CN111404559B - 一种基于嵌套仿酉矩阵的完全互补码的构造方法 - Google Patents

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CN111404559B CN202010225351.8A CN202010225351A CN111404559B CN 111404559 B CN111404559 B CN 111404559B CN 202010225351 A CN202010225351 A CN 202010225351A CN 111404559 B CN111404559 B CN 111404559B
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Abstract

本发明属于通信技术领域，具体涉及一种基于嵌套仿酉矩阵的完全互补码的构造方法，包括以下步骤：在码空间内任意选定多组Golay互补序列对；将Golay互补序列通过Z‑变换生成为相应的2‑阶生成矩阵Uk_{t}(Zk)；将2‑阶生成矩阵Uk_{t}(Zk)嵌套排列得到2n‑阶蜂巢仿酉矩阵Mk(Zk)；将2n‑阶蜂巢仿酉矩阵Mk(Zk)通过矩阵乘法和变量替换构造成高阶仿酉矩阵M(Z)，高阶仿酉矩阵M(Z)所对应的序列矩阵即为新构造的完全互补码。本发明适用于CDMA移动通信系统，构造出的完全互补码具有良好相关特性和正交特性，灵活性好，生成容易，可供通信自由选择且序列集合数量可观的完全互补码，进而实现CDMA系统性能和容量的进一步提高，该方法实用性好，值得推广。

Description

一种基于嵌套仿酉矩阵的完全互补码的构造方法
技术领域
本发明属于通信技术领域，具体涉及一种基于嵌套仿酉矩阵的完全互补码的构造方法。
背景技术
CDMA系统具有良好的抗干扰和抗多径性能，且能提供更大容量的信道共享，这在第2代和第3代移动通信系统中已经得到体现。近20年中，CDMA通信系统得到了迅速地发展，成为当今通信发展的主流。扩频通信中扩频码的相关特性是衡量码性能的主要指标，拥有理想相关特性的扩频码可以大大简化系统的复杂度，并且可获得完全频谱利用效率。
当前的CDMA通信系统中，主要使用二元序列和完全互补码作为扩频编码，相对二元序列而言，完全互补码的相关特性理想，且抗干扰的能力更强，但是目前使用的完全互补码构造方法产生的完全互补码数量有限，同时不够灵活，因此系统可同时支持的活跃用户数量有限。
发明内容
有鉴于此，本发明提供了一种基于嵌套仿酉矩阵的完全互补码的构造方法，以解决上述提出的问题。
本发明的技术方案是：
一种基于嵌套仿酉矩阵的完全互补码的构造方法，该方法基于Golay互补序列，包括以下步骤：
在码空间内任意选定多组Golay互补序列对；
将Golay互补序列通过Z-变换生成为相应的2-阶生成矩阵Uk_{t}(Zk)；
将2-阶生成矩阵Uk_{t}(Zk)嵌套排列得到2n-阶蜂巢仿酉矩阵Mk(Zk)；
将2n-阶蜂巢仿酉矩阵Mk(Zk)通过矩阵乘法和变量替换构造成高阶仿酉矩阵M(Z)，高阶仿酉矩阵M(Z)所对应的序列矩阵即为新构造的完全互补码。
优选的，将Golay互补序列通过Z-变换生成为相应的2-阶生成矩阵 Uk_{t}(Zk)的方法包括以下步骤：
选取其中一个Golay互补序列对(ak_{t}，a′k_{t})，0≤k≤n-1，0≤t≤2n- 1，序列a长度为lk；
求取{a*}k_{t}，{-a′*}k_{t}，其中(·)*表示共轭逆序，-a表示序列a乘以-1，获得另一个Golay互补序列对({a*}k_{t}，{-a′*}k_{t})；
利用式(1-1)对ak_{t}，a′k_{t}，{a*}k_{t}，{-a′*}k_{t}做Z-变换生成为相应的2-阶生成矩阵Uk_{t}(Zk)，
Figure GDA0003175645600000021
其中，
Figure GDA0003175645600000022
优选的，利用式(1-2)将2-阶生成矩阵Uk_{t}(Zk)嵌套排列得到2n-阶蜂巢仿酉矩阵Mk(Zk)，
Figure GDA0003175645600000023
其中，0≤k≤n-1，0≤i，j≤2n-1,0≤v≤n-1。
优选的，利用式(1-3)将2n-阶蜂巢仿酉矩阵Mk(Zk)构造成高阶仿酉矩阵 M(Z)，
Figure GDA0003175645600000024
Figure GDA0003175645600000025
其中，0≤k≤n-1，0≤i，j≤2n-1。
