CN115657608A - 基于Brent迭代法的全局非对称式S型柔性速度曲线规划方法 - Google Patents

Abstract

本方案公开了一种基于Brent迭代法的全局非对称式S型柔性速度曲线规划方法，该方法将加速段和减速段的规划分开，进行独立控制，根据给定初速度V_s与末速度V_e的大小关系，计算相应的单段加(减)位移，判断是否可以进行S曲线规划。在加速不到给定约束的最大速度V_max时，通过遍历快速确定曲线规划类型，并通过Brent迭代法进行实际运动最大速度V_lim及其他运动规划参数的快速求解，对求解出的运动规划参数符号进行处理。本方案能进行加速和减速的完全分开控制，实现全局非对称曲线规划，全面提升S曲线加减速控制的灵活性；能进行运动规划参数的快速求解，减小系统的柔性冲击，提升控制系统的运行速度、加工效率和加工精度。

Description

基于Brent迭代法的全局非对称式S型柔性速度曲线规划方法

技术领域

本方案属于运动控制系统技术领域，尤其是涉及一种基于Brent迭代法的全局非对称式S型柔性速度曲线规划方法。

背景技术

自20世纪60年代末问世以来，可编程逻辑控制器(PLC)经过几十年的发展已广泛应用于钢铁、石油、化工、建材、机械加工、轻纺、食品制造等各个行业。现代PLC兼具高速度、高性能、高可靠性等特点，运动控制作为现代PLC的核心功能模块，在汽车制造、机床、机器人、电梯、光伏、锂电等行业有广泛应用。满足高速、高效率要求的柔性加减速控制是现代高性能运动控制系统的关键技术之一。在实际生产应用中，为了避免设备在启停时产生冲击、振动，需要对电机的进给速度进行加减速控制。传统的梯形和指数加减速控制方法虽易实现，但存在一定的不足，伺服电机具有高速运行时输出扭矩下降的特性，而梯形加减速控制方法在整个加减速过程中加速度始终保持不变，这就要求在实际运行系统中要按照电机最高转速时输出的扭矩产生加速度，这将大大限制加速度的取值范围，无法充分发挥电机的特性。此外，这两种控制方法在加减速过程中存在加速度突变，由于加速度的不连续，会产生很大的柔性冲击，影响加工的质量和设备本身的使用寿命，难以实现高精度的控制。

针对上述传统加减速方法存在的弊端，为了提升加工精度，满足高精度、高性能的控制要求，通常采用S型曲线加减速控制方法。有学者公开了一种“运动控制系统S曲线加减速的实现方法”[CN103713581B]，其采用七段式S型加减速曲线保证加速度的连续性，减小了系统的柔性冲击，但是该方法在加减速过程中加速度和减速度保持相等，加加速度和减减速度也是相等的，是一种对称的曲线规划，加速和减速过程存在耦合关系，这将导致无论在何种工况下系统只能提供相同的输出转矩，难以完全发挥伺服电机的特性，大大限制了S曲线规划的灵活性，难以满足全工况的规划与控制。为了实现更灵活的S曲线规划，有学者提出“一种运动控制系统的非对称S曲线加减速控制方法和装置”[CN106444635B]，该方法通过分开控制加速和减速过程，实现非对称的曲线规划，增强了S曲线加减速控制方法的灵活性，但是其加加速段和减加速段的时间是相等的，加速和减速过程还是存在一定的耦合关系，仅为局部的非对称S曲线控制，并未实现全局的非对称S曲线加减速控制。其次，曲线规划中的最大加速度和最大减速度通过输入参数中的加速时间和减速时间计算而来，未考虑电机的实际输出扭矩，而电机产生的加速度由电机本身电磁特性和所带负载共同决定的，是有一定的物理上限的，若加减速时间设置过短或不合理，有可能造成失控或剧烈震荡等现象，有一定的安全隐患。在S曲线规划中当实际运行的最大速度达不到预设的给定最大速度时，由于此时运动规划参数约束方程通常为非线性方程，通常使用二分法求取实际运行最大速度，如一些学者提出的“一种适用于前瞻的高精度7段式非对称S曲线加减速控制”和“一种物流搬运设备S曲线加减速速度规划与控制方法”[CN109991932B]，当加速不到给定最大速度，均通过传统的二分法求解出实际运行最大速度，进而进行曲线规划。二分法虽然算法实现简单，但是该方法收敛速度慢，仅以1/2的等比级数线性收敛，加大了系统计算负担，降低了系统运行效率，难以满足高效率的控制要求。

发明内容

本方案的目的是针对上述问题，提供一种基于Brent迭代法的全局非对称式S型柔性速度曲线规划方法，通过加速段和减速段的完全分开独立控制，实现全局非对称曲线规划，充分发挥伺服电机的特性，满足全工况运行，全面提升S曲线加减速控制的灵活性；通过Brent迭代法进行S曲线运动规划参数的快速求解，实现求解参数的超线性收敛和时间最优式加减速控制，能减小系统的柔性冲击，提升控制系统的运行速度、加工效率和加工精度。

