CN116883291B - 一种基于二元傅里叶级数的畸变校正方法 - Google Patents

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Abstract

本发明公开一种基于二元傅里叶级数的畸变校正方法，属于图像处理技术领域，用于图像畸变校正，包括顾及像点畸变，实际像点坐标看作理想像点坐标与畸变之和，通过附加系统参数的共线方程来表示，畸变量通过二阶二元傅里叶级数表示，使用二阶二元傅里叶级数表示畸变量时，再与通过附加系统参数的共线方程联立，待求参数共8个，当存在8个以上像点坐标时，已知方程的个数超过了待求参数的个数，使用基于有限差分的非线性最小二乘解算方法求得待求参数的估值。本发明在单像空间后方交会模拟实验中对比了各类算法对像点畸变的补偿效果，在保证一定精度的前提下节约了计算成本，加快了运算速度。

Description

一种基于二元傅里叶级数的畸变校正方法
技术领域
本发明公开一种基于二元傅里叶级数的畸变校正方法，属于图像处理技术领域。
背景技术
相机几何检校的方法主要有光学检校法和解析检校法，其中，自检校技术是一类解析检校法，通过在模型中附加系统参数来描述相机的系统误差，并依据一定数量参考点的像方与物方坐标，在平差的同时解算附加系统参数以补偿系统误差对结果的影响。自检校技术便捷灵活，是目前相机检校普遍采用的方法。至今，Brown模型及其改进模型仍是摄影测量中普遍采用的“标准”模型。随着研究的不断深入，摄影测量中有关图像畸变校正的模型与算法得到了不同程度的发展。计算机进行符号运算与数值运算不同，不会出现截断误差，其运算是更为准确的。符号运算可以得出封闭解或任意精度的数值解，然而相比于数值运算，其运算速度较慢，耗费时间较长。在给定一个多元函数后往往需要进行有关偏导数的计算，如函数的梯度和雅可比矩阵等，当自变量个数较多时通常具有较大的计算量，而在一些大规模问题中符号微分几乎变得不可行[。对于一般的非线性模型，通常基于泰勒公式将其转化为线性形式后进行迭代求解。非线性模型线性化的过程涉及了多元非线性函数求导，若借助计算机完成这一过程，则可能花费较多的时间。在摄影测量中，描述像点坐标与对应地面点坐标关系的共线方程包含了3个内方位元素和6个外方位元素，用其进行相机自检校时又需要选择适当的畸变校正模型对像点畸变进行补偿，且不同的校正模型含有不同数量的参数，此时，这种附加系统参数的共线方程包含了更多的模型参数。因此，利用此类模型进行相机自检校时参数数量较多，再加之大量的观测数据，可能会严重影响参数解算的速度与效率。
发明内容
本发明的目的在于提供一种基于二元傅里叶级数的畸变校正方法，以解决现有技术中，畸变校正的参数解算速度与效率低的问题。
一种基于二元傅里叶级数的畸变校正方法，包括：
顾及像点畸变，实际像点坐标看作理想像点坐标与畸变之和，通过附加系统参数的共线方程来表示：
；
式中，为理想像点坐标，/>为实际像点坐标，/>为对应的地面点坐标，为像片内方位元素，/>为外方位线元素，外方位线元素即摄影中心在物方坐标系的坐标值，/>是由外方位角元素/>构成的方向余弦，/>为畸变量，是实际像点坐标的函数；
二阶二元傅里叶级数表示畸变量为：；
式中，为待求参数，用wi和he分别表示图像宽度与高度，；
使用二阶二元傅里叶级数表示畸变量时，再与通过附加系统参数的共线方程联立，待求参数共16个，当存在16个以上像点坐标时，已知方程的个数超过了待求参数的个数，使用基于有限差分的非线性最小二乘解算方法求得待求参数的估值。
基于有限差分的非线性最小二乘解算方法包括：
S1.将非线性模型转化为线性形式；
设有非线性模型，此处的非线性模型即为二阶二元傅里叶级数模型，其中/>，由泰勒公式在近似值/>处展开/>并取至一次项：
；
改写取至一次项的为矩阵形式：
；
式中，是由函数/>在/>处的一阶偏导数构成的雅可比矩阵，将/>改写为误差方程的形式：
