CN116090113B - 一种块体结构可变节点悬挂单元网格有限元模型 - Google Patents

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Abstract

本发明提供一种块体结构可变节点悬挂单元网格有限元模型，涉及块体结构材料的有限元分析技术领域，包括以下步骤：步骤一，通过变节点单元建立块体结构的悬挂单元网格有限元模型；步骤二，根据变节点单元的节点分布逐一计算所有节点对单元柔度矩阵的贡献矩阵；步骤三，根据自由度指示数组，逐一计算所有单元对块体结构整体柔度矩阵的贡献矩阵；步骤四，建立块体结构整体柔度矩阵与外部作用荷载之间的关系，并形成有限元求解方程；步骤五，计算块体结构中所有变节点单元的单元应力；步骤六，通过乘子法计算块体结构中所有变节点单元所有节点的节点位移。

Description

一种块体结构可变节点悬挂单元网格有限元模型
技术领域
本发明涉及块体结构材料的有限元分析技术领域，具体是一种块体结构可变节点悬挂单元网格有限元模型。
背景技术
合理的单元网格连接模式是进行有限元数值分析的前提，也是影响数值分析精度的主要因素之一。单元之间通过节点相互连接，并通过相互协调的节点传递荷载和变形，因此网格剖分时需要确保相邻单元的节点数量和分布一致，以避免相关单元的节点产生非协调位移而造成数值分析误差。此外，对于基于势能原理的位移有限元方法，需要构造位移插值函数确保节点位移协调；而对于基于余能原理的应力有限元方法，则需要构造应力插值函数确保应力平衡。细观力学性能研究中，网格密度对精度具有显著的影响。对于大型工程的数值分析，数值精度和计算效率往往存在相互制约的关系，但是并非所有区域都需要获得具有足够精确度的数值解，仅需获得关键部位的精确数值解即可。因此，对于变形或者应力变化梯度较小的区域建立稀疏网格，而在变化梯度较大区域或敏感区域建立较为密集的网格，从而减小网格数量，提高计算效率，同时也可以确保获得合理的数值结果。
为了解决这个矛盾，国内外学者建立了疏密网格模型，在一定范围内建立加密网格，从而提高研究区域的数值精度。但是，疏密网格会造成两侧单元的位移不协调，也存在一定计算误差。目前，解决方法主要有：(1)构造变节点过渡单元；(2)通过罚函数法引入位移约束条件；(3)调整方程中的刚度矩阵，引入因位移不协调而产生的附加能量；(4)修改插值函数；(5)构造虚拟弹簧单元；(6)引入位移约束函数；(7)调整方程右端项；(8)剖分非结构化网格模型；(9)建立耦合方程。但是，无论采用何种方法，在求解节点位移时，均需要构造单元形函数，且不同单元具有不同的形函数，尚且没有统一的形函数表达式。
此外，无论是建模方法，还是求解方法，上述各方法具有一定的难度，且无法直接从二维模型扩展到三维模型。
因此，对于三维模型，需要采取新的方法，从而构造新的单元及求解方程。特别是对于三维问题的疏密网格模型，由于前处理工作量太大而难以实现，建模难度及方程求解难度远远大于二维问题的疏密网格模型。
发明内容
本发明所要解决的技术问题是：
在现有技术的有限元数值分析中，为解决疏密单元的交界面上节点分布不对称造成的刚度不匹配，从而导致疏密网格交界面节点位移不协调的问题，需要对疏密单元悬挂网格模型构造节点位移函数，且需要对疏密单元的交界面进行处理，这个过程需要大量的计算，计算效率低，此外也无法直接从二维模型扩展到三维模型。
为解决上述技术问题，本发明提供一种块体结构可变节点悬挂单元网格有限元模型，对块体结构内部节点位移和单元应力的精确解和真实状态进行反馈，包括以下步骤：
步骤一，通过变节点单元建立块体结构的悬挂单元网格有限元模型；
步骤二，根据变节点单元的节点分布逐一计算所有节点对单元柔度矩阵的贡献矩阵；
步骤三，根据自由度指示数组，逐一计算所有单元对块体结构整体柔度矩阵的贡献矩阵；
步骤四，建立块体结构整体柔度矩阵与外部作用荷载之间的关系，并形成有限元求解方程；
