CN115604068A - 基于双共轭梯度法的频控阵多波束方向调制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于双共轭梯度法的频控阵多波束方向调制方法，属于天线技术领域。本发明方法首先根据FDA发射机与接收机结构，基于人工噪声辅助的方向调制方法建立信号传输模型；然后将矩阵的伪逆计算问题转化成线性方程组的求解问题；最后通过双共轭梯度法对线性方程组迭代求解，实现对频控阵多波束的方向调制，从而大大降低了计算复杂度。

Description

基于双共轭梯度法的频控阵多波束方向调制方法

技术领域

本发明属于天线技术领域，具体涉及一种基于双共轭梯度法的频控阵多波束方向调制方法。

背景技术

方向调制(directional modulation,DM)技术作为一种具有巨大应用价值的物理层安全传输策略，已经受到了学术界的广泛关注。DM技术可以在自由空间沿着特定的方向为目标用户生成一个标准的符号星座，同时扭曲窃听者的接收信号。

目前，DM的实现方案主要包括在射频端通过优化的方式和在基带通过人工噪声辅助的方式。对于两种方式，均可使用相控阵(phased array,PA)或者频控阵(frequencydiverse array,FDA)来实现，而这两种阵列的主要区别在于，基于PA的DM方案只能实现角度维的物理层安全传输，而基于FDA的DM方案可以同时实现角度维和距离维的物理层安全传输。

基于射频端优化方式的DM技术的基本思路是通过优化阵列天线的权值，从而在目标用户处产生标准的符号星座，同时扭曲窃听者位置处的接收信号。然而，由于该方法的计算复杂度一般比较高，因此在基带基于人工噪声(artificial noise,AN)辅助的DM技术被提出，此方案的基本思路是对阵列发射的信号添加正交于用户信道的人工噪声，从而恶化窃听者的信道。但是，此方法需要计算复矩阵的伪逆，并且根据定义直接计算伪逆的计算复杂度仍较大，为用户数的三次方，因此本发明引入双共轭梯度法对矩阵的伪逆进行计算，其基本思路是将矩阵的伪逆计算问题转化成线性方程组的求解问题，然后通过双共轭梯度法对其迭代求解，从而降低计算复杂度。

发明内容

针对现有基于人工噪声辅助的方向调制方法需要计算复矩阵的伪逆，存在根据定义直接计算伪逆的复杂度较高的缺陷，本发明提供了一种基于双共轭梯度法的频控阵多波束方向调制方法。本发明方法引入双共轭梯度法对矩阵的伪逆进行计算，将矩阵的伪逆计算问题转化成线性方程组的求解问题，并通过双共轭梯度法对其迭代求解，实现了对频控阵多波束的方向调制，并极大的降低了计算复杂度。

本发明采用的技术方案如下：

一种基于双共轭梯度法的频控阵多波束方向调制方法，包括以下步骤：

S1:根据FDA发射机与接收机结构，基于人工噪声辅助的方向调制方法建立信号传输模型。

S2:将矩阵的伪逆计算问题转化成线性方程组的求解问题。

S3:通过双共轭梯度法对线性方程组迭代求解，实现对频控阵多波束的方向调制。

各步骤具体处理流程如下：

S1:根据FDA发射机与接收机结构，基于人工噪声辅助的方向调制方法建立信号传输模型，其阵列加权矢量形式为：

其中，P_s表示总的发射功率，P₁表示归一化矩阵，P₂表示正交矩阵，β₁表示信号的功率分配因子，β₂表示人工噪声的功率分配因子，且满足

表示人工噪声归一化因子，tr(·)表示矩阵的迹，z表示人工噪声矢量，且满足

I_N表示N阶单位矩阵，s＝[s₁,s₂,...,s_K]^T表示发送给K个用户的保密信息，s₁,s₂,...,s_K分别表示发送给第1,2,...,K个用户的保密信息。

为了在目标用户处收到正确的信号，则矩阵P₁与矩阵P₂满足：

H^H(Θ_d,R_d)P₁＝I_K (2)

H^H(Θ_d,R_d)P₂＝0 (3)

