CN117828876A - 一种mimo雷达稀布平面阵列优化方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种MIMO雷达稀布平面阵列优化方法，确定MIMO雷达平面天线阵列的阵列模糊函数；定义辅助变量将其改写得到变量数简化的二维扩展方向图函数；建立孔径尺寸约束和阵元间距约束作为二维阵元位置约束；以减小二维扩展方向图的主瓣宽度及抑制旁瓣高度为目的，基于二维扩展方向图函数和二维阵元位置约束，通过定义二维扩展方向图的松弛主瓣区域和严格旁瓣区域并采用不同的约束策略，构建针对阵元位置优化设计的数学优化模型；结合数值优化算法和启发式智能搜索算法进行求解得到阵元位置的最优解。采用本发明设计的MIMO雷达稀布平面阵列搭配任何雷达测角方法均能大幅提升测角分辨率和精度，且具有更大的不模糊测角范围。

Description

一种MIMO雷达稀布平面阵列优化方法

技术领域

本发明属于雷达领域，具体涉及一种MIMO雷达稀布平面阵列优化方法。

背景技术

雷达通常和国防、军事领域的应用有关，比如侦察和监测某特定区域的船舶和飞机。然而近年来，除了国防和空中交通管制，雷达开始在许多其他重要的领域备受关注。得益于CMOS技术和AiP(片内封装天线)技术的发展，高集成度、小型化的毫米波雷达芯片应运而生，并开始广泛应用于越来越丰富的应用场景。新兴的雷达应用包括汽车雷达(如自动驾驶)，智能感知雷达(如手势识别、姿态识别、室内定位、监测人们在家里的活动状态)，和健康保健领域的雷达(例如评估生命体征，如呼吸和心跳)等等。

多输入多输出(Multipleinput multipleoutput,MIMO)雷达技术一直受到汽车雷达制造商的极大关注，因为它可以用相对较少的天线数实现很高的角分辨率。除了汽车应用之外，最近MIMO雷达也广泛用于辅助生活的传感器，例如呼吸心跳检测、跌倒检测、手势识别等。为了适应以上应用场景，下一代MIMO雷达传感器必须具备更精细的成像能力，从而能够从点云中获取更多的信息，有利于后续的车辆识别和人体动作识别。无论是汽车雷达还是室内雷达，都对高分辨率、低硬件成本、小尺寸、低延迟提出了迫切需求。

为了满足以上需求，下一代毫米波雷达传感器必须提高对环境的感知能力，在大视场、多目标场景中提高角度分辨率和测角精度。如果角分辨率不够，汽车毫米波雷达可能无法区分远处间隔较近的多目标，也无法得到目标的具体轮廓、形状等细节信息。比如汽车雷达无法区分远处到底有多少辆车，是大货车还是小汽车；室内雷达也无法区分紧靠的两人，以及人体的躯干和四肢，对后续的动作分类识别造成阻碍。所以如何提高毫米波雷达在大视场下的角分辨率和精度成了最迫切需要解决的难题。

众所周知的Rayleigh准则将角度分辨率与传感元件(即天线阵列)的尺寸联系起来，显然更大的天线孔径可以提高角度分辨率。然而，更多的阵元数量也提高了系统复杂度、产品尺寸和成本，不适合实际应用。尽管现有文献中已经研究和开发了克服瑞利准则限制的超分辨算法，但目前超分辨算法的主要缺点是，它们的计算复杂度较高，或需要关于目标数量的先验信息，或需要较高信噪比的环境，或需要多快拍估计协方差矩阵。更好的解决方案是利用多输入多输出(MIMO)雷达的优势。与相控阵系统不同，MIMO雷达通过发射多个正交探测信号，使合成的虚拟孔径比物理孔径更宽，可以提供更高的角度分辨率。虚拟阵列的测角性能不仅与到达方向(DoA)估计算法息息相关，还受发射和接收单元的物理位置的影响。阵列天线的位置和辐射特性会影响一些关键的系统指标，例如传感器的不模糊视场(FoV)、DOA估计中可实现的最佳分辨率和精度、以及雷达的动态范围和抗干扰能力。传统的阵列信号处理技术大多是建立在均匀阵列(或者可恢复成均匀阵列的稀疏阵列)和多快拍测角的基础上，而成像毫米波雷达在某些高速场景或者需要高帧率的场景下，经过距离FFT-速度FFT后，测角通常只有少量快拍甚至单快拍可用，并且商用毫米波雷达传感器产品对价格和尺寸尤为敏感，传统方法几乎无法在硬件成本和计算资源等种种限制下同时实现无模糊和高分辨率。

因此，越来越多的非均匀阵列吸引人们广泛研究和重视，比如稀疏阵列等。但现有的MIMO雷达产品采用稀疏天线阵列排布时，通常都是使用最小冗余阵、互质阵、嵌套阵等稀疏阵列形式，其特点在于阵元位置通常是半波长的整数倍。而这些技术难以解决相干信源的问题，当出现两个相干信号时，测角便会失效，会出现测角模糊，并且这些技术也无法应用于单快拍测角，具有较大局限性。

发明内容

为了解决现有技术中存在的上述问题，本发明提供了一种MIMO雷达稀布平面阵列优化方法。本发明要解决的技术问题通过以下技术方案实现：

一种MIMO雷达稀布平面阵列优化方法，包括：

确定MIMO雷达平面天线阵列的阵列模糊函数；

通过定义辅助变量改写所述阵列模糊函数，得到变量数简化的二维扩展方向图函数；

建立MIMO雷达二维阵列的孔径尺寸约束和阵元间距约束，共同作为二维阵元位置约束；

以减小所述二维扩展方向图的主瓣宽度及抑制旁瓣高度为目的，基于所述二维扩展方向图函数和所述二维阵元位置约束，通过定义所述二维扩展方向图的松弛主瓣区域和严格旁瓣区域，以及对所定义的松弛主瓣区域和严格旁瓣区域采用不同的约束策略，构建针对阵元位置优化设计的数学优化模型；

结合数值优化算法和启发式智能搜索算法，对所述数学优化模型进行求解，得到阵元位置的最优解；其中，得到的阵元位置的最优解是完全不规则二维分布的稀布阵列形态，其位置关系满足所述二维阵元位置约束，其扩展方向图函数满足所述严格旁瓣区域的约束条件。

