CN1760825A - 增q进制、进位行数字工程方法的笔算工程技术方案 - Google Patents

Abstract

本发明涉及数字工程方法和笔算工程领域，提出又一种新的数字工程方法，显著提高运算速度，而且大大降低笔算的出错率。本发明采用“增Q进制、进位行方法”：将参与加减运算的K个普通Q进制数转换成K或2K个增Q进制数。然后对K或2K个数进行增Q进制求和。从最低位开始或各位同时“按位加”，和数记入下一运算层；同时所得“增Q进位”，则存放到下一运算层或本运算层尚未运算过的，任一数据行相邻高位的空位或0位处。经过如此反复运算，直至运算层中，运算后仅获得一个数为止。则最后所得数，即为所求增Q进制加法和数。本发明同时提供了增Q进制、进位行笔算工程技术方案。

Description

增Q进制、进位行数字工程方法的笔算工程技术方案

技术领域

本发明涉及数字工程方法和笔算工程领域

背景技术

数字工程包括数控机床、大中型数字化设备和数字系统工程等等。本发明中“数字工程”是专指“数字计算系统工程”。它不是解决一个个具体的算题、或定理证明、或几何问题、或某种数学思想，而是解决四则运算法则等计算系统本身的数字工程实现技术方案。它与具体的计算工具密切相关。众所周知，“计算”有好多种，除“近似计算”、“模拟计算”及“无工具计算”(心算、指算、口算等，包括相应的口诀、速算、估算)外，则为“采用工具的数字计算”。“采用工具的数字计算”历史上包括笔算、珠算、机械算、电算，以及筹算等。现代仅剩下三种，这就是数字电算、珠算、笔算。与此相应的数字计算系统工程也就仅有三种：数字计算机；算盘；采用笔和纸进行笔算的数字计算系统工程，简称为“笔算工程”。

四则运算是数的最基本运算。正如恩格斯所说：“四则(一切数学的要素)。”加法又是四则运算的最基本的运算。因此，我们理所当然应当对四则运算，尤其是对加法运算给予特别的关注。当前数字工程方法中的四则运算，首先是加法，有许多不尽如人意之处。主要表现为运算速度慢；在减法中，未能充分利用负数的作用，而且，不能“连减”。尤其在加减联合运算中，不能一步到位；在乘法中，加法的缺点更加扩大严重；在除法中，上述缺点依旧。总之，在最小的数体——有理数体中，四则运算情况并不满意。

            

      式一                              式二

在笔算数字工程中，对运算的解剖，表明存在一些隐含的操作程序，以至产生“隐患”。以“二数相加”为例，算式如式一。[文中凡未标明数制的数，均指普通十进制数。下同。]其中，十位上的和数3，解剖一下。其微程.序操作是：

个位上来的进位(见标志) 十位上5、7二数字与低位进位相加，即(5+7+1)。取其和的个位。 上列(5+7+1)和的进位送到高位(见标志)。其余各位情况类似。又如例二，设三数求和，算式如式二78+297+259＝634。如图可见，上述情况更为加重。显然，存在下列缺点：

a.进位标示困难。若用小数字表明，则易混淆且字面积受限。特别是表456789时就更烦人；若以“.”符写在数字间，则易与小数点混淆且表示456789也不便；若以手指数数，则速度慢且不方便；若心算，则费脑力且易错。总之，比较讨厌，易出错。

b.一般二数相加时，每一位上要有三个数相加求和。于是，需三重运算。三及三以上个数相加求和时，则更不方便。

c.验算困难。一般采用重做一遍，费时费力。

减法比加法麻烦。而且不能在同一竖式中“连减”，必须断开。特别在加减联合运算时，不能一步到位。乘除法中，这类情况更为严重。而且，加减乘除运算格式不统一，除法时另起炉灶。

另一方面，在电子计算机数字工程中，同样有大量的数值运算。这些数一般均采用普通二进制数来表示。其负数常以原码、反码、补码、移码之类来表示。在现有计算机中运算均以二个数运算，而无法实现“多重运算”。所谓“多重运算”，是指多于二个数同时进行加减。在采用其他普通Q进制等普通数制的电子计算机中，存在相应的许多复杂性。[Q为自然数。]

此外，在算盘数字工程中，同样有大量的数值运算。这些数一般采用普通二进制与普通五进制的“联合Q进制”数。因此，运算口诀繁杂，而且存在相应的一些复杂性。

发明内容

本发明提出一种新的数字工程方法，显著提高运算速度；同时加强运算正确性的保障，在“笔算工程”中，大大降低笔算的出错率。

本发明同时提出了，采用上述“混数进制、进位行方法”的“笔算工程”技术方案。显著提高运算速度；同时加强运算正确性的保障，大大降低笔算的出错率。

根据本发明的一个方面，提供一种增Q进制、进位行数字工程方法，采用“增Q进制”数，以“混数进制、进位行方法”运算。混数进制运算可为下列方案之一；方案一：(适于计算机、笔算工程中)①普通Q进制数编码或另行转换为混数进制数；②混数进制运算(“对冲”、“划Q”、“累加”)；③混数进制数译码或另行转换为普通Q进制数；方案二：(适于计算机、算盘中；也可用于笔算工程，也可不用；)①普通Q进制数编码或另行转换为混数进制数；混数进制数编码为“编码全一进制数”；②“编码全一进制”运算(“对冲”、“划Q”、“累加”)；③“编码全一进制数”译码为混数进制数；混数进制数译码或另行转换为普通Q进制数；方案三：(适于计算机中)①普通Q进制数编码或另行转换为混数进制数；混数进制数编码或另行转换为{0，±1}二进制(其特况为普通二进制)数；②{0，±1}二进制运算(“对冲”、“划Q”、“累加”)；③{0，±1}二进制数译码或另行转换为混数进制数；混数进制数译码或另行转换为普通Q进制数；方案四：(适于计算机中)①普通Q进制数编码或另行转换为混数进制数；混数进制数编码或另行转换为“编码{0，±1}二进制数”；②“编码{0，±1}二进制”运算(“对冲”、“划Q”、“累加”)；③“编码{0，±1}二进制数”译码或另行转换为混数进制数；混数进制数译码或另行转换为普通Q进制数；本发明中，采用方案一、方案二来展示。包括以下第一种步骤：

第1步，设K个普通Q进制数参予加减运算，K为≥2的整数，Q为自然数；将这些数转换成K或2K个增Q进制数；(本发明中，均采用2K个增Q进制数来展示)；

第2步，对K或2K个数中的二个数，进行增Q进制的求和运算；从最低位开始或各位同时按位相加，即在某一位上，取这二个数按位相加；采用“对冲”、“划Q”、累加，得到这二个数该位“按位加”和数；将此和数记入下一运算层，作为“部份和”数；同时所得“增Q进位”，则存放到下一运算层或本运算层尚未运算过的，任一数据行相邻高位的空位或0位处；

第3步，在上述某位的相邻高位上，重复第2步的运算；如此反复，直至二数最高位也已运算为止；当采用并行运算时，二数各位同时进行第2步及第3步运算，则本步可跳越过去；

第4步，取K或2K个数中的另二个数，进行第2步及第3步运算；如此反复，直至K或2K个数或运算层中全部数均取完为止；当仅剩下一个数时，则直接移至下一运算层作为“部份和”数；

第5步，在下一个运算层中，将上述“按位和”数及“进位”数进行前述第2步、第3步、第4步求和运算；如此反复，直至运算层中，运算后仅获得一个数为止；则最后所得增Q进制加法运算和数，即为所求K个普通Q进制数加减运算结果；

