CN1180592C - 快速傅立叶变换和反变换的模拟数字混合电路及其在通信系统中的应用 - Google Patents

Abstract

快速傅立叶变换模拟数字混合电路包括两级采样保持电路、旋转因子电路及两级傅立叶变换电路，将N个输入复数数据序列(含实部和虚部)分成二维因子N₁和N₂的乘积N＝N₁*N₂，经第一级采样保持电路后，第一级傅立叶变换电路按照二维序列的顺序分N₂次进行N₁点变换运算，旋转因子电路对第一级傅立叶变换电路的变换结果进行旋转因子乘积运算，然后将结果输入并保存到第二级采样保持电路，第二级傅立叶变换电路按二维序列的顺序分N₁次进行N₂点变换运算后，输出最终变换结果。此外，利用前述变换电路结构，还可以进行傅立叶反变换，同时可用于OFDM通信系统的接收机和发射机中。本发明无需模拟数字(A/D)变换器，可直接进行模拟FFT变换或IFFT变换，且电路的优点是结构简单，运算速度高及电路功耗低。

Description

快速傅立叶变换和反变换的模拟数字混合电路 及其在通信系统中的应用

技术领域

本发明涉及一种快速傅立叶变换电路和快速傅立叶反变换电路及其应用，尤其是一种采用模拟数字混合技术实现的快速傅立叶变换电路和反变换电路及其在正交频分多路复用(OFDM)通信系统中的应用。

背景技术

快速傅立叶变换(FFT)和快速傅立叶反变换(IFFT)技术，广泛地应用于无线通信，移动通信及数字信号处理系统等领域。在实际应用系统中经常采用专用集成电路(ASIC)方式来进行FFT或IFFT。专用FFT或IFFT电路具有运算速度快，适用于实时的信号处理系统的优点。自从库列-图基1965年发表快速傅立叶算法以来，各种离散傅立叶变换(DFT)和离散反傅立叶变换(IDFT)的快速算法及快速傅立叶变换电路和反变换电路不断出现。到目前为止，快速傅立叶变换电路或快速傅立叶反变换电路均以数字电路作为基础。在这些电路系统中对模拟信号实施快速傅立叶变换时，首先要把输入的模拟信号经模数变换器(A/D)变换成数字信号，然后进行快速傅立叶变换。这样使傅立叶变换电路结构复杂，功耗增大；傅立叶反变换也是如此。这些缺点制约了无线通信、移动通信、尤其是使用宽带通信技术的手提式电子仪器、端子的发展。因此提高傅立叶变换或反变换速度，减少功耗，在傅立叶变换或反变换电路系统中就显得尤为重要。

发明内容

本发明解决的技术问题是：提供一种高速度、高精度、低功耗及电路结构简单的快速傅立叶变换模拟数字混合电路和快速傅立叶反变换模拟数字混合电路及其在正交频分多路复用(OFDM)通信系统中的应用。

本发明的技术解决方案是：利用模拟电路及模拟信号运算方法，不需要将输入的模拟信号通过(A/D)转换器转换成数字信号，直接对模拟信号进行FFT变换，包括下列部分：第一级采样保持电路按顺序将输入的N个复数序列采样结果保持在该电路中，并按N＝N₁*N₂的分解方式将N个信号分解为N₁行和N₂列的二维序列形式；第一级FFT变换电路，按列的顺序分N₂次，从第一级采样保持电路中提取数据，每一次从各行提取一个共N₁数据进行第一级N₁点的FFT变换；旋转因子电路，对所述第一级FFT的输出结果进行旋转因子运算，然后将运算结果输出给第二级采样保持电路；第二级采样保持电路将旋转因子电路输出的N个数据全部按二维序列(N₁行和N₂列)保持在该电路中；第二级FFT变换电路，对第二级采样保持的输出数据按顺序分N₁次，每一次取N₂个数据进行第二级N₂点FFT变换，最终得到N个复数序列的傅立叶变换结果。

本发明的原理如下：对于一个长度为N的复合数序列，它的DFT为

$X\left[k\right]=\underset{n=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}x\left[n\right]W_N^{\mathrm{kn}}0\≤k\≤N-1----\left(1\right)$

其中W_N＝e^-j(2π/N)，假设序列的长度N可以表示成两个因子的乘积，即

                    N＝N₁*N₂                               (2)

利用标号概念将序列正规的分解，假设标号n和k表示为

很容易证明，当n₁和n₂在给定范围内遍取所有可能的值时，n为从0到(N-1)的全部可能值且不重复，对于频域标号k也一样。利用这些标号映射，可将DFT表示成两个标号k₁和k₂的函数。把式(3)代入式(1)得

$X\left[k\right]=X[k_1+N_1{k}_2]$

$=\underset{n_2=0}{\overset{N_1-1}{\mathrm{\Σ}}}\underset{n_1=0}{\overset{N_1-1}{\mathrm{\Σ}}}x[N_2{n}_1+n_2]W_N^{(k_1+N_1{k}_2)(N_2{n}_1+n_2)}$

$=\underset{n_2=0}{\overset{N_2-1}{\mathrm{\Σ}}}\underset{n_1=0}{\overset{N_1-1}{\mathrm{\Σ}}}x[N_2{n}_1+n_2]W_N^{N_2{k}_1{n}_1}{W}_N^{k_1{n}_2}{W}_N^{N_1{k}_2{n}_2}{W}_N^{N_1{N}_2{k}_2{n}_1}----\left(4\right)$