本发明的有益效果：

本发明实施例所提供的方案中，首先以MIMO雷达平面天线阵列的阵列模糊函数概念为基础，通过引入辅助变量，定义了二维扩展方向图的概念，从而将多变量的二维阵列模糊函数优化问题转化为更简单的扩展方向图优化问题；其次，建立了MIMO雷达二维阵列的阵元间距约束和孔径尺寸约束；然后，为了提高二维测角的分辨率和精度，本发明实施例以减小所述二维扩展方向图的主瓣宽度及抑制旁瓣高度为目的，基于所述二维扩展方向图函数和所述二维阵元位置约束，通过定义所述二维扩展方向图的松弛主瓣区域和严格旁瓣区域，以及对所定义的松弛主瓣区域和严格旁瓣区域采用不同的约束策略，构建针对阵元位置优化设计的数学优化模型，以实现二维扩展方向图主瓣宽度充分窄以及避免测角模糊的目的。最后，结合数值优化算法和启发式智能搜索算法，对所述数学优化模型进行求解，得到阵元位置的最优解；本发明实施例通过将数值优化算法和智能搜索算法的相结合，能够获得非凸问题的全局最优解；并且进一步的，通过在数值优化算法的二维扩展方向图及其梯度的计算过程中使用NUFFT技术，能够大幅提升运算速度。采用本发明实施例方法设计的MIMO雷达稀布平面阵列，搭配任何雷达测角方法，都能够大幅提升测角分辨率和精度，并且具有更大的不模糊测角范围，同时使得所需的天线数量很少，而且阵列的尺寸可以控制，能够满足产品小尺寸、低成本的需要。

附图说明

图1(a)和图1(b)分别为现有技术中傲酷级联成像雷达阵列的示意图和成像效果图；

图2(a)为德州仪器AWR1243P成像雷达的布局示意图；图2(b)为其MIMO阵列12T16R分布示意图；图2(c)为其虚拟阵列192阵元分布示意图；

图3为本发明实施例所提供的一种MIMO雷达稀布平面阵列优化方法的流程示意图；

图4为集中式MIMO雷达平面阵列的示意图；

图5为本发明实施例中阵元位置约束的理解示意图；

图6为本发明实施例针对第一数学优化模型的松弛主瓣区域和严格旁瓣区域的示意图；

图7为本发明实施例针对第二数学优化模型的松弛主瓣区域和严格旁瓣区域的示意图；

图8为本发明实施例第二数学优化模型中矩阵变量S定义的理解示意图；

图9为现有的一款毫米波雷达产品的MIMO天线实物图；

图10的左中右三图分别为该现有的毫米波雷达产品的MIMO天线的发射阵元、接收阵元、MIMO虚拟阵元位置坐标示意图；

图11为现有的毫米波雷达产品的MIMO天线的二维扩展方向图。

具体实施方式

下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例仅仅是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。

为了便于理解本发明实施例方案，在此先对相关技术以及本发明的构思进行概要介绍。

为了提升DOA估计的性能，除了各种超分辨DOA方法例如MUSIC和IAA，非均匀阵列设计也吸引了广泛学者进行研究。近年来，天线单元非均匀布置的天线阵列被分为两大类：稀疏阵列和稀布阵列。稀疏阵列来源于均匀阵列，它是将一定数目的天线单元从均匀间隔阵列中稀疏而形成的，其阵元间距是原均匀阵列的阵元间距的整数倍，例如最小冗余阵、互质阵列和嵌套阵列；稀布阵列的天线单元在天线孔径上随机分布，其阵元间距是相互不可整除的。相对而言，稀布阵列优化布阵无需像稀疏阵列那样约束天线单元在等间隔的规则栅格上，所以优化布阵的自由度更大，有利于更大限度地降低天线阵列的最大相对旁瓣电平，进一步提高稀布天线阵列的旁瓣性能。

目前各大厂商已经开始采用稀疏阵列(如最小冗余阵)的方式提高汽车雷达产品的分辨率，如德国大陆ARS548采用4片级联，12发16收天线MIMO方式，其192个虚拟通道布局请参见现有技术中ARS548 12T16R MIMO的192个虚拟天线阵列布局示意图，在此不做图示说明。

ARS548虚拟阵列水平向孔径约为87个半波长，俯仰向孔径约为49个半波长，对应水平向的3dB波束宽度约为1.32°，俯仰向3dB波束宽度约为2.34°。这是与其选用的天线阵列形式有关，因为ARS548在水平向和俯仰向上采用的是最小冗余阵，从现有技术中ARS54812T16R MIMO的192个虚拟天线阵列布局示意图可知，最小冗余阵可以大幅增大天线孔径，从而减小3dB波束宽度，从理论上讲，可提升方位角和俯仰角测角分辨率。最小冗余阵列的主要目的是增大天线孔径，最大的作用是提高测角精度。但是最小冗余阵缺点是有栅瓣效应，不能用来超分辨。与均匀阵列相比，这也是最小冗余阵列缺点之一。

另一个4D毫米波雷达是美国傲酷的两片级联雷达，准确来说，它是半级联雷达。它的2片级联雷达硬件布局示意图如1(a)所示。

该级联成像雷达2组RF芯片近乎相互独立的工作模式，一组3T4R用来测量水平角度，另一组3T4R用来测量俯仰角。MIMO虚拟后，天线通道数应该是3*4+3*4＝24，不是真正级联意义上的6*8＝48。阵列布局也是水平向上采用最小冗余阵，俯仰向上采用均匀阵列。最小冗余阵列的好处是测角精度会提高，但是因为存在角度模糊，在测角时往往选择最大值，相对雷达法线对称角度上的两个目标往往不能同时被检测出来，如图1(b)所示，其实道路两侧都有护栏和路沿，但是只检测出来信号强度大的一侧的护栏和路沿，信号强度弱的一侧没有被检测出来，这是使用最小冗余阵列的固有缺陷。

美国德州仪器的级联成像雷达方案如图2(a)～图2(c)所示，图2(a)为德州仪器AWR1243P成像雷达的布局示意图；图2(b)为其MIMO阵列12T16R分布示意图；图2(c)为其虚拟阵列192阵元分布示意图。

该方案垂直方向有三个发射天线用于仰角测量，水平方向有九个发射天线用于方位角测量。水平方向上的虚拟阵列是一个半波长间距的密集ULA，由86个元素组成(重叠的虚拟数组元素未显示)。水平方向上的阵列孔径为42.5倍波长，3dB波束宽度约为1.2°。在垂直方向上，虚拟阵列形成了多组最小冗余阵(Minimum Redundancy Arrays,MRA)。MRAs中角度测量需要多个快拍。这些沿水平方向的接收阵元可以为测量俯仰角提供更多快拍。俯仰方向上的阵列孔径为3倍波长，3dB波束宽度约为17°。