或者，采用以下第二种步骤：

第1步，设K个普通Q进制数参予加减运算，K为≥2的整数，Q为自然数；将这些数转换成K或2K个增Q进制数；(本发明中，均采用2K个增Q进制数来展示)；

第2步，从最低位开始，即在某一位上，取二数、K或2K个数同时相加；采用“对冲”、“划Q”、累加；即在二数时，得到二个数该位“按位加”和数；将此和数记入下一运算层，作为“部份和”数；同时所得“增Q进位”，则存放到下一运算层或本运算层尚未运算过的，任一数据行相邻高位的空位或0位处；

第3步，在上述某位上，取K或2K个数中的另二个数，重复第2步的运算；如此反复，直至K或2K个数或运算层中全部数均取完为止；当仅剩下一个数时，则直接移至下一运算层作为“部份和”数；

当采用同一位上各数同时运算时，同时进行第2步及第3步运算，则本步可跳越过去；这时在同一位上，对n个和为0的数先进行“对冲”；然后，对n个和为mQ的数进行“划Q”；n为≥2的整数，m为整数；所得“增Q进位”，则存放到下一运算层或本运算层尚未运算过的，任一数据行相邻高位的空位或0位处；同一位上，余下各数进行“累加”，或者直接移至下一运算层；累加采用≥2的“多数累加”；当采用普通二数“累加”时，则顺序串行累加；

第4步，在上述某位的相邻高位上，重复第2步及第3步的运算；如此反复，直至K或2K个数最高位也已运算为止；

第5步，在下一个运算层中，对上述“按位和”数及“进位”数进行前述第2步、第3步、第4步求和运算；如此反复，直至运算层中，运算后仅获得一个数为止；则最后所得增Q进制加法运算和数，即为所求K个普通Q进制数加减运算结果；

或者，采用以下第三种步骤：

第1步，设K个普通Q进制数参予加减运算，K为≥2的整数，Q为自然数；将这些数转换成K或2K个增Q进制数；(本发明中，均采用2K个增Q进制数来展示)；

第2步，采用所谓“二维运算”；即，在K或2K个数的各位上，同时进行运算；并且同时对每一位上，n个和为0的数进行“对冲”；n为≥2的整数；

第3步，采用所谓“二维运算”；即，在K或2K个数的各位上，同时进行运算；并且同时对每一位上，n个和为mQ的数进行“划Q”；n为≥2的整数，m为整数；所得“增Q进位”，则存放到下一运算层的，任一数据行相邻高位的空位或0位处；

第4步，采用所谓“二维运算”；即，在K或2K个数的各位上，同时进行运算；并且同时对每一位上，余下各数进行“累加”，或者直接移至下一运算层；累加采用≥2的“多数累加”；当采用普通二数“累加”时，则顺序串行累加；

第5步，在下一个运算层中，将上述“按位和”数及“进位”数进行前述第2步、第3步、第4步求和运算；如此反复，直至运算层中，运算后仅获得一个数为止；则最后所得增Q进制加法运算和数，即为所求K个普通Q进制数加减运算结果。

增Q进制、进位行数字工程方法，其运算为“增Q进制”运算；其中，{0，±1，…，±Q/2}Q进制，Q为正偶数，称为“含0对称增Q进制”；{±1，…，±(Q+1)/2}Q进制，Q为正奇数，称为“不含0对称增Q进制”；当不致误解时，“增Q进制”即指“含0对称增Q进制”。

增Q进制、进位行数字工程方法，其运算采用“进位行方法”；即在运算过程中，将产生的进位存放在相邻高位“进位行”中，然后与“按位和”一起进行运算。

增Q进制、进位行数字工程方法，对K个数中的n个数进行求和运算时，如果在某一位上，其中n个运算数的按位加和为零，但产生进位m(与n个数的和数符号一致)；n为≥2的整数，m为整数；进位放入下一运算层或本运算层尚未运算过的，任一数据行相邻高位的空位或0位处；然后，将n个运算数的某位均以逻辑方式置“0”，不再参加以后的运算；这称为“划Q”；“划Q”中m＝0时，称为“对冲”；或者，不采用“对冲”及“划Q”。

增Q进制、进位行数字工程方法，所述运算数是增Q进制数，Q为自然数。可以不编码；可以混数进制数编码；也可以全一码来编码，即将各个增Q进制数的每一位数S，都以|S|个1从最低位顺序至高位排列来对应，其余高位均为0，总位数则为Q/2或(Q+1)/2位；同时，将S的数符，即表示该位的数为正或负，作为相应全一码中每一位上的数符(参见第三部分增Q进制及全一码)；当采用全一码来编码增Q进制数时，n个数加法仅为n个数中1或1的不重复排列；其全一码编译可以定码长或变码长。

根据本发明的另一个方面，提供一种增Q进制、进位行“笔算工程”技术方案。混数进制运算可为前述方案一、方案二。本发明“笔算工程”技术方案以方案一来展示；笔算工程中的数字工程方法，可采用前述第一种或第二种步骤。这里，采用第二种步骤来展示。在运算过程中，首先将普通Q进制数换为增Q进制数一般形式。本发明中，均采用2K个增Q进制数来展示。然后进行增Q进制、进位行“增进方法ZJF”的求和运算。运算结果为“增Q进制”的“增Q数”。当最终需要时，再将“增Q数”转换为普通Q进制数；或者普通十进制数。

新笔算工程技术方案中，采用“多重运算”。即，多个数的加减在一次性运算中完成。这样，就彻底解决了“连减”及“连加减”的困难。同时，乘法本质上就是“连加”，除法本质上就是“连减”。因此，在乘除中，亦可运用“多重运算”来处理。

增Q进制、进位行“笔算工程”中，运算数是增Q进制数，Q为自然数。可以不编码；可以混数进制数编码；也可以全一码来编码，即将各个增Q进制数的每一位数S，都以|S|个1从最低位顺序至高位排列来对应，其余高位均为0，总位数则为Q/2或(Q+1)/2位；同时，将S的数符，即表示该位的数为正或负，作为相应全一码中每一位上的数符；当采用全一码来编码增Q进制数时，n个数加法仅为n个数中1或1的不重复排列；全一码编译可以定码长或变码长；本发明增Q进制、进位行笔算工程中，采用变码长来展示。

技术方案采用增Q进制、进位行方法，对K个数中的n个数进行求和运算时，如果在某一位上，其中n个运算数的按位和为零，但产生进位m(与n个数的和数符号一致)；n为≥2的整数，m为整数；进位放入下一运算层或本运算层尚未运算过的，任一数据行相邻高位的空位或0位处；然后，将n个运算数的某位均以逻辑方式置“0”，不再参加以后的运算；这称为“划Q”；“划Q”中m＝0时，称为“对冲”；或者，不采用“对冲”及“划Q”。新笔算工程技术方案中，广泛运用“对冲”及“划Q”运算，用以提高运算速度并简化运算画面。

具体实施方式

第一部分        增Q进制、进位行数字工程方法

1.《进位行方法》

1.1进位与《进位行方法》

在电子计算机等数值运算中，运算速度提高的关键之一，就在于“进位”。进位的获得，进位的存贮以及进位的参予运算都是至关重要的。“进位”就是争“速度”。在笔算工程中，还直接影响到“出错率”。本部分以笔算工程为例。

所谓《进位行方法》就是，在运算过程中，将产生的进位存放在参予运算与“按位和”数同等的位置上，然后与“按位和”一起进行运算。通常同运算层中二数相加时，将各位上的进位排列成一行，称为“进位行”。(运算层的概念，见下节。)举例如下，设二普通十进制数求和，算式以竖式求和。如式三。