其中(·)^H表示矩阵的共轭转置，H(Θ_d,R_d)表示K个用户的导向矢量矩阵，IK表示K阶单位矩阵。

由式(2)与式(3)可得：

P₁＝(H^H(Θ_d,R_d))⁺ (4)

P₂＝I_N-(H^H(Θ_d,R_d))⁺H^H(Θ_d,R_d) (5)

其中(·)⁺表示矩阵的伪逆，即：

(H^H(Θ_d,R_d))⁺＝H(Θ_d,R_d)[H^H(Θ_d,R_d)H(Θ_d,R_d)]^-1 (6)

其中(·)^-1表示矩阵的逆。

S2:将矩阵的伪逆计算问题转化成线性方程组的求解问题。

由于(H^H(Θ_d,R_d))⁺＝(H⁺(Θ_d,R_d))^H，则将式(6)转化为：

H⁺(Θ_d,R_d)＝(H^H(Θ_d,R_d)H(Θ_d,R_d))^-1H(Θ_d,R_d)^H (7)

令gt、qt分别表示H⁺(Θ_d,R_d)与H^H(Θ_d,R_d)的第t列数据，1≤t≤N，则计算g_t＝(H^H(Θ_d,R_d)H(Θ_d,R_d))^-1q_t，等价于求解方程组：

H(Θ_d,R_d)^HH(Θ_d,R_d)g_t＝q_t (8)

S3:通过双共轭梯度法对线性方程组迭代求解。

令A＝H^H(Θ_d,R_d)H(Θ_d,R_d)，x＝g_t，b＝q_t，则式(8)转化为Ax＝b；

双共轭梯度法的计算过程如下：

step 1:取x的初始值x₀，x₀通常取零向量或者单位向量，容差δ，通常满足δ≤10^-6，以及最大迭代次数W，通常满足1≤W≤50；

step 2:令r₀＝b-Ax₀，取

p₀＝r₀，

其中r₀、

p₀、

均为中间变量；

step 3:计算：

x_i+1＝x_i+α_ip_i，r_i+1＝r_i-α_iAp_i，

p_i+1＝r_i+1+β_ip_i，

其中，A^*表示A的共轭矩阵，

表示r_i的共轭向量，

和

分别表示α_i与β_i的共轭复数，(·，·)表示复内积，α_i、β_i、r_i、

p_i、

均为中间变量，下标i＝0,1,2,...表示迭代次数。

step 4:如果||r_i||/||b||＜δ或者i＝W，则输出x_i作为H⁺(Θ_d,R_d)的第t列数据，结束；否则令i＝i+1，转step 3；其中||·||表示向量的二范数。

通过N次迭代计算即求得H⁺(Θ_d,R_d)，最后对H⁺(Θ_d,R_d)共轭转置，计算得到(H^H(Θ_d,R_d))⁺。

由于基于人工噪声辅助的方向调制方法需要计算复矩阵的伪逆，其单列数据的计算复杂度为o(K³)，因此本发明将伪逆的计算问题转换成线性方程组的求解问题，然后通过引入双共轭梯度法对其进行迭代计算。在本发明方法中，进行一次迭代过程中的复数乘法量为2K²+8K+7，复数加法量为2K²+7K-4，则进行一次迭代的复杂度为o(K²)，那么进行u次迭代的复杂度为o(uK²)，从而大大降低了单列数据的计算复杂度。

附图说明

图1为本发明的一种基于双共轭梯度法的频控阵多波束方向调制方法的流程示意图；

图2为基于频控阵的发射机；

图3为用户位置处的接收机；

图4为误码率与信噪比的关系图；

图5为当角度取用户所在位置时，误码率与空间距离的关系图；

图6为当距离取用户所在位置时，误码率与空间角度的关系图。

具体实施方式

下面根据附图和实施例详细阐述本发明的技术方案，此处所选的实施例仅用于解释该发明，并不能够限定此发明。

S1:根据FDA发射机与接收机结构，基于人工噪声辅助的方向调制方法建立信号传输模型。

设频控阵发射机有N个阵元，阵元间距为d，其结构如图2所示，第n个阵元的发射信号为：

其中

表示第n个阵元的加权系数，a_n与φ_n均是实数，分别表示幅度与相位加权，f_n＝f₀+Δf_n表示发射频率，f₀表示发射的基本载波频率，Δf_n表示第n个阵元的频偏，