步骤五，计算块体结构中所有变节点单元的单元应力；
步骤六，通过乘子法计算块体结构中所有变节点单元所有节点的节点位移。
进一步的，所述步骤一中：
1)变节点是指二维单元及三维单元的节点数量不确定，可以任意添加节点数量和减少节点数量；
2)所述变节点单元分为二维四边形单元、三角形单元及三维六面体单元；
所述二维四边形单元和三角形单元的节点分布在单元边界的中间位置，所述变节点是在单元的边界上随意增加节点数量和分布；
所述三维六面体单元的节点分布在单元六个面的中心位置，所述变节点是在单元的边界面内随意增加节点数量和分布；
3)所述悬挂单元网格有限元模型是指通过二维单元的密网格的节点连接二维单元疏网格的节点、通过三维单元的密网格的节点连接三维单元疏网格的节点；
4)疏密网格交界面的悬挂位置左右两侧的单元节点为固有节点，不需要额外添加节点数量和确定节点分布位置。
进一步的，所述步骤一中，变节点单元的疏密网格交界面处增加节点的方法如下：
所述变节点单元是分段建立不同尺寸的疏密单元模型，并在疏密单元交界面位置处的疏网格中映射密网格的节点分布，即在疏网格的相同位置增加单元节点。
进一步的，所述步骤二中：
二维变节点单元的节点对单元柔度矩阵的贡献矩阵表达式为2×2的矩阵：
三维变节点单元的节点对单元柔度矩阵的贡献矩阵表达式为3×3的矩阵：
其中，λij为节点i对节点j的柔度贡献矩阵，γi为节点的坐标向量，γma(m＝i,j；a＝x,y,z)为i点和j点的坐标向量在x,y,z方向上的分量，E为弹性模量，ν为泊松比，V为三维单元的体积，A为二维单元的面积。
进一步的，所述步骤四中，块体结构整体柔度矩阵与外部作用荷载之间的关系为：
X＝A/B (3)
其中，X为节点上的力和乘子，A为块体结构的整体柔度矩阵和乘子矩阵组成的系数项矩阵，B为块体结构的外荷载矩阵。
进一步的，所述步骤五中，变节点单元的单元应力表达式为：
其中，x为力和乘子X中的节点力元素。
进一步的，所述步骤六中，
二维变节点单元的节点位移表达式为：
三维变节点单元的节点位移表达式为：
其中，是δα是节点的位移矢量，δx是节点位移在x方向的分量，δy节点位移在y方向的分量，δz节点位移在z方向的分量；λixjx是节点的柔度矩阵，二维单元可通过式(1)获得，三维单元可通过式(2)获得；κ1,κ2,ψ是拉格朗日乘子；Xjx,Xjy,Xjz是节点上的力，可通过式(3)获得。
本发明达到的有益效果：
(1)本发明的变节点单元适用于任意节点数量和节点分布的单元；变节点单元疏密网格交界面位置处的节点处理方法适用于二维四边形单元、二维三角形单元及三维六面体单元，具有较强的可扩展性能；变节点单元不需要构造单元形函数或节点位移插值函数或单元应力插值函数；
(2)本发明中节点柔度贡献矩阵适用于任意形状和任意节点分布的单元；节点位移适用于任意形状和任意节点分布的单元；变节点单元可以从二维数值模拟直接扩展到三维数值模型，而无需重新构造单元类型；变节点单元的节点柔度贡献矩阵可以通过节点坐标获得，不需要数值积分；变节点单元可以获得任意单元的柔度矩阵精确解，没有误差。
(3)本发明的变节点单元中：
①疏密网格悬挂单元模型交界面位置无需插入虚拟节点，也无需构造虚拟弹簧单元；
②疏密网格悬挂单元模型中无需引入位移约束条件；
③疏密网格悬挂单元模型的节点和单元无需构造插值函数；
④疏密网格悬挂单元模型的求解系统无需调整系数项矩阵、无需建立耦合方程；疏密网格悬挂单元模型的求解系统无需调整方程的右端项；
⑤二维悬挂单元模型疏密网格交界面仅依靠两侧单元共用的边内节点即可确保节点位移协调；三维悬挂单元模型疏密网格交界面仅依靠两侧单元共用的面内节点即可确保节点位移协调，避免了节点分布不对称造成了疏密网格两侧单元的刚度不匹配的情况。
附图说明
图1为实施例一中悬臂梁构件示意图；
图2A为实施例一中四边形悬挂单元网格示意图；
