CN115712963A - 一种低碳约束下的结构拓扑优化方法 - Google Patents

一种低碳约束下的结构拓扑优化方法 Download PDF

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CN115712963A
CN115712963A CN202211465771.9A CN202211465771A CN115712963A CN 115712963 A CN115712963 A CN 115712963A CN 202211465771 A CN202211465771 A CN 202211465771A CN 115712963 A CN115712963 A CN 115712963A
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carbon
constraint
structural
carbon emission
optimization
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张雷
冯家乐
曾静
耿笑荣
黄浚恺
李笑芝
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Hefei University of Technology
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Abstract

本发明公开了一种低碳约束下的结构拓扑优化方法，其特征在于以典型拓扑优化方法为基础，构建以碳排放限值为低碳约束条件、结构柔度为目标的拓扑优化模型。通过分析未来全球人为温室气体减排率与大气CO2浓度间的关联，建立温室气体减排率与结构设定使用年份之间的函数关系，在结构的使用寿命内，通过温室气体减排率与初始碳排放值积累得到结构在使用寿命期间的碳排放总值，根据结构使用寿命期间的目标温室气体减排率设置碳排放最大值，以此作为拓扑优化的低碳约束条件，构建低碳约束下的拓扑优化模型。本发明将温室气体减排率与碳排放间建立联系，分析得到结构碳排放限值并转化为低碳约束条件，在满足结构强度的同时，得到碳排放低的结构优化模型。

Description

一种低碳约束下的结构拓扑优化方法
技术领域
本发明属于结构优化相关技术领域，具体为一种低碳约束下的结构拓扑优化方法。
背景技术
随着经济社会的发展，环境和社会问题(例如环境污染、全球变暖、能源危机等)正日益凸显。低碳发展作为一种新的发展模式，被认为是应对全球变暖和能源危机的有效模式。如何采取有效措施减缓温室气体排放已经成为目前产品设计发展的热点方向。
一般来说，零部件的结构布局越好，其生命周期所产生的碳排放就越少。而结构优化设计方法能够得到更好的产品结构布局，被越来越多地用于产品优化改进，具体可分为尺寸优化、形状优化和拓扑优化等。拓扑优化是指在给定的设计空间内，通过添加一些特定的约束条件，在满足工程人员期望的强度、刚度、稳定性等结构性能的前提下，依旧可以减少材料使用、降低制造成本的一种设计方法，对于产品低碳的绿色化生产具有重要意义。
目前，结构拓扑优化大多以结构体积分数、质量、应力、位移、固有频率等作为约束，对结构进行优化改进，但在制造时可能会产生更多的碳排放。如果在结构优化时，将降低碳排放作为约束条件添加入拓扑优化模型中，就能得到满足性能和力学要求，并且碳排放低的拓扑结构，目前专门针对这方面的研究还比较少。
发明内容：
本发明的目的是提供一种低碳约束下的结构拓扑优化方法，所要解决的问题：一是解决如何确定结构碳排放限值问题；二是解决怎么将碳排放限值作为低碳约束添加入结构拓扑优化中的问题。
为了实现上述发明，提出的一种低碳约束下的结构拓扑优化方法，以结构柔度最小化为目标，结构碳排放限值为约束，技术方案实施步骤如下：
步骤一：定义目标产品结构工作条件、设计域，设置边界条件，确定结构受力点以及计算所受载荷。
步骤二：采用变密度法以单元的相对密度为设计变量，以结构的柔度最小为优化目标，以结构碳排放限值为约束条件，建立拓扑优化模型。
步骤三：将初始设计域离散成nelx×nely个有限元单元，通过变密度法引入中间密度单元，设定惩罚因子、过滤半径，初始化设计变量。