     式三                            式四                           式五

个位运算(6+8)＝14，其进位1写于下一行的高一位上。依此类推。式中二数相加时，各位上不计进位的求和，称为“按位加”。其和称为“按位和”。按位和的数据行，称为“行”。行与进位行组成“运算层”。式中一些“+”号已省去。以后可以知道，在混数进制、进位行数字工程方法《混进方法HJF》中，除第0运算层外，各个“运算层”只存在一种运算，这就是“+”。故可以不必在这些运算层中写出“+”号。

1.2《进位行方法》分析

1.2.1二数求和的分析

采用《进位行方法》的加法运算由上节可知：

①二数相加时，每一位上只有二个数相加；在进位行中直接标示进位，不存在任何困难；

②验算十分方便。

[引理一]二数相加时，任意位上要么有进位记为1，要么无进位记为0；

[引理二]二数相加时，任意位上的和可为0～9之一。但是，当该位上有向高位进位时，该位上的和只能为0～8之一，而不能为9。

由[引理一]和[引理二]可得：

[定理一]二数相加时，当且仅当某位上没有向高位进位时，该位上的和才可能出现9。

1.2.2层次概念及运算层

设二数求和。算式为式四、式五。由式四可见，运算是分层次进行的。运算层将一个运算解剖成子运算。每一运算层中，又将子运算解剖成微运算。微运算仅完成一项简单运算。这就是运算的“层次”概念。“层次”概念是数学中的基本概念，《进位行方法》正是建立在此基础上。以往的加法运算方法，本质上也隐含“层次”概念。因此，《进位行方法》中的“层次”，从总体上看并未增加运算的复杂性。反之，以往的方法由于隐含了“层次”，反而进一步增加了运算的复杂性。这一点，也进一步造成运算速度被降低。二者对比，就会一清二楚。

在《进位行方法》中，二数相加的各个运算层，除第0运算层外，可以合并为一个运算层。如式五。进一步分析如下。

1.2.3唯一的运算层

二数相加时，特别情况下会出现多次运算层。各层有如下关系成立。

[引理三]二数相加时，当某位前一运算层上有进位时，其后各运算层上均不可能出现进位。(由引理一、二得)

[引理四]二数相加时，当某位后一运算层上有进位时，其前各运算层上必无进位。(由引理一、二得)

[定理二]二数相加时，同一位各运算层上，要么都无进位，要么只能有一个进位。(由引理三、四得)

[推论]二数相加时，可以将全部各层进位行合并为一个进位行；除第0运算层外，可以将各运算层合并为一个运算层。

1.2.4三数及三数以上求和分析

设三数求和，算式为231+786+989＝2006(见式六)又，设六数求和。算式为786+666+575+321+699+999＝4046(见式七)。操作要点：

      式六             式七

①“划Q”的运用；所谓“划Q”，即Q进制的n个数在某位上相加时，其按位加和为零，但该位上产生进位m(与n个数的和数符号一致)。n为≥2的整数，m为整数。进位放入下一运算层或本运算层尚未运算过的，任一数据行相邻高位的空位或0位处；同时在某位上，该n个数均不再参加运算。即，同一位上n个数和为mQ时，可将n个数均划去，然后在高位空位或0位处补m。在十进制时Q＝10，划Q即为“划十”。

②多个数相加，可出现二个及二个以上的运算层。为了减少运算层数，同一位上的同一运算层空位或0位中，进位及和数可以任意占位；一个运算层中某位上的进位，可以放入下一运算层或本运算层尚未运算过的，任一数据行相邻高位的空位或0位处；

③尽量减少运算层。a、较小的数，直接合并算；b、尽量在“配对”中进位；c、尽量减少在第一运算层上相加数的个数，尽量使第二及二以上运算层不出现。

④同一位上，各数进行“累加”，或者直接移至下一运算层；累加采用≥2的“多数累加”；当采用普通二数“累加”时，则顺序串行累加；“相同数”、“连续数”等，可直接得“部分和”。

2.混数及混数进制

2.1《数制理论SZLL》

2.1.1按同一种规则记录数，便于用来在一个数系统中进行运算的数的制度，称为“记数系统的制度”。简称为“数制”。一个数的质，首先就是由其所属的数制来决定的。恩格思指出：“单个的数在记数法中已经得到了某种质，而且质是依照这种记数法来决定的。”“一切数的定律都取决于所采用的记数法，而且被这个记数法所决定。”数制是数的属性。不存在没有所属数制的数，也不存在没有所属数的数制。

《数制理论SZLL》就是研究数制的生成、分类、分析、比较、变换、计算等的科学。它也是研究数制在数论、群论、集合论、博弈论等数学其他分支；及其在多值逻辑、Walsh函数、《狭义及广义模随论MSL》等各邻近学科；特别是在数字工程领域的计算机、笔算工程及算盘中应用的科学。它是数学的基础理论之一。数学科学，即“数”的科学。“数”的基本为“数制”。因此，《数制理论SZLL》是“数论”的基础，是“核心数学”的“核心”之一。

2.1.2位值制数制

设，构造一个数系，其中的数以各不相同位置上的“数符”来表示。“数符”又称“数字”。数字通常从右向左水平排列。对于每个数位上的全部数字均给定一个单位值(又称“位值”)，其值由低(小)到高(大)。以此表示整个数系中每一个数的数制，称为“位值制数制”。我们以下讨论的数制，都是“位值制数制”。在不致误解时，也直接简称为“数制”。

2.1.3数制的三大要素：数位I，数元集Zi和权Li。

a、数位I表示数制中数的各位数字的位置。I为序数，各位从右自左来表示。即，i＝1，2，3，…表示该数的第1，2，3，…位。

b、数元集Zi，表示第I位上的“数元”组成的集合。同一数制系统中，各个数同一位上不同符号的全体，组成一个该位上的数符集。该数符集中的元素，称为“数的元素”。简称为“数元”。因此，该数符集称为“数元集Z”。数元集Zi可以随着i的取值不同而不同，也可以相同。当各位上的Zi均为相同的Z时，相应的数制称为“单一集数制”或“单一数制”；当各位上的Zi不全相同时，相应的数制称为“联合集数制”或“联合数制”。

数元集Zi中的数元可为复数或其他多种多样符号。在《数制理论》中，以a_j来表示数元(a₁，a₂，a₃，…)，j为自然数。以ia_j表示第i位上数元a_j。约定，a_j＝-A(A为复数)时，可表示为a＝ A。数元集Zi以集合{a₁，…，a_j，…}来表示，即Zi＝{a₁…“，a_j，…}；或者，Zi以文字表明其特征。为便于计算，通常取数元a_j为整数，以阿拉伯数字来表示。

数元集Zi的基数Pi(Pi为自然数)，表示了集的元素总数。恩格思指出：它“不但决定它自己的质，而且也决定其他一切数的质。”Pi的取值不同，标示了数元集Zi的变化。各位上的Pi为相同的P，则称为“单一基数”；否则，称为“联合基数”。

在《数制理论》的“位值制数制”中，定义数中的“空位”表示“无”，其位值为0，称为“空位0”。“空位0”是0的一种，是0的一种表达形式，是一种隐含的0。通常不加以标明；在数元集中，“空位”是一种特殊的数元，称为“空位元”。简称为“空元”。“空元”是每一个“位值制数制”数元集均有的数元，其在数元集中的表示即为“空位”。通常不加以标明。“空元”是数元集中，唯一通常不计入数元a_j，也不计个数，即个数为0的数元；另一方面，在特别情况下，为统一表述，则将其计入数元，其个数计为1。

c、权Li，表示第i位上的位值大小。特称此位值为“权Li”。Li为实数。为便于计算，通常取权Li为整数，特别是自然数，以阿拉伯数字来表示。不同的Li，就决定了不同的位值。在“编码理论”中，“编码”的主要特征就在于权Li。