一种基于Brent迭代法的全局非对称式S型柔性速度曲线规划方法，用于运动控制系统，包括以下步骤：

S1.获取位置运动指令和给定初始参数条件：目标位置S_t、初速度V_s、最大速度V_max、末速度V_e、最大加速度A_max、加速急动度AJ、最大减速度D_max、减速急动度DJ；

S2.若运行方向为负向，则将S_t、V_s、V_e进行转换，归一成正向后进行曲线规划；

S3.根据V_s与V_e的大小关系，执行相应步骤：

若V_s<V_e，计算单加速段位移S_a，若S_t>S_a，则可进行S曲线规划并执行步骤S4，否则,修正AJ，然后直接通过现有方式求解单段加速的运动规划即可，包括求解规划参数、规划时间，此规划只需加加速段(恒加速度段)、减加速段即可进行规划，然后执行步骤S8；

若V_s＝V_e，则可进行S曲线规划并执行步骤S4；

若V_s>V_e，计算单减速段位移S_d，若S_t>S_d，则可进行S曲线规划并执行步骤S4，否则，修正DJ，然后直接通过现有方式求解单段减速的运动规划即可，此规划只需加减速段(恒减速度段)、减减速段即可进行规划，然后执行步骤S8；

S4.计算匀速段时间T_u；

S5.若T_u＞0,则给定最大速度V_max可达，求解各分段规划，然后执行步骤S8；

否则，V_max不可达，执行步骤S6；

S6.将最大加速度A_max和最大减速度D_max是否可达的四种组合关系分别设为Case1-Case4四种情况，每种情况有不同的约束条件以及关于运动过程中实际速度最大值V_lim的一元非线性方程；

S7.使用Brent迭代法，求解Case1的一元非线性方程得到相应的运动过程中实际速度最大值V_lim的解，并计算各分段的运行时间及始末运动规划参数，若满足相应情况的约束条件，则结束求解进入步骤S8；否则，进一步遍历Case2-Case4求解；

S8.若目标位置S_t为负，对运动规划参数进行符号转换处理；

S9.将各分段始末运动规划参数及分段规划时间通过控制周期T_s逐次积分进行曲线离散插补后输出。

在上述的基于Brent迭代法的全局非对称式S型柔性速度曲线规划方法中，步骤S3中，定义

单加速段位移S_a的计算方式如下：

定义

单减速段位移S_d的计算方式如下：

在上述的基于Brent迭代法的全局非对称式S型柔性速度曲线规划方法中，匀速段时间T_u通过如下方式计算：

T_a为加速段时间，T_d为减速段时间。

在上述的基于Brent迭代法的全局非对称式S型柔性速度曲线规划方法中，根据A_max、D_max是否可达分别计算加速段时间T_a，减速段时间T_d：

若(V_max-V_s)*AJ≥A² _max，则A_max可达,加速段的时间计算如下：

否则，A_max不可达,加速段的时间计算如下：

若(V_max-V_e)·DJ≥D² _max，则D_max可达,减速段的时间计算如下：

否则，D_max不可达,减速段的时间计算如下：

T_aa：加加速段的时间；T_au：匀加速段的时间；T_ad：减加速段的时间；

T_a：加速段的时间；T_u：匀速段的时间；T_da：加减速段的时间；

T_du：匀减速段的时间；T_dd：减减速段的时间；T_d：减速段的时间。

在上述的基于Brent迭代法的全局非对称式S型柔性速度曲线规划方法中，步骤S5中，在T_u＞0,给定最大速度V_max可达情形下,通过上述式(5)～(9)所求得时间参数计算加速段、匀速段和减速段中各分段规划时间及始末运动规划参数。

在上述的基于Brent迭代法的全局非对称式S型柔性速度曲线规划方法中，步骤S6中，四种组合情况的约束条件分别为：

四种组合情况关于运动过程中实际速度最大值V_lim的一元非线性方程分别为：

f₁(V_lim)＝0、f₂(V_lim)＝0、f₃(V_lim)＝0、f₄(V_lim)＝0。

在上述的基于Brent迭代法的全局非对称式S型柔性速度曲线规划方法中，步骤S7中，Brent迭代法对每一种情况的求解方式为：

首先给定求解参数的初始条件：关于X(V_lim)的非线性方程f(X)，即f₁(V_lim)；又由于V_s<V_lim<V_max，给定求解区间左端点X₀＝V_s，给定求解区间左端点X₁＝V_max；定义Tol为求解参数的误差精度，如果X₀、X₁、f(X₀)、f(X₁)不满足以下条件：

f(X₀)≠0&&f(X₁)≠0&&|X₀-X₁|≥Tol (14)

则进行Brent迭代求解如下：

(7.1)先计算[X₀,X₁]的中点：X₂＝(X₀+X₁)/2；

(7.2)如果f(X₀)≠f(X₂)且f(X₁)≠f(X₂)，则通过f(X)、X₀、X₁、X₂，利用逆二次插值法求解第i步的迭代估算值X_i，具体如下：

如果X₀<X_i<X₂，则判断f(X_i)＝0是否成立，若f(X_i)＝0，则表明求解成功，直接结束；若f(X_i)≠0，则转入(7.4)进行左、右端点处理及求解区间细分，如果不满足X₀<X_i<X₂，则转入(7.3)通过割线法求解X_i；