步骤四：采用改进的固体各向同性材料惩罚模型(SIMP)对单元的弹性模量进行计算，得到单元的刚度矩阵，组装得到结构的总体刚度矩阵，在设定的边界条件和载荷下对结构进行有限元分析，计算得到单元节点的位移。
步骤五：累加每个有限元单元的碳排放，得到结构总体碳排放，求解目标柔度函数以及结构总体碳排放约束对于设计变量的灵敏度。
步骤六：构造目标模型的拉格朗日函数，使最优解满足库尔塔克(Kuhn-Tucker)条件，即K-T条件，运用灵敏度过滤方法调整目标柔度函数及低碳约束条件的灵敏度，采用优化准则法(OC法)得到设计变量的启发式更新格式，更新设计变量。
步骤七：判断结果是否满足优化收敛条件，若不满足则转至步骤四，并依次进行迭代计算；若满足，则终止拓扑优化进程，获得满足低碳约束的拓扑优化模型。
进一步地，步骤二中所述的拓扑优化模型为：
find：xe＝{x1,x2,x3,···,xn}T∈Ω,e＝1,2,···,n
min：C(xe)＝UTKU
s.t.gw≤GWPmax
KU＝F
0＜xmin≤xe≤1
其中，xe为材料单元的相对密度；Ω为设计空间；C(xe)为结构的柔度；U为结构的位移向量；K为结构的刚度矩阵；F为结构的力向量；gw为结构的全球变暖潜能值；GWPmax为设定的结构最大全球变暖潜能值；xmin为材料单元相对密度的最小值，一般取一个接近0 的较小值，可以防止单元刚度矩阵奇异。
进一步地，步骤二中所述结构碳排放限值约束函数表达式如下：
Figure BDA0003957440200000021
其中，g0为结构的初始碳排放值；Td为结构的设计使用寿命；α为温室气体减排率。
进一步地，步骤四中所述的改进的SIMP插值模型如下：
Ee＝Ee(xe)＝Emin+(xe)p(E0-Emin)，xe∈(0,1]
其中，Ee(xe)为迭代过程中的单元刚度矩阵；E0为材料的初始单元刚度矩阵；p为惩罚因子，可以加快收敛速度，使中间单元密度趋向于两端的值(即0或1)。
进一步地，步骤五中所述的结构碳排放计算方法如下：
Figure BDA0003957440200000031
式中，xe,i为结构中包含第i种材料单元的相对密度；ve,i为第i种材料单元的体积；ρi为第i种材料的密度；Ei为第i种材料的碳排放因子；n为单元个数；m为材料的种类数。
进一步的，步骤五中所述结构碳排放约束对设计变量的灵敏度如下：
Figure BDA0003957440200000032
进一步地，步骤五中所述结构柔度目标函数对设计变量的灵敏度如下：
Figure BDA0003957440200000033
进一步地，步骤六中在低碳约束下构造的满足K-T条件的拉格朗日函数表达式如下：
Figure BDA0003957440200000034
进一步地，步骤六中求解的拉格朗日函数结果由不动点思想得到的迭代格式为：
Figure BDA0003957440200000035
令
Figure BDA0003957440200000036
则有
Figure BDA0003957440200000037
进一步地，步骤六中由优化准则法(OC法)可得设计变量的启发式更新格式如下：
Figure BDA0003957440200000038
其中，k为迭代次数；ξ为阻尼因子，可以保证结果收敛，一般为0.5；m为正向移动极限，可以提高迭代过程的稳定性，一般取0.1～0.3。
进一步的，步骤七中所述判断优化收敛条件为：
Figure BDA0003957440200000041
其中，ε为收敛精度。
对于上述提出的发明方法，相比较于现有技术，本发明提供的一种低碳约束下的结构拓扑优化方法主要具有以下有益效果：
(1)本发明在结构拓扑优化的过程中，能够达到保证结构刚度的同时，降低结构碳排放，更加符合当代社会提出的“碳达峰”、“碳中和”的“双碳目标”；
(2)本发明提出的碳排放限值计算方法，在面对组成材料不止一种的产品结构时，可以进行函数拓展，在进行拓扑优化时能够得到更好的材料布局，有利于材料节约，因此本发明适用范围广泛；
(3)本发明采用拓扑优化领域广泛采用的优化准则法(OC法)进行优化求解计算，并且使用改进后的SIMP插值模型，迭代速度更快，有利于后期拓展并推广，适用范围广泛。
