CN1288440C - 基于小波有限元模型的转子横向裂纹预示方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于小波有限元模型的转子横向裂纹预示方法。利用适宜求解裂纹奇异性问题的小波有限元方法，从动力学正问题入手，对转子横向裂纹进行有限元建模，获得横向裂纹故障与转子固有频率的特征关系。然后对实际转子开展动态测试分析，获得其前三个固有频率，代入小波有限元正问题模型，分别计算出转子横向裂纹等效刚度对应于裂纹位置的三条曲线，利用曲线交点定量预示横向裂纹位置与深度。该预示方法结果可靠，操作简单易行，适用于转子结构的横向裂纹参数定量辨识。

Description

基于小波有限元模型的转子横向裂纹预示方法

技术领域

本发明属机械设备故障预示领域，具体涉及一种转子结构的早期横向裂纹预示的方法。

背景技术

在工程实践中，典型的结构损伤表现为早期微弱裂纹的萌生与扩展，裂纹故障是引起大型复杂结构破坏的主要原因之一。由于早期初始微小裂纹不易被发现，但裂纹扩展的恶劣后果往往导致重大灾难事故的发生，例如，2002年9月三峡工地发生了一起由于设备钢结构裂缝而引起的塔带机断裂事故，2002年哈尔滨第三发电公司的3号600兆瓦机组先后发生转子横向裂纹事故，2003年2月美国哥伦比亚号载人航天飞机返回时因机身裂纹导致空中解体，这些事故给工业生产带来了巨大的经济损失和人员伤亡。

因此，预示早期裂纹发生的位置与深度，预防重大事故发生，是故障预示领域的一个重要研究方向。早期故障预示是在状态监测和故障诊断基础上发展起来的一门新的研究课题，它是对设备运行的状态完全掌握的一种技术，通过对设备早期故障预示、分析和特征提取，预示故障发展的历程，指导设备检修以及进一步的故障诊断。

转子横向裂纹诊断是公认的诊断难题，这不同于其它静止结构的裂纹诊断，要求在高速运行状态下动态诊断转子系统横向裂纹参数，这时转子横向裂纹的小波有限元建模方法以及诊断算法与静态结构的裂纹诊断有本质的不同。本发明提出了基于小波有限元模型的转子横向裂纹预示方法，由于横向裂纹对转子固有频率的改变量往往很小，所以传统方法只通过单个固有频率的改变来诊断横向裂纹很困难，且难以实现横向裂纹参数定量诊断。印度学者Lele基于解析法提出了利用三个固有频率诊断裂纹参数的方法。但所采用的基于解析法或基于传统有限元方法诊断裂纹存在计算量巨大、计算精度不高等问题，因为裂纹奇异性的出现给传统有限元方法求解造成困难，这是因为裂纹尖端区域位移与应力场都含有

奇异性(其中r代表裂纹尖端场柱坐标矢径)，因此在准均匀的网格上，解答不能用分片的多项式函数在局部区域准确逼近。为了得到精确的解，需要在裂纹尖端区域采用十分精细的网格或更高阶的单元，随着裂纹发生扩展，相应的网格需要重新剖分，这样使得计算精度和求解效率大大降低。

国外很多学者对该问题开展了研究。美国学者Belytschko提出了无网格Galerkin法求解裂纹扩展问题(Belytschko T， Organ D，Gerlach C.Element-freeGalerkin methods for dynamic fracture in concrete.Comput.Methods Appl.Mech.Engrg.，2000，187：385～399)；学者Tsang采用类分形(Fractal-like)有限元法进行裂纹动态分析(Tsang D，Oyadiji S O，A Leung.Dynamic analysis of apenny-shaped crack by the fractal-like finite element method.Chen J：Proceeding ofThe 5th International Conference on Vibration Engineering.Nanjing：China AviationIndustry Press(ICVE’2002).2002，732～737)，他把裂纹弹性体分为正则区域和奇异区域，在正则区域采用传统有限单元，在奇异区域采用自相似过程离散裂纹尖端。但这些方法均没有摆脱传统有限元方法的范畴，存在计算量大、求解精度低等不足。本发明提出了一种区别于传统有限元方法的裂纹小波有限元建模方法，通过正问题(有限元模型)与反问题(动态测试)相结合的技术，对转子早期横向裂纹进行诊断与预示。

