CN118378509B - 一种大规模准周期阵列电磁结构的电磁散射快速分析方法 - Google Patents
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Abstract
本发明涉及一种大规模准周期阵列电磁结构的电磁散射快速分析方法，包括：进行大规模准周期阵列结构的几何建模和剖分，得到所有单元的几何信息；建立参考单元的广义特征值分程；基于经验插值法选取插值基函数；对格林函数及电场积分方程进行参数分解，构造一组阻抗矩阵的正交基函数和基函数系数；对整个大规模准周期阵列结构的表面电流进行求解，计算整个准周期阵列结构的表面电流。本发明建模简单，只需要对参考单元进行建模；减少阻抗矩阵填充时间，只需求解一个低阶线性方程组即可获得不同几何参数下的阻抗矩阵；减少未知量和节省计算资源，将截断的单个单元的特征模式电流用做全域基函数，从而显著减少准周期阵列的矩阵特征方程的未知量数目。
Description
技术领域
本发明涉及准周期阵列结构电磁特性数值计算技术领域，尤其是一种大规模准周期阵列电磁结构的电磁散射快速分析方法。
背景技术
大规模准周期阵列电磁结构广泛应用于天线和雷达工程领域，如相控阵天线、超材料、频率选择表面和电磁超表面等。此类人工电磁结构是一种具有空间电磁波幅度、相位、极化调控能力的重复性结构，常常被用来设计成天线罩、透波窗口、隐身材料等加装在武器装备平台上用于电磁隐身或防护，快速而准确地分析这类重复性结构的电磁散射特性对设计及评估其隐身及防护效能有着重要的指导作用。
基于特征模的分析方法是矩量法结合本征模式理论求解电磁问题的一类热门新方法，其能分析得到任意复杂形状的电磁问题的本征模式。通过特征模分析方法，可以得到不同模式电流、模式辐射场的分布信息以及结构的谐振特性。这些信息能使设计者更加深入地理解电磁结构的工作原理，通过特征模分析准确地获得阵列的模式特性，是一个系统的有明确物理概念的阵列设计方法。
基于传统矩量法的特征模分析方法需要求解一个广义特征值问题。通常情况下只需要计算前几个特征值较小的特征模式，因此该本征值方程通常使用迭代的模式求解器如Arnoldi和Lanczos方法求解，但对于大规模准周期阵列结构而言，随着阵列单元数目的增多或者单个阵列单元离散的未知量的增加，总的计算未知量和相应的计算负担会急剧上升。由于计算时间和内存消耗的限制，传统的特征模分析方法无法适用于大规模准周期阵列的特征模式分析问题。
此外，不同于周期阵列中固定尺寸的单元，准周期阵列的阵列单元几何参数发生变化时，采用传统矩量法分析大规模准周期阵列需要重新填充阻抗矩阵并求解线性方程，这会带来大量的时间成本。因此，如何设计出适用于大规模准周期阵列电磁结构的电磁散射分析方法已经成为急需解决的技术问题。
发明内容
是为了解决现有技术中传统全波分析方法无法适用于大规模准周期阵列电磁结构及无法适应准周期电磁结构中几何参数变化的缺陷，本发明的目的在于提供一种能够显著减少准周期阵列的矩阵方程的未知量数目，能够应对阵列单元几何参数发生变化时大幅度减少所需的计算内存以及计算时间的大规模准周期阵列电磁结构的电磁散射快速分析方法。
为实现上述目的，本发明采用了以下技术方案：一种大规模准周期阵列电磁结构的电磁散射快速分析方法，该方法包括下列顺序的步骤：
（1）进行大规模准周期阵列结构的几何建模和剖分：利用几何结构特性，选取一个与阵列形状相同、尺寸最大的单元作为参考单元，对参考单元进行建模剖分得到离散的网格信息，通过三维空间的仿射变换得到所有单元的几何信息；
（2）基于电场积分方程，建立参考单元的广义特征值分程：根据步骤（1）得到的所有单元的几何信息，使用参考单元的RWG基函数对特征电流进行离散,得到矩阵形式的特征值方程，并通过隐式重启的Arnoldi算法计算得到参考单元的特征模式；
（3）基于经验插值法选取插值基函数：对格林函数进行仿射分解，通过经验插值法将格林函数中的几何参数与位置参数进行分离，并通过迭代获得格林函数的插值基函数及系数；
（4）对格林函数及电场积分方程进行参数分解：根据步骤（3）得到格林函数的插值基函数及系数，根据电场积分方程的线性特征，构造一组阻抗矩阵的正交基函数和基函数系数；
（5）对整个大规模准周期阵列结构的表面电流进行求解：利用准周期结构的模式不变性，对步骤（2）得到的参考单元的特征模式进行截断，选取模式显著性较大的前多个主特征模式构建一组正交的全域基函数，并将该全域基函数扩展到整个准周期阵列，利用全域基函数离散准周期阵列的表面电流得到降阶的矩量法方程，然后利用步骤（4）中得到的阻抗矩阵的正交基函数和基函数系数，快速填充阻抗矩阵，最后，使用广义最小残差算法计算整个准周期阵列结构的表面电流。
