CN116629326A - 基于cnn卷积核张量分解的稀疏阵列波达方向估计方法 - Google Patents

基于cnn卷积核张量分解的稀疏阵列波达方向估计方法 Download PDF

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Abstract

本发明公开了一种基于CNN卷积核张量分解的稀疏阵列波达方向估计方法，主要解决现有基于卷积神经网络的稀疏阵列波达方向估计方法所存在的网络训练成本高、效率低问题，其实现步骤是：构建二维嵌套互质平面阵列；嵌套互质平面阵列的稀疏张量信号建模与互相关张量推导；构造卷积神经网络的虚拟域张量输入；CNN卷积核canonical polyadic分解与压缩卷积计算；基于压缩卷积神经网络快速训练的二维波达方向估计。本发明通过对高维CNN卷积核进行张量分解，设计相应的稀疏张量统计量压缩卷积计算方式，加速了卷积神经网络的训练过程，实现了兼顾高性能与高效率需求的稀疏阵列二维波达方向估计，可用于目标测向。

Description

基于CNN卷积核张量分解的稀疏阵列波达方向估计方法
技术领域
本发明属于阵列信号处理技术领域，尤其涉及基于稀疏张量信号的高阶统计处理技术，具体是一种基于CNN卷积核张量分解的稀疏阵列波达方向估计方法，可用于高性能目标测向。
背景技术
相比于传统均匀阵列，稀疏阵列具有大孔径、高分辨率的优势，能够突破均匀阵列波达方向估计在估计性能与成本开销上的性能瓶颈。具有系统化结构的稀疏阵列基于接收信号的二阶统计量推导增广虚拟阵列，从而通过虚拟域二阶等价信号处理实现波达方向估计。嵌套互质阵列作为一种典型的稀疏阵列架构，能够推导出连续的虚拟阵列，因此得到广泛应用。然而，传统的虚拟域信号处理方法将接收信号表示成矢量，并通过矢量化接收信号的协方差矩阵推导虚拟域二阶等价信号；随着实际应用中稀疏阵列维度的不断扩张，多维稀疏阵列的接收信号涵盖多维度时空信息，而这种矢量化信号的处理方法将破坏多维接收信号的原始结构，造成严重的性能损失。为了描述更为复杂的空间电磁属性，张量作为一种多维的数据类型，被广泛用于表征涵盖多维时空信息的接收信号。现有稀疏阵列张量信号处理方法通过推导稀疏张量信号对应的二阶虚拟域张量，将其表示为canonical polyadic(CP)模型并作直接CP分解以实现波达方向估计。然而，这种基于CP模型的方法往往难以适应严苛的信号传播环境，在低信噪比、实时性要求高等场景下难以满足高精度、低计算复杂度等性能需求。
为了应对上述挑战，卷积神经网络(convolutional neural network,CNN)基于数据驱动的模式，从高维数据中提取潜在特征，因为被视作一种极具应用潜力的波达方向估计方案。卷积神经网络能够将稀疏张量统计量构造为多通道输入，基于卷积操作逐层提取多维度信号特征，有效抵抗输入端的噪声扰动和非理想信号偏差。然而，在传统的卷积神经网络中，一个网络层即对应一个高维CNN卷积核，其中包含了规模庞大的待训练参数；随着网络层数的增加，卷积神经网络的训练效率将愈发低下。在计算资源受限的场景下，往往难以在保障网络性能的条件下对卷积神经网络进行完备训练。为此，如果设计兼顾高性能和高训练效率的卷积神经网络，以实现满足性能需求的稀疏阵列波达方向估计，是一个极具挑战的技术难题。
发明内容
本发明的目的在于针对现有基于卷积神经网络的稀疏阵列波达方向估计方法所存在网络训练成本高、效率低等问题，提供一种基于CNN卷积核张量分解的稀疏阵列波达方向估计方法。
本发明的目的是通过以下技术方案实现的：一种基于CNN卷积核张量分解的稀疏阵列波达方向估计方法，包含以下步骤：
(1)接收端使用MxMy+NxNy-1个物理天线阵元，按照二维嵌套互质平面阵列的结构进行架构；该嵌套互质平面阵列分解为一个均匀平面子阵列和一个稀疏平面子阵列/>其中/>包含Mx×My个天线阵元，阵元间距d为入射窄带信号波长λ的一半，即d＝λ/2，/>包含Nx×Ny个天线阵元，在x轴方向和y轴方向的间距分别为Mxd和Myd；
