CN117649901B - 一种求解回转体裂纹应力强度因子的相互作用积分方法 - Google Patents
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Abstract
一种求解回转体裂纹应力强度因子的相互作用积分方法，属于断裂力学技术领域，具体包括：选用在过回转体对称轴的平面内的路径计算J积分，将真实场与辅助场代入J积分中；提取真实场和辅助场相互作用部分得到相互作用积分的线积分形式，将线积分转换为第二型曲面积分；将积分表达式用裂纹前沿曲线坐标系下的物理量表示；将积分区域分成两个不同材料部分，设定材料界面的粘接完好的特性，基于材料界面给出曲线坐标系；将材料界面上的特性引入界面积分项，推导沿着材料界面上的线积分，给出沿着材料界面上的相互作用积分的线积分形式；通过相互作用积分和回转体中应力强度因子的关系，令辅助强度因子取不同的值求解对应的应力强度因子。
Description
技术领域
本发明属于断裂力学技术领域，涉及一种相互作用积分方法，具体涉及一种求解轴对称载荷作用下的回转体中裂纹尖端的应力强度因子的相互作用积分方法。
背景技术
回转体作为常见的几何形状，由于具有既便于加工制造又具有一定工艺美观性被广泛应用于各种工程结构之中，常作为航天及核级管道、大型薄壁结构、螺钉螺母、支座、导弹外壳、子弹等结构承受轴对称载荷或近似可以忽略非轴对称载荷的影响。
然而，无论是在加工成型的过程中还是由于实际使用中的各种因素，如管道腐蚀、摩擦损耗、界面粘接等过程，回转体内部极易产生环形裂纹或孔洞急剧降低结构的承载能力，加剧结构的破坏和断裂。因此对此类回转体结构，建立正确的力学分析模型，针对其对称性提出有效方便的研究方法来研究其断裂破坏行为、预防断裂危险的产生就显得十分必要。在实际工程中，例如管道在焊接区域会出现母材与焊材的融合，从而产生具有非均匀材料属性的焊缝区域，这种非均匀材料相较于传统的均质材料给断裂力学分析带来困难。另外此外，随着现代高科技发展对工程材料的功能性要求不断提高，复合材料得到了越来越广泛的使用，导致结构内部会出现分布错综复杂的材料界面，这给断裂力学研究带来严峻挑战。因此，由于对复合材料回转体的可靠服役要求，需要对含复杂材料界面的非均匀材料及复合材料回转体在轴对称载荷下的断裂机制进行深入探究，建立可以简易高效而通用的求解受轴对称载荷回转体断裂问题的方法。
线弹性断裂力学中，应力强度因子是评估材料内裂纹是否发生断裂破坏的关键参数。目前，求解应力强度因子的主要方法包括位移法、应力法、J积分和相互作用积分。其中位移法和应力法经验性较强，计算结果的准确性难以评估。J积分难于分离I型和II型的应力强度因子。而相互作用积分方法很好的解决了这个问题，是目前已知准确性较高的求解应力强度因子的方法。但是，目前的相互作用积分方法主要是针对一般情况的二维问题或三维问题，二维相互作用积分无法考虑回转体中径向载荷的变化，而三维相互作用积分在回转体问题中计算规模巨大，若考虑内部存在复杂的材料界面，会给建模带来巨大挑战，同时严重依赖算力资源，从而无法高效的进行仿真计算和求解裂纹尖端的强度因子。因此，有必要建立可以针对受轴对称载荷的非均匀及含复杂材料界面的回转体工程结构进行求解的相互作用积分。
发明内容
本发明针对回转体受轴对称载荷的情况，通过严格的理论推导，考虑到回转体在载荷形式上的特殊性，分别考虑材料非均匀性和含复杂界面两种情况，改进了通用的相互作用积分方法，并提供了一种全新的区域积分表达式。
为了实现上述目的，本发明采取以下技术方案：
一种求解回转体应力强度因子的相互作用积分方法，包括如下步骤：
步骤一：选用在过回转体对称轴的平面内的路径计算J积分，将真实场与辅助场代入J积分中；
步骤二：通过提取真实场和辅助场相互作用部分即得到相互作用积分的线积分形式，再利用辅助函数和斯托克斯公式将线积分转换为第二型曲面积分；
