CN115312141B

CN115312141B - 求解磁电弹性材料热断裂问题的相互作用积分方法

Info

Publication number: CN115312141B
Application number: CN202210551418.6A
Authority: CN
Inventors: 朱帅; 于红军; 黄灿杰; 果立成; 申振; 郝留磊; 闫佳; 杨宇宁; 王标
Original assignee: Harbin Institute of Technology
Current assignee: Harbin Institute of Technology
Priority date: 2022-05-18
Filing date: 2022-05-18
Publication date: 2023-05-02
Anticipated expiration: 2042-05-18
Also published as: CN115312141A

Abstract

本发明公开了一种求解磁电弹性材料热断裂问题的相互作用积分方法，所述方法考虑到热载荷对磁电弹性材料本构方程的影响以及对相互作用积分形式的改变，通过严格的理论推导得到了热载荷下的相互作用积分方法新的形式，从而提出了一种可以求解热载荷作用下的磁电弹性材料的强度因子的方法。本发明的相互作用积分方法不仅可以用于均匀的磁电弹性材料，而且对于属性连续变化的功能梯度磁电材料依然适用。通过改变模型信息、材料属性、边界条件和热载荷方式，可以实现对不同磁电弹性材料及不同裂纹构型在热载荷作用下的强度因子的计算。

Description

求解磁电弹性材料热断裂问题的相互作用积分方法

技术领域

本发明属于断裂力学技术领域，涉及一种相互作用积分方法，具体涉及一种准确求解磁电弹性材料在热载荷下裂纹尖端的应力强度因子，电位移强度因子和磁感应强度因子的相互作用积分方法。

背景技术

作为一种智能材料，磁电弹性材料具有优异的磁电耦合效应。近年来，由于具有优异的频率响应和将机械能、电能、磁能和热能从一种形式转化为另一种形式的能力等特殊功能，磁电弹性材料已经被广泛用于智能结构领域，如电气封装、传感器和执行器、磁性记忆装置等领域。然而，由于其固有的脆性和各组成相之间的材料特性不匹配，磁电弹性材料的一个主要缺点是它们在制造和服务中非常容易断裂。此外，大的温度梯度和高热流将进一步加剧磁电弹性材料的断裂和结构失效。因此，对磁电弹性结构和装置的结构强度、可靠性和使用寿命的要求，需要更好地理解磁电弹性材料在热环境中的断裂行为机制。

在磁电弹性材料断裂力学中，强度因子是评估材料断裂行为的重要参数，包括应力强度因子(SIFs)、电位移强度因子(EDIF)和磁感应强度因子(MIIF)。目前求解应力强度因子的主要方法包括位移法、应力法、J积分和相互作用积分。其中位移法和应力法经验性较强，对于计算结果的准确性难以评估。虽然J积分能够非常有效地计算应力强度因子，但是对于混合型裂纹问题，利用J积分却不易于分离I型和II型的应力强度因子。而相互作用积分方法很好的解决了这个问题，通过将真实结构所受的载荷(真实场)和可以设计的辅助载荷(辅助场)代入J积分，得到其相互作用部分即为相互作用积分，是目前已知准确性较高的求解应力强度因子的方法。

然而，在现有的研究文献和报告中，能够处理承受热载荷下的磁电弹性材料的相互作用积分方法还没有报道。在航空航天、机械和核工程应用中，磁电弹性材料可能经历极冷和/或极热的环境，对热断裂的研究对于提高多功能磁电弹性结构和智能系统的可靠性至关重要。因此，为了准确评估材料在热载荷下的断裂行为，建立一种热载荷下的磁电弹性材料的相互作用积分方法具有十分重要的意义。

发明内容

为了解决背景技术中研究存在的不足之处，本发明针对热载下的磁电弹性材料断裂问题，提供了一种求解磁电弹性材料热断裂问题的相互作用积分方法。本发明考虑到热载荷对磁电弹性材料本构方程的影响以及对相互作用积分形式的改变，通过严格的理论推导得到了热载荷下的相互作用积分方法新的形式，从而提出了一种可以求解热载荷作用下的磁电弹性材料的强度因子的方法。

