CN115630412B - 基于多轴3d打印的自支撑结构优化设计及制造方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种基于多轴3D打印的自支撑结构优化设计及制造方法，包括步骤：采用基于SIMP模型的结构拓扑优化方法，实现复杂结构的最优构型设计，将图像转化为二值图像，并对拓扑优化的结果进行后处理；确定结构边界及悬垂角度，根据类型确定不同打印分区的打印方向；进行角度约束的一体优化；提取结构信息，建立3D实体模型后分区切片并生成打印路径，进行无支撑多轴3D打印制造。本发明的有益效果是：在优化过程中生成自支撑结构，打印过程无需额外添加支撑，通过考虑打印头、底座旋转轴的多轴分区3D打印实现任意倾斜角下的复杂自支撑结构最优构型打印，有效地解决了3D打印自支撑结构时体积增大与性能大幅下降的问题。

Description

基于多轴3D打印的自支撑结构优化设计及制造方法

技术领域

本发明属于结构工程技术领域，尤其涉及一种基于多轴3D打印的自支撑结构优化设计及制造方法。多轴指3D打印的旋转轴总数大于3轴，包括打印头的旋转轴和底座的旋转轴。

背景技术

随着工程结构的日益复杂化，复杂结构3D打印的需求不断增加，传统结构设计方法往往难以胜任，而拓扑优化为此提供了一种有效解决方案。经拓扑优化后的结构具有优良的力学性能、合理的材料分布，但几何构造往往较为复杂，受制于传统制造工艺难以推广应用。

3D打印技术相比于传统制造工艺，具有高效率、高精度等优势，更加适应复杂结构的加工制造。然而3D打印仍需结构符合相应的制造约束以确保打印过程的成功；在诸多的制造约束中，重力导致的悬垂效应是3D打印的主要制造约束之一。悬垂效应即当结构边界与水平面夹角小于临界值时(如：DMLS的临界角为45°)，由于重力的存在，材料沉积过程会出现塌落现象，影响结构打印质量，甚至导致打印失败。这一约束极大地限制了3D打印制造几何形状构件的能力。

为克服悬垂效应，可在结构悬垂部位添加支撑结构，待打印完成后利用物理或化学手段移除支撑。但支撑结构的使用会导致额外的材料消耗，且金属结构打印所需添加的支撑往往难以移除。虽然通过调整结构成型方向，可实现支撑结构体积的最小化，但仍无法完全避免支撑结构的使用。

克服悬垂效应的另一种方法是从结构设计角度出发，在结构优化设计中引入角度约束以获得满足角度制造约束的最优力学性能结构，即面向3D打印的自支撑结构拓扑优化设计。目前对于这种方法的相关研究主要集中在3轴3D打印，虽能获得符合制造约束的自支撑结构以避免支撑的使用，但往往会造成材料用量的大幅增加与结构性能的大幅下降。

随着机械工业的迅速发展，多轴3D打印技术被广泛应用于航空航天、车辆工程等领域。相比于3轴3D打印机，多轴3D打印机由于具有自由旋转的底座，因此可在打印过程中通过动态调整打印方向以避免结构在打印过程中出现悬垂效应，有效地解决了面向3轴3D打印自支撑结构体积增大与性能大幅下降的问题。因而，合理有效的多轴3D打印制造与自支撑结构优化设计的结合是复杂结构一体优化设计和制造的重要因素。

综上所述，研究一种基于多轴3D打印的自支撑结构优化设计及制造方法，实现任意倾斜角下的复杂自支撑结构最优构型的多轴3D打印一体设计和制造是十分必要的。

发明内容

本发明的目的是克服现有技术中的不足，提供一种基于多轴3D打印的自支撑结构优化设计及制造方法。

这种基于多轴3D打印的自支撑结构优化设计及制造方法，包括以下步骤：

S1、无悬垂约束拓扑优化：采用基于SIMP模型的结构拓扑优化方法，实现复杂结构的最优构型设计，然后将图像转化为二值图像，并对拓扑优化的结果进行后处理；

S2、多轴3D分区打印优化：首先提取结构边界，然后确定结构边界悬垂角度，对结构划分打印分区，并对打印分区进行分类，根据类型确定不同打印分区的打印方向；进行角度约束的一体优化；

S3、3D打印一体制造：通过优化结果提取结构信息，经过构件组装和节点生成处理后，建立3D实体模型，进行实体模型分区切片并生成打印路径，进行无支撑多轴3D打印制造。