步骤三：将积分表达式用裂纹前沿曲线坐标系下的物理量进行表示，并基于对称性化简；
步骤四：由于结构包含材料界面，所以将积分区域分成两个不同材料部分，考察材料界面的线积分形式，设定材料界面的粘接完好的特性，基于材料界面给出曲线坐标系；将材料界面上的特性引入界面积分项，使用链式法则推导沿着材料界面上的线积分，给出载荷作用下沿着材料界面上的相互作用积分的线积分形式，得到对相互作用积分形式的影响；
步骤五：通过相互作用积分和回转体中应力强度因子的关系，令辅助强度因子取不同的值求解对应的应力强度因子。
与现有技术相比，本发明的有益效果是：
1.本发明通过考虑回转体结构的对称性，提出了一种求解轴对称载荷作用下回转体中裂纹尖端应力强度因子的特殊的相互作用积分方法，降低了在回转体问题中相互作用积分方法的应用难度与计算量。
2.本发明的方法具有良好的适用与稳定性，可与现有的计算方法如有限元、扩展有限元等方法结合，实现对轴对称载荷作用下的回转体结构的应力强度因子的求解，开发成商用程序以灵活适应所需问题的变化。
附图说明
图1是裂纹前沿曲线坐标系图；
图2是积分路径Γ(s)示意图；
图3是新规划后的积分路径与转化积分后对应的平面区域示意图；
图4是斯托克斯公式说明图；
图5是含材料界面时的积分回路与区域；
图6是关于z轴对称的任意一个弯曲的材料界面与其相关的曲线坐标系；
图7是三维回转体管道含一个内径裂纹示意图；
图8是回转体模型的材料属性分布及有限元网格示意图；
图9是不同管道内半径长度下的动态应力强度因子视图；
图10是本发明的流程图。
具体实施方式
下面将结合附图和实施例，对本发明中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例仅是发明的一部分实施例，而不是全部的实施例，基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动的前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。
一种求解回转体应力强度因子的相互作用积分方法，包括以下步骤：
步骤一：选用在过回转体对称轴的平面内的路径计算J积分，将真实场与辅助场代入J积分中。具体步骤如下：
1.如图1所示，定义曲线坐标系，其中z轴为回转体对称轴，其正交单位基矢量定义如下表示空间点的位置矢量，表示对ξi求偏导数)
其中，Rc代表环形裂纹前沿到对称轴的距离，ξ1数值上代表空间点(x,y,z)到回转体的对称轴z轴的距离减去Rc的值，ξ2代表空间点(x,y,z)到x-y平面的距离，ξ3的绝对值代表过空间点(x,y,z)和对称轴z轴的平面和x轴一起所截取的裂纹前沿的长度，其正负号由以上表达式可确定。
2.如图2所示，过环形裂纹前沿s点且在垂直于裂纹前沿线的法平面(ξ1-ξ2平面)内取一个包围s的回路，记为Γ(s)，该回路的单位外法向量为nj。裂纹前沿s点处的J积分为
其中：上式采用张量分量记法，全文中各下标i,j,k,l取值范围为1～3并遵守爱因斯坦求和约定：当某下标仅出现一次时，则该下标为“自由指标”，须遍历该下标所有的取值；在同一项中，如果某一下标成对出现，则称为“哑指标”表示遍历其取值范围求和，只要等式左右两边自由指标能够对应，具体采用什么字母并不改变等式含义；应变能密度W的表达式为这里Cijkl和Sijkl分别为三维刚度和柔度张量，εij表示应变张量ε的i，j方向的分量，εkl表示应变张量ε的k，l方向的分量；σij表示应力张量σ的i，j方向的分量，σkl表示应力张量σ的k，l方向的分量，cl(s)为过s点、位于裂纹面的切平面内，且垂直于裂纹前沿的单位向量的l号分量，表征裂纹扩展趋势的方向，ui,l表示位移矢量在i方向上的分量对l方向的偏导数，而δij为克罗内克尔符号，未经特殊说明本文重复指标均遵守爱因斯坦求和约定，本发明所记载的“i方向”、“j方向”或“l号分量”等类似描述均表示所述坐标系下的对应标号的基矢量方向或物理量在对应标号基矢量下的分量。
