CN1176714A - 用于三错校正和四错校正的改进系统 - Google Patents

Abstract

通过将四次错误定位多项式最终变换为两个二次方程,查找这些方程的解,从这些解中确定错误定位多项式的根,系统确定GF(2^2m)中四错的错误位置。系统首先将如下形式的错误定位多项式:σ(x)=σ₄x⁴+σ₃x³σ₂x²+σ₁x+σ₀ [1],变换为:θ(y)=y⁴+θ₂y²+θ_iy+θ₀ [2],其中θ_i为错误定位多项式的各项系数的组合。因此,系统得到y³项的系数为零的方程。然后系统将θ(y)因式分解为θ(y)=(y²+t＊y+u)*(y²+v＊y+w) [3]其中“*”表示乘法。通过使θ(y)的两个表达式的系数相等,并首先求出变量t(等于v),然后再求出变量w和u,系统确定值t、u、v和w。一旦确定了这些变量,系统就求解两个二次方程,每个二次方程对应方程3的一个因子。根据这些解,系统确定与四次错误定位多项式有关的四个错误位置。

Description

用于三错校正和四错校正的改进系统

本发明一般涉及数据处理系统，具体涉及采用错误校正码进行译码并且校正数据中错误的系统。

通常，存储在诸如磁盘等磁性介质上的数据是以编码形式存储的，从而能够校正所存储数据中的错误。例如，可能由于内部符号干扰、磁盘缺陷、噪声等引起错误。随着磁盘上存储数据密度的增加，可能会出现更多的错误，并且要求系统校正更多的错误。对于系统处理数据的总体速度而言，系统校正错误的速度是很重要的。

在记录之前，采用错误校正码(ECC)编码多位数据符号。当从磁盘检索数据符号并进行解调时，采用ECC(正如其名字所示)校正错误数据。

具体而言，在将k个数据符号串写到磁盘之前，采用一个(n，k)ECC进行数学编码构成一个n-k ECC符号。然后将该ECC符号添加到数据串尾构成一个n-符号错误校正码字，随后将该码字写到，即存储到磁盘。当从该磁盘读取数据时，检索包含数据符号和ECC符号的编码字，并进行数学译码。在译码期间，检测数据中的错误，若可能，则经过ECC符号处理校正[关于译码的详细说明请参见，Peterson和Weldon著，错误校正码，第二版，MIT出版社，1972]。

通常为了校正数据符号串中的多个错误，系统采用具有以下性质的ECC，该ECC能够有效利用称为有限域的符号集的各种数学特性。有限域表示为“GF(P^m)”，其中，“P”为一个素数，“m”为该域上每个元素或符号中的数字数(以“P”为基)。通常在数字计算机和磁盘驱动器应用中，P的值为2，因此，m为每个符号中的位数。通常与有限域一起使用的ECC为Reed Solomon码或BCH码。

在译码Reed-Solomon码或BCH码的错误码字中，必须有四个主要步骤。第一，根据ECC符号的处理结果，确定错误症状。第二，采用该错误症状，系统确定一错误定位多项式，该多项式的次数为错误数。第三，系统查找该错误定位多项式的根，并且从每个根中确定码字中相关错误的位置。最后，系统查找错误位置的错误值。在诸如计算机等的二进制系统中，对于每个错误位置而言，只可能有一个错误值，因此，确定错误值的步骤是非常明显的。

在错误校正处理中，确定错误症状和查找错误位置是最费时的。本发明减少了错误校正系统查找三错位置或四错位置所需的时间。其中包括查找三次和四次错误定位多项式的根。

在现有系统中，通过试探或者矩阵运算或查找表确定四次多项式的根。将每个可能值(即，与码字位置有关的合适的GF(P^2m)上的每个元素)代入到该多项式，并计算该多项式的值来运用试探法。对某一给定值而言，如果该多项式等于零，则该值便是一个根。通过将下一个可能值代入到该多项式，并决定该值是否是一个根，系统继续进行试探处理；依此类推，直至试探了所有可能值，或者确定了四个根。试探处理(其优化形式称为Chien搜索)是很费时的。另外，由于码字中的错误位置不同，所以不能预测所需时间。

矩阵运算和查找表方法包括将具有如下形式的一般四次多项式：

σ₄x⁴+σ₃x³+σ₂x²+σ₁x+σ₀变换为如下形式：

x⁴+x²+ax+b.

