CN115630554A - 一种考虑材料非均匀性的轮轨二维滚动接触力计算方法 - Google Patents

一种考虑材料非均匀性的轮轨二维滚动接触力计算方法 Download PDF

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Abstract

本发明公开了一种考虑材料非均匀性的轮轨二维滚动接触力计算方法，具体为：基于任意曲线可由一系列指数线段来逼近的事实，建立弹性模量为变量的钢轨表面非均匀层指数分层模型；确定平面应变状态下钢轨表面非均匀层在法向和切向作用下的传递矩阵和位移基本解；将轮轨二维滚动法向接触问题转化为第一类Cauchy积分方程组，然后通过Erdogan和Gupta数值计算方法求解该方程组得到轮轨二维法向接触力；基于Coulomb摩擦定律和得到的轮轨二维滚动法向接触力求解轮轨二维滚动切向接触力。本发明解决了现有轮轨滚动接触理论除有限元方法外无法考虑材料非均匀特性，而有限元方法无法与动力学进行耦合的难题。

Description

一种考虑材料非均匀性的轮轨二维滚动接触力计算方法
技术领域
本发明属于轮轨滚动接触计算技术领域，尤其涉及一种考虑材料非均匀性的轮轨二维滚动接触力计算方法。
背景技术
轮轨关系是整个轨道-车辆系统的核心，直接影响车辆动力学、滚动接触疲劳、摩擦磨损、振动噪声等关键性问题。这些问题大多与轮轨表面及次表面的材料性能密切相关。钢轨不论是在生产还是服役过程，不可避免的会在钢轨表面及次表面产生一层材料性能与钢轨基体不同的非均匀层。存在非均匀层的钢轨和材料均匀的钢轨条件下的轮轨接触状态显然不同。
为求解轮轨滚动接触问题，国内外研究者提出了多种轮轨滚动接触理论。不论是目前应用最广的Kalker简化理论、Kalker三维滚动接触理论，还是精确的CONTACT算法，都是基于接触体的无限半空间、稳态滚动和线弹性材料的假设。目前对于材料沿钢轨垂向非均匀分布的相关研究还不够深入，存在较多的局限性。上述轮轨滚动接触理论由于其均匀材料的假设，无法考虑材料的非均匀性。而能够考虑材料非均匀性的有限元方法又无法与动力学耦合。因此，找到一个既能够考虑材料非均匀性又能与动力学耦合的计算方法对轮轨接触领域具有很强的现实意义。
发明内容
为解决现有轮轨滚动接触理论除有限元方法外无法考虑材料非均匀特性，而有限元方法无法与动力学进行耦合的难题，本发明提供一种考虑材料非均匀性的轮轨二维滚动接触力计算方法。
本发明的一种考虑材料非均匀性的轮轨二维滚动接触力计算方法，包括如下步骤：
步骤1：基于任意曲线可由一系列指数线段来逼近的事实，建立弹性模量为变量的钢轨表面非均匀层指数分层模型：
Figure DEST_PATH_IMAGE001
，
Figure 139950DEST_PATH_IMAGE002
其中，
Figure 588249DEST_PATH_IMAGE003
为弹性模量在z= -h i 的真实值，i为对应的层数，i = 1, 2, ∙∙∙, N，λ i为对应子层的指数系数，h i 为第i层下表面到钢轨表面的距离。
步骤2：根据Fourier积分变换技术，确定平面应变状态下钢轨表面非均匀层在法向和切向作用下的传递矩阵和位移基本解：
非均匀层传递矩阵M(s, z)数学表达式：
Figure 774511DEST_PATH_IMAGE004
非均匀层在法向力作用下的位移基本解数学表达式：
Figure 700878DEST_PATH_IMAGE005
其中，P是法向力，s是积分变量，m 22为传递矩阵的元素，α 1为与材料相关的系数。
步骤3：利用迭加原理和奇异积分方程技术，将轮轨二维滚动法向接触问题转化为第一类Cauchy积分方程组，然后通过Erdogan和Gupta数值计算方法求解该方程组得到轮轨二维法向接触力：
Figure DEST_PATH_IMAGE006
其中，k为f(η l )在（-1,1）间离散点的总数目，a为接触斑大小，R为车轮半径，η l 、
Figure 10000240432171
r 为归一化后的变量。
步骤4：基于Coulomb摩擦定律和步骤3得到的轮轨二维滚动法向接触力求解轮轨二维滚动切向接触力：
Figure 452934DEST_PATH_IMAGE007
其中，q՛(x)为中间黏着区切向力，q՛՛(x)为修正项，d为修正项的偏移量，b为黏着区宽度。
进一步的，钢轨表面非均匀层分层模型中，各子层的指数系数λ i 表示为：
Figure DEST_PATH_IMAGE008
进一步的，非均匀层传递矩阵表达式中，各系数为：
Figure 711614DEST_PATH_IMAGE009
其中，
Figure DEST_PATH_IMAGE010
。
进一步的，轮轨二维滚动切向接触力求解中，d的表达式：
Figure 916331DEST_PATH_IMAGE011
其中，f为摩擦系数，Q为切向力。
本发明的有益技术效果为：
（1）本发明解决现有轮轨滚动接触理论除有限元方法外无法考虑材料非均匀特性，而有限元方法无法与动力学进行耦合的难题。
（2）本发明基于指数分层模型可以准确模拟钢轨非均匀层材料的变化。
附图说明