诸如最小冗余阵等MIMO稀疏阵列方法，国内外已经有较多成熟的研究，并且逐步开始商用。所以本发明主要研究更新颖的集中式MIMO雷达稀布阵列优化技术。稀布阵列的主要问题是栅瓣可能会给测角带来模糊，在这种情况下，关键问题是如何选择阵元的位置，使得虚拟阵列方向图的峰值旁瓣电平(peak sidelobe level,PSL)最低，并且如何进行测角。对于给定数量的天线，没有解析解来确定达到最小PSL的天线位置。最优稀疏阵列设计通常需要全局优化技术，例如粒子群优化等。

在具有虚拟稀疏或者稀布阵列(SLA)的车载MIMO雷达中，如果虚拟SLA中的空洞可以通过内插或者外插的虚拟阵列变换法填充，便能够减轻栅瓣，可继续使用传统的FFT、ESPRIT等技术测角。如果不用填充，可以使用压缩感知、IAA等技术来完成稀疏阵列或者稀布阵列的测角。在压缩感知中，可以很容易地验证基矩阵的相干性是SLA阵列方向图的PSL。因此，SLA阵列导向矢量的相干性(或等效的方向图PSL)在获得压缩感知的均匀恢复方面起着关键作用。如果方向图的PSL较低，就可以通过压缩感知或IAA来进行无模糊、超分辨的空间谱估计。可以说阵列导向矢量的相干性决定了任何超分辨DOA估计方法能达到的最好性能，本发明可以用现有技术中定义的阵列模糊函数的概念去评估。Vasanelli详细描述了毫米波频率下的MIMO天线配置，采用遗传算法对天线布局进行优化。适应度函数利用了模糊函数的特性，从而有可能控制MIMO天线系统的无模糊区域。为了验证该方法的有效性，设计并测试了一种基于腔体天线阵的五元非均匀天线结构。2018年，邹乐研究了利用阵列模糊函数作为适应度函数的遗传算法对天线阵列布局进行优化，证明了算法的有效性，可以分辨出两个目标，改善了阵列DOA估计效果。现有技术中，个别研究描述了一种MIMO三发四收稀布阵列前端天线位置和窗函数权值的模拟退火联合优化方法，并考虑了主瓣宽度和旁瓣高度的权衡。亦有相关技术设计了一整套采用片上频率合成器的高分辨率160GHz成像MIMO雷达系统，同样采用遗传算法优化阵列模糊函数，使得PSL达到-9dB，64元虚拟阵列的角分辨率优于1.5°。现有技术中有采用矩阵补全的方法来恢复相应的虚拟均匀线阵，但这种方法仍然需要多快拍，并不实用。2020年，德国乌尔姆大学的Di Seri等人提出了一种用于多输入多输出雷达的二维阵列(2-D-MIMO)性能评估和设计方法，并使用遗传算法优化了二维MIMO阵列，对本发明具有指导意义。2021年，现有技术中有提出了一种两步综合方法，采用稀疏的收发阵列提高MIMO雷达虚拟阵列的波束宽度和旁瓣电平，利用Vayyar公司的Walabot-60GHz雷达进行了实验验证。除此之外，还有多个现有技术分别采用不同的方法联合设计了阵元位置和权矢量。

但是，现有的MIMO雷达产品采用稀疏天线阵列排布时，通常都是使用最小冗余阵、互质阵、嵌套阵等稀疏阵列形式，其特点在于阵元位置通常是半波长的整数倍。而这些技术难以解决相干信源的问题，当出现两个相干信号时，测角便会失效，会出现测角模糊，并且这些技术也无法应用于单快拍测角，具有较大局限性。如何应对目前学术界和工程界对MIMO雷达提出的高分辨率二维测角、无模糊的需求，本发明展开了相关研究。

简要来说，本发明方法主要从稀布平面阵列优化的角度进行突破，建立新颖的约束优化模型，研究先进的数值求解算法，开发实用的混合算法，并围绕着天线阵列设计、阵列信号处理中的若干问题进行理论创新，并注重研究成果的实际应用与落地转化。实验证实，相较于同等孔径、同等天线数量的现有的各种稀疏阵列和稀布阵列，采用本发明方法设计的稀布平面阵列可以大幅提升MIMO雷达的测角分辨率和精度，并且具有大范围的不模糊探测视野(FoV)，而且适用于大部分常用的单快拍二维测角方法。以下进行具体说明。

如图3所示，本发明实施例提供了一种MIMO雷达稀布平面阵列优化方法，可以包括如下步骤：

S1，确定MIMO雷达平面天线阵列的阵列模糊函数；

本发明实施例中，以集中式MIMO雷达天线阵列为例，其由布置在xoz平面上的M个发射天线和N个接收天线组成，每个天线作为一个阵元，M和N为大于0的正整数。目前主要的毫米波MIMO雷达系统大多采用收发分置的配置，即发射天线和接收天线位于不同位置，如图4所示，Target表示目标，橙色贴片和蓝色贴片分别表示接收天线和发射天线。和/>分别表示雷达的前视方位角和前视俯仰角，取值范围是

M个发射阵元和N个接收阵元的x坐标和z坐标可以表示为：

假设目标target位于天线阵列的远场，因此平面波经目标反射后，每根天线接收信号的入射角度是相同的。考虑阵元各向同性辐射的理想情况下，来自方位角为俯仰角为/>方向的信号的发射导向矢量和接收导向矢量可以写为：

其中，公式(2)中的j表示虚数单位；λ表示自由空间波长。

MIMO雷达的虚拟阵列导向矢量可以用发射导向矢量和接收导向矢量的克罗内克积计算得到：

在阵列信号处理中，以阵列对任意两个来波方向导向矢量的夹角余弦衡量阵列对任意两个方向的分辨能力，该余弦函数也称为阵列模糊函数，因此，所述MIMO雷达平面天线阵列的阵列模糊函数，可以表示为：

其中，和/>分别表示前视坐标系下雷达的前视方位角和前视俯仰角；可以看出，平面阵列的阵列模糊函数有四个变量/>和/>的下标j表示真实的目标方向，下标i表示估计的目标方向；/>分别表示对应目标方向的MIMO雷达的虚拟阵列导向矢量；M表示发射阵元数；N表示接收阵元数；λ表示自由空间波长；x_t,m表示M个发射阵元X方向的坐标向量x_t中的第m个元素；z_t,m表示M个发射阵元Z方向的坐标向量z_t中的第m个元素；x_r,n表示N个接收阵元X方向的坐标向量x_r中的第n个元素；z_r,n表示N个接收阵元Z方向的坐标向量z_r中的第n个元素；其中，M，m，M，n为大于0的整数。