附图说明
图1是本发明一种低碳约束下的结构拓扑优化方法的流程示意图。
图2是本发明的实例：汽车后防撞梁的初始结构、边界条件以及载荷作用点示意图。
图3是基于本发明获得的优化后汽车后防撞梁的拓扑结构示意图。
图4是基于本发明获得的优化过程中汽车后防撞梁结构柔度随迭代次数变化的示意图。
具体实施方式
下面结合附图及具体实施对本发明做进一步详细说明：
如图1所示，本发明公开了一种低碳约束下的结构拓扑优化方法，包括以下步骤：
步骤一：定义目标产品结构工作条件、设计域，设置边界条件，确定结构受力点以及计算所受载荷。
步骤二：采用变密度法以单元的相对密度为设计变量，以结构的柔度最小为优化目标，以结构碳排放限值为约束条件，建立拓扑优化模型。
所述的低碳约束下的结构拓扑优化模型为：
Figure BDA0003957440200000051
其中，xe为材料单元的相对密度；Ω为设计空间；C(xe)为结构的柔度；U为结构的位移向量；K为结构的刚度矩阵；F为结构的力向量；gw为结构的全球变暖潜能值；GWPmax为设定的结构最大全球变暖潜能值；xmin为材料单元相对密度的最小值，一般取一个接近0 的较小值，可以防止单元刚度矩阵奇异。
在结构的使用寿命内，通过温室气体减排率与初始碳排放值积累得到结构在使用寿命期间的碳排放总值，根据结构使用寿命期间的目标温室气体减排率设置碳排放最大值，以此作为拓扑优化的低碳约束条件，所述结构碳排放限值约束函数表达式如下：
Figure BDA0003957440200000052
其中，g0为结构的初始碳排放值；Td为结构的设计使用寿命；α为温室气体减排率。
根据IPCC第五次评估第三工作组调查的大量温室气体减缓情景，以及对未来全球人为温室气体减排率与大气CO2浓度之间对应关系的预测，做出假设：碳排放限值与温室气体减排率成正比，并随着时间呈确定性和线性变化。依据假设，提出全球温室气体减排率的计算公式如下：
Figure BDA0003957440200000053
其中，Y为结构的设定使用年份。
步骤三：将初始设计域离散成nelx×nely个有限元单元，通过变密度法引入中间密度单元，设定惩罚因子、过滤半径，初始化设计变量。
步骤四：采用改进的固体各向同性材料惩罚模型(SIMP)对单元的弹性模量进行计算，得到单元的刚度矩阵，组装得到结构的总体刚度矩阵，在设定的边界条件和载荷下对结构进行有限元分析，计算得到单元节点的位移。
所述的改进的SIMP插值模型如下：
Ee＝Ee(xe)＝Emin+(xe)p(E0-Emin)，xe∈(0,1] (4)
其中，Ee(xe)为迭代过程中的单元刚度矩阵；E0为材料的初始单元刚度矩阵；p为惩罚因子，可以加快收敛速度，使中间单元密度趋向于两端的值(即0或1)。
步骤五：累加每个有限元单元的碳排放，得到结构总体碳排放，求解目标柔度函数以及结构总体碳排放约束对于设计变量的灵敏度。
所述结构碳排放计算公式为：
Figure BDA0003957440200000061
式中，xe,i为结构中包含第i种材料单元的相对密度；ve,i为第i种材料单元的体积；ρi为第i种材料的密度；Ei为第i种材料的碳排放因子；n为单元个数；m为材料的种类数。
所述拓扑优化模型的灵敏度求解如下：
对于荷载来说，因为荷载为外界施加，与xe无关，荷载对xe的灵敏度为：
Figure BDA0003957440200000062
结构的碳排放对xe的灵敏度为：
Figure BDA0003957440200000063
对于结构的位移和刚度约束KU＝F，两边同时对xe求偏导，结果如下：
Figure BDA0003957440200000064
结构的总体刚度矩阵是对称的，则有FT＝UTKT＝UTK，两边同时对xe求偏导，结果如下：
Figure BDA0003957440200000065
对式(8)左乘一个UT，式(9)右乘一个U，结果分别如式(10)、(11)所示：
Figure BDA0003957440200000066
Figure BDA0003957440200000067
结构的总体柔度表达式如式(1)所示，两边同时对xe求偏导，其结果如式(12)所示：
Figure BDA0003957440200000068