发明内容

本发明的目的在于，提供一种转子结构的早期横向裂纹预示方法，通过小波有限元模型与动态测试正反问题相结合的技术，实现了转子早期横向裂纹的高精度预示，用于工程中破坏性极强的转子横向裂纹早期预示，其计算精度高、成本低、简单可靠，提高了转子横向裂纹预示效率与准确性。

本发明的技术方案是这样解决的：

1)对横向裂纹转子进行小波有限元建模，获得横向裂纹故障与转子固有频率ω_i的特征关系；

2)通过对横向裂纹转子升降速动态测试分析，根据转子系统临界转速的次谐波，获得横向裂纹转子前三个固有频率ω_i，i＝1，2，3；

3)将获得的横向裂纹转子的前三个固有频率代入小波有限元模型，定量预示出横向裂纹的位置与深度。

所说的对横向裂纹转子进行小波有限元建模，包括以下步骤：

设转子挠度w由小波尺度函数φ构成，则[0，1]区间小波有限元单元刚度矩阵 可由下式计算，其元素为

${\tilde{K}}_{\mathrm{eml}}=\mathrm{EI}{\∫}_0^1{\mathrm{\φ}}^{\′\′}(2^j\mathrm{\ξ}-m){\mathrm{\φ}}^{\′\′}(2^j\mathrm{\ξ}-l)\mathrm{d\ξ}$

式中，EI表示转子抗弯刚度，φ″是φ的二阶导数，ξ表示小波有限元单元局部坐标，j表示分析尺度，m、l表示小波尺度函数平移参数；基于小波有限元方法建立转子横向裂纹的精确辨识模型，把横向裂纹引起的局部附加柔度代入到小波有限元单元刚度矩阵

中，求解横向裂纹转子动态特性，得到横向裂纹故障与转子固有频率的特征关系为：

              |K(k，β)-ω²M|＝0

式中，K表示系统整体刚度矩阵，M表示系统整体质量矩阵，ω表示系统固有频率，k表示裂纹等效刚度，β表示裂纹相对位置；

所说的获得前三个固有频率ω_i，i＝1，2，3的方法如下：

通过对横向裂纹转子升降速动态测试分析，即根据横向裂纹转子非线性特性，在转子系统升降速运行过程中，以不同的转速通过各阶临界转速的1/K，K为正整数，这时会发生次谐波共振现象，由共振时的转速n_i分别乘以K，获得横向裂纹转子的前三个固有频率ω_i＝Kn_i/60，i＝1，2，3，转速n_i的单位为转/分钟，固有频率ω_i的单位为赫兹；

所说的定量预示出横向裂纹的位置和深度的步骤如下：

结合小波有限元模型，对于一个确定的系统，整体刚度矩阵K与质量矩阵M是确定的，则可由特征方程获得：

         f_i(k，β)＝ω_i

每代入一个固有频率ω_i，i＝1，2，3，则可计算出裂纹等效刚度k相对于裂纹位置β的一条曲线，构造出基于小波有限元模型的横向裂纹预示算法，由于被诊断系统的横向裂纹是确定的，设为(β₀，k₀)，因此三条曲线必然存在一个表征该参数的共同点，当在同一坐标系中绘制三条曲线时，则为其交点，利用交点(β₀，k₀)预示出转子横向裂纹位置与深度，分别对应于β₀以及裂纹等效刚度k₀，通过裂纹等效刚度k₀计算出裂纹深度r。

