”关系。

4.3.2由此，可建立一种{十’}数与{十}数的互为映射关系。对于运算系统来说，{十}与{十’}数系统“同构”。相应{十}数的各种基本运算性质，亦在{十’}数系统中成立。

4.3.3{十’}中P＝Q，因而在该数制中，自然数是连续唯一形态表达。它没有多样性，也缺少了相应的灵活性。

有了它，才有了《偏进方法PJF》，才有了“笔算工程”的又一个新技术方案。有了它，也才有了处理器及其相应电子计算机的又一个新技术方案。

4.3.4应当指出，显然，上述对{十}与{十’}的分析，完全相应于{Q}与{Q’}的分析，因为{十}与{Q}是同构的。由此可知，①{Q}数与{Q’}数的关系是“一一对应”。{Q}中的“一”个数与相应的{Q’}中的“一”个数，两者之间是“一一对应”关系。②{Q}与{Q’}数系统“同构”。相应{Q}数系统的各种基本运算性质，亦在{Q’}数系统中成立。

5.综合上述，可有如下简明结论：

偏Q进制{Q’}及《偏进方法PJF》在数字工程中，可显著提高运算速度，而且大大降低笔算的出错率。它正是钱学森指出的数学第三层次“直接应用的工程技术”。这种“工程技术”与数字计算工程紧密结合的方法，称为“偏Q进制、进位行数字工程方法”。

第二部分  偏Q进制、进位行笔算工程技术方案

(一)笔算工程中，数值运算在原理正确的前提下，最重要的有两点：一点是尽可能不出错，一点是希望运算速度尽可能快。然而，在实践中，这两点又常常处于对立矛盾状态。因为要不出错，常常只好降低运算速度。反之，要快速又常常出错。

制约上述二点的要害在哪儿？要害就在于“进退位”。运用前述偏Q进制、进位行数字工程方法的笔算工程，可以在数值运算过程中，使得各运算层次上的概念更简单、更基本、更清晰。同时，相应的操作可以更方便。这就使数值运算的易错性明显减少，而且运算速度得以明显提高。

由于人类最常用的数是普通十进制数，因此，基础数学都是应用普通十进制数。新笔算工程技术方案采用偏Q进制、进位行数字工程方法。

(二)新笔算工程技术方案采用了偏Q进制{Q’}，即，以偏Q进制{Q’}中的偏十进制来代替普通十进制{十}。

偏Q进制、进位行数字工程方法的笔算工程技术方案，又进一步采用偏十进制{十’}的《偏进方法PJF》。混数方法与进位行方法的结合，使两者正好互补，互相促进。因此，在《偏进方法PJF》中，运算速度大大提高；同时，在笔算工程中，还使出错率大大降低。

(三)新笔算工程技术方案中，普遍采用“多重运算”。即，多个数的加减在一次性运算中完成。这样，就彻底解决了“连减”及“连加减”的困难。同时，乘法本质上就是“连加”，除法本质上就是“连减”。因此，在乘除中，亦可运用“多重运算”来处理。

(四)新笔算工程技术方案中，广泛运用“对冲”(约混)及“划十”运算，用以提高运算速度并简化运算画面。所谓“对冲”，即两相反数相加，其和为0。所谓“划十”，即十进位的两数相加时，其按位加和为零，但产生进位(其符号与两数符号一致)。

偏Q进制、进位行数字工程方法中常采用全一码编码。但是，在笔算工程的应用中，由于全一码编码数的字长较长，故虽可用全一码来编码偏十进制数；亦可不另行编码。

理论和实践证明，偏Q进制、进位行数字工程方法和笔算工程是一种优异的笔算工程技术方案。从根本上来讲，它使十一×÷四则运算，也就是有理数运算，全面、系统地改观。它方便易行，即使对于初学者，运算数一下子也可扩大到任意多位，根本无需加以特别的限制。它的低出错率和快速，顺利地实现了数学及其教育的快乐原则。它的诞生有利于千秋万代的数学及教育基业。

(五)小结：

偏Q进制、进位行数字工程方法用于笔算工程，是切实可行的。笔算工程新技术方案可以大大提高运算速度，同时大大降低出错率。偏十进制{十’}在笔算工程中的应用，相对于普通十进制{十}是一场革命。

这种笔算工程新技术方案在人脑笔算，特别是在教科书中具有科教上的重大意义。考虑到今天以及未来基础数学及其教育在人类生活、生产、教学等等领域中的广泛应用及重大意义，那么，笔算工程新技术方案的用途和价值就是不言而喻的了。