作为优选，步骤S1具体为：

S1.1、结构拓扑优化设计：采用基于密度的SIMP模型作为拓扑优化方法，利用四结点矩形单元离散设计域，在给定荷载与边界条件的情况下，将设计域内各单元密度ρ_e＝ρ₁,ρ₂,...,ρ_nele作为设计变量，结构拓扑优化的表达式为

式中，U为整体位移向量；F为整体节点荷载向量；K为总刚度矩阵；目标函数C(ρ)为外力作用下总应变能；v_i为第i个单元体积；f为空间占比；单元密度ρ_e取值为0-1之间；

对拓扑优化得到的结构进行heaviside投影变换，再对单元密度ρ_e处于0-1之间的单元设定阈值δ＝0.5，单元密度ρ_e的二值化处理表达式如下

S1.2、拓扑优化后处理：通过连通域识别，对得到的二值图像中的孤立单元和细小孔洞进行后处理。

作为优选，步骤S2具体为：

S2.1、结构边界悬垂角度确定：以矩阵形式输入步骤S1中得到的二值图像，获取各单元邻域内的密度值；如果某单元领域内密度为0，则该单元为边界单元；拟合边界单元在邻域内未经二值化处理时的单元密度，获得边界单元的梯度法向量，取梯度法向量的正交方向为边界悬垂方向；采用最小二乘法拟合邻域内单元密度，获得单元密度的梯度方向；

S2.2、分区打印方向确定：提取图形特征点，利用特征点划分网格以离散设计域，得到不同的打印分区，根据打印分区内包含的单元类型对打印分区进行分类，并分别确定不同区域的打印方向；

S2.3、角度约束一体优化：通过步骤S2.2确定的结构局部打印方向对各分区内单元进行角度约束；实现打印不充分区域的补充优化设计及打印。

作为优选，步骤S2.1中：通过六单元模式或九单元模式划分各单元支撑域，将各单元支撑域划分为左支撑域和右支撑域，分别通过最小二乘法拟合单元密度获得结构左边界和右边界的法向量，将左边界和右边界的法向量分别与结构成型方向内积，得到结构左边界和右边界违反临界悬垂角度的大小为

式中，cosα_l、cosα_r分别为结构左边界和右边界法向量的余弦值；

为结构临界悬垂角度的余弦值；

分别为结构左边界和右边界的梯度法向量；t_il、t_ir分别为左边界和右边界违反临界悬垂角度的大小，对t_il和t_ir进行罚函数处理，转化为0-1范围内的离散值

式中，μ表征函数曲线的平滑度，μ的取值在65～95之间；得到表征单元悬垂角度情况的参数值λ_i为：

λ_i＝h(t_il-ε_il)·h(t_ir-ε_ir)

当单元违反结构临界悬垂角度时，λ_i值为1，反之为0，即

作为优选，步骤S2.1中：在结构拓扑优化的表达式中加入边界单元悬垂角度的约束项

和单元水平邻域单元密度的约束项

该约束项考虑了表征拓扑优化后结构边界单元悬垂特征的参数值γ_i；

考虑虑约束项

和约束项

后的优化表达式为

式中，U为整体位移向量；F为整体节点荷载向量；K为总刚度矩阵；目标函数C(ρ)为外力作用下总应变能；v_i为第i个单元体积；f为空间占比；

为单元水平邻域单元密度的约束项，

为边界单元悬垂角度的约束项，其中ρ＝(ρ₁,ρ₂,...,ρ_nele)为各单元密度；

γ_i为考虑了表征拓扑优化后结构边界单元悬垂特征的参数值，γ_i参照λ_i求解过程获得，结构左边界和右边界违反悬垂特征的大小为

式中，

和

分别为左边界和右边界的单元密度，τ_il、τ_ir分别为左边界和右边界违反悬垂特征的大小；

表征边界单元悬垂特征情况的参数值γ_i为

γ_i＝h(τ_il-ε_i2)·h(τ_ir-ε_i2)

当单元违反结构悬垂特征时，γ_i值为1，反之为0；即

作为优选，步骤S2.2中：将打印分区归纳为三类，打印分区包括I类区域、II类区域和III类区域；I类区域只包含结构单元，II类区域包含边界单元，III类区域既不包含边界单元也不包含结构单元；其中，在对结构中具有竖直支撑的部分进行打印分区的类型判断时，竖直支撑的部分中的所有单元均不视为边界单元；

