CN116901063B - 一种基于二次规划的冗余空间机械臂轨迹规划方法 - Google Patents
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Abstract
一种基于二次规划的冗余空间机械臂轨迹规划方法。属于机械臂轨迹规划领域，具体涉及冗余空间机械臂轨迹规划领域。其解决了现有冗余机械臂轨迹方法无法同时考虑机械臂执行任务时的各种约束，无法同时优化关节力矩与角加速度的问题。所述方法包括如下步骤：建立机械臂运动学模型和机械臂动力学模型；确定机械臂运动边界条件约束；建立基于机械臂关节力矩最小化的标准二次规划模型；建立基于机械臂关节角加速度最小化的标准二次规划模型；建立标准二次规划模型；得到机械臂的关节力矩及关节角加速度最小化的规划轨迹。本发明所述方法可以应用在机械臂轨迹规划领域、冗余空间机械臂轨迹规划领域以及机械臂设计制造领域。
Description
技术领域
本发明属于机械臂轨迹规划领域，具体涉及冗余空间机械臂轨迹规划领域。
背景技术
冗余机械臂相较于传统机械臂有更多的自由度，因其具有灵活性强、适应性强、可以避障、避奇异、避关节限位等特点成为近年来的研究热点，目前在工业、医疗服务、航天领域都得到了广泛的应用。而笛卡尔空间的轨迹规划问题是冗余机械臂执行复杂任务的关键问题，笛卡尔空间的轨迹规划是指将机械臂末端执行器从起点到终点规划好的轨迹上的每个点都逆解到关节空间下。
目前常见的冗余机械臂轨迹规划算法包括RRT算法、A*算法、蚁群算法等方法，但是这些方法无法同时考虑机械臂执行复杂任务过程中所存在的多种约束，所得到的轨迹对应的关节力矩与关节角加速度极值很大。在实际工作中，优化机械臂的关节力矩不仅可以提高机械臂的工作特性，还可以减少能量消耗；优化机械臂的关节角加速度不仅可以减少机械臂执行任务时的震荡，还可减少定位超调。
发明内容
为了解决现有冗余机械臂轨迹方法无法同时考虑机械臂执行任务时的各种约束，无法同时优化关节力矩与角加速度的问题，本发明提供了一种基于二次规划的冗余机械臂轨迹规划方法。
所述方法包括如下步骤：
S1、建立机械臂运动学模型和机械臂动力学模型；
S2、确定机械臂轨迹规划的始末状态约束，确定机械臂关节角度、机械臂关节角速度及机械臂关节角加速度的边界条件约束；
S3、将所述机械臂动力学模型代入机械臂关节动态力矩优化模型中，建立基于机械臂关节力矩最小化的标准二次规划模型，并根据所述机械臂运动学模型建立基于机械臂关节力矩最小化的标准二次规划模型的约束条件；
S4、建立基于机械臂关节角加速度最小化的标准二次规划模型，并根据所述机械臂运动学模型建立基于机械臂关节角加速度最小化的标准二次规划模型的约束条件；
S5、引入权重系数，对步骤 S3及S4 中得到的标准二次规划模型进行统一，建立基于机械臂关节力矩最小化和机械臂关节角加速度最小化的标准二次规划模型；
S6、利用拉格朗日乘子法对步骤 S5 中所述的基于机械臂关节力矩最小化和机械臂关节角加速度最小化的标准二次规划模型进行求解，得到机械臂的关节力矩及关节角加速度最小化的规划轨迹。
进一步，所述步骤S1中，机械臂运动学模型为：，其中，x表示机械臂末端执行器位姿，θ表示机械臂关节角度向量，J表示机械臂的雅可比矩阵；/>表示笛卡尔空间机械臂末端执行器的加速度，/>表示机械臂的雅可比矩阵对时间的导数，/>表示机械臂关节角速度向量，/>表示机械臂关节角加速度向量。
进一步，所述步骤S1中，机械臂运动学模型所需的运动学参数包括机械臂的 DH参数。
进一步，所述步骤S1中，机械臂动力学模型为：，其中，/>表示机械臂关节力矩，/>表示机械臂的正定质量惯性矩阵，/>表示机械臂的科氏力和离心力的速度项矢量。