          第三部分  偏Q进制{Q’}及全一码

1.偏Q进制{Q’}

1.1定义及符号

在一个Q进制数制中，凡P＝Q+1＞Q的进制，称为“增强型Q进制”。Q为自然数。简称为“偏Q进制”，以符号{Q’}来表示。偏Q进制{Q’}有很多种。其中对称的即为前述偏Q进制，此外，还有不对称的偏Q进制{Q’}。

1.2增一进制{一^△}及其运算

偏Q进制{Q’}中，当Q＝1时，即为增一进制{一^△}。增一进制{一^△}中，主要有二种。其一是{0，1}一进制，其元器件为二态器件。其二是{1，1}一进制，其元器件亦为二态器件，它亦可表示全部整数。本文下面所称“增一进制{一^△}”，除特别注明外，均指{0，1}一进制。

增一进制{一^△}的运算。这里列出加法运算，例如{十}4+3+2＝9＝{一^△}110 101+1011+101＝11001100010101011。

1.3增一进制{一^△}与{Q}的关系。

1.3.1{一^△}数与{Q}数的转换法。

{一^△}数转换成{Q}数，可以将{一^△}数中的各位数字1，以{Q}计数即可。所得{Q}计数和，即为相应的{Q}数。这就是说，{一^△}数中有几个1，则相应的{Q}数即为几。显然，这是十分简单

{一^△}{二}{十}  {十}{二}       {一^△}

 000    0   0     0  000    0…00000000＝

＝0

 001    1   1     1  001    0…00000001＝1＝

 010    1   1     2  010    0…00000011＝11＝

 011   10   2     3  011    0…00000111＝111＝

 100    1   1     4  100    0…00001111＝1111＝

 101   10   2     5  101    0…00011111＝11111＝

 110   10   2     6  110    0…00111111＝111111＝

 111   11   3     7  111    0…01111111＝1111111＝

                                

表二             表三

        1

      1   1         杨

    1   2   1       辉

  1   3   3   1     三

1   4   6   4   1   角

                形

  表       四的法则。(见表二)

{Q}数转换成{一^△}数，可将{Q}数各位均乘以各位上的权，然后将这些积以同样个数的1，分别在所要表达的{一^△}数位置上，以不重复的方式列出即可。这就是说，{Q}数为几，则{一^△}数中就有几个1。显然，这也是十分简单的法则。(见表三)

1.3.2{一^△}数与{Q}数对照表及其说明

说明：①{一^△}数可表示全部{Q}数

②有较多的重复数，以4位{一^△}数为例，除0及4唯一外，其余均有重复数。其中，1有4个；2有6个；3有4个。于是，从0～4的重复数分别为1，4，6，4，1个。这与二项式展开系数C^K _n是一致的。(位数n为自然数，K为0～n。)(见表四扬辉三角形。)

③表中 表示为任意非负整数位连续的0。称为“无限延数”

{ 一^△}数中，无限延数有且仅有一个，即为

1.3.3{一^△}与{Q}关系分析。

(1)Q1，Q为自然数；1为最小的自然数，也是最基本的自然数单元。Q真包含1，这使得相应的{Q}及{一^△}之间存在自然的联系。

(2){Q}数与{一^△}数的关系是“一多对应”关系，而不是“一一对应”关系。正由于此，{一^△}就获得了多样处理的灵活性。这是{一^△}运算中快速性的原因之一。从这一点来说，{一^△}具有较强的功能。

(3){一^△}数转换为{Q}数，只能化为相应唯一的一个数。这是因为，{一^△}数可经{Q}加减直接获得，而{Q}数加减运算后的结果是唯一的。反之，{Q}也只能化为相应唯一的一组{一^△}无限延数。所以，这种{Q}数的“一”与{一^△}无限延数的“一”组两者是“一一对应”关系。由此，可建立一种{一^△}数与{Q}数的互为映射关系。对于运算系统来说，{Q}与{一^△}数系统是“同构”。相应{Q}数的各种基本运算性质，亦在{一^△}数系统中成立。

(4){一^△}中P＝Q+1＞Q，因而在该数制中，自然数有时会出现多种形态表达，这正是该数制灵活性所在，它使得运算得以简便快捷。也可以说，{一^△}是以多样性来换取了灵活性。