因为 $W_N^{N_2{k}_1{n}_1}=W_{N_1}^{k_1{n}_1},$ $W_N^{N_1{k}_2{n}_2}=W_{N_2}^{k_2{n}_2},$ 以及 $W_N^{N_1{N}_2{k}_2{n}_1}=1,$ 所以式(4)可以写成

$X(k_1+N_1{k}_2)=\underset{n_2=0}{\overset{N_1-1}{\mathrm{\Σ}}}\left[\left(\underset{n_2=0}{\overset{N_1-1}{\mathrm{\Σ}}}x\right[N_2{n}_1+n_2\left]W_{N_1}^{k_1{n}_1}\right)W_N^{k_1{n}_2}\right]W_{N_2}^{k_2{n}_2},-----\left(5\right)$

其中0≤k₁≤N₁-1且0≤k₂≤N₂-1。

为了解释(5)，将输入标号映射的作用设想为把输入的一维序列映射成一个二维序列，该序列可以表示为一个N₁行和N₂列的二维数列，其中n₁和n₂分别代表数列的行和列，然后我们可以把式(5)的内括号看作是N₁点的DFT的集合，即

这组N1点的DFT与因子

相乘得到

式(7)中的因子 称为旋转因子。

最后，式(5)中的外和式可以看作是数列各列的N₂点的DFT的集合，即

本发明由于采用了复合数N的方法实现FFT变换电路，按式(2)将长度为N的DFT计算分解成为较短的两个长度N₁和N₂的DFT计算，即具体地先进行长度N₁求和的DFT计算，再处理旋转因子，经初步保持后再进行长度N₂求和的DFT计算，最终得到长度为N的DFT变换结果。

本发明的结构还可以将旋转因子的位置与第二级采样保持电路的位置进行调换，其结构包括：第一级采样保持电路，将输入的N个复数序列模拟信号采样结果保持在该电路中，并按N＝N₁*N₂的分解方式将N个信号分解为N₁行和N₂列的二维序列形式；第一级傅立叶变换电路，按列的顺序分N₂次，从所述的第一级采样保持电路中提取数据，每一次从各行中提取一个，共N₁个数据进行第一级N₁点FFT运算；第二级采样保持电路，将第一级傅立叶变换后的N个数据全部保持在该电路中；旋转因子电路，对所述的第二级采样保持电路中的数据进行乘旋转因子运算；第二级傅立叶变换电路，按行的顺序分N₁次从所述的旋转因子电路中提取N₂个数据进行N₂点FFT变换，最终得到N个序列的FFT变换结果。

以上是将输入信号排列成二维序列的形式进行DFT变化的电路构成，这种构成方法可以扩展到三维或三维以上序列的形式，如果分解为三维的形式，设N＝N₁*N₂*N₃，则三维输入的DFT变换形式为：

$X(k_1+N_1{k}_2+N_1*N_2{k}_3)=$

$\underset{n_3}{\overset{N_3-1}{\mathrm{\Σ}}}\left\{\left(\underset{n_2}{\overset{N_2-1}{\mathrm{\Σ}}}\right[\left(\underset{n_1}{\overset{N_1-1}{\mathrm{\Σ}}}x\right[N_2*N_3*n_1+N_3{n}_2+n_3\left]W_{N_1}^{k_1{n}_1}\right)W_N^{k_1(N_3{n}_2+n_3)}\left]W_{N_2}^{k_2{n}_2}\right)W_{N_2{N}_3}^{k_2{n}_3}\right\}{W}_{N_3}^{k_3{n}_3}---\left(9a\right)$

k＝k₁+N₁k₂+N₁*N₂k₃                                            (9b)

n＝N₂*N₃n₁+N₃n₂+n₃                                            (9c)

其中0≤n₁≤N₁-1，0≤n₂≤N₂-1，0≤3≤n₃≤N₃-1；

0≤k₁≤N₁-1，0≤k₂≤N₂-1，0≤k₃≤N₃-1，

同样可以得到更高维V的变换形式。

此外，利用傅立叶反变换公式

$x\left(n\right)=\frac{1}{N}\underset{n=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}X\left(k\right)W_N^{-\mathrm{nk}}------\left(10\right)$

可以实现快速傅立叶反变换，其结构形式与前述的快速傅立叶变换模拟数字混合电路形式完全相同，只是增加了系数1/N。

前述的快速傅立叶变换模拟数字混合电路及反变换电路同时可以用在基于宽带无线局域网国际标准(IEEE802.11a或HIPERLAN/2)的OFDM通信系统中的接收机和发射机中，其特点是：其中的傅立叶变换电路采用前述的快速傅立叶变换模拟数字混合电路，且电路结构省略了A/D变换器；其中的傅立叶反变换电路采用前述的快速傅立叶反变换模拟数字混合电路，且省略了A/D转换电路，增加了电路设计自由度。

本发明的有益效果是：由于变换电路采用模拟电路形式及模拟运算方法，无需将输入的模拟信号通过A/D转换器转换成数字信号，可以直接对模拟信号进行FFT或IFFT，所以电路结构简单、功耗低、运算速度高。