进一步，所述步骤S1中，机械臂动力学模型所需的运动学参数包括机械臂各关节的质量、质心位置以及惯性张量。
进一步，步骤S3中，所述基于机械臂关节力矩最小化的标准二次规划模型为：；所述基于机械臂关节力矩最小化的标准二次规划模型的约束条件为：/>。
进一步，步骤S4中，所述基于机械臂关节角加速度最小化的标准二次规划模型为：；所述基于机械臂关节角加速度最小化的标准二次规划模型的约束条件为：。
进一步，所述基于机械臂关节力矩最小化和机械臂关节角加速度最小化的标准二次规划模型为：；其中，/>表示使机械臂关节动态力矩最小化的权重系数，/>表示使机械臂关节角加速度最小化的权重系数，且/>+/>=1，/>为n×n的单位对角矩阵，其中，n表示机械臂的自由度。
进一步，步骤S6具体为：
S61、建立目标函数；
S62、对所述目标函数求偏导；
S63、求解拉格朗日乘子；
S64、求解机械臂关节加速度向量；
S65、求解机械臂规划的轨迹。
本发明的有益效果为：
1、本发明所述方法采用二次规划方法进行空间冗余机械臂的轨迹规划问题求解，能够在规划时同时兼顾机械臂关节力矩优化以及关节角加速度优化，且同时考虑机械臂执行任务时的各种约束，不仅可以提高机械臂的工作特性、减少能量消耗；还可以减少机械臂执行任务时的震荡、减少定位超调。
2、本发明提供的基于二次规划的冗余空间机械臂轨迹规划方法便于增加约束数目、种类，且引入了权重系数，权重系数可根据机械臂实际工况进行调整，便于调整优化机械臂关节力矩以及关节角加速度对应的权重系数。
本发明可以应用在机械臂轨迹规划领域、冗余空间机械臂轨迹规划领域以及机械臂设计制造领域。
附图说明
图1为本发明实施例所述方法流程图；
图2为本发明实施例机械臂运动时的力矩二范数表征图。
具体实施方式
下面将结合附图对本发明的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明的保护范围。
实施例1、
本实施例提供一种基于二次规划的冗余空间机械臂轨迹规划方法，如图1所示，所述方法包括如下步骤：
S1、建立机械臂运动学模型和机械臂动力学模型；
S2、确定机械臂轨迹规划的始末状态约束，确定机械臂关节角度、机械臂关节角速度及机械臂关节角加速度的边界条件约束；
S3、将所述机械臂动力学模型代入机械臂关节动态力矩优化模型中，建立基于机械臂关节力矩最小化的标准二次规划模型，并根据所述机械臂运动学模型建立基于机械臂关节力矩最小化的标准二次规划模型的约束条件；
S4、建立基于机械臂关节角加速度最小化的标准二次规划模型，并根据所述机械臂运动学模型建立基于机械臂关节角加速度最小化的标准二次规划模型的约束条件；
S5、引入权重系数，对步骤 S3及S4 中得到的标准二次规划模型进行统一，建立基于机械臂关节力矩最小化和机械臂关节角加速度最小化的标准二次规划模型；
S6、利用拉格朗日乘子法对步骤 S5 中所述的基于机械臂关节力矩最小化和机械臂关节角加速度最小化的标准二次规划模型进行求解，得到机械臂的关节力矩及关节角加速度最小化的规划轨迹。
实施例2、
本实施例是对实施例1的进一步限定，步骤S1的具体过程如下：
（1）建立机械臂运动学模型：
冗余空间机械臂的正运动学问题可以表示为：机械臂末端执行器的位姿与关节角度的非线性映射关系：
；（1）
式中，—机械臂末端执行器的坐标系位姿；此处的/>表示m维的实向量，R表示实数含义，m指的是机械臂末端空间自由度（一般的m=6，分别为末端执行器的平移自由度x、y、z；旋转自由度ROTx、ROTy,、ROTz）；
—机械臂关节角度向量；n表示机械臂的自由度，机械臂的自由度数一般等于关节数，即一个关节有一个自由度，此处的R n表示的是n维的实向量；