n＝1,2,..N，

是复基带信号，t表示时间，满足：

T表示波形持续时间，(·)^*表示共轭算子。

设接收机在空间远场区用户位置为(r,θ)，r表示距离，θ表示角度，其结构如图3所示，则接收到的信号为：

其中，r_n＝r-(n-1)dsinθ表示第n个阵元到用户位置的距离，r表示第1个阵元到用户位置的距离，c表示光速。

假设

是窄带信号，则有

(3)式改写为：

接收机对接收到的信号首先进行相位加权并分成M路信号分别进行下变频，其中M＝N,然后与冲击响应

进行匹配滤波，最后将M路信号进行求和得到信号x。

设

满足如下正交关系：

其中，τ表示任意时延，Δf_m表示第m路信号的频偏，m＝1,2,...,M，δ(·)表示Kronecker delta函数，满足：

则经过匹配滤波后的第m路信号x_m为：

那么M路信号求和得到的信号x为：

则在用户位置(r,θ)处的归一化导向矢量为：

其中

(·)^T表示矩阵转置，那么K个用户的导向矢量矩阵为：

H(Θ_d,R_d)＝[h(θ₁,r₁),h(θ₂,r₂),...h(θ_k,r_k)...,h(θ_K,r_K)] (10)

其中(Θ_d,R_d)＝[(θ₁,r₁),(θ₂,r₂),...(θ_k,r_k),...,(θ_K,r_K)]，(θ_k,r_k)表示第k个用户的位置，k＝1,2,...,K。

假设s＝[s₁,s₂,...,s_K]^T是发送给K个用户的保密信息，则FDA的加权矢量为：

其中，P_s表示总的发射功率，P₁表示归一化矩阵，P₂表示正交矩阵，β₁表示信号的功率分配因子，β₂表示人工噪声的功率分配因子，且满足

表示人工噪声归一化因子，tr(·)表示矩阵的迹，z表示人工噪声矢量，且满足

I_N表示N阶单位矩阵。

为了在目标用户处收到正确的信号，则矩阵P₁与矩阵P₂满足：

H^H(Θ_d,R_d)P₁＝I_K (12)

H^H(Θ_d,R_d)P₂＝0 (13)

其中(·)^H表示矩阵的共轭转置，I_K表示K阶单位矩阵。

由式(12)与式(13)得：

P₁＝(H^H(Θ_d,R_d))⁺ (14)

P₂＝I_N-(H(Θ_d,R_d)^H)⁺H^H(Θ_d,R_d) (15)

其中(·)⁺表示矩阵的伪逆，即：

(H^H(Θ_d,R_d))⁺＝H(Θ_d,R_d)[H^H(Θ_d,R_d)H(Θ_d,R_d)]^-1 (16)

(·)^-1表示矩阵的逆，则K个用户的接收信号矢量r为：

其中

表示复噪声矢量，

是目标用户的信道噪声功率。

同理，对于窃听用户位置(θ_e,r_e)≠(θ_k,r_k)收到的信号为：

其中

表示复高斯噪声，

是窃听用户的信道噪声功率。

由式(17)与式(18)可知，用户位置收到的信号仅受到信道噪声的影响，而窃听者位置收到的信号不仅受到信道噪声的影响，同时受到人工噪声的影响。

S2:将矩阵的伪逆计算问题转化成线性方程组的求解问题。

由式(14)与式(15)可知，在计算P₁与P₂之前，需要计算式(16)，由矩阵的性质(H^H(Θ_d,R_d))⁺＝(H⁺(Θ_d,R_d))^H，式(16)可转化为计算：

H⁺(Θ_d,R_d)＝(H^H(Θ_d,R_d)H(Θ_d,R_d))^-1H(Θ_d,R_d)^H (19)