S2，通过定义辅助变量改写所述阵列模糊函数，得到变量数简化的二维扩展方向图函数；

为了简化公式(4)所示的平面阵的阵列模糊函数中的多个变量，S2可以包括以下步骤：

定义辅助变量u和v：

将所述阵列模糊函数改写为u，v的函数，将改写后的函数称为二维扩展方向图函数，简称为EBP，所述二维扩展方向图函数表示为：

其中，表示阵元位置坐标构成的向量。由于本发明实施例主要关注如何优化阵元位置，所以公式(6)中阵元位置坐标构成的向量d也成为了变量，是本发明实施例的求解目标。

本发明实施例中，得到变量数简化的二维扩展方向图函数之后，所述方法还包括：

1)获取不模糊探测视野FoV、单个阵元辐射方向图的E面和H面的波束宽度；

2)基于获取的不模糊探测视野FoV、单个阵元辐射方向图的E面和H面的波束宽度，以及预先推导的感兴趣区域ROI的表达式，确定u和v的取值范围。

其中，所述感兴趣区域ROI的表达式的推导过程包括：

①假设和/>定义用户期望的雷达测角时的不模糊探测视野FoV；

②假设区间和/>分别描述单个阵元辐射方向图的E面和H面的波束宽度；

其中，

③将u和v的取值范围称为感兴趣区域ROI，推导得到感兴趣区域ROI的表达式为：

其中，u的取值范围为[u_min，u_max]；v的取值范围为[v_min，v_max]。

具体的，在预先分析中，针对公式(6)所示的二维扩展方向图函数，为了确定u和v的取值范围，假设和/>定义了用户期望的雷达测角时的不模糊探测视野FoV。由于正交波形MIMO雷达的辐射特性等效于单个发射天线的辐射特性，可探测到的真实目标角度的取值范围取决于单个天线的辐射方向图，因此本发明实施例假设区间和/>分辨描述了单个天线辐射方向图的E面和H面的波束宽度，例如-6dB波束宽度，那么当目标超出这一范围时，雷达可以认为没有检测到该目标。如果可以轻松推导出u和v的取值范围，称为感兴趣区域ROI，其表达式如公式(7)所示。

那么，在实际进行阵元位置优化设计时，需要获取用户期望的雷达测角时的不模糊探测视野FoV：和/>以及单个阵元辐射方向图的E面和H面的波束宽度：/>和/>将/>θ_min，θ_max代入上述公式(7)计算u_min和v_min，得到u和v的取值范围，以确定实际设计时u和v所属的范围数值。

S3，建立MIMO雷达二维阵列的孔径尺寸约束和阵元间距约束，共同作为二维阵元位置约束；

可选的一种实施方式中，请参见图5理解，建立MIMO雷达二维阵列的孔径尺寸约束和阵元间距约束，可以包括以下步骤：

S31，建立MIMO雷达二维阵列的孔径尺寸约束，包括：发射阵列的x方向最大孔径尺寸X_t、接收阵列的x方向最大孔径尺寸X_r、发射阵列的z方向最大孔径尺寸Z_t、接收阵列的z方向最大孔径尺寸Z_r；

具体的，二维阵元位置约束比一维情况要复杂得多，二维阵元位置约束中包括孔径尺寸约束，其包含：发射阵列的x方向最大孔径尺寸X_t、接收阵列的x方向最大孔径尺寸X_r、发射阵列的z方向最大孔径尺寸Z_t、接收阵列的z方向最大孔径尺寸Z_r，分别表示为：

S32，建立MIMO雷达二维阵列的阵元间距约束，包括：发射天线之间的x方向最小间距Δx_t、发射天线之间的z方向最小间距Δz_t、接收天线之间的x方向最小间距Δx_r、接收天线之间的z方向最小间距Δz_r；

具体的，为了考虑天线尺寸避免重叠并且减小互耦效应，二维阵元位置约束还包括阵元间距约束，其包括：发射天线之间的x方向最小间距Δx_t、发射天线之间的z方向最小间距Δz_t、接收天线之间的x方向最小间距Δx_r、接收天线之间的z方向最小间距Δz_r，具体表示为：

上述公式(9)可以改写为：

S33，通过将第一个发射天线和第一个接收天线固定在原点作为第一个MIMO虚拟阵元的参考位置，引入凝聚函数将所述孔径尺寸约束和所述阵元间距约束进行改写；

由于公式(8)和(10)中的最大值和最小值函数是非光滑的，传统的基于梯度的约束优化技术在求解这些问题时可能会遇到困难。为了平滑在约束中出现的多个最大值函数和最小值函数，如下引入凝聚函数：

其中，x为变量；p>0，为平滑参数。凝聚函数通常用于近似最大值或最小值函数，有以下不等式成立：

其中，I为凝聚函数中子函数f_i(x)的个数。

虽然可以使用凝聚函数来平滑这些函数，但它会增加计算复杂度，尤其是当阵元数量较多时。更好的方法是先按照x坐标对阵元进行排序，然后可以施加线性不等式约束来替换(8)中的一些非光滑约束。由于EBP仅取决于阵元的相对位置而不是绝对位置，因此第一个发射天线和第一个接收天线可以固定在原点，作为第一个MIMO虚拟阵元的参考位置。因此，(8)和(10)可以重写为：

x_t,1＝z_t,1＝x_r,1＝z_r,1＝0

x_t,m-x_t,m-1≥0,m＝2,...,M

x_r,n-x_r,n-1≥0,n＝2,...,N

x_t,M≤X_t

x_r,N≤X_r

(m₁<m₂,m₁＝1,...,M-1,m₂＝2,...,M)

max{x_r,n2-x_r,n1-Δx_r,|z_r,n2-z_r,n1|-Δz_r}≥0

(n₁<n₂,n₁＝1,...,N-1,n₂＝2,...,N) (13)；

S34，针对改写后的孔径尺寸约束和阵元间距约束，将其中的线性不等式写为矩阵向量形式，非线性不等式写为凝聚函数形式，得到最终建立的二维阵元位置约束。

针对公式(13)，将其中的线性不等式写为矩阵向量形式，非线性不等式写为凝聚函数形式，得到：

其中，公式(14)中的参数请见以下多个公式对应的公式(15)。

以上公式(14)、(15)为最终建立的二维阵元位置约束。本发明实施例建立了MIMO雷达平面阵列的阵元间距约束和孔径尺寸约束，这样可以使得优化后的天线位置不会重叠或者过近，设备尺寸也不会超出限制。

S4，以减小所述二维扩展方向图的主瓣宽度及抑制旁瓣高度为目的，基于所述二维扩展方向图函数和所述二维阵元位置约束，通过定义所述二维扩展方向图的松弛主瓣区域和严格旁瓣区域，以及对所定义的松弛主瓣区域和严格旁瓣区域采用不同的约束策略，构建针对阵元位置优化设计的数学优化模型；

