CN111783319A - 功能梯度多层磁电弹性纳米板的弯曲变形解析方法及装置 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种功能梯度多层磁电弹性纳米板的弯曲变形解析方法及装置。该方法包括：先建立三维坐标系；建立耦合本构关系公式、扩展应变‑位移关系式、平衡方程；先计算简支边界条件下的功能梯度磁‑电‑弹性纳米板的扩展位移矢量，再根据扩展位移矢量依次代入扩展应变‑位移关系式、耦合本构关系公式以及平衡方程，获得线性本征方程组，最后确定一般解公式以计算出通解；先确定通解表达式，再在顶面施加力载荷和电载荷，然后求解各层任意深度处的扩展位移矢量和应力矢量，最后计算出所有量以及相应面内分量。本发明有助于揭示小尺度力学行为，为功能梯度磁电弹纳米多层板的设计和应用、工程智能结构微型化设计和制造提供理论依据。

Description

功能梯度多层磁电弹性纳米板的弯曲变形解析方法及装置

技术领域

本发明涉及功能梯度磁电弹纳米多层板分析技术领域的一种弯曲变形解析方法，尤其涉及一种功能梯度多层磁电弹性纳米板的弯曲变形解析方法，还涉及应用该方法的功能梯度多层磁电弹性纳米板的弯曲变形解析装置。

背景技术

随着器件小型化的发展趋势，磁电弹性纳米材料(如BiFeO₃，BiTiO₃-CoFe₂O₄，NiFe₂O₄-PZT)及其纳米结构(如纳米线、纳米膜)近年来引起了研究领域的广泛关注。由于磁电弹纳米材料具有良好的电、磁、力等性能以及优越的力电磁耦合效应，因此其在纳米电子学、非破坏性存储器、可切换光伏特等领域具有潜在的应用前景。众所周知，纳米结构具有尺度相关性，其性质与尺寸有关。大量的实验和原子模拟证实了尺度依赖性存在于磁电弹纳米结构中。而经典弹性理论不能用于描述微纳米结构的尺度依赖性。因此，各种与尺度依赖性相关的连续理论被研究者们所提出。近年来，非局部弹性理论被广泛的应用于磁电弹纳米结构尺寸效应的研究。

功能梯度材料在20世纪80年代中期由一组研究航空航天问题的日本研究人员首次提出。功能梯度材料由至少两相非均匀复合材料组成并以材料连续平滑变化的方式合成。与传统的复合材料相比，功能梯度材料可以避免应力集中，并且具应力扩散更好、强度因子更低、抗热性能更好等特性。功能梯度材料的这些优点满足了航天、民用、核、力学、电子等多个工程领域的设计要求。功能梯度材料在微/纳米器件和系统中得到了广泛的应用，如微/纳米机电系统(MEMS和NEMS)等。近年来功能梯度磁电弹纳米结构引起了人们的广泛关注。

但是，现有的功能梯度纳米磁电弹层合板小尺度力学行为并未有很好的解析确定方法，尤其是其会出现静态三维(3D)弯曲变形，而目前的相关解析方法在这方面的求解精度非常低，不适用于对功能梯度多层磁电弹性纳米板的静态弯曲变形进行分析，因此需要一种能够表面载荷作用下功能梯度多层磁电弹性纳米板的精确解的求解方法。

发明内容

为解决现有的解析方法对功能梯度多层磁电弹性纳米板的静态弯曲变形进行解析存在精度低的技术问题，本发明提供一种功能梯度多层磁电弹性纳米板的弯曲变形解析方法及装置。

本发明采用以下技术方案实现：一种功能梯度多层磁电弹性纳米板的弯曲变形解析方法，其用于对磁-电-弹性材料构成的功能梯度多层纳米板在表面机械载荷和电载荷作用下的静态弯曲变形进行求解，其包括以下步骤：