；
式中，是改正数矩阵，/>是已知值矩阵；
在等精度独立观测下，依据最小二乘原则的参数估计准则，得解算后的参数/>为：
。
S2.在最小二乘原则的解算准则基础上，引入L2正则化作为约束条件，则约束条件下的参数估计准则为：；
则高斯-牛顿法的迭代公式为：
；
依据约束条件下的参数估计准则，考虑迭代，得解算后的参数迭代公式为：
；
式中，为第k次迭代的/>，/>为阻尼因子第k次迭代的/>，/>为单位阵，/>为第k次迭代的/>。
S3.的初值为：/>；
表示/>相应的对角线元素，/>为数值参数，取值为/>或/>或/>，在后续迭代中依据增益比/>增大或减小阻尼因子。
迭代求解参数估值包括：
S4.1.给定迭代初值，利用有限差分计算/>处的雅可比矩阵，并确定阻尼因子初值，梯度/>的阈值为/>，误差变化阈值为/>，最大迭代次数/>，并置/>；
S4.2.计算，在第一次迭代中，/>为函数/>在/>处的一阶偏导数构成的雅可比矩阵；
；
式中，是k次迭代的/>；
S4.3.解算方程组：
，得到第/>次迭代估值/>；
S4.4.若，/>，则以/>为最终参数估值，迭代终止；否则，计算增益比/>：
；
S4.5.若，则/>，中间系数/>；否则，，/>；令/>，转至S4.2。
迭代求解参数估值设置迭代收敛条件为：
。
S4.1中利用有限差分计算处的雅可比矩阵包括：
使用前向差分、后向差分、中心差分三种差分方式中的一种逼近雅可比矩阵；
前向差分中，，/>为差分步长，依据泰勒公式将/>展开并取至一次项：
；
关于/>偏导数的前向差分为：
；
关于/>偏导数的后向差分为：
；
关于/>偏导数的中心差分为：
；
式中，为差分位置，具体是在/>处，/>是差分结果，/>是/>展开并取至一次项后的一个分量。
相对比现有技术，本发明具有以下有益效果：在单像空间后方交会模拟实验中对比了各类算法对像点畸变的补偿效果，在保证一定精度的前提下节约了计算成本，加快了运算速度。
附图说明
图1是现有技术1的像点残差范数的迭代变化图；
图2是本发明方法1的像点残差范数的迭代变化图；
图3是本发明方法2的像点残差范数的迭代变化图；
图4是本发明方法3的像点残差范数的迭代变化图。
具体实施方式
为使本发明的目的、技术方案和优点更加清楚，下面对本发明中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例是本发明的一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有作出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。
一种基于二元傅里叶级数的畸变校正方法，包括：
顾及像点畸变，实际像点坐标看作理想像点坐标与畸变之和，通过附加系统参数的共线方程来表示：
；
式中，为理想像点坐标，/>为实际像点坐标，/>为对应的地面点坐标，为像片内方位元素，/>为外方位线元素，外方位线元素即摄影中心在物方坐标系的坐标值，/>是由外方位角元素/>构成的方向余弦，/>为畸变量，是实际像点坐标的函数；
二阶二元傅里叶级数表示畸变量为：；
式中，为待求参数，用wi和he分别表示图像宽度与高度，；
使用二阶二元傅里叶级数表示畸变量时，再与通过附加系统参数的共线方程联立，待求参数共16个，当存在16个以上像点坐标时，已知方程的个数超过了待求参数的个数，使用基于有限差分的非线性最小二乘解算方法求得待求参数的估值。
基于有限差分的非线性最小二乘解算方法包括：
S1.将非线性模型转化为线性形式；
设有非线性模型，此处的非线性模型即为二阶二元傅里叶级数模型，其中/>，由泰勒公式在近似值/>处展开/>并取至一次项：
；
改写取至一次项的为矩阵形式：
；
式中，是由函数/>在/>处的一阶偏导数构成的雅可比矩阵，将/>改写为误差方程的形式：
；
式中，是改正数矩阵，/>是已知值矩阵；
