CN108287970B - 基于二维正交各向异性复合材料板的热模态对结构参数的灵敏度分析方法 - Google Patents

基于二维正交各向异性复合材料板的热模态对结构参数的灵敏度分析方法 Download PDF

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Abstract

本发明公开了一种基于二维正交各向异性复合材料板的热模态对结构参数的灵敏度分析方法，包括如下步骤：(1)求解考虑拉压、弯曲、剪切变形的二维正交各向异性复合材料板线性刚度矩阵K0；(2)求解热结构的初应力刚度矩阵Kσ；(3)求解考虑热应力影响的结构有限元动力学方程的目标函数，即为转化为考虑结构热应力影响的广义特征值问题；(4)基于步骤(3)中的目标函数f，采用复变函数法求解二维正交各向异性复合材料板的热模态对结构参数的灵敏度。本发明考虑了热应力对结构刚度以及结构响应(热模态)分析的影响，能够利用复变函数法分析得到精度较高的热模态对结构参数的灵敏度矩阵。

Description

基于二维正交各向异性复合材料板的热模态对结构参数的灵 敏度分析方法
技术领域
本发明涉及复合材料结构优化和设计技术领域，尤其是一种基于二维正交各向异性复合材料板的热模态对结构参数的灵敏度分析方法。
背景技术
在航天结构中，如航空发动机上用于制造涡轮叶片的高温构件的定向结晶材料和单晶材料是正交各向异性的。正交各向异性材料是指通过这种材料的任意一点都存在三个相互垂直的对称面，垂直于对称面的方向称为弹性主方向。
若三个相互垂直的弹性对称面中有一个各项同性的，那么这种材料为横观各向同性材料。二维正交各向异性复合材料薄板就表现为横观各项同性材料，纤维方向定义为主轴方向(1方向)，垂直与1方向的2O3平面是各项同性，面内为正交各向异性材料。
热传导和结构耦合系统的优化设计，是工程中普遍存在的问题，特别是在航空、航天、热力机械等方面。传热和结构热响应(如应力、变形、振动)以及它们之间的耦合作用，是设计分析的重要内容。灵敏度分析是优化设计的重要内容，它反映的是约束函数和目标函数对设计变量的导数信息。在动力学反问题研究中，为了获得高温环境下结构准确的动力学模型，识别结构在热环境下准确的动力学参数，首先需要进行热模态对结构参数的灵敏度分析方法研究。在梯度优化法中，灵敏度的精度直接决定了优化搜索方向的正确性及优化结果的准确程度和效率。
由于在热模态对结构参数的灵敏度求解中，结构响应和设计变量之间的关系一般没有显式关系，所以求解目标函数或约束函数对设计变量的导数非常困难，研究的主要精力放在关键的灵敏度分析技术上。
对于热结构的灵敏度分析，早期的求解方法是忽略温度场的影响，认为在优化过程中，结构的温度分布是恒定的。但当温度对设计变量灵敏度增大时，这种非耦合的方法的计算结果则偏差很大。在研究耦合优化设计方法中，灵敏度的计算必须考虑温度场的影响。更重要的是，结构的热模态分析是一个非线性分析过程，需要先获得结构在热环境下的热变形和热应力分布，然后再确定经过热效应形成的刚度矩阵，最后经热模态有限元分析得到结构的响应或目标函数。
为此，本发明结合工程应用价值和实际理论推导，针对二维正交各向异性的复合材料板，提出热模态对结构参数的灵敏度分析方法。
发明内容
本发明所要解决的技术问题在于，提供一种基于二维正交各向异性复合材料板的热模态对结构参数的灵敏度分析方法，考虑了热应力对结构刚度以及结构响应(热模态)分析的影响，能够利用复变函数法分析得到精度较高的热模态对结构参数的灵敏度矩阵。
为解决上述技术问题，本发明提供一种基于二维正交各向异性复合材料板的热模态对结构参数的灵敏度分析方法，包括如下步骤：
(1)求解考虑拉压、弯曲、剪切变形的二维正交各向异性复合材料板线性刚度矩阵K0，K0是与单元节点位移无关的刚度矩阵，结构在热载荷的作用下，面内拉伸、面外弯曲和剪切变形互相不耦合；
(2)求解热结构的初应力刚度矩阵Kσ，Kσ表示单元中由于热环境存在而产生的初应力对刚度矩阵的影响；
(3)求解考虑热应力影响的结构有限元动力学方程的目标函数，即为转化为考虑结构热应力影响的广义特征值问题；
(4)基于步骤(3)中的目标函数f，采用复变函数法求解二维正交各向异性复合材料板的热模态对结构参数的灵敏度。
优选的，步骤(1)中，线性刚度矩阵K0满足
K0＝Km+Kb+Ks(1)
其中，Km为薄膜刚度矩阵，Kb为弯曲刚度矩阵，Ks为剪切刚度矩阵；
其中，Dm,Db,Ds分别为二维正交各向异性复合材料板的薄膜，弯曲和剪切本构弹性矩阵；
其中，t为板的厚度，k是考虑剪应力分布不均匀的系数，取6/5。
优选的，步骤(2)中，求解热结构的初应力刚度矩阵Kσ，Kσ表示单元中由于热环境存在而产生的初应力对刚度矩阵的影响具体为：
其中，G＝[G1G2G3G4]是斜率插值矩阵，G满足
S是由于热载荷影响产生的平面热应力矩阵，S满足
优选的，步骤(3)中，求解考虑热应力影响的结构有限元动力学方程的目标函数，即为转化为考虑结构热应力影响的广义特征值问题具体为：
(K(E1,E2,v12,G12,G13,G23,α1,α2)-ω2[M]){φ}＝0 (11)
则目标函数值f满足