实际中常见的权Li采用所谓“幂权”。即，令Li＝Q_i ^(i-l)，Q_i为实数。为便于计算，通常取Q_i为自然数。Q_i可以阿拉伯数字来表示，也可以中文小写数字来表示。常见各位Li均为幂权，而且成等比Q的数制。Q称为数制幂权的“底数”或数制的“底数”。底数Q的不同，决定了不同的Li，从而决定了不同的位值。Qi可以随着i的取值不同而不同，也可以相同。当各位上的数制幂权Qi，其底数均为相同的Q时，相应的数制称为“单一Q进制”。简称为“Q进制”或“进制”。当各位上的数制幂权Qi，其底数不全相同时，相应的数制称为“联合Q进制”。另一种常用的权Li采用“等权”，即各位上的权L相同。

根据上述数制的三大要素，数制可以有无穷无尽的种类。

2.2混数及混数进制

当数元集Zi中，含数元0时，该相应数制被称为“含0数制”。对于进制，则称为“含0进制”；当数元集Zi中，不含数元0时，该相应数制被称为“不含0数制”。对于进制，则称为“不含0进制”。

当数元集Zi中，既有正数元，又有负数元时，相应数制被称为“混数数制”。对于进制，则称为“混数进制”；混数数制中的数，称为“混数”。“混数”中既有正数元又有负数元的数，称“纯混数”。当数元集Zi中，正负数元是相反数时，相应数制称为“对称数制”。对于进制，则称为“对称进制”。

当数元集Zi中，全部数元为连续整数成为“整数段”时，该相应数制被称为“整数段数制”。对于进制，则称为“整数段进制”恩格斯指出：“零比其他一切数都有更丰富的内容。”鉴于“0”的这种特殊重要性，在《数制理论》中，含0整数段去掉0时，仍作为一种特殊的整数段。

2.3增Q进制{Q^△}

在《数制理论》中建立了“代数数制系统”。一个数制的名称采用“Zi Li”。对Q进制，则为ZiQi；单一数制时，则为ZLi；单一数制中联合Q进制时，则为ZQi。单一数制中Q进制时，则为ZQ。其中，Q以中文小写数来表示。

对于含0的普通Q进制，Z＝{0，1，…，(Q-1)}。故ZQ＝{0，1，…，(Q-1)}Q，Q为＞1的整数，称为“含0普通Q进制”。符号表示为{含0，Q}；对于不含0的{1，2，…，Q}Q，Q为自然数，称为“不含0普通Q进制”。符号表示为{不含0，Q}。

含0和不含0的普通Q进制，合起来统称为“普通Q进制”，Q为自然数。符号表示为{Q}。当不致误解时，“含0普通Q进制”亦可称为“普通Q进制”，亦以符号{Q}来表示。故可以符号{二}及{十}来表示普通二进制及普通十进制。

在任一个具有整数段数元集的Q进制数制中，当P＝Q时，自然数在该数制中可以连续唯一的形态表达，称为“连续数制”，又称“普通数制”；

当P＞Q时，自然数在该数制中可以连续，但有时以多种形态表达，称为“重复数制”，或“增强数制”。对于Q进制，又称为“增强Q进制”，简称为“增Q进制”；

当P＜Q时，自然数在该数制中只能断续的形态表达，称为“断续数制”，或“减弱数制”。对于Q进制，又称为“减弱Q进制”，简称为“减Q进制”。

本文中的混数进制主要为以下几类。

增Q进制中，特别重要的是P＝Q+1＞Q的一种。Q为自然数。本文中，仅指这一种。增Q进制中，含0整数段、对称增Q进制称为“含0对称增Q进制”。当不致误解时，简称为“含0增Q进制”，符号表示为{含0，Q^△}；不含0整数段、对称增Q进制称为“不含0对称增Q进制”。当不致误解时，简称为“不含0增Q进制”，符号表示为{不含0，Q^△}。含0和不含0整数段、对称增Q进制，合起来称为“对称增Q进制”，又简称为“增Q进制”。当不致误解时，“含0增Q进制”，亦简称为“增Q进制”，符号亦表示为{Q^△}。进一步表述如下。

对于含0的{0，±1，…，±Q/2}Q进制，Q为正偶数，称为“含0增Q进制”。符号表示为{含0，Q^△}；对于不含0的{±1，±2，…，±(Q+1)/2}Q进制，Q为正奇数，称为“不含0增Q进制”。符号表示为{不含0，Q^△}。含0和不含0的增Q进制，合起来统称为“增Q进制”，Q为自然数。符号表示为{Q^△}。当不致误解时，“含0增Q进制”亦可称为“增Q进制”，亦以符号{Q^△}来表示。故可以符号{十^△}及{二^△}来表示“增十进制”及“增二进制”。在《数制理论》中，{十^△}的名称是：“单一基数P＝11，含0，整数段，对称的十进制”。可写为{十一，含0，整数段，对称}十进制，或者写为{0，±1，±2，…，±5}十进制。一般情况下，进一步符号表示为{十^△}，称为“增十进制”；{二^△}的名称是：“单一基数P＝3，含0，整数段，对称的二进制”。可写为{三，含0，整数段，对称}二进制，或者写为{0，±1}二进制。一般情况下，进一步符号表示为{二^△}，称为“增二进制”。

2.4混数编码

当A进制数元以B进制数等来编码时，A进制数按位排列成相应的B进制数等。这称为“以B进制数等编码的A进制数”，简称为“B编码的A数”，或“编码B数”，或“编码数”。例，{十}328＝{二}101001000；其“编码{二}数”为0011，0010，1000。如上述“编码{0，±1}二进制数”，即指以{0，±1}二进制(其特况为普通二进制)数来编码的“编码数”。所谓“编码B数”的运算，即为“编码B进制”运算。这时，A进制数的位与位间为A进制运算，但每位中则为B进制运算。A进制数元以B进制数等来编码时，所需B进制数的最多位数，称为“码长”。固定的“码长”，称为“定码长”；如最高位0不加以标明，使之成为“空位0”时，相应“码长”是变化的，称为“变码长”。

增Q进制、进位行数字工程方法，所述运算数是增Q进制数，Q为自然数。可以不编码；可以混数进制数编码；也可以全一码来编码，即将各个增Q进制数的每一位数S，都以|S|个1从最低位顺序至高位排列来对应，其余高位均为0，总位数则为Q/2或(Q+1)/2位；同时，将S的数符，即表示该位的数为正或负，作为相应全一码中每一位上的数符；当采用全一码来编码增Q进制数时，n个数加法仅为n个数中1或1的不重复排列；其全一码编译可以定码长或变码长。

3.《增进方法ZJF》及其增十进制{十^△}四则运算。

采用混数进制和《进位行方法》来进行有理数运算的方法，称为《混数进制、进位行方法》，简称为《混进方法HJF》。采用增Q进制和《进位行方法》来进行有理数运算的方法，称为《增Q进制、进位行方法》；简称为《增进方法ZJF》。当用于算盘或笔算数字工程，采用的是{十^△}增十进制等的《增进方法ZJF》。当用于处理器，特别是电子计算机中时，采用的是{二^△}增二进制以及{十^△}增十进制等的《增进方法ZJF》。设K个普通Q进制数参予加减运算，K为≥2的整数，Q为自然数；将这些数转换成K或2K个增Q进制数；混数进制运算可为前述方案之一；本发明中，《混进方法HJF》采用方案一，以笔算工程来展示；可采用前述第一种或第二种步骤。这里，采用第二种步骤。