(7.3)如果不满足f(X₀)≠f(X₂)且f(X₁)≠f(X₂)，先判断是否满足f(X₀)·f(X₂)<0，若满足则通过f(X)、X₀、X₂，利用割线法求解第i步的迭代估算值X_i，计算公式如下：

否则，判断是否满足f(X₁)·f(X₂)<0，若满足则通过f(X)、X₁、X₂，利用式(16)所示的割线法求解第i步的迭代估算值X_i；

(7.4)先对X₂和X_i值的大小进行比较，若X₂>X_i，则将X₂和X_i的值进行交换，以保证X₀≤X₂≤X_i≤X₁；将求解区间细分为三个子区间：[X₀,X₂]、[X₂,X_i]、[X_i,X₁]，接着判断是否满足f(X₂)·f(X_i)<0，若满足，则将X₂赋值给X₀，X_i赋值给X₁，即X₀＝X₂，X₁＝X_i；若不满足f(X₂)·f(X_i)<0，再判断是否满足f(X₀)·f(X₂)<0，若满足，则将X₂赋值给X₁，X₀保持不变；若不满足f(X₀)·f(X₂)<0，则将X_i赋值给X₀，X₁保持不变；通过以上X₀、X₁值的更新，将方程根区间缩小在三个子区间之一；

(7.5)判断X₀、X₁作差的绝对值是否小于误差精度Tol，即

|X₀-X₁|＜Tol (17)

若满足式(17)，则结束，否则，转入(7.1)进行下一轮的迭代求解，直到满足式(14)的结束条件为止。

在上述的基于Brent迭代法的全局非对称式S型柔性速度曲线规划方法中，步骤S7中，依据公式(5)～(8)将其中的V_max替换为V_lim，求得加速段和减速段中各分段运行时间加加速段时间T_aa、减加速段时间T_ad、加减速段时间T_da、匀减速段时间T_du、减减速段时间T_dd计算相应始末运动规划参数：

定义：

J_k：第k段的加(减)速急动度；

A_sk：第k段的初加速度；

A_ek：第k段的末加速度；

V_sk：第k段的初速度；

V_ek：第k段的末速度；

S_k：第k段的位置；

T_k：第k段的运行时间；

其中,k＝1,2,3…

第一段时，即加加速段，k＝1，相应始末运动规划参数如下：

第二段，即减加速段时，k＝2，V_s2＝V_e1，A_s2＝A_e1，将其代入式(18)计算第二段的始末运动规划参数，依此类推，计算剩余分段的始末运动规划参数；

然后判断求解参数是否满足相应情况的约束条件，若满足则结束参数求解，否则，进一步遍历。

在上述的基于Brent迭代法的全局非对称式S型柔性速度曲线规划方法中，步骤S2中，将负向运行归一成正向的方式为：

令μ＝sign(S_t)(1)得：

步骤S8中，转换处理的方式为：

J_k表示第k段的加(减)速急动度；

A_sk表示第k段的初加速度；

A_ek表示第k段的末加速度；

V_sk表示第k段的初速度；

V_ek表示第k段的末速度；

S_k表示第k段的位置。

在上述的基于Brent迭代法的全局非对称式S型柔性速度曲线规划方法中，步骤S9中，通过如下方式对运动规划参数及其规划时间进行曲线离散插补输出：

T_s为控制周期,T_k为第k段的运行时间。

本方案的优点在于：

1.通过加速段和减速段的完全分开独立控制，实现全局非对称曲线规划，充分发挥伺服电机的特性，满足全工况运行，全面提升S曲线加减速控制的灵活性；

2、同样适用于数控机床、机器人等其他运动控制系统；

3.通过Brent迭代法进行S曲线运动规划参数的快速求解，实现求解参数的超线性收敛和时间最优式加减速控制，能减小系统的柔性冲击，提升控制系统的运行速度、加工效率和加工精度；

4.若目标位置S_t小于0，初速度V_s小于0，末速度V_e也小于0，即运行方向为负向，则将S_t、V_s、V_e进行转换处理，保证正、负向均可进行曲线规划。

附图说明

图1为本方案的基于Brent迭代法的全局非对称式S型柔性速度曲线规划流程图；

图2为基于Brent快速迭代法的运动规划参数求解流程图；

图3为V_max、A_max、D_max均可达时的S曲线规划实验波形图；

图4为V_max可达，A_max、D_max不可达时的S曲线规划实验波形图；

图5为二分法和Brent法求解收敛速度对比图；

图6为Vmax不可达时，基于Brent迭代法求解的S曲线规划实验波形图。

具体实施方式

下面结合附图和具体实施方式对本方案做进一步详细的说明。

本实施例提供一种用于运动控制系统，尤其适用于电机运动控制系统的基于Brent迭代法的全局非对称式S型柔性速度曲线规划方法，该方法在给定初速度V_s、末速度V_e的基础上，加速段给定最大加速度A_max和加速急动度AJ，减速段给定最大减速度D_max和减速急动度DJ，将加速段和减速段的规划分开，进行独立控制。对运动方向进行处理，实现正、负向均可进行曲线规划。根据V_s与V_e的大小关系，计算相应的单段加(减)位移，判断是否可以进行S曲线规划。在加速不到给定约束的最大速度V_max时，通过遍历快速确定曲线规划类型，并通过Brent迭代法进行实际运动最大速度V_lim及其他运动规划参数的快速求解，对求解出的运动规划参数符号进行处理。最后，通过将曲线规划时间离散实现曲线的插补输出。经多次实验证明，本方案能进行加速和减速的完全分开控制，实现全局非对称曲线规划，全面提升S曲线加减速控制的灵活性；能进行运动规划参数的快速求解，实现求解参数的超线性收敛和时间最优式的曲线规划，能减小系统的柔性冲击，提升控制系统的运行速度、加工效率和加工精度。图1所示，具体步骤如下：