3.将介质所受载荷引起的真实场与定义的辅助场叠加，代入到J积分表达式中，可以得到叠加后的J积分表达式为
其中，J(s)为真实场所产生的J积分，Jaux(s)为辅助场所产生的J积分，I(s)即为s点处的相互作用积分；s代表裂纹前沿某点，σik表示应力张量σ的i，k方向的分量；εik表示应变张量ε的i，k方向的分量；ui,l表示位移矢量在i方向上的分量对l方向的偏导数；δij为克罗内克尔符号；nj表示积分路径微元段在ξ1-ξ2平面内的法向向量的j号分量，方向由路径环绕方向确定；cl(s)表示s点处裂纹扩展趋势的单位方向向量的l号分量；Γ(s)表示包围点s的积分路径，表示Γ(s)为无穷小积分围道；dΓ表示积分路径的弧长微元；上角标带有aux项均为被定义的辅助场；
当裂纹面垂直于z轴且裂纹位于某种材料内部时辅助场定义如下：
其中：σ11、σ12、σ13、σ22和σ33表示应力张量σ在空间坐标系(ξ1,ξ2,ξ3)上的独立分量，可分别表示为：σ11表示应力张量σ在ξ1、ξ1方向的分量，可利用应力张量σ和单位基矢量表示为σ12表示应力张量σ在ξ1、ξ2方向的分量，可利用应力张量σ和单位基矢量表示为σ13表示应力张量σ在ξ1、ξ3方向的分量，可利用应力张量σ和单位基矢量表示为σ22表示应力张量σ在ξ2、ξ2方向的分量，可利用应力张量σ和单位基矢量表示为σ33表示应力张量σ在ξ3、ξ3方向的分量，可利用应力张量σ和单位基矢量表示为u1表示位移矢量场在ξ1方向上的分量，可表示为u2表示位移矢量场在ξ2方向上的分量，可表示为 和分别为辅助的I型，II型和III型应力强度因子，和为裂纹前沿法平面内的极坐标分量，μ(s)和ν(s)分别为裂纹前沿s点处的剪切模量和泊松比，而κ0为裂纹前沿的材料常数
当裂纹面垂直于z轴且裂纹位于两种材料的粘接界面时辅助场分为两种，定义如下：
1.分离KI和KII时的辅助位移和辅助应力的定义为：
其中，κm(s)代表裂纹前沿s点处的材料参数，由式1.13确定；μm(s)代表裂纹前沿s点处的剪切模量。
式1.7中的角度函数和为
这里参数C、D、T1和T2定义如下
其中，L为界面裂纹尖端应力场中用于无量纲化的一个参考长度，由具体给出的界面裂纹尖端应力场形式的定义给出；以上辅助场定义中涉及材料属性的变量均取为裂纹前沿s点处的材料属性，下角标m均表示该变量取材料m的属性，定义
其中，SA为裂纹前沿的切平面(ξ1-ξ3平面)，面SA上方为材料1，下方为材料2，而下标α、β、和为对应变量在平面中的分量。式1.8中表示裂纹前沿s点处的四阶刚度张量。式1.7和1.8给出了辅助场的ξ1-ξ2面内分量，面外分量如下
2.由于回转体受轴对称载荷时不会发生III型断裂，故分离III型应力强度因子时的辅助场省略。
从上面的辅助场定义可知，辅助应力和辅助位移为平面的平面和反平面裂纹尖端场，求裂纹前沿s点处的应力强度因子时，仅用到裂纹前沿s点处的材料属性，辅助应变场可通过辅助应力场与点处的本构关系求得
其中，表示所代表的空间点处的柔度张量S的i,j,k,l号分量，表示辅助应力张量场σaux的i，j方向的分量，表示辅助应变张量场εaux的i，j方向的分量。
这样设计的辅助场的特点不再满足应力平衡关系和位移-应变几何关系，因此不具有真实物理意义，仅作为辅助量提取应力强度因子使用，若为斜裂纹，与x-y平面有夹角，则仅需通过转轴公式将以上辅助场分量作为平行于裂纹的分量，再变换到所定义的坐标系中即可。
步骤二：通过提取真实场和辅助场相互作用部分即得到相互作用积分的线积分形式，再利用辅助函数和斯托克斯公式将线积分转换为第二型曲面积分。具体步骤如下