一种基于嵌套仿酉矩阵的完全互补码的构造方法，该方法基于广义布尔函数，包括以下步骤：
构造多组代数形式的Golay互补序列；
将代数形式的Golay互补序列生成为相应的2-阶形式化函数矩阵
Figure GDA0003175645600000031
将2-阶形式化函数矩阵
Figure GDA0003175645600000032
通过构造的表达式构造成高阶广义布尔函数矩阵
Figure GDA0003175645600000033
高阶广义布尔函数矩阵
Figure GDA0003175645600000034
所对应的序列矩阵即为新构造的完全互补码。
优选的，构造多组代数形式的Golay互补序列的方法包括以下步骤：
定义如下形式的Rudin-Shapiro函数，
Figure GDA0003175645600000035
其中，
Figure GDA0003175645600000036
对x取不同的值生成多组代数形式的Golay互补序列，
其中，fk_{t}(xk)，0≤k≤n-1，0≤t≤2n-1-1。
优选的，利用式(1-4)将构造的Golay互补序列生成为2-阶形式化函数矩阵
Figure GDA0003175645600000037
Figure GDA0003175645600000038
其中，0≤k≤n-1，0≤t≤2n-1-1，
Figure GDA0003175645600000039
优选的，利用式(1-5)将2-阶形式化函数矩阵
Figure GDA00031756456000000310
构造成高阶广义布尔函数矩阵
Figure GDA00031756456000000311
Figure GDA00031756456000000312
其中，0≤k≤n-1，0≤i，j≤2n-1，
Figure GDA00031756456000000313
本发明提出了两种完全互补码的构造方法，适用于CDMA移动通信系统，其基于嵌套仿酉矩阵，通过寻找现有的适用于CDMA系统的2-阶仿酉矩阵，构造出2n-阶蜂巢仿酉矩阵(Nested U matrix)，进一步通过矩阵乘法和变量替换得到高阶仿酉矩阵，进一步实现对应的新的完全互补码的构造，构造出的完全互补码具有良好相关特性和正交特性，灵活性好，生成容易，可供通信自由选择且序列集合数量可观的完全互补码，进而实现CDMA系统性能和容量的进一步提高，该方法实用性好，值得推广。
附图说明
图1是本发明的实施例1的流程图。
图2是本发明的实施例2的流程图。
具体实施方式
下面结合附图1和图2对本发明的具体实施方式进行详细描述，但应当理解本发明的保护范围并不受具体实施方式的限制。
实施例1
如图1所示，一种基于嵌套仿酉矩阵的完全互补码的构造方法，该方法基于Golay互补序列，包括以下步骤：
在码空间内任意选定多组Golay互补序列对；
将Golay互补序列通过Z-变换生成为相应的2-阶生成矩阵Uk_{t}(Zk)；
将2-阶生成矩阵Uk_{t}(Zk)嵌套排列得到2n-阶蜂巢仿酉矩阵Mk(Zk)；
将2n-阶蜂巢仿酉矩阵Mk(Zk)通过矩阵乘法和变量替换构造成高阶仿酉矩阵M(Z)，高阶仿酉矩阵M(Z)所对应的序列矩阵即为新构造的完全互补码。
进一步的，将Golay互补序列通过Z-变换生成为相应的2-阶生成矩阵 Uk_{t}(Zk)的方法包括以下步骤：
选取其中一个Golay互补序列对(ak_{t}，a′k_{t})，0≤k≤n-1，0≤t≤2n- 1，序列a长度为lk；
求取{a*}k_{t}，{-a′*}k_{t}，其中(·)*表示共轭逆序，-a表示序列a乘以-1，获得另一个Golay互补序列对({a*}k_{t}，{-a′*}k_{t})；
利用式(1-1)对ak_{t}，a′k_{t}，{a*}k_{t}，{-a′*}k_{t}做Z-变换生成为相应的2-阶生成矩阵Uk_{t}(Zk)，
Figure GDA0003175645600000051
其中，
Figure GDA0003175645600000052
进一步的，利用式(1-2)将2-阶生成矩阵Uk_{t}(Zk)嵌套排列得到2n-阶蜂巢仿酉矩阵Mk(Zk)，
Figure GDA0003175645600000053
其中，0≤k≤n-1，0≤i，j≤2n-1,0≤v≤n-1。
进一步的，利用式(1-3)将2n-阶蜂巢仿酉矩阵Mk(Zk)构造成高阶仿酉矩阵M(Z)，
Figure GDA0003175645600000054
Figure GDA0003175645600000055
其中，0≤k≤n-1，0≤i，j≤2n-1。