(2)假设有K个来自方向的远场窄带非相关信号源，θk和/>分别为第k个入射信号源的方位角和俯仰角，k＝1,2,…,K，将嵌套互质平面阵列中均匀平面子阵列/>的T个快拍采样信号在第三维度进行叠加后，得到一个三维张量信号/>建模为：
其中，sk＝[sk,1,sk,2,…,sk,T]T为对应第k个入射信号源的多快拍采样信号波形向量，[·]T表示转置操作，表示矢量外积，/>为与各信号源相互独立的噪声张量，ax(k)和ay(k)分别为/>在x轴和y轴方向上的导引矢量，表示为：
其中，类似地，稀疏平面子阵列/>的接收信号用三维张量信号/>表示为：
其中，为与各信号源相互独立的噪声张量，bx(k)和by(k)分别为/>在x轴和y轴方向上的导引矢量，表示为：
通过求张量信号和/>的互相关统计量，得到二阶互相关张量
其中，表示第k个入射信号源的功率，/>表示四维互相关噪声张量，＜·,·>r表示两个张量沿着第r维度的张量缩并操作，E·表示取数学期望操作，(·)*表示共轭操作；
(3)定义维度集合通过合并互相关张量/>中表征同一方向空间信息的维度，得到：
其中，和/>在指数项上形成差集数组，构造出一个大小为MxNx×MyNy的虚拟均匀平面阵列/> 表示克罗内克积，/>为噪声项；将U中的元素进行排列，以对应/>中虚拟阵元的位置，得到虚拟域二阶等价信号：
其中，和/>分别为虚拟均匀平面阵列/>沿x轴和y轴方向的导引矢量，/>为对应的噪声项；提取虚拟域二阶等价信号Q的虚部和实部，将它们在第三维度上进行叠加，得到一个三维虚拟域张量作为卷积神经网络的输入；
(4)设置对应第一个卷积层的四维CNN卷积核其中(P1,Q1)表示卷积大小，H0＝2表示输入的通道数，H1表示第一个卷积层的输出通道数；对/>进行canonical polyadic分解，得到：
其中，为核张量，/>和/>分别为对应/>四个维度的因子矩阵，R为canonical polyadic秩，×r表示沿着第r维度的张量-矩阵积；利用核张量与因子矩阵对虚拟域张量/>进行压缩卷积计算，得到第一个卷积层的输出特征图/>I1＝MxNx-P1-2δ+1，J1＝MyNy-Q1-2δ+1，δ为零填充的大小，压缩卷积计算过程表示为三个步骤：
其中，为/>中的第(i0,j0,h0)个元素，i0＝1,2,…,MxNx，j0＝1,2,…,MyNy，i1＝1,2,…,I1，j1＝1,2,…,J1，h0＝1,2,…,H0，h1＝1,2,…,H1，r0,r1,r,r′＝1,2,…,R；类似地，设置另外L-1个四维CNN卷积核/> 通过CNN卷积核的canonical polyadic分解得到它们对应的核张量/>与因子矩阵{Vl,1,Vl,2,Vl,3,Vl,4}，并基于压缩卷积计算逐层输出对应的特征图/>由此构建出一个深度为L的压缩卷积神经网络，用于实现稀疏阵列二维波达方向估计；
(5)利用一个参数矩阵对第L个卷积层的输出特征图进行加权，得到输出层的二维波达方向估计结果：
其中，vec(·)表示矢量化操作，为真实二维波达方向/>的估计值；定义输出层的损失函数：
其中，‖·‖1和‖·‖2分别表示1-范数与2-范数，η表示一个损失函数计算的转换阈值；基于损失函数Θ的梯度下降，完成压缩卷积神经网络的快速训练；利用训练完备的压缩卷积神经网络，在实际应用场景中实现二维波达方向估计。
进一步地，步骤(1)所述的嵌套互质平面阵列结构具体描述为：均匀平面子阵列中天线阵元在坐标系上的位置坐标为{(mxd,myd)|mx＝0,1,…,Mx-1,my＝0,1,…,My-1}；稀疏平面子阵列/>中天线阵元在坐标系上的位置坐标为{(nxMxd,nyMyd)|nx＝0,1,…,Nx-1,ny＝0,1,…,Ny-1}；{Mx,Nx}和{My,Ny}分别为一对互质整数；将/>和/>按照坐标系原点位置阵元重叠的方式进行子阵列组合，由于/>和/>的阵元排布满足互质数条件，因此除坐标系原点位置以外的其余位置阵元均不重叠，获得实际包含MxMy+NxNy-1个天线阵元的嵌套互质平面阵列。