1、输入位置运动指令，给定初始参数条件：目标位置S_t、初速度V_s、最大速度V_max、末速度V_e、最大加速度A_max、加速急动度AJ、最大减速度D_max、减速急动度DJ。其中，V_max、A_max、AJ、D_max、DJ始终为大于0的实数。

2、处理运动方向，若目标位置S_t小于0，初速度V_s小于0，末速度V_e也小于0，即运行方向为负向，则将S_t、V_s、V_e进行转换，归一成正向进行曲线规划，具体如下：

令μ＝sign(S_t) (1)

得：

3、根据V_s与V_e的大小关系，计算相应的单段加(减)位移，判断是否可以进行S曲线规划，具体如下：

(3.1)V_s<V_e

定义：

则单加速段位移S_a的计算公式如下：

若S_t>S_a，则S曲线轨迹规划可行；若S_t<＝S_a，则修正AJ，具体如下：

若

则AJ修正为

否则，AJ修正为

求解单段加速的运动规划参数，进行单段加速曲线特殊规划，此规划只需加加速段(恒加速度段)、减加速段即可进行规划。

(3.2)V_s＝V_e

若V_s＝V_e，不存在单加速段或单减速段的情况，始终满足S曲线规划的条件。

(3.3)V_s>V_e

定义：

则单减速段位移S_d的计算公式如下：

若S_t>S_d，则S曲线轨迹规划可行；若S_t<＝S_d，则修正DJ，具体如下：若

则DJ修正为

否则，AJ修正为

求解单段减速的运动规划参数，进行单段减速曲线特殊规划，此规划只需减加速段(恒减速度段)、减减速段即可进行规划。

4、若步骤3中满足可进行S曲线规划的条件，则进一步计算S曲线规划的参数。定义运动过程中实际速度最大值为V_lim，存在两种可能性：

(1)情况1，V_lim＝V_max；

(2)情况2，V_lim<V_max。

以上所述两种情况均存在最大加速度A_max和最大减速度D_max其一不可达或两者同时不可达的可能。

5、首先假设满足情况1，V_lim＝V_max。做如下定义：

T_aa：加加速段(加速急动度为正恒值)的时间；

T_au：匀加速段(加速急动度为零)的时间；

T_ad：减加速段(加速急动度为负恒值)的时间；

T_a：加速段的时间；

T_u：匀速段的时间；

T_da：加减速段(减速急动度为正恒值)的时间；

T_du：匀减速段(减速急动度为零)的时间；

T_dd：减减速段(减速急动度为负恒值)的时间；

T_d：减速段的时间。

可根据如下条件判断最大加速度A_max是否可达：

若(V_max-V_s)*AJ≥A² _max，则A_max可达,进而加速段的时间计算如下：

否则，A_max不可达,进而加速段的时间计算如下：

可根据如下条件判断最大减速度D_max是否可达：

若(V_max-V_e)·DJ≥D² _max，则D_max可达,进而减速段的时间计算如下：

否则，D_max不可达,进而减速段的时间计算如下：

进一步，可求得匀速段的运行时间为

若T_u>0,则给定最大速度V_max可达，上述的式(5)～(9)所求得时间参数可用于加速度、匀速段和减速段中各分段始末运动规划参数的计算；否则，T_u≤0，这表明实际运行速度最大值V_lim小于V_max，此时需要进行情况2，V_lim<V_max时运动规划参数及运动规划时间的计算求解。

6、当情况2，V_lim<V_max时，无匀速段(T_u＝0)。此时，最大加速度和最大减速度共有四种不同的组合如下：

Case1：A_max可达，D_max可达；

Case2：A_max不可达，D_max可达；

Case3：A_max可达，D_max不可达；

Case4：A_max不可达，D_max不可达；

Case1-Case4这四种组合，V_s、V_e、V_lim、AJ、DJ、A_max、D_max需要满足不同的约束关系，分别如下：

由于实际速度最大值V_lim是未知数，故无法直接判断出最大加速度和最大减速度满足Case1-Case4的哪种组合关系。但是加速段和减速段的运动规划参数及运动规划时间均与V_lim存在方程等式关系，Case1-Case4四种情况经过推导可得关于V_lim的一元非线性方程，分别为f₁(V_lim)＝0、f₂(V_lim)＝0、f₃(V_lim)＝0、f₄(V_lim)＝0。通过遍历可快速确定最大加速度和最大减速度的组合关系，首先假设满足Case1：A_max可达，D_max可达，此时满足关于V_lim的一元非线性方程f₁(V_lim)＝0，非线性方程无法通过四则运算求解。通过迭代法能实现在满足精度要求下参数的求解，Brent迭代法是一种结合二分法、逆二次插值法和割线法的新型快速迭代求根方法，不需要方程的导数，可保证方程根以超线性收敛的方式快速求解。通过Brent迭代法进行关于V_lim的一元非线性方程f₁(V_lim)＝0的快速求解。