(1)先建立所述功能梯度多层纳米板的三维坐标系，再沿着厚度方向在所述功能梯度多层纳米板的两端面上施加电弹性载荷，且电场极化方向与所述厚度方向相同；

(2)基于所述三维坐标系，先根据所述磁-电-弹性材料的应力、电位移和磁感应同应变、电场、磁场、弹性系数、介电系数、磁导率系数、压电系数、压磁系数和磁电系数之间关系，建立所述功能梯度多层纳米板的各向异性线性磁-电-弹性材料的耦合本构关系公式，并确定沿着所述电场极化方向上的功能梯度材料的材料系数公式一以及各向同性材料的材料系数公式二，再建立所述应变、所述电场和所述磁场同弹性位移、电势和磁势的扩展应变-位移关系式，最后确定所述应力、所述电位移和所述磁感应的平衡方程；

(3)先计算简支边界条件下的功能梯度磁-电-弹性纳米板的扩展位移矢量，再根据所述扩展位移矢量依次代入所述扩展应变-位移关系式、所述耦合本构关系公式以及所述平衡方程，获得特征方程，然后通过多个向量对所述特征方程进行化简以获得线性本征方程组，最后确定所述功能梯度多层纳米板不含正弦和余弦的扩展位移矢量和应力矢量的一般解公式，以计算出作为简支边界条件下的功能梯度磁-电-弹性纳米板具有非局部效应的扩展位移和应力的通解；

(4)先根据扩展位移和应力的通解，通过传播矩阵确定所述功能梯度多层纳米板各层中广义位移和应力的通解表达式，并重复所述通解表达式中的传播关系，将通解从所述功能梯度多层纳米板的底面传递至顶面，并获得对应的矩阵传播关系，再在所述功能梯度多层纳米板的顶面施加力载荷和电载荷，然后根据所述矩阵传播关系，求解所述功能梯度多层纳米板的上下表面的未知扩展位移，并确定各层任意深度处的扩展位移矢量和应力矢量，最后计算出所述功能梯度多层纳米板在任意深度位移和应力的所有量以及相应面内分量。

本发明通过先建立三维坐标系，并确定电场极化方向与厚度方向相一致，再基于三维坐标系，通过磁-电-弹性材料的材料系数建立耦合本构关系公式，并获取扩展应变-位移关系式以及平衡方程，然后计算简支边界条件下的功能梯度磁-电-弹性纳米板的扩展位移矢量并依次带入扩展应变-位移关系式、耦合本构关系公式以及平衡方程，获得特征方程，并对特征方程进行简化，以获得正弦和余弦的扩展位移矢量和应力矢量的一般解公式，进而可以计算出相应的通解，最后根据通解和传播矩阵，确定通解表达式，获得矩阵传播关系，并施加力载荷和电载荷，求解功能梯度多层纳米板的上下表面的未知扩展位移、各层任意深度处的扩展位移矢量和应力矢量，而后就能够计算出任意深度位移和应力的所有量以及相应面内分量，得到精确解，解决了现有的解析方法对功能梯度多层磁电弹性纳米板的静态弯曲变形进行解析存在精度低的技术问题，得到了求解精度高，有助于揭示功能梯度纳米磁电弹层合板小尺度力学行为，为功能梯度磁电弹纳米多层板的设计和应用提供理论依据，为工程智能结构微型化设计和制造提供重要的理论依据的技术效果。

作为上述方案的进一步改进，在步骤(1)中，以所述功能梯度多层纳米板的底面的一个角点为所述三维坐标系的坐标原点，且所述三维坐标系为笛卡儿坐标系(x,y,z)；定义所述电场极化方向为z方向，且所述功能梯度多层纳米板位于正z区域；定义所述功能梯度多层纳米板的第j层的下界面记为z_j-1，上界面记为z_j，且第j层的厚度记为h_j＝z_j-z_j-1，并满足板厚度H＝h₁+h₂+…+h_N；

在步骤(2)中，所述耦合本构关系公式为：

式中，

为三维拉普拉斯算子；l＝e₀a为非局部长度，a为内部特征长度，e₀是与给定材料相关的一个常数；σ_i、D_i和B_i分别为所述应力、所述电位移和所述磁感应；γ_i、E_i和H_i分别为所述应变、所述电场和所述磁场；C_ijkl、ε_ij和μ_ij分别为所述弹性系数、所述介电系数和所述磁导率系数；e_ij、q_ij和d_ij分别为所述压电系数、所述压磁系数和所述磁电系数。