附图说明

图1为本发明第一种结构原理框图；

图2为图1中的结构原理示意图；

图3为本发明第二种结构原理框图；

图4为图3中的结构原理示意图；

图5为图1或图3中第一级采样保持电路的结构原理示意图；

图6为图1或图3中第一级傅立叶变换电路结构原理示意图；

图7为图1或图3中旋转因子电路的结构原理示意图；

图8为图1中第二级采样保持电路的结构原理示意图；

图9为图3中第二级采样保持电路的结构原理示意图；

图10为图1或图3中第二级傅立叶变换电路结构原理示意图；

图11为本发明实施例中输入序列为64时的结构原理示意图；

图12为图11中的第一级采样保持电路结构原理图；

图13为图12中的采样保持器的电路结构原理图；

图14为图11中第一级傅立叶变换电路的第一种结构示意图；

图15为图14中加减电路ADSB和加法器ADD电路结构原理图；

图16为图11中第一级傅立叶变换电路的第二种结构示意图；

图17为图16中BDSB电路结构原理图；

图18为图16中BDD电路结构原理图；

图19为图11中旋转因子电路运算结构示意图；

图20为图19中的部分电路原理图；

图21为图20中的乘法器电路原理图；

图22为图20中的加法器电路原理图；

图23为图20中的加减器电路原理图；

图24为图11中的第二级采样保持电路结构原理图，

图25为图11中第二级傅立叶变换电路第一种结构示意图；

图26为图11中第二级傅立叶变换电路第二种结构示意图；

图27为本发明输入序列为64的第二实施例结构原理示意图；

图28为本发明输入序列N分解成三维时结构示意框图；

图29为本发明快速傅立叶反变换(IFFT)结构原理示意图。

具体实施方式

下面结合附图及实施例对发明进一步详细说明。

如图1、图2所示，本发明由第一级采样保持电路S/H1、第一级傅立叶变换电路FFT1、旋转因子电路Wn、第二级采样保持电路S/H2及第二级傅立叶变换电路FFT2构成，输入的连接模拟信号X(t)经第一采样保持电路S/H1按顺序依次进行N次采样，得到采样结果X(n)＝X_R(n)+jX_I(n)(n＝0，1，...N-1)，并将采样结果保持在该电路中，同时对N个复数序列按N＝N₁*N₂进行二维序列(N₁行，N₂列)重新编号，得到实部采样X_R(N₂n₁+n₂)和虚部采样X_I(N₂n₁+n₂)(0≤n₁≤N₁-1，0≤n₂≤N₂-1)，之后由第一级傅立叶变换电路FFT1进行变换运算，它按列的顺序分N₂次，从第一级采样保持电路S/H1中提取数据，每一次从各行提取一个共N₁数据进行第一级N₁点的FFT变换，按式(6)实部变换结果为

$G_R[n_2,k_1]=\underset{n_1=0}{\overset{N_1-1}{\mathrm{\Σ}}}\left[x_R\right[N_2{n}_1+n_2]{\left(W_{N_1}^{k_1{n}_1}\right)}_R-x_1[N_2{n}_1+n_2\left]{\left(W_{N_1}^{k_1{n}_1}\right)}_I\right],----\left(11a\right)$

虚部变换结果

$G_1[n_2,k_1]=\underset{n_1=0}{\overset{N_1-1}{\mathrm{\Σ}}}\left[x_1\right[N_2{n}_1+n_2]{\left(W_{N_1}^{k_1{n}_1}\right)}_R+x_R[N_2{n}_1+n_2\left]{\left(W_{N_1}^{k_1{n}_1}\right)}_I\right],----\left(11b\right)$

               0≤k₁≤N₁-1，0≤n₂≤N₂-1

旋转因子电路Wn，对所述第一级傅立叶变换电路FFT1的输出结果进行旋转因子运算，实部运算结果为

${\tilde{G}}_R[n_2,k_1]=[G_R(n_2,k_1){\left(W_N^{k_1{n}_2}\right)}_R-G_I(n_2,k_1){\left(W_N^{k_1{n}_2}\right)}_I],-----\left(12a\right)$

虚部运算结果为

${\tilde{G}}_I[n_2,k_1]=[G_R(n_2,k_1){\left(W_N^{k_1{n}_2}\right)}_R-G_R(n_2,k_1){\left(W_N^{k_1{n}_2}\right)}_I],-----\left(12b\right)$

            0≤n₂≤N₂-1，0≤k₁≤N₁-1之后将上述运算结果输出给第二级采样保持电路S/H2；第二级采样保持电路S/H2将旋转因子电路Wn输出的N个数据全部按二维序列(N₁行和N₂列)保持在该电路中；第二级傅立叶变换电路FFT2对第二级采样保持电路S/H2输出的数据按顺序分N₁次，每一次取N₂个数据进行第二级N₂点FFT变换，最后得到N个复数序列的傅立叶变换，实部变换结果为

$X_R(k_1+N_1{k}_2)=\underset{n_2=0}{\overset{N_2-1}{\mathrm{\Σ}}}\left[{\tilde{G}}_R\right[n_2,k_1]{\left(W_{N_2}^{k_2{n}_2}\right)}_R-{\tilde{G}}_I[n_2,k_1\left]{\left(W_{N_2}^{k_2{n}_2}\right)}_I\right],----\left(13a\right)$

虚部变换结果为

$X_I(k_1+N_1{k}_2)=\underset{n_2=0}{\overset{N_2-1}{\mathrm{\Σ}}}\left[{\tilde{G}}_I\right[n_2,k_1]{\left(W_{N_2}^{k_2{n}_2}\right)}_R-{\tilde{G}}_R[n_2,k_1\left]{\left(W_{N_2}^{k_2{n}_2}\right)}_I\right],----\left(13b\right)$

             0≤k₁≤N₁-1，0≤k₂≤N₂-1。

如图3、图4所示，本发明的第二结构还可以将第二采样保持电路S/H2的位置与旋转因子电路Wn的位置进行调换，即对第一傅立叶变换电路FFT1输出的数据先进入到第二级采样保持电路S/H2进行保持，再进行旋转因子运算，其他运算方法与第一种结构相同。