本发明的目的是通过以下技术方案实现的：

一种求解磁电弹性材料热断裂问题的相互作用积分方法，包括如下步骤：

步骤一：考虑到热载荷的影响，建立热载荷相关的磁电弹性材料的本构方程、运动学方程和平衡方程；

步骤二：建立磁电弹性热载荷的J积分形式，计算均匀材料裂纹尖端场作为辅助场代入J积分形式；

步骤三：通过提取真实场和辅助场相互作用部分即得到相互作用积分的线积分形式，为了避免数值计算中潜在的不确定误差，通过散度定理将线积分转换为区域积分；

步骤四：将相互作用积分形式分成均匀项和非均匀项，非均匀项利用平衡方程，应变、电场和磁场的定义以及辅助场的定义代入进行推导，得到热载荷下的磁电弹性材料的相互积分形式；

步骤五：通过相互作用积分和磁电弹性材料中强度因子的关系，分别设置辅助强度因子来求解对应的应力强度因子、电位移强度因子和磁感应强度因子。

相比于现有技术，本发明具有如下优点：

1、本发明通过引入热载荷的影响，提出了一种求解热载荷下磁电弹性材料的断裂问题的相互作用积分方法，扩大了相互作用积分方法的应用范围，建立了磁电弹性材料在热载荷下的强度因子的计算方法。

2、本发明的相互作用积分方法不仅可以用于均匀的磁电弹性材料，而且对于属性连续变化的功能梯度磁电材料依然适用。通过改变模型信息、材料属性、边界条件和热载荷方式，可以实现对不同磁电弹性材料及不同裂纹构型在热载荷作用下的强度因子的计算。

3、本发明的方法具有良好的准确性与稳定性，可与现有的计算方法如有限元、边界元和扩展有限元等方法结合，开发成商用程序以灵活适应所需问题的变化。

附图说明

图1为基于磁电弹性材料相互作用积分计算强度因子的流程框图；

图2为磁电弹性材料的裂纹尖端周围的线积分和区域积分示意图；

图3为含中心裂纹的非均质板，(a)几何形状、载荷和边界条件，(b)有限元网格图；

图4为本发明的方法计算得到的强度因子与国外学者Rao和Kuna(2010)的比较，

图5为均匀的磁电弹性材料板含一个倾斜裂纹；

图6为不同裂纹面热边界条件下的温度场分布，(a)热绝缘，(b)热导通；

图7为在不同的裂纹面热边界条件下，强度因子随裂纹倾斜角度的变化图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明的技术方案作进一步的说明，但并不局限于此，凡是对本发明技术方案进行修改或者等同替换，而不脱离本发明技术方案的精神和范围，均应涵盖在本发明的保护范围中。

本发明提供了一种求解磁电弹性材料热断裂问题的相互作用积分方法，如图1所示，所述方法包括如下步骤：

步骤一：考虑到热载荷的影响，建立热载荷相关的磁电弹性材料的本构方程、运动学方程和平衡方程。其中需要将应变分解为机械应变和热应变两个部分，为了便于后续相互作用积分方法的推导。具体步骤如下：

1、控制方程

磁电弹性材料在无体力、无自由电荷、无磁通量和无热源的情况下，平衡方程为：

σ_ij,j＝0,D_i,i＝0,B_i,i＝q_i,i＝0；

动力学方程为：

本构方程为：

其中，u_i、σ_ij和ε_ij分别为弹性位移、应力和总应变的组成部分；φ、D_i和E_i分别为电动势、电动位移和电场；

B_i和H_i分别是磁势、磁感应强度和磁场。材料参数C_ijkl、e_lij、h_lij、κ_ij、μ_il和γ_ij分别为弹性刚度、压电系数、压磁系数、介电常数、电磁系数和磁导率；χ_ij、ν_i和ξ_i分别是温度应力系数、热释电位移常数和热磁感应常数。热流通过温度的变化定义q_i＝-k_iΔT，k_i和ΔT是热传导系数和当前温度与无应力初始温度之间的绝对温度差。用符号下标i、j、k和l(i、j、k、l＝1，2，3)标记的变量是一个向量或张量的组成部分。