所述步骤（1）具体包括以下步骤：
（1a）设定位于笛卡尔平面坐标系下的二维有限准周期阵列坐标轴，坐标轴横坐标和纵坐标方向的阵列单元数目分别为和，阵列的总单元数目为，横坐标和纵坐标方向的间距分别为和；
（1b）利用几何结构特征，对参考单元进行建模：对参考单元使用三角形网格进行离散，并定义相应的RWG基函数组为：
；
其中，为RWG基函数个数，中的上标表示参考单元编号、下标表示参考单元中的RWG基函数编号；表示位于参考单元上的位置矢量；
（1c）利用阵列结构的准周期特征，通过将参考单元的几何信息进行仿射变换得到第p个单元的几何信息，所述几何信息包括缩比系数、旋转矩阵、位移矢量和RWG基函数；
定义第p个单元上的矢量为，根据仿射变换有：
；
其中，、和分别为第p个单元相对于参考单元的缩比系数、旋转矩阵和位移矢量，为第p个单元上的位置矢量；
用于离散第p个单元的RWG基函数组为：
；
其中，中的上标表示单元编号为p，表示第p个单元上第n个RWG基函数。
所述步骤（2）具体包括以下步骤：
（2a）通过参考单元在入射电磁波作用下，在参考单元金属散射体表面上产生表面电流，利用金属散射体表面满足的边界条件建立电场积分方程，电场积分方程的表达式如下：
；
式中，表示阻抗算子，为入射电场，表示观察点矢量，表示源点矢量；是单位外法向矢量，适用于表面电流的阻抗算子方程如下：
；
其中，和分别为自由空间的磁导率、介电常数，是入射电磁波的角频率，表示虚部单位；为自由空间中的格林函数：
；
式中，k为传播系数；
（2b）参考单元的特征模式通过求解如下广义特征值问题得到：
；
其中，为参考单元的第m个模式电流，为参考单元的第m个模式电流相对应的第m个特征值，和分别表示阻抗算子的实部和虚部；
（2c）将广义特征值问题转化为矩阵形式的特征值方程，对每个模式电流进行RWG基函数展开：
；
其中，表示用于展开第m个模式电流的第n个RWG基函数系数，表示RWG基函数个数，为RWG基函数；将上式代入步骤（2b）的广义特征值问题中并应用加略金测试，得到以下广义特征值方程：
；
其中，是未知系数矩阵，和分别表示阻抗矩阵的实部和虚部，阻抗矩阵的元素表示为：
；
式中，表示阻抗矩阵Z中行为列为的矩阵值，表示观察点RWG基函数积分区域，表示源点RWG基函数积分区域，和分别表示观察点和源点的RWG基函数；
将广义特征值方程转化成如下的标准特征值方程：
；
采用基于隐式重启的Arnoldi算法对标准特征值方程进行求解，得到系数矩阵；
（2d）对参考单元特征电流进行归一化，对系数矩阵进行归一化操作：
；
式中，表示的共轭；
对进行归一化处理后，其正交性关系式如下：
；
其中，是克罗内克函数，且，m和n表示模式数下标；
将参考单元的第m个模式电流表示为：
；
特征电流满足相应的正交关系：
；
式中，和分别表示第m个和第n个特征电流。
所述步骤（3）具体是指：定义观察点矢量和源点矢量为变量，记作变量，将几何参数记为；含参数的格林函数表示如下：
；
其中，为在参数下的仿射变换；为在参数下的仿射变换；k为传播系数；
通过经验插值法，得到含参数的格林函数的参数离散形式：
；
其中，表示EIM插值近似，为格林函数基函数，为基函数对应的系数，为EIM算法的阶数；
为得到和，首先需要定义参数空间和变量空间，其中，参数和变量分别为从参数空间和变量空间采样获得：
；
；
其中，分别为源点矢量和观察点矢量的缩比系数样本，分别表示源点矢量和观察点矢量的旋转角度样本，表示源点与观察点之间的相对位移矢量的样本，为几何参数样本点张成的参数空间，所述几何参数样本点包括，和；和分别为观察点矢量和源点矢量的采样序列，Ω为对应张成的变量空间；经过经验插值法的迭代，得到经过迭代后的参数样本集合和变量样本集合：
；
；
其中，为所需的插值点；
经验插值法的迭代过程如下：
（3a）选定初始点，定义初始变量，，，和初始基函数，，设定迭代精度tol；
（3b）对所有参数μ，计算线性方程组：
；
其中，表示在参数μ和变量下的格林函数值，求解系数后对所有变量x计算在当前参数μ下的误差函数：
；
式中，为误差函数，为第i个格林函数基函数；
（3c）根据误差的无穷范数，按以下规则选取参数：
；
；
式中，表示无穷范数，和分别表示第次迭代所需要的参数样本点和对应集合；
选取参数后按以下规则对插值点和基函数进行选取：
；
；
；
；
式中，和分别表示第次迭代得到的插值点和基函数，和分别表示插值点集合和基函数集合；
（3d）更新参数，并判断误差是否小于tol，如果小于则退出迭代，否则继续执行步骤（3b）至步骤（3d）；
完成迭代后，获得一组插值基函数：
；
式中，为基函数集合，为所需的基函数；
根据经验插值法的定义，基函数系数通过以下线性方程组求解：