图2B为实施例一中三角形悬挂单元网格示意图；
图3为实施例一中节点位移和单元弯曲正应力数值解与理论解对比图；
图4为实施例一中弯曲正应力分布云图；
图5为实施例二中三维六面体悬挂网格模型示意图；
图6为实施例二中三维六面体悬挂网格模型示意图；
图7为实施例二中弯曲正应力及节点位移数值解与理论解对比图；
图8为实施例二中弯曲正应力分布云图；
图9为实施例三中几何模型、网格模型及加载模式图；
图10为实施例三中含有不同再生骨料数量的再生混凝土双槽口模型图；
图11为实施例三中裂纹扩展模式图；
图12为实施例三中裂纹扩展过程图；
图13为实施例四中几何模型、网格模型及加载模式图；
图14为实施例四中裂纹扩展模式图。
具体实施方式
下面结合附图和具体实施案例对本发明的技术方案展开详细具体的说明。
下面结合附图和实施例对本发明进一步说明。
实施例一
本实施例分别建立了悬臂梁端部承受弯矩荷载、竖向集中荷载及水平拉伸荷载的悬臂梁构件。悬臂梁长度L＝5m，梁高h＝1m，梁宽b＝1m，弹性模量E＝1×106MPa，泊松比＝0，弯矩M＝1kN.m，边界条件及荷载工况如图1所示。
则建立的二维四边形及二维三角形变节点悬挂单元网格模型如图2A和图2B所示，通过疏密网格悬挂单元模型获得的节点位移和单元弯曲正应力数值解与理论解的对比结果如图3所示。图3中，(a)表示四边形悬挂网格弯曲正应力，(b)表示四边形悬挂网格节点位移，(c)表示三角形悬挂网格弯曲正应力，(d)表示三角形悬挂网格节点位移。通过所述变节点单元类型及疏密单元悬挂网格模型获得的节点位移在疏密网格交界面及其他位置均具有较高的数值精度。
通过所述变节点单元类型获得的弯曲正应力分布如图4所示，其中(a)为四边形悬挂网格模型，(b)为三角形悬挂网格模型。
从图4可以发现，通过本发明所述变节点单元类型及疏密单元悬挂网格模型获得的弯曲正应力在疏密交界面可以良好的过渡。
实施例二：
右侧施加弯矩荷载的三维悬臂梁模型，悬臂梁的构件尺寸、约束条件及加载条件与二维模型一致，如图5所示。则建立的三维六面体变节点悬挂单元网格模型如图6所示。弯矩荷载作用下，获得的弯曲正应力及节点位移数值解与理论解对比结果如图7所示，图7中(a)表示弯曲正应力，图7中(b)表示节点位移,可以看出，通过建立的变节点单元模型及疏密网格悬挂单元模型、求解系统获得的弯曲正应力及节点竖向位移数值解与理论解吻合较好。弯矩荷载作用下，悬臂梁弯曲正应力云图如图8所示，中性轴至梁顶区域的弯曲正应力为正值，中性轴至梁底区域的弯曲正应力为负值，与实际情况吻合较好；表明三维变节点余能原理基面力元法单元模型具有良好的数值精度。此外，在疏密网格位置，单元的弯曲正应力也可以实现良好的过渡。
实施例三：
本实施例建立了承受拉伸荷载的二维再生混凝土双槽口加载模型，通过本发明中的二维疏密网格悬挂单元模型研究了拉伸荷载作用下再生混凝土的破坏模式，获得了荷载作用下裂纹的发展模式和扩展路径，网格模型及加载模式如图9所示，(a)为几何模型，(b)网格模型示意图，(c)再生混凝土加载模型；再生混凝土双槽口模型尺寸为100mm×200mm，两侧槽口尺寸为5mm×10mm，骨料区域网格尺寸为0.5mm。
图10为含有不同再生骨料数量的再生混凝土双槽口模型，(a)为居中布置的一个骨料，(b)为居中靠上布置的一个骨料，(c)为居中靠左布置的一个骨料，(d)为6个随机布置的骨料，(e)为随机布置的多个骨料。通过一种块体结构可变节点悬挂单元网格有限元模型中二维密网格悬挂单元模型，获得的拉伸荷载作用下的裂纹扩展模式如图11所示。以图10(e)模型为例，获得加载过程中的裂纹扩展过程如图12所示，图12中，(a)为裂纹出现，(b)为裂纹延伸，(c)为裂纹贯通。本发明为研究再生混凝土试件拉伸力学性能及破坏模式提供了可能。
实施例四：