I类区域的局部打印方向在悬垂角度范围内任意调整；II类区域的局部打印方向由边界单元倾斜方向决定；III类区域的局部打印方向任意设定。

作为优选，步骤S2.2中：水平相邻的区域内打印方向角度差值大于最大偏转角；不同打印分区的局部最佳打印方向由下式确定

式中，

为各打印分区的局部打印方向，o代表单元倾斜角度违反临界悬垂约束情况；

为单元倾斜角度；

为最大悬垂角度；

与

分别为两相邻打印分区的局部打印方向角度，

为最大偏转角。

作为优选，步骤S2.3中：各分区中边界单元的倾斜方向决定了各分区的最佳局部打印方向，约束项

中采用结构局部打印方向来表征单元悬垂角度情况的参数值

考虑各打印分区内单元的线性角度约束的表达式为

式中，U为整体位移向量；F为整体节点荷载向量；K为总刚度矩阵；目标函数C(ρ)为外力作用下总应变能；v_i为第i个单元体积；f为空间占比；

为单元水平邻域单元密度的约束项，

为各分区内单元最佳局部打印方向的线性角度约束项，其中ρ＝(ρ₁,ρ₂,...,ρ_nele)为各单元密度；

为表征单元最佳局部打印方向下悬垂角度情况的参数。

作为优选，步骤S3中：通过Rhino软件进行3D建模；通过Cura软件对3D建模得到的实体模型进行切片并生成打印路径。

本发明的有益效果是：

1)本发明提供的基于多轴3D打印的自支撑结构优化设计及制造方法，在优化过程中生成自支撑结构，打印过程无需额外添加支撑，节省了材料成本和打印时间，实现了无支撑结构多轴3D打印一体成型设计和制造。

2)本发明提供的基于多轴3D打印的自支撑结构优化设计及制造方法，基于无悬垂约束拓扑优化、多轴3D分区打印优化的结合，通过基于密度的SIMP模型拓扑优化实现无悬垂约束的结构最优构型，通过考虑打印头、底座旋转轴的多轴分区3D打印实现任意倾斜角下的复杂自支撑结构最优构型打印，通过角度约束一体优化实现打印不充分区域的补充优化设计及打印，通过3D建模、实体模型分区切片、打印路径生产实现复杂自支撑结构最优构型的多轴3D打印一体设计和制造。

3)本发明基于考虑打印头、底座旋转轴的多轴分区3D打印，在打印过程中通过动态调整打印方向以避免结构在打印过程中出现悬垂效应，实现任意倾斜角下的复杂自支撑结构最优构型打印，通过角度约束一体优化实现打印不充分区域的补充优化设计及打印，有效地解决了3D打印自支撑结构时体积增大与性能大幅下降的问题。

附图说明

图1是本发明基于多轴3D打印的自支撑结构优化设计及制造方法的具体流程图；

图2是拓扑优化的棋盘格式密度分布现象示意图；

图3是单元的圆形邻域示意图；

图4a是经拓扑优化结构的细小缺陷示意图，图4b是进修复后处理后结构的二值图像示意图；

图5是单元邻域模式示意图；

图6a是拓扑优化后结构示意图，图6b是经结构边界单元判别操作后所提取的结构边界单元示意图；

图7a是“六单元模式”的单元支撑域示意图，图7b是“九单元模式”的单元支撑域示意图；

图8a是“六单元模式”的左支撑域示意图，图8b是“六单元模式”的右支撑域示意图；

图9是拓扑优化后结构出现悬垂特征示意图；

图10a是拓扑优化后的原结构示意图，图10b是可沿数值方向打印的部分示意图；

图11是提取图形特征后所得分区示意图；

图12是打印过程中碰撞现象示意图；

图13a是MBB梁的设计域示意图，图13b是MBB梁的最优拓扑构型结果示意图，图13c是MBB梁的打印分区示意图，图13d是MBB梁的打印曲线示意图；

图14a是悬臂梁的设计域示意图，图14b是悬臂梁的最优拓扑构型结果示意图，图14c是悬臂梁的打印分区示意图，图14d是悬臂梁的打印曲线示意图。

具体实施方式

下面结合实施例对本发明做进一步描述。下述实施例的说明只是用于帮助理解本发明。应当指出，对于本技术领域的普通人员来说，在不脱离本发明原理的前提下，还可以对本发明进行若干修饰，这些改进和修饰也落入本发明权利要求的保护范围内。

