CN116449710A - 一种具有高共振模态柔性系统的负虚化方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供了一种具有高共振模态柔性系统的负虚化方法，首先建立柔性系统模型，并引入动态前馈补偿器，给出了前馈补偿后系统状态空间方程；其次为补偿后系统选取了一组正定矩阵，并推导一组矩阵不等式条件，使得补偿后系统具有负虚性质，进一步求解矩阵不等式条件可以得到前馈补偿器参数；最后为负虚化后系统设计一个改进的负虚控制器来保证闭环系统稳定。本发明方法确保了具有非负虚属性的高共振模态柔性系统可以采用负虚理论设计控制器，拓展了负虚理论在柔性系统中的应用范围。通过卫星模型仿真实验，表明了在参数摄动或未建模动态情况下，设计后的系统能同时兼顾响应特性和鲁棒性。

Description

一种具有高共振模态柔性系统的负虚化方法

技术领域

本发明涉及柔性系统控制技术领域，具体涉及一种具有高共振模态柔性系统的负虚化方法。

背景技术

柔性结构出现在许多领域，如柔性机器人操纵器、航天卫星搭载的有效载荷(如天线、太阳能电池阵列)及精密仪器仪表(如原子力显微镜和光学系统)中的悬臂梁，通常搭载这种柔性结构的系统称为柔性系统。然而由于存在参数不确定性和系统未建模动态，柔性系统控制性能和稳定性将会受到影响，因此必须进行鲁棒控制设计。

在传统的控制方法中，如H∞回路成形法、混合灵敏度补偿方法及模型匹配法等，在处理具有不确定性柔性系统时，会使得控制器的设计复杂化，尤其是系统具有弱阻尼特性时，进而使得设计的控制器具有保守性或不稳定。目前最新的负虚控制理论在处理具有高共振模态的柔性系统有着巨大优势，但该理论现阶段只适用于具有负虚性质的柔性结构。而实际应用中的柔性系统比柔性结构更加复杂，传感器的配置及系统中刚性模态的存在，使得系统本身不具有负虚性质，进而无法使用现有的负虚理论进行控制设计。因此，急需一种能够解决实际问题需要的负虚化方法，通过将具有高共振模态的柔性系统进行负虚化设计(即将变换后系统Nyquist曲线移动到极坐标图虚轴下方)，使得变换后系统具有负虚性，这样只需简单的设计一种负虚控制器便能够保证系统稳定性及鲁棒性。

发明内容

针对现有技术的不足，本发明提出一种具有高共振模态柔性系统的负虚化方法，包括以下步骤：

步骤1：基于具有高共振模态的柔性系统模型设计动态前馈补偿器，建立补偿后系统状态空间方程；

步骤2：基于负虚判定条件，设计一组线性矩阵不等式(LMI)条件保证补偿后系统的负虚性质，并求解补偿器参数；

步骤3：针对负虚化后的系统设计一个改进的负虚控制器以保证闭环系统性能和稳定性；

所述步骤1包括：

步骤1.1：建立执行器与位置传感器分别位于柔性结构两侧(异侧配置)的柔性系统的模型表示:

其中，模态谐振频率ω_i>0，模态阻尼ζ_i>0，模态增益c_i>0，当i≠1时，c_i>0。而i＝1时，c₁＝-c₀，G(s)表示柔性系统的传递函数，c₀表示刚性模态系统，s表示复频率；

柔性系统的状态空间表达式：

化简得到状态空间方程：

其中，

式中，A₁、A₂分别表示柔性和刚性对象的状态矩阵，B₁、B₂分别表示柔性和刚性对象的输入矩阵，C₁、C₂分别表示柔性和刚性对象的输出矩阵，I表示适当的单位矩阵，B₂₁、B₂₂表示刚性对象输入子矩阵，C₂₁、C₂₂表示刚性对象输出子矩阵表示,G₁(s)表示G(s)的子系统传递函数；

步骤1.2：建立动态前馈补偿器状态空间表达式：

其中，G_K表示前馈补偿器的传递函数，A_K是赫尔维兹矩阵，A_K、B_K、C_K为待求解前馈补偿器参数，u_k表示补偿器输入，x_k表示补偿器状态变量，y_k表示补偿器输出变量；