本发明还提供一种功能梯度多层磁电弹性纳米板的弯曲变形解析装置，其应用上述任意所述的功能梯度多层磁电弹性纳米板的弯曲变形解析方法，其特征在于，其包括：

结构建立模块，其用于先建立所述功能梯度多层纳米板的三维坐标系，再沿着厚度方向在所述功能梯度多层纳米板的两端面上施加电弹性载荷，且电场极化方向与所述厚度方向相同；

多方程确定模块，其用于基于所述三维坐标系，先根据所述磁-电-弹性材料的应力、电位移和磁感应同应变、电场、磁场、弹性系数、介电系数、磁导率系数、压电系数、压磁系数和磁电系数之间关系，建立所述功能梯度多层纳米板的各向异性线性磁-电-弹性材料的耦合本构关系公式，并确定沿着所述电场极化方向上的功能梯度材料的材料系数公式一以及各向同性材料的材料系数公式二，再建立所述应变、所述电场和所述磁场同弹性位移、电势和磁势的扩展应变-位移关系式，最后确定所述应力、所述电位移和所述磁感应的平衡方程；

通解求解模块，其用于先计算简支边界条件下的功能梯度磁-电-弹性纳米板的扩展位移矢量，再根据所述扩展位移矢量依次代入所述扩展应变-位移关系式、所述耦合本构关系公式以及所述平衡方程，获得特征方程，然后通过多个向量对所述特征方程进行化简以获得线性本征方程组，最后确定所述功能梯度多层纳米板不含正弦和余弦的扩展位移矢量和应力矢量的一般解公式，以计算出作为简支边界条件下的功能梯度磁-电-弹性纳米板具有非局部效应的扩展位移和应力的通解；

精确解求解模块，其用于先根据扩展位移和应力的通解，通过传播矩阵确定所述功能梯度多层纳米板各层中广义位移和应力的通解表达式，并重复所述通解表达式中的传播关系，将通解从所述功能梯度多层纳米板的底面传递至顶面，并获得对应的矩阵传播关系，再在所述功能梯度多层纳米板的顶面施加力载荷和电载荷，然后根据所述矩阵传播关系，求解所述功能梯度多层纳米板的上下表面的未知扩展位移，并确定各层任意深度处的扩展位移矢量和应力矢量，最后计算出所述功能梯度多层纳米板在任意深度位移和应力的所有量以及相应面内分量。

相较于现有解析方法，本发明的功能梯度多层磁电弹性纳米板的弯曲变形解析方法及装置具有以下有益效果：

1、该功能梯度多层磁电弹性纳米板的弯曲变形解析方法，其先建立三维坐标系，并确定电场极化方向与厚度方向相一致，再基于三维坐标系，通过磁-电-弹性材料的材料系数建立耦合本构关系公式，并获取扩展应变-位移关系式以及平衡方程，然后计算简支边界条件下的功能梯度磁-电-弹性纳米板的扩展位移矢量并依次带入扩展应变-位移关系式、耦合本构关系公式以及平衡方程，获得特征方程，并对特征方程进行简化，以获得正弦和余弦的扩展位移矢量和应力矢量的一般解公式，进而可以计算出相应的通解，最后根据通解和传播矩阵，确定通解表达式，获得矩阵传播关系，并施加力载荷和电载荷，求解功能梯度多层纳米板的上下表面的未知扩展位移、各层任意深度处的扩展位移矢量和应力矢量，而后就能够计算出任意深度位移和应力的所有量以及相应面内分量，得到精确非局部解析解。这样，该精确解析解可以反映功能梯度磁电弹多层纳米板弯曲变形的尺度效应，有助于揭示功能梯度纳米磁电弹层合板小尺度力学行为，为功能梯度磁电弹纳米多层板的设计和应用提供理论依据，为工程智能结构微型化设计和制造提供重要的理论依据，而且应用于工程实际，可进一步带动经济发展和提高社会效益。

