CN115826394A - 基于分数阶pid与分数阶终端滑模的四旋翼无人机控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于分数阶PID与分数阶终端滑模的四旋翼无人机控制方法，包括(1)建立四旋翼无人机的动力学模型；(2)构造分数阶PID控制器，将无人机期望位置与实际位置输入分数阶PID控制器，获取无人机在X、Y、Z轴方向上的控制输出；(3)根据步骤(2)获取控制输出与当前姿态角解算出无人机的期望姿态角；(4)确定姿态误差；(5)构造分数阶终端滑模面并获得该分数阶终端滑模的等效控制律；(6)设计分数阶终端滑模切换控制律，结合切换控制律与等效控制律获得分数阶终端滑模姿态控制器；(7)设计李雅普诺夫函数并通过李雅普诺夫定理证明分数阶终端滑模姿态控制器的稳定性。本发明保证无人机受到气流因素的干扰时保持姿态平稳。

Description

基于分数阶PID与分数阶终端滑模的四旋翼无人机控制方法

技术领域

本发明涉及控制系统技术领域，具体是涉及一种基于分数阶PID与分数阶终端滑模的四旋翼无人机控制方法。

背景技术

四旋翼无人机结构最为简单，使用也最为普遍，在国内外的科学研究中举足轻重。无人机最初是为军事需求而诞生的，但经过不断的发展，四旋翼无人机已经被扩展至民用领域。例如在消防灭火救援中四旋翼无人机起到了良好的辅助效果，可以凭借其体积小、操作维护简单、飞行高度低、机动性强、智能化操作等优势，从根本上提高消防救援的效率。

但四旋翼飞行器作为一种欠驱动、强耦合、多变量、非线性的复杂被控对象，不仅仅需要解决常规状态下的工作姿态控制问题，在消防应用中，还会受到多种不确定干扰因素的影响，例如气流影响、质量变化等原因，这就对其姿态控制算法的自适应性和鲁棒性提出了非常高的要求。如今常用于四旋翼无人机的传统控制算法有:PID控制、滑模控制、反步控制等，采用PID算法各个控制参数相对较为独立，参数的选定较为简单，形成了完整的设计和参数调整方法；但PID控制器是线性控制器，而现实中大多被控对象是非线性的，用线性近似非线性，精度会有所下降。采用滑模控制能够克服系统的不确定性,对干扰和未建模动态具有很强的鲁棒性；但当状态轨迹到达滑动模态面后，难以严格沿着滑动模态面向平衡点滑动，产生抖振。因此，此类方法在应对复杂的外界干扰时往往达不到理想控制效果。此外，绝大多数的无人机控制系统都仅限于整数阶领域,整数阶微分系统表征的是对象属性(或状态)的瞬时变化特性,而分数阶微分系统表征的是对象属性(或状态)的变化，因此,选用分数阶微积分学理论设计控制系统能获得更好的性能。

发明内容

发明目的：针对以上技术问题，本发明提供一种基于分数阶PID与分数阶终端滑模的四旋翼无人机控制方法，通过设计双闭环控制策略，即外环位置控制部分对传统的传统PID控制器进行改进，从整数阶拓展至分数阶，通过不完全微分与前馈补偿削弱气流干扰的影响；内环姿态控制部分将普通滑模控制的滑模面改进为非奇异终端滑模面并引入分数阶微积分让整个无人机控制系统更快到达平衡点的同时具有时间记忆性、强鲁棒性的特点；同时考虑到复杂气流的干扰，保证四旋翼无人机即使受到气流因素的干扰依然保持姿态平稳。

技术方案：为解决上述问题，本发明公开一种基于分数阶PID与分数阶终端滑模的四旋翼无人机控制方法，具体包括以下步骤：

(1)考虑外部复杂环境风干扰因素，根据牛顿-欧拉角公式建立四旋翼无人机的动力学模型；

(2)基于分数阶PID控制理论、前馈补偿理论以及不完全微分构造分数阶PID控制器；将四旋翼无人机期望位置与实际位置输入分数阶PID控制器，获取四旋翼无人机在X、Y、Z轴方向上的控制输出；