如果使用查找表，则对每组可能的a和b值，该表均包含一组解。现今使用的ECC通常超过GF(2⁸)，所以，该表具有2¹⁶个入口，每个入口为32位，即4个8-比特元素。因此，该表占据大量存储空间，并且需要相对复杂的寻址模式。

采用矩阵运算方法的系统，通过确定f(α)，f(α¹)，f(α²)  f(α^m-1)生成一个m×m的矩阵，其中f(x)＝x⁴+x²+ax+b。然后，系统处理该矩阵以确定矩阵扩张空间的零空间。随后从零空间的扩张向量中获得多项式的根。[其详细说明请参见，E.R.Berlekamp著，代数编码理论，McGraw Hill图书公司，1968]。以上方法需要逐位处理一个m×m矩阵，并且通常需要大量处理操作以变换该矩阵。因此，该方法是费时的和计算密集的。

这里所述的发明系统减少了系统查找四个错误位置所需的时间，其中包括确定四次多项式的根。该系统利用了众所周知的确定二次多项式的根的方法，如Berlekamp的代数编码理论所述。另外，该系统利用了确定三次多项式的根的方法，如Van der Horst和Berger在三错校正二进制BCH编码的完全译码中所述，IEEE信息论论文集，Vol.IT-22，pp.138-147，1976。

根据Van der Horst和Berger的学说，查找三次多项式的根需要确定GF(2^2m)上有限域元素的立方根。如后面所述，我已经开发了用于快速和简便查找立方根的、具有创造性的电路。

本发明是一个确定四错错误位置的系统，通过将四次错误定位多项式最终变换为两个二次方程，查找这些方程的解，从这些解中确定错误定位多项式的根。

具体而言，系统首先将如下四次多项式：

σ(x)＝σ₄x⁴+σ₃x³σ₂x²+σ₁x+σ₀              [1]变换为：

θ(y)＝y⁴+θ₂y²+θ₁y+θ₀                      [2]其中θ_i为错误定位多项式的各项系数的组合。请注意y³项的系数为零。然后系统将θ(y)因式分解为：

θ(y)＝(y²+t*y+u)*(y²+v*y+w)，                [3]其中“*”表示乘法，将以上表达式展开为：

θ(y)＝y⁴+(t+v)y³+(t*v+u+w)y²+(t*w+v*u)y+u*w，[4]其中t、u、v和w为未知数。通过使表达式2和表达式3的系数相等，系统确定：

t+v＝0

t*v+u*w＝t²+u*w＝θ₂                          [5]

t*w+u*v＝t+w+t*u＝t*(w+u)＝θ₁

u*w＝θ₀然后，系统生成以下方程，其中t为唯一未知数：

t³+θ₂t+θ₁＝0                                [6]采用Van der Horst和Berger的所述方法，能够解以上三次方程，以下详细说明。

一旦确定了方程6的一个根t₀，就将该根代入到θ₁的表达式，使用该表达式和θ₀表达式构成一个二次方程，其中u和w为其根：

p²+(θ₂+t₀ ²)p+θ₀＝0                         [7]

然后，系统利用求解二次多项式的Berlekamp方法，查找方程7的根p₀和p₁。将根p₀和p₁(即u和w)分别代入到多项式3，并且将每项设置为零，生成两个二次方程：

y²+t₀*y+p₀＝0

                                             [8]

y²+t₀*y+p₁＝0利用Berlekamp方法确定的方程8的根，也是θ(y)的根，因此，可以直接利用它们得出错误定位多项式的根。

以上直接解法要比查找四个根的现有试探法或者矩阵运算法快。另外，该方法并不需要大型查找表的存储和入口，而其他现有系统却需要大型查找表的存储和入口。

为了全面理解本发明的本质和目的，应与附图一起考虑详细说明，附图为：

图1是根据本发明构造的译码器的功能框图；

图2是用于确定GF(2^2m)元素立方根的发明电路的功能框图；

图3是图2中电路操作的流程图；

图4是用于GF(2⁸)的图2所示的电路；

图5是图1所示的译码器在确定四个错误位置时，译码器执行操作的流程图。

这里所述的数学运算加、减、乘、除均为GF(2^2m)上的有限域运算。

现在参照图1，译码器10包括症状生成器12，该症状生成器以常规方式操作以生成有关症状集。若所有症状均为零，则症状生成器12认定该码字正确。反之，症状生成器就将该症状发送到错误定位多项式生成器14，后者从该症状中以常规方式生成一次数为“e”的错误定位多项式，其中e为码字中的错误数。然后，错误定位多项式生成器14将错误定位多项式发送到错误定位处理器16，后者选择并且实现适宜的处理，以便确定错误定位多项式的根，亦即错误位置。图1用不同的方框(处理器)说明了以上处理，换句话说，处理器18用于确定一个错误位置，处理器20用于确定二个错误位置，处理器22用于确定三个错误位置，处理器24用于确定四个错误位置，处理器26用于确定四个以上错误位置。