2、该功能梯度多层磁电弹性纳米板的弯曲变形解析方法，其能够获得微纳米磁电弹复合材料层合板的静态变形，为小尺度微纳米智能结构力学行为提供厚板理论参考分析，而且能够给出微纳米功能梯度磁电弹复合材料层合板受表面载荷的变形，并得出尺度参数、指数率参数、铺层方式以及载荷形式对功能结构变形的影响规律，所得结果适用于微纳米尺度下的功能梯度磁电弹的三维多层板，为智能材料微型化提供理论指导。

3、该功能梯度多层磁电弹性纳米板的弯曲变形解析装置，其有益效果与上述功能梯度多层磁电弹性纳米板的弯曲变形解析方法的有益效果相同，在此不再做赘述。

附图说明

图1为本发明实施例1的功能梯度多层磁电弹性纳米板的弯曲变形解析方法的纳米板结构图；

图2为本发明实施例2的功能梯度多层磁电弹性纳米板的弯曲变形解析方法中功能梯度指数因子分布图；

图3为本发明实施例2中力载荷作用下位移ux和uz沿厚度方向的变化图；

图4为图3的力载荷作用下电势

和磁势ψ沿厚度方向的变化图；

图5为图3的力载荷作用下面外应力σxz和σzz沿厚度方向的变化图；

图6为图3的力载荷作用下面内应力σxx和σxy沿厚度方向的变化图；

图7为图3的力载荷作用下磁感应强度Bx和Bz沿厚度方向的变化图；

图8为图3的力载荷作用下电位移Dx和Dz沿厚度方向的变化图；

图9为本发明实施例3中力载荷作用下弹电位移ux和uz沿厚度方向的变化图；

图10为图9的力载荷作用下电势

和磁势ψ沿厚度方向的变化图；

图11为图9的力载荷作用下面外应力σxz和σzz沿厚度方向的变化图；

图12为图9的力载荷作用下面内应力σxx和σxy沿厚度方向的变化图；

图13为图9的力载荷作用下磁感应强度Bx和Bz沿厚度方向的变化图；

图14为图9的力载荷作用下电位移Dx和Dz沿厚度方向的变化图；

图15为本发明实施例4中电载荷作用下位移ux和uz沿厚度方向的变化图；

图16为图15的电载荷作用下电势

和磁势ψ沿厚度方向的变化图；

图17为图15的电载荷作用下面外应力σxz和σzz沿厚度方向的变化图；

图18为图15的电载荷作用下面内应力σxx和σxy沿厚度方向的变化图；

图19为图15的电载荷作用下磁感应强度Bx和Bz沿厚度方向的变化图；

图20为图15的电载荷作用下电位移Dx和Dz沿厚度方向的变化图；

图21为本发明实施例5中电载荷作用下弹电位移ux和uz沿厚度方向的变化图；

图22为图21的电载荷作用下电势

和磁势ψ沿厚度方向的变化图；

图23为图21的电载荷作用下面外应力σxz和σzz沿厚度方向的变化图；

图24为图21的电载荷作用下面内应力σxx和σxy沿厚度方向的变化图；

图25为图21的电载荷作用下磁感应强度Bx和Bz沿厚度方向的变化图；

图26为图21的电载荷作用下电位移Dx和Dz沿厚度方向的变化图。

具体实施方式

为了使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚明白，以下结合附图及实施例，对本发明进行进一步详细说明。应当理解，此处所描述的具体实施例仅用以解释本发明，并不用于限定本发明。

实施例1

请参阅图1，本实施例提供了一种功能梯度多层磁电弹性纳米板的弯曲变形解析方法，该解析方法用于对磁-电-弹性材料构成的功能梯度多层纳米板在表面机械载荷和电载荷作用下的静态弯曲变形进行求解。在本实施例中，设定功能梯度材料沿厚度方向呈指数分布，各层界面位移和应力连续，采用传递矩阵法，得到多层板的求解结果。其中，该弯曲变形解析方法包括以下四个主要步骤。