图1为本发明实施例的考虑材料非均匀性的轮轨二维滚动接触力计算方法流程图。
图2为钢轨表面非均匀层分层示意图。
图3为轮轨二维滚动切向接触力求解示意图。
图4为本发明提出的计算方法在均匀材料下与Carter轮轨滚动接触模型的对比。
图5为考虑与不考虑材料非均匀性下轮轨二维滚动法向接触力结果对比。
图6为考虑与不考虑材料非均匀性下轮轨二维滚动切向接触力结果对比。
具体实施方式
下面结合附图和具体实施方法对本发明做进一步详细说明。
本发明的一种考虑材料非均匀性的轮轨二维滚动接触力计算方法流程如图1所示，包括如下步骤：
步骤1：基于任意曲线可由一系列指数线段来逼近的事实，建立弹性模量为变量的钢轨表面非均匀层指数分层模型。
将钢轨表面非均匀层沿垂向分为N层，每层中的弹性模量与深度满足指数函数关系，在相邻分层之间的界面上，弹性模量连续且等于真实值，如图2所示。不同位置的弹性模量可以表示为：
Figure DEST_PATH_IMAGE012
，
Figure 52914DEST_PATH_IMAGE002
（1）
其中，
Figure 502219DEST_PATH_IMAGE003
为弹性模量在z= -h i 的真实值，i为对应的层数，i = 1, 2, ∙∙∙, N，λ i为对应子层的指数系数，
Figure 761162DEST_PATH_IMAGE008
，h i 为第i层下表面到钢轨表面的距离。
步骤2：根据Fourier积分变换技术，确定平面应变状态下钢轨表面非均匀层在法向和切向作用下的传递矩阵和位移基本解。
S21、非均匀层各子层的控制方程表达式。
建立钢轨非均匀层任一子层的平衡方程、几何方程和物理方程，并引进Airy应力函数φ(x, z)，得到每个子层的控制方程。
Figure DEST_PATH_IMAGE014
（2）
其中，
Figure 390858DEST_PATH_IMAGE015
为非均匀层第i层弹性模量对z的导数。
S22、非均匀层各子层在变换域内的位移和应力分量表达式。
基于式(2)做关于x的Fourier变换可得：
Figure DEST_PATH_IMAGE016
（3）
其中“~”表示Fourier积分变换，υ为泊松比，s为积分变量，其解可以表示为：
Figure 564088DEST_PATH_IMAGE017
（4）
其中，A ij 为待定系数，j = 1,2,3,4。基于式(3)和式(4)，可以得到其特征方程为：
Figure DEST_PATH_IMAGE018
（5）
其中，δ 2=υ/(1-υ)，特征方程的解可以表示为：
Figure 25156DEST_PATH_IMAGE019
（6）
非均匀层各子层在变换域内的位移和应力分量可以表示为：
Figure DEST_PATH_IMAGE020
（7）
其中，
Figure DEST_PATH_IMAGE022A
（8）
S23、钢轨基体在变换域内的位移和应力分量表达式。
类似地，可以得到钢轨基体中变换域内的位移和应力表达式：
Figure 766585DEST_PATH_IMAGE023
（9）
Figure 211473DEST_PATH_IMAGE024
（10）
S24、非均匀层传递矩阵表达式。
根据各子层之间的边界条件，即各子层界面处应力和位移应保持连续性，应满足：
Figure 627542DEST_PATH_IMAGE025
（11）
同时在钢轨表面z = 0处，应该满足以下要求：
Figure 802171DEST_PATH_IMAGE026
（12）
式(12)为递推公式，基于式(12)、式(10)和式(7)可以得到钢轨表面非均匀层的传递矩阵[M(s, z)]和系数{A i }：
Figure 340600DEST_PATH_IMAGE027
（13）
Figure 709002DEST_PATH_IMAGE028
（14）
其中，
Figure 991079DEST_PATH_IMAGE009
（15）
S25、位移基本解表达式。
将系数{A i }代入式(7)，并做Fourier逆变换，可得到在法向和切向作用力下钢轨表面沿z方向的位移函数：
Figure 754635DEST_PATH_IMAGE029
（16）
其中，
Figure 932807DEST_PATH_IMAGE030
。根据Goodman近似理论忽略切向力对法向接触的影响，式(16)可以简化为：
Figure 414604DEST_PATH_IMAGE031
（17）
步骤3：利用迭加原理和奇异积分方程技术，将轮轨二维滚动法向接触问题转化为第一类Cauchy积分方程组，然后通过Erdogan和Gupta数值计算方法求解该方程组得到轮轨二维法向接触力。
S31、钢轨控制奇异方程表达式。
在接触区外的应力为零，接触斑内(-a ≤ x ≤ a)法向位移取决于车轮的形状。利用迭加原理，对式(17)进行积分，得到在法向作用力P下钢轨的表面位移为：
Figure 703634DEST_PATH_IMAGE032
（18）
基于式(18)，关于x求偏导可以得到钢轨的控制奇异方程：
Figure 587276DEST_PATH_IMAGE033
（19）
其中，