将式(10)、(11)代入式(12)中，根据改进的SIMP插值模型，得出结构柔度对xe的灵敏度为：
Figure BDA0003957440200000071
步骤六：构造目标模型的拉格朗日函数，使最优解满足库尔塔克(Kuhn-Tucker)条件，即K-T条件，运用灵敏度过滤方法调整目标柔度函数及低碳约束条件的灵敏度，采用优化准则法(OC法)得到设计变量的启发式更新格式，更新设计变量。
所述拓扑优化模型的拉格朗日函数为：
Figure BDA0003957440200000072
其中，λg，λ1，
Figure BDA0003957440200000073
为Lagrange乘子(其中λ1为矢量，其余均为标量)。
所述拉格朗日函数在极值点
Figure BDA0003957440200000074
处满足K-T条件的表达式为：
Figure BDA0003957440200000075
对于上式，进行分情况讨论如下：
(1)当xmin≤xe≤1时，由式中条件可得
Figure BDA0003957440200000076
(2)当xe＞1时，由式中条件可得
Figure BDA0003957440200000077
(3)当xe＜xmin时，由式中条件可得
Figure BDA0003957440200000078
由上述讨论，当材料的相对密度在取值范围内时，即xmin≤xe≤1，此时有
Figure BDA0003957440200000079
Figure BDA00039574402000000710
将其代入式(15)中，得到结果如下：
Figure BDA00039574402000000711
将式(6)、式(8)及式(13)代入式(16)中，得到结果如下：
Figure BDA00039574402000000712
上式基于不动点迭代的思想，转化为显式的结果如下：
Figure BDA0003957440200000081
令
Figure BDA0003957440200000082
则有
Figure BDA0003957440200000083
所述的由优化准则法(OC法)可得设计变量的启发式更新格式如下：
Figure BDA0003957440200000084
其中，k为迭代次数；ξ为阻尼因子，可以保证结果收敛；m为正向移动极限，可以提高迭代过程的稳定性。
在迭代过程中，采用二分法计算低碳约束的Lagrange乘子λg，计算公式如下：
Figure BDA0003957440200000085
其中k为迭代次数；
Figure BDA0003957440200000086
为迭代过程中Lagrange乘子的中间变量；
Figure BDA0003957440200000087
和
Figure BDA0003957440200000088
为K-T条件下迭代过程中Lagrange乘子的上下限，设定
Figure BDA0003957440200000089
Figure BDA00039574402000000810
一般为一个较大值，此处设
Figure BDA00039574402000000811
令
Figure BDA00039574402000000812
当
Figure BDA00039574402000000813
时，使
Figure BDA00039574402000000814
当
Figure BDA00039574402000000815
时，使
Figure BDA00039574402000000816
其中，
Figure BDA00039574402000000817
为迭代过程中的结构碳排放。
步骤七：判断结果是否满足优化收敛条件，若不满足则转至步骤四，并依次进行迭代计算；若满足，则终止拓扑优化进程，获得满足低碳约束的拓扑优化模型。
所述判断优化收敛条件为：
Figure BDA00039574402000000818