进一步地，步骤(2)所述的二阶互相关张量推导，在实际中，/>通过计算三维张量信号/>和/>的采样互相关统计量近似得到，即采样互相关张量
进一步地，步骤(5)所述的压缩卷积神经网络加速训练过程，计算损失函数Θ关于卷积层核张量与因子矩阵{Vl,1,Vl,2,Vl,3,Vl,4}的梯度，并利用梯度下降对其中的待训练参数进行更新；通过输入若干虚拟域张量对/>{Vl,1,Vl,2,Vl,3,Vl,4}中待训练参数进行迭代更新，完成压缩卷积神经网络的快速训练；在实际应用中，通过执行已训练完备的压缩卷积神经网络的压缩卷积计算，得到精确的二维波达方向估计结果/>
本发明与现有技术相比具有以下优点：
(1)本发明将稀疏阵列信号采样模式拓展至张量空间，建立稀疏张量信号处理与虚拟域张量之间的推导机制，并将虚拟域张量匹配至卷积神经网络输入层，为提高波达方向估计精度性能提供了基础；
(2)本发明利用高维CNN卷积核的低秩性质，对其进行张量分解，大幅度压缩其中包含的待训练网络参数，从而加速了所构建压缩卷积神经网络的训练过程，降低训练成本，从而实现兼顾高性能与低成本需求的稀疏阵列波达方向估计。
附图说明
图1是本发明的总体流程框图。
图2是本发明所设计CNN卷积核canonical polyadic分解与压缩卷积计算示意图。
图3是本发明所提方法在不同信噪比条件下的波达方向估计精度性能比较图。
图4是本发明所提方法在不同采样快拍数条件下的波达方向估计精度性能比较图。
具体实施方式
以下参照附图，对本发明的技术方案作进一步的详细说明。
为了解决现有方法基于卷积神经网络的稀疏阵列波达方向估计方法所存在的网络训练成本高、效率低等问题，本发明提出了一种基于CNN卷积核张量分解的稀疏阵列波达方向估计方法，利用高维CNN卷积核低秩性对其进行分解得到低维投影因子，进而对稀疏张量统计量进行压缩卷积计算逐层提取多维信号特征，实现兼顾高性能与低成本需求的稀疏阵列波达方向估计。参照图1，本发明的实现步骤如下：
步骤1：构建二维嵌套互质平面阵列。接收端使用MxMy+NxNy-1个物理天线阵元，按照二维嵌套互质平面阵列的结构进行架构，该嵌套互质平面阵列分解为一个均匀平面子阵列和一个稀疏平面子阵列/>其中/>包含Mx×My个天线阵元，阵元间距d为入射窄带信号波长λ的一半，即d＝λ/2，/>中天线阵元在坐标系上的位置坐标为{(mxd,myd)|mx＝0,1,…,Mx-1,my＝0,1,…,My-1}；/>包含Nx×Ny个天线阵元，这些天线阵元在x轴方向和y轴方向上的间距分别为Mxd和Myd，在坐标系上的位置坐标为{(nxMxd,nyMyd)|nx＝0,1,…,Nx-1,ny＝0,1,…,Ny-1}；{Mx,Nx}和{My,Ny}分别为一对互质整数；将/>和/>按照坐标系原点位置阵元重叠的方式进行子阵列组合，由于/>和/>的阵元排布满足互质数条件，因此除坐标系原点位置以外的其余位置阵元均不重叠，获得实际包含MxMy+NxNy-1个天线阵元的嵌套互质平面阵列；
步骤2：嵌套互质平面阵列的稀疏张量信号建模与互相关张量推导。假设有K个来自方向的远场窄带非相关信号源，θk和/>分别为第k个入射信号源的方位角和俯仰角，k＝1,2,…,K，将嵌套互质平面阵列中均匀平面子阵列/>的T个快拍采样信号在第三维度进行叠加后，得到一个三维张量信号/>建模为：
其中，sk＝[sk,1,sk,2,…,sk,T]T为对应第k个入射信号源的多快拍采样信号波形向量，[·]T表示转置操作，表示矢量外积，/>为与各信号源相互独立的噪声张量，ax(k)和ay(k)分别为/>在x轴和y轴方向上的导引矢量，表示为：
其中，类似地，稀疏平面子阵列/>的接收信号可以用三维张量信号/>表示为：
其中，为与各信号源相互独立的噪声张量，bx(k)和by(k)分别为/>在x轴和y轴方向上的导引矢量，表示为：
通过求三维张量信号和/>的互相关统计量，得到二阶互相关张量