如图5所示，第一级采样保持电路S/H1分为实部采样保持电路和虚部采样保持电路，实部采样保持电路和虚部采样保持电路中的采样保持器个数与输入模拟信号X(t)的N个序列数相对应，即实部有S_R1/H_R1...S_RN/H_RN，虚部S_I1/H_I1，S_IN/H_IN，采样输出分别为X_R(0)...X_R(N-1)和X_I(0)...X_I(N-1)。

如图6所示，第一级FFT变换电路FFT1按顺序分N₂次从S/H1中提取数据，每一次从各行提取一个共N₁个复数数据输入到N₁(k₁＝0，1，2...N₁-1)点FFT变换电路，按式(2，11)进行乘积之和(差)运算得G[n₂，k₁](k₁＝0...N₁-1)，最终得到N个中间结果G[n₂，k₁](n₂＝0，1...N₂-1，k₁＝0，1...N₁-1)。

如图7所示，旋转因子电路每次对图6所示FFT1并行输出的N₁个运算结果G[n₂，k₁](k₁＝0，1...N₁-1)实施式(12)的旋转因子乘积运算，然后将结果 ${\tilde{G}}_R[n_2,k_1],{\tilde{G}}_I[n_2,k_1]$ 输出到第二级采样保持电路S/H2。

如图8所示，第二级采样保持电路S/H2对乘完旋转因子后的第一级FFT1的数据进行保持，以便进行第二级FFT2运算，它由与输入序列数相对应的多个采样保持电路组成，分为实部和虚部，其输出为 ${\tilde{G}}_R[n_2,k_1],$ ${\tilde{G}}_I[n_2,k_1](n_2=\mathrm{0,1}...N_2$ $-1,k_1=\mathrm{0,1}...N_1-1).$

如图10所示，第二级FFT2按顺序从S/H2中提取数据，每一次从各列取一个共N₂个复数数据输入到N₂点FFT电路，按式(13)进行乘积之和(差)运算得到X[k₁+N₂k₂](k₁＝0，1...N₁-1，k₂＝0，1...N₂-1)，可以通过控制乘积之和(差)运算的顺序得到任意排列顺序的输出数据序列。

如图9所示，当采用将旋转因子电路与第二级采样保持电路的位置进行调换的第二种发明结构(图3)时，第二级采样保持电路S/H2对第一级FFT1的计算结果进行保持，其输出为G_R[n₂，k₁]、G_I[n₂，k₁](n₂＝0，1...N₂-1，k₁＝0，1...N₁-1)，以便进行旋转因子乘积运算。

如图11所示，前述的快速傅立叶变换模拟数字混合电路的发明可以应用到基于宽带无线局域网国际标准(IEEE802.11a或HIPERLAN/2)的OFDM通信系统中N＝64的FFT变换装置中，为此本实施例取N＝64，进行N＝N₁*N₂的分解，其中N₁＝N₂＝8，首先对64个数据分别进行采样，并将采样结果保持在第一级S/H1中，然后分8次进行8点第一级FFT变化，将变换结果保持在第二级S/H2中，然后分8次处理旋转因子，最后再按顺序进行第二级8点FFT变换，最终输出变换结果。

如图12，图13所示，本实施例中第一级采样保持电路对输入的模拟信号进行采样，得到x(n)

            x(n)＝x_R(n)+jx_I(n)

                   ＝x_R(8n₁+n₂)+jx_I(8n₁+n₂)                     (14)

将数据的实部和虚部，分别用64个采样保持器S_R1/H_R1...S_R64/H_R64和S_i1/H_i1...S_i64/H_Hi64进行保存。每个采样保持器由两级运算放大器Amp1、Amp2，模拟开关SW1、SW2，耦合电容Ci1、Ci2，接地电容C1，C2和反馈电容Cf1、Cf2组成，采样保持动作顺序是由数字电路来控制的。其中第一级输入耦合电容Ci1的输入端与第一级模拟开关SW1相连接，其输出端与线性运算放大器Amp1的输入端相连，第二级模拟开关SW2的输入端与第一级线性运算放大器Amp1的输出端连接，其输出端连接到第二输入电容Ci2的输入端，第二输入电容Ci2的输入端与第二线性运算放大器Amp2的输入端连接，在两级模拟开关SW1和SW2与两级输入耦合电容Ci1和Ci2之间还加有接地电容C1和C2，在两个线性运算放大器Amp1和Amp2输入与输出端加有反馈电容Cf1和Cf2，in为输入信号，out为输出信号。其中Amp1、Amp2是线性运算放大器。

如图14，图15所示，根据复合数N的方法得到FFT后的输出结果X(k)

$X\left(k\right)=X(k_1+{8k}_2)=\underset{n_2=0}{\overset{7}{\mathrm{\Σ}}}[\left(\underset{n_1=0}{\overset{7}{\mathrm{\Σ}}}x({8n}_1+n_2)W_8^{k_1{n}_1}\right)W_{64}^{k_1{n}_2}----\left(15\right)$

其中0≤n₁≤7，0≤k₁≤7，0≤n₂≤7，0≤k₂≤7，可以把式(15)的内括号看作是8行的8点的DFT的集合，对其进行第一个8点的FFT运算，即

$G[n_2,k_1]=\underset{n_1=0}{\overset{7}{\mathrm{\Σ}}}x({8n}_1+n_2)W_8^{k_1{n}_1}$