1.分离出叠加后的J积分表达式(1.4)中真实场和辅助场相互作用的部分，即为相互作用积分
又根据辅助场定义有
故式2.1简化为
以上均以笛卡尔直角坐标系中的分量表示，现在再将其替换为张量不变式
其中：为哈密顿Nabla算子；为定义的正交单位基矢量，为拉梅系数；I表示单位二阶张量；表示空间点的位置矢量；表示位移矢量场的左梯度；表示积分路径微元段在ξ1-ξ2平面内的法向向量；“·”表示张量点积；σaux:ε表示σaux与ε的并联双点积σ表示应力张量；ε表示应变张量；εij表示应变张量ε的i，j方向的分量；带上标aux的符号表示对应的辅助场。
记二阶张量
则式2.4可写为
2.如图3所示的积分路径，重新构造积分路径并构造辅助函数得到
其中，Γ(s)表示包围点s的积分路径，表示Γ(s)为无穷小积分围道，Γ-(s)表示绕行方向与Γ(s)方向相反；Γ2(s)表示沿着裂纹表面的积分路径，Γ2-(s)表示绕行方向与Γ2(s)相反；Γ3(s)表示包围了点s和Γ(s)的有限大的积分路径；辅助函数q(ξ1,ξ2)满足：
将式2.6中积分路径的外法向量利用路径的切向量和ξ1-ξ2平面的法向量表示，然后再调换向量混合积的次序将式2.6转换为第二型曲线积分
如图4所示，利用斯托克斯公式(表示的旋度)：
转化式(2.8)为第二型曲面积分得
其中：此回转体问题中斯托克斯公式使用后的曲面Ω取为ξ1-ξ2平面中积分路径所包围区域并根据右手螺旋法则确定平面区域Ω与其微元的法向量
利用张量分析公式
其中，“”表示求左散度，“”仍为Nabla算子。
将式2.10展开并注意为ξ1-ξ2平面的法向量即ξ3方向单位矢量，其散度为0，且故去掉一项以及对求散度的一项，得到
将式2.12中第一项进一步展开
其中，PT表示张量P的转置，表示张量P的右散度。
再利用张量公式
将式2.13转化为
其中，表示对二阶张量σaux求左梯度，表示ε的右梯度，表示对向量场求左梯度后得到的二阶张量再求右梯度(或对求右梯度后得到的二阶张量再求左梯度)，“：”仍表示并联双点积，表示物体所受体积力。
并且注意到由于应力σ的对称性可得
因此式2.16进一步转换为
将式2.18代入式2.12可以得到如下结果
由斯托克斯公式，区域Ω定义根据右手螺旋法则确定曲面法向量，写为分量式，得到
其中，为ξ3方向单位基矢量。
步骤三：将式2.20用裂纹前沿曲线坐标系下的物理量进行表示，并基于对称性化简。
具体步骤如下
由张量分析，将表达式中各量用步骤一中定义的(ξ1,ξ2,ξ3)曲线坐标系中的真实物理量表示结果如下
其中，Rc表示裂纹前沿到对称轴z轴的距离；q表示裂尖处为1，外围道上为0的辅助函数；σ11、σ12、σ13、σ22和σ33表示应力张量σ在空间坐标系(ξ1,ξ2,ξ3)上的独立分量：即σ11表示应力张量σ在ξ1、ξ1方向的分量，可利用应力张量σ和单位基矢量表示为σ12表示应力张量σ在ξ1、ξ2方向的分量，可利用应力张量σ和单位基矢量表示为σ22表示应力张量σ在ξ2、ξ2方向的分量，可利用应力张量σ和单位基矢量表示为σ33表示应力张量σ在ξ3、ξ3方向的分量，可利用应力张量σ和单位基矢量表示为u1表示位移矢量场在ξ1方向上的分量，可表示为u2表示位移矢量场在ξ2方向上的分量，可表示为f1表示体积力矢量场在ξ1方向上的分量，可表示为f2表示体积力矢量场在ξ2方向上的分量，可表示为c1表示裂纹扩展趋势方向矢量在ξ1方向上的分量，可表示为c2表示裂纹扩展趋势方向矢量在ξ2方向上的分量，可表示为 表示的右梯度，表示的左梯度，表示的左梯度的右梯度(可交换左右梯度次序)；▽·σaux表示σaux的左散度；表示三阶张量与二阶张量的并联双点乘；均表示相应单位基矢量之间的并矢；表示求对ξi的一阶偏导数，表示求对ξi的二阶偏导数，表示求对ξi和ξj的混合偏导数，i,j＝1,2,3。
以上各量由对称性均仅为ξ1,ξ2的函数，代入I(s)的区域积分表达式中即可仅通过求该平面内二重积分求得I(s)。