其中，表示第k个入射信号源的功率，/>表示四维互相关噪声张量，＜·,·>r表示两个张量沿着第r维度的张量缩并操作，E[·]表示取数学期望操作，(·)*表示共轭操作；在实际中，/>通过计算张量信号/>和/>的采样互相关统计量近似得到，即采样互相关张量：
步骤3：构造卷积神经网络的虚拟域张量输入。由于互相关张量中包含了均匀平面子阵列/>和稀疏平面子阵列/>的空间信息，通过合并/>中表征同一方向空间信息的维度，使两个子阵列对应相同方向的导引矢量在指数项上形成差集数组，从而构造增广虚拟阵列。具体地，互相关张量/>的第1、3维度表征x轴方向的空间信息，第2、4维度表征y轴方向的空间信息；为此，定义维度集合/>通过对互相关张量/>进行维度合并，得到：
其中，和/>通过在指数项上形成差集数组，构造出一个大小为MxNx×MyNy的虚拟均匀平面阵列/> 表示克罗内克积，/>为对应的噪声项；将U中的元素进行排列，以对应/>中虚拟阵元的位置，得到虚拟域二阶等价信号：
其中，和/>分别为虚拟均匀平面阵列/>沿x轴和y轴方向的导引矢量，/>为对应的噪声项；提取虚拟域二阶等价信号Q的虚部和实部，将它们在第三维度上进行叠加，得到一个三维虚拟域张量作为卷积神经网络的输入；
步骤4：CNN卷积核canonical polyadic分解与压缩卷积计算。利用卷积神经网络提取虚拟域张量的信号特征实现波达方向估计，具体而言，设置对应第一个卷积层的四维CNN卷积核/>其中(P1,Q1)表示卷积大小，H0＝2表示输入的通道数，H1表示第一个卷积层的输出通道数；为了减少CNN卷积核中的待训练参数量，如图2所示，利用其低秩性质对其进行canonical polyadic分解，表示为：
其中，为核张量，/>和/>分别为对应/>四个维度的因子矩阵，R为canonical polyadic秩，×r表示沿着第r维度的张量-矩阵积；由此，CNN卷积核分解后所得到的核张量与因子矩阵中包含的待训练参数量被大幅度压缩。同时，利用核张量与因子矩阵对虚拟域张量/>进行压缩卷积计算，得到第一个卷积层的输出特征图/>I1＝MxNx-P1-2δ+1，J1＝MyNy-Q1-2δ+1，δ为零填充的大小，压缩卷积计算过程表示为三个步骤：
其中，为/>中的第(i0,j0,h0)个元素，i0＝1,2,…,MxNx，j0＝1,2,…,MyNy，i1＝1,2,…,I1，j1＝1,2,…,J1，h0＝1,2,…,H0，h1＝1,2,…,H1，r0,r1,r,r′＝1,2,…,R；类似地，构建另外L-1个四维卷积核/>通过CNN卷积核canonical polyadic分解得到它们对应的核张量/>与因子矩阵{Vl,1,Vl,2,Vl,3,Vl,4}，并基于压缩卷积计算准则逐层输出对应的特征图/>由此构建出一个深度为L的压缩卷积神经网络，用于实现二维波达方向估计；
步骤5：基于压缩卷积神经网络快速训练的二维波达方向估计。利用一个参数矩阵对第L个卷积层的输出特征图/>进行加权，得到输出层的二维波达方向估计结果，表示为：
其中，vec(·)表示矢量化操作，为真实二维波达方向/>的估计值；定义输出层的损失函数：
其中，‖·‖1和‖·‖2分别表示1-范数与2-范数，η表示一个损失函数计算的转换阈值，一般情况下设置η＝1；计算损失函数Θ关于卷积层核张量与因子矩阵{Vl,1,Vl,2,Vl,3,Vl,4}的梯度，并利用梯度下降对其中的待训练参数进行更新；通过输入若干虚拟域张量对/>{Vl,1,Vl,2,Vl,3,Vl,4}中待训练参数进行迭代更新，完成压缩卷积神经网络的快速训练；在实际应用中，通过执行已训练完备的压缩卷积神经网络的压缩卷积计算，得到精确的二维波达方向估计结果/>
下面结合仿真实例对本发明的效果做进一步的描述。