两错、三错和四错处理器20、22和24是互连的。如下所述，通过将相应的错误定位多项式最终变换为相关二次方程组，错误定位处理器16减少了系统确定三个和四个错误位置所需的时间。为此，四错处理器26同时利用三错处理器24和两错处理器22。同样，三错处理器24利用两错处理器22。尽管以上所述处理发生在独立的、专用处理器中，也可以用一个或多个多能处理器实现以上处理。

错误定位处理器16以常规方式确定一个错误和两个错误位置。该错误定位处理器以所述Van der Horst和Berger方法确定三个错误位置。然而，该处理器利用发明电路完成所需的、确定有限域元素立方根的步骤。以下参照图2和图3说明本电路和确定三个错误位置的方法。

参照图4，错误定位处理器16采用下述特定处理确定四个错误位置。在说明该处理之前，首先在分别在A节和B节说明两个错误和三个错误位置处理。A.确定两个错误位置

如果码字包含两个错误，则错误定位多项式具有如下形式：

σ(x)＝σ₂x²+σ₁x+σ₀x                          [1]为了查找以上多项式的根，系统设置以上多项式等于零：

σ(x)＝σ₂x²+σ₁x+σ₀x＝0                       [2]求解以上方程，其解为x₀和x₁。

为了解方程2，错误定位处理器16将以上方程变换为：

y²+y+C＝0                                       [3]这是通过作以下变换实现的： $x=\frac{{\mathrm{\σ}}_1}{{\mathrm{\σ}}_2}y.......\left[4\right]$ 从而方程2变为 $\mathrm{\σ\σ}\left(\frac{{\mathrm{\σ}}_1}{{\mathrm{\σ}}_2}y\right)=\frac{{{\mathrm{\σ}}_1}^2}{{\mathrm{\σ}}_2}{y}^2+\frac{{{\mathrm{\σ}}_1}^2}{{\mathrm{\σ}}_2}y+{\mathrm{\σ}}_0$ 然后，除以 ，系统得到方程： $y^2+y+\frac{{\mathrm{\σ}}_0{\mathrm{\σ}}_2}{{{\mathrm{\σ}}_1}^2}=0......\left[5\right]$ 因此，方程3中的C为

要使方程5在GF(2^2m)内有解，则等式两边的“迹”(trace)必须相等。迹定义为： $\mathrm{Trace}\left({\mathrm{\α}}^i\right)=\underset{k=0}{\overset{2m-1}{\mathrm{\Σ}}}{\left({\mathrm{\α}}^i\right)}^{2^k}.........\left[6\right]$ Trace(0)等于零，因此，要在有限域内存在解，则必须

Trace[y²+y+C]＝0                              [7]各项之和的迹等于各项迹之和。在GF(2^2m)内，Trace(y²)＝Trace(y)并且其和(采用有限域加法)为零。因此，如果Trace(C)等于零，则方程5在GF(2^2m)内有解。

方程5的通解是2m-1个“基解”的线性组合。当方程3中的C为有限域的“基元”C₁、C₂...C_2m-1之一时，其解为一基解。如果域上的某些元素能够线性组合得到该域上所有其他元素，则这些元素为基元。例如，该元素可为以下2m-1个元素，每个元素包括2m-1个0和唯一一个1，即，αⁱ＝000...1至α^j＝10000。在该域上，C＝00110...0是基元00100...0和00010...0的线性组合。方程5的通解是对应基元(其和为

)基解的线性组合。

在由生成多项式x⁴+x+1定义的GF(2⁴)内，对每个元素αⁱ，如果其迹为零，则0为其最高有效位。因此，在该域内，有意义的C为基元α⁰＝0001、α¹＝0010和α²＝0100的组合。相应的基解为：(α⁵)²+α⁵＝α⁰       对于y₀＝α⁵(α⁹)²+α⁹＝α¹       对于y₀＝α⁹(α³)²+α³＝α²       对于y₀＝α³另一组基解为：(α¹⁰)²+α¹⁰＝α⁰     对于y₁＝α¹⁰(α⁷)²+α⁷＝α¹       对于y₁＝α⁷(α¹⁴)²+α¹⁴＝α²     对于y₁＝α¹⁴例如，在该有限域内，对于C等于α⁸＝0101，按以下形式分解C以确定方程3的解：

C＝α⁰+α²＝0001+0100并累加相应的基解组，如：

y₀＝α⁵+α³＝α¹¹得到第一个根，并按如下方式确定第二个根：

y₁＝y₀+α⁰然后，以如下方式确定二次错误定位多项式的根： $x_0=y_0\left(\frac{{\mathrm{\σ}}_1}{{\mathrm{\σ}}_2}\right)$ $x_1=y_1\left(\frac{{\mathrm{\σ}}_1}{{\mathrm{\σ}}_2}\right)$ B.确定三个错误位置