；
其中，即为格林函数的插值基函数系数，为系数对应的格林函数的插值基函数。
所述步骤（4）具体是指：经过经验插值法迭代后的格林函数的近似表达式表示为：
；
其中，表示EIM插值近似，为格林函数基函数，为基函数对应的系数，为EIM算法的阶数；
将上述格林函数的近似表达式代入电场积分方程中，获得阻抗矩阵的近似表达式如下：
；
式中，表示阻抗矩阵Z中行为、列为的矩阵近似值；表示观察点RWG基函数积分区域，表示源点RWG基函数积分区域，和分别表示观察点和源点的RWG基函数，为自由空间的磁导率，为入射电磁波的角频率，表示虚部单位；
根据积分算子的线性性质，通过格林函数离散形式对电场积分方程进行参数分离，分离后形式如下：
；
式中，k为传播系数，为波阻抗，为第i个格林函数插值基函数；
离散后的电场积分方程基函数和对应的系数为：
；
；
式中，为阻抗矩阵的插值系数，为阻抗矩阵的插值基函数；为第m个用于加略金测试的RWG基函数，为第n个RWG基函数；
所述阻抗矩阵的插值基函数的形式为积分方程，通过填充，得到一组与几何参数无关的阻抗矩阵基底，在后续阻抗矩阵的填充中，仅需要对这组基底进行线性组合，即获得阻抗矩阵的近似，无需遍历RWG基函数进行积分；在计算不同几何参数下的阻抗矩阵时，只需计算基函数系数，通过以下线性合成获得对应的阻抗矩阵：
。
所述步骤（5）具体包括以下步骤：
（5a）对参考单元的特征模式电流进行截断，选取特征值较小的前个主特征模式构建一组正交的全域基函数，；表示RWG基函数个数；
假设截断数为，定义在参考单元上的一组正交全域基函数表示为：
其中，上标为单元编号，下标为全域基函数的编号；表示参考单元第m个特征电流，共M个，表示参考单元第n个RWG基函数，共个；
系数矩阵表示为：
各个单元间第p个单元上的正交基函数表示如下：
对单元总数为P的准周期阵列而言，得到以下分布于整个阵列上的正交基函数：
（5b）将表面电流按上述正交基函数进行展开，其展开表达式如下：
其中，，是第p个单元上的基函数系数；整个阵列上的表面电流；表示第p个单元上第M个特征电流，表示第p个单元上第个RWG基函数，表示第p个单元中第m个基函数系数，表示第p个单元中第m个基函数，表示矩阵Iref中第n行第m列的元素，表示第p个单元上第n个RWG基函数；
将上述展开式进行加略金测试：
式中，表示第q个单元上第m’个基函数，表示适用于的阻抗算子，表示入射波，表示单元表面法向量；P为阵列的总单元数目；
获得如下矩量法方程：
其中，每个子矩阵的表达式为：
式中，表示第p行第q列的子块矩阵，表示右边向量第q个子向量，表示第p个单元和第q个单元的互耦矩阵，表示第q个单元的激励矩阵，表示参考单元的系数矩阵，通过经验插值法快速计算得到，从而实现的快速计算，计算表达式如下：
式中，为阻抗矩阵的插值系数，为阻抗矩阵的插值基函数，为EIM算法的阶数；
（5c）得到以下基于特征模式基函数的矩量法方程：
其中，，和的定义如下：
式中，表示中第P行P列的块矩阵，表示中第P个列向量；
表示基于RWG基函数展开的阻抗矩阵或者互作用矩阵，其表达式为：
式中，表示中第P行P列的子块阻抗矩阵；
为分块对角矩阵，其每一块均为参考单元的特征模式矩阵：
式中，表示参考单元的系数矩阵；
为准周期阵列的激励矩阵，其由各个单元上的激励矩阵组成：
式中，表示中第P个激励矩阵；
（5d）采用广义最小残差法求解步骤（5c）的矩量法方程，获得基函数系数，从而得到准周期阵列的表面电流：
式中，为阵列的表面电流；
获得表面电流后，计算准周期阵列在特定激励下的散射场。
由上述技术方案可知，本发明的有益效果为：第一，本发明将参考单元的特征电流用作一组全域基函数来对整个准周期阵列的表面电流进行展开，通过对全域基函数的阶数进行截断，能够显著减少周期阵列的矩阵特征方程的未知量数目；此外，将经验插值法应用于格林函数，可以将几何参数从电场积分方程中分离出，从而大幅降低组装阻抗矩阵的时间；第二，与采用传统矩量法相比，本发明将矩量法方程的维度从NP×NP降至MP×MP，由于特征模式中前几个模式贡献了大部分的感应电流分布，因此M远小于N，此外，本发明加速了阻抗矩阵的填充速度，将P²次的积分方程计算转换为了次的矩阵加法和一次低阶线性方程组的求解。
附图说明
图1为本发明的方法流程图；
图2为位于XOY平面的二维准周期阵列示意图；
图3为测试的准周期矩形贴片阵列示意图；
图4为传统矩量法计算的感应电流分布图；
图5为本发明计算的感应电流分布图；
图6为传统矩量法与本发明计算的RCS曲线对比；
图7为传统矩量法计算的远场分布图；
图8为本发明计算的远场分布图。
具体实施方式
如图1所示，一种大规模准周期阵列电磁结构的电磁散射快速分析方法，该方法包括下列顺序的步骤：