本发明实施例中，构建中的数学优化模型至少包括第一数学优化模型和第二数学优化模型，以下分别进行说明。

(1)针对第一数学优化模型，S4可以包括以下步骤：

A1，利用方形定义所述二维扩展方向图的松弛主瓣区域，将所述二维扩展方向图的感兴趣区域ROI中，定义的松弛主瓣区域之外的区域，定义为严格旁瓣区域；

首先，本发明实施例需要定义二维扩展方向图的松弛主瓣区域和严格旁瓣区域。在第一数学优化模型中，松弛主瓣区域定义为：

Ω_ROIslack＝{(u,v)|-γ≤u≤γ,-γ≤v≤γ} (16)；

其中，第一数学优化模型中把松弛主瓣区域定义为方形，γ∈(0,min{u_max,v_max})，为方形的松弛主瓣区域的边长，可以任意设置，建议尽量大于初始的主瓣宽度。二维扩展方向图的感兴趣区域ROI中，除了该松弛主瓣区域以外的区域定义为严格旁瓣区域，即：

Ω_ROIstrict＝Ω_ROI-Ω_ROIslack (17)；

如图6所示，图6为本发明实施例针对第一数学优化模型的松弛主瓣区域和严格旁瓣区域的示意图。其中，Slack Mainlobe Region表示松弛主瓣区域，Strict SidelobeRegion表示严格旁瓣区域。

A2，根据所述二维扩展方向图的对称性，将感兴趣区域ROI、松弛主瓣区域、严格旁瓣区域的一半作为考虑优化的区域；

二维扩展方向图的对称性使得优化可以只考虑其中一半区域，例如：

其中，Ω、Ω_slack、Ω_strict分别为Ω_ROI、Ω_ROIslack、Ω_ROIstrict的一半区域。

A3，针对考虑的严格旁瓣区域和松弛主瓣区域采用不同的约束策略，得到约束表达式；

本发明实施例中，为了实现具有窄主瓣和低旁瓣的EBP，将对松弛主瓣区域和严格旁瓣区域采用不同的约束策略，具体的，对严格旁瓣区域采用的约束策略为施加严格的约束以限制所述二维扩展方向图函数的幅度低于给定电平；即在Ω_strict中，施加严格的约束以限制EBP的幅度低于给定的SLL，例如∈。对松弛主瓣区域采用的约束策略为引入预设的二元函数s(u,v)，以允许所述二维扩展方向图函数高于所述给定电平；即在Ω_slack中，引入二元函数s(u,v)≥0,(u,v)∈Ω_slack以允许EBP高于旁瓣电平∈。所以约束表达式可以为：

其中，s.t.表示约束，从上式(19)可以看出，式(14)是其中一项约束；|AF(d,u,v)|²是对EBP函数进行平滑。

A4，基于所述预设的二元函数s(u,v)的均匀采样，定义一个矩阵变量S；

具体的，S被定义为：其包含了s(u,v)的L×K个均匀采样。

A5，利用定义的矩阵变量S将所述约束表达式进行离散化，得到离散化约束表达式；

具体的，利用矩阵变量S将式(19)写为离散形式，并简化为：

其中，k和l表示松弛主瓣区域采样点u_k,v_l的索引号；e表示严格旁瓣区域采样点的索引号；E表示严格旁瓣区域采样点的数量。

为了确保主瓣区域有效的松弛，需要保证，矩阵变量S的每个元素非负，即：

s_kl≥0, k＝1,…,K, l＝1,…,L (21)；

这样可以保证约束(20)是可行的。

A6，为保证S的单调性与所述二维扩展方向图的主瓣区域的梯度一致，施加S的单调性约束；

S作为松弛矩阵，单调性需要与EBP主瓣区域的梯度一致，具体请见图6理解。通过观察，可以发现它们从中心向外围呈放射状单调下降。因此，考虑采样点0≤u_k<u_k+1和v_l<v_l+1，可以给出以下约束：

式(22)可写为矩阵向量形式：

其中，

其中，s′_l表示S^T的第l列，s_k表示S的第k列。

A7，基于得到的所有约束，通过稀疏化S建立稀疏优化模型，并对所述稀疏优化模型进行松弛处理，得到第一数学优化模型。

根据式(20)，如果优化后S中为零的元素越多，那么说明EBP的主瓣越窄。所以可以通过稀疏化S使得EBP的主瓣变窄，从而提高角分辨率。结合先前提到的各种约束条件式(14)、(20)、(21)、(23)，可以建立以下稀疏优化模型：

考虑到目标函数||S||₀为零范数难以求解，可以对它进行松弛处理，例如松弛为log-sum-exp凸函数。多个非线性不等式约束也可以通过引入辅助变量w_kl,w_e松弛成为等式约束，得到第一数学优化模型：

针对该模型可以采用数值优化算法求解，求解后将得到优化后的MIMO雷达阵元位置d。具体求解部分的说明请参见S5。

(2)针对第二数学优化模型，S4可以包括以下步骤：

B1，利用圆形或者椭圆形定义二维扩展方向图的松弛主瓣区域，将二维扩展方向图的感兴趣区域ROI中，定义的松弛主瓣区域之外的区域，定义为严格旁瓣区域；

构建第一数学优化模型过程中把松弛主瓣区域定义为方形。在构建第二数学优化模型过程中，可以将松弛主瓣区域定义为圆形或者椭圆形：

其中，a∈(0,u_max)和b∈(0,v_max)，分别表示椭圆的长轴和短轴，可以任意设置，建议尽量大于初始的主瓣宽度，可以理解的是，当a＝b时即为圆形。二维扩展方向图的感兴趣区域ROI中，除了该松弛主瓣区域以外的区域定义为严格旁瓣区域。

B2，根据所述二维扩展方向图的对称性，将感兴趣区域ROI、松弛主瓣区域、严格旁瓣区域的一半作为考虑优化的区域；

由于EBP的对称性，同样，可以只考虑其一半区域，如图7所示，展示了当椭圆的长轴与短轴相等(即圆形)的情况。

B3，针对考虑的严格旁瓣区域和松弛主瓣区域采用不同的约束策略，得到约束表达式；

同样地，如式(19)所示，对松弛主瓣区域和严格旁瓣区域施加不同的约束。

其中，对严格旁瓣区域采用的约束策略为施加严格的约束以限制所述二维扩展方向图函数的幅度低于给定电平；对松弛主瓣区域采用的约束策略为引入预设的二元函数，以允许所述二维扩展方向图函数高于所述给定电平。