与三错有关的错误定位多项式具有如下形式：

σ(x)＝σ₃x³+σ₂x²+σ₁x+σ₀                 [8]为了查找其根，系统设置以上多项式等于零：

σ(x)＝σ₃x³+σ₂x²+σ₁x+σ₀＝0              [9]并将以上方程变换为：

y³+ay+b＝0为此，系统作如下变量替换： $x=y+\frac{{\mathrm{\σ}}_2}{{\mathrm{\σ}}_3}$ 方程9变为 $\mathrm{\σ}(y+\frac{{\mathrm{\σ}}_2}{{\mathrm{\σ}}_3})={\mathrm{\σ}}_3{(y+\frac{{\mathrm{\σ}}_2}{{\mathrm{\σ}}_3})}^3+{\mathrm{\σ}}_2{(y+\frac{{\mathrm{\σ}}_2}{{\mathrm{\σ}}_3})}^2+{\mathrm{\σ}}_1(y+\frac{{\mathrm{\σ}}_2}{{\mathrm{\σ}}_3})+{\mathrm{\σ}}_0=0..........\left[10\right]$ 系统然后展开方程10的各项： ${\mathrm{\σ}}_3(y^3+y^2\frac{{\mathrm{\σ}}_2}{{\mathrm{\σ}}_3}+y{\left(\frac{{\mathrm{\σ}}_2}{{\mathrm{\σ}}_3}\right)}^2+{\left(\frac{{\mathrm{\σ}}_2}{{\mathrm{\σ}}_3}\right)}^3)+{\mathrm{\σ}}_2(y^2+{\left(\frac{{\mathrm{\σ}}_2}{{\mathrm{\σ}}_3}\right)}^2)+{\mathrm{\σ}}_1(y+\frac{{\mathrm{\σ}}_2}{{\mathrm{\σ}}_3})+{\mathrm{\σ}}_0=0$ 合并同类项得： ${\mathrm{\σ\σ}}_3{y}^3+({\mathrm{\σ}}_2+{\mathrm{\σ}}_2)y^2+(\frac{{{\mathrm{\σ}}_2}^2}{{\mathrm{\σ}}_3}+{\mathrm{\σ}}_1)y+\frac{{{\mathrm{\σ}}_2}^3}{{{\mathrm{\σ}}_3}^2}+\frac{{{\mathrm{\σ}}_2}^3}{{{\mathrm{\σ}}_3}^2}+\frac{{\mathrm{\σ}}_1{\mathrm{\σ}}_2}{{\mathrm{\σ}}_3}+{\mathrm{\σ}}_0=0......\left[11\right]$ 在GF(P^2m)内，相同项之和为零，因此，以上方程变为： ${\mathrm{\σ\σ}}_3{y}^3+{0y}^2+(\frac{{{\mathrm{\σ}}_2}^2}{{\mathrm{\σ}}_3}+{\mathrm{\σ}}_1)y+0+\frac{{\mathrm{\σ}}_1{\mathrm{\σ}}_2}{{\mathrm{\σ}}_3}+{\mathrm{\σ}}_0=0....\left[12\right]$ 系统将方程12除以σ₃，得到如下方程：y³+ay+b＝0                                      [13]其中， $a=\frac{{{\mathrm{\σ}}_2}^2}{{{\mathrm{\σ}}_3}^2}+\frac{{\mathrm{\σ}}_1}{{\mathrm{\σ}}_3},b=\frac{{\mathrm{\σ}}_0}{{\mathrm{\σ}}_3}+\frac{{\mathrm{\σ}}_1{\mathrm{\σ}}_2}{{{\mathrm{\σ}}_3}^2}$ 。如果a≠0，系统作变量替换： $y=z+\frac{a}{z}.....\left[14\right]$ 方程13变为： ${(z+\frac{a}{z})}^3+a(z+\frac{a}{z})+b=0....\left[15\right]$ 随后展开方程15，合并同类项得： $z^3+\frac{a}{z}{z}^2+{\left(\frac{a}{z}\right)}^{2}z+{\left(\frac{a}{z}\right)}^3\mathrm{az}+\frac{a^2}{z}+b=z^3+\mathrm{az}+\frac{a^2}{z}+\frac{a^3}{z^3}+\mathrm{az}+\frac{a^2}{z}+b=$ $z^3+\frac{a^3}{z^3}+b=0....\left[16\right]$ 系统将方程16乘以z³得：(z³)²+bz³+a＝0，                                [17]该方程是一个以z³为变量的二次方程。采用A节讨论的确定二个错误位置的方法能够求解方程17。