(3)根据步骤(2)获取的控制输出与当前姿态角解算出四旋翼无人机的期望姿态角；

(4)通过四旋翼无人机的期望姿态角与实际姿态角确定姿态误差；

(5)根据姿态误差构造分数阶终端滑模面；对构造的分数阶终端滑模面进行求导并令其导数为零，并结合四旋翼无人机的动力学模型求解获得该分数阶终端滑模的等效控制律；

(6)设计分数阶终端滑模切换控制律；结合分数阶终端滑模切换控制律与分数阶终端滑模的等效控制律获得分数阶终端滑模姿态控制器；

(7)设计李雅普诺夫函数并通过李雅普诺夫定理证明分数阶终端滑模姿态控制器的稳定性。

进一步的，步骤(1)中的四旋翼无人机的动力学模型公式为：

式中，(x，y，z)为四旋翼无人机在地坐标系下的位置坐标，

对应为x，y，z的一阶导数，

对应为x，y，z的二阶导数；φ表示四旋翼无人机俯仰角，θ表示四旋翼无人机的横滚角，ψ表示四旋翼无人机的偏航角；

对应为φ、θ、ψ的一阶导数；

对应为φ、θ、ψ的二阶导数；m表示四旋翼无人机的重量；U₁、U₂、U₃、U₄均为四旋翼无人机的控制输入；k_x、k_y、k_z均为四旋翼无人机的位置空气阻力系数；k_Φ、k_θ、k_Ψ均为无人机在飞行时的姿态空气阻力系数；I_x、I_y、I_z均表示四旋翼无人机转动惯量；d₁为四旋翼无人机飞行时X轴受到的外界气流干扰，d₂为四旋翼无人机飞行时Y轴受到的外界气流干扰，d₃为四旋翼无人机飞行时Z轴受到的外界气流干扰。

进一步的，步骤(2)中构造的分数阶PID控制器具体公式为：

式中，U_x(s)表示四旋翼无人机在X轴方向上的控制输出，U_y(s)表示四旋翼无人机在Y轴方向上的控制输出,U_z(s)表示四旋翼无人机在Y轴方向上的控制输出；Kp_x、Kp_y、Kp_z均表示比例系数、Ki_x、Ki_y、Ki_z均表示积分系数、Kd_x、Kd_y、Kd_z均表示微分系数；λ表示积分阶次，μ为微分阶次；T_f为滤波器系数；E(s)为期望位置与实际位置的差；R(s)为给定的四旋翼无人机的期望位置；G(s)为四旋翼无人机的位置模型。

进一步的，忽略空气阻力与干扰，仅以分数阶PID控制器的输出作为四旋翼无人机坐标轴的控制输出；根据式(1)获取U_x、U_y、U_z与U₁以及姿态角的关系如式(3)：

变换可得：

式中，g表示重力加速度；

根据公式(1)、公式(3)以及公式(4)解算获取期望的姿态角，具体公式为：

式中，φ_d表示期望俯仰角，θ_d表示期望横滚角，ψ_d表示期望偏航角。

进一步的，步骤(4)具体包括：

为了跟踪无人机的期望姿态角轨迹，定义姿态误差跟踪轨迹公式为：

e(t)＝r(t)-y(t) (6)

式中，e(t)表示姿态误差跟踪轨迹；r(t)表示四旋翼无人机期望姿态角的轨迹，具体包括各时刻下的φ_d、θ_d以及给定的ψ_d；y(t)表示四旋翼无人机实际姿态角的轨迹，具体包括各时刻下的φ、θ、ψ；

某一时刻下的姿态误差可表示：

式中，e_φ表示四旋翼无人机俯仰角的误差，e_θ表示四旋翼无人机横滚角的误差，e_ψ表示四旋翼无人机偏航角的误差。

进一步的，步骤(5)中构造的分数阶终端滑模面公式为：

式中，α、β均为正常数；0＜α_i＜1，i取1,3……11；1＜α_i＜2，i取2,4……12。

对构造的分数阶终端滑模面进行求导并令其导数为零，结合式(1)与式(4)求解获得该分数阶终端滑模的等效控制律，公式为：

式中，U_φeq表示俯仰角的等效控制输出，U_θeq表示横滚角的等效控制输出，U_ψeq表示偏航角的等效控制输出；k_φ、k_θ、k_ψ均表示四旋翼无人机的姿态空气阻力系数。