{Q}中P＝Q，因而在该类数中，自然数是连续唯一形态表达。它没有这种多样性，也缺少了这种相应的灵活性。

(5)上述{一^△}与{Q’}相结合，使得功能更加增强。考虑到{一^△}→{Q}→{Q’}，这其中有着内在的联系。显然，这一切均在预料之中。

1.4增一进制{一^△}的应用

1.4.1增一进制{一^△}的运算是一种优异的运算。由于它以么元1配以0构造数，而且权为1，故其“运算”常以“传送”来实现。这是{一^△}数运算中快速性原因之一。{一^△}数运算中的“进位”，也以二数当前位的按位加和为0，而进位为Q的“划Q”逻辑实现。这种“传送”及“划Q”的逻辑实现，结构特别简单，速度却特别的快。这是{ 一^△}数运算中快速性原因之二。

当{一^△}数与{Q’}数结合运算时，又补充了“对冲”这一结构更为简单、速度更为快速的逻辑。这是{一△}数运算快速性原因之三。

1.4.2{一^△}与{Q’}结合可作为多种新一代超高速电子计算机的技术方案。

2.全一进制、全一数及全一码

2.1全一进制和全一数

增一进制{一^△}数的多样性是{一^△}数运算快速的原因之一。但是，由于{一^△}数具有极端的多样，在同一个数中可出现一次以上的无限延数，常造成数的表达形式难以把握。由此造成运算数过于分散，不便于控制，势必增加设备并且影响运算速度。因此，在一般情况下，有必要对{一^△}数加以某种约束条件。这就产生了“全一进制”。

在增一进制{一^△}的正整数中，限定每一组无限延数。只选取自个位开始，从右向左连续排列么元1的唯一的一种形态表达；高位上均为0，以空位表示。例如：{十}数3＝{一^△}数11/1110/1101/…(“/”表“或者”)，限定为{十}3＝{一^△}111＝

111。这样，每一组无限延数中的重复数均被删除，只剩下一个全是1的唯一形态，我们称为“全一数”。表达“全一数”的进制称之为“全一进制”。表三中，{一^△}数最左边的形态，即为“全一进制”数。当考虑到正负整数时，可以将该全一进制数的正负符号，分配到该数的各位上去，从而构造带符号的全一进制。下述“全一进制”均为此种带符号的全一进制。

因此，“全一进制”可以是加特定约束条件的增一进制{一^△}。

在《数制理论》的“位值制数制”中，定义数中的空位表示0，具有隐含的“空位0”；在数元集中，“空位”是一种特殊的数元，称为“空位元”。简称为“空元”。因此，“全一进制”可以从不含0普通Q进制{不含0，Q}中的{1}一进制加符号位获得；“全一进制”还可以从不含0增一进制{不含0，一^△}中的“{ 1，1}一进制”加约束条件获得，约束条件为该进制数必须各位上符号均相同；此外，还有多种方法可以获得。

2.2全一码

全一进制显然具有如下优缺点。优点：①运算速度快。“传送”代替了“翻转”。②多重运算时，不需要二、二求和，只需要先“对冲”及后“划Q”即可得结果。这就大大加快了总体运算速度。③与{Q}转换方便。缺点：①“字长”太长，位数多。(当取可变字长时，其平均字长仅为一半。)②荷载信息量较小。因此，根据全一进制的优缺点，扬长避短，以全一进制来编码{Q’}是合适的。以“全一进制”来编码，称为“全一编码”。“全一编码”中采用的“全一数”，称为“全一码”。由上述全一进制是带符号的可知，全一码也是带符号的。表五，显示出全一码一位，编码{二}数元的情况。由表五可见，全一码一位编码的{二}数，即为{二}数本身。表六，显示出以全一码九位，编码{十}数元的情况。由表六可见，全一码九位编码的{十}，字长增加至9倍。(当取可变字长时，其平均字长仅为5倍。)例如：{十}23＝全一码＝≡。

一位全一码  {二}     九位全一码        {十}

    0        0        00    …0         0

    1        1        00    …1         1

                      00   …11         2

                                  

       表五

                      111111111         9

                              表六

对于偏Q进制{Q’}，也可以全一码来编码。需要指出的是，这里全一码一位编码的{二’}数，即为{二’}数本身；这里{十’}数，则以五位全一码来编码。

2.3全一码的计算。

全一码的计算非常简单。以二数加法为例，仅为二数中1的不重复排列，称为“排1”。如11+111＝11111。特别是，在{Q’}数字工程中，仅仅只需先“对冲”后“划Q”就能获得{Q’}数运算结果。当最终结果需要输出时，才将以全一码编码的{Q’}数转换成{十}数输出。