（1）进行大规模准周期阵列结构的几何建模和剖分：利用几何结构特性，选取一个与阵列形状相同、尺寸最大的单元作为参考单元，对参考单元进行建模剖分得到离散的网格信息，通过三维空间的仿射变换得到所有单元的几何信息；
（2）基于电场积分方程，建立参考单元的广义特征值分程：根据步骤（1）得到的所有单元的几何信息，使用参考单元的RWG基函数对特征电流进行离散,得到矩阵形式的特征值方程，并通过隐式重启的Arnoldi算法计算得到参考单元的特征模式；
（3）基于经验插值法选取插值基函数：对格林函数进行仿射分解，通过经验插值法将格林函数中的几何参数与位置参数进行分离，并通过迭代获得格林函数的插值基函数及系数；
（4）对格林函数及电场积分方程进行参数分解：根据步骤（3）得到格林函数的插值基函数及系数，根据电场积分方程的线性特征，构造一组阻抗矩阵的正交基函数和基函数系数；
（5）对整个大规模准周期阵列结构的表面电流进行求解：利用准周期结构的模式不变性，对步骤（2）得到的参考单元的特征模式进行截断，选取模式显著性较大的前多个主特征模式构建一组正交的全域基函数，并将该全域基函数扩展到整个准周期阵列，利用全域基函数离散准周期阵列的表面电流得到降阶的矩量法方程，然后利用步骤（4）中得到的阻抗矩阵的正交基函数和基函数系数，快速填充阻抗矩阵，最后，使用广义最小残差算法计算整个准周期阵列结构的表面电流。
所述步骤（1）具体包括以下步骤：
（1a）设定位于笛卡尔平面坐标系下的二维有限准周期阵列坐标轴，坐标轴横坐标和纵坐标方向的阵列单元数目分别为和，阵列的总单元数目为，横坐标和纵坐标方向的间距分别为和；
（1b）利用几何结构特征，对参考单元进行建模：对参考单元使用三角形网格进行离散，并定义相应的RWG基函数组为：
；
其中，为RWG基函数个数，中的上标表示参考单元编号、下标表示参考单元中的RWG基函数编号；表示位于参考单元上的位置矢量；
（1c）利用阵列结构的准周期特征，通过将参考单元的几何信息进行仿射变换得到第p个单元的几何信息，所述几何信息包括缩比系数、旋转矩阵、位移矢量和RWG基函数；
定义第p个单元上的矢量为，根据仿射变换有：
；
其中，、和分别为第p个单元相对于参考单元的缩比系数、旋转矩阵和位移矢量，为第p个单元上的位置矢量；
用于离散第p个单元的RWG基函数组为：
；
其中，中的上标表示单元编号为p，表示第p个单元上第n个RWG基函数。
所述步骤（2）具体包括以下步骤：
（2a）通过参考单元在入射电磁波作用下，在参考单元金属散射体表面上产生表面电流，利用金属散射体表面满足的边界条件建立电场积分方程，电场积分方程的表达式如下：
；
式中，表示阻抗算子，为入射电场，表示观察点矢量，表示源点矢量；是单位外法向矢量，适用于表面电流的阻抗算子方程如下：
；
其中，和分别为自由空间的磁导率、介电常数，是入射电磁波的角频率，表示虚部单位；为自由空间中的格林函数：
；
式中，k为传播系数；
（2b）参考单元的特征模式通过求解如下广义特征值问题得到：
；
其中，为参考单元的第m个模式电流，为参考单元的第m个模式电流相对应的第m个特征值，和分别表示阻抗算子的实部和虚部；
（2c）将广义特征值问题转化为矩阵形式的特征值方程，对每个模式电流进行RWG基函数展开：
；
其中，表示用于展开第m个模式电流的第n个RWG基函数系数，表示RWG基函数个数，为RWG基函数；将上式代入步骤（2b）的广义特征值问题中并应用加略金测试，得到以下广义特征值方程：
；
其中，是未知系数矩阵，和分别表示阻抗矩阵的实部和虚部，阻抗矩阵的元素表示为：
；
式中，表示阻抗矩阵Z中行为列为的矩阵值，表示观察点RWG基函数积分区域，表示源点RWG基函数积分区域，和分别表示观察点和源点的RWG基函数；
将广义特征值方程转化成如下的标准特征值方程：
；
采用基于隐式重启的Arnoldi算法对标准特征值方程进行求解，得到系数矩阵；
（2d）对参考单元特征电流进行归一化，对系数矩阵进行归一化操作：
；
式中，表示的共轭；
对进行归一化处理后，其正交性关系式如下：
；
其中，是克罗内克函数，且，m和n表示模式数下标；
将参考单元的第m个模式电流表示为：
；
特征电流满足相应的正交关系：
；
式中，和分别表示第m个和第n个特征电流。
所述步骤（3）具体是指：定义观察点矢量和源点矢量为变量，记作变量，将几何参数记为；含参数的格林函数表示如下：
；
其中，为在参数下的仿射变换；为在参数下的仿射变换；k为传播系数；
通过经验插值法，得到含参数的格林函数的参数离散形式：
；
其中，表示EIM插值近似，为格林函数基函数，为基函数对应的系数，为EIM算法的阶数；
为得到和，首先需要定义参数空间和变量空间，其中，参数和变量分别为从参数空间和变量空间采样获得：