进一步的，步骤(6)中设计的分数阶终端滑模切换控制律具体公式为：

式中，k_φ1、k_θ1、k_ψ1、η_φ、η_θ、η_ψ均为正常数；

结合分数阶终端滑模切换控制律与分数阶终端滑模的等效控制律获得的分数阶终端滑模姿态控制器具体公式为：

进一步的，步骤(7)具体包括：

(7.1)设计李雅普诺夫函数，公式如下：

式中，S＝[s_φ，s_θ，s_ψ]^T；V≥0，且η_φ≥|d₁|，η_θ≥|d₂|，η_ψ≥|d₃|；

(7.2)对李雅普诺夫函数求导获得：

根据上式证明

负定，根据李雅普诺夫定理证明分数阶终端滑模姿态控制器是稳定的。

有益效果：本发明提供一种基于分数阶PID与分数阶终端滑模的四旋翼无人机控制方法相对于现有技术，其显著优点是：1、通过采用双闭环控制策略，对四旋翼无人机位置控制与姿态控制的差异使用不同的控制方式，实现姿态与位置一定程度的解耦，简化参数调节；2、通过将PID控制与滑模控制拓展至分数阶层，大大提高了系统的性能上限，使得控制器具有时间记忆性、强鲁棒性的特点；改进后的分数阶PID控制强化了PID控制的抗干扰能力与控制效果；分数阶终端滑模控制有效加快了系统在滑模面的收敛速度同时解决了奇异性的问题，使得四旋翼无人机在面对复杂的气流扰动时仍能够快速响应命令，调节姿态来保证机身稳定。

附图说明

图1所示为本发明所述四旋翼无人机的机体结构与参考坐标系示意图；

图2所示为本发明所述四旋翼无人机的整体控制原理图；

图3所示为本发明所述四旋翼无人机外回路位置控制系统框图；

图4所示为本发明所述四旋翼无人机内回路姿态控制系统框图；

图5所示为本发明所述环境风干扰示意图；

图6所示为具体实施例中四旋翼无人机位置轨迹跟踪图；图6(a)为x轴方向的跟踪轨迹，图6(b)为y轴方向的跟踪轨迹，图6(c)为z轴方向的跟踪轨迹；

图7所示为具体实施例中四旋翼无人机姿态轨迹跟踪图；图7(a)为φ角跟踪轨迹，图7(b)为θ角跟踪轨迹，图7(c)为ψ角跟踪轨迹。

具体实施方式

下面结合附图对本发明的技术方案进一步说明。

如图2所示，本发明提供的一种基于分数阶PID与分数阶终端滑模的四旋翼无人机控制方法，具体包括以下步骤：

步骤一、以四旋翼无人机为对象，考虑四旋翼无人机受到复杂的环境风干扰的情况下，根据牛顿第二定律以及欧拉方程建立四旋翼无人机的动力学模型。

具体的，四旋翼无人机主流形态为X型，为了研究其位置与姿态信息，参照图1所示的机体结构与参考坐标系，同时假设以下条件成立：

(1)四旋翼无人机为对称的刚体结构，机体坐标系的原点与机身的质心重合；

(2)不考虑四旋翼桨叶的弹性形变，四旋翼质心位置不受陀螺效应的影响；

(3)飞行过程中所受空气阻力和重力不受飞行姿态的影响。

四旋翼无人机的动力学模型具体公式为：

式中，(x，y，z)为四旋翼无人机在地坐标系下的位置坐标，

分别为x，y，z的一阶导数，

分别为x，y，z的二阶导数；φ表示四旋翼无人机俯仰角，θ表示四旋翼无人机的横滚角，ψ表示四旋翼无人机的偏航角；

分别为φ、θ、ψ的一阶导数；

分别为φ、θ、ψ的二阶导数；m表示四旋翼无人机的重量；U₁、U₂、U₃、U₄均为四旋翼无人机的控制输入；k_x、k_y、k_z均为四旋翼无人机的位置空气阻力系数；k_Φ、k_θ、k_Ψ均为四旋翼无人机在飞行时的姿态空气阻力系数；I_x、I_y、I_z均表示四旋翼无人机转动惯量；d₁、d₂、d₃分别为四旋翼无人机飞行时X、Y、Z轴受到的外界气流干扰。