首先，将K个{Q}数转换为K或2K个{Q^△}数。

(一)以含0的{Q}→{Q^△}数转换为例：

{Q}＝{0，1，…，(Q-1)}Q，Q为＞1的整数……①

{Q^△}＝{0，±1，…，±Q/2}Q。Q为正偶数……②

由①及②可知，Q为≥2的偶数。

∵Q≥2，2Q≥2+Q，Q≥Q/2+1，∴(Q-1)≥Q/2

当Q＝2时，(Q-1)＝Q/2，即以绝对值而言，{二}最大数元所表示{二}数，等于{二^△}最大数元所表示{二}数；当Q为＞2的偶数时，(Q-1)＞Q/2，即以绝对值而言，{Q}最大数元所表示{Q}数，总是大于{Q^△}最大数元所表示{Q}数。这时{Q}数元(Q-1)＝{Q^△}11。即，{Q}数元(Q-1)转换成相应的{Q^△}数，为两位数11。其中，高位实质是“进位”。

由此可知，一个{Q}数转换成相应的{Q^△}数，当Q＝2时，仍为一个{Q^△}数；当Q为＞2的偶数时，可统一成为二个{Q^△}数之和。其中一个{Q^△}数，即为“进位行”数。K个{Q}数转换成相应的{Q^△}数，当Q＝2时，仍为K个{Q^△}数；当Q为＞2的偶数时，可统一成为2K个{Q^△}数之和。

(二)对于不含0的情况，Q为正奇数。可以证明，有类似的结论。

(三)如已经将一个{Q}数，另行转换为一个{Q^△}数，则K个{Q}数转换为K个{Q^△}数。

本发明中，均采用2K个增Q进制数来展示。

3.1{十^△}的加法

例：1 23+344＝43 3    (见式八)

      式八        式九           式十

式中求得和为43 3。当需要转化为普通十进制{十}数时，和为427。一般来说，所求和43 3不必转化(特别是作为计算过程中间结果时)。确需转化时，方法见4.1转换法则。

3.2{十^△}的减法

3.2.1例1 23-344＝1 23+ 3  4  4＝ 34 1

例112+1 4  4-32-1 25+1 3  3-5 4＝1 32(见式九)

首先减法化为加法来运算。这一来实际计算中，加减就合并为加法了。这就消除了通常连加减的困难，这是由于混数的特性所决定。

3.2.2“约混”。这是指同一位上的n个数求和时，若和数为零，则这n个数可以消去。“约混”也可称为“对消”或“对冲”。即，“划Q”中m＝0时，称为“对冲”。在算式中，该位上的这n个数，可以斜线划去，不再参加以后的运算。在实际运算中，采用先“对冲”、后“划Q”、再“累加”，来获得增Q数的结果。

3.3{十^△}的乘法例2 42×1 31＝11502(见式十)

3.4{十^△}的除法例1 4  33 2÷23＝25 1……1

要点：①式十一采用原普通除法，现采用四则统一算式。如式十二。

②式十二中由于采用混数可使除法中的“减”过程变为“加”过程。

为了去掉“减”过程的思路，进一步还可以令被除数变号。然后，整个“减”过程完全变成“加”过程。这可使整个运算的复杂性进一步降低。以后，除法就以此来进行。应该注意，此时若出现余数，则要将该余数变号后，才是最终运算结果的余数。

3.5四则运算的特点

①加减法合并为加法。

②乘除方法简单；除法中的“减”过程可变为“加”过程；除法中的试商过程，可变为予先设定的迭代过程。

③四则运算加减乘除，均可全面地显著提高运算速度。

④加强运算正确性的保障，在“笔算工程”中，大大降低笔算的出错率。

4.《增十进制》{十^△}与《普通十进制》{十}的关系。

4.1{十^△}与{十}数的转换法

这里指整数的情况，例如{十^△}222 32 4={十}221716(式十三)。{十}数需经表一转换成为{十^△}数，只要将这些普通Q进制数的正负符号，分配到相应这些数的每一位上去。

{十^△}数转换成{十}数。方法有几种：一种是将{十^△}数变为一正一负的二个{十}数求和。这有好多方式。其中，典型的是将该{十^△}数中各正数字位及0位作为一正{十}数，而将各负数字位作为一负{十}数。

例{十^△}222 32 4＝{十}222020-304＝221716

           式十一         式十二

                                               式十三

再一种是在该数的各位上，使正数不变；负数变为其绝对值对10取“补”数，同时在相邻的高位减1(即加1)。另一种方法是：在该数的各位上，连续正数字(或0)的数字段照写不变。如222×2×。但，当数字段不在{十^△}数末尾(个位)时，则最低位加1；连续负数字的数字段，则使负数字变为其绝对值对9取“补”数，如×××6×5。然后，在数字段最低位加1。

这样，求得结果为221716，即为相应{十}数。当需转换的{十^△}数首位为负，即该数为负数时，则将该数的相反数转换成{十}数，然后取此{十}数的符号为负即可。

4.2{十^△}与{十}对照表及其说明(见表一)

说明：

①{十}数相应的{十^△}数可有重复数，也可没有；

②凡{十^△}数中有数字5(正或负)出现时，则相应的{十}数有重复的{十^△}数。此时，该相应的{十}数中可有数字5，也可没有。{十^△}数对{十}数的重复数，以5＝1 5及 5＝ 15为“主重复”，即其余重复数均可由此推出。

③实质上，由于{十^△}的数元集中既含有5，又含有5才产生相应的重复数。换句话说，只要{十^△}的数元集中去掉5或 5，则不会产生重复数。这时，相应这种无重复数的数制，称为Q＝10的偏Q进制{Q’}。

… 10    9   8   7   6  5  4  3  2  1 0 1 2 3 4 5   6    7    8    9  10  …{十}… 10  11  12  13  14   5  4  3  2  1 0 1 2 3 4 5 1 4 1 3 1 2 1 1 1 0…{十△}15                  1 5

            表一  {十^△}与{十}数对照表

4.3{十^△}与{十}关系分析

{十}数与{十^△}数的关系是部分“一多对应”关系，而不是“一一对应”关系。正由于此，{十^△}就获得了部分多样处理的灵活性。这是{十^△}运算中部分多样性、快速性的原因。从这一点来说，{十^△}具有较强的功能。

{十^△}数转换为{十}数，只能化为相应唯一的一个数。这是因为，{十^△}数可经{十}数加减直接获得，而{十}数加减运算后的结果是唯一的。反之，{十}数也只能化为相应唯一的一组{十^△}数。所以，这种{十}数的“一”与{十^△}数的“一”组，二者是“一一对应”关系。

由此，可建立一种{十^△}数与{十}数的互为映射关系。对于运算系统来说，{十}与{十^△}数系统“同构”。相应{十}数的各种基本运算性质，亦在{十^△}数系统中成立。

{十^△}中P＞Q，因而在该数制中自然数有时会出现多种形态表达。这正是该数制灵活性所在，它使运算得以简便快捷。也可以说{十^△}是以部分多样性来换取了部分灵活性。{十}中P＝Q，因而在该数制中，自然数是连续唯一形态表达。它没有这种多样性，也缺少了这种相应的灵活性。

应当指出，显然，上述对{十}与{十^△}的分析，完全相应于{Q}与{Q^△}的分析，因为{十}与{Q}是同构的。由此可知：①{Q}数与{Q^△}数的关系是部分“一多对应”，而不是“一一对应”。②同时，{Q}中的“一”个数与相应的{Q^△}中的“一”组数，二者之间是“一一对应”关系。③{Q}与{Q^△}数系统“同构”。相应{Q}数系统的各种基本运算性质，亦在{Q^△}数系统中成立。