(1)先建立功能梯度多层纳米板的三维坐标系，再沿着厚度方向在功能梯度多层纳米板的两端面上施加电弹性载荷，且电场极化方向与厚度方向相同。在本实施例中，通过引入一个多层的矩形四边简支功能梯度磁电弹纳米板以作为功能梯度多层纳米板的示例，长和宽分别为L_x和L_y，总厚z＝H。以功能梯度多层纳米板的底面的一个角点为三维坐标系的坐标原点，且三维坐标系为笛卡儿坐标系(x,y,z)；定义电场极化方向为z方向，且功能梯度多层纳米板位于正z区域；定义功能梯度多层纳米板的第j层的下界面记为z_j-1，上界面记为z_j，且第j层的厚度记为h_j＝z_j-z_j-1，并满足板厚度H＝h₁+h₂+…+h_N。层合板各层材料属性可以是不同的，在多层板的表面施加电弹性载荷。在各层界面处，假设扩展位移矢量和应力矢量连续。

(2)基于三维坐标系，先根据磁-电-弹性材料的应力、电位移和磁感应同应变、电场、磁场、弹性系数、介电系数、磁导率系数、压电系数、压磁系数和磁电系数之间关系，建立功能梯度多层纳米板的各向异性线性磁-电-弹性材料的耦合本构关系公式，并确定沿着电场极化方向上的功能梯度材料的材料系数公式一以及各向同性材料的材料系数公式二，再建立应变、电场和磁场同弹性位移、电势和磁势的扩展应变-位移关系式，最后确定应力、电位移和磁感应的平衡方程。

在本实施例的多层纳米板中，任意一点的应力不仅和该点应变有关，而且和结构中其它所有各点的应变都有关，任意一点的应力是结构中所有点的应变的函数。本实施例定义非局部影响为格林函数算子，当然在其他实施例中可以为其他函数算子，因此，具有非局部效应的各向异性线性磁电弹材料耦合本构关系公式为：

式中，

为三维拉普拉斯算子；l＝e₀a为非局部长度，a为内部特征长度，e₀是与给定材料相关的一个常数；σ_i、D_i和B_i分别为所述应力、所述电位移和所述磁感应；γ_i、E_i和H_i分别为所述应变、所述电场和所述磁场；C_ijkl、ε_ij和μ_ij分别为所述弹性系数、所述介电系数和所述磁导率系数；e_ij、q_ij和d_ij分别为所述压电系数、所述压磁系数和所述磁电系数。

对于沿z方向呈指数变化的功能梯度材料，材料系数公式一为：

其中，η为功能梯度指数因子，表示材料在z方向上的梯度程度，η＝0表示一个均质材料的情况，上标0表示均质材料的材料常数情况。

对于沿z方向呈指数变化的功能梯度材料，材料系数公式二为：

扩展应变-位移关系式为：

γ_ij＝(u_i,j+u_j,i)/2,

H_i＝-ψ_i (5)

其中，u、

和ψ分别表示弹性位移、电势和磁势。

定义体力为0时，平衡方程为：

σ_ij,j＝0,D_ij,j＝0,B_ij,j＝0 (6)

(3)先计算简支边界条件下的功能梯度磁-电-弹性纳米板的扩展位移矢量，再根据扩展位移矢量依次代入扩展应变-位移关系式、耦合本构关系公式以及平衡方程，获得特征方程，然后通过多个向量对特征方程进行化简以获得线性本征方程组，最后确定功能梯度多层纳米板不含正弦和余弦的扩展位移矢量和应力矢量的一般解公式，以计算出作为简支边界条件下的功能梯度磁-电-弹性纳米板具有非局部效应的扩展位移和应力的通解。

对于简支边界条件下的功能梯度磁-电-弹性纳米板，其扩展位移矢量的计算公式为：

其中，

p＝nπ/L_x,q＝mπ/L_y (8)

式中，n和m为两个正整数，s和a_i是需要确定的待定系数，i＝1-5。简支边界条件下为：

将(7)式代入(5)式继而再代入(1)式，最后代入(6)式的平衡方程，最终得到以下的特征方程：

[Q-ηR^T+s(R-R^T+ηT)+s²T]a＝0 (10)

且有：

a＝{a₁,a₂,a₃,a₄,a₅}^T (11)