热系数与热膨胀有关，热电常数和热磁常数也可以表示为：

其中，f_kl、υ_i和ω_l分别为热膨胀系数、热电场常数和热磁场常数。

对于受到热载荷的线性磁电弹性材料，总应变ε_kl、总电场E_l和总的磁场H_l分为两个部分，一部分由磁电弹性载荷引起(用上标“m”标注)，一部分由热载荷引起(用上标“th”标注)：

本构方程可以表示为：

也可以表示为：

其中，S_ijkl、η_lij、g_lij、β_ij、α_il和λ_ij分别是弹性柔度系数、压电应变系数、压磁应变系数、介电隔离率、磁电系数和磁阻率。

2、边界条件

对于磁电弹性介质，边界条件包括力、电、磁和热四个部分。考虑一个磁电弹性体，设其占据区域为Ω，区域边界为Λ，则有：

其中，Λ_σ、Λ_D、Λ_B和Λ_q分别是应力、电位移、磁感应强度和热通量的边界，Λ_u、Λ_φ、

和Λ_T分别是位移、电势、磁势和温度的边界。

其中，

ω⁰、

和

分别是边界Λ_σ、Λ_D、Λ_B和Λ_q设定的牵引力、电荷密度、磁通量和热通量的值；n_i是边界Λ的外法向向量。在边界Λ_u、Λ_φ、

和Λ_T上分别对应的是位移、电势、磁势和温度：

其中，

φ⁰、

和T⁰分别是边界Λ_u、Λ_φ、

和Λ_T设定的位移、电势、磁势和温度的值。

步骤二：通过设定裂纹尖端为极坐标的原点，计算均匀材料裂纹尖端场作为辅助场，之后将辅助场代入J积分，建立磁电弹性热载荷的J积分形式。具体步骤如下：

在裂纹尖端的极坐标系(r,θ)中，用上标“aux”代表对应参数的辅助场，则辅助位移

辅助电势φ^aux和辅助磁势

的定义为：

辅助应力

辅助电位移

和辅助磁感应强度

的定义为：

辅助应变

辅助电场

和辅助磁场

通过下式求得：

其中，

和

分别为I型、II型、III型辅助应力强度因子、辅助电位移强度因子和辅助磁感应强度因子，下标N＝{II,I,III,IV,V}对应于不同的开裂模式。辅助场表达式中，

和w^N(θ)为均匀材料裂纹尖端场对应的角函数，它们仅依赖于裂纹尖端处的材料属性，用上标“tip”表示在裂纹尖端。角函数的具体形式可以通过Stroh公式进行计算。因仅考虑二维问题，所以K_III＝0且角函数下标i,j＝1,2，此时角函数表达式为：