5.综合上述，可有如下简明结论：

增Q进制{Q^△}及《增进方法ZJF》在数字工程中，可显著提高运算速度，而且大大降低笔算的出错率。它正是钱学森指出的数学第三层次“直接应用的工程技术”。这种“工程技术”与数字计算工程紧密结合的方法，称为“增Q进制、进位行数字工程方法”。

第二部分  增Q进制、进位行笔算工程技术方案

(一)笔算工程中，数值运算在原理正确的前提下，最重要的有二点：

一点是尽可能不出错，一点是希望运算速度尽可能快。然而，在实践中，这二点又常常处于对立矛盾状态。因为要不出错，常常只好降低运算速度。反之，要快速又常常出错。

制约上述二点的要害在哪儿？要害就在于“进退位”。运用前述增Q进制、进位行数字工程方法的笔算工程，可以在数值运算过程中，使得各运算层次上的概念更简单、更基本、更清晰。同时，相应的操作可以更方便。这就使数值运算的易错性明显减少，而且运算速度得以明显提高。

(二)由于人类最常用的数是普通十进制数，因此，基础数学都是应用普通十进制数。增Q进制、进位行数字工程方法的笔算工程技术方案，又进一步采用增十进制{十^△}的《增进方法ZJF》。混数方法与进位行方法的结合，使二者正好互补，互相促进。因此，在《增进方法ZJF》中，运算速度大大提高；同时，在笔算工程中，还使出错率大大降低。本发明中，均采用2K个增Q进制数来展示。混数进制运算可为前述方案一、方案二。本发明“笔算工程”技术方案以方案一来展示；笔算工程中的数字工程方法，可采用前述第一种或第二种步骤。这里，采用第二种步骤来展示。

(三)新笔算工程技术方案中，普遍采用“多重运算”。即，多个数的加减在一次性运算中完成。这样，就彻底解决了“连减”及“连加减”的困难。同时，乘法本质上就是“连加”，除法本质上就是“连减”。因此，在乘除中，亦可运用“多重运算”来处理。

(四)新笔算工程技术方案中，广泛运用“对冲”(约混)及“划Q”运算，用以提高运算速度并简化运算画面。对K个数中的n个数进行求和运算时，如果在某一位上，其中n个运算数的按位加和为零，但产生进位m(与n个数的和数符号一致)；n为≥2的整数，m为整数；进位放入下一运算层或本运算层尚未运算过的，任一数据行相邻高位的空位或0位处；然后，将n个运算数的某位均以逻辑方式置“0”，不再参加以后的运算；这称为“划Q”；“划Q”中m＝0时，称为“对冲”。

(五)增Q进制、进位行数字工程方法中，所述运算数是增Q进制数，Q为自然数。常采用全一码编码，广泛运用“对冲”。但是，在笔算工程的应用中，由于全一码编码数的码长较长，故虽可用全一码来编码，亦可不另行编码；全一码编译可以定码长或变码长；本发明增Q进制、进位行笔算工程中，采用变码长来展示

理论和实践证明，增Q进制、进位行数字工程方法的笔算工程是一种优异的笔算工程技术方案。从根本上来讲，它使+-×÷四则运算，也就是有理数运算，全面、系统地改观。它方便易行，即使对于初学者，加减运算也可一下子扩大到任意多个数，并且每个数可扩大到任意多位，根本无需加以特别的限制。它的低出错率和快速，顺利地实现了数学计算及其教育的快乐原则。它的诞生有利于千秋万代的数学及教育基业。

小结：

增Q进制、进位行数字工程方法用于笔算工程，是切实可行的。笔算工程新技术方案可以大大提高运算速度，同时大大降低出错率。增Q进制特别是增十进制{十^△}，在笔算工程中的应用，相对于普通十进制{十}在笔算工程中的应用是一场革命。

这种笔算工程新技术方案在人脑笔算中，特别是在教科书中具有科教上的重大意义。考虑到今天以及未来，基础数学及其教育，在人类生活、生产、教学等等领域中的广泛应用及重大意义，那么，笔算工程新技术方案的用途和价值就是不言而喻的了。

        第三部分      增Q进制及全一码

1. 增Q进制

1.1定义及符号

在一个Q进制数制中，凡P＞Q的进制，特别是P＝Q+1＞Q的进制，称为“增强Q进制”。Q为自然数。简称为“增Q进制”。其中，含0整数段、不对称增Q进制称为“含0不对称增Q进制”。显然，{0，1，2}二进制，即为“含0不对称增二进制”；{ 1，0，1}二进制即为“含0对称增二进制”。此外，还有其他增二进制。

1.2{0，1}一进制及其运算

增Q进制中，当Q＝1时，即为增一进制。增一进制中，主要有二种。其一是{0，1}一进制，它可表示全部非负整数。其元器件为二态器件。其二是{ 1，1}一进制，它可表示全部整数。其元器件亦为二态器件。本文下面所称“增一进制”，除特别注明外，均指{0，1}一进制。

{0，1}一进制的运算。这里列出加法运算，例如{十}4+3+2＝9＝{0，1}一进制110101+1011+101＝11001100010101011＝…。

1.3{0，1}一进制与{Q}的关系。

1.3.1{0，1}一进制数与{Q}数的转换法。

{0，1}一进制数转换成{Q}数，可以将{0，1}一进制数中的各位数字1，以{Q}计数即可。所得{Q}计数和，即为相应的{Q}数。这就是说，{0，1}一进制数中有几个1，则相应的{Q}数即为几。显然，这是十分简单的法则。(见表二)

{0，1}    {二}{十}    {十}{二}           {0，1}

一进制                                   一进制

 000        0  0

 001        1  1       0  000           0…00000000

 010        1  1       1  001           0…00000001

 011        10 2       2  010           0…00000011

 100        1  1       3  011           0…00000111

 101        10 2       4  100           0…00001111

 110        10 2       5  101           0…00011111

 111        11 3       6  110           0…00111111

                 7  111           0…01111111

                                                       

表二                         表三

{Q}数转换成{0，1}一进制数，可将{Q}数各位均乘以各位上的权，然后将这些积以同样个数的1，分别在所要表达的{0，1}一进制数位置上，以不重复的方式列出即可。这就是说，{Q}数为几，则{0，1}一进制数中就有几个1。显然，这也是十分简单的法则。(见表三)

1.3.2{0，1}一进制数与{Q}数对照表及其说明

说明：①{0，1}一进制数可表示全部{Q}数

②有较多的重复数，以4位{0，1}一进制数为例，除0及4唯一外，其余均有重复数。其中，1有4个；2有6个；3有4个。于是，从0～4的重复数分别为1，4，6，4，1个。这与二项式展开系数C^K _m是一致的。位数n为自然数，K为0～n。(表四扬辉三角形。)

③表中 表示形式为“连续非负整数个0”的全体的缩写。即

可为0个0，可为1个0，可为00，可为000，…等形式。这种形式表示的集合，称为“连集”。显然，“连集”为无限集。设E为整数，则 为E的“连集”，简称为“连E”。读作“E点”。以“连集”形式表示的一组无穷个数，称为“连集数组”或“连集组数”。

                         1

                        1  1        杨

                      1  2  1       辉

                     1  3  3  1     三

                   1  4  6  4  1    角

                                形

                        表四

1.3.3{0，1}一进制与{Q}关系分析。

(1)Q1，Q为自然数；1为最小的自然数，也是最基本的自然数单元。Q真包含1，这使得相应的{Q}与{0，1}一进制之间存在自然的联系。

(2){Q}数与{0，1}一进制数的关系是“一多对应”关系，而不是“一一对应”关系。{0，1}一进制中P＝Q+1＞Q，因而在该数制中，自然数有时会出现多种形态表达，这正是该数制灵活性所在。也可以说，{0，1}一进制是以多样性来换取了灵活性。{Q}中P＝Q，因而在该类数中，自然数是连续唯一形态表达。它没有这种多样性，也缺少了这种相应的灵活性。