—空间机械臂结构和参数决定的非线性映射函数，反映了机械臂关节空间与末端工作笛卡尔空间的关系。
对公式（1）进行求导便得到笛卡尔空间机械臂末端执行器的速度和机械臂关节角速度的线性关系：
； （2）
式中，—笛卡尔空间机械臂末端执行器的速度；
—机械臂关节角速度向量；
—机械臂的雅可比矩阵，是械臂结构参数和关节角度决定的函数；
对公式（2）进行微分便得到笛卡尔空间机械臂末端执行器的加速度和机械臂关节角加速度的关系：
； （3）
式中，—笛卡尔空间机械臂末端执行器的加速度，
—械臂的雅可比矩阵对时间的导数，
—机械臂关节角加速度向量。
在机械臂末端执行器位姿（笛卡尔空间末端执行器的加速度）已知情况下，可以根据式（3）得到机械臂间各关节角的角加速度，再通过积分便可得到关节角的角速度以及角度，逆运动学求解完成。
（2）建立机械臂动力学模型：
在得到机械臂的关节加速度、速度和角度后，可以通过牛顿-欧拉法求解n由度冗余空间机械臂关节空间的动力学方程，一般地，得到机械臂关节力矩可以表示为：
； （4）
式中，—机械臂完成任务关节电机所需的输出力矩；
—机械臂的n×n正定质量惯性矩阵；
—机械臂的n×1科氏力和离心力的速度项矢量；
—机械臂的n×1重力项矢量。
和/>为机械臂各关节角度/>的复杂函数，而/>为/>和/>的复杂函数。
考虑空间机械的工作环境，可以忽略重力的影响，式（4）可以简化为：
。 （5）
（3）确定模型所需的运动学、动力学参数：
机械臂运动学模型所需的运动学参数包括机械臂的 DH 参数，如表1所示，其中，表示机械臂连杆长度，/>表示机械臂连杆扭转，/>表示机械臂连杆偏移，/>表示机械臂关节转角。
表1：
机械臂动力学模型所需的运动学参数包括机械臂各关节的质量、质心位置以及惯性张量，如表2所示：
表2：
实施例3、
本实施例是对实施例1的进一步限定，步骤S2的具体过程如下：
（1）确定的机械臂轨迹规划的始末状态约束：
本实施例的任务要求是使机械臂的末端执行器沿直线从初始位置移动到所需位置。在本实施例中，采用七自由度的机械臂，初始机械臂关节角度为（40°，−60°, 30°, 60°,90°,−60°，50°），机械臂的始末状态笛卡尔位移为(−0.5750，−0.8626, -0.2875）单位为m，机械臂的始末状态姿态不发生改变。任务持续时间为8s，前2s采用五次多项式轨迹规划算法实现，中间4s采用匀速运动规律，最后2s采用五次多项式轨迹规划算法实现。
（2）确定机械臂关节角度、机械臂关节角速度及机械臂关节角加速度的边界条件约束：
由于机械臂的结构特点以及控制特性，机械臂的关节角度、角速度、角加速度有一定限制，如下所示：
； （6）
； （7）
； （8）
其中，—机械臂的/>最小运动关节角度向量；（本实施例中，选用七自由度的机械臂，n=7）
—机械臂的/>最大运动关节角度向量；
—机械臂的/>最小运动关节角速度向量；
—机械臂的/>最大运动关节角速度向量；
—机械臂的/>最小运动关节角加速度向量；
—机械臂的/>最大运动关节角加速度向量。
实施例4、
本实施例是对实施例1的进一步限定，步骤S3的具体过程如下：
根据步骤S1中的模型进行转化，同时考虑步骤S2中的各种约束，得到基于机械臂关节力矩最小化的标准二次规划模型，具体过程如下所示：
关节动态力矩优化方法基本表达式如下：
； （9）
。 （10）
将步骤S1中的式（5）代入式（9），可以将动态关节力矩优化形式转化为如下二次规划标准形式：
；（11）
。
实施例5、
本实施例是对实施例1的进一步限定，步骤S4的具体过程如下：
根据步骤S1中的模型进行转化，同时考虑步骤S2中的各种约束，得到基于机械臂关节角加速度最小化的标准二次规划模型，具体过程如下所示：