Figure 434884DEST_PATH_IMAGE034
。
S32、轮轨接触的控制方程表达式。
车轮假定为均质材料，可得到车轮的控制奇异方程：
Figure 685868DEST_PATH_IMAGE035
（20）
S33、轮轨接触的控制方程表达式。
轮轨接触区域二维平面内，车轮假设为半径为R的圆弧，钢轨假设为直线。当车轮与钢轨相互接触时，控制方程为：
Figure 566141DEST_PATH_IMAGE036
（21）
S34、静力平衡条件表达式。
Figure 569869DEST_PATH_IMAGE037
（22）
S35、轮轨法向接触力的求解。
根据Erdogan和Gupta提出的数值方法，假设发现接触力呈抛物线分布：
Figure 89843DEST_PATH_IMAGE038
（23）
引入换元法，令
Figure 546232DEST_PATH_IMAGE039
，则式(21)和(22)可转换为
Figure 973803DEST_PATH_IMAGE040
（24）
其中，
Figure 441824DEST_PATH_IMAGE041
，k为f(η l )在（-1,1）间离散点的总数目。方程组(24)共有k+2个方程，而未知数只有k+1个，取k为偶数，舍弃第r=k/2+1个方程，求解方程组，得到k个离散点，再进行插值，即可得到任意位置的法向接触力。
步骤4：基于Coulomb摩擦定律和S3得到的轮轨二维滚动法向接触力求解轮轨二维滚动切向接触力。
S41、切向接触力修正项表达式。
将接触斑分为黏着区和滑动区，滑动区内，切向力根据Coulomb摩擦定律进行求解，黏着区内因未达到极限值，需按照下式进行修正：
Figure 257333DEST_PATH_IMAGE007
（25）
其中，b为黏着区宽度，两弹性圆柱体之间在局部滑动下的中间黏着区切向力q՛(x)和修正项q՛՛(x)的表达式：
Figure 106078DEST_PATH_IMAGE042
（26）
S42、黏着区宽度的表达式。
为保证接触斑前沿位置应满足切向力方向与滑动速度方向相反，必须将q՛՛(x)的中心移动一个距离d = a-b，以便其与接触斑前缘相邻近，保证接触斑前沿部分为黏着区，接触斑后沿部分为滑动区，图3给出了轮轨二维滚动接触切向力计算的示意图。黏着区的宽度可由法向力和切向力的大小共同决定：
Figure 540602DEST_PATH_IMAGE011
（27）
其中，f为摩擦系数，Q为切向力。
S43、切向力的表达式。
基于步骤1、2、3的描述得到任意位置处的法向接触力q(x)，可以得到轮轨二维滚动切向接触力的最终表达式：
Figure 253343DEST_PATH_IMAGE043
（28）
实施例：
1、计算实例
钢轨表面非均匀层内弹性模量的变化示意图如图2所示。其相关参数为：h = 1mm，E R0 = 78.7 GPa，E N+1 = 206 GPa，E W = 206 GPa，υ= 0.3，f =0.3，R = 840 mm，P = 78.4kN，Q = 7 kN，k = 24；N = 6。
2、计算过程
S1、基于任意曲线可由一系列指数线段来逼近的事实，建立弹性模量为变量的钢轨表面非均匀层指数分层模型的步骤，完成非均匀层分层数学模型。
S2、根据Fourier积分变换技术，确定平面应变状态下钢轨表面非均匀层在法向和切向作用下的传递矩阵和位移基本解步骤，完成非均匀传递矩阵的求解及法向力作用下钢轨表面的位移基本解的求解。
S3、利用迭加原理和奇异积分方程技术，将轮轨二维滚动法向接触问题转化为第一类Cauchy积分方程组，然后通过Erdogan和Gupta数值计算方法求解该方程组得到轮轨二维法向接触力步骤，完成了钢轨表面非均匀层在法向力作用下的轮轨二维滚动法向接触力求解。
S4、基于Coulomb摩擦定律和S3得到的轮轨二维滚动法向接触力求解轮轨二维滚动切向接触力步骤，完成了钢轨表面非均匀层在法向力和切向力作用下的轮轨二维滚动切向接触力求解。
计算得到材料均匀条件下本发明提出的轮轨二维滚动接触力计算方法与轮轨经典Carter二维滚动接触力结果对比如图4所示；材料非均匀条件下，考虑与不考虑材料非均匀性下轮轨二维滚动法向接触力结果对比如图5所示，考虑与不考虑材料非均匀性下轮轨二维滚动切向接触力结果对比如图6所示。
3、计算收益
本发明提出了一种考虑材料非均匀性的轮轨二维滚动接触力计算方法。与传统的轮轨接触力计算方法相比，本发明的方法能够解决现有轮轨滚动接触理论除有限元方法外无法考虑材料非均匀特性，而有限元方法无法与动力学进行耦合的难题。通过材料均匀条件下与轮轨经典Carter二维滚动接触力计算结果对比，验证了本发明提出的轮轨二维滚动接触力在轮轨接触领域的可行性。该方法研究了材料非均匀性对轮轨滚动接触力的影响，可与车辆-轨道耦合动力学进行耦合，有效分析材料非均匀性对钢轨波磨等的影响，具体结论如下：
（1）本发明提出的轮轨二维滚动接触力计算方法可以有效考虑钢轨表面材料非均匀特性。
（2）钢轨表面存在1 mm的非均匀层时，轮轨接触斑增加了13%。
（3）钢轨表面存在1 mm的非均匀层时，轮轨最大法向接触力降低8%，最大切向接触力降低13%。