参照图2-图4，以某款汽车后防撞梁为实例，进而对本发明做进一步说明。防撞梁是车身结构的重要组成部分，它可以直接保护驾驶员和乘客在碰撞中的安全，因此强度要求较高，而且耗材较多，在其制造过程中会产生大量碳排放。汽车后防撞梁的初始结构、边界条件以及载荷作用位置如图2所示，现对其最前面的梁体做结构优化，初始结构设计空间为120cm*12cm，其下侧有两处为固定端，在最上侧中点处受一个竖直向下的集中力，大小设为1kN。汽车后防撞梁整体结构采用铝合金，泊松比为0.3，弹性模量为70GPa，密度为2.7×103kg/m3，碳排放因子为16.56kg CO2eq/kg，进行碳排放计算时，防撞梁宽度取15cm，结构的设计使用寿命设定为30年。将防撞梁的设计空间离散成1440个四节点矩形单元，迭代过程中的惩罚因子p取3，灵敏度的过滤半径取1.5，阻尼因子取0.5，正向移动因子取0.2。
图3为按约束条件优化后的防撞梁结构图，优化后的结构相比较原结构，可以看出，其结构更加迎合整体实际受力和固定约束，材料分布更加合理。
图4为在低碳约束下，迭代过程中防撞梁的结构柔度随迭代次数变化曲线。由图4可知，防撞梁结构柔度从2602.44N·m减小为最终的635.65N·m，降低约75.60％。原实体防撞梁的结构碳排放值为965.78kg CO2eq，设定的防撞梁结构碳排放限值约束为不高于526.45kg CO2eq，相比于原结构碳排放减少约45.49％，最终得到的结果收敛在526.35kgCO2eq，满足低碳约束条件，优化结果符合预期要求。
本发明在基于SIMP的结构拓扑优化的基础上，通过温室气体减排率设定了结构的碳排放限值，并将其作为低碳约束添加入拓扑优化方法中。通过灵敏度分析，结合优化准则法得到了基于低碳约束下的拓扑优化模型的迭代格式。采用MATLAB软件完成了对汽车后防撞梁实例的拓扑优化改进。
本领域的技术人员容易理解，以上所述仅为本发明的较佳实施例而已，并不用以限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内所作的任何修改、等同替换和改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (10)

1.一种低碳约束下的结构拓扑优化方法，其特征在于，所述方法实现步骤如下：
步骤一：定义目标产品结构工作条件、设计域，设置边界条件，确定结构受力点以及计算所受载荷；
步骤二：采用变密度法以单元的相对密度为设计变量，以结构的柔度最小为优化目标，以结构碳排放限值为约束条件，建立拓扑优化模型；
步骤三：将初始设计域离散成nelx×nely个有限元单元，通过变密度法引入中间密度单元，设定惩罚因子、过滤半径，初始化设计变量；
步骤四：采用改进的固体各向同性材料惩罚模型对单元的弹性模量进行计算，得到单元的刚度矩阵，组装得到结构的总体刚度矩阵，在设定的边界条件和载荷下对结构进行有限元分析，计算得到单元节点的位移；
步骤五：累加每个有限元单元的碳排放，得到结构总体碳排放，求解目标柔度函数以及结构总体碳排放约束对于设计变量的灵敏度；
步骤六：构造目标模型的拉格朗日函数，使最优解满足库尔塔克条件，即K-T条件，运用灵敏度过滤方法调整目标柔度函数及低碳约束条件的灵敏度，采用优化准则法得到设计变量的启发式更新格式，更新设计变量；
步骤七：判断结果是否满足优化收敛条件，若不满足则转至步骤四，并依次进行迭代计算；若满足，则终止拓扑优化进程，获得满足低碳约束的拓扑优化模型。
2.根据权利要求1所述的低碳约束下的结构拓扑优化方法，其特征在于，所述的拓扑优化模型为：
find：xe＝{x1,x2,x3,···,xn}T∈Ω,e＝1,2,···,n
min：C(xe)＝UTKU
s.t.gw≤GWPmax
KU＝F
0＜xmin≤xe≤1
其中，xe为材料单元的相对密度；Ω为设计空间；C(xe)为结构的柔度；U为结构的位移向量；K为结构的刚度矩阵；F为结构的力向量；gw为结构的全球变暖潜能值；GWPmax为设定的结构最大全球变暖潜能值；xmin为材料单元相对密度的最小值，一般取一个接近0的较小值，可以防止单元刚度矩阵奇异。
3.根据权利要求1所述的低碳约束下的结构拓扑优化方法，其特征在于，所述低碳约束构建方法如下：
(1)在结构的使用寿命内，通过温室气体减排率与初始碳排放值积累得到结构在使用寿命期间的碳排放总值，根据结构使用寿命期间的目标温室气体减排率设置碳排放最大值，以此作为拓扑优化的低碳约束条件，计算公式如下：
Figure FDA0003957440190000021