(3){0，1}一进制数转换为{Q}数，只能化为相应唯一的一个数。这是因为，{0，1}一进制数可经{Q}数加减直接获得，而{Q}数加减运算后的结果是唯一的。反之，{Q}数也只能化为相应唯一的一组{0，1}一进制“连集组数”。所以，这种{Q}数的“一”与{0，1}一进制“连集组数”的“一”组，二者是“一一对应”关系。由此，可建立一种{0，1}一进制数与{Q}数的互为映射关系。对于运算系统来说，{Q}与{0，1}一进制数系统“同构”。相应{Q}数的各种基本运算性质，亦在{0，1}一进制数系统中成立。

1.4{0，1}一进制的应用

{0，1}一进制由于以么元1配以0构造数，而且权为1，故其“运算”常以“传送”来实现。这是{0，1}一进制数运算快速原因之一。{0，1}一进制数运算中的“进位”，也以二数当前位的按位加和为0，而进位为Q的“划Q”逻辑实现。这种“传送”及“划Q”的逻辑实现，结构简单，速度却快。这是{0，1}一进制数运算快速原因之二。当{0，1}一进制数与各种混数进制数结合运算时，又补充了“对冲”这一结构更为简单、速度更为快速的逻辑。这是{0，1}一进制数运算快速原因之三。

上述{0，1}一进制与各种混数进制相结合，使得功能更加增强。考虑到{0，1}一进制→{Q}→各种混数进制，这其中有着内在的联系。显然，这一切均在预料之中。

2.全一进制及全一编码

2.1全一进制和全一数

{0，1}一进制数的多样性就获得了多样处理的灵活性。但是，由于{0，1}一进制数“连集”形式有且仅有一种 而且具有极端的多样，在同一个数中可出现一次以上的“连集”形式。由此造成同一个数的形式过于多样，难以把握，不便于控制，势必增加设备并且影响运算速度。因此，在一般情况下，有必要对{0，1}一进制数加以某种约束条件。这就产生了“全一进制”。

在{0，1}一进制的正整数中，限定每一组“连集组数”只选取自个位开始，从右向左连续排列么元1的唯一的一种形态表达；高位上均为0，或以空位表示。例如：{十}数3＝{0，1}一进制数

(“/”表“或者”)，限定为{十}3＝{0，1}一进制111。这样，每一组“连集组数”中的重复数均被删除，只剩下一个全是1的唯一形态，我们称为“全一数”。表达“全一数”的进制称之为“全一进制”。表三中，{0，1}一进制数最左边的形态，即为“全一进制”数。因此，“全一进制”可以是加特定约束条件的{0，1}一进制。

在《数制理论》的“位值制数制”中，定义数中的空位表示具有隐含的“空位0”；在其数元集中，“空位”是一种特殊的数元，称为“空位元”。简称为“空元”。因此，“全一进制”可以从不含0普通Q进制{不含0，Q}中的{1}一进制获得；故可以定义“全一进制”为{1}一进制，以符号{一}来表示。当考虑到正负整数时，可以将该全一进制数的正负符号，分配到该数的各位上去，从而构造各位均带相同符号的全一进制数。本发明中除特别注明外，均指此种“全一进制”，亦以符号{一}来表示。

“全一进制”也可以从不含0增一进制中的“{1，1}一进制”，加约束条件获得。约束条件为该进制数，必须各位上符号均相同；此外，还可以从其它混数进制获得。

2.2全一码

全一进制显然具有如下优缺点。优点：①运算速度快。“传送”代替了“翻转”。②多重运算时，不需要二二求和，只需要先“对冲”后“划Q”即可得结果。这就大大加快了总体运算速度。③与{Q}转换方便；缺点：①“字长”太长，位数多。(当取可变字长时，其平均字长仅为一半。)②荷载信息量较小。因此，根据全一进制的优缺点，扬长避短，以全一进制数来编码各种混数进制数是合适的。以“全一进制”数来编码，称为“全一编码”。“全一编码”中采用的“全一数”，称为“全一码”。表五显示出全一码一位，编码{二}数元的情况。由表五可见，全一码一位编码的{二}数，即为{二}数本身。表六显示出以全一码九位，编码{十}数元的情况。由表六可见，全一码九位编码的{十}数，码长增加至9倍。(当取可变码长时，其平均码长仅为5倍。)例如：{十}23＝全一码＝≡。对于各种混数进制数，均可以全一码来编码。

2.3全一码的计算。全一码的计算非常简单。n个数加法仅为n个数中1或1的不重复排列，称为“排1”。以二数加法为例，如11+111＝11111。特别是，在各种混数进制的数字工程中，仅仅只需先“对冲”后“划Q”，就能获得各种混数进制数的运算结果。当最终结果需要输出时，才将以全一码编码的各种混数进制数，转换成{Q}或{十}数输出。

2.4全一码的应用。

全一码主要应用于对{Q}数及各种混数进制数进行编码。特别是：

①采用全一码九位编码{十}数，可以实现普通十进制{十}、全一码、进位行处理器和笔算工程及算盘。

②采用全一码五位编码{十^△}数，可以实现增十进制{十^*}、全一码、进位行处理器和笔算工程及算盘。

③采用全一码编码各种混数进制数，可以实现各种混数进制、全一码、进位行处理器和笔算工程及算盘。

④采用全一码来编码{十}或{十^△}数或各种混数进制数，再以“正负码”来二次编码，可以实现又一种算盘的新技术方案。

Claims (10)

1.一种增Q进制、进位行数字工程方法的笔算工程技术方案，采用Q进制数，以Q进制数运算；其特征在于，采用“增Q进制”数，以“混数进制、进位行方法”运算；

2.如权利要求1增Q进制、进位行数字工程方法的笔算工程技术方案，其特征在于，“混数进制、进位行方法”运算可为下列方案之一；方案一：(适于计算机、笔算工程中)①普通Q进制数编码或另行转换为混数进制数；②混数进制运算(“对冲”、“划Q”、“累加”)；③混数进制数译码或另行转换为普通Q进制数；方案二：(适于计算机、算盘中；也可用于笔算工程，也可不用；)①普通Q进制数编码或另行转换为混数进制数；混数进制数编码为“编码全一进制数”；②“编码全一进制数”运算(“对冲”、“划Q”、“累加”)；③“编码全一进制数”译码为混数进制数；混数进制数译码或另行转换为普通Q进制数；方案三：(适于计算机中)①普通Q进制数编码或另行转换为混数进制数；混数进制数编码或另行转换为{0，±1}二进制数(其特况为“普通二进制数”)；②{0，±1}二进制运算(“对冲”、“划Q”、“累加”)；③{0，±1}二进制数译码或另行转换为混数进制数；混数进制数译码或另行转换为普通Q进制数；方案四：(适于计算机中)①普通Q进制数编码或另行转换为混数进制数；混数进制数编码或另行转换为“编码{0，±1}二进制数”(其特况为“编码普通二进制数”)；②“编码{0，±1}二进制数”运算(“对冲”、“划Q”、“累加”)；③“编码{0，±1}二进制数”译码或另行转换为混数进制数；混数进制数译码或另行转换为普通Q进制数；本发明中，采用方案一、方案二来展示。