仿真实例：采用嵌套互质平面阵列接收入射信号，其参数选取为Mx＝My＝4，Nx＝Ny＝5，即架构的嵌套互质平面阵列共包含MxMy+NxNy-1＝40个物理阵元。所推导的虚拟均匀平面阵列共有20×20个虚拟阵元，对应的虚拟域张量输入的大小为20×20×2。对比本发明所提基于卷积核张量分解的压缩卷积神经网络与传统未压缩卷积神经网络的训练成本与效率。设定卷积神经网络深度为L＝3，卷积核大小分别为5×5×2×16，5×5×16×32和3×3×32×32。对于所提压缩卷积神经网络，CNN卷积核张量分解的canonical polyadic秩为{3,3,2}。假定有2个入射信号，在训练阶段，通过生成19200个样本对网络进行训练，每个样本对应的信号方位角和俯仰角均在[15°,65°]范围内随机生成，信噪比(signal-to-noiseratio,SNR)在集合{-15dB,-10dB,-5dB,0dB}中随机选取。实验证明，传统卷积神经网络的卷积核中所包含待训练参数量为22816，训练所消耗浮点数计算量为4.114×106；相较之下，所提压缩卷积神经网络的核张量与因子矩阵中所包含待训练参数量被压缩至366，训练所消耗浮点数计算量仅为1.843×106。
进一步地，对比所提方法与传统卷积神经网络方法以及canonical polyadic分解方法的估计精度。在采样快拍数T＝150的条件下，绘制均方根误差(root-mean-squareerror,RMSE)随信噪比变化的性能对比曲线，如图3所示；在信噪比SNR＝-5dB的条件下，绘制RMSE随采样快拍数T变化的性能对比曲线，如图4所示。从对比结果看出，相比于传统未压缩的卷积神经网络，本发明所提方法能够获得与之相近的二维波达方向估计精度，而训练损耗却降低了200倍；相比于传统基于canonical polyadic模型的方法，本发明所提方法通过多层压缩卷积计算有效提取深层次多维信号特征，在低信噪比与低快拍采样数条件下，能够保持更好的估计精度和稳定性。综上所述，本发明通过对卷积深度网络的高维卷积核进行张量分解，设计相应的压缩卷积计算方式，实现了满足低成本、高性能需求的稀疏阵列二维波达方向估计。
以上所述仅是本发明的优选实施方式，虽然本发明已以较佳实施例披露如上，然而并非用以限定本发明。任何熟悉本领域的技术人员，在不脱离本发明技术方案范围情况下，都可利用上述揭示的方法和技术内容对本发明技术方案做出许多可能的变动和修饰，或修改为等同变化的等效实施例。因此，凡是未脱离本发明技术方案的内容，依据本发明的技术实质对以上实施例所做的任何的简单修改、等同变化及修饰，均仍属于本发明技术方案保护的范围内。

Claims (4)

1.一种基于CNN卷积核张量分解的稀疏阵列波达方向估计方法，其特征在于，包含以下步骤：
(1)接收端使用MxMy+NxNy-1个物理天线阵元，按照二维嵌套互质平面阵列的结构进行架构；该嵌套互质平面阵列分解为一个均匀平面子阵列和一个稀疏平面子阵列/>其中/>包含Mx×My个天线阵元，阵元间距d为入射窄带信号波长λ的一半，即d＝λ/2，/>包含Nx×Ny个天线阵元，在x轴方向和y轴方向的间距分别为Mxd和Myd；
(2)假设有K个来自方向的远场窄带非相关信号源，θk和/>分别为第k个入射信号源的方位角和俯仰角，k＝1,2,…,K，将嵌套互质平面阵列中均匀平面子阵列/>的T个快拍采样信号在第三维度进行叠加后，得到一个三维张量信号建模为：
其中，sk＝[sk,1,sk,2,…,sk,T]T为对应第k个入射信号源的多快拍采样信号波形向量，[·]T表示转置操作，表示矢量外积，/>为与各信号源相互独立的噪声张量，ax(k)和ay(k)分别为/>在x轴和y轴方向上的导引矢量，表示为：
其中，类似地，稀疏平面子阵列/>的接收信号用三维张量信号/>表示为：
其中，为与各信号源相互独立的噪声张量，bx(k)和by(k)分别为/>在x轴和y轴方向上的导引矢量，表示为：
通过求张量信号和/>的互相关统计量，得到二阶互相关张量
其中，表示第k个入射信号源的功率，/>表示四维互相关噪声张量，<·,·>r表示两个张量沿着第r维度的张量缩并操作，E[·]表示取数学期望操作，(·)*表示共轭操作；
(3)定义维度集合通过合并互相关张量/>中表征同一方向空间信息的维度，得到：