最小化机械臂关节角加速度方法可由如下二次规划标准形式表示：
； （12）
。
实施例6、
本实施例是对实施例1的进一步限定，步骤S5的具体过程如下：
引入权重系数，对步骤S3、S4中得到的标准二次规划模型进行统一，建立基于关节力矩最小化和关节角加速度最小化的标准二次规划模型，具体过程如下所示：
通过两个加权系数将机械臂最小化关节动态力矩和机械臂最小化关节角加速度的解结合起来。在执行任务时，可以将空间机械臂关节力矩优化和关节角加速度优化问题统一表达为如下二次规划标准形式：
； （13）
。
其中，—使机械臂关节动态力矩最小化的权重系数；
—使机械臂关节角加速度最小化的权重系数，且/>+/>=1；
为n×n的单位对角矩阵，n表示机械臂的自由度。
在本实施例中，重点以关节力矩为优化目标，取=0.94，/>=0.06。
实施例7、
本实施例是对实施例1的进一步限定，步骤S6的具体过程如下：
（1）建立目标函数：
（14）
式中，—拉格朗日乘子；
（2）对所述目标函数求偏导：
对式（13）和式（10）有约束条件优化的取极值问题即为对式（14）的目标函数取最小值问题，下面将目标函数/>分别对/>和/>求偏导,当/>对/>和/>的偏导数等于0时，/>取得极小值：
； （15）
； （16）
（3）求解拉格朗日乘子：
根据式（15）可求得：
； （17）
将式（17）代入式（16）可得：
； （18）
由式（18）可以求得拉格朗日乘子：
； （19）
（4）求解机械臂关节角加速度：
令，/>为n×m的加权伪逆矩阵，同时将式（19）代入式（17）得到：
； （20）
（5）求解机械臂规划的轨迹：
在已知空间机械臂执行任务时所需要的末端执行器运动轨迹的情况下，可以利用式（20）积分求得对应的机械臂各关节角的运动特性，基于机械臂关节力矩优化以及关节角加速度优化的空间机械臂轨迹规划问题得到解决。
在一个实施例中，机械臂初始关节角度为（40°，−60°, 30°, 60°, 90°,−60°，50°），机械臂的始末状态笛卡尔位移为(−0.5750，−0.8626, -0.2875）m，机械臂的始末状态姿态不发生改变。任务持续时间为8s，前2s采用五次多项式轨迹规划算法实现，中间4s采用匀速运动规律，最后2 s采用五次多项式轨迹规划算法实现。机械臂的七个关节按照常规方法规划的轨迹运动时的力矩二范数变化曲线如图2中的虚线所示，其中，横坐标表示时间，单位为s，纵坐标表示关节力矩二范数，单位为Nm，按照本发明的方法规划的轨迹运动时的力矩二范数变化曲线如图2中的实线所示。结合图2，对比实线所示的所有关节力矩二范数变化曲线和虚线所示的力矩变化曲线可以看出，关节按照常规方法规划的轨迹运动时的力矩二范数极值大约为43Nm，而按照本发明的方法规划的轨迹运动时的力矩二范数极值大约为33Nm，按照本发明的方法规划的轨迹运动时可以具有更小的关节力矩。经试验得出，七个关节按照常规方法规划的轨迹运动时的角加速度极值大约为1.8rad/s2，而按照本发明的方法规划的轨迹运动时的角加速度极值大约为2.3 rad/s2，按照本发明的方法规划的轨迹运动时可以具有更小的关节角加速度。
Claims (9)
1.一种基于二次规划的冗余空间机械臂轨迹规划方法，其特征在于，所述方法包括如下步骤：
S1、建立机械臂运动学模型和机械臂动力学模型；
S2、确定机械臂轨迹规划的始末状态约束，确定机械臂关节角度、机械臂关节角速度及机械臂关节角加速度的边界条件约束；
S3、将所述机械臂动力学模型代入机械臂关节动态力矩优化模型中，建立基于机械臂关节力矩最小化的标准二次规划模型，并根据所述机械臂运动学模型建立基于机械臂关节力矩最小化的标准二次规划模型的约束条件；