B4，基于所述预设的二元函数的环形或椭环形采样，定义一个矩阵变量S；

和构建第一数学优化模型类似，此处也需要将对松弛主瓣区域和严格旁瓣区域施加的约束进行离散化。但是离散化的过程与构建第一数学优化模型有所不同。由于第二数学优化模型中的松弛主瓣区域是圆形或者椭圆形，无法像第一数学优化模型那样均匀采样，所以，此处改变对矩阵变量S的定义，将其定义为：

式(28)所示的S包含了s(u,v)的K×L个采样值，采样点沿环形或者椭环形分布，如图8所示。图8为本发明实施例第二数学优化模型中矩阵变量S定义的理解示意图。

B5，利用定义的矩阵变量S将所述约束表达式进行离散化，得到离散化约束表达式；

该步骤的处理方式同构建第一数学优化模型过程中相应步骤采用的式(20)(21)一样，仍然需要保证S的每个元素非负。

B6，为保证S的单调性与所述二维扩展方向图的主瓣区域的梯度一致，构建预设的目标函数，所述预设的目标函数隐含S的单调性信息；

在构建第一数学优化模型的过程中，本发明实施例还施加了S的单调性约束，具体式(23)理解，而在第二数学优化模型中，本发明实施例无需施加单调性约束，这样可以简化模型的复杂度。

为了实现上述目的，本发明实施例构建隐含S的单调性信息的预设的目标函数。

其中，所述预设的目标函数包括多米诺目标函数，观察到图8的s_k1,s_k2,…,s_kL在同一等高线上，所以它们的值应该保持相等，于是构建多米诺目标函数的第一步是对这些值求极大值，并使用凝聚函数近似：

观察到图8一共有K条等高线，多米诺目标函数表示为如下零范数的形式：

其中，其中，g₁(S)表示所述多米诺目标函数；s_k表示S的第k行元素组成的向量；f_p(s_k)表示S的第k行元素的凝聚函数，用来近似他们的最大值；1≤k≤K；K表示S的行数；p表示凝聚函数的平滑因子；L表示S的列数；s_kl表示S的第k行第l列元素。

与构建第一数学优化模型过程中式(25)这种普通稀疏化模型不同，式(30)的多米诺目标函数实际上给予了图8中越靠近外圈的变量越大的优化优先级，从而可以包含S的单调性信息，所以无需再施加额外的单调性约束。

除了多米诺目标函数以外，还有其他形式的目标函数也可以包含S的单调性信息，比如，所述预设的目标函数包括目标函数g₂(S)，所述目标函数g₂(S)表示为：

g₂(S)＝Kf_p(s₁)+(K-1)f_p(s₂)+...+2f_p(s_K-1)+f_p(s_K) (31)；

其中，所述目标函数g₂(S)用于对所述二维扩展方向图的松弛主瓣区域的外圈等高线施加更大的权重，对内圈等高线施加更小的权重。目标函数g₂(S)与多米诺目标函数g₁(S)的设计思想是相同的，均是隐含了单调性信息从而无需施加额外的单调性约束。

当然，本发明实施例预设的目标函数并不限于上述示例出的两种函数形式，任何满足上述设计思想的函数形式均可以纳入到本发明实施例预设的目标函数的范围之内。

B7，基于得到的所有约束和所述预设的目标函数建立稀疏优化模型，并基于对所述稀疏优化模型进行松弛处理，得到第二数学优化模型。

以多米诺目标函数为例，将式(30)约束条件(14)(20)(21)结合，建立多米诺优化模型，得到第二数学优化模型为：

同样考虑到目标函数里的0范数难以求解，可以将其松弛为log-sum-exp凸函数：

再引入辅助变量w_kl,w_e把式(32)中的非线性不等式约束松弛为等式约束，得到：

此时，该模型可以采用数值优化算法求解，求解后将得到优化后的MIMO雷达阵元位置d，具体请参见S5。

综上可见，本发明实施例提出了两种数学优化模型，这两种数学优化模型均需要先设置松弛主瓣区域和严格旁瓣区域的概念，然后对松弛主瓣区域和严格旁瓣区域采用不同的约束策略。特别是在第二种数学优化模型中，本发明实施例构建预设的目标函数以隐含S的单调性信息，从而省去了单调性约束条件，可以简化模型的复杂度。

S5，结合数值优化算法和启发式智能搜索算法，对所述数学优化模型进行求解，得到阵元位置的最优解；

通过S5的求解，可以得到优化后的MIMO雷达阵元位置d。

其中，得到的阵元位置的最优解是完全不规则二维分布的稀布阵列形态，其位置关系满足所述二维阵元位置约束，其扩展方向图函数满足所述严格旁瓣区域的约束条件。本发明实施例方法设计出的稀布阵列形态的特点在于阵元位置是完全不规则分布的，并且可以解决前述稀疏阵列的缺点。

其中，所述数值优化算法用于求解所述数学优化模型；所述数值优化算法包括交替方向乘子法、序列二次规划法、梯度下降法，具体在此不做限制；所述数值优化算法的求解过程还包括使用NUFFT加速计算所述二维扩展方向图函数及其梯度函数。

具体的，在求解模型的数值优化算法过程中，需要多次计算EBP函数及其梯度函数。考虑到直接计算的速度太慢，为了提高计算效率，本发明实施例提出使用非均匀快速傅里叶变换(简称NUFFT)来加速计算EBP函数及其梯度函数。本发明实施例是第一次在MIMO雷达稀布阵列优化中使用了数值优化算法及NUFFT技术，该方式在一维线阵、二维平面阵均可应用。

由于本发明实施例的第一数学优化模型和第二数学优化模型都是非凸问题，为了提高求解非凸问题的效率，在采用数值优化算法求解之前，可以先使用启发式智能搜索算法，例如遗传算法、模拟退火算法、粒子群优化算法等，以获得一个比较良好的初始解，再使用数值优化算法求解，可以对MIMO雷达稀布平面阵列优化得到最佳的阵元位置。其中，具体求解过程请参见相关技术理解，在此不做详细说明。