；
；
其中，分别为源点矢量和观察点矢量的缩比系数样本，分别表示源点矢量和观察点矢量的旋转角度样本，表示源点与观察点之间的相对位移矢量的样本，为几何参数样本点张成的参数空间，所述几何参数样本点包括，和；和分别为观察点矢量和源点矢量的采样序列，Ω为对应张成的变量空间；经过经验插值法的迭代，得到经过迭代后的参数样本集合和变量样本集合：
；
；
其中，为所需的插值点；
经验插值法的迭代过程如下：
（3a）选定初始点，定义初始变量，，，和初始基函数，，设定迭代精度tol；
（3b）对所有参数μ，计算线性方程组：
；
其中，表示在参数μ和变量下的格林函数值，求解系数后对所有变量x计算在当前参数μ下的误差函数：
；
式中，为误差函数，为第i个格林函数基函数；
（3c）根据误差的无穷范数，按以下规则选取参数：
；
；
式中，表示无穷范数，和分别表示第次迭代所需要的参数样本点和对应集合；
选取参数后按以下规则对插值点和基函数进行选取：
；
；
；
；
式中，和分别表示第次迭代得到的插值点和基函数，和分别表示插值点集合和基函数集合；
（3d）更新参数，并判断误差是否小于tol，如果小于则退出迭代，否则继续执行步骤（3b）至步骤（3d）；
完成迭代后，获得一组插值基函数：
；
式中，为基函数集合，为所需的基函数；
根据经验插值法的定义，基函数系数通过以下线性方程组求解：
；
其中，即为格林函数的插值基函数系数，为系数对应的格林函数的插值基函数。
所述步骤（4）具体是指：经过经验插值法迭代后的格林函数的近似表达式表示为：
；
其中，表示EIM插值近似，为格林函数基函数，为基函数对应的系数，为EIM算法的阶数；
将上述格林函数的近似表达式代入电场积分方程中，获得阻抗矩阵的近似表达式如下：
；
式中，表示阻抗矩阵Z中行为、列为的矩阵近似值；表示观察点RWG基函数积分区域，表示源点RWG基函数积分区域，和分别表示观察点和源点的RWG基函数，为自由空间的磁导率，为入射电磁波的角频率，表示虚部单位；
根据积分算子的线性性质，通过格林函数离散形式对电场积分方程进行参数分离，分离后形式如下：
；
式中，k为传播系数，为波阻抗，为第i个格林函数插值基函数；
离散后的电场积分方程基函数和对应的系数为：
；
；
式中，为阻抗矩阵的插值系数，为阻抗矩阵的插值基函数；为第m个用于加略金测试的RWG基函数，为第n个RWG基函数；
所述阻抗矩阵的插值基函数的形式为积分方程，通过填充，得到一组与几何参数无关的阻抗矩阵基底，在后续阻抗矩阵的填充中，仅需要对这组基底进行线性组合，即获得阻抗矩阵的近似，无需遍历RWG基函数进行积分；且该基底不随单元的平移、缩放和旋转发生变化，只要单元的结构和性质不发生改变，即可复用这组阻抗矩阵基底。在计算不同几何参数下的阻抗矩阵时，只需计算基函数系数，通过以下线性合成获得对应的阻抗矩阵：
。
所述步骤（5）具体包括以下步骤：
（5a）对参考单元的特征模式电流进行截断，选取特征值较小的前个主特征模式构建一组正交的全域基函数，；表示RWG基函数个数；
假设截断数为，定义在参考单元上的一组正交全域基函数表示为：
；
其中，上标为单元编号，下标为全域基函数的编号；表示参考单元第m个特征电流，共M个，表示参考单元第n个RWG基函数，共个；
系数矩阵表示为：
；
由于在准周期阵列中，只要单元形状和RWG基函数未知数的数量不变，单个单元的特征向量也可用于其他不同的单元。所以，只需对参考单元进行特征电流求解，用参考单元的特征模式作为全域基函数来展开整个阵列结构的感应电流，各个单元间第p个单元上的正交基函数表示如下：
；
对单元总数为P的准周期阵列而言，得到以下分布于整个阵列上的正交基函数：
；
（5b）将表面电流按上述正交基函数进行展开，其展开表达式如下：
；
其中，，是第p个单元上的基函数系数；整个阵列上的表面电流；表示第p个单元上第M个特征电流，表示第p个单元上第个RWG基函数，表示第p个单元中第m个基函数系数，表示第p个单元中第m个基函数，表示矩阵Iref中第n行第m列的元素，表示第p个单元上第n个RWG基函数；
将上述展开式进行加略金测试：
；
式中，表示第q个单元上第m’个基函数，表示适用于的阻抗算子，表示入射波，表示单元表面法向量；P为阵列的总单元数目；
获得如下矩量法方程：
；
其中，每个子矩阵的表达式为：
；
；
式中，表示第p行第q列的子块矩阵，表示右边向量第q个子向量，表示第p个单元和第q个单元的互耦矩阵，表示第q个单元的激励矩阵，表示参考单元的系数矩阵，通过经验插值法快速计算得到，从而实现的快速计算，计算表达式如下：
；
式中，为阻抗矩阵的插值系数，为阻抗矩阵的插值基函数，为EIM算法的阶数；