步骤四：由于结构包含材料界面，所以将积分区域分成两个不同材料部分，考察材料界面的线积分形式，设定材料界面的粘接完好的特性，基于材料界面给出曲线坐标系。将材料界面上的特性引入界面积分项，使用链式法则推导沿着材料界面上的线积分，给出沿着材料界面上的线积分形式，得到对相互作用积分形式的影响。具体步骤如下
1.如图5所示，积分区域被材料界面分为两个区域，每个区域内的材料属性连续变化。同样，围绕积分区域Ω的封闭回路也被分为两个部分。相互作用积分的线积分形式可改写为
其中，所有积分路径均在ξ1-ξ2平面内，Γ0表示环绕裂纹前沿点s的无穷小围道；Γ11、Γ13分别表示包含住s点与Γ0的有限大围道在第一个区域的被裂纹面区分开的两个不同围道部分；Γ12表示包含住s点与Γ0的有限大围道在第二个区域的部分；表示沿着裂纹上表面的路径；表示沿着裂纹下表面的路径；Γinterface表示沿着材料界面的路径；上标“-”均代表环绕方向与不带上标“-”的路径相反；式4.1中前两项可按步骤二、三中的方法化为面积分计算，其中第三项为沿界面的表面积分，其表达式为
其中标有上角标(1)和(2)的变量表示该变量分别属于区域A1和区域A2。
根据前面辅助场的定义，辅助应力和辅助位移及其导数都连续，因此
由于为界面Γinterface的反方向路径，因此可表示为
2.不失一般性，考虑如图6所示的关于z轴对称的任意一个弯曲的材料界面Sinterface，其与过轴线的平面的交线为Γinterface，在界面上任意一点p处定义如下的一个正交曲线坐标系。代表空间点p的位置矢量；代表点p的界面外法向向量，l1表示过点p的向量所在的直线。选择过点p且过轴线的一个平面与Sinterface交于l2即Γinterface，再选择过l1且垂直于l2的平面与Sinterface交于l3，这样，正交曲线坐标系的三个坐标轴(η1、η2和η3轴)分别过直线l1、l2和l3，坐标量纲为长度。曲线坐标ηi对应的自然基矢量为
(η1,η2,η3)坐标系的正交单位基矢量定义如下
由上面的定义可知，且H1＝1。值得注意的是，本步骤四中之后标有下角标i、j、k和l的变量代表它们在(η1,η2,η3)坐标系中的分量。
3.将界面积分表示为张量形式
其中，为哈密顿Nabla算子
根据双材料界面Sinterface的平衡条件，界面两侧受力相同，即
界面粘接完好，界面上真实位移及其对面内曲线坐标η2,η3的导数连续，即
由于辅助应力σaux为二阶对称张量，应用真实位移场的位移-应变关系，式(4.7)第一项被积项为
在(η1,η2,η3)坐标系中，n1＝1,n2＝0,n3＝0，因此又由真实位移及其导数的连接条件，式4.11简化为
其中，uk代表位移在(η1,η2,η3)坐标系中的k方向上分量，j,k均取遍1,2,3进行求和。
由双材料界面Sinterface的平衡条件，界面两侧受力相同的条件知式4.7中第二项为0。
将式4.7被积函数中第三项在(η1,η2,η3)坐标系中展开
其中，cl为裂纹扩展趋势方向矢量在(η1,η2,η3)坐标系基矢量方向上的分量，
l＝1,2,3；
将式4.9，4.12和4.13全部代入表达式中得到
当界面穿过裂纹面时，同样可以得到的结果。只需将整个区域按照界面位置划分为三个区域，再进行如上类似的讨论即可。通过上面的讨论可以发现，无论材料界面与裂纹面之间的相对位置关系如何，积分区域内的材料界面对相互作用积分都没有影响。本发明开发的相互作用积分表达式不需要材料是连续的，因此对含复杂材料界面的受轴对称载荷的回转体的断裂研究是适用的。
步骤五：通过相互作用积分和回转体中应力强度因子的关系，令辅助强度因子取不同的值求解对应的应力强度因子。具体步骤如下
1.对于材料内部裂纹，相互作用积分与回转体中应力强度因子的关系为