步骤1.3：进一步化简前馈补偿后系统的状态空间方程：

其中，

所述步骤2包括：

步骤2.1：为补偿后系统G_NI(s)选择李雅普诺夫正定矩阵Y：

其中，矩阵Y₁＝Y₁ ^T>0，Y₁₂＝Y₂；Y₁、Y₁₂、Y₂分别表示待求解的正定矩阵；给出正定条件,矩阵Y是正定的，Y的正定性等价于：

根据条件Y₁＝Y₁ ^T>0，Y₁₂＝Y₂，可知矩阵Y正定性等价于条件Y₁-Y₂>0；步骤2.2：设计前馈补偿使得柔性系统负虚化，需满足条件/>

其中，矩阵因此/>等价于不等式条件：

其次，还需要满足等式条件因此

其中因此/>等价于：

对等式两边同时左乘A_K ^-1，因此可得/>

其中故条件/>等价于线性不等式条件：

最后考虑对于刚性模态部分满足负虚性的条件，当s＝0且为G_NI(s)的双极点时有

因此，G₂＝C₂₁B₂₂>0时，是哈密尔顿矩阵，补偿后系统G_NI(s)具有负虚性质；

步骤2.3：求解线性矩阵不等式条件：

Y₁-Y₂>0

其中，矩阵Y₁,Y₂和矩阵是上述线性矩阵不等式条件的解，可以通过MATLAB求解。由于矩阵参数/>故进一步可以解得前馈补偿器参数A_K,B_K,C_K。

所述步骤3包括：

步骤3.1：设计一种改进的积分谐振控制器：

其中，k、φ、τ为控制器参数，φ>0，τ>0，k>φ/τ；

步骤3.2：建立负虚化后系统G_NI(s)和改进控制器C(s)的闭环系统稳定性条件：

G_NI(0)C(0)<0

其中，G_NI(0)为G_NI(s)的零频率增益，C(0)为C(s)零频率增益。

本发明的有益效果是：

本发明的负虚化设计保证了一类具有非负虚属性的系统可以采用负虚理论设计控制器，另外考虑了系统存在刚体模态的情况，相比较最初负虚系统关注只有谐振模态的柔性结构，在实际应用上拓宽了适用范围，并解决弱阻尼柔性系统控制设计中的参数摄动和模态溢出等鲁棒性问题。

附图说明

图1为本发明中具有高共振模态柔性系统的负虚化方法设计流程图；

图2为本发明中基于前馈补偿器的负虚化方法框图；

图3为本发明中的基于前馈补偿的闭环系统鲁棒方案框图；

图4为本发明中的标称系统G(s)和前馈补偿后系统G_NI(s)的极坐标图；

图5为本发明中补偿后系统G_NI(s)中参数k摄动10倍后的奈奎斯特Nyquist曲线图；

图6为本发明中0.2rad/s初始条件下两种方案的扰动输出曲线。

具体实施方式

下面结合附图和具体实施实例对发明做进一步说明。本发明提供了一种对一类具有高共振模态柔性系统的负虚化设计方法。首先，建立柔性结构、柔性系统的模型，并引入前馈动态补偿器，进一步化简前馈补偿后系统状态空间方程。其次，选取合适正定矩阵并推导一组LMI条件使得补偿后系统具有负虚性质，通过求解LMI条件可以解得补偿器参数。最后，为负虚化后得到的系统，设计一个负虚控制器可保证闭环系统稳定。本发明的负虚化设计保证了一类具有非负虚属性的系统可以采用负虚理论设计控制器。

本发明方法具体应用于一个星体探测卫星，该系统由卫星主体和光学仪表盘两个部件组成，两个部件由柔性连杆相连，其数学模型由一个带阻尼的弹簧表示。其中卫星姿态角是星体传感器和仪表箱的夹角。柔性结构的参数d,k受温度影响。