2.4全一码的应用。

全一码主要应用于对{Q}及{Q’}数进行编码。特别是，

①采用全一码九位编码{十}数，可以实现普通十进制{十}、全一码、进位行处理器。

②采用全一码五位编码{十’}数，可以实现偏十进制{十’}、全一码、进位行处理器。

③采用全一编码{Q’}数，可以实现偏Q进制{Q’}、全一码、进位行处理器。

④采用全一码五位编码{十}或{十’}数，再以“正负码”来二次编码(即，以相应的正负数对来编码)，可以实现又一种算盘的新技术方案。

⑤采用全一码五位编码{十}或{十’}数，再以“正负码”来二次编码(即，以相应的正负数对来编码)，可以实现又一种笔算工程的新技术方案。

Claims (7)

1.一种偏Q进制、进位行数字工程方法，包括以下步骤：

第1步，设K个普通Q进制数参予运算，K为≥2的正整数，Q为自然数；将这些数转换成偏Q进制数；

第2步，对K个数同时进行偏Q进制的求和运算，从最低位开始或各位同时按位相加，即在某一位上，取K个数中的二个数按位相加，得到“按位和”为该位这二个数相加的和数，将此和数记入下一运算层，作为“部份和”数；同时所得“偏Q进位”，则存放到下一运算层的任一进位行中与该位相邻的高位处；

第3步，在该位上取K个数中的另二个数，进行第2步的运算，如此反复，直至K个数均取完为止；当K个数中仅剩下一个数时，则直接移至下一运算层的同一位上作为“部份和”数；

第4步，在上述某位的相邻高位上，重复第2步及第3步的运算，直至K个运算数的每一位都已全部操作；当K个数的各位同时进行第2步及第3步运算时，则本步可跳越过去；

第5步，在下一个运算层中，将上述“按位和”数与进位行中的“进位数”进行前述第2步、第3步、第4步求和运算；

第6步，重复第2步至第5步的运算，直至不产生“偏Q进位”为止，则最后一次“按位加”所得和数，即为所求偏Q进制加法运算结果。

2.如权利要求1的偏Q进制、进位行数字工程方法，其特征在于运算为“偏Q进制”运算；其中，{0，±1，…，±(Q/2-1)，Q/2}Q进制，Q为正偶数，称为“含0偏对称偏Q进制”；(±1，…，±(Q-1)/2，(Q+1)/2}Q进制，Q为正奇数，称为“不含0偏对称偏Q进制”；当不致误解时，“偏Q进制”即指“含0偏对称偏Q进制”。

3.如权利要求1的偏Q进制、进位行数字工程方法，其特征在于运算采用“进位行方法”；即在运算过程中，将产生的进位存放在相邻高位“进位行”中，然后与“按位和”一起进行运算。

4.如权利要求1-3任一个的偏Q进制、进位行数字工程方法，其特征在于在某一位上，对K个数中的二个数进行求和运算时，如果其中两个运算数的该位为相反数，则该位和为零，然后将该两个运算数的某位均以逻辑方式置“0”，不再参加以后的运算，这称为“对冲”；如果在某一位上，对K个数中的二个数进行求和运算时，其中两个运算数的按位加和为零，但产生进位，则将其进位放入任一进位行中的相邻高位，然后将该两个运算数的某位均以逻辑方式置“0”，不再参加以后的运算，这称为“划Q”；或者，不采用“对冲”及“划Q”。

5.如权利要求1-4任一个的偏Q进制、进位行数字工程方法，其特征在于：偏Q进制数可以不编码；或以普通二进制数编码；或以正负码等来编码；或以全一码来编码，即将各个偏Q进制数的每一位数S，都以|S|个1从最低位顺序至高位排列来对应，其余高位均为0，总位数则为Q/2位；同时，将偏Q进制数中该位的数符，即表示该位的数为正或负，作为相应全一码中每一位上的数符。

6.如权利要求1-5任一个的偏Q进制、进位行数字工程方法，其特征在于当采用全一码来编码偏Q进制数时，二数加法仅为二数中1的不重复排列，称为“排1”。

7.权利要求1-4任一个的偏Q进制、进位行数字工程方法，其中所述运算数是偏Q进制数，Q为正偶数；或者是普通对称Q进制数，Q为＞1的整数；或者是混数数制数。