令g_t，q_t分别是H⁺(Θ_d,R_d)与H^H(Θ_d,R_d)的第t列数据，1≤t≤N，则计算g_t＝(H^H(Θ_d,R_d)H(Θ_d,R_d))^-1q_t，等价于求解方程组

H(Θ_d,R_d)^HH(Θ_d,R_d)g_t＝q_t (20)

S3:通过双共轭梯度法对线性方程组迭代求解，实现对频控阵多波束的方向调制。

令A＝H^H(Θ_d,R_d)H(Θ_d,R_d)，x＝g_t，b＝q_t，则(20)式可转化为Ax＝b；

双共轭梯度法的计算过程如下：

step 1:取x的初始值x₀，x₀通常取零向量或者单位向量，容差δ，通常满足δ≤10^-6，以及最大迭代次数W，通常满足1≤W≤50；

step 2:令r₀＝b-Ax₀，取

p₀＝r₀，

其中r₀、

p₀、

均为中间变量；

step 3:对i＝0,1,2,...，计算：

x_i+1＝x_i+α_ip_i，r_i+1＝r_i-α_iAp_i，

p_i+1＝r_i+1+β_ip_i，

其中，A^*表示A的共轭矩阵，r^*表示r的共轭向量，α^*和β^*分别表示α与β的共轭复数，(·，·)表示复内积，α_i、β_i、r_i、

p_i、

均为中间变量，下标i＝0,1,2,...表示迭代次数。

step 4:如果||r_i||/||b||＜δ或者i＝W，则输出x_i作为H⁺(Θ_d,R_d)的第t列数据，结束；否则令i＝i+1，转step 3；其中||·||表示向量的二范数。

通过N次迭代计算即可求得H⁺(Θ_d,R_d)，最后对H⁺(Θ_d,R_d)共轭转置，计算得到(H^H(Θ_d,R_d))⁺。

由于基于人工噪声辅助的方向调制方法需要计算复矩阵的伪逆，其单列数据的计算复杂度为o(K³)，则本发明将伪逆的计算问题转换成线性方程组的求解问题，然后通过引入双共轭梯度法对其进行迭代计算。在本发明的方法中，进行一次迭代过程中的复数乘法量为2K²+8K+7，复数加法量为2K²+7K-4，则进行一次迭代的复杂度为o(K²)，那么进行u次迭代的复杂度为o(uK²)，从而降低单列数据的计算复杂度。

实施例

对于基于双共轭梯度法的频控阵多波束方向调制方法的实验验证的参数设置为f₀＝10GHz，d＝c/2f₀，N＝512，Δf_n＝η_nΔf，η_n是随机整数且满足0≤η_n≤2N-1，并且η₁,η₂,...,η_N互不相同，Δf＝1kHz，P_s＝1，

K个用户的保密信息s随机生成，调制方式为QPSK，用户个数K＝4，其位置分别为(-40°,60km)，(-10°,110km)，(20°,140km)，(70°,210km)。

图4表示直接求解法与基于本发明不同迭代次数仿真的用户误码率随信噪比的变化情况，从中可以发现，当迭代次数为二次时，本发明提出的方法基本与直接求逆法的误码性能相同，从而证明了本发明的可行性。图5表示当空间角度分别取用户所在的位置时，误码率随空间距离变化情况，图6表示当空间距离取目标用户所在的位置时，误码率随空间角度的变化情况，结合图5与图6可以看到，在空间中，只有用户位置处的误码率才存在较低的值，其他位置处的误码率均较高。呈现图5与图6现象的原因是，在用户处的人工噪声可以被完全消除，而窃听者却无法消除人工噪声，这就导致了窃听者位置处接收到的保密信号的质量非常低，因此会呈现比较高的误码率，并且结合图5与图6可知，本发明经过一次迭代后的误码性能可以有效逼近直接求逆法的误码性能。

综上所述，本发明提出的基于双共轭梯度法的频控阵多波束方向调制方法能够在降低单列数据计算复杂度的情况下，实现信号调制的方向性。

Claims (1)