由于本发明在转子的横向裂纹建模中采用了小波有限元方法，本发明具有下列区别于传统方法的显著优势：

1)小波有限元适宜求解奇异性问题，利用小波有限元对转子横向裂纹系统建模可以很好地实现横向裂纹诊断；

2)整个过程实现了正反问题的结合，为转子横向裂纹位置与深度定量精确辨识提供了有效的实用新技术；

3)本发明计算精度高、成本低，提高了转子横向裂纹诊断预示效率；

4)本发明简单可靠，便于工程实践中使用。

附图说明

图1为横向裂纹转子简图；

图2为小波裂纹单元；

图3为裂纹预示图；

图4为裂纹预示图；

图5为实验转子横向裂纹预示图；

图6为实验转子横向裂纹预示图。

具体实施方式

附图是本发明的具体实施例；

下面结合附图对本发明的内容作进一步详细说明：

1)对横向裂纹转子进行小波有限元建模，获得横向裂纹故障与转子固有频率ω_i的特征关系；

2)通过对横向裂纹转子升降速动态测试分析，根据转子系统临界转速的次谐波，获得横向裂纹转子前三个固有频率ω_i，i＝1，2，3；

3)将获得的横向裂纹转子的前三个固有频率代入小波有限元模型，定量预示出横向裂纹的位置与深度。

采用小波有限元对横向裂纹转子建模，由于小波具有优良的变尺度、多分辨、紧支性及消失矩等特性，在空间是局部化的，使得小波函数能够聚焦到研究对象的任意细节，被数学家和工程师们誉为“数学显微镜”。小波有限元单元能够根据实际需要任意改变分析尺度，使其在变化梯度小的求解域用大的分析尺度，而变化梯度大的求解域则采用小的分析尺度。这种自适应小波有限元算法，是一种优于传统有限元单元网格加密和阶次升高的算法，这种变尺度算法数值稳定性好、适宜求解裂纹奇异性问题。

对横向裂纹转子进行小波有限元建模，横向裂纹转子问题的微分方程可表示为：

$\mathrm{EI}\frac{d^{4}w}{d{\mathrm{\ξ}}^4}=f\left(\mathrm{\ξ}\right)$

其中，EI为抗弯刚度，w为挠度，ξ为单元局部坐标。

设转子挠度w由Daubechies小波尺度函数φ构成，即

$w=2^{j/2}\underset{k}{\mathrm{\Σ}}{c}_{j,k}\mathrm{\φ}(2^j\mathrm{\ξ}-k)$

那么，[0，1]区间单元刚度矩阵

可由下式计算，

${\tilde{K}}_{\mathrm{eml}}=\mathrm{EI}{\∫}_0^1{\mathrm{\φ}}^{\′\′}(2^j\mathrm{\ξ}-m){\mathrm{\φ}}^{\′\′}(2^j\mathrm{\ξ}-l)\mathrm{d\ξ}$

式中，EI表示转子抗弯刚度，φ″是φ的二阶导数，ξ表示小波有限元单元局部坐标，j表示分析尺度，m、l表示小波尺度函数平移参数；对于图1所示的转子横向裂纹，采用线弹簧表示裂纹，如图2所示，其裂纹的产生减小了系统的刚度，即增加了柔度c_z，由此定义小波单元长度为L的裂纹等效刚度k，

$k=\frac{L}{{\mathrm{EIc}}_z}---\left(4\right)$

这样就从正问题(有限元模型)入手，基于小波有限元方法建立转子横向裂纹的精确辨识模型，把裂纹引起的局部附加柔度代入到小波有限元单元刚度矩阵 中，求解裂纹轴动态特性，得到裂纹故障与转子固有频率的特征关系为：

        |K(k，β)-ω²M|＝0                 (5)

式中，K表示系统整体刚度矩阵，M表示系统整体质量矩阵，ω表示系统固有频率，k表示裂纹等效刚度，β表示裂纹相对位置。

然后从反问题(动态测试)切入，通过对横向裂纹转子升降速动态测试分析，即根据横向裂纹转子非线性特性，在转子系统升降速运行过程中，以不同的转速通过各阶临界转速的1/K，K为正整数，这时会发生次谐波共振现象，由共振时的转速n_i分别乘以K，获得横向裂纹转子的前三个固有频率ω_i＝Kn_i/60，i＝1，2，3，转速n_i的单位为转/分钟，固有频率ω_i的单位为赫兹。结合由正问题建立的小波有限元模型，对于一个确定的系统，整体刚度矩阵K与质量矩阵M是确定的，则可由特征方程获得：

   f_i(k，β)＝ω_i              (6)