实施例一

作为一种实施例，如图1所示，一种基于多轴3D打印的自支撑结构优化设计及制造方法，包括以下步骤：

S1、无悬垂约束拓扑优化：采用基于SIMP模型的结构拓扑优化方法，实现复杂结构的最优构型设计，然后将图像转化为二值图像，并对拓扑优化的结果进行后处理；具体为

S1.1、结构拓扑优化设计：采用基于密度的SIMP模型作为拓扑优化方法，利用四结点矩形单元离散设计域，在给定荷载与边界条件的情况下，将设计域内各单元密度ρ_e＝ρ₁,ρ₂,...,ρ_nele作为设计变量，结构拓扑优化的表达式为

式中，U为整体位移向量；F为整体节点荷载向量；K为总刚度矩阵；目标函数C(ρ)为外力作用下总应变能；v_i为第i个单元体积；f为空间占比；单元密度ρ_e取值为0-1之间；

为使单元密度趋近于离散值0或1，SIMP模型对材料的弹性模量引入密度惩罚项：

式中，E(ρ_e)为经非线性插值后材料的弹性模量；E_min是用于避免刚度阵奇异而设定的材料弹性模量最小值；E₀为材料的杨氏模量；p为密度惩罚参数；p的值过小，会难以获得趋近于离散值的设计变量值；p的值过大，则会提高优化问题的非线性程度，难以获得理想的收敛结果，本实施例中取实际工程中常用的p值为3。

如图2、图3所示，在优化过程中常出现棋盘格式密度分布现象，且会造成优化的网格依赖性，即优化结果与网格划分方式有关；因此，在优化过程中需进行密度过滤，表达式为：

式中，N_e为第e个单元的邻域，以第e个单元质心为中心，H_ei的计算表达式为：

H_ei＝r_min-Δ(e,i)

式中，r_min为半径的圆形区域，Δ(e,i)为第e个单元质心与第i个单元质心的距离，如图3所示为单元的邻域示意图。

通过heaviside投影变换进一步将密度过滤得到的单元密度转化为0和1离散值，heaviside投影变换的函数表达式为

式中，参数η为heaviside函数的阈值参数，η的取值应保证单元密度经heaviside函数变换后结构空间占比与原结构相同，一般采用二分法确定；参数β表征曲线平滑度，若取值过大，则会导致优化过程中出现非良态矩阵。

对heaviside投影变换后单元密度ρ_e依旧处于0-1之间的单元，设定阈值δ＝0.5，将单元密度ρ_e进行以下处理

S1.2、拓扑优化后处理：如图4a所示，由于上式中未考虑结构的力学约束，因此结构局部偶尔会存在细小缺陷，对结构边界梯度方向的确定不利，需对结构的细小缺陷预处理；通过连通域识别，对得到的二值图像中的孤立单元和细小孔洞进行后处理，得到如图4b所示的图像。

S2、多轴3D分区打印优化：首先提取结构边界，然后确定结构边界悬垂角度，对结构划分打印分区，并对打印分区进行分类，根据类型确定不同打印分区的打印方向，进行角度约束的一体优化；具体为

S2.1、结构边界悬垂角度确定：如图6a和图6b所示，以矩阵形式输入步骤S1中得到的二值图像，获取各单元邻域内的密度值；如果某单元领域内密度为0，则该单元为边界单元；拟合边界单元在邻域内未经二值化处理时的单元密度，获得边界单元的梯度法向量；取梯度法向量的正交方向为边界悬垂方向；该方法对于结构平滑边界可以拟合出较为满意的结果，但对于结构边界较为尖锐部分的单元的拟合效果往往不够理想，但由于这类单元往往占比边界单元总数的1％以下，对整体的影响较小。

通过六单元模式或九单元模式划分各单元支撑域，将各单元支撑域划分为左支撑域和右支撑域；六单元模式和九单元模式的单元支撑域和左右支撑域的划分如图7a-图8b所示。分别通过最小二乘法拟合单元密度获得结构左边界和右边界的法向量，将左边界和右边界的法向量分别与结构成型方向内积，得到结构左边界和右边界违反临界悬垂角度的大小为