1.一种基于双共轭梯度法的频控阵多波束方向调制方法，包括以下步骤：

S1:根据FDA发射机与接收机结构，基于人工噪声辅助的方向调制方法建立信号传输模型；

S2:将矩阵的伪逆计算问题转化成线性方程组的求解问题；

S3:通过双共轭梯度法对线性方程组迭代求解，实现对频控阵多波束的方向调制；

各步骤具体处理流程如下：

S1:根据FDA发射机与接收机结构，基于人工噪声辅助的方向调制方法建立信号传输模型，其阵列加权矢量形式为：

其中，P_s表示总的发射功率，P₁表示归一化矩阵，P₂表示正交矩阵，β₁表示信号的功率分配因子，β₂表示人工噪声的功率分配因子，且满足

表示人工噪声归一化因子，tr(·)表示矩阵的迹，z表示人工噪声矢量，且满足

I_N表示N阶单位矩阵，s＝[s₁,s₂,...,s_K]^T表示发送给K个用户的保密信息，s₁,s₂,...,s_K分别表示发送给第1,2,...,K个用户的保密信息；

为了在目标用户处收到正确的信号，则矩阵P₁与矩阵P₂满足：

H^H(Θ_d,R_d)P₁＝I_K (2)

H^H(Θ_d,R_d)P₂＝0 (3)

其中(·)^H表示矩阵的共轭转置，H(Θ_d,R_d)表示K个用户的导向矢量矩阵，I_K表示K阶单位矩阵；

由式(2)与式(3)可得：

P₁＝(H^H(Θ_d,R_d))⁺ (4)

P₂＝I_N-(H^H(Θ_d,R_d))⁺H^H(Θ_d,R_d) (5)

其中(·)⁺表示矩阵的伪逆，即：

(H^H(Θ_d,R_d))⁺＝H(Θ_d,R_d)[H^H(Θ_d,R_d)H(Θ_d,R_d)]^-1 (6)

其中(·)^-1表示矩阵的逆；

S2:将矩阵的伪逆计算问题转化成线性方程组的求解问题；

由于(H^H(Θ_d,R_d))⁺＝(H⁺(Θ_d,R_d))^H，则将式(6)转化为：

H⁺(Θ_d,R_d)＝(H^H(Θ_d,R_d)H(Θ_d,R_d))^-1H(Θ_d,R_d)^H (7)

令g_t、q_t分别表示H⁺(Θ_d,R_d)与H^H(Θ_d,R_d)的第t列数据，1≤t≤N，则计算g_t＝(H^H(Θ_d,R_d)H(Θ_d,R_d))^-1q_t，等价于求解方程组：

H(Θ_d,R_d)^HH(Θ_d,R_d)g_t＝q_t (8)

S3:通过双共轭梯度法对线性方程组迭代求解；

令A＝H^H(Θ_d,R_d)H(Θ_d,R_d)，x＝g_t，b＝q_t，则式(8)转化为Ax＝b；

双共轭梯度法的计算过程如下：

step 1:取x的初始值x₀，x₀取零向量或者单位向量，容差δ满足δ≤10^-6，最大迭代次数W满足1≤W≤50；

step 2:令r₀＝b-Ax₀，取

p₀＝r₀，

其中r₀、

p₀、

均为中间变量；

step 3:计算：

x_i+1＝x_i+α_ip_i，r_i+1＝r_i-α_iAp_i，

p_i+1＝r_i+1+β_ip_i，

其中，A^*表示A的共轭矩阵，

表示r_i的共轭向量，

和

分别表示α_i与β_i的共轭复数，(·，·)表示复内积，α_i、β_i、r_i、

p_i、

均为中间变量，下标i＝0,1,2,...表示迭代次数；

step 4:如果||r_i||/||b||＜δ或者i＝W，则输出x_i作为H⁺(Θ_d,R_d)的第t列数据，结束；否则令i＝i+1，转step 3；其中||·||表示向量的二范数；

通过N次迭代计算求得H⁺(Θ_d,R_d)，最后对H⁺(Θ_d,R_d)共轭转置，计算得到(H^H(Θ_d,R_d))⁺。

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