本发明提供的一种基于嵌套仿酉矩阵的完全互补码的构造方法，基于Golay互补序列的构造方法，其步骤举例说明如下：
第一步：在码空间内任意选定多组Golay互补序列对；
设ω表示单位圆的q次根，子码Ψ＝{ω0，ω1，…，ωq-1}，则多个子码构成码空间Ψn，q是子码的个数，在码空间Ψn内任意选取多组Golay互补序列对a，a′，其中第k组第t个Golay互补序列对(ak_{t}，a′k_{t})，0≤k≤n-1，0≤t≤ 2n-1-1，序列a长度为lk，共n组，每组2n-1对Golay互补序列对，注意同组的Golay互补序列对的长度相同。
以构造23-阶仿酉矩阵为例，我们首先得到3组，每组有4对Golay互补序列(ak_{t}，a′k_{t})，0≤k≤2，0≤t≤3。
第二步：将选取多组Golay互补序列对通过Z-变换得到相应的2-阶生成矩阵Uk_{t}(Zk)。
对于第k组第t个Golay互补序列对(ak_{t}，a′k_{t})，0≤k≤2，0≤t≤3，首先根据(ak_{t}，a′k_{t})，我们得到另一对Golay互补序列对({a*}k_{t}，{- a′*}k_{t})。将ak _{t}，a′k_{t}，{a*}k _{t}，{-a′*}k_{t}四条Golay互补序列的Z-变换以{00}，{01}，{10}，{11}的矩阵位置排列得到Uk_{t}(Zk)，其中(·)*表示共轭运算，-a表示序列a乘以-1。
将Golay互补序列ak_{t}的Z-变换定义为：
Figure GDA0003175645600000061
Figure GDA0003175645600000062
约定
Figure GDA0003175645600000063
我们将2-阶仿酉矩阵U0_{t}(Z0)，U1_{t}(Z1)，U2_{t}(Z2)表示如下：
Figure GDA0003175645600000064
其中，多项式
Figure GDA0003175645600000065
以及
Figure GDA0003175645600000066
Figure GDA0003175645600000067
第三步：将2-阶生成矩阵Uk_{t}(Zk)嵌套排列成2n-阶蜂巢仿酉矩阵Mk(Zk)，所取的t参考i，j，k的选择，令
Figure GDA0003175645600000068
Figure GDA0003175645600000069
以及
Figure GDA00031756456000000610
分别为t，i，j的二进制扩展，其中t0，i0，j0为最低有效比特位，其中蜂巢仿酉矩阵Mk(Zk)由下式给出，
Figure GDA0003175645600000071
其中，0≤k≤n-1，0≤i，j≤2n-1,0≤v≤n-1。
利用上一步得到的2-阶仿酉矩阵构建23阶蜂巢仿酉矩阵：
Figure GDA0003175645600000072
Figure GDA0003175645600000073
Figure GDA0003175645600000074
第四步：通过矩阵乘法和变量替换，将构造出的蜂巢仿酉矩阵Mk(Zk)构造成为2n-阶高阶仿酉矩阵M(Z)。
于是所需的2n-阶仿酉矩阵M(Z)定义如下：
Figure GDA0003175645600000081
Figure GDA0003175645600000082
其中，0≤k≤n-1，0≤i，j≤2n-1。
本例中，我们通过本构造方法构造出的的23-阶仿酉矩阵M(Z)的每个元素表达式如下：
Figure GDA0003175645600000083
由此可以得到23-阶仿酉矩阵
Figure GDA0003175645600000084
该23-阶仿酉矩阵对应的序列矩阵即通过新方法构造的完全互补码。
实施例2
在不能够直接获取到Golay互补序列的情况下，可以使用该方法得到仿酉矩阵的表达式，从而得到构造出的完全互补码。
如图2所示的一种基于嵌套仿酉矩阵的完全互补码的构造方法，该方法基于广义布尔函数，包括以下步骤：
构造多组代数形式的Golay互补序列；
将代数形式的Golay互补序列生成为相应的2-阶形式化函数矩阵
Figure GDA0003175645600000085
将2-阶形式化函数矩阵
Figure GDA0003175645600000086
通过构造的表达式构造成高阶广义布尔函数矩阵
Figure GDA0003175645600000087
高阶广义布尔函数矩阵
Figure GDA0003175645600000088