（5c）得到以下基于特征模式基函数的矩量法方程：
；
其中，，和的定义如下：
；
；
；
式中，表示中第P行P列的块矩阵，表示中第P个列向量；
表示基于RWG基函数展开的阻抗矩阵或者互作用矩阵，其表达式为：
；
式中，表示中第P行P列的子块阻抗矩阵；
为分块对角矩阵，其每一块均为参考单元的特征模式矩阵：
；
式中，表示参考单元的系数矩阵；
为准周期阵列的激励矩阵，其由各个单元上的激励矩阵组成：
；
式中，表示中第P个激励矩阵；
（5d）采用广义最小残差法求解步骤（5c）的矩量法方程，获得基函数系数，从而得到准周期阵列的表面电流：
；
式中，为阵列的表面电流；
获得表面电流后，计算准周期阵列在特定激励下的散射场。
实施例一
为了验证本发明的正确性与有效性，下面以准周期贴片阵列的特征模式分析为例。实施例一在CPU为13th Gen Intel(R) Core(TM) i7-13700K，内存为128 GB的计算机上完成。
15×15的准周期金属方形贴片阵列模型，金属贴片放在z=0的平面上，参考贴片尺寸为0.4m×0.4m，阵列在x和y方向的间距分别为dx=dy=0.5m。入射平面波的频率为300MHz,入射波的入射方向(沿着Z轴正方向)，极化角度为(沿着X轴正方向)。参考单元采用三角形剖分，单个单元的未知量为197，阵列的总未知量为44325。贴片的尺寸由参考贴片加上一个随机生成的缩放因子生成，如图3所示，在本发明中，参考单元的特征模式截断数设置为10，即取前10个模式构建正交的基函数组。
如图4和图5所示，通过对比可以发现本发明计算得到的电流分布与传统矩量法求解器计算的结果十分吻合。
如图6所示，可以看出，两种方法计算得到的RCS数据一致。
由图7和图8可以看出，两种方法计算得到的三维远场数据分布吻合的很好。
综合图4、图5、图6、图7和图8可知，本发明计算的电流分布和远场分布与传统矩量法计算的结果十分吻合，以此证明了本发明的精确性。表1为本发明与传统的矩量法求解器计算时间和内存消耗对比表：
表1
| 方法 | 运行时间 | 峰值内存 |
| 传统矩量法 | 1810s | 29982.72MB |
| 本发明 | 65.87s | 170.89MB |
从表1可以看出，采用本发明相比传统矩量法需要更好的计算内存和计算时间，以此进一步证明了本发明方法的有效性。
综上所述，本发明建模简单，只需要对参考单元进行建模，避免建立繁复的模型工作；本发明减少阻抗矩阵填充时间，只需求解一个低阶线性方程组即可获得不同几何参数下的阻抗矩阵；本发明减少未知量和节省计算资源，将截断的单个单元的特征模式电流用做全域基函数，从而显著减少准周期阵列的矩阵特征方程的未知量数目。
以上显示和描述了本发明的基本原理、主要特征和本发明的优点。本行业的技术人员应该了解，本发明不受上述实施例的限制，上述实施例和说明书中描述的只是本发明的原理，在不脱离本发明精神和范围的前提下本发明还会有各种变化和改进，这些变化和改进都落入要求保护的本发明的范围内。本发明要求的保护范围由所附的权利要求书及其等同物界定。
Claims (1)
1.一种大规模准周期阵列电磁结构的电磁散射快速分析方法，其特征在于：该方法包括下列顺序的步骤：
（1）进行大规模准周期阵列结构的几何建模和剖分：利用几何结构特性，选取一个与阵列形状相同、尺寸最大的单元作为参考单元，对参考单元进行建模剖分得到离散的网格信息，通过三维空间的仿射变换得到所有单元的几何信息；
（2）基于电场积分方程，建立参考单元的广义特征值分程：根据步骤（1）得到的所有单元的几何信息，使用参考单元的RWG基函数对特征电流进行离散,得到矩阵形式的特征值方程，并通过隐式重启的Arnoldi算法计算得到参考单元的特征模式；
（3）基于经验插值法选取插值基函数：对格林函数进行仿射分解，通过经验插值法将格林函数中的几何参数与位置参数进行分离，并通过迭代获得格林函数的插值基函数及系数；
（4）对格林函数及电场积分方程进行参数分解：根据步骤（3）得到格林函数的插值基函数及系数，根据电场积分方程的线性特征，构造一组阻抗矩阵的正交基函数和基函数系数；
（5）对整个大规模准周期阵列结构的表面电流进行求解：利用准周期结构的模式不变性，对步骤（2）得到的参考单元的特征模式进行截断，选取模式显著性较大的前多个主特征模式构建一组正交的全域基函数，并将该全域基函数扩展到整个准周期阵列，利用全域基函数离散准周期阵列的表面电流得到降阶的矩量法方程，然后利用步骤（4）中得到的阻抗矩阵的正交基函数和基函数系数，快速填充阻抗矩阵，最后，使用广义最小残差算法计算整个准周期阵列结构的表面电流；
所述步骤（1）具体包括以下步骤：