本发明实施例所提供的方案中，首先以MIMO雷达平面天线阵列的阵列模糊函数概念为基础，通过引入辅助变量，定义了二维扩展方向图的概念，从而将多变量的二维阵列模糊函数优化问题转化为更简单的扩展方向图优化问题；其次，建立了MIMO雷达二维阵列的阵元间距约束和孔径尺寸约束；然后，为了提高二维测角的分辨率和精度，本发明实施例以减小所述二维扩展方向图的主瓣宽度及抑制旁瓣高度为目的，基于所述二维扩展方向图函数和所述二维阵元位置约束，通过定义所述二维扩展方向图的松弛主瓣区域和严格旁瓣区域，以及对所定义的松弛主瓣区域和严格旁瓣区域采用不同的约束策略，构建针对阵元位置优化设计的数学优化模型，以实现二维扩展方向图主瓣宽度充分窄以及避免测角模糊的目的。最后，结合数值优化算法和启发式智能搜索算法，对所述数学优化模型进行求解，得到阵元位置的最优解。本发明实施例通过将数值优化算法和智能搜索算法的相结合，能够获得非凸问题的全局最优解；并且进一步的，通过在数值优化算法的二维扩展方向图及其梯度的计算过程中使用NUFFT技术，能够大幅提升运算速度。采用本发明实施例方法设计的MIMO雷达稀布平面阵列，搭配任何雷达测角方法，都能够大幅提升测角分辨率和精度，并且具有更大的不模糊测角范围，同时使得所需的天线数量很少，而且阵列的尺寸可以控制，能够满足产品小尺寸、低成本的需要。

为了便于理解本发明实施例的方案，以下给出一个具体的实例。

某公司采用本发明实施例方法设计一款用于自动驾驶或者智能家居的毫米波雷达产品，该产品拆开外壳后，其MIMO天线采用非均匀稀布平面阵列形态，如图9的左右两图示意，其发射阵元、接收阵元、MIMO虚拟阵元位置坐标如图10的左中右三图所示。

并且通过数学计算后，该MIMO阵列具备以下特点：

1.阵元的分布看似完全不规则排列，其位置坐标通常都不存在倍数关系，即最大公约数为1。

2.发射阵列和接收阵列的孔径尺寸控制在一定的范围内，如公式(8)和图9方框范围所示。

3.两两阵元位置的x坐标间隔和z坐标间隔都大于某一值，例如半波长，如公式(9)所示。

4.根据公式(6)计算该MIMO阵列的二维扩展方向图函数，其感兴趣区域(例如Ω_ROI＝{(u,v)∣-1.5≤u≤1.5,-1≤v≤1})内的旁瓣电平都低于某一值，例如-6dB，并且主瓣宽度也尽可能的窄，如图11所示；

5.设计该阵列的过程中使用了本发明实施例方法。

可见，应用本发明实施例方法可以有效对MIMO雷达稀布平面阵列的阵元位置进行优化设计。

其中，本发明实施例方法的关键点之一在于MIMO雷达稀布平面阵列的形态，如图4、图5，以及参考图9、图10所示，阵元位置看似是完全不规则二维分布的(不存在半波长的倍数关系)，并且通常只需要较少的天线数量，例如三发四收、四发四收、六发八收等。稀布阵列的形态是采用本发明的方法设计的MIMO雷达天线阵列的最显著的特征。可以通过对现有毫米波雷达产品的MIMO阵列形态进行上述分析以判定是否采用本发明实施例方法设计得到。

本发明实施例的技术方案通常用来改善毫米波MIMO雷达的测角性能，例如测角分辨率、测角精度、测角无模糊等。并且采用本发明实施例方法设计的阵列常常与超分辨测角方法在一起配合使用。比如若某公司宣传其毫米波雷达产品具备超分辨测角的特性，拆开该产品外壳后其MIMO阵列形态符合实施例一提到的各项特点则确定其采用本发明实施例方法设计得到。又比如，某公司采用本发明实施例方法设计了一款毫米波雷达芯片，其MIMO天线采用片内封装天线(AiP)形式，通过数学计算后，该MIMO阵列具备上述实例提到的各项特点，则确定其采用本发明实施例方法设计得到。

以上所述仅为本发明的较佳实施例而已，并非用于限定本发明的保护范围。凡在本发明的精神和原则之内所作的任何修改、等同替换、改进等，均包含在本发明的保护范围内。

Claims (10)

1.一种MIMO雷达稀布平面阵列优化方法，其特征在于，包括：

确定MIMO雷达平面天线阵列的阵列模糊函数；

通过定义辅助变量改写所述阵列模糊函数，得到变量数简化的二维扩展方向图函数；

建立MIMO雷达二维阵列的孔径尺寸约束和阵元间距约束，共同作为二维阵元位置约束；

以减小所述二维扩展方向图的主瓣宽度及抑制旁瓣高度为目的，基于所述二维扩展方向图函数和所述二维阵元位置约束，通过定义所述二维扩展方向图的松弛主瓣区域和严格旁瓣区域，以及对所定义的松弛主瓣区域和严格旁瓣区域采用不同的约束策略，构建针对阵元位置优化设计的数学优化模型；

结合数值优化算法和启发式智能搜索算法，对所述数学优化模型进行求解，得到阵元位置的最优解；其中，得到的阵元位置的最优解是完全不规则二维分布的稀布阵列形态，其位置关系满足所述二维阵元位置约束，其扩展方向图函数满足所述严格旁瓣区域的约束条件。

2.根据权利要求1所述的MIMO雷达稀布平面阵列优化方法，其特征在于，所述MIMO雷达平面天线阵列的阵列模糊函数，表示为：

其中，和/>分别表示前视坐标系下雷达的前视方位角和前视俯仰角；/>和/>的下标j表示真实的目标方向，下标i表示估计的目标方向；/>分别表示对应目标方向的MIMO雷达的虚拟阵列导向矢量；M表示发射阵元数；N表示接收阵元数；λ表示自由空间波长；x_tm表示M个发射阵元X方向的坐标向量x_t中的第m个元素；z_t,m表示M个发射阵元Z方向的坐标向量z_t中的第m个元素；x_r,n表示N个接收阵元X方向的坐标向量x_r中的第n个元素；z_r,n表示N个接收阵元Z方向的坐标向量z_r中的第n个元素；