一旦确定了解z₀₃，系统就采用所述电路(参照图2和图3)查找立方根z₀。只要m是偶数，则方程17的第二个解为： $z_1=z_0*{\mathrm{\α\α}}^{\frac{2^{2m}-1}{3}}$ 其中，指数

永远为整数，这是因为对于m，2^2m-1能够被3整除。方程17的第三个解为：

z₂＝z₁+z₀然后，系统将以上解代入到y的表达式，并将所得的代入结果分别加上 从而得到三次错误定位多项式的根x₀、x₁和x₂。

如果a＝0，则方程13的解为y＝b^1/3。为了求解该立方根，系统采用了图2所示的电路。一旦确定了该立方根，系统就按如下方式确定y₁和y₂： $y_1=y_0*{\mathrm{\α\α}}^{\frac{2^{2m}-1}{3}}$

y₂＝y₁+y₀。并从以上值确定根x₀、x₁和x₂。

现在参照图2和图3，通过将GF(2^2m)的元素α^3k自乘到与

关联的次幂，电路200查找该元素的立方根。采用多个常规有限域乘法器，很容易将GF(2^2m)上的任何元素自乘到2L次幂。

电路200利用了等式x²-1＝(x-1)*(x+1)。x等于2^m，则该等式变为2^2m-1＝(2^m-1)*(2^m+1)。因式2^m-1或2^m+1两者之一能被3整除，但两者不能同时被3整除。例如，对于m＝4，因式2^m-1能被3整除，而2^m+1却不能。同时，电路200还利用了事实 $\left({\mathrm{\α}}^{2^m-1}\right)*\left({\mathrm{\α}}^{2^m+1}\right)={\mathrm{\α}}^{2^{m+1}}$ 。

采用电路200，在乘法器202中，将有限域元素α^3k自乘到以下次幂，即与等式中不能整除3的因式具有相同的次幂(步骤300)。对于m＝4而言，自乘到2^m+1次幂。然后，利用查找表查找乘积

的立方根

(步骤302)。由于该查找表只有可能乘积

的立方根入口，所以该表比较小。例如，对于GF(2⁸)，该表仅有5个入口。

同时，乘法器202还将元素α^3k自乘到 次幂(步骤304)，并在GF乘法器206中将该结果乘以从查找表204中得到的立方根(步骤306)： ${\mathrm{\α}}^{k(2^m+1)}*{\mathrm{\α}}^{k\left(2^m-1\right)}={\mathrm{\α}}^{k\left(2^{m+1}\right)}.$ 在步骤308，系统将该积自乘到 次幂，从而得到立方根α^k。

图4说明了用于GF(2⁸)(即m＝4)的电路200。为了将α^3k自乘到2^m+1次幂，在GF乘法器201中，电路首先将该元素自乘到2^m(即2⁴＝16)次幂。然后，在GF乘法器203中，将乘积α^3k(16)＝α^48k乘以元素α^3k，得到乘积 ${\mathrm{\α}}^{3k(2^m+1)}={\mathrm{\α}}^{51k}$ 。利用该乘积进入5元素查找表204：α⁰ →α⁰

α⁵¹→α¹⁷

α¹⁰² →α³⁴

α¹⁵³ →α⁵¹

α²⁰⁴→α⁶⁸得到α^17k。

采用GF乘法器207和209，将α^3k自乘到 即 $\frac{2^4-1}{3}=5$ 次幂。GF乘法器207首先将该元素自乘到2²(即4)次幂，然后，GF乘法器209将乘积α^3k(4)＝α^12k乘以α^3k得到α^15k。

随后，GF乘法器206将两个乘积相乘得α¹⁷*α¹⁵＝α^32k。最后，在乘法器210中，将以上结果自乘到 即 $\frac{1}{2^5}=\frac{1}{32}$ 得到立方根α^k。

对每个作用到电路200的元素，电路均得到一个结果。但是，对有限域上的每个元素，不一定都有立方根。因此，系统必须测试该结果(步骤310)，以决定该结果是否为实际立方根。系统将该结果自乘两次，并确定乘积是否等于作用到该电路上的元素值(步骤312)。若相等，则该立方根是精确的，并能够确定错误位置(步骤314)。但是，若该乘积不等于该元素值，则系统确定不能找到错误位置(步骤316)。随后，系统结束错误位置的查找处理。C.确定四个错误位置

与四错有关的错误定位多项式具有如下形式：

σ(x)＝σ₄x⁴+σ₃x³+σ₂x²+σ₁x+σ₀           [18]为了查找其根，系统设置以上多项式等于零：

σ(x)＝σ₄x⁴+σ₃x³+σ₂x²+σ₁x+σ₀＝0        [19]并将以上方程变为如下形式：

y⁴+dy²+ey+h＝0具体而言，参照图5，系统在步骤500作以下变量替换：

x＝y+r，其中 $\mathrm{\γ}={\left(\frac{{\mathrm{\σ}}_1}{{\mathrm{\σ}}_3}\right)}^{1.2}$ 方程19变为：