最后，能够构造基于小波有限元模型的横向裂纹诊断算法，定量预示出横向裂纹的位置和深度。每代入一个固有频率ω_i(i＝1，2，3)，则可计算裂纹等效刚度k相对于裂纹位置β的一条曲线。由于被诊断系统的裂纹是确定的，设为(β₀，k₀)，因此三条曲线必然存在一个表征该参数的共同点。当在同一坐标系中绘制时，则为其交点，利用交点(β₀，k₀)预示出转子横向裂纹位置与深度，分别对应于β₀以及裂纹等效刚度k₀，通过裂纹等效刚度k₀计算出裂纹深度r。

参照图1所示，为横向裂纹转子结构简图，L为转子长度，ξ、η、ζ为三维坐标系；

参照图2所示，为小波有限元裂纹单元，裂纹用弹簧1等价表示；

参照图3、图4、图5、图6所示，为转子横向裂纹预示结果图，k为裂纹等效刚度，β为裂纹相对位置，ω_i(i＝1，2，3)为固有频率，图中A点对应的横坐标与纵坐标分别表示裂纹的相对位置与等效刚度，等效刚度与裂纹深度相对应，由图可知，预示结果与已知裂纹参数吻合很好；

实施例1：

本实施例主要验证基于小波有限元方法预示转子横向裂纹的精度。对于图1所示的单圆盘转子系统，取转子长度L＝250mm，转子轴半径R＝6mm，弹性模量为2.1e11N/m²，密度为7890kg/m³，泊松比为0.3。取如表1中两种裂纹工况作为实施实例。

表1裂纹工况

裂纹工况	裂纹位置β	裂纹深度r
			I	0.2	0.2
II	0.5	0.2

利用(1)～(3)式，建立裂纹转子的小波有限元模型，求得裂纹转子前三个固有频率，利用(4)～(6)式，绘制出三个固有频率在裂纹相对位置β与裂纹等效刚度k坐标系中的曲线，两种裂纹工况分别如图3、图4所示，利用交点位置A预示出裂纹参数，结果如表2所示，其预示误差小于2％。

      表2  裂纹位置深度预示结果

裂纹工况	裂纹位置β	误差(％)	裂纹刚度k	裂纹深度r	误差(％)
						I	0.21	1.0	77.653	0.215	1.5
II	0.51	1.0	77.298	0.217	1.7

实施例2：

该实施例给出了本发明在工程实践中的具体实施过程。搭建了如图1所示的裂纹测试台，完好转子的前三个临界转速是已知的，为：6300、25800、69000转/分钟。首先从动力学正问题入手，利用(1)～(3)式，采用长于求解奇异性问题的小波有限元对横向裂纹转子建模，获得裂纹系统特征方程；其次，通过对横向裂纹转子升降速动态测试分析，即根据转子具有横向裂纹时，转子的刚度具有非对称性，转子振动是非线性的，则在裂纹转子开停机(升降速)过程中，工作转速通过各阶临界转速的1/K，K为正整数，会发生次谐波共振现象。测试时，在转子系统升降速运行过程中，以不同的转速通过各阶临界转速的1/K，分别取一阶临界转速的1/2、二阶临界转速的1/3、三阶临界转速的1/5，对应为3150、8600、13800转/分钟，在这些转速附近运行测试，利用次谐波共振现象获取共振时的转速n_i，分别乘以对应的2、3、5，获得横向裂纹转子的前三个固有频率ω_i＝Kn_i/60，i＝1，2，3，固有频率ω_i的单位为赫兹，表3给出了两种裂纹工况下测试固有频率；最后，结合小波有限元模型，利用(4)～(6)式，计算裂纹等效刚度与裂纹深度的三条曲线，利用三条曲线交点预示转子横向裂纹位置和深度参数，结合正问题小波有限元模型预示转子横向裂纹参数，由于工程测试中不可避免会引入误差，这时采用三条曲线相交的小三角形的形心来预示裂纹参数。图5、图6是利用裂纹转子小波有限元模型的预示图例，表4给出了预示结果。