$=\underset{n_1=0}{\overset{7}{\mathrm{\Σ}}}[x_R({8n}_1+n_2)+j{x}_I({8n}_1+n_2)][{\left(W_8^{k_1{n}_1}\right)}_R+j{\left(W_8^{k_1{n}_1}\right)}_I]$

$=\underset{n_1=0}{\overset{7}{\mathrm{\Σ}}}\left\{\right[x_R({8n}_1+n_2){\left(W_8^{k_1{n}_1}\right)}_R-x_I({8n}_1+n_2){\left(W_8^{k_1{n}_1}\right)}_I]$

$+j[x_I({8n}_1+n_2){\left(W_8^{k_1{n}_1}\right)}_R+x_R({8n}_1+n_2){\left(W_8^{k_1{n}_1}\right)}_I]\}-----\left(16\right)$

将其分为实部和虚部。设

G[n₂，k₁]＝G_R[n₂，k₁]+jG_I[n₂，k₁]                           (17a)

其中

$G_R[n_2,k_1]=\underset{n_1=0}{\overset{7}{\mathrm{\Σ}}}[x_R({8n}_1+n_2){\left(W_8^{k_1{n}_1}\right)}_R-x_I({8n}_1+n_2){\left(W_8^{k_1{n}_1}\right)}_I]-----\left(17b\right)$

$G_I[n_2,k_1]=\underset{n_1=0}{\overset{7}{\mathrm{\Σ}}}[x_I({8n}_1+n_2){\left(W_8^{k_1{n}_1}\right)}_R-x_R({8n}_1+n_2){\left(W_8^{k_1{n}_1}\right)}_I]-----\left(17c\right)$

实现上述变换可以采用下面方法进行：在第一级采样保持电路S/H1的保存数据中，采用模拟开关控制，每次根据二维序列的顺序先取出8个实部信号数据和8个虚部信号分别输入到第一级FFT1变换电路中，式(17b)和(17c)中的乘积之和(差)的运算是由图15所示的多路输入耦合电容

$(i=\mathrm{0,1,2}...7,j=\mathrm{0,1,2}...7).$ 运算放大器Amp101-104、反馈电容Cf101-104及耦合电容C101-C102构成的实部加减法电路ADSB和虚部加法电路ADD来实现的，其中Amp101-Amp104为线性运算放大器。每次可以同时得到8个实部数据输出和8个虚部数据输出，在电路中多路输入耦合电容的值

是与变换系数 成比例的。

此外，可以考虑在第一级的8点FFT运算中，将每次输入的8个数据x[n]再分解为两个4点序列来计算，其中一个序列由x[n]的偶数点组成，而另一个序列则由x[n]的奇数点组成。其原理如下：

$X\left[k\right]=\underset{n=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}x\left[n\right]W_N^{\mathrm{kn}}0\≤k\≤N-1-----\left(18\right)$

并且将x[n]分解为偶数点和奇数点，因此可得到

$X\left[k\right]=\underset{n\_\mathrm{even}}{\mathrm{\Σ}}x\left[n\right]W_N^{\mathrm{nk}}+\underset{n\_\mathrm{odd}}{\mathrm{\Σ}}x\left[n\right]W_N^{\mathrm{nk}}------\left(19\right)$

或者，对于偶数n用变量n＝2r代替，对于奇数n用变量n＝2r+1代替，有

$X\left[k\right]=\underset{r=0}{\overset{(N/2)-1}{\mathrm{\Σ}}}x\left[2r\right]W_N^{2\mathrm{rk}}+\underset{r=0}{\overset{(N/2)-1}{\mathrm{\Σ}}}x[2r+1]W_N^{(2r+1)k}$

$=\underset{r=0}{\overset{(N/2)-1}{\mathrm{\Σ}}}x\left[2r\right]{\left(W_N^2\right)}^{\mathrm{rk}}+W_N^k\underset{r=0}{\overset{(N/2)-1}{\mathrm{\Σ}}}x[2r+1]{\left(W_N^2\right)}^{\mathrm{rk}}-----\left(20\right)$

因为

$W_N^2=e^{-2j(2\mathrm{\π}/N)}=e^{-j2\mathrm{\π}/(N/2)}=W_{N/2}$

所以 $W_N^2=W_{N/2},$ 因此式(20)可以写作

$X\left[k\right]=\underset{r=0}{\overset{(N/2)-1}{\mathrm{\Σ}}}x\left[2r\right]W_{N/2}^{\mathrm{rk}}+W_N^k\underset{r=0}{\overset{(N/2)1}{\mathrm{\Σ}}}x[2r+1]W_{N/2}^{\mathrm{rk}}$

$=g\left[k\right]+W_N^{k}h\left[k\right]------\left(21\right)$

式中的每一个和式可以看作是一个(N/2)点的DFT，第一个和式是原序列偶数点的(N/2)点DFT，而第二个和式是原序列奇数点的(N/2)点FFT。虽然标号k遍取N个值，k＝0，1...N-1，但是因为G[k]和H[k]都是周期为N/2的k的周期函数，所以每个和式只需计算k取0至(N/2)-1之间的值。计算出两个DFT后，按照式(20)将二者组合成N点DFT X[k]。

所以第一级8点的FFT变换可改为：

$G[n_2,k_1]=\underset{n_1=0}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}x({16n}_1+n_2)W_4^{k_1{n}_1}+W_8^{k_1}\underset{n_1=0}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}x[({16n}_1+8)+n_2]W_4^{k_1{n}_1}---\left(22\right)$

令

$g[n_2,k_1]=\underset{n_1=0}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}x(16n_1+n_2)W_4^{k_1{n}_1}----\left(23a\right)$