式中，cosα_l、cosα_r分别为结构左边界和右边界法向量的余弦值；

为结构临界悬垂角度的余弦值；

分别为结构左边界和右边界的梯度法向量；t_il、t_ir分别为左边界和右边界违反临界悬垂角度的大小，对t_il和t_ir进行罚函数处理，转化为0-1范围内的离散值

式中，h(x)为Sigmoid函数，μ表征函数曲线的平滑度，μ的取值在65～95之间；得到表征单元悬垂角度情况的参数值λ_i为：

λ_i＝h(t_il-ε_i1)·h(t_ir-ε_i1)

当单元违反结构临界悬垂角度时，λ_i值为1，反之为0，即：

因而，在结构拓扑优化的表达式中需加入边界单元悬垂角度的约束项

为避免优化过程中出现如图9所示的悬垂特征，还需加入单元水平邻域单元密度的约束项

该约束项考虑了表征拓扑优化后结构边界单元悬垂特征的参数值γ_i。

考虑约束项

和约束项

后的优化表达式为

式中，U为整体位移向量；F为整体节点荷载向量；K为总刚度矩阵；目标函数C(ρ)为外力作用下总应变能；v_i为第i个单元体积；f为空间占比；

为单元水平邻域单元密度的约束项，

为边界单元悬垂角度的约束项，其中ρ＝(ρ₁,ρ₂,...,ρ_nele)为各单元密度。

γ_i的求解参照λ_i求解过程获得，结构左边界和右边界违反悬垂特征的大小为

式中，

和

分别左边界和右边界的单元密度，τ_il、τ_ir分别为左边界和右边界违反悬垂特征的大小。

表征边界单元悬垂特征情况的参数值γ_i为：

γ_i＝h(τ_il-ε_i2)·h(τ_ir-ε_i2)

当单元违反结构悬垂特征时，γ_i值为1，反之为0；即：

S2.2、分区打印方向确定：提取图形特征点，利用特征点划分网格以离散设计域，得到不同的打印分区，将打印分区归纳为三类，打印分区包括I类区域、II类区域和III类区域；I类区域只包含结构单元，II类区域包含边界单元，III类区域既不包含边界单元也不包含结构单元；其中，在对结构中具有竖直支撑的部分进行打印分区的类型判断时，应排除结构中具有竖直支撑的部分，如图10a和图10b的对比所示，竖直支撑的部分中的所有单元均不视为边界单元；对打印分区的划分可采用人工的方法确定，也可提取图形特征点，通过提取图形特征点得到的打印分区划分如图11所示。

I类区域内由于不存在边界单元，因而局部打印方向可在悬垂角度范围内任意调整；II类区域因边界单元的存在，局部打印方向由边界单元倾斜方向决定；III类区域的局部打印方向对结构能否成功打印没有影响，可任意设定；

如图12所示，为保证打印过程中打印头与结构不发生碰撞，应确保水平相邻的区域内打印方向角度差值大于最大偏转角；区域的局部最佳打印方向由下式确定

式中，

为各打印分区的局部打印方向，o代表单元倾斜角度违反临界悬垂约束情况；

为单元倾斜角度；

为最大悬垂角度；

与

分别为两相邻打印分区的局部打印方向角度，

为最大偏转角。

S2.3、角度约束一体优化：通过分区打印方向确定过程的分区并确定局部打印方向，有些特殊情况下并不能确保结构被充分打印，因此通过将步骤S2.2确定的结构局部打印方向

作为角度约束加入各分区内单元的线性角度约束项

由于各分区中边界单元的倾斜方向决定了各分区的最佳局部打印方向，因而约束项

中可采用结构局部打印方向来表征单元悬垂角度情况的参数值

实现打印不充分区域的补充优化设计及打印。考虑各打印分区内单元的线性角度约束的表达式为

式中，U为整体位移向量；F为整体节点荷载向量；K为总刚度矩阵；目标函数C(ρ)为外力作用下总应变能；v_i为第i个单元体积；f为空间占比；

为单元水平邻域单元密度的约束项，

为各分区内单元最佳局部打印方向的线性角度约束项，其中ρ＝(ρ₁,ρ₂,...,ρ_nele)为各单元密度；

为表征单元最佳局部打印方向(悬垂角度情况边界)的参数，由步骤S2.1和步骤S2.2得到。

S3、3D打印一体制造：通过优化结果提取结构信息，经过构件组装和节点生成处理后，通过Rhino软件建立3D实体模型，通过Cura软件进行实体模型分区切片并生成打印路径，进行无支撑多轴3D打印制造。