      表3  转子系统的测试固有频率

固有频率			ω1/Hz	ω2/Hz	ω3/Hz
						裂纹工况	I	β＝0.2，r＝0.2	103.67	427.75	1141.0
II	β＝0.4，r＝0.2	101.95	421.72	1155.26

表4  裂纹深度位置预示结果

裂纹工况	裂纹位置β	误差(％)	裂纹深度r	误差(％)
					I	0.204	0.4	0.232	3.2
II	0.415	1.5	0.253	5.3

从转子固有频率测试结果表3中看出，单个固有频率的改变量不大且没有明确规律可寻，因而传统方法只利用单个固有频率来预示裂纹较为困难，而基于小波有限元方法，利用三个固有频率的变化来综合预示裂纹参数能够取得很好效果。

Claims (1)

1.一种基于小波有限元模型的转子横向裂纹预示方法，其特征在于：

1)对横向裂纹转子进行小波有限元建模，获得横向裂纹故障与转子固有频率ω_i的特征关系；

2)通过对横向裂纹转子升降速动态测试分析，根据转子系统临界转速的次谐波，获得横向裂纹转子前三个固有频率ω_i，i＝1，2，3；

3)将获得的横向裂纹转子的前三个固有频率代入小波有限元模型，定量预示出横向裂纹的位置与深度，

其中所述的对横向裂纹转子进行小波有限元建模，该建模包括以下步骤：

设转子挠度w由小波尺度函数φ构成，则[0，1]区间小波有限元单元刚度矩阵

由下式计算，其元素为

${\tilde{K}}_{\mathrm{eml}}=\mathrm{EI}{\∫}_0^1{\mathrm{\φ}}^{\′\′}(2^j\mathrm{\ξ}-m){\mathrm{\φ}}^{\′\′}(2^j\mathrm{\ξ}-l)\mathrm{d\ξ}$

式中，EI表示转子抗弯刚度，φ″是φ的二阶导数，ξ表示小波有限元单元局部坐标，j表示分析尺度，m、l表示小波尺度函数平移参数；基于小波有限元方法建立转子横向裂纹的精确辨识模型，把横向裂纹引起的局部附加柔度代入到小波有限元单元刚度矩阵

中，求解横向裂纹转子动态特性，得到横向裂纹故障与转子固有频率的特征关系为：

                     |K(k，β)-ω²M|＝0

式中，K表示系统整体刚度矩阵，M表示系统整体质量矩阵，ω表示系统固有频率，k表示裂纹等效刚度，β表示裂纹相对位置，

其中所述的获得前三个固有频率ω_i，i＝1，2，3的方法如下：

通过对横向裂纹转子升降速动态测试分析，即根据横向裂纹转子非线性特性，在转子系统升降速运行过程中，以不同的转速通过各阶临界转速的1/K，K为正整数，这时会发生次谐波共振现象，由共振时的转速n_i分别乘以K，获得横向裂纹转子的前三个固有频率ω_i＝Kn_i/60，i＝1，2，3，转速n_i的单位为转/分钟，固有频率ω_i的单位为赫兹，

其中所述的定量预示出横向裂纹的位置和深度的步骤如下：

结合小波有限元模型，对于一个确定的系统，整体刚度矩阵K与质量矩阵M是确定的，则由特征方程获得：

                        f_i(k，β)＝ω_i

每代入一个固有频率ω_i，i＝1，2，3，则可计算出裂纹等效刚度k相对于裂纹位置β的一条曲线，构造出基于小波有限元模型的横向裂纹预示算法，由于被诊断系统的横向裂纹是确定的，设为(β₀，k₀)，因此三条曲线必然存在一个表征该参数的共同点，当在同一坐标系中绘制三条曲线时，则为其交点，利用交点(β₀，k₀)预示出转子横向裂纹位置与深度，分别对应于β₀以及裂纹等效刚度k₀，通过裂纹等效刚度k₀计算出裂纹深度r。

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