7、如图2所示为基于Brent快速迭代法的运动规划参数求解流程图。首先给定求解参数的初始条件：关于X(V_lim)的非线性方程f(X)，即f₁(V_lim)；又由于V_s<V_lim<V_max，给定求解区间左端点X₀＝V_s，给定求解区间左端点X₁＝V_max。定义Tol为求解参数的误差精度。如果X₀、X₁、f(X₀)、f(X₁)不满足以下条件：

f(X₀)≠0&&f(X₁)≠0&&|X₀-X₁|≥Tol (14)

则进行Brent迭代求解如下：

(7.1)先计算[X₀,X₁]的中点：X₂＝(X₀+X₁)/2。

(7.2)如果f(X₀)≠f(X₂)且f(X₁)≠f(X₂)，则通过f(X)、X₀、X₁、X₂，利用逆二次插值法求解第i步的迭代估算值X_i，具体如下：

如果X₀<X_i<X₂，则判断f(X_i)＝0是否成立，若f(X_i)＝0，则表明求解成功，直接结束；若f(X_i)≠0，则转入(7.4)进行左、右端点处理及求解区间细分。如果不满足X₀<X_i<X₂，则转入(7.3)通过割线法求解X_i。

(7.3)如果不满足f(X₀)≠f(X₂)且f(X₁)≠f(X₂)，先判断是否满足f(X₀)·f(X₂)<0，若满足则通过f(X)、X₀、X₂，利用割线法求解第i步的迭代估算值X_i，计算公式如下：

否则，判断是否满足f(X₁)·f(X₂)<0，若满足则通过f(X)、X₁、X₂，利用式(16)所示的割线法求解第i步的迭代估算值X_i。

(7.4)先对X₂和X_i值的大小进行比较，若X₂>X_i，则将X₂和X_i的值进行交换，以保证X₀≤X₂≤X_i≤X₁。将求解区间细分为三个子区间：[X₀,X₂]、[X₂,X_i]、[X_i,X₁]，接着判断是否满足f(X₂)·f(X_i)<0，若满足，则将X₂赋值给X₀，X_i赋值给X₁，即X₀＝X₂，X₁＝X_i；若不满足f(X₂)·f(X_i)<0，再判断是否满足f(X₀)·f(X₂)<0，若满足，则将X₂赋值给X₁，X₀保持不变；若不满足f(X₀)·f(X₂)<0，则将X_i赋值给X₀，X₁保持不变。通过以上X₀、X₁值的更新，将方程根区间缩小在三个子区间之一。

(7.5)判断X₀、X₁作差的绝对值是否小于误差精度Tol，即

|X₀-X₁|＜Tol (17)

若满足式(17)，则结束。否则，转入(7.1)进行下一轮的迭代求解，直到满足式(14)的结束条件为止。

8、通过第7步求解出Case1下V_lim的值，进而可以依据式(5)～(8)求得加速段和减速段中各分段运行时间：加加速段时间T_aa、减加速段时间T_ad、加减速段时间T_da、匀减速段时间T_du、减减速段时间T_dd。然后，可计算出相应始末运动规划参数如下：

定义：

J_k：第k段的加(减)速急动度；

A_sk：第k段的初加速度；

A_ek：第k段的末加速度；

V_sk：第k段的初速度；

V_ek：第k段的末速度；

S_k：第k段的位置；

T_k：第k段的运行时间；

其中,k＝1,2,3…

第一段时，即加加速段，k＝1，相应始末运动规划参数如下：

第二段，即减加速段时，k＝2，由于需保持曲线的连续性，故V_s2＝V_e1，A_s2＝A_e1，将其带入式(18)可计算出第二段的始末运动规划参数，以此类推，可以计算出剩余分段的始末运动规划参数。然后通过式(10)判断求解参数是否满足Case1的约束条件，若满足则结束参数求解。

否则，进一步遍历，若V_lim满足式(11)，即Case2，则通过f₂(V_lim)、V_s、V_max，依据第7步中的Brent迭代法求解V_lim各分段运行时间及相应始末运动规划参数，并判断求解参数是否满足Case2的约束条件；若V_lim满足式(12)，即Case3，则通过f₃(V_lim)、V_s、V_max，依据第7步中的Brent迭代法求解V_lim各分段运行时间及相应始末运动规划参数，并判断求解参数是否满足Case3的约束条件；若V_lim满足式(13)，即Case4，则通过f₄(V_lim)、V_s、V_max，依据第7步中的Brent迭代法求解V_lim各分段运行时间及相应始末运动规划参数，并判断求解参数是否满足Case4的约束条件。以上通过最多4步遍历即可快速曲线规划加速度和减速度的组合并实现规划参数的快速求解。