S4、建立基于机械臂关节角加速度最小化的标准二次规划模型，并根据所述机械臂运动学模型建立基于机械臂关节角加速度最小化的标准二次规划模型的约束条件；
S5、引入权重系数，对步骤 S3及S4 中得到的标准二次规划模型进行统一，建立基于机械臂关节力矩最小化和机械臂关节角加速度最小化的标准二次规划模型；
S6、利用拉格朗日乘子法对步骤 S5 中所述的基于机械臂关节力矩最小化和机械臂关节角加速度最小化的标准二次规划模型进行求解，得到机械臂的关节力矩及关节角加速度最小化的规划轨迹。
2.根据权利要求1所述的基于二次规划的冗余空间机械臂轨迹规划方法，其特征在于，所述步骤S1中，机械臂运动学模型为：，其中，x表示机械臂末端执行器位姿，θ表示机械臂关节角度向量，J表示机械臂的雅可比矩阵；/>表示笛卡尔空间机械臂末端执行器的加速度，/>表示机械臂的雅可比矩阵对时间的导数，/>表示机械臂关节角速度向量，/>表示机械臂关节角加速度向量。
3.根据权利要求2所述的基于二次规划的冗余空间机械臂轨迹规划方法，其特征在于，所述步骤S1中，机械臂运动学模型所需的运动学参数包括机械臂的 DH 参数。
4.根据权利要求2所述的基于二次规划的冗余空间机械臂轨迹规划方法，其特征在于，所述步骤S1中，机械臂动力学模型为：，其中，/>表示机械臂关节力矩，表示机械臂的正定质量惯性矩阵，/>表示机械臂的科氏力和离心力的速度项矢量。
5.根据权利要求1所述的基于二次规划的冗余空间机械臂轨迹规划方法，其特征在于，所述步骤S1中，机械臂动力学模型所需的运动学参数包括机械臂各关节的质量、质心位置以及惯性张量。
6.根据权利要求2所述的基于二次规划的冗余空间机械臂轨迹规划方法，其特征在于，步骤S3中，所述基于机械臂关节力矩最小化的标准二次规划模型为：；所述基于机械臂关节力矩最小化的标准二次规划模型的约束条件为：/>。
7.根据权利要求2所述的基于二次规划的冗余空间机械臂轨迹规划方法，其特征在于，步骤S4中，所述基于机械臂关节角加速度最小化的标准二次规划模型为：；所述基于机械臂关节角加速度最小化的标准二次规划模型的约束条件为：/>。
8.根据权利要求4所述的基于二次规划的冗余空间机械臂轨迹规划方法，其特征在于，所述基于机械臂关节力矩最小化和机械臂关节角加速度最小化的标准二次规划模型为：；其中，/>表示使机械臂关节动态力矩最小化的权重系数，/>表示使机械臂关节角加速度最小化的权重系数，且/>+/>=1，/>为n×n的单位对角矩阵，其中，n表示机械臂的自由度。
9.根据权利要求4所述的基于二次规划的冗余空间机械臂轨迹规划方法，其特征在于，步骤S6具体为：
S61、建立目标函数；
S62、对所述目标函数求偏导；
S63、求解拉格朗日乘子；
S64、求解机械臂关节加速度向量；
S65、求解机械臂规划的轨迹。
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Legal Events
| Date | Code | Title | Description |
|---|---|---|---|
| PB01 | Publication | ||
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| SE01 | Entry into force of request for substantive examination | ||
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| GR01 | Patent grant | ||
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