实施例二

根据实施例一中提出的基于多轴3D打印的自支撑结构优化设计及制造方法，本实施例提出了一种MBB梁模型的基于多轴3D打印的自支撑结构优化设计及制造测试实施例，以验证本发明优化设计及制造方法的有效性。

如图13a所示，MBB梁模型的梁长为120、高为40，材料弹杨氏模量为1.0，体积占比约束为0.3，惩罚系数为3；荷载、边界条件与经拓扑优化后得到结构最优拓扑构型如图13b所示，优化后最终目标函数值为339.4，MBB梁打印分区、MBB梁打印曲线分别如图13c、图13d所示。

本实施例中，经考虑多轴拓扑优化后，结构所有单元可完全被打出，无需进行角度约束一体优化。

实施例三

根据实施例一中提出的基于多轴3D打印的自支撑结构优化设计及制造方法，本实施例提出了一种悬臂梁模型的基于多轴3D打印的自支撑结构优化设计及制造测试实施例，以验证本发明优化设计及制造方法的有效性。

如图14a所示，悬臂梁模型的梁长为120、高为60，杨氏模量、体积占比与惩罚系数同实施例一中MBB梁模型的参数，左端为固定端，荷载施加在梁右边界中点处，经拓扑优化后得到最优拓扑构型如图14b所示，优化后最终目标函数值为121.03。悬臂梁打印分区、悬臂梁打印曲线分别如图14c、图14d所示。

本实施例中，经考虑多轴拓扑优化后，结构所有单元同样可以完全被打出，无需进行角度约束一体优化。

由实施例二、三可得，本发明提出的基于多轴3D打印的自支撑结构优化设计及制造方法，解决了在复杂结构设计和3D打印时，因重力造成的悬垂效应导致打印过程中不得不添加支撑，以及带来额外的材料消耗和需移除支撑等弊端的问题，从而实现复杂自支撑结构最优构型的多轴3D打印一体设计和制造。打印过程中通过动态调整打印方向以避免结构在打印过程中出现悬垂效应，通过角度约束一体优化实现分区不充分打印区域的补充优化设计及打印，有效地解决了3轴3D打印自支撑结构时体积增大与性能大幅下降的问题。且经过实际验证，本发明方法有效。

Claims (7)

1.一种基于多轴3D打印的自支撑结构优化设计及制造方法，其特征在于，包括以下步骤：

S1、无悬垂约束拓扑优化：采用基于SIMP模型的结构拓扑优化方法，实现复杂结构的最优构型设计，然后将图像转化为二值图像，并对拓扑优化的结果进行后处理；

S2、多轴3D分区打印优化：首先提取结构边界，然后确定结构边界悬垂角度，对结构划分打印分区，并对打印分区进行分类，根据类型确定不同打印分区的打印方向；进行角度约束的一体优化；具体为，

S2.1、结构边界悬垂角度确定：以矩阵形式输入步骤S1中得到的二值图像，获取各单元邻域内的密度值；如果某单元邻域内密度为0，则该单元为边界单元；拟合边界单元在邻域内未经二值化处理时的单元密度，获得边界单元的梯度法向量，取梯度法向量的正交方向为边界悬垂方向；采用最小二乘法拟合邻域内单元密度，获得单元密度的梯度方向；

通过六单元模式或九单元模式划分各单元支撑域，将各单元支撑域划分为左支撑域和右支撑域，分别通过最小二乘法拟合单元密度获得结构左边界和右边界的法向量，将左边界和右边界的法向量分别与结构成型方向内积，得到结构左边界和右边界违反临界悬垂角度的大小为

式中，、分别为结构左边界和右边界法向量的余弦值；为结构临界悬垂角度的余弦值；、分别为结构左边界和右边界的梯度法向量；为用于避免数值问题接近0的参数；、分别为左边界和右边界违反临界悬垂角度的大小，对和进行罚函数处理，转化为0-1范围内的离散值

式中，表征函数曲线的平滑度，的取值在65~95之间；表征单元悬垂角度情况的参数值为：

当单元违反结构临界悬垂角度时，值为1，反之为0，即

S2.2、分区打印方向确定：提取图形特征点，利用特征点划分网格以离散设计域，得到不同的打印分区，根据打印分区内包含的单元类型对打印分区进行分类，并分别确定不同区域的打印方向；