在等精度独立观测下，依据最小二乘原则的参数估计准则，得解算后的参数/>为：
。
S2.在最小二乘原则的解算准则基础上，引入L2正则化作为约束条件，则约束条件下的参数估计准则为：；
则高斯-牛顿法的迭代公式为：
；
依据约束条件下的参数估计准则，考虑迭代，得解算后的参数迭代公式为：
；
式中，为第k次迭代的/>，/>为阻尼因子第k次迭代的/>，/>为单位阵，/>为第k次迭代的/>。
S3.的初值为：/>；
表示/>相应的对角线元素，/>为数值参数，取值为/>或/>或/>，在后续迭代中依据增益比/>增大或减小阻尼因子。
迭代求解参数估值包括：
S4.1.给定迭代初值，利用有限差分计算/>处的雅可比矩阵，并确定阻尼因子初值，梯度/>的阈值为/>，误差变化阈值为/>，最大迭代次数/>，并置/>；
S4.2.计算，在第一次迭代中，/>为函数/>在/>处的一阶偏导数构成的雅可比矩阵；
；
式中，是k次迭代的/>；
S4.3.解算方程组：
，得到第/>次迭代估值/>；
S4.4.若，/>，则以/>为最终参数估值，迭代终止；否则，计算增益比/>：
；
S4.5.若，则/>，中间系数/>；否则，，/>；令/>，转至S4.2。
迭代求解参数估值设置迭代收敛条件为：
。
S4.1中利用有限差分计算处的雅可比矩阵包括：
使用前向差分、后向差分、中心差分三种差分方式中的一种逼近雅可比矩阵；
前向差分中，，/>为差分步长，依据泰勒公式将/>展开并取至一次项：
；
关于/>偏导数的前向差分为：
；
关于/>偏导数的后向差分为：
；
关于/>偏导数的中心差分为：
；
式中，为差分位置，具体是在/>处，/>是差分结果，/>是/>展开并取至一次项后的一个分量。
在摄影测量中，由于成像系统在视场范围内的光束未严格满足理想中心投影，像片上的实际像点会产生一定的位置偏差，称为畸变。根据第二逼近定理，可得到以像点坐标表示的二元傅里叶级数模型。该模型对畸变的拟合精度同样随着阶数的增大而有所增加，通常使用2阶或3阶二元傅里叶级数。本发明的两项实验将模拟胶片相机，基于附加系统参数的共线方程进行单像空间后方交会，畸变校正模型使用二元傅里叶级数(BFS)模型。实验采用LM迭代算法。迭代中的雅可比矩阵采用有限差分方法作逼近，差分步长设置为，依据增益比(/>)调整/>，将基于符号求导运算和增益比的LM算法即现有技术1、基于前向差分和增益比的LM算法即本发明方法1、基于后向差分和增益比的LM算法即本发明方法2、基于中心差分和增益比的LM算法即本发明方法3四种算法进行对比。
实验数据包括38组像点坐标及其对应的物方控制点坐标，将实验数据代入BFS模型所构成的共线方程，对模型参数进行解算。表1为各算法在参数最优解处的像点残差平方和SSR、残差最大值和最小值。
表1 参数最优解处像点残差平方和SSR(单位:m2)与残差最大值/最小值(单位:m)
；
由表1像点残差最大值与最小值可知，各算法对像点的拟合精度均达到毫米级，像点畸变的补偿效果较好，但精度也存在差异且大小不同。若以现有技术1的精度为标准，本发明方法3的残差最大值与最小值与现有技术1的数值最为接近，即在三种有限差分中，基于中心差分的LM算法的解算结果最为可靠。图1、图2、图3、图4为BFS模型像点残差范数的迭代变化(单位: m)，四种算法都在第三次迭代后达到平稳状态。表2显示了各算法与模型的迭代次数(k)与运算时间(time)。观察表2可知，各算法迭代次数相当，而运算时间差别较大，三种基于有限差分的算法运算时间比现有技术1有所减少——本发明方法1和本发明方法2减少了约89%，本发明方法3减少了约77%。而在三种有限差分中，相比于前向差分和后向差分，利用中心差分逼近雅可比矩阵的算法需要约两倍的运算时间，这与中心差分的计算原理是一致的——中心差分需要多计算一次当前迭代点在差分步长范围内各个变量的近似偏导数，在三种差分形式中计算量最大。结合表1和表2可得，在迭代次数和精度相当的条件下，有限差分能够以更高的迭代效率得到模型参数的解，且中心差分法同时兼顾了精度与时间。