γ(y)＝σ₄(y+r)⁴+σ₃(y+r)³+σ₂(y+r)²+σ₁(y+r)+σ₀＝0               [20]在步骤502，系统将以上各项展开得：

γ(y)＝σ₄(y⁴+r⁴)+σ₃(y³+y²r+yr²+r³)+σ₂(y²+r²)+σ₁(y+r)+σ₀＝0合并同类项得：γ(y)＝σ₄y⁴+σ₃y³+(σ₃r+σ₂)y²+(σ₃r²+σ₁)y+σ₄r⁴+σ₃r³+σ₂r²+σ₁r+σ₀＝0  [21]然后，在步骤504，系统代入

取代r，并且一次项的系数为0，这是由于 ${\mathrm{\σ\σ}}_3{\left[{\left(\frac{{\mathrm{\σ}}_1}{{\mathrm{\σ}}_3}\right)}^{1.2}\right]}^2+{\mathrm{\σ}}_1={\mathrm{\σ}}_1+{\mathrm{\σ}}_1=0$ 因此，方程21变为σ₄y⁴+σ₃y³+[(σ₃*σ₁)^1/2+σ₂]y²+s，                [22]其中，“s”为方程21的常数项。

系统并不直接求解以上方程，而是在步骤506查找以下方程的根 $\mathrm{\θ\θ}\left(y\right)=\frac{y^4*\mathrm{\γ}\left(\frac{1}{y}\right)}{s}......\left[23\right]$ 因此，系统求解 $\mathrm{\θ\θ}\left(y\right)=\frac{y^4}{s}[{\mathrm{\σ}}_4\frac{1}{y^4}+{\mathrm{\σ}}_3\frac{1}{y^3}+[{({\mathrm{\σ}}_3*{\mathrm{\σ}}_1)}^{1.2}+{\mathrm{\σ}}_2\left]\frac{1}{y^2}\right]+s.....\left[24\right]$ 即θθ(y)＝y⁴+θ₂y²+θ₁y+θ₀＝0                       [25]其中 ${\mathrm{\θ\θ}}_2=\frac{{({\mathrm{\σ}}_3*{\mathrm{\σ}}_1)}^{12}+{\mathrm{\σ}}_2}{s}$ ${\mathrm{\θ\θ}}_1=\frac{{\mathrm{\σ}}_3}{s}$ ${\mathrm{\θ\θ}}_0=\frac{{\mathrm{\σ}}_4}{s}.$ 在步骤508，系统首先将方程25因式分解为：

θ(y)＝(y²+t*y+u)*(y²+v*y+w)＝0.               [26]以上假设方程25能够分解，若错误定位多项式在GF(2^2m)内有解，则以上假设是正确的。

系统将方程26的各项展开得：

θ(y)＝y⁴+(t+v)y³+(t*v+u+w)y²+(t*w+v*u)y+u*w＝0      [27]并且使以上方程的系数等于方程25的系数(步骤510)：

t+v＝0

t*v+u+w＝θ₂

t*w+v*u＝θ₁

u*w＝θ₀因此，

t＝v

t²+(u+w)＝θ₂

t*(w+u)＝θ₁

u*w＝θ₀

然后，在步骤512，系统确定一个以“t”为唯一未知数的方程。请回忆θ₂、θ₁和θ₀是已知的，这是因为它们是错误定位多项式系数的组合。因此，令 $u+w=\frac{{\mathrm{\θ}}_1}{t},$ 代入到的表达式θ₂并乘以t，系统生成方程：

t³+θ₂t+θ₁＝0                         [28]

利用B节所述的操作能够求解以上三次多项式(步骤514)。具体而言，系统作变量替换： $t=z+\frac{a}{z}$         其中a＝θ₂方程28变为 ${(z+\frac{a}{z})}^3+a(z+\frac{a}{z})+{\mathrm{\θ}}_1=0$ 展开并合并同类项 $z^3+{\left(\frac{a}{z}\right)}^{2}z+\frac{a}{z}{z}^2+{\left(\frac{a}{z}\right)}^3+a_3+\frac{a^2}{z}+{\mathrm{\θ}}_1=$ $z^3+\mathrm{az}+\frac{a^2}{z}+\frac{a^3}{z}+\mathrm{az}+\frac{a^2}{z}+{\mathrm{\θ}}_1=z^3+\frac{a^3}{z^3}+{\mathrm{\θ}}_1=0......\left[29\right]$ 乘以z³，系统得到方程(z³)²+θ₁z³+a³＝0，该方程是一个以z³为变量的二次方程。