（1a）设定位于笛卡尔平面坐标系下的二维有限准周期阵列坐标轴，坐标轴横坐标和纵坐标方向的阵列单元数目分别为和，阵列的总单元数目为，横坐标和纵坐标方向的间距分别为和；
（1b）利用几何结构特征，对参考单元进行建模：对参考单元使用三角形网格进行离散，并定义相应的RWG基函数组为：
；
其中，为RWG基函数个数，中的上标表示参考单元编号、下标表示参考单元中的RWG基函数编号；表示位于参考单元上的位置矢量；
（1c）利用阵列结构的准周期特征，通过将参考单元的几何信息进行仿射变换得到第p个单元的几何信息，所述几何信息包括缩比系数、旋转矩阵、位移矢量和RWG基函数；
定义第p个单元上的矢量为，根据仿射变换有：
；
其中，、和分别为第p个单元相对于参考单元的缩比系数、旋转矩阵和位移矢量，为第p个单元上的位置矢量；
用于离散第p个单元的RWG基函数组为：
；
其中，中的上标表示单元编号为p，表示第p个单元上第n个RWG基函数；
所述步骤（2）具体包括以下步骤：
（2a）通过参考单元在入射电磁波作用下，在参考单元金属散射体表面上产生表面电流，利用金属散射体表面满足的边界条件建立电场积分方程，电场积分方程的表达式如下：
；
式中，表示阻抗算子，为入射电场，表示观察点矢量，表示源点矢量；是单位外法向矢量，适用于表面电流的阻抗算子方程如下：
；
其中，和分别为自由空间的磁导率、介电常数，是入射电磁波的角频率，表示虚部单位；为自由空间中的格林函数：
；
式中，k为传播系数；
（2b）参考单元的特征模式通过求解如下广义特征值问题得到：
；
其中，为参考单元的第m个模式电流，为参考单元的第m个模式电流相对应的第m个特征值，和分别表示阻抗算子的实部和虚部；
（2c）将广义特征值问题转化为矩阵形式的特征值方程，对每个模式电流进行RWG基函数展开：
；
其中，表示用于展开第m个模式电流的第n个RWG基函数系数，表示RWG基函数个数，为RWG基函数；将上式代入步骤（2b）的广义特征值问题中并应用加略金测试，得到以下广义特征值方程：
；
其中，是未知系数矩阵，和分别表示阻抗矩阵的实部和虚部，阻抗矩阵的元素表示为：
；
式中，表示阻抗矩阵Z中行为列为的矩阵值，表示观察点RWG基函数积分区域，表示源点RWG基函数积分区域，和分别表示观察点和源点的RWG基函数；
将广义特征值方程转化成如下的标准特征值方程：
；
采用基于隐式重启的Arnoldi算法对标准特征值方程进行求解，得到系数矩阵；
（2d）对参考单元特征电流进行归一化，对系数矩阵进行归一化操作：
；
式中，表示的共轭；
对进行归一化处理后，其正交性关系式如下：
；
其中，是克罗内克函数，且，m和n表示模式数下标；
将参考单元的第m个模式电流表示为：
；
特征电流满足相应的正交关系：
；
式中，和分别表示第m个和第n个特征电流；
所述步骤（3）具体是指：定义观察点矢量和源点矢量为变量，记作变量，将几何参数记为；含参数的格林函数表示如下：
；
其中，为在参数下的仿射变换；为在参数下的仿射变换；k为传播系数；
通过经验插值法，得到含参数的格林函数的参数离散形式：
；
其中，表示EIM插值近似，为格林函数基函数，为基函数对应的系数，为EIM算法的阶数；
为得到和，首先需要定义参数空间和变量空间，其中，参数和变量分别为从参数空间和变量空间采样获得：
；
；
其中，分别为源点矢量和观察点矢量的缩比系数样本，分别表示源点矢量和观察点矢量的旋转角度样本，表示源点与观察点之间的相对位移矢量的样本，为几何参数样本点张成的参数空间，所述几何参数样本点包括，和；和分别为观察点矢量和源点矢量的采样序列，Ω为对应张成的变量空间；经过经验插值法的迭代，得到经过迭代后的参数样本集合和变量样本集合：
；
；
其中，为所需的插值点；
经验插值法的迭代过程如下：
（3a）选定初始点，定义初始变量，，，和初始基函数，，设定迭代精度tol；
（3b）对所有参数μ，计算线性方程组：
；
其中，表示在参数μ和变量下的格林函数值，求解系数后对所有变量x计算在当前参数μ下的误差函数：
；
式中，为误差函数，为第i个格林函数基函数；
（3c）根据误差的无穷范数，按以下规则选取参数：
；
；
式中，表示无穷范数，和分别表示第次迭代所需要的参数样本点和对应集合；
选取参数后按以下规则对插值点和基函数进行选取：
；
；
；
；
式中，和分别表示第次迭代得到的插值点和基函数，和分别表示插值点集合和基函数集合；
（3d）更新参数，并判断误差是否小于tol，如果小于则退出迭代，否则继续执行步骤（3b）至步骤（3d）；
完成迭代后，获得一组插值基函数：
；
式中，为基函数集合，为所需的基函数；
根据经验插值法的定义，基函数系数通过以下线性方程组求解：
；
其中，即为格林函数的插值基函数系数，为系数对应的格林函数的插值基函数；