$h[n_2,k_1]=\underset{n_1=0}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}x({16n}_1+8+n_2)W_4^{k_1{n}_1}-----\left(23b\right)$

$h^{\′}[n_2,k_1]=W_8^{k_1}h[n_2,k_1]----\left(23c\right)$

则有：

G[n₂，k₁]＝g[n₂，k₁]+h′[n₂，k₁]

         ＝g_R[n₂，k₁]+jg_I[n₂，k₁]+h′_R[n₂，k₁]+jh′_I[n₂，k₁]        (24)

如图16、图17、图18所示，式(23)中每一个4点的FFT的运算中的变换系数的数值只有0，1两种，系数为0的输入可以忽略，这样在实际电路中每个加减器只有4个输入电容与之相对应。式(23a)和(23b)中的乘积之和(差)的运算是由图17、图18所示的多路输入耦合电容 $C_{W_{8I}^{j*i}}(i=\mathrm{0,1,2,3},$ $j=\mathrm{0,1,2,3}).$ 运算放大器Amp201-204、反馈电容Cf201-204及耦合电容C201-C202构成的实部加减法电路BDSB和虚部加法电路BDD来实现的，其中Amp201-Amp204为线性运算放大器，每次可以同时得到8个实部数据输出和8个虚部数据输出，在电路中多路输入耦合电容的值 是与变换系数 成比例的。式(23c)中的系数

的的乘法运算采用与旋转因子运算电路结构相同的电路。

如图19、图20、图21、图22、图23所示，第一级FFT1的输出信号乘以旋转因子得到

$\tilde{G}[n_2,k_1]=W_{64}^{k_1{n}_2}G[n_2,k_1]$

$=[{\left(W_{64}^{k_1{n}_2}\right)}_R+j{\left(W_{64}^{k_1{n}_2}\right)}_I]*[G_R(n_2,k_1)+j{G}_I(n_2,k_1)]$

$=[G_R(n_2,k_1){\left(W_{64}^{k_1{n}_2}\right)}_R-G_I(n_2,k_1){\left(W_{64}^{k_1{n}_2}\right)}_I]$

$+j[G_R(n_2,k_1){\left(W_{64}^{k_1{n}_2}\right)}_I+G_I(n_2,k_1){\left(W_{64}^{k_1{n}_2}\right)}_R]----\left(25\right)]$

同样分为实部和虚部

$\tilde{G}[n_2,k_1]={\tilde{G}}_R[n_2,k_1]+j{\tilde{G}}_I[n_2,k_1]-----\left(26a\right)$

其中

${\tilde{G}}_R[n_2,k_1]=[G_R(n_2,k_1){\left(W_{64}^{k_1{n}_2}\right)}_R-G_I(n_2,k_1){\left(W_{64}^{k_1{n}_2}\right)}_I]----\left(26b\right)$

${\tilde{G}}_I[n_2,k_1]=[G_R(n_2,k_1){\left(W_{64}^{k_1{n}_2}\right)}_I+G_I(n_2,k_1){\left(W_{64}^{k_1{n}_2}\right)}_R]----\left(26c\right)$

旋转因子电路Wn按顺序对第一级FFT的变换结果进行乘以旋转因子的运算，然后旋转因子电路Wn将计算结果输出到第二级S/H2电路。实现上述步骤方法是：可以看到一个复数的乘积需要4个乘法器和2个加减法器，所以在电路中需要采用32个乘法器MUL1-32，同样需要8个加法器Add1-8和8个减法器Sub1-8。如图20所示，每个乘法器由多个输入电容Ci10-14、反馈电容Cf20-25、耦合电容C30和线性运算放大器Amp301-302及多个二选一开关MUX10-14和MUX20-24组成。如图22所示，加法器电路由输入电容C401-C402、耦合电容C40，两级运算放大器Amp40和Amp41、反馈电容Cf40和Cf41组成。如图23所示，减法器电路由输入电容C501-C502、耦合电容C50，反馈电容C50-C51、两级运算放大器Amp50和Amp51组成。

如图24所示，第二级S/H2的功能是对旋转因子电路Wn的输出结果进行保持，以便进行第二级的FFT2运算。旋转因子运算后实部和虚部分别得到64个数值，因此实部和虚部同样需要64个采样保持器进行保持。其中每个采样保持器的电路结构与前述的第一级采样保持电路S/H1中的采样保持器相同。

如图25、26所示，最后按(15)式中的外和式进行8点第二级DFT变换，即

$X(k_1+{8k}_2)=\underset{n_2=0}{\overset{7}{\mathrm{\Σ}}}\tilde{G}[n_2,k_1]W_8^{k_2{n}_2}----\left(27\right)$

同样，也可以将第二级FFT进行分解，

$X(k_1+{8k}_2)=\underset{n_2=0}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}\tilde{G}[{2n}_2,k_1]W_4^{k_2{n}_2}+W_8^{w_2}\underset{n_2=0}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}\tilde{G}[{2n}_2+1,k_1]W_4^{k_2{n}_2}----\left(28\right)$

令

$f[k_1,k_2]=\underset{n_2-0}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}\tilde{G}[{2n}_2,k_1]W_4^{k_2{n}_2}----\left(29a\right)$

$j[k_1,k_2]=\underset{n_2=0}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}\tilde{G}[{2n}_2+1,k_1]W_4^{k_2{n}_2}-----\left(29b\right)$

$j^{\′}[k_1,k_2]=W_8^{k_2}j[k_1,k_2]-----\left(29c\right)$

则有：

X[k₁+8k₂]＝f[k₁，k₂]+j′[k₁，k₂]

