CN1501596A - 一种最佳光正交码的构作法 - Google Patents

Abstract

本发明提供一种最佳(v，k，1)光正交码的构造法。光正交码是用于光纤CDMA系统中的一种优选扩频序列，它是一个二元(0，1)序列族，具有良好的相关特性。光正交码的构造与组合设计有着紧密的联系，一个最佳(v，k，1)光正交码等价于一个最佳循环差集族CDF(v，k，1)。依据初等数论、有限域和组合设计的基本理论，当码长度v为素数时，借助计算机辅助设计，设计得到一些循环差集族CDF(v，k，1)，从而构造出了一系列最佳(v，k，1)光正交码，为光纤CDMA系统中最佳扩频序列的设计提供了一种有效的途径。

Description

一种最佳光正交码的构作法

所属技术领域

本发明属于光纤通信技术领域，它特别涉及光纤CDMA系统中光正交码的构作方法。

背景技术

光纤CDMA是将码分多址通信技术与光纤通信技术相结合的一种新型通信方式，充分利用了两种通信方式的特点，具有很强的技术优势和广阔的应用前景(见文献Svetislav V.Maric，Oscar Moreno.Multimedia transmission in Fiber-Optic LAN’s usingoptical CDMA.J.Lightwave Technol.，1996，14(10)：2149-2153和文献Jawad A.Salehi.Emerging optical code-division multiple access communications systems.IEEE Network，1989，(3)：31-39)。光纤CDMA技术主要是通过使用一系列具有良好相关特性的扩频序列(地址码)来标识用户，将不同的接入用户同步或异步地复用到相同的频带和时隙上，从而实现多个用户共享同一光纤信道和提高系统的总容量。因此，具有良好相关特性的扩频序列构作方法研究是非常重要的。

在非相干光纤CDMA系统中(见文献Jawad A.Salehi.Code division multiple-accesstechniques in optical fiber networks-Part I：fundamental principles.IEEE Trans.Comm.，1989，37(8)：824-833和文献Jawad A.Salehi，Charles A.Brackett.Code divisionmultiple-access techniques in optical fiber networks-Part II：systems performance analysis.IEEE Trans.Comm.，1989，37(8)：834-842)，一般在发射机端和接收机端分别采用光强度调制和直接探测技术，该系统中的扩频序列只能选用具有非负元素的单极性序列，光正交码就是这样一种序列，能够表现出良好的相关特性，作为一种优选扩频序列，通常用于非相干光纤CDMA系统中。一个长度为v、重量为k的光正交码C通常用四元组Φ(v，k，λ₁，λ₂)表示，其中λ₁、λ₂分别表示自相关函数和互相关函数的上界，Φ表示C所包含码字个数的最大值。目前，光正交码的研究主要讨论λ₁＝λ₂＝λ的情况，此时，其特性可用三元组Φ(v，k，λ)表示。基于等重纠错码和光正交码的关系，及有名的Johnson界可知，如果一个(v，k，1)光正交码含有

码字，就称其为最佳光正交码。

有关光正交码的研究主要集中在三个方面，即特定长度和重量光正交码的存在性问题；码字精确个数的理论计算问题(见文献Ryoh Fuji-hara，Ying Miao.Optical orthogonalcodes：their bounds and new optimal constructions.IEEE Trans.Inform.Theory，2000，46(11)：2396-2406和文献杨义先.光正交码.电子学报，1991，19(1)：25-31)；光正交码的构作方法问题(见文献Fan R.K.Chung，J.A.Salehi.Optical orthogonal codes：design，analysis，and applications.IEEE Trans.Inform.Theory，1998，35(5)：595-604，文献Gennian Ge，Jianxing Yin.Constructions for optimal(v，4，1)optical orthogonal codes.IEEE Trans.Inform.Theory，2001，47(11)：2998-3004，以及文献Ryoh Fuji-hara，Ying Miao.Optical orthogonalcodes：their bounds and new optimal constructions.IEEE Trans.Inform.Theory，2000，46(11)：2396-2406)。就码的存在性问题而言，Bose，Buratti等人在这方面做了大量的研究工作(见文献Marco Buratti.Constructions of(q，k，1)difference families with q a prime powerand k＝4，5.Discrete Mathematics，1995，(138)：169-175)，并用组合设计和初等数论的相关理论，证明了码长满足特定条件的光正交码是存在的，但是，他们并未给出这些光正交码的具体构作方法。本发明基于Bose，Buratti等人的理论工作，提出一种最佳光正交码的构作方法，借助计算机辅助设计，构造出了一系列最佳(v，k，1)光正交码。