其中，KI、KII和KIII分别代表I型、II型和III型的应力强度因子；对于非均匀材料，杨氏模量E(s)、泊松比ν(s)和剪切模量μ(s)是裂纹尖端s点处的材料属性。
由于所研究的轴对称情况下不会发生III型断裂，故KIII＝0，将和分别代入辅助场中进行计算，通过两次相互作用积分(分别记为I(1)(s),I(2)(s))分别计算得到I型和II型的应力强度因子
2.对于材料间界面裂纹，相互作用积分与回转体中应力强度因子的关系为
其中：
以上符号均与步骤一中含义相同且材料属性也均取为裂尖点处的材料属性。
由于所研究的轴对称情况下不会发生III型断裂，故KIII＝0，将和分别代入辅助场中进行计算，通过两次次相互作用积分(分别记为I(1)(s),I(2)(s))计算得到I型和II型的应力强度因子
为了说明上述方案的适用性，下面结合一个算例来进一步描述。
算例：含有内径裂纹的空心管道圆柱受均匀拉伸载荷
如图7所示，考虑一个三维的管道的内部含有一个边裂纹，管道长度1119.6mm，管道壁厚26mm，管道内径设计为多个值，裂纹长度为a＝6.25mm，将其简化为二维轴对称问题。图8给出三维回转体中模型的尺寸和材料属性分布和二维平面采用的有限元网格图。矩形板的上下边界均受到阶跃拉伸载荷P(t)的作用，载荷幅值σ0＝1MPa。
如图9所示，研究表明在裂纹长度不变的情况下，通过设计不同的管道内壁的半径，研究发现对于相同的网格和裂纹长度下，采用回转体模型与二维平面应力和平面应变状态下的数值均有较大差异，同时，通过设计管道不同内半径，可以发现内半径的变化对裂纹尖端动态强度因子影响显著，这表明了建立回转体模型对于实际管道研究的重要性。
此外，应当理解，虽然本说明书按照实施方式加以描述，但并非每个实施方式仅包含一个独立的技术方案，说明书的这种叙述方式仅仅是为清楚起见，本领域技术人员应当将说明书作为一个整体，各实施例中的技术方案也可以经适当组合，形成本领域技术人员可以理解的其他实施方式。
Claims (1)
1.一种求解回转体应力强度因子的相互作用积分方法，其特征在于，包括如下步骤：
步骤一：选用在过回转体对称轴的平面内的路径计算J积分，将真实场与辅助场代入J积分中；
步骤二：通过提取真实场和辅助场相互作用部分即得到相互作用积分的线积分形式，再利用辅助函数和斯托克斯公式将线积分转换为第二型曲面积分；
步骤三：将积分表达式用裂纹前沿曲线坐标系下的物理量进行表示，并基于对称性化简；
步骤四：由于结构包含材料界面，所以将积分区域分成两个不同材料部分，考察材料界面的线积分形式，设定材料界面的粘接完好的特性，基于材料界面给出曲线坐标系；将材料界面上的特性引入界面积分项，使用链式法则推导沿着材料界面上的线积分，给出载荷作用下沿着材料界面上的相互作用积分的线积分形式，得到对相互作用积分形式的影响；
步骤五：通过相互作用积分和回转体中应力强度因子的关系，令辅助强度因子取不同的值求解对应的应力强度因子；
所述步骤一中，选用在过回转体对称轴的平面内的路径计算J积分，将真实场与辅助场代入J积分中的具体步骤如下：
定义曲线坐标系，正交单位基矢量定义如下i＝1,2,3；其中，表示空间点的位置矢量，表示对ξi求偏导数；
其中，Rc代表环形裂纹前沿到对称轴z轴的距离，ξ1数值上代表空间点(x,y,z)到回转体的对称轴z轴的距离减去Rc的值，ξ2代表空间点(x,y,z)到x-y平面的距离，ξ3的绝对值代表过空间点(x,y,z)和对称轴z轴的平面和x轴一起所截取的裂纹前沿的长度，其正负号由以上表达式可确定；
将介质所受载荷引起的真实场与定义的辅助场叠加，代入到J积分表达式中，可以得到叠加后的J积分表达式为