所述步骤（4）具体是指：经过经验插值法迭代后的格林函数的近似表达式表示为：
；
其中，表示EIM插值近似，为格林函数基函数，为基函数对应的系数，为EIM算法的阶数；
将上述格林函数的近似表达式代入电场积分方程中，获得阻抗矩阵的近似表达式如下：
；
式中，表示阻抗矩阵Z中行为、列为的矩阵近似值；表示观察点RWG基函数积分区域，表示源点RWG基函数积分区域，和分别表示观察点和源点的RWG基函数，为自由空间的磁导率，为入射电磁波的角频率，表示虚部单位；
根据积分算子的线性性质，通过格林函数离散形式对电场积分方程进行参数分离，分离后形式如下：
；
式中，k为传播系数，为波阻抗，为第i个格林函数插值基函数；
离散后的电场积分方程基函数和对应的系数为：
；
；
式中，为阻抗矩阵的插值系数，为阻抗矩阵的插值基函数；为第m个用于加略金测试的RWG基函数，为第n个RWG基函数；
所述阻抗矩阵的插值基函数的形式为积分方程，通过填充，得到一组与几何参数无关的阻抗矩阵基底，在后续阻抗矩阵的填充中，仅需要对这组基底进行线性组合，即获得阻抗矩阵的近似，无需遍历RWG基函数进行积分；在计算不同几何参数下的阻抗矩阵时，只需计算基函数系数，通过以下线性合成获得对应的阻抗矩阵：
；
所述步骤（5）具体包括以下步骤：
（5a）对参考单元的特征模式电流进行截断，选取特征值较小的前个主特征模式构建一组正交的全域基函数，；表示RWG基函数个数；
假设截断数为，定义在参考单元上的一组正交全域基函数表示为：
；
其中，上标为单元编号，下标为全域基函数的编号；表示参考单元第m个特征电流，共M个，表示参考单元第n个RWG基函数，共个；
系数矩阵表示为：
；
各个单元间第p个单元上的正交基函数表示如下：
；
对单元总数为P的准周期阵列而言，得到以下分布于整个阵列上的正交基函数：
；
（5b）将表面电流按上述正交基函数进行展开，其展开表达式如下：
；
其中，，是第p个单元上的基函数系数；整个阵列上的表面电流；表示第p个单元上第M个特征电流，表示第p个单元上第个RWG基函数，表示第p个单元中第m个基函数系数，表示第p个单元中第m个基函数，表示矩阵Iref中第n行第m列的元素，表示第p个单元上第n个RWG基函数；
将上述展开式进行加略金测试：
；
式中，表示第q个单元上第m’个基函数，表示适用于的阻抗算子，表示入射波，表示单元表面法向量；P为阵列的总单元数目；
获得如下矩量法方程：
；
其中，每个子矩阵的表达式为：
；
；
式中，表示第p行第q列的子块矩阵，表示右边向量第q个子向量，表示第p个单元和第q个单元的互耦矩阵，表示第q个单元的激励矩阵，表示参考单元的系数矩阵，通过经验插值法快速计算得到，从而实现的快速计算，计算表达式如下：
；
式中，为阻抗矩阵的插值系数，为阻抗矩阵的插值基函数，为EIM算法的阶数；
（5c）得到以下基于特征模式基函数的矩量法方程：
；
其中，，和的定义如下：
；
；
；
式中，表示中第P行P列的块矩阵，表示中第P个列向量；
表示基于RWG基函数展开的阻抗矩阵或者互作用矩阵，其表达式为：
；
式中，表示中第P行P列的子块阻抗矩阵；
为分块对角矩阵，其每一块均为参考单元的特征模式矩阵：
；
式中，表示参考单元的系数矩阵；
为准周期阵列的激励矩阵，其由各个单元上的激励矩阵组成：
；
式中，表示中第P个激励矩阵；
（5d）采用广义最小残差法求解步骤（5c）的矩量法方程，获得基函数系数，从而得到准周期阵列的表面电流：
；
式中，为阵列的表面电流；
获得表面电流后，计算准周期阵列在特定激励下的散射场。
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| CN202410833100.6A CN118378509B (zh) | 2024-06-26 | 2024-06-26 | 一种大规模准周期阵列电磁结构的电磁散射快速分析方法 |
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| "Quasi-Periodic Array Modeling Using Reduced Basis From Elemental Array";Xunwang Dang et.al;《IEEE Journal on Multiscale and Multiphysics Computational Techniques》;20171214;正文章节1-2 * |
| "特征模理论在周期/准周期结构中的研究与应用";李慧慧;《安徽大学硕士学位论文》;20220315;正文章节2-4 * |
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