3.如权利要求1-2增Q进制、进位行数字工程方法的笔算工程技术方案，其特征在于，“混数进制、进位行方法”包括以下第一种步骤：

第1步，设K个普通Q进制数参予加减运算，K为≥2的整数，Q为自然数；将这些数转换成K或2K个增Q进制数；(本发明中，均采用2K个增Q进制数来展示)；

第2步，对K或2K个数中的二个数，进行增Q进制的求和运算；从最低位开始或各位同时按位相加，即在某一位上，取这二个数按位相加；采用“对冲”、“划Q”、累加，得到这二个数该位“按位加”和数；将此和数记入下一运算层，作为“部份和”数；同时所得“增Q进位”，则存放到下一运算层或本运算层尚未运算过的，任一数据行相邻高位的空位或0位处；

第3步，在上述某位的相邻高位上，重复第2步的运算；如此反复，直至二数最高位也己运算为止；当采用并行运算时，二数各位同时进行第2步及第3步运算，则本步可跳越过去；

第4步，取K或2K个数中的另二个数，进行第2步及第3步运算；如此反复，直至K或2K个数或运算层中全部数均取完为止；当仅剩下一个数时，则直接移至下一运算层作为“部份和”数；

第5步，在下一个运算层中，将上述“按位和”数及“进位”数进行前述第2步、第3步、第4步求和运算；如此反复，直至运算层中，运算后仅获得一个数为止；则最后所得增Q进制加法运算和数，即为所求K个普通Q进制数加减运算结果；

或者，采用以下第二种步骤：

第1步，设K个普通Q进制数参予加减运算，K为≥2的整数，Q为自然数；将这些数转换成K或2K个增Q进制数；(本发明中，均采用2K个增Q进制数来展示)；

第2步，从最低位开始，即在某一位上，取二数、K或2K个数同时相加；采用“对冲”、“划Q”、累加；即在二数时，得到二个数该位“按位加”和数；将此和数记入下一运算层，作为“部份和”数；同时所得“增Q进位”，则存放到下一运算层或本运算层尚未运算过的，任一数据行相邻高位的空位或0位处；

第3步，在上述某位上，取K或2K个数中的另二个数，重复第2步的运算；如此反复，直至K或2K个数或运算层中全部数均取完为止；当仅剩下一个数时，则直接移至下一运算层作为“部份和”数；

当采用同一位上各数同时运算时，同时进行第2步及第3步运算，则本步可跳越过去；这时在同一位上，对n个和为0的数先进行“对冲”；然后，对n个和为mQ的数进行“划Q”；n为≥2的整数，m为整数；所得“增Q进位”，则存放到下一运算层或本运算层尚未运算过的，任一数据行相邻高位的空位或0位处；同一位上，余下各数进行“累加”，或者直接移至下一运算层；累加采用≥2的“多数累加”；当采用普通二数“累加”时，则顺序串行累加；

第4步，在上述某位的相邻高位上，重复第2步及第3步的运算；如此反复，直至K或2K个数最高位也已运算为止；

第5步，在下一个运算层中，对上述“按位和”数及“进位”数进行前述第2步、第3步、第4步求和运算；如此反复，直至运算层中，运算后仅获得一个数为止；则最后所得增Q进制加法运算和数，即为所求K个普通Q进制数加减运算结果；

或者，采用以下第三种步骤：

第1步，设K个普通Q进制数参予加减运算，K为≥2的整数，Q为自然数；将这些数转换成K或2K个增Q进制数；(本发明中，均采用2K个增Q进制数来展示)；

第2步，采用所谓“二维运算”；即，在K或2K个数的各位上，同时进行运算；并且同时对每一位上，n个和为0的数进行“对冲”；n为≥2的整数；

第3步，采用所谓“二维运算”；即，在K或2K个数的各位上，同时进行运算；并且同时对每一位上，n个和为mQ的数进行“划Q”；n为≥2的整数，m为整数；所得“增Q进位”，则存放到下一运算层的，任一数据行相邻高位的空位或0位处；

第4步，采用所谓“二维运算”；即，在K或2K个数的各位上，同时进行运算；并且同时对每一位上，余下各数进行“累加”，或者直接移至下一运算层；累加采用≥2的“多数累加”；当采用普通二数“累加”时，则顺序串行累加；

第5步，在下一个运算层中，将上述“按位和”数及“进位”数进行前述第2步、第3步、第4步求和运算；如此反复，直至运算层中，运算后仅获得一个数为止；则最后所得增Q进制加法运算和数，即为所求K个普通Q进制数加减运算结果。

4.如权利要求1-3增Q进制、进位行数字工程方法的笔算工程技术方案，其特征在于，“混数进制、进位行方法”运算采用“进位行方法”；在运算过程中，将产生的进位存放在相邻高位“进位行”中，然后与“按位和”一起进行运算。

5.如权利要求1-4增Q进制、进位行数字工程方法的笔算工程技术方案，其特征在于，“混数进制、进位行方法”对K个数中的n个数进行求和运算时，如果在某一位上，其中n个运算数的按位加和为零，但产生进位m(与n个数的和数符号一致)；n为≥2的整数，m为整数；进位放入下一运算层或本运算层尚未运算过的，任一数据行相邻高位的空位或0位处；然后，将n个运算数的某位均以逻辑方式置“0”，不再参加以后的运算；这称为“划Q”；“划Q”中m＝0时，称为“对冲”；或者，不采用“对冲”及“划Q”。

6.如权利要求1-5增Q进制、进位行数字工程方法的笔算工程技术方案，其特征在于，“混数进制、进位行方法”可以不编码；可以混数进制数编码；也可以全一码来编码，即将各个增Q进制数的每一位数S，都以|S|个1从最低位顺序至高位排列来对应，其余高位均为0，总位数则为Q/2或(Q+1)/2位；同时，将S的数符，即表示该位的数为正或负，作为相应全一码中每一位上的数符；当采用全一码来编码增Q进制数时，n个数加法仅为n个数中1或1的不重复排列；其全一码编译可以定码长或变码长。

7.如权利要求1-6增Q进制、进位行数字工程方法的笔算工程技术方案，其特征是：笔算工程技术方案采用“增Q进制、进位行方法”运算，Q为自然数；本发明笔算工程中，混数进制运算可为前述方案一或方案二；现采用方案一来展示；设K个普通Q进制数参予加减运算，K为≥2的整数，Q为自然数；将这些数转换成K或2K个增Q进制数；(本发明中，均采用2K个增Q进制数来展示)；笔算工程中的数字工程方法，可采用前述第一种或第二种步骤；这里，采用第二种步骤来展示。

8.根据权利要求1-7增Q进制、进位行数字工程方法的笔算工程技术方案，其特征是：笔算工程技术方案对K个数中的n个数进行求和运算时，如果在某一位上，其中n个运算数的按位加和为零，但产生进位m(与n个数的和数符号一致)；n为≥2的整数，m为整数；进位放入下一运算层或本运算层尚未运算过的，任一数据行相邻高位的空位或0位处；然后，将n个运算数的某位均以逻辑方式置“0”，不再参加以后的运算；这称为“划Q”；“划Q”中m＝0时，称为“对冲”；或者，不采用“对冲”及“划Q”。

9.根据权利要求1-8增Q进制、进位行数字工程方法的笔算工程技术方案，其特征是：笔算工程技术方案所述运算数可以不编码；可以混数进制数编码；也可以全一码来编码，即将各个增Q进制数的每一位数S，都以|S|个1从最低位顺序至高位排列来对应，其余高位均为0，总位数则为Q/2或(Q+1)/2位；同时，将S的数符，即表示该位的数为正或负，作为相应全一码中每一位上的数符；当采用全一码来编码增Q进制数时，n个数加法仅为n个数中1或1的不重复排列；全一码编译可以定码长或变码长；本发明增Q进制、进位行笔算工程中，采用变码长来展示。

10.根据权利要求1-9增Q进制、进位行数字工程方法的笔算工程技术方案，其特征是：笔算工程技术方案其中所述运算数是增Q进制数，Q为自然数。