其中，上标T表示矩阵的转置。

当梯度系数η＝0时，公式(10)即简化为相应均匀情况的特征方程。

定义扩展的应力向量t满足平衡方程且为：

功能梯度多层纳米板的面内应力和电位移、磁位移为：

定义两个向量且分别为：

b＝{b₁,b₂,b₃,b₄,b₅}^T,c＝{c₁,c₂,c₃,c₄,c₅,c₆,c₇}^T (16)

利用式(1)中的本构关系和式(7)中的位移表达式，向量c与a之间的关系为：

向量b和a之间的关系为：

应该注意的是,如果非局部长度l趋于0，向量a和b之间的关系就转化成局部情况，如果指数因子η趋于0，向量a和b之间转化成均匀情况。

为了求解特征方程(10)，定义一个中间线性变换向量且为：

通过向量a、d获得线性本征方程组，且线性本征方程组为：

式中：

由公式(20)可以得到10个特征值s_i(i＝1～10)。对于每一个特征值s_i都对应一个相应的特征向量。向量a由前五个特征向量组成，向量d后五个特征向量组成。只保留与a相关的特征向量部分，b的部分可以由a向量得到。

接着，一般解公式为：

式中：

公式(23)中，向量K₁和K₂是两个需要从边界条件确定的5×1常数列向量。公式(23)即为简支功能梯度磁-电-弹纳米板具有非局部效应的扩展位移和应力的通解。

(4)先根据扩展位移和应力的通解，通过传播矩阵确定功能梯度多层纳米板各层中广义位移和应力的通解表达式，并重复通解表达式中的传播关系，将通解从功能梯度多层纳米板的底面传递至顶面，并获得对应的矩阵传播关系，再在功能梯度多层纳米板的顶面施加力载荷和电载荷，然后根据矩阵传播关系，求解功能梯度多层纳米板的上下表面的未知扩展位移，并确定各层任意深度处的扩展位移矢量和应力矢量，最后计算出功能梯度多层纳米板在任意深度位移和应力的所有量以及相应面内分量。

通过公式(23)，对于j层的常数向量K₁和K₂可以表示为：

对于j层中位置z处通解表达式为：

P_j(z)为传播矩阵。

传播矩阵满足：

重复利用公式(26)的传播关系，并假设扩展位移矢量和应力矢量在每个界面上都是连续的，将解从多层功能梯度纳米板的底面z＝0传递到顶面(z＝H)。因此，得到矩阵传播关系为：

式中，Q＝P_N(h_N)P_N-1(h_N-1)L P₂(h₂)P₁(h₁) (29)

公式(28)是一个非常简单的矩阵传播关系，对于给定的边界条件，所涉及的未知数可以直接求解。在纳米板的顶部表面施加两种载荷如下:

(i)力载荷：在施加力载荷时，在纳米板上表面施加z方向牵引力分量，上表面所有其他牵引力分量均假定为零。矩阵传播关系的左边部分表示为：

(ii)电载荷：在施加电载荷时，在板上表面施加电势

则上表面的扩展应力和位移边值变成为：

对于上述两种荷载情况，均假定板底面的所有牵引分量t为零。由式(28)，可以求解上下表面的未知扩展位移。进而，可以确定第k层任意深度处的扩展位移矢量和应力矢量的表达式为：

其中，通过第k层任意深度处的扩展位移矢量和应力矢量的表达式计算出功能梯度多层纳米板在任意深度位移和应力的所有量。即利用式(32)，可以计算出层状功能梯度纳米板任意深度位移和应力的所有量。然后利用公式(15)和(17)可以计算出相应的面内分量。在其它边界条件下也可以得到类似的解。