         ＝f_R[k₁，k₂]+jf_I[k₁，k₂]+j′_R[k₁，k₂]+j*j′_I[k₁，k₂]      (30)

实现上述步骤的方法同第一级FFT1的方法同样，可以采用同第一级FFT1同样的电路结构形式来实现。

图27所示，本发明实施例的第二结构还可以将第二采样保持电路S/H2的位置与旋转因子电路Wn的位置进行调换/即对第一傅立叶变换电路FFT1输出的数据先进入到第二级采样保持电路S/H2进行保持，再进行旋转因子运算，其他运算方法与第一种结构相同。

以上是将输入信号排列成二维序列的形式进行DFT变化的电路构成，这种构成方法可以扩展到三维或三维以上序列的形式。图28所示，将输入信号排列成三维的形式，设N＝N₁*N₂*N₃，则按式(9)进行三维输入的DFT变换。进行三维输入的DFT变换电路由第一级采样保持电路S/H1、第一级傅立叶变换电路FFT1、第一级旋转因子电路Wn1、第二级采样保持电路S/H2，第二级傅立叶变换电路FFT2，第二级旋转因子电路Wn2，第三级采样保持电路S/H3，第三级傅立叶变换电路FFT3构成，输入的模拟信号X(t)经第一采样保持电路S/H1按顺序依次进行N次采样，得到采样结果X(n)＝XR(n)+jX_I(n)(n＝0，1，...N-1)，并将采样结果保持在该电路中，同时对N个复数序列按N＝N₁*N₂*N₃进行三维序列(N1行，N2列，N3高)重新编号，得到实部采样X_R(N₂N₃n₁+N₃n₂+n₃)和虚部采样X_i(N₂N₃n₁+N₃n₂+n₃)(0≤n₁≤N₁-1，0≤n₂≤N₂-1，0≤n₃≤N₃-1)；第一级傅立叶变换电路FFT1进行变换运算，它按列高的顺序分N₂*N₃次，从第一级采样保持电路S/H1中提取数据，每一次从各行提取一个共N₁数据进行第一级N₁点的FFT变换；第一级旋转因子电路Wn1，对所述第一级傅立叶变换电路FFT1的输出结果进行旋转因子运算，之后将上述运算结果输出给第二级采样保持电路S/H2；第二级采样保持电路S/H2将旋转因子电路Wn1输出的N个数据全部按三维序列(N₁行，N₂列，N₃高)保持在该电路中；第二级傅立叶变换电路FFT2对第二级采样保持电路S/H2输出的数据按顺序分N₁*N₃次，每一次取N₂个数据进行第二级N₂点FFT变换；第二级旋转因子电路Wn2，对所述第一级傅立叶变换电路FFT2的输出结果进行旋转因子运算，之后将上述运算结果输出给第三级采样保持电路S/H3；第三级采样保持电路S/H3将旋转因子电路Wn2输出的N个数据全部按三维序列(N₁行，N₂列，N₃高)保持在该电路中；第三级傅立叶变换电路FFT3从第三级采样保持电路S/H3每一次取N₃个数据进行第三级N₃点FFT变换，最后得到N个复数序列的傅立叶变换。

图29所示，为本发明快速傅立叶反变换(IFFT)模拟数字混合电路结构，利用傅立叶反变换公式(10)可以实现快速傅立叶反变换。利用标号概念将序列正规的分解，

从式(10)可得到

$x(n_1+N_1{n}_2)=\frac{1}{N}\underset{k_2=0}{\overset{N_2-1}{\mathrm{\Σ}}}\left[\left(\underset{k_1-0}{\overset{N_{1}1}{\mathrm{\Σ}}}X\right[N_2{k}_1+k_2\left]W_{N_1}^{{-n}_1{k}_1}\right)W_N^{-n_1{k}_2}\right]W_{X_2}^{{-n}_2{k}_2}$

$=\underset{k_1=0}{\overset{N_1\·1}{\mathrm{\Σ}}}[\left(\underset{k_1=0}{\overset{N_{1}1}{\mathrm{\Σ}}}X\right[N_2{k}_1+k_2\left]\frac{W_{N_1}^{n_1{k}_1}}{\sqrt[3]{N}}\right)\frac{W_N^{n_1{k}_2}}{\sqrt[3]{N}}-----\left(32\right)$

令

$W_{N_1}^{\′-n_1{k}_1}=\frac{W_{N_1}^{-n_1{k}_1}}{\sqrt[3]{N}},$ $W_N^{\′-n_1{k}_2}=\frac{W_N^{-n_1{k}_2}}{\sqrt[3]{N}},$ $W_{N_2}^{\′n_2{k}_2}=\frac{W_{N_2}^{-n_2{k}_2}}{\sqrt[3]{N}}$

则：

$x(n_1+N_1{n}_2)=\underset{k_2=0}{\overset{N_2-1}{\mathrm{\Σ}}}\left[\left(\underset{k_1=0}{\overset{N_1-1}{\mathrm{\Σ}}}X\right[N_2{k}_1+k_2\left]W_{N_1}^{\′-n_1{k}_1}\right)W_N^{\′-n_1{k}_2}\right]W_{N_2}^{\′-n_2{k}_2}-----\left(33\right)$

其结构形式与前述的快速傅立叶变换模拟数字混合电路形式完全相同。

它包括下列部分：第一级采样保持电路，将输入的N个复数序列模拟信号采样结果保持在该电路中，并按N＝N₁*N₂的分解方式将N个信号分解为N₁行和N₂列的二维序列形式；