相应的，所述通过定义辅助变量改写所述阵列模糊函数，得到变量数简化的二维扩展方向图函数，包括：

定义辅助变量u和v：

将所述阵列模糊函数改写为u，v的函数，将改写后的函数称为二维扩展方向图函数，所述二维扩展方向图函数表示为：

其中，表示阵元位置坐标构成的向量。

3.根据权利要求2所述的MIMO雷达稀布平面阵列优化方法，其特征在于，得到变量数简化的二维扩展方向图函数之后，所述方法还包括：

获取不模糊探测视野FoV、单个阵元辐射方向图的E面和H面的波束宽度；

基于获取的不模糊探测视野FoV、单个阵元辐射方向图的E面和H面的波束宽度，以及预先推导的感兴趣区域ROI的表达式，确定u和v的取值范围。

4.根据权利要求3所述的MIMO雷达稀布平面阵列优化方法，其特征在于，所述感兴趣区域ROI的表达式的推导过程包括：

假设和/>定义用户期望的雷达测角时的不模糊探测视野FoV；

假设区间和/>分别描述单个阵元辐射方向图的E面和H面的波束宽度；其中，/>

将u和v的取值范围称为感兴趣区域ROI，推导得到感兴趣区域ROI的表达式为：

其中，u的取值范围为[u_min，u_max]；v的取值范围为[v_min，v_max]。

5.根据权利要求1所述的MIMO雷达稀布平面阵列优化方法，其特征在于，所述建立MIMO雷达二维阵列的孔径尺寸约束和阵元间距约束，包括：

建立MIMO雷达二维阵列的孔径尺寸约束，包括：发射阵列的x方向最大孔径尺寸X_t、接收阵列的x方向最大孔径尺寸X_r、发射阵列的z方向最大孔径尺寸Z_t、接收阵列的z方向最大孔径尺寸Z_r；

建立MIMO雷达二维阵列的阵元间距约束，包括：发射天线之间的x方向最小间距Δx_t、发射天线之间的z方向最小间距Δz_t、接收天线之间的x方向最小间距Δx_r、接收天线之间的z方向最小间距Δz_r；

通过将第一个发射天线和第一个接收天线固定在原点作为第一个MIMO虚拟阵元的参考位置，引入凝聚函数将所述孔径尺寸约束和所述阵元间距约束进行改写；

针对改写后的孔径尺寸约束和阵元间距约束，将其中的线性不等式写为矩阵向量形式，非线性不等式写为凝聚函数形式，得到最终建立的二维阵元位置约束。

6.根据权利要求5所述的MIMO雷达稀布平面阵列优化方法，其特征在于，所述以减小所述二维扩展方向图的主瓣宽度及抑制旁瓣高度为目的，基于所述二维扩展方向图函数和所述二维阵元位置约束，通过定义所述二维扩展方向图的松弛主瓣区域和严格旁瓣区域，以及对所定义的松弛主瓣区域和严格旁瓣区域采用不同的约束策略，构建针对阵元位置优化设计的数学优化模型，包括：

利用方形定义所述二维扩展方向图的松弛主瓣区域，将所述二维扩展方向图的感兴趣区域ROI中，定义的松弛主瓣区域之外的区域，定义为严格旁瓣区域；

根据所述二维扩展方向图的对称性，将感兴趣区域ROI、松弛主瓣区域、严格旁瓣区域的一半作为考虑优化的区域；

针对考虑的严格旁瓣区域和松弛主瓣区域采用不同的约束策略，得到约束表达式；其中，对严格旁瓣区域采用的约束策略为施加严格的约束以限制所述二维扩展方向图函数的幅度低于给定电平；对松弛主瓣区域采用的约束策略为引入预设的二元函数s(u,v)，以允许所述二维扩展方向图函数高于所述给定电平；

基于所述预设的二元函数s(u,v)的均匀采样，定义一个矩阵变量S；

利用定义的矩阵变量S将所述约束表达式进行离散化，得到离散化约束表达式；其中，矩阵变量S的每个元素非负；

为保证S的单调性与所述二维扩展方向图的主瓣区域的梯度一致，施加S的单调性约束；

基于得到的所有约束，通过稀疏化S建立稀疏优化模型，并对所述稀疏优化模型进行松弛处理，得到第一数学优化模型。

7.根据权利要求5所述的MIMO雷达稀布平面阵列优化方法，其特征在于，所述以减小所述二维扩展方向图的主瓣宽度及抑制旁瓣高度为目的，基于所述二维扩展方向图函数和所述二维阵元位置约束，通过定义所述二维扩展方向图的松弛主瓣区域和严格旁瓣区域，以及对所定义的松弛主瓣区域和严格旁瓣区域采用不同的约束策略，构建针对阵元位置优化设计的数学优化模型，包括：

利用圆形或者椭圆形定义二维扩展方向图的松弛主瓣区域，将二维扩展方向图的感兴趣区域ROI中，定义的松弛主瓣区域之外的区域，定义为严格旁瓣区域；

根据所述二维扩展方向图的对称性，将感兴趣区域ROI、松弛主瓣区域、严格旁瓣区域的一半作为考虑优化的区域；

针对考虑的严格旁瓣区域和松弛主瓣区域采用不同的约束策略，得到约束表达式；其中，对严格旁瓣区域采用的约束策略为施加严格的约束以限制所述二维扩展方向图函数的幅度低于给定电平；对松弛主瓣区域采用的约束策略为引入预设的二元函数，以允许所述二维扩展方向图函数高于所述给定电平；

基于所述预设的二元函数的环形或椭环形采样，定义一个矩阵变量S；

利用定义的矩阵变量S将所述约束表达式进行离散化，得到离散化约束表达式；其中，矩阵变量S的每个元素非负；

为保证S的单调性与所述二维扩展方向图的主瓣区域的梯度一致，构建预设的目标函数，所述预设的目标函数隐含S的单调性信息；

基于得到的所有约束和所述预设的目标函数建立稀疏优化模型，并基于对所述稀疏优化模型进行松弛处理，得到第二数学优化模型。

8.根据权利要求1-7任一项所述的MIMO雷达稀布平面阵列优化方法，其特征在于，所述预设的目标函数包括多米诺目标函数，所述多米诺目标函数表示为如下零范数的形式：

其中，

其中，g₁(S)表示所述多米诺目标函数；s_k表示S的第k行元素组成的向量；f_p(s_k)表示S的第k行元素的凝聚函数，用来近似他们的最大值；1≤k≤K；K表示S的行数；p表示凝聚函数的平滑因子；L表示S的列数；s_kl表示S的第k行第l列元素。

9.根据权利要求1-7任一项所述的MIMO雷达稀布平面阵列优化方法，其特征在于，所述预设的目标函数包括目标函数g₂(S)，所述目标函数g₂(S)表示为：

g₂(S)＝Kf_p(s₁)+(K-1)f_p(s₂)+...+2f_p(s_K-1)+f_p(s_K)；

其中，所述目标函数g₂(S)用于对所述二维扩展方向图的松弛主瓣区域的外圈等高线施加更大的权重，对内圈等高线施加更小的权重。

10.根据权利要求1所述的MIMO雷达稀布平面阵列优化方法，其特征在于，所述数值优化算法用于求解所述数学优化模型；所述数值优化算法包括交替方向乘子法、序列二次规划法、梯度下降法；所述数值优化算法的求解过程还包括使用NUFFT加速计算所述二维扩展方向图函数及其梯度函数。