系统利用A节的方法查找方程29的根。

为此，系统作变量替换：

z³＝θ₁g                                     [30]二次方程变为：

θ₁ ²g²+θ₁ ²g+a³＝0                           [31]即 $g^2+g+\frac{a^3}{{{\mathrm{\θ}}_1}^2}=0$ 如果 $\mathrm{Trace}.\left(\frac{a^3}{{{\mathrm{\θ}}_1}^2}\right)=0,$ 则方程31在GF(2^2m)内有解。假设该解存在，则通过将 $\frac{a^3}{{{\mathrm{\θ}}_1}^2}=\frac{{{\mathrm{\θ}}_2}^2}{{{\mathrm{\θ}}_1}^2}$ 分解为基元的线性组合，并使基元与相应的基解关联，可以确定方程的解。

一旦确定了方程的解，系统就将某一解(如g₀)代入到z³的表达式30，并使用图2的电路确定z³的立方根z₀。然后，系统从以下表达式中，用z₀取代z以便确定t₀： $t=z+\frac{a}{z}.......\left[32\right]$

为了确定w和u，在步骤516，系统利用值t₀和表达式：

t²+(u+w)＝θ₂以及

u*w＝θ₀得到二次方程33，其中u和w为其根：

(p+u)*(p+w)＝

p²+(u+w)*p+(u*w)＝

p²+(θ₂+t₀ ²)*p+θ₀＝0，                  [33]然后，系统采用A节的方法确定方程33的解。在步骤518，系统将解p₀和p₁代入到方程26的因式中，得到二次方程组：

y²+t₀*y+p₀＝0和                                           [34]

y²+t₀*y+p₁＝0在步骤520，系统采用A节的方法求解根y₀、y₁以及y₂、y₃。方程33的根y₀、y₁、y₂和y₃为θ(y)的根，而1/y₀、1/y₁、1/y₂和1/y₃为γ(y)的根。然后，在步骤522，系统将1/y₀、1/y₁、1/y₂和1/y₃代入到表达式x＝y+r，以便确定四次错误定位多项式的根。最后，在步骤524，系统使错误定位多项式的根与码字中的位置相关联。

直接确定错误定位多项式的根的方法比进行Chien搜索或者进行m×m矩阵运算都要快。另外，与其他现有系统不同，本系统也不需要大型查找表。

Claims (7)

1.一种确定Reed-Solomon或BCH编码码字中四个错误位置的方法，该方法包括以下步骤：

a.计算四次错误定位多项式

σ(x)＝σ₄x⁴+σ₃x³+σ₂x²+σ₁x+σ₀

得到多项式：

θθ(y)＝y⁴+θ₂y²+θ₁y+θ₂，

b.将以上多项式因式分解为θ(y)＝(y²+t*y+u)*(y²+v*y+w)；

c.使步骤a和步骤b中多项式的系数相等

t+v＝0

t*v+u+w＝θ₂

t*w+v*u＝θ₁

u*w＝θ₀；

d.以t为唯一未知数确定方程：

t³+θ₂t+θ₁＝0

e.求出其根t₀；

f.以u和w为根，构造二次方程：

p²+(θ₂+t₀ ²)p+θ₀＝0

g.求出其根p₀和p₁；

h.将该根代入到θ(y)并确定二次方程对的根：

y²+t₀*y+p₁＝0

y²+t₀*y+p₁＝0；

i.使二次方程对的根y₀、y₁以及y₂、y₃与四次错误定位多项式的根关联；

j.使四次错误定位多项式的根与码字中的位置关联。

2.权利要求1的方法，其中求解方程t³+θ₂t+θ₁＝0的根的步骤包括：

i.作变量替换： $t=z+\frac{a}{z},$ 其中a＝θ₂，得到方程 $z^3+\frac{a^3}{z^3}+{\mathrm{\θ}}_1=0;$

ii.将步骤i的方程乘以z³，得到以z³为变量的二次方程：

    (z³)²+θ₁z³+a³＝0；

iii.解出步骤ii的二次方程中的z³；

iv.确定z³的立方根z₀；

v.将值z₀代入到表达式 $t=z-\frac{a}{z}$ 。

3.权利要求1的方法，其中将错误定位多项式变换为θ(y)包括：

i.作以下变量替换，x＝y+r，其中 $r={\left(\frac{{\mathrm{\σ}}_1}{{\mathrm{\σ}}_3}\right)}^{1.2},$ 展开并合并同类项得到以下方程：γ(y)＝σ₄y⁴+σ₃y³+(σ₃r+σ₂)y²+(σ₃r²+σ₁)y+σ₄r⁴+σ₃r³+σ₂r²+σ₁r+σ₀＝0；

ii.将 $r={\left(\frac{{\mathrm{\σ}}_1}{{\mathrm{\σ}}_3}\right)}^{1.2}$ 代入到步骤i的方程中，得到方程：