所对应的序列矩阵即为新构造的完全互补码。
进一步的，构造多组代数形式的Golay互补序列的方法包括以下步骤：
定义如下形式的Rudin-Shapiro函数，
Figure GDA0003175645600000091
其中，
Figure GDA0003175645600000092
对x取不同的值生成多组代数形式的Golay互补序列，
其中，fk_{t}(xk)，0≤k≤n-1，0≤t≤2n-1-1。
进一步的，利用式(1-4)将构造的Golay互补序列生成为2-阶形式化函数矩阵
Figure GDA0003175645600000093
Figure GDA0003175645600000094
简写形式化函数矩阵为：
Figure GDA0003175645600000095
其中，0≤k≤n-1，0≤t≤2n-1-1，
Figure GDA0003175645600000096
进一步的，利用式(1-5)将2-阶形式化函数矩阵
Figure GDA0003175645600000097
构造成高阶广义布尔函数矩阵
Figure GDA0003175645600000098
Figure GDA0003175645600000099
其中，0≤k≤n-1，0≤i，j≤2n-1，
Figure GDA00031756456000000910
下面结合附图2对本发明提供的一个具体实施方式进行详细描述，但应当理解本发明的保护范围并不受具体实施方式的限制。
本发明提供的一种基于嵌套仿酉矩阵的完全互补码的构造方法，该方法基于广义布尔函数的完全互补码的构造方法，包括以下步骤：
第一步：基于广义布尔函数的相移键控技术上构造方法，定义 Rudin-Shapiro函数，由以下形式给出
Figure GDA0003175645600000101
其中，
Figure GDA0003175645600000102
通过n组x生成n组 2n-1个Rudin-Shapiro形式Golay互补序列：fk_{t}(xk)，0≤k≤n-1，0≤t≤ 2n-1-1。其中，k的不同即对应不同组xk，xk对应生成n组Rudin-Shapiro 形式的fk(xk)，每组fk(xk)根据t的不同，对应生成2n-1个fk_{t}(xk)，t的不同体现在选取任意的
Figure GDA0003175645600000103
其中，
Figure GDA0003175645600000104
以构造23-阶仿酉矩阵为例，我们首先得到3组，每组有4个形式为Rudin-Shapiro的广义布尔函数：fk_{t}(xk)， 0≤k≤2，0≤t≤3。
第二步：将选取多组Golay互补序列写出其2-阶形式化的函数矩阵
Figure GDA0003175645600000105
2-阶形式化的函数矩阵
Figure GDA0003175645600000106
可由下式给出
Figure GDA0003175645600000107
我们将简写形式化函数矩阵
Figure GDA0003175645600000108
在这个例子中，我们将得到的2-阶相关函数矩阵
Figure GDA0003175645600000109
Figure GDA00031756456000001010
以及
Figure GDA00031756456000001011
分别表示为
Figure GDA00031756456000001012
其中
Figure GDA00031756456000001013
以及
Figure GDA00031756456000001014
0≤t≤3，i，j∈{0，1}。
第三步：通过构造的表达式，将构造出的2n-阶广义布尔函数矩阵
Figure GDA00031756456000001015
构造成为2n-阶高阶广义布尔函数矩阵
Figure GDA00031756456000001016
于是所需的2n-阶广义布尔函数矩阵
Figure GDA00031756456000001017
定义如下
Figure GDA00031756456000001018
其中，0≤k≤n-1，0≤i，j≤2n-1。
例子中，我们通过本构造方法得到23-阶广义布尔函数矩阵
Figure GDA0003175645600000112
Figure GDA0003175645600000111
该23-阶广义布尔函数矩阵对应的序列矩阵即通过新方法构造的完全互补码。