如图1所示，一种具有高共振模态柔性系统的负虚化方法，包括：

步骤1：基于高共振模态的柔性系统模型设计动态前馈补偿器；具体为：

步骤1.1：建立柔性结构从执行器输入到对应传感器的测量输出的数学模型：

其中，ζ_i>0,ω_i>0，s为复变量，φ_i(s)是一阶多项式形式，φ_i(s)取决于传感器类型，以及执行器和传感器的结构配置，当采用位置传感器来测量，且传感器与执行器采用同侧配置结构时，φ_i(s)＝c_i>0，对于这类结构的柔性结构属于负虚系统。即对于单输入单输出系统其传递函数的Nyquist曲线位于实轴的下方。

表1柔性系统模态参数表

建立执行器与位置传感器分别位于柔性结构两侧(异侧配置)的柔性系统的模型表示：

上述等式右侧第三项的负虚模态可以看作不确定性Δ(s)处理。根据表1可以取k＝0.091和d＝0.0036使得按照谐振频率ω₁＝1和阻尼比ζ＝0.02来进行设计。因此标称系统传递函数为

对于柔性系统的状态空间表达式：

其中：

步骤1.2：建立动态前馈补偿器状态空间表达式：

其中，A_K是赫尔维兹矩阵。

步骤1.3：进一步化简前馈补偿后系统的状态空间方程：

其中：

图2中由刚性模态和高谐振模态G₁(s)组成的柔性系统G(s)，其中G₁(s)不具有负虚属性，导致G(s)也不是负虚的。G_K(s)为加入的动态前馈补偿器，G_K(s)作用于柔性系统G(s)，可使得补偿后系统G_NI(s)具有负虚性质。

步骤2.1：选择李雅普诺夫正定矩阵为：

矩阵Y₁＝Y₁ ^T>0，Y₁₂＝Y₂。矩阵Y是正定的，Y的正定性等价于因此根据条件Y₁＝Y₁ ^T>0，/>Y₁₂＝Y₂，可知Y是正定的等价于条件Y₁-Y₂>0。

步骤2.2：设计前馈补偿使得柔性系统负虚化的LMI条件，首先需要证明

其中，矩阵因此/>等价于不等式条件：

其次，还需要满足等式条件因此

其中因此/>等价于条件：

对等式两边同时左乘A_K ^-1，因此可得/>

其中故条件/>等价于线性矩阵不等式条件：

最后考虑对于刚性模态部分满足负虚性的条件，当s＝0且为G_NI(s)的双极点时有

因此，当G₂＝C₂₁B₂₂>0时，是哈密尔顿矩阵，补偿后系统G_NI(s)具有负虚性质。

步骤2.3：求解矩阵不等式条件：

Y₁-Y₂>0

可以解得：

由于故进一步可以解得前馈补偿器参数A_K,B_K,C_K为：

那么可以得出负虚化后的系统为:

步骤3：为负虚化后系统提供一个负虚控制器以保证闭环系统性能和稳定性；包括：

步骤3.1：改进的积分谐振控制器为：

其中，参数φ＝4.1028，τ＝1.4524，k＝10.4257。

步骤3.2：给出负虚化后系统G_NI(s)和改进控制器C(s)的闭环系统稳定性条件：

G_NI(0)C(0)<0

其中，G_NI(0)为G_NI(s)的零频率增益，C(0)为C(s)零频率增益。由于G_NI(0)C(0)＝-6.841，因此闭环系统稳定。

图3为基于前馈补偿的闭环系统鲁棒方案框图，当考虑存在不确定性△时，闭环系统仍然是稳定。图4为标称系统G(s)和前馈补偿后系统G_NI(s)的Nyquist曲线，其中标称系统G(s)不具有负虚性，而通过前馈补偿后系统G_NI(s)具有了负虚性，即Nyquist曲线移动到了实轴的下方。进一步考虑该前馈方案的鲁棒性，即参数摄动后仍然保持系统的负虚性。图5为结构参数k摄动10倍的Nyquist曲线，可以看出摄动后曲线仍然在虚轴下方没有改变G_NI(s)的负虚性，故摄动后系统G_NI(s)仍然稳定。

