CN114169209A - 一种提取非均匀材料混合型弥散裂纹尖端参量的数值方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种提取非均匀材料混合型弥散裂纹尖端参量的数值方法，所述方法包括如下步骤：一：确定具有积分区域无关性的非均匀材料混合型弥散裂纹J积分表达式以及相应的有限元离散格式；二：建立含有混合型弥散裂纹的有限元模型并划分有限元网格；三：采用牛顿‑拉普森方法求解断裂相场模型非线性控制方程；四：根据非均匀材料混合型弥散裂纹J积分的有限元离散格式，基于有限元计算结果求解混合型弥散裂纹尖端参量—混合型应力强度因子K_I和K_II。本发明实现了对非均匀材料混合型弥散裂纹尖端参量的准确求解，弥补了传统断裂相场法无法准确刻画混合型弥散裂纹尖端受力状态的不足。

Description

一种提取非均匀材料混合型弥散裂纹尖端参量的数值方法

技术领域

本发明属于计算机模拟技术领域，涉及一种非均匀材料断裂问题求解方法，具体涉及一种提取非均匀材料混合型弥散裂纹尖端参量的数值方法。

背景技术

航空航天等国民经济诸多领域应用广泛的非均匀材料常常面临十分复杂的服役工况。在复杂载荷工况下，非均匀材料内部出现的混合型裂纹是限制其服役性能的关键因素之一。相较于传统的断裂力学方法，断裂相场法采用有限宽度的弥散裂纹模型，可以刻化裂纹形核以及复杂载荷工况下的裂纹扩展行为，在研究复杂载荷工况下非均匀材料的混合型断裂问题方面具有显著优势。

然而，由于弥散裂纹的尖端无法被精确定位，现有的断裂相场法难以对复杂载荷工况下混合型弥散裂纹尖端参量进行有效提取，因此，亟待提出一种能够有效提取非均匀材料混合型弥散裂纹尖端参量的数值方法。

发明内容

本发明的目的是提供一种提取非均匀材料混合型弥散裂纹尖端参量的数值方法，通过引入相场相关变量，推导非均匀材料混合型弥散裂纹的J积分表达式，理论证明混合型弥散裂纹J积分的积分区域(尺寸和形状)无关性；基于有限元方法，对混合型弥散裂纹J积分进行数值实现，对比传统断裂力学方法，验证混合型弥散裂纹J积分的有效性，从而实现混合型弥散裂纹尖端参量的求解。

本发明的目的是通过以下技术方案实现的：

一种提取非均匀材料混合型弥散裂纹尖端参量的数值方法，包括如下步骤：

步骤一：引入断裂相场模型的相场变量d，推导非均匀材料混合型弥散裂纹J积分满足积分区域无关性的充要条件，确定具有积分区域无关性的非均匀材料混合型弥散裂纹J积分表达式以及相应的有限元离散格式，其中：

具有积分区域无关性的非均匀材料混合型弥散裂纹J积分表达式为：

具有积分区域无关性的非均匀材料混合型弥散裂纹J积分的有限元离散格式为：

其中，q为光滑函数，σ_ij为应力张量，u_i为位移张量，ξ_j为相场应力，ψ_e为应变能，δ_kj为Kronecker函数，

为对空间坐标x_k的偏导数，A为封闭曲线Γ包围的面积，N_e为积分区域内的单元数，P为每个单元内的积分点个数，|J|_p为某一积分点p的雅各比行列式，w_p为该积分点的权重，i,j,k＝1,2；

步骤二：借助有限元软件，建立含有混合型弥散裂纹的有限元模型并划分有限元网格，为了符合有限元仿真的收敛性要求，对混合型弥散裂纹尖端附近区域进行网格细化，定义边界条件、混合型载荷信息和材料属性信息等；

步骤三：针对步骤二建立的混合型弥散裂纹有限元模型，通过有限元软件调用断裂相场模型的计算子程序，采用牛顿-拉普森方法求解断裂相场模型非线性控制方程，输出载荷、位移、应力、应变和相场分布等信息；

步骤四：根据步骤一的非均匀材料混合型弥散裂纹J积分的有限元离散格式，编写非均匀材料混合型弥散裂纹J积分的计算程序；基于步骤三的有限元计算结果求解混合型弥散裂纹尖端参量—混合型应力强度因子K_I和K_II，其中：

混合型应力强度因子K_I和K_II的计算公式如下：

其中，

为非均匀材料混合型弥散裂纹J积分(k＝1,2)，E_tip和ν_tip分别为裂纹尖端处的杨氏模量和泊松比。

相比于现有技术，本发明具有如下优点：

1、本发明引入断裂相场模型的相场变量d，通过构造混合型弥散裂纹尖端的区域守恒积分求解非均匀材料混合型弥散裂纹尖端参量(混合型应力强度因子K_I和K_II)。相比于传统方法，本发明对于非均匀材料的混合型弥散裂纹问题仍然具有积分区域无关性，实现了对非均匀材料混合型弥散裂纹尖端参量(混合型应力强度因子K_I和K_II)的准确求解，弥补了传统断裂相场法无法准确刻画混合型弥散裂纹尖端受力状态的不足。