发明内容

本发明的目的是提出一种最佳(v，k，1)光正交码的构作法，该方法能构造出一系列具有良好相关特性的最佳(v，k，1)光正交码，其中，码长v为素数，码重k＝4，5和6。

光正交码的构造与组合设计有着紧密的联系(见M.Hall.Combinatorial Theory.2ndedition，New York：Wiley，1986)，特别地，一个最佳(v，k，1)光正交码等价于一个最佳循环差集族CDF(v，k，1)。可见，最佳(v，k，1)光正交码的设计问题实际上就是最佳CDF(v，k，1)的设计问题。本发明的原理是依据初等数论(见Underwood Dudley.Elementary NumberTheory.2nd edition，San Francisco：W.H.Freeman and Company，1978)的基本理论，在研究循环差集族CDF(v，k，1)设计问题的基础上，来进一步研究最佳(v，k，1)光正交码的构造方法问题。

依据有限域的基本理论，有限域的特征必为素数，其阶必为素数的幂。一个特征为素数p的有限域，如果其阶数也为p，则称它为p特征域的素子域，即不能再分解的域。假定v为素数，t、k为正整数，且满足关系式v＝tk(k-1)+1，则模v的剩余整数集合构成一个v特征有限域的素子域，可表示为F_v＝{0，1，...，v-1}，依据Fermat定理及本原根的定义，一定可求出F_v的本原根α(α∈F_v)，即α^y-1≡1(mod v)。令v-1元集合F_v ^*＝{α⁰，α¹，α²，...，α^v-2}(mod v)，它构成一个v-1阶循环群，其元素是F_v中所有非零元素的一个等价置换。

基于有限群的拉各朗日定理，子群的阶数必为群阶数的因子。令s＝k(k-1)/2，β＝α^s，则以β为本原元，可生成一个阶为2t指数为s的循环子群C₀ ^s，C₀ ^s及其所有陪集如下：

${C_0}^s=\{1,\mathrm{\β},{\mathrm{\β}}^2,{\mathrm{\β}}^3,...,{\mathrm{\β}}^{(2t-1)}\}=\{1,{\mathrm{\α}}^s{\mathrm{\α}}^{2s},{\mathrm{\α}}^{3s},...,{\mathrm{\α}}^{(2t-1)s}\}$

${C_1}^s=\mathrm{\α}{C_0}^s=\{\mathrm{\α},{\mathrm{\α}}^{s+1},{\mathrm{\α}}^{2s+1},{\mathrm{\α}}^{3s+1},...,{\mathrm{\α}}^{(2t-1)s+1}\}$

${C_2}^s={\mathrm{\α}}^2{C_0}^s=\{{\mathrm{\α}}^2,{\mathrm{\α}}^{s+2},{\mathrm{\α}}^{2s+2},{\mathrm{\α}}^{3s+2},...,{\mathrm{\α}}^{(2t-1)s+2}\}$

....................

${C_{s-1}}^s={\mathrm{\α}}^{s-1}{C_0}^s=\{{\mathrm{\α}}^{s-1},{\mathrm{\α}}^{2s-1},{\mathrm{\α}}^{3s-1},{\mathrm{\α}}^{4s-1},...,{\mathrm{\α}}^{2\mathrm{ts}-1}\}$

由上面的关系式可知，子群C₀ ^s的所有陪集是对v-1阶循环群F_v ^*中所有元素的一个等价划分，即任意两个不同陪集间的元素互不相同。

假定存在一个定义在F_v上的k元集合B₀＝{b₁，b₂，b₃，...，b_k}(modv)，定义两个集合Δ⁺B₀＝{b_i-b_j|1≤j＜i≤k}(mod v)和ΔB₀＝{b_i-b_j|1≤i，j≤k}(mod v)，如果集合Δ⁺B₀中所有s个元素分别属于C₀ ^s，C₁ ^s，...，C_s-1 ^s，即互不相同，则集合ΔB₀中的所有2s个元素也互不相同。如果令k元集合族Ω＝{B_i＝α^isB₀(1≤i≤t}，则差集Δ⁺B_i的所有s个元素仍分别属于C₀ ^s，C₁ ^s，...，C_s-1 ^s，且与差集Δ⁺B₀互不相交。因此，差集 的所有2ts个元素也互不相同，分别等于F_v中的所有非零元素，k元集合族Ω就构成了一个CDF(v，k，1)循环差集族，从而就可以确定一个最佳(v，k，1)光正交码。