步骤二、基于分数阶PID控制理论，通过前馈补偿以及不完全微分等方式改进分数阶PID控制器，通过改进的分数阶PID控制器为对四旋翼无人机外环位置子系统进行控制。

传统的PID控制引入微分信号虽然可以改善系统的动态性能，但也可能增强干扰的影响，尤其是环境风具有不确定性以及突发性。如图3所示，本发明在分数阶PID的微分环节增加一个低通滤波器，降低阶跃信号带来的抖动，同时通过前馈控制器补偿扰动。外环路的被控对象为四旋翼无人机的三轴位置，动力学模型给出了四旋翼无人机相对于地面坐标系的加速度，通过加速度可得到无人机的位置信息。构造的分数阶PID控制器具体公式为：

式中，U_x(s)表示四旋翼无人机在X轴方向上的控制输出，U_y(s)表示四旋翼无人机在Y轴方向上的控制输出,U_z(s)表示四旋翼无人机在Y轴方向上的控制输出；Kp_x、Kp_y、Kp_z均表示比例系数、Ki_x、Ki_y、Ki_z均表示积分系数、Kd_x、Kd_y、Kd_z均表示微分系数；λ表示积分阶次，μ为微分阶次；T_f为滤波器系数；E(s)为期望位置与实际位置的差；R(s)为给定的四旋翼无人机的期望位置；G(s)为四旋翼无人机的位置模型，即公式(14)中对应的X,Y,Z位置输出。

通过将无人机期望位置信息与实际位置信息输入分数阶PID控制器，获取四旋翼无人机在X、Y、Z轴方向上的控制输出；忽略空气阻力与干扰，仅以分数阶PID控制器的输出U_x、U_y、U_z作为四旋翼无人机坐标轴的控制输出；根据式(14)获取U_x、U_y、U_z与U₁以及姿态角的关系如式(16)：

对式(16)变换可得：

式中，g表示重力加速度.

步骤三、根据四旋翼无人机在X、Y、Z轴方向上的控制输出解算出四旋翼无人机的期望姿态角；

具体的，根据公式(14)、公式(16)以及公式(17)解算获取期望的姿态角，公式为：

式中，φ_d表示期望俯仰角，θ_d表示期望横滚角，ψ_d表示期望偏航角。

步骤四、根据无人机的期望姿态角与实际姿态角确定姿态误差并获取姿态误差变化律。

(1)为了跟踪无人机的期望姿态角轨迹，定义姿态误差跟踪轨迹公式为：

e(t)＝r(t)-y(t) (19)

式中，e(t)表示姿态误差跟踪轨迹；r(t)表示无人机期望姿态角的轨迹，具体包括各时刻下的φ_d、θ_d以及给定的ψ_d；y(t)表示无人机实际姿态角的轨迹，具体包括各时刻下的φ、θ、ψ；

某一时刻下的姿态误差可表示：

式中，e_φ表示无人机俯仰角的误差，e_θ表示无人机横滚角的误差，e_ψ表示无人机偏航角的误差。

(2)结合公式(14)中的姿态角公式与式(19)、(20)获取姿态误差变化律，公式为：

步骤五、基于终端滑模控制理论并结合姿态误差变化律设计分数阶终端滑模控制器如图4所示，对四旋翼无人机的内回路进行姿态控制。为了使无人机姿态控制系统状态在有限时间收敛至平衡点，以非线性滑模面代替传统线性滑模面从而构建终端滑模面；终端滑模控制由于存在奇异性问题，会造成系统性能下降，再对终端滑模面进行改进使之成为非奇异终端滑模面，解决奇异性问题；最后将分数阶微积分与非奇异终端滑模面结合，构造分数阶终端滑模面。

(1)设计了一种非奇异分数阶终端滑模面，具体公式为：

式中，α、β均表示正常数；0＜α_i＜1，i取1,3……11；1＜α_i＜2，i取2,4……12。

(2)对构造的分数阶终端滑模面进行求导并令其导数为零，结合式(14)与式(17)求解获得该分数阶终端滑模的等效控制律，公式为：

式中，U_φeq表示俯仰角的等效控制输出，U_θeq表示横滚角的等效控制输出，U_ψeq表示偏航角的等效控制输出；k_φ、k_θ、k_ψ均表示四旋翼无人机的姿态空气阻力系数。