2、通过改变模型信息、边界条件、载荷信息、材料属性信息等，本发明可以实现对不同材料在不同应力状态下的混合型弥散裂纹尖端参量(混合型应力强度因子K_I和K_II)的求解。

3、本发明的方法适用于复杂载荷工况下具有复杂材料属性的非均匀材料混合型断裂问题，计算精度及效率高，基于通用有限元计算软件平台开发实现，通用性灵活性强。

附图说明

图1为提取非均匀材料混合型弥散裂纹尖端参量的数值方法的流程框图；

图2为含单边混合型裂纹的非均匀材料试样：(a)几何形状、边界条件、载荷条件；(b)材料属性分布示意图；

图3为含单边混合型裂纹非均匀材料试样的有限元网格示意图；

图4为采用断裂相场法模拟的非均匀材料试样的混合型弥散裂纹形貌图；

图5为采用非均匀材料混合型弥散裂纹J积分求解的混合型应力强度因子K_I和K_II。

具体实施方式

下面结合附图对本发明的技术方案作进一步的说明，但并不局限于此，凡是对本发明技术方案进行修改或者等同替换，而不脱离本发明技术方案的精神和范围，均应涵盖在本发明的保护范围中。

如图1所示，本发明提供了一种提取非均匀材料混合型弥散裂纹尖端参量的数值方法，获得国家自然科学基金(项目批准号：12002106)和机械结构强度与振动国家重点实验室(西安交通大学)开放课题(项目批准号：SV2021-KF-07)的支持。具体包括如下步骤：

步骤一：针对断裂相场法的非均匀材料混合型弥散裂纹模型，引入相场变量d，量化材料非均匀性和相场变量对混合型J积分守恒性的影响。非均匀材料的基本材料属性(如杨氏模量、泊松比等)和相应的断裂相场法输入参数(特征长度参数、断裂能密度等)均是空间位置的函数，对空间坐标的导数一般不为0，因此，综合考虑这些因素对混合型J积分守恒性的影响，推导具有积分区域无关性的非均匀材料混合型弥散裂纹J积分表达式，推导结果如下：

ψ＝ψ_e+ψ_f；

其中，

为混合型弥散裂纹的能量-动量张量，Γ为包围着混合型弥散裂纹尖端的任意一条封闭曲线，A为封闭曲线Γ包围的面积，n_j为封闭曲线Γ的外法线单位向量，ψ为系统自由能，ψ_e为应变能，ψ_f为断裂能，δ_kj为Kronecker函数，σ_ij为应力张量，u_i为位移张量，ξ_j为相场应力，

为对空间坐标x_k的偏导数，g(d)为能量退化函数，C_ijkl(x)为材料的四阶刚度张量，ε_ij为应变张量，g_f(x)为断裂能密度(即形成单位面积的弥散裂纹所需的能量)，l_c(x)为长度尺度参数，ω_d为几何函数，c_ω为一个与几何函数相关的缩放系数，

为哈密顿微分算子，i,j,k,l,m＝1,2。

由于J积分的线积分形式不利于数值计算，一般需要将其转化为便于有限元实现的等效区域积分形式。基于散度定理，推导非均匀材料混合型弥散裂纹J积分的等效区域积分表达式，推导结果如下：

其中，q为光滑函数(在裂纹尖端的取值为1，在A的边界Γ上为0)。

为了将相场断裂模型中的能量释放率与传统线弹性断裂力学相关联，重新定义有效混合型能量-动量张量

非均匀材料具有积分区域无关性的混合型等效区域积分

可定义为

基于有限元思想，推导非均匀材料混合型弥散裂纹J积分的有限元离散格式，推导结果如下：

其中，N_e为积分区域内的单元数；P为每个单元内的积分点个数；|J|_p为某一积分点p的雅各比行列式；w_p为该积分点的权重。

步骤二：借助有限元软件ABAQUS，建立含有混合型弥散裂纹的有限元模型并划分有限元网格；为了确保计算精度，对混合型弥散裂纹尖端附近区域进行网格细化；定义边界条件、混合型载荷信息和材料属性信息等；生成包含单元、节点、边界条件、载荷、材料属性等模型信息的abaqus.inp文件。

步骤三：修改abaqus.inp文件，写入调用断裂相场模型UEL和UMAT子程序subroutine.for的命令行，将输入文件abaqus.inp及子程序文件subroutine.for提交至ABAQUS软件，并输入相应的命令进行求解计算。计算完成后，通过ABAQUS软件查看计算结果，输出载荷、位移、应力、应变和相场分布等信息，结果文件命名为data.out。

步骤四：通过MATLAB语言编写非均匀材料混合型弥散裂纹J积分的计算程序，基于ABAQUS输出的结果信息计算混合型弥散裂纹的J积分(即混合型弥散裂纹尖端的能量释放率)。混合型应力强度因子的计算公式如下：