γ(y)＝σ₄y⁴+σ₃y³+[(σ₃*σ₁)^1/2+σ₂]y²+s

其中，s为步骤i的方程中的常数项；

iii.求解以下方程的根 $\mathrm{\θ\θ}\left(y\right)=\frac{y^4*\mathrm{\γ}\left(\frac{1}{y}\right)}{s},$ 展开为

θθ(y)＝y⁴+θ₂y²+θ₁y+θ₂＝0其中 ${\mathrm{\θ\θ}}_2=\frac{{({\mathrm{\σ}}_3*{\mathrm{\σ}}_1)}^{1.2}+{\mathrm{\σ}}_2}{s}$ ${\mathrm{\θ\θ}}_1=\frac{{\mathrm{\σ}}_3}{s}\mathrm{and}$ ${\mathrm{\θ\θ}}_0=\frac{{\mathrm{\σ}}_4}{s}$

4.一种确定Reed-Solomon或BCH编码码字中四个错误位置的方法，该方法包括以下步骤：

a.计算四次错误定位多项式

σ(x)＝σ₄x⁴+σ₃x³+σ₂x²+σ₁x¹+σ₀

得到多项式：

θθ(y)＝y⁴+θ₂y²+θ₁y+θ₂；

b.将以上多项式因式分解为θ(y)＝(y²+t*y+u)*(y²+v*y+w)；

c.确定值t、u、v和w；

d.将值t、u、v和w代入到θ(y)中，并确定二次方程对的根：

y²+t*y+u＝0

y²+v*y+w＝0；

e.使二次方程对的根y₀、y₁以及y₂、y₃与四次错误定位多项式的根关联；

f.使四次错误定位多项式的根与码字中的位置关联。

5.权利要求4的方法，其中确定值t、u、v和w的步骤包括以下步骤：

i.使步骤a和步骤b中多项式的系数相等

t+v＝0

t*v+u+w＝θ₂

t*w+v*u＝θ₁

u*w＝θ₀；

ii.以t为唯一未知数确定方程：

t³+θ₂t+θ₁＝0

iii.求出其根t₀；

iv.以u和w为根，构造二次方程：

p²+(θ₂+t₀ ²)p+θ₀＝0

v.求出其根p₀和p₁，即为u和w。

6.权利要求5的方法，其中求解方程t³+θ₂t+θ₁＝0的根的步骤包括：

a.作变量替换： $t=z+\frac{a}{z},$ 其中a＝θ₂，得到方程 $z^3+\frac{a^3}{z^3}+{\mathrm{\θ}}_1=0;$

b.将步骤a的方程乘以z³，得到以z³为变量的二次方程：

(z³)²+θ₁z³+a³＝0；

c.解步骤b的二次方程，求出z³；

d.确定z³的立方根z₀；

e.将值z₀代入到表达式 $t=z+\frac{a}{z}$ 。

7.权利要求4的方法，其中将错误定位多项式变换为θ(y)包括：

i.作以下变量替换x＝y+r，其中 $\mathrm{\γ}={\left(\frac{{\mathrm{\σ}}_1}{{\mathrm{\σ}}_3}\right)}^{12},$ 展开并合并同类项得到以下方程：γ(y)＝σ₄y⁴+σ₃y³+(σ₃r+σ₂)y²+(σ₃r²+σ₁)y+σ₄r⁴+σ₃r³+σ₂r²+σ₁r+σ₀＝0；

ii.将 $\mathrm{\γ}={\left(\frac{{\mathrm{\σ}}_1}{{\mathrm{\σ}}_3}\right)}^{12}$ 代入到步骤i的方程中，得到方程：

γ(y)＝σ₄y⁴+σ₃y³+[(σ₃*σ₁)^1/2+σ₂]y²+s，其中，s为步骤i的方程中的常数项；

iiii.求解以下方程的根： $\mathrm{\θ\θ}\left(y\right)=\frac{y^4*\mathrm{\γ}\left(\frac{1}{y}\right)}{s}.$ 展开为θθ(y)＝y⁴+θ₂y²+θ₁y+θ₂＝0其中 ${\mathrm{\θ\θ}}_2=\frac{{({\mathrm{\σ}}_3*{\mathrm{\σ}}_1)}^{12}+{\mathrm{\σ}}_2}{s}$ ${\mathrm{\θ\θ}}_1=\frac{{\mathrm{\σ}}_3}{s}\mathrm{and}$ ${\mathrm{\θ\θ}}_0=\frac{{\mathrm{\σ}}_4}{s}.$

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