其中，和/>在指数项上形成差集数组，构造出一个大小为MxNx×MyNy的虚拟均匀平面阵列/> 表示克罗内克积，/>为噪声项；将U中的元素进行排列，以对应/>中虚拟阵元的位置，得到虚拟域二阶等价信号：
其中，和分别为虚拟均匀平面阵列/>沿x轴和y轴方向的导引矢量，/>为对应的噪声项；提取虚拟域二阶等价信号Q的虚部和实部，将它们在第三维度上进行叠加，得到一个三维虚拟域张量作为卷积神经网络的输入；
(4)设置对应第一个卷积层的四维CNN卷积核其中(P1,Q1)表示卷积大小，H0＝2表示输入的通道数，H1表示第一个卷积层的输出通道数；对/>进行canonical polyadic分解，得到：
其中，为核张量，/>和/>分别为对应/>四个维度的因子矩阵，R为canonical polyadic秩，×r表示沿着第r维度的张量-矩阵积；利用核张量与因子矩阵对虚拟域张量/>进行压缩卷积计算，得到第一个卷积层的输出特征图/>I1＝MxNx-P1-2δ+1，J1＝MyNy-Q1-2δ+1，δ为零填充的大小，压缩卷积计算过程表示为三个步骤：
其中，为/>中的第(i0,j0,h0)个元素，i0＝1,2,…,MxNx，j0＝1,2,…,MyNy，i1＝1,2,…,I1，j1＝1,2,…,J1，h0＝1,2,…,H0，h1＝1,2,…,H1，r0,r1,r,r′＝1,2,…,R；类似地，设置另外L-1个四维CNN卷积核/> 通过CNN卷积核的canonical polyadic分解得到它们对应的核张量/>与因子矩阵{Vl,1,Vl,2,Vl,3,Vl,4}，并基于压缩卷积计算逐层输出对应的特征图/>由此构建出一个深度为L的压缩卷积神经网络，用于实现稀疏阵列二维波达方向估计；
(5)利用一个参数矩阵对第L个卷积层的输出特征图进行加权，得到输出层的二维波达方向估计结果：
其中，vec(·)表示矢量化操作，为真实二维波达方向/>的估计值；定义输出层的损失函数：
其中，‖·‖1和‖·‖2分别表示1-范数与2-范数，η表示一个损失函数计算的转换阈值；基于损失函数Θ的梯度下降，完成压缩卷积神经网络的快速训练；利用训练完备的压缩卷积神经网络，在实际应用场景中实现二维波达方向估计。
2.根据权利要求1所述的基于CNN卷积核张量分解的稀疏阵列波达方向估计方法，其特征在于，步骤(1)所述的嵌套互质平面阵列结构具体描述为：均匀平面子阵列中天线阵元在坐标系上的位置坐标为{(mxd,myd)|mx＝0,1,…,Mx-1,my＝0,1,…,My-1}；稀疏平面子阵列/>中天线阵元在坐标系上的位置坐标为{(nxMxd,nyMyd)|nx＝0,1,…,Nx-1,ny＝0,1,…,Ny-1}；{Mx,Nx}和{My,Ny}分别为一对互质整数；将/>和/>按照坐标系原点位置阵元重叠的方式进行子阵列组合，由于/>和/>的阵元排布满足互质数条件，因此除坐标系原点位置以外的其余位置阵元均不重叠，获得实际包含MxMy+NxNy-1个天线阵元的嵌套互质平面阵列。
3.根据权利要求1所述的基于CNN卷积核张量分解的稀疏阵列波达方向估计方法，其特征在于，步骤(2)所述的二阶互相关张量推导，在实际中，/>通过计算三维张量信号/>和/>的采样互相关统计量近似得到，即采样互相关张量/>
4.根据权利要求1所述的基于CNN卷积核张量分解的稀疏阵列波达方向估计方法，其特征在于，步骤(5)所述的压缩卷积神经网络加速训练过程，计算损失函数Θ关于卷积层核张量与因子矩阵{Vl,1,Vl,2,Vl,3,Vl,4}的梯度，并利用梯度下降对其中的待训练参数进行更新；通过输入若干虚拟域张量对/>{Vl,1,Vl,2,Vl,3,Vl,4}中待训练参数进行迭代更新，完成压缩卷积神经网络的快速训练；在实际应用中，通过执行已训练完备的压缩卷积神经网络的压缩卷积计算，得到精确的二维波达方向估计结果/>
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