本征值p_α和本征向量A_Mα可以通过下面的本征方程求解：

式中，Q、R和T为裂纹尖端材料属性构成的材料矩阵：

若令向量A_α＝[A_IIα A_Iα A_IIIα A_IVα A_Vα]^T、B_α＝[B_IIα B_Iα B_IIIα B_IVα B_Vα]^T和

向量A_α和B_α满足如下关系：

本征值和本征向量可以转化为下面的矩阵：

通过求解此矩阵可以得到10个本征值为5对共轭复数，角函数定义中仅用到5个拥有正虚部的本征值p_α及其对应的本征向量A_α。互逆矩阵M和N定义为：

如图2所示，对于一个二维非均匀含裂纹磁电弹性体，J积分定义如下：

其中，F为电磁焓密度，其表达式为

δ_ij是克罗内克符号；n_j是是轮廓线Γ₀的单位外法向向量；σ_ij、D_j和B_j分别是应力、电位移和磁感应强度；u_i、φ和

分别是位移、电势和磁势。

根据裂纹面设定为无牵引力，电磁不导通的条件，J积分可以写成：

其中，m_j是轮廓线

的单位外法向向量，q是一个任意的平滑权重函数，其值在Γ₀上取1，在Γ₁上取值为0。

将辅助场叠加到实际场上会产生一个新的状态。然后，对应于叠加状态的J积分表示为：

其中，J^act+aux是真实场和辅助场叠加的J积分形式。

步骤三：通过提取真实场和辅助场相互作用部分即得到相互作用积分的线积分形式，为了避免数值计算中潜在的不确定误差，通过散度定理将线积分转换为区域积分。具体步骤如下：

对应于叠加状态的J积分可以分为三部分，即：

J^act+aux＝J^act+J^aux+I；

其中，J^act是只存在真实场的J积分形式，J^aux是只存在辅助场的J积分形式，真实场和辅助场都存在的项为相互作用项I即为相互作用积分：

为了避免数值计算中潜在的不准确来源，线积分被转换为区域积分。通过散度定理，可以得到区域积分形式：

I＝I_h+I_nonh；

其中，I^h定义为均匀项，I^nonh定义为非均匀项。

步骤四：将相互作用积分形式分成均匀项I^h和非均匀项I^nonh，非均匀项I^nonh利用平衡方程，应变、电场和磁场的定义以及辅助场的定义代入进行推导，得到热载荷下的磁电弹性材料的相互积分形式。具体步骤如下：

无论材料属性是均质的还是非均质的，积分I_h都是非零的。对于非均质项积分I_nonh，应用以下平衡方程：

σ_ij,j＝0,D_j,j＝0,B_j,j＝0

非均质项积分I_nonh可以简化为：

利用应变、电场和磁场的定义

可以得到非均质项积分I_nonh：

根据辅助场的定义，有：

其中，用上标“tip”表示在裂纹尖端，

和

是在裂纹尖端的材料参数。相应的，I_nonh可以表示为：

为了进一步讨论热负荷的贡献，我们用一个独立变量I^thermal来表示上式I^nonh中的第二个积分项。考虑到温度的变化ΔT，这个积分I^thermal表示为：

可以看出，与均匀项相比，非均质项不仅受到温度变化和热属性的影响，而且还受到温度变化梯度和热特性梯度的影响。

最终，通过均匀项和非均匀项叠加，得到了磁电弹性材料在热载荷下的相互作用积分形式：

这个相互作用积分的表达式可以求解均匀和非均匀的磁电弹性材料的热断裂强度因子，并且不需要知道材料的导数，这在很大程度上增加了本方法的便利性，同时扩大了相互作用积分方法的应用范围。

步骤五：通过相互作用积分和磁电弹性材料中强度因子的关系，分别设置辅助强度因子来求解对应的应力强度因子、电位移强度因子和磁感应强度因子。具体步骤如下：

磁电弹性材料裂纹尖端的能量释放率等于J积分，它与强度因子存在如下关系：

其中，K＝[K_II,K_I,K_III,K_D,K_B]^T为强度因子构成的向量，Y是一个(5×5)的Irwin矩阵，通过本征向量A_α和矩阵N可以计算得到(5×5)的Irwin矩阵

(M,N＝{II,I,III,IV,V})。

两个场的叠加的J积分可以写为：

其中，

为辅助强度因子构成的向量。根据Y矩阵的对称性，相互作用积分可以表示为：

I＝K^TYK^aux。

对于二维情况，

如果选择辅助场为对应于II型断裂模式的状态，令

相互作用积分表达为：

I^(II)＝K_IIY₁₁+K_IY₁₂+K_DY₁₄+K_BY₁₅；

令

相互作用积分表达为：

I^(I)＝K_IIY₂₁+K_IY₂₂+K_DY₂₄+K_BY₂₅；

令

相互作用积分表达为：

I^(D)＝K_IIY₄₁+K_IY₄₂+K_DY₄₄+K_BY₄₅；

令

相互作用积分表达为：

I^(B)＝K_IIY₅₁+K_IY₅₂+K_DY₅₄+K_BY₅₅。

通过计算得到I^(II)、I^(I)、I^(D)和I^(B)，则可以通过联立求解上面四个相互作用积分表达式分离得到K_I、K_II、K_D和K_B。

为了说明本发明上述方案的适用性，下面结合两个算例来进一步描述。

算例一：压电材料热断裂问题研究

如图3所示，压电材料板的几何尺寸、边界条件、载荷和网格。正方形板的长度为2W＝20，板中间有一个中心裂纹长度为2a＝2。板的周围的温度设置为T₁＝10℃，裂纹面温度为T₂＝0℃，材料属性沿着x₁方向的变化为：