第一级傅立叶反变换电路，按列的顺序分N₂次，从所述的第一级采样保持电路中提取数据，每一次从各行中提取一个，共N₁个数据进行第一级N₁点IFFT运算；

旋转因子电路，对所述第一级傅立叶反变换结果进行乘旋转因子运算；

第二级采样保持电路，将旋转因子运算之后的N个数据全部保持在该电路中；

第二级傅立叶反变换电路，按行的顺序分N₁次从所述的第二级采样保持电路中提取N₂个数据进行N₂点IFFT变换，最终得到N个序列的IFFT变换结果。

Claims (13)

1、快速傅立叶变换模拟数字混合电路，其特征在于：采用模拟电路及模拟信号运算方法，无需将输入的模拟信号通过(A/D)转换器转换成数字信号，直接对模拟信号进行快速傅立叶变换(FFT)，它包括下列部分：

第一级采样保持电路，将输入的N个复数序列模拟信号采样结果保持在该电路中，并按N＝N₁*N₂的分解方式将N个信号分解为N₁行和N₂列的二维序列形式；

第一级傅立叶变换电路，按列的顺序分N₂次，从所述的第一级采样保持电路中提取数据，每一次从各行中提取一个，共N₁个数据进行第一级N₁点FFT运算；

旋转因子电路，对所述第一级傅立叶变换结果进行乘旋转因子运算；

第二级采样保持电路，将旋转因子运算之后的N个数据全部保持在该电路中；

第二级傅立叶变换电路，按行的顺序分N₁次从所述的第二级采样保持电路中提取N₂个数据进行N₂点FFT变换，最终得到N个序列的FFT变换结果。

2、根据权利要求1所述的快速傅立叶变换模拟数字混合电路，其特征在于：所述的输入复数信号N还可以分解为N＝N₁*N₂*N₃三维或三维以上。

3、根据权利要求1所述的快速傅立叶变换模拟数字混合电路，其特征在于：所述的N＝N₁*N₂，利用标号概念将序列按n＝N₂n₁+n₂，k＝k₁+N₁k₂进行标号映射，其中0≤n₁≤N₁-1，0≤n₂≤N₂-1，0≤k₁≤N₁-1，0≤k₂≤N₂-1。

4、根据权利要求1或3所述的快速傅立叶变换模拟数字混合电路，其特征在于：输入N序列为64，且N＝N₁*N₂＝8*8。

5、根据权利要求1所述的快速傅立叶变换模拟数字混合电路，其特征在于：所述的第一及第二采样保持电路、旋转因子电路、第一级及第二级傅立叶变换电路由运算放大器、模拟开关及电容构成。

6、根据权利要求5所述的快速傅立叶变换模拟数字混合电路，其特征在于：第一级及第二级FFT变换电路中的输入模拟信号与变换系数的乘积之和或差的运算是由多路输入耦合电容、运算放大器、反馈电容及耦合电容构成的加法电路或减法电路来实现的，且多路输入耦合电容的值是与变换系数的虚部和实部成比例。

7、用于正交频分多路复用(OFDM)通信系统接收机，基于宽带无线局域网国际标准，包括快速傅立叶变换电路，其特征在于：所述的快速傅立叶变换电路为权利要求1或2或4所述的快速傅立叶变换模拟数字混合电路。

8、快速傅立叶反变换模拟数字混合电路，其特征在于：采用模拟电路及模拟信号运算方法，不需要将输入的模拟信号通过(A/D)转换器转换成数字信号，可以直接对模拟信号进行快速傅立叶反变换(IFFT)，它包括下列部分：

第一级采样保持电路，将输入的N个复数序列模拟信号采样结果保持在该电路中，并按N＝N₁*N₂的分解方式将N个信号分解为N₁行和N₂列的二维序列形式；

第一级傅立叶反变换电路，按列的顺序分N₂次，从所述的第一级采样保持电路中提取数据，每一次从各行中提取一个，共N₁个数据进行第一级N₁点IFFT运算；

旋转因子电路，对所述第一级傅立叶反变换结果进行乘旋转因子运算；

第二级采样保持电路，将旋转因子运算之后的N个数据全部保持在该电路中；

第二级傅立叶反变换电路，按行的顺序分N₁次从所述的第二级采样保持电路中提取N₂个数据进行N₂点IFFT变换，最终得到N个序列的IFFT变换结果。

9、根据权利要求8所述的快速傅立叶反变换模拟数字混合电路，其特征在于：输入N序列为64，且N＝N₁*N₂＝8*8。

10、根据权利要求9所述的快速傅立叶反变换模拟数字混合电路，其特征在于：所述的第一级和第二采样保持电路、旋转因子电路、第一级和第二级傅立叶反变换电路由运算放大器、模拟开关及电容组成。

11、根据权利要求10所述的快速傅立叶反变换模拟数字混合电路，其特征在于：第一级及第二级IFFT变换电路中的输入模拟信号与变换系数的乘积之和或差的运算是由多路输入耦合电容、运算放大器、反馈电容及耦合电容构成的加法电路或减法电路来实现的。

12、用于正交频分多路复用(OFDM)通信系统发射机，基于宽带无线局域网国际标准，包括傅立叶反变换电路，其特征在于：所述的傅立叶反变换电路为权利要求8或9所述的快速傅立叶反变换模拟数字混合电路。

13、根据权利要求12所述的用于正交频分多路复用(OFDM)通信系统发射机，其特征在于：所述宽带无线局域网国际标准为IEEE802.11a或HIPERLAN/2。

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