本发明提出了一种完全互补码的构造方法，适用于CDMA移动通信系统，其基于嵌套仿酉矩阵，通过寻找现有的适用于CDMA系统的2阶仿酉矩阵，构造出2n阶蜂巢仿酉矩阵(Nested PU matrix)，进一步通过矩阵乘法和变量替换得到高阶仿酉矩阵，进一步实现对应的新的完全互补码的构造，构造出具有良好相关特性和正交特性，灵活性好，生成容易，可供通信自由选择且序列集合数量可观的完全互补码，进而实现CDMA系统性能和容量的进一步提高，该方法有助于推动CDMA移动通信系统完全互补码的构造方法的进一步研究，实用性好，值得推广。
以上公开的仅为本发明的较佳的具体实施例，但是，本发明实施例并非局限于此，任何本领域技术人员能思之的变化都应落入本发明的保护范围。

Claims (2)

1.一种基于嵌套仿酉矩阵的完全互补码的构造方法，其特征在于，该方法基于Golay互补序列，包括以下步骤：
在码空间内任意选定多组Golay互补序列对；
将Golay互补序列通过Z-变换生成为相应的2-阶生成矩阵Uk_{t}(Zk)；
将2-阶生成矩阵Uk_{t}(Zk)嵌套排列得到2n-阶蜂巢仿酉矩阵Mk(Zk)；
将2n-阶蜂巢仿酉矩阵Mk(Zk)通过矩阵乘法和变量替换构造成高阶仿酉矩阵M(Z)，高阶仿酉矩阵M(Z)所对应的序列矩阵即为新构造的完全互补码；
将Golay互补序列通过Z-变换生成为相应的2-阶生成矩阵Uk_{t}(Zk)的方法包括以下步骤：
选取其中一个Golay互补序列对(ak_{t},a′k_{t})，0≤k≤n-1，0≤t≤2n-1，序列a长度为lk；
求取{a*}k_{t}，{-a′*}k_{t}，其中(·)*表示共轭逆序，-a表示序列a乘以-1，获得另一个Golay互补序列对({a*}k_{t}，{-a’*}k_{t})；
利用式(1-1)对ak_{t},a′k_{t}，{a*}k_{t}，{-a’*}k_{t}做Z-变换生成为相应的2-阶生成矩阵Uk_{t}(Zk)，
Figure FDA0003175645590000011
其中，
Figure FDA0003175645590000012
利用式(1-2)将2-阶生成矩阵Uk_{t}(Zk)嵌套排列得到2n-阶蜂巢仿酉矩阵Mk(Zk)，
Figure FDA0003175645590000013
其中，0≤k≤n-1，0≤i，j≤2n-1，0≤v≤n-1；
利用式(1-3)将2n-阶蜂巢仿酉矩阵Mk(Zk)构造成高阶仿酉矩阵M(Z)，
Figure FDA0003175645590000021
Figure FDA0003175645590000022
其中，0≤k≤n-1，0≤i，j≤2n-1。
2.一种基于嵌套仿酉矩阵的完全互补码的构造方法，其特征在于，该方法基于广义布尔函数，包括以下步骤：
构造多组代数形式的Golay互补序列；
将代数形式的Golay互补序列生成为相应的2-阶形式化函数矩阵
Figure FDA0003175645590000023
将2-阶形式化函数矩阵
Figure FDA0003175645590000024
通过构造的表达式构造成高阶广义布尔函数矩阵
Figure FDA0003175645590000025
高阶广义布尔函数矩阵
Figure FDA0003175645590000026
所对应的序列矩阵即为新构造的完全互补码；
构造多组代数形式的Golay互补序列的方法包括以下步骤：
定义如下形式的Rudin-Shapiro函数，
Figure FDA0003175645590000027
其中，
Figure FDA0003175645590000028
对x取不同的值生成多组代数形式的Golay互补序列，
其中，
Figure FDA0003175645590000029
利用式(1-4)将构造的Golay互补序列生成为2-阶形式化函数矩阵
Figure FDA00031756455900000210
Figure FDA00031756455900000211
其中，0≤k≤n-1，0≤t≤2n-1-1，
Figure FDA00031756455900000212
利用式(1-5)将2-阶形式化函数矩阵
Figure FDA00031756455900000213
构造成高阶广义布尔函数矩阵
Figure FDA0003175645590000031
Figure FDA0003175645590000032
其中，0≤k≤n-1，0≤i，j≤2n-1，
Figure FDA0003175645590000033
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