其中，g0为结构的初始碳排放值；Td为结构的设计使用寿命；α为温室气体减排率；
(2)根据IPCC第五次评估第三工作组调查的大量温室气体减缓情景，以及对未来全球人为温室气体减排率与大气CO2浓度之间对应关系的预测，做出假设：碳排放限值与温室气体减排率成正比，并随着时间呈确定性和线性变化；依据假设，提出全球温室气体减排率的计算公式如下：
Figure FDA0003957440190000022
其中，α为温室气体减排率；Y为结构的设定使用年份；
所述的结构碳排放计算方法如下：
Figure FDA0003957440190000023
式中，xe,i为结构中包含第i种材料单元的相对密度；ve,i为第i种材料单元的体积；ρi为第i种材料的密度；Ei为第i种材料的碳排放因子；n为单元个数；m为材料的种类数。
4.根据权利要求1所述的低碳约束下的结构拓扑优化方法，其特征在于，所述的改进的固体各向同性材料惩罚模型模型如下：
Ee＝Ee(xe)＝Emin+(xe)p(E0-Emin)，xe∈(0,1]
其中，Ee(xe)为迭代过程中的单元刚度；E0为材料的初始单元刚度；Emin为分配给空隙区域的一个非常小的刚度，可以防止刚度奇异矩阵的产生；p为惩罚因子，可以加快收敛速度，使中间单元密度趋向于两端的值，所述两端的值为0或1。
5.根据权利要求1所述的低碳约束下的结构拓扑优化方法，其特征在于，所述结构碳排放约束对设计变量的灵敏度如下：
Figure FDA0003957440190000024
所述结构柔度目标函数对设计变量的灵敏度如下：
Figure FDA0003957440190000025
6.根据权利要求1所述的低碳约束下的结构拓扑优化方法，其特征在于，在低碳约束下构造的满足K-T条件的拉格朗日函数表达式如下：
Figure FDA0003957440190000031
其中，λg，λ1，
Figure FDA0003957440190000032
为Lagrange乘子(其中λ1为矢量，其余均为标量)。
7.根据权利要求1所述的低碳约束下的结构拓扑优化方法，其特征在于，在迭代过程中，采用二分法计算低碳约束的Lagrange乘子λg，计算公式如下：
Figure FDA0003957440190000033
其中k为迭代次数；
Figure FDA0003957440190000034
为迭代过程中Lagrange乘子的中间变量；
Figure FDA0003957440190000035
和
Figure FDA0003957440190000036
为K-T条件下迭代过程中Lagrange乘子的上下限。
计算优化模型迭代过程中的碳排放值
Figure FDA0003957440190000037
时，令
Figure FDA0003957440190000038
当
Figure FDA0003957440190000039
时，使
Figure FDA00039574401900000310
当
Figure FDA00039574401900000311
时，使
Figure FDA00039574401900000312
其中g0为结构初始碳排放值。
8.根据权利要求1所述的低碳约束下的结构拓扑优化方法，其特征在于，求解的拉格朗日函数结果由不动点思想得到的迭代格式为：
Figure FDA00039574401900000313
令
Figure FDA00039574401900000314
则有
Figure FDA00039574401900000315
9.根据权利要求1所述的低碳约束下的结构拓扑优化方法，其特征在于，由优化准则法(OC法)可得设计变量的启发式更新格式如下：
Figure FDA00039574401900000316
其中，k为迭代次数；ξ为阻尼因子，可以保证结果收敛，一般为0.5；m为正向移动极限，可以提高迭代过程的稳定性，一般取0.1～0.3。
10.根据权利要求1所述的低碳约束下的结构拓扑优化方法，其特征在于，所述判断优化收敛条件为：
Figure FDA0003957440190000041
其中，ε为收敛精度。
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