步骤六、设计分数阶终端滑模切换控制律；结合分数阶终端滑模切换控制律与分数阶终端滑模的等效控制律获得分数阶终端滑模姿态控制器；

(1)将分数阶微积分与传统滑模控制切换控制律结合设计分数阶终端滑模切换控制律，具体公式为：

式中，k_φ1、k_θ1、k_ψ1、η_φ、η_θ、η_ψ均为正常数。

(2)结合分数阶终端滑模切换控制律与分数阶终端滑模的等效控制律获得的分数阶终端滑模姿态控制器具体公式为：

步骤七、根据李雅普诺夫定理对四旋翼无人机姿态控制模型的稳定性进行分析，具体包括：

(1)设计李雅普诺夫函数，公式如下：

式中，S＝[s_φ，s_θ，s_ψ]^T；V≥0，且η_φ≥|d₁|，η_θ≥|d₂|，η_ψ≥|d₃|；

(2)对李雅普诺夫函数求导获得：

根据上式证明

负定，根据李雅普诺夫定理证明分数阶终端滑模姿态控制器是稳定的。

为了验证本发明的有效性，在Matlab2020b的仿真环境下对四旋翼飞行器的控制性能进行验证,仿真中所选四旋翼飞行器的参数如表1所示：

表一

给定四旋翼无人机预期位置为：x＝10m,y＝10m,z＝10m,ψ＝0.2rad，分别采用本发明提供的分数阶PID终端滑模控制与传统的PID控制两种策略追踪此信号。为了比较两者的鲁棒性，引入如图5所示的由基本风、渐变风、随机风组成的自然风干扰，仿真结果如图6、图7所示。

从图6(a)、6(b)、6(c)中可以看出，传统的PID控制在受到干扰后不仅出现大的超调量，且调节时间也较长，相对而言本发明提供的分数阶PID终端滑模控制策略不仅调节时间缩短了25％以上，还做到了几乎没有超调。这说明在自然风的扰动下，本发明提出的控制策略能保证四旋翼无人机在扰动环境下快速、平稳地到达预定位置。从图7(a)、7(b)、7(c)中可得，本发明设计的分数阶终端滑模控制器能实现对姿态解算后得到的期望姿态轨迹快速而精准的追踪，保证系统的快速响应以及抗干扰能力。

Claims (8)

1.一种基于分数阶PID与分数阶终端滑模的四旋翼无人机控制方法，其特征在于，包括以下步骤：

(1)考虑外部复杂环境风干扰因素，根据牛顿-欧拉角公式建立四旋翼无人机的动力学模型；

(2)基于分数阶PID控制理论、前馈补偿理论以及不完全微分构造分数阶PID控制器；将四旋翼无人机期望位置与实际位置输入分数阶PID控制器，获取四旋翼无人机在X、Y、Z轴方向上的控制输出；

(3)根据步骤(2)获取的控制输出与当前姿态角解算出四旋翼无人机的期望姿态角；

(4)通过四旋翼无人机的期望姿态角与实际姿态角确定姿态误差；

(5)根据姿态误差构造分数阶终端滑模面；对构造的分数阶终端滑模面求导并令其导数为零，结合四旋翼无人机的动力学模型求解获得该分数阶终端滑模的等效控制律；

(6)设计分数阶终端滑模切换控制律；结合分数阶终端滑模切换控制律与分数阶终端滑模的等效控制律获得分数阶终端滑模姿态控制器；

(7)设计李雅普诺夫函数并通过李雅普诺夫定理证明分数阶终端滑模姿态控制器的稳定性。

2.根据权利要求1所述基于分数阶PID与分数阶终端滑模的四旋翼无人机控制方法，其特征在于，步骤(1)中的四旋翼无人机的动力学模型公式为：

式中，(x，y，z)为四旋翼无人机在地坐标系下的位置坐标，

对应为x，y，z的一阶导数，

对应为x，y，z的二阶导数；φ表示四旋翼无人机俯仰角，θ表示四旋翼无人机的横滚角，ψ表示四旋翼无人机的偏航角；

对应为φ、θ、ψ的一阶导数；

对应为φ、θ、ψ的二阶导数；m表示四旋翼无人机的重量；U₁、U₂、U₃、U₄均为四旋翼无人机的控制输入；k_x、k_y、k_z均为四旋翼无人机的位置空气阻力系数；k_Φ、k_θ、k_Ψ均为无人机在飞行时的姿态空气阻力系数；I_x、I_y、I_z均表示四旋翼无人机转动惯量；d₁为四旋翼无人机飞行时X轴受到的外界气流干扰，d₂为四旋翼无人机飞行时Y轴受到的外界气流干扰，d₃为四旋翼无人机飞行时Z轴受到的外界气流干扰。