T_u>0,给定最大速度V_max可达时，加速度、匀速段和减速段中各分段始末运动规划参数的计算方式与上述方式类似，只是这种情况没有四种假设情况，不存在是否满足约束条件的判断步骤，也不存在遍历四种情况的情况，直接参阅公式(18)求解各分段的运动规划参数。

9、若目标位置S_t为正，第8步得到的各分段始末运动规划参数直接输出；若目标位置S_t为负，应对运动规划参数进行符号转换处理，以实现负方向的曲线规划，具体如下：

10、依据第8步，第9步得到的各分段始末运动规划参数及分段规划时间通过控制周期T_s逐次积分进行曲线离散插补输出，具体表达式如下：

T_s为控制周期,T_k为第k段的运行时间。

为了说明本方案提出一种基于Brent迭代法的全局非对称式S型柔性速度曲线规划方法，可进行加速段和减速段的完全分开独立控制，实现全局非对称曲线规划，充分发挥伺服电机的特性，满足全工况运行，提升S曲线加减速控制的灵活性；可进行运动规划参数的快速求解，实现求解参数的超线性收敛和时间最优式加减速控制，能减小系统的柔性冲击，提升控制系统的运行速度、加工效率和加工精度，现对其进行实轴实验验证。

实验中，在PLC控制器中输入位置运动指令生成位置运动曲线，PLC控制器中通过总线与伺服驱动器通讯，下发位置运动参数给伺服驱动器，闭环控制伺服电机进行相应地位置运动。

根据实际工程经验，轴以满足控制参数约束的最大加减速进行运动，达到目标位置时末速度刚好为0，以实现最高的加工效率，这种用时最短的算法称为时间最优式算法，故本实验将末速度V_e设为0。

(11.1)V_max可达

实验中所用位置运动指令1、2的参数如表1所示：

表1

图3为V_max、A_max、D_max均可达时的S曲线规划实验波形图。由图3可知，系统初速度为5.00u·s^-1，当t＝13:58:39.818时，系统位移为100.00u，此时输入位置运动指令1，给定目标位置为180.00u，系统按照给定目标位移以及指令参数约束进行速度曲线规划。从图中可以看出，速度在经过加加速段、匀加速段、减加速段后达到最大速度13.00u·s^-1，接着匀速运行T_u1后开始减速，经过加减速段、匀减速段、减减速段后到达目标位置180.00u，此时末速度为0；整个曲线规划过程中加速度始终保持连续，减小了系统的柔性冲击，加速段参数A_max1、AJ₁和减速段参数D_max1、DJ₁设置完全不同，加速过程和减速过程完全分开控制，无任何耦合关系。显然，本方案的全局非对称式S曲线规划可以实现加速段和减速段的完全分开独立控制，实现全局非对称曲线规划，可充分发挥伺服电机的特性，满足全工况运行，可全面提升S曲线加减速控制的灵活性。

图4为V_max可达，A_max、D_max不可达时的S曲线规划实验波形图。由图4可知，系统初速度为7.00u·s^-1，当t＝15:34:05.373时，系统位移为50.00u，此时输入位置运动指令2，给定目标位置为130.00u，系统按照给定目标位移以及指令参数约束进行速度曲线规划。从图中可以看出，加速度在经过T_aa2后达到实际运行最大加速度2.24u·s^-2，再经过T_ad2后达到最大速度12u·s^-1，接着匀速运行T_u2后进入减速段，经过T_da2后达到实际最大减速度-11.47u·s^-2，最后经过T_dd2到达目标位置130.00u，此时末速度为0。由上可知，整个S曲线规划过程中实际最大加速度和最大减速度均达不到给定的约束最大加速度和减速度，根据给定的目标位移、初速度、末速度的边界条件计算出运行时间最短的实际可达最大加速度和减速度，进而实现时间最优式控制，提升系统运行效率、加工效率和加工精度。

(11.2)V_max不可达

V_max不可达时，进行二分法和Brent迭代法的对比实验，实验中所用位置运动指令3的参数如表2所示：

表2

V_max不可达时，需要先求解出实际运行最大速度V_lim，进而进行S曲线规划，依据步骤6、7和8判定位置运动指令3符合Case4，最大加速度A_max和最大减速度D_max均不可达，分别通过二分法和Brent迭代法对V_lim进行求解。根误差精度为1.00E-6时，二分法的迭代求解过程如表3所示；Brent迭代法的迭代求解过程如表4所示。对比表3和表4可以看出，二分法需要25次迭代才能使根达到1.00E-6的误差精度，而Brent迭代法仅需7次迭代即可使根达到1.00E-6的误差精度，此时V_lim的值为4.148175(保留两位小数为4.15)。显然，Brent迭代法以更快的收敛速度实现根的求解。图5为二分法和Brent法求解收敛速度对比图，从图中可以看出，当根误差精度为1.00E-1～1.00E-13，随着误差精度的减小，二分法的迭代次数逐渐增多，收敛速度慢，当误差精度为1.00E-13时，迭代48次才达到根误差精度；当根误差精度为1.00E-1～1.00E-13时，随着误差精度的减小，Brent迭代法的迭代次数始终为7，参数始终可以进行快速的求解。在误差精度为1.00E-13时，Brent迭代法的迭代速度是二分法迭代速度的6.86倍。显然，与二分法相比，Brent迭代法可以进行参数的快速求解，实现根的超线性收敛，减小系统的运算负担，提升系统运行效率。