其中，K＝K0+Kσ为结构的总刚度矩阵，K是结构参数弹性模量E1、E2、剪切模量G12、G23、G13，泊松比v12、热膨胀系数α1，α2的函数，目标函数热模态f为上述结构参数的隐式函数。
优选的，步骤(4)中，基于步骤(3)中的目标函数f，采用复变函数法求解二维正交各向异性复合材料板的热模态对结构参数的灵敏度具体为：
将结构参数p设为复数变量p+ih，其中h为微小扰动量，ih为虚步长，通过有限元分析计算复合材料板的热模态，取目标函数的虚部，则热模态对结构参数的灵敏度为
其中，Im表示取目标函数f的虚部；
当n＝1，第一个结构参数p1设置为复数变量p1+ih时，复变函数法求得结构热模态对材料参数p1的灵敏度；以此类推，当第n个结构参数pn设置为复数变量pn+ih时，复变函数法求得结构热模态对材料参数pn的灵敏度；综上，得到热模态对结构参数的灵敏度矩阵S：
本发明的有益效果为：本发明提出一种基于二维正交各向异性复合材料板的热模态对结构参数的灵敏度计算方法，该灵敏度的目标函数计算首先考虑了面外剪切的影响，复合材料的本构方程发生了变化；考虑了由于温度梯度产生的热应力对刚度矩阵的影响，修正了结构的总刚度矩阵；基于上述变化因素，求解复合材料板在热载荷下的模态对结构参数的灵敏度，为实际工程应用和灵敏度理论研究都起了铺垫作用。
附图说明
图1为本发明的方法流程示意图。
图2为本发明的热载荷下二维正交各向异性复合材料矩形薄板示意图。
具体实施方式
如图1所示，一种基于二维正交各向异性复合材料板的热模态对结构参数的灵敏度分析方法，包括如下步骤：
(1)求解考虑拉压、弯曲、剪切变形的二维正交各向异性复合材料板线性刚度矩阵K0。K0是与单元节点位移无关的刚度矩阵，结构在热载荷的作用下，面内拉伸、面外弯曲和剪切变形互相不耦合。线性刚度矩阵K0满足
K0＝Km+Kb+Ks(1)
其中，Km为薄膜刚度矩阵，Kb为弯曲刚度矩阵，Ks为剪切刚度矩阵。
其中，Dm,Db,Ds分别为二维正交各向异性复合材料板的薄膜，弯曲和剪切本构弹性矩阵。
其中，t为板的厚度，k是考虑剪应力分布不均匀的系数，取6/5。
(2)求解热结构的初应力刚度矩阵Kσ。Kσ表示单元中由于热环境存在而产生的初应力对刚度矩阵的影响。
其中，G＝[G1G2G3G4]是斜率插值矩阵；S是由于热载荷影响产生的平面热应力矩阵
计算结构受热引起的应力S时，先把材料受热而发生的热应变转化为一个相当热载荷，单元热载荷由下式确定
其中，εT是热应变，是单元受热膨胀形成的相当载荷，即热载荷。Bp＝[B1B2B3B4]，Bi满足
Dp为平面应力单元弹性矩阵，二维正交各向异性材料时，Dp满足：
得到单元的刚度矩阵K0和单元载荷列阵之后，组装为总体刚度矩阵和总载荷列阵，从而得到平面应力平衡方程
其中，PεT为全部单元热载荷的叠加，是结构由于受热膨胀而形成的相当节点载荷列阵。
求解上述方程，得平板面内节点位移δ，进一步，按式(15)由单元温升计算热应变，由总应变减去热应变求得单元的平面应力σe。
(3)求解考虑热应力影响的结构有限元动力学方程的目标函数，即为转化为考虑结构热应力影响的广义特征值问题
(K(E1,E2,v12,G12,G13,G23,α1,α2)-ω2[M]){φ}＝0 (11)
则目标函数值f满足
其中，K＝K0+Kσ为结构的总刚度矩阵，K是结构参数弹性模量E1、E2、剪切模量G12、G23、G13，泊松比v12、热膨胀系数α1，α2的函数。目标函数热模态f为上述结构参数的隐式函数。
(4)基于上述目标函数f，采用复变函数法求解二维正交各向异性复合材料板的热模态对结构参数的灵敏度。将结构参数p设为复数变量p+ih，其中h为微小扰动量，ih为虚步长。通过有限元分析计算复合材料板的热模态。取目标函数的虚部，则热模态对结构参数的灵敏度为
其中，Im表示取目标函数f的虚部。
当n＝1，第一个结构参数p1设置为复数变量p1+ih时，复变函数法求得结构热模态对材料参数p1的灵敏度；以此类推，当第n个结构参数pn设置为复数变量pn+ih时，复变函数法求得结构热模态对材料参数pn的灵敏度。综上，得到热模态对结构参数的灵敏度矩阵S。
下面基于二维正交各向异性复合材料板的实例和具体实施步骤1～4，求基于复数变量法的热模态对结构参数的灵敏度。如图2所示，二维正交各向异性复合材料矩形薄板，受100℃的稳态温度场的作用，板长1000mm，宽500mm，板厚20mm，密度2.63×10-9t/mm3，结构材料参数如表1所示，试分析薄板热模态对结构材料参数的灵敏度。
表1二维正交各向异性复合材料板材料参数值
依据上述具体实施方式，求解二维正交各向异性板的热模态对结构材料参数的灵敏度。表2为二维正交各向异性复合材料板前10阶热模态频率对结构参数的灵敏度。
表2二维正交各向异性复合材料板前10阶热模态频率对结构参数的灵敏度
采用本发明提出基于二维正交各向异性复合材料板的热模态对结构参数的灵敏度计算方法，首先考虑面外剪切的影响，复合材料的本构方程发生了变化，其次，考虑了由于温度梯度产生的热应力对刚度矩阵的影响，修正了结构的总刚度矩阵。最后，基于上述变化因素，求解复合材料板在热载荷下的模态对结构参数的灵敏度。为实际工程应用和灵敏度理论研究都起了铺垫作用。