3.根据权利要求2所述基于分数阶PID与分数阶终端滑模的四旋翼无人机控制方法，其特征在于，步骤(2)中构造的分数阶PID控制器具体公式为：

式中，U_x(s)表示四旋翼无人机在X轴方向上的控制输出，U_y(s)表示四旋翼无人机在Y轴方向上的控制输出,U_z(s)表示四旋翼无人机在Y轴方向上的控制输出；Kp_x、Kp_y、Kp_z均表示比例系数、Ki_x、Ki_y、Ki_z均表示积分系数、Kd_x、Kd_y、Kd_z均表示微分系数；λ表示积分阶次，μ为微分阶次；T_f为滤波器系数；E(s)为期望位置与实际位置的差；R(s)为给定的四旋翼无人机的期望位置；G(s)为四旋翼无人机的位置模型。

4.根据权利要求3所述基于分数阶PID与分数阶终端滑模的四旋翼无人机控制方法，其特征在于，步骤(3)具体包括：

忽略空气阻力与干扰，仅以分数阶PID控制器的输出作为四旋翼无人机坐标轴的控制输出；根据式(1)获取U_x、U_y、U_z与U₁以及姿态角的关系如式(3)：

变换可得：

式中，g表示重力加速度；

根据公式(1)、公式(3)以及公式(4)解算获取期望的姿态角，具体公式为：

式中，φ_d表示期望俯仰角，θ_d表示期望横滚角，ψ_d表示期望偏航角。

5.根据权利要求4所述基于分数阶PID与分数阶终端滑模的四旋翼无人机控制方法，其特征在于，步骤(4)具体包括：

为了跟踪四旋翼无人机的期望姿态角轨迹，定义姿态误差跟踪轨迹公式为：

e(t)＝r(t)-y(t) (6)

式中，e(t)表示姿态误差跟踪轨迹；r(t)表示四旋翼无人机期望姿态角的轨迹，具体包括各时刻下的φ_d、θ_d以及给定的ψ_d；y(t)表示四旋翼无人机实际姿态角的轨迹，具体包括各时刻下的φ、θ、ψ；

某一时刻下的姿态误差可表示：

式中，e_φ表示四旋翼无人机俯仰角的误差，e_θ表示四旋翼无人机横滚角的误差，e_ψ表示四旋翼无人机偏航角的误差。

6.根据权利要求5所述基于分数阶PID与分数阶终端滑模的四旋翼无人机控制方法，其特征在于，步骤(5)中构造的分数阶终端滑模面公式为：

式中，α、β均为正常数；0＜α_i＜1，i取1,3,……,11；1＜α_i＜2，i取2,4,……,12；

对构造的分数阶终端滑模面进行求导并令其导数为零，结合式(1)与式(4)求解获得该分数阶终端滑模的等效控制律，公式为：

式中，U_φeq表示俯仰角的等效控制输出，U_θeq表示横滚角的等效控制输出，U_ψeq表示偏航角的等效控制输出；k_φ、k_θ、k_ψ均表示四旋翼无人机的姿态空气阻力系数。

7.根据权利要求6所述基于分数阶PID与分数阶终端滑模的四旋翼无人机控制方法，其特征在于，步骤(6)中设计的分数阶终端滑模切换控制律具体公式为：

式中，k_φ1、k_θ1、k_ψ1、η_φ、η_θ、η_ψ均为正常数；

结合分数阶终端滑模切换控制律与分数阶终端滑模的等效控制律获得的分数阶终端滑模姿态控制器具体公式为：

8.根据权利要求7所述基于分数阶PID与分数阶终端滑模的四旋翼无人机控制方法，其特征在于，步骤(7)具体包括：

(7.1)设计李雅普诺夫函数，公式如下：

式中，S＝[s_φ，s_θ，s_ψ]^T；V≥0，且η_φ≥|d₁|，η_θ≥|d₂|，η_ψ≥|d₃|；

(7.2)对李雅普诺夫函数求导获得：

根据上式证明

负定，根据李雅普诺夫定理证明分数阶终端滑模姿态控制器是稳定的。

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