Claims (4)

1.一种考虑材料非均匀性的轮轨二维滚动接触力计算方法，其特征在于，包括如下步骤：
步骤1：基于任意曲线可由一系列指数线段来逼近的事实，建立弹性模量为变量的钢轨表面非均匀层指数分层模型：
Figure 18887DEST_PATH_IMAGE002
，
Figure DEST_PATH_IMAGE004
其中，
Figure DEST_PATH_IMAGE005A
为弹性模量在z= -h i 的真实值，i为对应的层数，i = 1, 2, ∙∙∙, N，λ i为对应子层的指数系数，h i 为第i层下表面到钢轨表面的距离；
步骤2：根据Fourier积分变换技术，确定平面应变状态下钢轨表面非均匀层在法向和切向作用下的传递矩阵和位移基本解：
非均匀层传递矩阵M(s, z)数学表达式：
Figure 637825DEST_PATH_IMAGE007
非均匀层在法向力作用下的位移基本解数学表达式：
Figure 295858DEST_PATH_IMAGE009
其中，P是法向力，s是积分变量，m 22为传递矩阵的元素，α 1为与材料相关的系数；
步骤3：利用迭加原理和奇异积分方程技术，将轮轨二维滚动法向接触问题转化为第一类Cauchy积分方程组，然后通过Erdogan和Gupta数值计算方法求解该方程组得到轮轨二维法向接触力：
Figure 691067DEST_PATH_IMAGE011
其中，k为f(η l )在（-1,1）间离散点的总数目，a为接触斑大小，R为车轮半径，η l 、
Figure 10000140422171
r 为归一化后的变量；
步骤4：基于Coulomb摩擦定律和步骤3得到的轮轨二维滚动法向接触力求解轮轨二维滚动切向接触力：
Figure 302177DEST_PATH_IMAGE013
其中，q՛(x)为中间黏着区切向力，q՛՛(x)为修正项，d为修正项的偏移量，b为黏着区宽度。
2.根据权利要求1所述的一种考虑材料非均匀性的轮轨二维滚动接触力计算方法，其特征在于，所述钢轨表面非均匀层分层模型中，各子层的指数系数λ i 表示为：
Figure 203268DEST_PATH_IMAGE015
。
3.根据权利要求1所述的一种考虑材料非均匀性的轮轨二维滚动接触力计算方法，其特征在于，所述非均匀层传递矩阵表达式中，各系数为：
Figure 470301DEST_PATH_IMAGE017
其中，
Figure 606884DEST_PATH_IMAGE019
。
4.根据权利要求1所述的一种考虑材料非均匀性的轮轨二维滚动接触力计算方法，其特征在于，所述轮轨二维滚动切向接触力求解中，d的表达式：
Figure DEST_PATH_IMAGE021
其中，f为摩擦系数，Q为切向力。
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