V_max不可达时，基于Brent迭代法求解的S曲线规划实验波形图，如图5所示。由图5可知，系统初速度为2.00u·s^-1，当t＝10:39:04.462时，系统位移为20.00u，此时输入位置运动指令3，给定目标位置为30.00u，系统按照给定目标位移以及指令参数约束进行速度曲线规划。从图中可以看出，加速度在经过T_aa3后达到实际运行最大加速度2.41u·s^-2，再经过T_ad3后达到实际运行最大速度4.15u·s^-1，然后进入减速段，经过T_da3后达到实际最大减速度-3.50u·s^-2，最后经过T_dd3到达目标位置30.00u，此时末速度为0。由上可知，整个S曲线规划过程中实际最大加速度和最大减速度均达不到给定的约束最大加速度和减速度，根据给定的目标位移、初速度、末速度的边界条件计算出运行时间最短的实际可达最大加速度和减速度，进而实现时间最优式控制，满足高效率、高精度的控制，提升系统运行效率和加工效率。

表3

迭代次数i	迭代值X<sub>i</sub>	迭代误差Err
			1	4.01992605	6.98007395
2	4.14154854	3.36841449
			3	4.14806972	1.67768606
4	4.14817528	0.83873747
			5	4.14817571	0.41936830
6	4.14817571	0.20968415
			7	4.14817571	8.08E-14

表4

本实施例中所描述的具体实施例仅仅是对本方案精神作举例说明。本方案所属技术领域的技术人员可以对所描述的具体实施例做各种各样的修改或补充或采用类似的方式替代，但并不会偏离本方案的精神或者超越所附权利要求书所定义的范围。

Claims (10)

1.一种基于Brent迭代法的全局非对称式S型柔性速度曲线规划方法，用于运动控制系统，其特征在于，包括以下步骤：

S1.获取位置运动指令和给定初始参数条件：目标位置S_t、初速度V_s、最大速度V_max、末速度V_e、最大加速度A_max、加速急动度AJ、最大减速度D_max、减速急动度DJ；

S2.若运行方向为负向，则将S_t、V_s、V_e进行转换，归一成正向后进行曲线规划；

S3.根据V_s与V_e的大小关系，执行相应步骤：

若V_s<V_e，计算单加速段位移S_a，若S_t>S_a，则可进行S曲线规划并执行步骤S4，否则，修正AJ,求解单段加速的运动规划，然后执行步骤S8；

若V_s＝V_e，则可进行S曲线规划并执行步骤S4；

若V_s>V_e，计算单减速段位移S_d，若S_t>S_d，则可进行S曲线规划并执行步骤S4，否则，修正DJ，求解单段减速的运动规划，然后执行步骤S8；

S4.计算匀速段时间T_u；

S5.若T_u＞0,则给定最大速度V_max可达，求解各分段规划，然后执行步骤S8；

否则，V_max不可达，执行步骤S6；

S6.将最大加速度A_max和最大减速度D_max是否可达的四种组合关系分别设为Case1-Case4四种情况，每种情况有不同的约束条件以及关于运动过程中实际速度最大值V_lim的一元非线性方程；

S7.使用Brent迭代法，求解Case1的一元非线性方程得到相应的运动过程中实际速度最大值V_lim的解，并计算各分段的运行时间及始末运动规划参数，若满足相应情况的约束条件，则结束求解进入步骤S8；否则，进一步遍历Case2-Case4求解；

S8.若目标位置S_t为负，对运动规划参数进行符号转换处理；

S9.将各分段始末运动规划参数及分段规划时间通过控制周期T_s逐次积分进行曲线离散插补后输出。

2.根据权利要求1所述的基于Brent迭代法的全局非对称式S型柔性速度曲线规划方法，其特征在于，步骤S3中，定义

单加速段位移S_a的计算方式如下：

定义

单减速段位移S_d的计算方式如下：

3.根据权利要求1所述的基于Brent迭代法的全局非对称式S型柔性速度曲线规划方法，其特征在于，匀速段时间T_u通过如下方式计算：

T_a为加速段时间，T_d为减速段时间。

4.根据权利要求3所述的基于Brent迭代法的全局非对称式S型柔性速度曲线规划方法，其特征在于，根据A_max、D_max是否可达分别计算加速段时间T_a，减速段时间T_d：

若(V_max-V_s)*AJ≥A² _max，则A_max可达,加速段的时间计算如下：

否则，A_max不可达,加速段的时间计算如下：

若(V_max-V_e)·DJ≥D² _max，则D_max可达,减速段的时间计算如下：

否则，D_max不可达,减速段的时间计算如下：

T_aa：加加速段的时间；T_au：匀加速段的时间；T_ad：减加速段的时间；

T_a：加速段的时间；T_u：匀速段的时间；T_da：加减速段的时间；

T_du：匀减速段的时间；T_dd：减减速段的时间；T_d：减速段的时间。

5.根据权利要求4所述的基于Brent迭代法的全局非对称式S型柔性速度曲线规划方法，其特征在于，步骤S5中，通过上述式(5)～(9)所求得时间参数计算加速段、匀速段和减速段中各分段始末运动规划参数。