本实施例建立了承受拉伸荷载的三维再生混凝土双槽口加载模型，通过本发明中的三维疏密网格悬挂单元模型研究了拉伸荷载作用下再生混凝土的破坏模式，获得了荷载作用下裂纹的发展模式和扩展路径，网格模型及加载模式如图13所示，(a)几何模型，(b)网格模型示意图，(c)再生混凝土加载模型。通过一种块体结构可变节点悬挂单元网格有限元模型中三维密网格悬挂单元模型，获得的拉伸荷载作用下的裂纹扩展模式如图14所示，(a)裂纹出现，(b)裂纹扩展，(c)裂纹贯通；
上述实施例为本发明较佳的实施方式，但本发明的实施方式并不受上述实施例的限制，其他的任何未背离本发明的精神实质与原理下所作的改变、修饰、替代、组合、简化，均应为等效的置换方式，都包含在本发明的保护范围之内。

Claims (5)

1.一种块体结构可变节点悬挂单元网格有限元模型，其特征在于，包括以下步骤：
步骤一，通过变节点单元建立块体结构的悬挂单元网格有限元模型；
步骤二，根据变节点单元的节点分布逐一计算所有节点对单元柔度矩阵的贡献矩阵；
步骤三，根据自由度指示数组，逐一计算所有单元对块体结构整体柔度矩阵的贡献矩阵；
步骤四，建立块体结构整体柔度矩阵与外部作用荷载之间的关系，并形成有限元求解方程；
步骤五，计算块体结构中所有变节点单元的单元应力；
步骤六，通过乘子法计算块体结构中所有变节点单元所有节点的节点位移；
所述步骤一中：
1)变节点是指二维单元及三维单元的节点数量不确定，可以任意添加节点数量和减少节点数量；
2)所述变节点单元分为二维四边形单元、三角形单元及三维六面体单元；
所述二维四边形单元和三角形单元的节点分布在单元边界的中间位置，所述变节点是在单元的边界上随意增加节点数量和分布；
所述三维六面体单元的节点分布在单元六个面的中心位置，所述变节点是在单元的边界面内随意增加节点数量和分布；
3)所述悬挂单元网格有限元模型是指通过二维单元的密网格的节点连接二维单元疏网格的节点、通过三维单元的密网格的节点连接三维单元疏网格的节点；
4)疏密网格交界面的悬挂位置左右两侧的单元节点为固有节点，不需要额外添加节点数量和确定节点分布位置；
所述步骤二中：
二维变节点单元的节点对单元柔度矩阵的贡献矩阵表达式为2×2的矩阵：
三维变节点单元的节点对单元柔度矩阵的贡献矩阵表达式为3×3的矩阵：
其中，λij为节点i对节点j的柔度贡献矩阵，γi为节点的坐标向量，γma(m＝i,j；a＝x,y,z)为i点和j点的坐标向量在x,y,z方向上的分量，E为弹性模量，ν为泊松比，V为三维单元的体积，A为二维单元的面积。
2.根据权利要求1所述的块体结构可变节点悬挂单元网格有限元模型，其特征在于，所述步骤一中，变节点单元的疏密网格交界面处增加节点的方法如下：
所述变节点单元是分段建立不同尺寸的疏密单元模型，并在疏密单元交界面位置处的疏网格中映射密网格的节点分布，即在疏网格的相同位置增加单元节点。
3.根据权利要求2所述的块体结构可变节点悬挂单元网格有限元模型，其特征在于，所述步骤四中，块体结构整体柔度矩阵与外部作用荷载之间的关系为：
X＝A/B (3)
其中，X为节点上的力和乘子，A为块体结构的整体柔度矩阵和乘子矩阵组成的系数项矩阵，B为块体结构的外荷载矩阵。
4.根据权利要求3所述的块体结构可变节点悬挂单元网格有限元模型，其特征在于，所述步骤五中，变节点单元的单元应力表达式为：
其中，x为力和乘子X中的节点力元素。
5.根据权利要求4所述的块体结构可变节点悬挂单元网格有限元模型，其特征在于，所述步骤六中，
二维变节点单元的节点位移表达式为：
三维变节点单元的节点位移表达式为：
其中，是δα是节点的位移矢量，δx是节点位移在x方向的分量，δy节点位移在y方向的分量，δz节点位移在z方向的分量；λixjx是节点的柔度矩阵，二维单元可通过式(1)获得，三维单元可通过式(2)获得；κ1,κ2,ψ是拉格朗日乘子；Xjx,Xjy,Xjz是节点上的力，可通过式(3)获得。
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