其中，上式采用张量分量记法，全文各下标i,j,k,l取值范围为1～3并遵守爱因斯坦求和约定：当某下标仅出现一次时，则该下标为“自由指标”，须遍历该下标所有的取值；在同一项中，如果某一下标成对出现，则称为“哑指标”表示遍历其取值范围求和，只要等式左右两边自由指标能够对应，具体采用什么字母并不改变等式含义；s代表裂纹前沿某点，σik表示应力张量σ的i，k方向的分量，σij表示应力张量σ的i，j方向的分量，εik表示应变张量ε的i，k方向的分量，ui,l表示位移矢量在i方向上的分量对l方向的偏导数；δij为克罗内克尔符号；nj表示积分路径微元段在ξ1-ξ2平面内的法向向量的j号分量，方向由路径环绕方向确定；cl(s)表示s点处裂纹扩展趋势的单位方向向量的l号分量；Γ(s)表示包围点s的积分路径，表示Γ(s)为无穷小积分围道；dΓ表示积分路径的弧长微元；上角标带有aux项均为被定义的辅助场；
由辅助场定义可知，辅助应力和辅助位移为平面的平面和反平面裂纹尖端场，求裂纹前沿s点处的应力强度因子时，仅用到裂纹前沿s点处的材料属性，辅助应变场可通过辅助应力场与点处的本构关系求得
其中，表示所代表的空间点处的柔度张量S的i,j,k,l号分量，表示辅助应力张量场σaux的i,j方向的分量，表示辅助应变张量场εaux的i,j方向的分量；
这样设计的辅助场的特点是不再满足应力平衡关系和位移-应变几何关系，因此不具有真实物理意义，仅作为辅助量提取应力强度因子使用，若为斜裂纹，与x-y平面有夹角，则仅需通过转轴公式将以上辅助场分量作为平行于裂纹的分量，再变换到所定义的坐标系中即可；
步骤二中，通过提取真实场和辅助场相互作用部分即得到相互作用积分的线积分形式，再利用辅助函数和斯托克斯公式将线积分转换为第二型曲面积分的具体步骤如下：
其中J(s)为真实场所产生的J积分，Jaux(s)为辅助场所产生的J积分，I(s)即为s点处的相互作用积分；
其中，为哈密顿Nabla算子；为拉梅系数；I表示单位二阶张量；表示位移矢量场的左梯度；表示积分路径微元段在ξ1-ξ2平面内的法向向量；“·”表示张量点积；σaux:ε表示σaux与ε的并联双点积εij表示应变张量ε的i，j方向的分量；
重新构造积分路径并且构造辅助函数后得到相互作用积分为
其中，Γ-(s)表示绕行方向与Γ(s)方向相反；Γ2(s)表示沿着裂纹表面的积分路径，表示绕行方向与Γ2(s)相反；Γ3(s)表示包围了点s和Γ(s)的有限大的积分路径；辅助函数q(ξ1,ξ2)满足
利用斯托克斯公式转化为第二型曲面积分得：
其中，将斯托克斯公式使用后的曲面Ω取为ξ1-ξ2平面中积分路径所包围区域并根据右手螺旋法则确定平面区域Ω与其微元的法向量； 为ξ3方向单位基矢量；“×”符号表示矢量叉积；“▽×”符号表示求物理量的旋度；
利用张量分析公式转化得到该坐标系下相互作用积分的二重积分表达式
其中，表示物体所受体积力，表示s点处裂纹扩展趋势的方向向量，表示的右梯度；表示的左梯度的右梯度，可交换左右梯度次序；
步骤三中，将积分表达式用裂纹前沿曲线坐标系下的物理量进行表示，并基于对称性化简的具体步骤如下：
由张量分析，将表达式中各项用前文定义(ξ1,ξ2,ξ3)曲线坐标系中的真实物理量表示结果如下：
其中，q表示裂尖处为1，外围道上为0的辅助函数；σ11表示应力张量σ在ξ1、ξ1方向的分量，可利用应力张量σ和单位基矢量表示为σ12表示应力张量σ在ξ1、ξ2方向的分量，可利用应力张量σ和单位基矢量表示为σ22表示应力张量σ在ξ2、ξ2方向的分量，可利用应力张量σ和单位基矢量表示为σ33表示应力张量σ在ξ3、ξ3方向的分量，可利用应力张量σ和单位基矢量表示为u1表示位移矢量场在ξ1方向上的分量，可表示为u2表示位移矢量场在ξ2方向上的分量，可表示为f1表示体积力矢量场在ξ1方向上的分量，可表示为f2表示体积力矢量场在ξ2方向上的分量，可表示为c1表示裂纹扩展趋势方向矢量在ξ1方向上的分量，可表示为c2表示裂纹扩展趋势方向矢量在ξ2方向上的分量，可表示为表示σaux的左散度；表示三阶张量与二阶张量的并联双点乘；均表示相应单位基矢量之间的并矢；表示求对ξi的一阶偏导数，表示求对ξi的二阶偏导数，表示求对ξi和ξj的混合偏导数，i,j＝1,2,3；