比较本方法与H∞回路成形法的鲁棒稳定性。从图6中可得出在θ₂＝0.2rad/s初始条件下,负虚方案最大扰动峰值为0.03rad/s，并且系统在0.5s后输出趋于0。而回路成形法中最大扰动峰值为0.1rad/s，并且系统在35s后输出趋于0。因此负虚方案响应明显更快，超调更小。H∞回路成形方案下当角频率摄动3.5％时，即ω₁从1增大到1.035rad/s就达到了稳定边界。而负虚方案角频率摄动20％后，即ω₁＝1.2rad/s，仍然保持负虚性，那么系统是稳定的。

Claims (4)

1.一种具有高共振模态柔性系统的负虚化方法，其特征在于，包括：

步骤1：基于具有高共振模态的柔性系统模型设计动态前馈补偿器，建立补偿后系统状态空间方程；

步骤2：基于负虚判定条件，设计一组线性矩阵不等式条件保证补偿后系统的负虚性质，并求解补偿器参数；

步骤3：针对负虚化后的系统设计一个改进的负虚控制器以保证闭环系统性能和稳定性。

2.根据权利要求1所述的一种具有高共振模态柔性系统的负虚化方法，其特征在于，所述步骤1包括：

步骤1.1：建立执行器与位置传感器分别位于柔性结构两侧的柔性系统的状态空间方程表达式：

其中，

式中，A₁、A₂分别表示柔性和刚性对象的状态矩阵，B₁、B₂分别表示柔性和刚性对象的输入矩阵，C₁、C₂分别表示柔性和刚性对象的输出矩阵，I表示适当的单位矩阵，B₂₁、B₂₂表示刚性对象输入子矩阵，G(s)表示柔性系统的传递函数，s表示复频率，C₂₁、C₂₂表示刚性对象输出子矩阵表示,G₁(s)表示G(s)的子系统传递函数；

步骤1.2：建立动态前馈补偿器状态空间表达式：

其中，G_K表示前馈补偿器的传递函数，A_K是赫尔维兹矩阵，A_K、B_K、C_K为待求解前馈补偿器参数，u_k表示补偿器输入，x_k表示补偿器状态变量，y_k表示补偿器输出变量；

步骤1.3：化简前馈补偿后系统的状态空间方程表示为：

其中，G_NI(s)为补充后系统的传递函数，

3.根据权利要求1所述的一种具有高共振模态柔性系统的负虚化方法，其特征在于，所述步骤2包括：

步骤2.1：为补偿后系统G_NI(s)选择李雅普诺夫正定矩阵Y：

其中，矩阵Y₁＝Y₁ ^T>0，Y₁₂＝Y₂；Y₁、Y₁₂、Y₂分别表示待求解正定矩阵；

给出正定条件，矩阵Y是正定的，Y的正定性等价于：

根据条件Y₁＝Y₁ ^T>0，Y₁₂＝Y₂，可知矩阵Y正定性等价于条件Y₁-Y₂>0；

步骤2.2：设计前馈补偿使得柔性系统负虚化，需满足条件

其中，矩阵因此/>等价于不等式条件：

其次，还需要满足等式条件因此

其中因此/>等价于：

对等式两边同时左乘A_K ^-1，因此可得/>

其中故条件/>等价于线性不等式条件：

最后考虑对于刚性模态部分满足负虚性的条件，当s＝0且为G_NI(s)的双极点时有

因此，G₂＝C₂₁B₂₂>0时，是哈密尔顿矩阵，补偿后系统G_NI(s)具有负虚性质；

步骤2.3：求解线性矩阵不等式条件：

Y₁-Y₂>0

其中，矩阵Y₁,Y₂和矩阵是上述线性矩阵不等式条件的解，由于矩阵参数 故可以求解出前馈补偿器参数A_K,B_K,C_K。

4.根据权利要求1所述的一种具有高共振模态柔性系统的负虚化方法，其特征在于，所述步骤3包括：

步骤3.1：设计一种改进的积分谐振控制器C(s)：

其中，k、φ、τ为控制器参数，φ>0，τ>0，k>φ/τ；

步骤3.2：建立负虚化后系统G_NI(s)和改进控制器C(s)的闭环系统稳定性条件：

G_NI(0)C(0)<0

其中，G_NI(0)为G_NI(s)的零频率增益，C(0)为C(s)零频率增益。