其中，E_tip和ν_tip分别为裂纹尖端处的杨氏模量和泊松比。根据上式，可以分别求解平面应力和平面应变状态下非均匀材料混合型弥散裂纹尖端的混合型应力强度因子K_I和K_II。通过选取不同大小的积分区域，对比验证该混合型弥散裂纹J积分方法的积分区域无关性，并且对比传统J积分计算结果验证其有效性。

为了说明本发明上述方案的性能，下面结合一个算例来进一步描述。

考虑一个处于平面应力状态下的非均匀材料混合型断裂问题。如图2(a)所示，一个矩形板的侧边开有一个倾斜裂纹，裂纹面与侧边的夹角为

矩形板的宽度和高度分别为W＝70mm和H＝90mm，厚度为0.406mm。裂纹的长度a＝26mm，裂纹尖端到底边的距离h＝45mm。矩形板的底部受到约束，并在顶部施加沿着矩形板高度方向的位移载荷V₀＝0.95mm。位移增量取为ΔV＝5.0×10^-3mm。如图2(b)所示，矩形板的材料属性沿X₁方向梯度变化，其中，裂纹面与X₁轴的夹角γ＝-30°，裂纹尖端到原料板侧边的距离c＝43mm。如图3所示，为了确保计算精度，对混合型弥散裂纹尖端所在区域进行网格细化，细化区域的有效网格尺寸大约为0.04mm，特征长度参数l_c＝0.2mm。有限元模型总共包含66564个完全积分的四边形单元，66713个节点，共200139个自由度。

矩形板的材料属性为：

图4显示了采用断裂相场法模拟的非均匀材料试样的混合型弥散裂纹形貌图。图5显式了不同积分区域大小的混合型弥散裂纹尖端应力强度因子K_I和K_II的计算结果。可以看出，当积分区域的尺寸r＞5mm时，本发明的非均匀材料混合型弥散裂纹J积分方法的计算结果，即混合型应力强度因子K_I和K_II，均不随积分区域尺寸的改变而改变。结果表明，本发明的非均匀材料混合型弥散裂纹J积分方法具有积分区域无关性。本发明的计算结果为：K_I＝23.28MPa·mm^1/2，K_II＝7.70MPa·mm^1/2。上述结果与离散裂纹断裂力学方法(

E,Gallego R.Numerical analysis of quasi-static fracture infunctionally graded materials.International Journal of Mechanics andMaterials in Design,2014,11(4):405-424.)的计算结果(K_I＝23.20MPa·mm^1/2，K_II＝8.13MPa·mm^1/2)对比，K_I的相对误差为0.34％，K_II的相对误差为-5.29％，对比验证了本发明上述方案的有效性。

以上算例验证了本发明上述技术方案的积分区域无关性和有效性。

Claims (3)

1.一种提取非均匀材料混合型弥散裂纹尖端参量的数值方法，其特征在于所述方法包括如下步骤：

步骤一：引入断裂相场模型的相场变量d，推导非均匀材料混合型弥散裂纹J积分满足积分区域无关性的充要条件，确定具有积分区域无关性的非均匀材料混合型弥散裂纹J积分表达式以及相应的有限元离散格式；

步骤二：借助有限元软件，建立含有混合型弥散裂纹的有限元模型并划分有限元网格，对混合型弥散裂纹尖端附近区域进行网格细化，定义边界条件、混合型载荷信息和材料属性信息；

步骤三：针对步骤二建立的混合型弥散裂纹有限元模型，采用牛顿-拉普森方法求解断裂相场模型非线性控制方程，输出载荷、位移、应力、应变和相场分布信息；

步骤四：根据步骤一的非均匀材料混合型弥散裂纹J积分的有限元离散格式，基于步骤三的有限元计算结果求解混合型弥散裂纹尖端参量—混合型应力强度因子K_I和K_II。

2.根据权利要求1所述的提取非均匀材料混合型弥散裂纹尖端参量的数值方法，其特征在于所述步骤一中，具有积分区域无关性的非均匀材料混合型弥散裂纹J积分表达式为：

具有积分区域无关性的非均匀材料混合型弥散裂纹J积分的有限元离散格式为：

其中，q为光滑函数，σ_ij为应力张量，u_i为位移张量，ξ_j为相场应力，ψ_e为应变能，δ_kj为Kronecker函数，

为对空间坐标x_k的偏导数，A为封闭曲线Γ包围的面积，N_e为积分区域内的单元数，P为每个单元内的积分点个数，|J|_p为某一积分点p的雅各比行列式，w_p为该积分点的权重，i,j,k＝1,2。

3.根据权利要求1所述的提取非均匀材料混合型弥散裂纹尖端参量的数值方法，其特征在于所述步骤四中，混合型应力强度因子K_I和K_II的计算公式如下：

其中，

为非均匀材料混合型弥散裂纹J积分，k＝1,2，E_tip和ν_tip分别为裂纹尖端处的杨氏模量和泊松比。

Images