Claims (5)

1.基于二维正交各向异性复合材料板的热模态对结构参数的灵敏度分析方法，其特征在于，包括如下步骤：
(1)求解考虑拉压、弯曲、剪切变形的二维正交各向异性复合材料板线性刚度矩阵K0，K0是与单元节点位移无关的刚度矩阵，结构在热载荷的作用下，面内拉伸、面外弯曲和剪切变形互相不耦合；
(2)求解热结构的初应力刚度矩阵Kσ，Kσ表示单元中由于热环境存在而产生的初应力对刚度矩阵的影响；
(3)求解考虑热应力影响的结构有限元动力学方程的目标函数，即为转化为考虑结构热应力影响的广义特征值问题；
(4)基于步骤(3)中的目标函数f，采用复变函数法求解二维正交各向异性复合材料板的热模态对结构参数的灵敏度。
2.如权利要求1所述的基于二维正交各向异性复合材料板的热模态对结构参数的灵敏度分析方法，其特征在于，步骤(1)中，线性刚度矩阵K0满足
K0＝Km+Kb+Ks (1)
其中，Km为薄膜刚度矩阵，Kb为弯曲刚度矩阵，Ks为剪切刚度矩阵；
其中，Dm,Db,Ds分别为二维正交各向异性复合材料板的薄膜，弯曲和剪切本构弹性矩阵；
其中，t为板的厚度，k是考虑剪应力分布不均匀的系数，取6/5。
3.如权利要求1所述的基于二维正交各向异性复合材料板的热模态对结构参数的灵敏度分析方法，其特征在于，步骤(2)中，求解热结构的初应力刚度矩阵Kσ，Kσ表示单元中由于热环境存在而产生的初应力对刚度矩阵的影响具体为：
其中，G＝[G1G2G3G4]是斜率插值矩阵，G满足
S是由于热载荷影响产生的平面热应力矩阵，S满足
4.如权利要求1所述的基于二维正交各向异性复合材料板的热模态对结构参数的灵敏度分析方法，其特征在于，步骤(3)中，求解考虑热应力影响的结构有限元动力学方程的目标函数，即为转化为考虑结构热应力影响的广义特征值问题具体为：
(K(E1,E2,v12,G12,G13,G23,α1,α2)-ω2[M]){φ}＝0 (11)
则目标函数值f满足
其中，K＝K0+Kσ为结构的总刚度矩阵，K是结构参数弹性模量E1、E2、剪切模量G12、G23、G13，泊松比v12、热膨胀系数α1，α2的函数，目标函数热模态f为上述结构参数的隐式函数。
5.如权利要求1所述的基于二维正交各向异性复合材料板的热模态对结构参数的灵敏度分析方法，其特征在于，步骤(4)中，基于步骤(3)中的目标函数f，采用复变函数法求解二维正交各向异性复合材料板的热模态对结构参数的灵敏度具体为：
将结构参数p设为复数变量p+ih，其中h为微小扰动量，ih为虚步长，通过有限元分析计算复合材料板的热模态，取目标函数的虚部，则热模态对结构参数的灵敏度为
其中，Im表示取目标函数f的虚部；
当n＝1，第一个结构参数p1设置为复数变量p1+ih时，复变函数法求得结构热模态对材料参数p1的灵敏度；以此类推，当第n个结构参数pn设置为复数变量pn+ih时，复变函数法求得结构热模态对材料参数pn的灵敏度；综上，得到热模态对结构参数的灵敏度矩阵S：
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