6.根据权利要求1所述的基于Brent迭代法的全局非对称式S型柔性速度曲线规划方法，其特征在于，步骤S6中，四种组合情况的约束条件分别为：

Case1：

Case2：

Case3：

Case4：

四种组合情况关于运动过程中实际速度最大值V_lim的一元非线性方程分别为：

f₁(V_lim)＝0、f₂(V_lim)＝0、f₃(V_lim)＝0、f₄(V_lim)＝0。

7.根据权利要求1所述的基于Brent迭代法的全局非对称式S型柔性速度曲线规划方法，其特征在于，步骤S7中，Brent迭代法对每一种情况的求解方式为：

首先给定求解参数的初始条件：关于X(V_lim)的非线性方程f(X)，即f₁(V_lim)；又由于V_s<V_lim<V_max，给定求解区间左端点X₀＝V_s，给定求解区间左端点X₁＝V_max；定义Tol为求解参数的误差精度，如果X₀、X₁、f(X₀)、f(X₁)不满足以下条件：

f(X₀)≠0&&f(X₁)≠0&&|X₀-X₁|≥Tol (14)

则进行Brent迭代求解如下：

(7.1)先计算[X₀,X₁]的中点：X₂＝(X₀+X₁)/2；

(7.2)如果f(X₀)≠f(X₂)且f(X₁)≠f(X₂)，则通过f(X)、X₀、X₁、X₂，利用逆二次插值法求解第i步的迭代估算值X_i，具体如下：

如果X₀<X_i<X₂，则判断f(X_i)＝0是否成立，若f(X_i)＝0，则表明求解成功，直接结束；若f(X_i)≠0，则转入(7.4)进行左、右端点处理及求解区间细分，如果不满足X₀<X_i<X₂，则转入(7.3)通过割线法求解X_i；

(7.3)如果不满足f(X₀)≠f(X₂)且f(X₁)≠f(X₂)，先判断是否满足f(X₀)·f(X₂)<0，若满足则通过f(X)、X₀、X₂，利用割线法求解第i步的迭代估算值X_i，计算公式如下：

否则，判断是否满足f(X₁)·f(X₂)<0，若满足则通过f(X)、X₁、X₂，利用式(16)所示的割线法求解第i步的迭代估算值X_i；

(7.4)先对X₂和X_i值的大小进行比较，若X₂>X_i，则将X₂和X_i的值进行交换，以保证X₀≤X₂≤X_i≤X₁；将求解区间细分为三个子区间：[X₀,X₂]、[X₂,X_i]、[X_i,X₁]，接着判断是否满足f(X₂)·f(X_i)<0，若满足，则将X₂赋值给X₀，X_i赋值给X₁，即X₀＝X₂，X₁＝X_i；若不满足f(X₂)·f(X_i)<0，再判断是否满足f(X₀)·f(X₂)<0，若满足，则将X₂赋值给X₁，X₀保持不变；若不满足f(X₀)·f(X₂)<0，则将X_i赋值给X₀，X₁保持不变；通过以上X₀、X₁值的更新，将方程根区间缩小在三个子区间之一；

(7.5)判断X₀、X₁作差的绝对值是否小于误差精度Tol，即

|X₀-X₁|＜Tol (17)

若满足式(17)，则结束，否则，转入(7.1)进行下一轮的迭代求解，直到满足式(14)的结束条件为止。

8.根据权利要求4所述的基于Brent迭代法的全局非对称式S型柔性速度曲线规划方法，其特征在于，步骤S7中，依据公式(5)～(8)求得加速段和减速段中各分段运行时间加加速段时间T_aa、减加速段时间T_ad、加减速段时间T_da、匀减速段时间T_du、减减速段时间T_dd计算相应始末运动规划参数：

定义：

J_k：第k段的加(减)速急动度；

A_sk：第k段的初加速度；

A_ek：第k段的末加速度；

V_sk：第k段的初速度；

V_ek：第k段的末速度；

S_k：第k段的位置；

T_k：第k段的运行时间；

其中,k＝1,2,3…

第一段时，即加加速段，k＝1，相应始末运动规划参数如下：

第二段，即减加速段时，k＝2，V_s2＝V_e1，A_s2＝A_e1，将其代入式(18)计算第二段的始末运动规划参数，依此类推，计算剩余分段的始末运动规划参数；

然后判断求解参数是否满足相应情况的约束条件，若满足则结束参数求解，否则，进一步遍历。

9.根据权利要求8所述的基于Brent迭代法的全局非对称式S型柔性速度曲线规划方法，其特征在于，步骤S2中，将负向运行归一成正向的方式为：

令μ＝sign(S_t)(1)得：

步骤S8中，转换处理的方式为：

10.根据权利要求1所述的基于Brent迭代法的全局非对称式S型柔性速度曲线规划方法，其特征在于，步骤S9中，通过如下方式对运动规划参数及其规划时间进行曲线离散插补输出：

T_s为控制周期,T_k为第k段的运行时间。

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