S2.3、角度约束一体优化：通过步骤S2.2确定的结构局部打印方向对各分区内单元进行角度约束；实现打印不充分区域的补充优化设计及打印；

S3、3D打印一体制造：通过优化结果提取结构信息，经过构件组装和节点生成处理后，建立3D实体模型，进行实体模型分区切片并生成打印路径，进行无支撑多轴3D打印制造。

2.根据权利要求1所述的自支撑结构优化设计及制造方法，其特征在于，步骤S1具体为：

S1.1、结构拓扑优化设计：采用基于密度的SIMP模型作为拓扑优化方法，利用四结点矩形单元离散设计域，在给定荷载与边界条件的情况下，将设计域内所有单元的单元密度作为设计变量，结构拓扑优化的表达式为

式中，为各单元密度的集合，为集合中第i个单元的单元密度；为整体位移向量；为整体节点荷载向量；为总刚度矩阵；目标函数为外力作用下总应变能；为第i个单元体积；为空间占比；单元密度取值为0-1之间；

对拓扑优化得到的结构中所有单元密度进行密度过滤和heaviside投影变换得到，再对设定阈值，对的二值化处理表达式如下

S1.2、拓扑优化后处理：通过连通域识别，对得到的二值图像中的孤立单元和细小孔洞进行后处理。

3.根据权利要求1所述的自支撑结构优化设计及制造方法，其特征在于，步骤S2.1中：在结构拓扑优化的表达式中加入边界单元悬垂角度的约束项和单元水平邻域单元密度的约束项，该约束项考虑了表征拓扑优化后结构边界单元悬垂特征的参数值；

考虑约束项和约束项后的优化表达式为

式中，为整体位移向量；为整体节点荷载向量；为总刚度矩阵；目标函数为外力作用下总应变能；为第个单元体积；为空间占比；为单元水平邻域单元密度的约束项，为边界单元悬垂角度的约束项，其中为各单元密度的集合，由经密度过滤和heaviside投影变换得到；

为考虑了表征拓扑优化后结构边界单元悬垂特征的参数值，参照求解过程获得。

4.根据权利要求3所述的自支撑结构优化设计及制造方法，其特征在于，步骤S2.2中：将打印分区归纳为三类，打印分区包括I类区域、II类区域和III类区域；I类区域只包含结构单元，II类区域包含边界单元，III类区域既不包含边界单元也不包含结构单元；其中，在对结构中具有竖直支撑的部分进行打印分区的类型判断时，竖直支撑的部分中的所有单元均不视为边界单元；

I类区域的局部打印方向在悬垂角度范围内任意调整；II类区域的局部打印方向由边界单元倾斜方向决定；III类区域的局部打印方向任意设定。

5.根据权利要求4所述的自支撑结构优化设计及制造方法，其特征在于，步骤S2.2中：水平相邻的区域内打印方向角度差值大于最大偏转角；不同打印分区的局部最佳打印方向由下式确定

式中，M为由0-1组成的映射矩阵,用于获取每个单元对应的打印分区；为各打印分区的局部打印方向，代表单元倾斜角度违反临界悬垂约束情况；为单元倾斜角度；为最大悬垂角度；与分别为两相邻打印分区的局部打印方向角度，为最大偏转角。

6.根据权利要求5所述的自支撑结构优化设计及制造方法，其特征在于，步骤S2.3中：各分区中边界单元的倾斜方向决定了各分区的最佳局部打印方向，约束项中采用结构局部打印方向来表征单元悬垂角度情况的参数值；考虑各打印分区内单元的线性角度约束的表达式为

式中，为整体位移向量；为整体节点荷载向量；为总刚度矩阵；目标函数为外力作用下总应变能；为第i个单元体积；为空间占比；为单元水平邻域单元密度的约束项，为各分区内单元最佳局部打印方向的线性角度约束项，其中为各单元密度的集合，由经密度过滤和heaviside投影变换得到；为表征单元最佳局部打印方向下悬垂角度情况的参数。

7.根据权利要求1所述的自支撑结构优化设计及制造方法，其特征在于，步骤S3中：通过Rhino软件进行3D建模；通过Cura软件对3D建模得到的实体模型进行切片并生成打印路径。

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