本发明所提供的最佳光正交码的构作法，其特征是采用下面的步骤：

第一步，程序开始，给初始变量赋值，即在码重量k给定的情况下，给码字个数t赋值，计算码长度v，且v必须为素数。如果v不为素数，改变t的值，直到v为素数为止；

第二步，计算并得到有限域F_v的本原元α；

第三步，由本原元α生成v-1阶循环群F_v ^*并对其所有元素进行存储；

第四步，令β＝α^s(其中s＝k(k-1)/2)，以β为生成元构造指数为s，阶为2t的循环子群C₀ ^s，同时计算得到C₀ ^s的所有陪集，存储C₀ ^s及其陪集的所有元素；

第五步，构造k元集合B₀＝{0，a，a²，...，a^k-1}(modv)，其中，a∈F_v，计算差集Δ⁺B₀的所有元素；

第六步，判断集合Δ⁺B₀中的所有元素是否分别属于s个不同的陪集。如果该条件满足，进行第七步；如果该条件不满足，进行第五步；如果构造集合B₀的所有情况都已包含，该条件仍不满足，进行第八步；

第七步，利用关系式B_i＝α^isB₀(1≤i≤t)确定t个k元集合，由这t个集合确定得到最佳(v，k，1)光正交码的所有码字，并对结果数据进行存储，程序结束；

第八步，不能构造该长度的最佳光正交码，程序结束。

需要说明的是：程序中所有的加法和乘法运算都是在有限域F_v上进行。

本发明的计算机仿真流程如附图1所示。

本发明的有益效果是：采用本发明提供的构造方法，能够构造出最佳(v，k，1)光正交码，为光纤CDMA系统中具有良好相关特性扩频序列的设计提供了一种有效的途径。

附图及附图说明：

图1是最佳(v，k，1)光正交码的计算机设计流程图

图2是按照本发明提出的构造法，计算得到的(v＝12t+1，k＝4)结果数据

图3是按照本发明提出的构造法，计算得到的(v＝20t+1，k＝5)结果数据

图4是按照本发明提出的构造法，计算得到的(v＝30t+1，k＝6)结果数据

在图2、3和4中，v表示光正交码的长度，t表示码字的个数，a表示集合B₀元素的生成元，α表示有限域GF(v)的本原元，ε表示a关于本原元α在有限域GF(v)中的指数。

图5是最佳(541，5，1)光正交码的自相关特性分析

图6是最佳(541，5，1)光正交码的互相关特性分析

从图5、6可看出，光正交码(541，5，1)的零移位自相关值为5，非零移位自相关值λ≤1，不同码序列间的移位互相关值λ≤1，满足最佳(v，5，1)光正交码的相关特性。

具体实施方式：

在实际光CDMA系统中，扩频序列(地址码)的扩频增益一般为1000左右，因此，我们仅讨论了码长度v＜1200的情况，当然，当码长度v≥1200时，该构作法仍适用。

以最佳(661，5，1)光正交码的构造为例，来说明如何得到其所有码字。基于附图3中的数据，当码长v＝661、码重k＝5时，可知，码字个数t＝33，有限域GF(541)的本原元α＝2，集合B₀所有元素的生成元a＝531＝2³⁴²(mod 661)，从而可确定B₀＝{0，531，375，164，493}，利用关系式B_i＝2¹⁰ⁱB₀(1≤i≤33)，可得到33个5元集合：