表2 迭代次数(k)与运算时间(time,单位: s)
。
以上实施例仅用于说明本发明的技术方案，而非对其限制，尽管参照前述实施例对本发明进行了详细的说明，本领域的普通技术人员应当理解：其依然可以对前述各实施例所记载的技术方案进行修改，或者对其中部分或者全部技术特征进行等同替换，而这些修改或者替换，并不使相应技术方案的本质脱离本发明各实施例技术方案的范围。

Claims (3)

1.一种基于二元傅里叶级数的畸变校正方法，其特征在于，包括：
顾及像点畸变，实际像点坐标看作理想像点坐标与畸变之和，通过附加系统参数的共线方程来表示：
；
式中，为理想像点坐标，/>为实际像点坐标，/>为对应的地面点坐标，为像片内方位元素，/>为外方位线元素，外方位线元素即摄影中心在物方坐标系的坐标值，/>是由外方位角元素/>构成的方向余弦，为畸变量，是实际像点坐标的函数；
二阶二元傅里叶级数表示畸变量为：；
式中，为待求参数，用/>和/>分别表示图像宽度与高度，，/>；
使用二阶二元傅里叶级数表示畸变量时，再与通过附加系统参数的共线方程联立，待求参数共8个，当存在8个以上像点坐标时，已知方程的个数超过了待求参数的个数，使用基于有限差分的非线性最小二乘解算方法求得待求参数的估值；
基于有限差分的非线性最小二乘解算方法包括：
S1.将非线性模型转化为线性形式；
设有非线性模型，此处的非线性模型即为二阶二元傅里叶级数模型，其中/>，由泰勒公式在近似值/>处展开并取至一次项：
；
改写取至一次项的为矩阵形式：
；
式中，是由函数/>在/>处的一阶偏导数构成的雅可比矩阵，将/>改写为误差方程的形式：
；
式中，是改正数矩阵，/>是已知值矩阵；
在等精度独立观测下，依据最小二乘原则的参数估计准则，得解算后的参数为：
；
基于有限差分的非线性最小二乘解算方法包括：
S2.在最小二乘原则的解算准则基础上，引入L2正则化作为约束条件，则约束条件下的参数估计准则为：；
则高斯-牛顿法的迭代公式为：
；
依据约束条件下的参数估计准则，考虑迭代，得解算后的参数迭代公式为：
；
式中，为第k次迭代的/>，/>为阻尼因子第k次迭代的/>，/>为单位阵，/>为第k次迭代的/>；
基于有限差分的非线性最小二乘解算方法包括：
S3.的初值为：/>；
表示/>相应的对角线元素，/>为数值参数，取值为/>或/>或/>，在后续迭代中依据增益比/>增大或减小阻尼因子；
迭代求解参数估值包括：
S4.1.给定迭代初值，利用有限差分计算/>处的雅可比矩阵，并确定阻尼因子初值，梯度/>的阈值为/>，误差变化阈值为/>，最大迭代次数/>，并置/>；
S4.2.计算，在第一次迭代中，/>为函数/>在/>处的一阶偏导数构成的雅可比矩阵；
；
式中，是k次迭代的/>；
S4.3.解算方程组：
，得到第/>次迭代估值/>；
S4.4.若，/>，则以/>为最终参数估值，迭代终止；否则，计算增益比/>：
；
S4.5.若，则/>，中间系数/>；否则，，/>；令/>，转至S4.2。
2.根据权利要求1所述的一种基于二元傅里叶级数的畸变校正方法，其特征在于，迭代求解参数估值设置迭代收敛条件为：
。
3.根据权利要求2所述的一种基于二元傅里叶级数的畸变校正方法，其特征在于，S4.1中利用有限差分计算处的雅可比矩阵包括：
使用前向差分、后向差分、中心差分三种差分方式中的一种逼近雅可比矩阵；
前向差分中，，/>为差分步长，依据泰勒公式将/>展开并取至一次项：
；
关于/>偏导数的前向差分为：
；
关于/>偏导数的后向差分为：
；
关于/>偏导数的中心差分为：
；
式中，为差分位置，具体是在/>处，/>是差分结果，/>是/>展开并取至一次项后的一个分量。
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