其中，材料参数与国外学者Rao和Kuna(2010)使用的材料参数一致。非均匀材料参数

分别取0、0.125、0.25和0.5来表征材料的非均匀性。

I型、II型应力强度因子和电位移强度因子分别通过

和

进行无量纲化,无量纲参数

和

从图4可以看出，目前针对不同均匀性的压电材料下应力强度因子

和电位移强度因子

的计算结果与Rao和Kuna(2010)给出的结果之间的所有相对误差分别在0.17％和0.22％以内。良好的一致性表明，目前的相互作用积分方法对于确定受热加载的均质和非均质压电材料的强度因子的计算是准确有效的。

算例二：磁电弹性材料的裂纹面热边界条件对强度因子的影响

如图5所示，正方形的磁电弹性材料板中间有一个倾斜裂纹，裂纹的长度是2a＝1.2,倾斜角度是θ。板的左边温度设为T₁＝0℃，右边设为T₂＝-20℃，整个板的初始温度设为T₀＝0℃。设定板的上下两端的x₂方向的位移，板的上下两端中点限制x₁方向的位移都为0。研究磁电弹性材料中热绝缘和热导通的裂纹面边界条件对裂纹强度因子的影响。I型、II型应力强度因子、电位移强度因子和磁感应强度因子分别通过

和

进行无量纲化，无量纲参数

和

从图6可以看出，对于热导通条件下的裂纹面，温度传导不受影响。但对于热绝缘的裂纹面，温度的传导受到了裂纹面的阻碍作用。在不同的裂纹倾斜角度下，图7中比较了两种热裂纹面边界条件下的强度因子。通过扩展有限元法和相互作用积分，计算得到不同裂纹倾角下的强度因子。如图7(a)所示，随着裂纹倾角的增加，两种裂纹面边界条件下的归一化模态I型应力强度因子

都是随着裂纹倾斜角度的增加而下降。不同的是，如图7(b)所示，II型应力强度因子

对于两种不同的裂纹面热边界条件，峰值出现在大约裂纹倾斜角度θ＝60°的时候。类似的规律也可以在磁感应强度因子中观察到。裂纹面的热边界条件对电位移强度因子有着显著的影响，在裂纹面是热导通的情况下，电位移强度因子

随着裂纹倾斜角度单调递增，对于热绝缘的裂纹面，电位移强度因子

随着裂纹倾斜角度的增加而增加，但当裂纹倾斜角度θ＝60°时有一个波动。

总的分析，当裂纹面与温度梯度平行时(即θ＝0°)，热传导不受裂纹的影响。因此，对于不同的裂纹面热条件，强度因子没有区别。对于相同的裂纹倾角，除了裂纹倾斜角度θ＝0°时，如果裂纹面从热绝缘变为热导通，I型应力强度因子

略微减少，I型应力强度因子

明显增加，并且电位移强度因子

和磁感应强度因子

都显著降低。以上两个算例验证了本发明上述方案的正确性以及适用性。

Claims

1.一种求解磁电弹性材料热断裂问题的相互作用积分方法，其特征在于所述方法包括如下步骤：

步骤一：考虑到热载荷的影响，建立热载荷相关的磁电弹性材料的本构方程、运动学方程和平衡方程，其中：

σ_ij,j＝0,D_i,i＝0,B_i,i＝q_i,i＝0；

动力学方程为：

E_i＝-φ_,i,

本构方程为：

B_i和H_i分别是磁势、磁感应强度和磁场；材料参数C_ijkl、e_lij、h_lij、κ_ij、μ_il和γ_ij分别为弹性刚度、压电系数、压磁系数、介电常数、电磁系数和磁导率；χ_ij、ν_i和ξ_i分别是温度应力系数、热释电位移常数和热磁感应常数；热流通过温度的变化定义q_i＝-k_iΔT，k_i和ΔT是热传导系数和当前温度与无应力初始温度之间的绝对温度差，用符号下标i、j、k和l标记的变量是一个向量或张量的组成部分，i、j、k、l＝1，2，3；

对于受到热载荷的线性磁电弹性材料，总应变ε_kl、总电场E_l和总的磁场H_l分为两个部分，一部分由磁电弹性载荷引起，用上标“m”标注，一部分由热载荷引起，用上标“th”标注：