以上各量由对称性均仅为ξ1,ξ2的函数，代入I(s)的区域积分表达式中即可仅通过求该平面内二重积分求得I(s)的具体表达式；
所述步骤四的具体步骤如下：
积分区域被材料界面分为两个区域A1和A2，每个区域内的材料属性连续变化，同样，围绕积分区域Ω的封闭回路也被分为两个部分，相互作用积分的线积分形式可改写为
其中，所有积分路径均在ξ1-ξ2平面内，Γ0表示环绕裂纹前沿点s的无穷小围道；Γ11、Γ13分别表示包含住s点与Γ0的有限大围道在第一个区域的被裂纹面区分开的两个不同围道部分；Γ12表示包含住s点与Γ0的有限大围道在第二个区域的部分；表示沿着裂纹上表面的路径；Γc -表示沿着裂纹下表面的路径；Γinterface表示沿着材料界面的路径；上标“-”均代表环绕方向与不带上标“-”的路径相反；式中前两项可按步骤二、三中的方法化为面积分计算，其中第三项为沿界面的表面积分，其表达式为
其中，标有上角标(1)和(2)的变量表示该变量分别属于区域A1和区域A2；
界面积分可简化为
由于辅助应力σaux为二阶对称张量，应用真实位移场的位移-应变关系，的第一项被积项为
考虑关于z轴对称的任意一个弯曲的材料界面Sinterface，其与过轴线的平面的交线为Γinterface，在界面上任意一点p处定义如下的一个正交曲线坐标系；代表空间点p的位置矢量；代表点p的界面外法向向量，l1表示过点p的向量所在的直线；选择过点p且过轴线的一个平面与Sinterface交于l2即Γinterface，再选择过l1且垂直于l2的平面与Sinterface交于l3，这样，正交曲线坐标系的三个坐标轴η1、η2和η3轴分别过直线l1、l2和l3，坐标量纲为长度，曲线坐标ηi对应的自然基矢量为
坐标系(η1,η2,η3)的正交单位基矢量定义如下
由上面的定义可知，且H1＝1；值得注意的是，本步骤中之后标有下角标i、j、k和l的变量代表它们在(η1,η2,η3)坐标系中的分量；
在(η1,η2,η3)坐标系中，n1＝1,n2＝0,n3＝0，因此又由真实位移及其导数的连接条件，第一项简化为
其中，uk代表位移在(η1,η2,η3)坐标系中的k方向上分量，j,k均取遍1,2,3进行求和；
由双材料界面Sinterface的平衡条件，界面两侧受力相同的条件知第二项为0；
将被积函数中第三项在(η1,η2,η3)坐标系中展开
其中，cl为裂纹扩展趋势方向矢量在(η1,η2,η3)坐标系基矢量方向上的分量，
将上面三项的结果全部代入表达式中得到
所述步骤五的具体步骤如下：
对于材料内部裂纹，相互作用积分与回转体中应力强度因子的关系为
其中，KI、KII和KIII分别代表I型、II型和III型的应力强度因子；对于非均匀材料，杨氏模量E(s)、泊松比ν(s)和剪切模量μ(s)是裂纹尖端s点处的材料属性；以上涉及材料属性的变量均取为裂纹前沿s点处的材料属性，下角标m均表示该变量取材料m的属性，定义
其中，SA为裂纹前沿的切平面--ξ1-ξ3平面；
由于所研究的轴对称情况下不会发生III型断裂，故KIII＝0，将和分别代入辅助场中进行计算，通过两次相互作用积分，分别记为I(1)(s),I(2)(s)，计算得到I型和II型的应力强度因子
对于材料间界面裂纹，相互作用积分与回转体中应力强度因子的关系为
其中：
以上符号均与步骤一中含义相同且材料属性也均取为裂尖点处的材料属性；
由于所研究的轴对称情况下不会发生III型断裂，故KIII＝0，将和分别代入辅助场中进行计算，通过两次相互作用积分，分别记为I(1)(s),I(2)(s)，计算得到I型和II型的应力强度因子
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