{0，402，620，42，489}{0，506，320，43，359}{0，581，485，406，100}{0，44，229，636，606}{0，108，502，179，526}{0，205，451，199，570}{0，383，446，188，17}{0，219，614，161，222}{0，177，125，275，605}{0，134，427，14，163}{0，389，327，455，340}{0，414，382，576，474}{0，235，517，212，202}{0，36，608，280，616}{0，509，591，507，190}{0，348，369，283，226}{0，73，425，274，74}{0，59，262，3 12，422}{0，265，583，225，495}{0，350，109，372，554}{0，138，568，192，158}{0，519，613，291，508}{0，12，423，534，646}{0，390，197，169，504}{0，116，123，535，516}{0，465，362，532，245}{0，240，528，104，361}{0，529，635，75，165}{0，337，477，124，405}{0，46，630，64，273}{0，173，645，97，610}{0，4，141，178，656}{0，130，286，497，168}

由上面这些5元集合，就可以确定一个二元(0，1)序列族，此即为最佳(661，5，1)光正交码的所有码字。根据光正交码相关特性的定义，借助计算机仿真，可以对(661，5，1)光正交码的相关特性进行分析，附图5、6为计算机仿真的结果。

下面为本发明部分计算机源程序(matlab语言)，该程序主要解决满足特定约束条件集合B₀的构造问题。

　　Element_Search＝0；

　　Parameter_Condition＝1；

　　for r＝1：Index_Generator_Subgroup

　　       for s＝1：Order_Subgroup

　　           Index_Element_Find(1)＝mod(Index_Element_Coset(r，s)，(Number_Element_CDF-1))；

　　           Element_Find(1)＝Element_Coset(r，s)；

　　           for t＝2：Number_Element_CDS-1

　　               Index_Element_Find(t)＝mod(t*Index_Element_Find(1)，(Number_Element_CDF-1))；

　　               Element_Find(t)＝Element_Coset(Index_Element_Find(t)+1)；

　　           end

　　           Base_Block_Find＝[0 Element_Find]；

　　           Number_Difference＝0；

　　           for i＝1：Number_Element_CDS

　　                for j＝i+1：Number_Element_CDS

　　                    Number_Difference＝Number_Difference+1；

　　                    Difference(Number_Difference)＝

　　                       mod((Base_Block_Find(j)-Base_Block_Find(i))，Number_Element_CDF)；

　　                end

　　           end

　　           c＝ismember(0，Difference)；

　　           ifc～＝0
        <!-- SIPO <DP n="5"> -->
        <dp n="d5"/>
　　             continue；

　　        end

　　        for k＝1：Number Difference

　　             Index_Difference(k)＝find(Element_Coset＝＝Difference(k))-1；

　　             Order_Difference(k)＝mod(Index_Difference(k)，Index_Generator_Subgroup)；

　　        end

　　        Order_Difference＝sort(Order_Difference)；

　　        Set_Give＝0：Index_Generator_Subgroup-1；

　　        if Order_Difference＝＝Set_Give

　　             Parameter_Condition＝0；

　　        end

　　        if Parameter_Condition＝＝0

　　             break；

　　        end

　　    end

　　    if Parameter_Condition＝＝0

　　        Element_Search＝Element_Find(1)；

　　        Index_Element_Search＝Index_Element_Find(1)；

　　        break；

　　    end

　　end

Claims (1)

1、一种最佳光正交码的构作法，其特征是它采用下面步骤：

第一步，程序开始，给初始变量赋值，即在码重量k给定的情况下，给码字个数t赋值，计算码长度v，且v必须为素数。如果v不为素数，改变t的值，直到v为素数为止；

第二步，计算并得到有限域Fv的本原元α；

第三步，由本原元α生成v-1阶循环群F_v ^*并对其所有元素进行存储；

第四步，令β＝α^s(其中s＝k(k-1)/2)，以β为生成元构造指数为s，阶为2t的循环子群C₀ ^s，同时计算得到C₀ ^s的所有陪集，存储C₀ ^s及其陪集的所有元素；

第五步，构造k元集合B₀＝{0，a，a²，...，a^k-1}(modv)，其中，a∈F_v，计算差集Δ⁺B₀的所有元素；

第六步，判断集合Δ⁺B₀中的所有元素是否分别属于s个不同的陪集。如果该条件满足，进行第七步；如果该条件不满足，进行第五步；如果构造集合B₀的所有情况都已包含，该条件仍不满足，进行第八步；

第七步，利用关系式B_i＝α^isB₀(1≤i≤t)确定t个k元集合，由这t个集合确定得到最佳(v，k，1)光正交码的所有码字，并对结果数据进行存储，程序结束；

第八步，不能构造该长度的最佳光正交码，程序结束。

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