相较于现有解析方法，本实施例的功能梯度多层磁电弹性纳米板的弯曲变形解析方法具有以下优点：

1、该功能梯度多层磁电弹性纳米板的弯曲变形解析方法，其先建立三维坐标系，并确定电场极化方向与厚度方向相一致，再基于三维坐标系，通过磁-电-弹性材料的材料系数建立耦合本构关系公式，并获取扩展应变-位移关系式以及平衡方程，然后计算简支边界条件下的功能梯度磁-电-弹性纳米板的扩展位移矢量并依次带入扩展应变-位移关系式、耦合本构关系公式以及平衡方程，获得特征方程，并对特征方程进行简化，以获得正弦和余弦的扩展位移矢量和应力矢量的一般解公式，进而可以计算出相应的通解，最后根据通解和传播矩阵，确定通解表达式，获得矩阵传播关系，并施加力载荷和电载荷，求解功能梯度多层纳米板的上下表面的未知扩展位移、各层任意深度处的扩展位移矢量和应力矢量，而后就能够计算出任意深度位移和应力的所有量以及相应面内分量，得到精确非局部解析解。这样，该精确解析解可以反映功能梯度磁电弹多层纳米板弯曲变形的尺度效应，有助于揭示功能梯度纳米磁电弹层合板小尺度力学行为，为功能梯度磁电弹纳米多层板的设计和应用提供理论依据，为工程智能结构微型化设计和制造提供重要的理论依据，而且应用于工程实际，可进一步带动经济发展和提高社会效益。

2、该功能梯度多层磁电弹性纳米板的弯曲变形解析方法，其能够获得微纳米磁电弹复合材料层合板的静态变形，为小尺度微纳米智能结构力学行为提供厚板理论参考分析，而且能够给出微纳米功能梯度磁电弹复合材料层合板受表面载荷的变形，并得出尺度参数、指数率参数、铺层方式以及载荷形式对功能结构变形的影响规律，所得结果适用于微纳米尺度下的功能梯度磁电弹的三维多层板，为智能材料微型化提供理论指导。

实施例2

本实施例提供了一种功能梯度多层磁电弹性纳米板的弯曲变形解析方法，该方法在实施例1的基础上增加了数值算例。在数值分析中，考虑了一个由BaTiO₃(简称为B)和Al-Ni-Co(简称为F)组成的矩形层状功能梯度夹层纳米板。与z无关的材料属性^[36]分别列于表1～2。研究了两个铺层顺序的夹层板即B/F/B和F/B/F。夹层板中间层是均匀的，顶层和底层都是功能梯度材料，具有对称的指数变化形式，如图2所示。图2中的η表示顶层的指数因子，分别对五个不同的指数因子，即η＝-10,-5,0,5,10进行了研究。

纳米板的长、宽Lx＝Ly＝100nm和高H＝30nm。材料长度尺度参数l取为0nm，2nm，4nm。法向表面载荷作用于纳米板的顶部表面，m＝n＝1，底面应力为0。对于力载荷

设功能梯度磁电弹纳米板在顶部表面受到如下正弦分布的力载荷

σ_zz＝σ₀sinpxsinqy

其中σ₀＝1N/m²。对固定水平坐标(x/Lx，y/Ly)＝(0.75，0.25)的响应进行计算。

当设功能梯度指数因子η＝0时，该解退化为均匀材质的解形式，当设非局部参数l＝0时，该解退化为经典局部解形式。

请参阅图3-图8，在力载荷作用下，指数因子对两种功能梯度夹层纳米板广义位移和广义应力的影响。其中，取非局部参数l/Lx＝0.02，指数因子η＝-10，-5，0，5，10。

图3-图8分别显示了两种不同叠层顺序的功能梯度磁电弹纳米板在力载荷作用下位移ux＝uy和uz、电势

磁势ψ、应力σxz、σzz、σxx、σxy、磁感应强度Bx，Bz和电位移Dx，Dz沿厚度方向随指数因素η的变化规律。请再次参阅图3，位移ux＝uy在顶层和底层，位移随指数因子的减少而增大，而位移uz在整个厚度内随指数因子的减少而增大。叠层顺序对位移趋势影响不大，只有轻微的幅度差异。请再次参阅图4，对于两种叠层顺序，电势和磁势都随着指数因子的增大而减小。电势和磁势的变化在很大程度上取决于复合板的叠层顺序。此外，电势和磁势在界面处存在着明显的转折。请再次参阅图5和图6，可以看到应力σxz沿板厚方向为抛物线的变化方式，在板的中部位置达到其最大值。叠层顺序对应力σxz、σzz、σxx、σxy的影响很小。梯度因子η对应力σzz影响很小，但应力σxz、σzz、σxx、σxy对梯度因子η很敏感。进一步发现，应力σxx和σxy在材料界面处发生突变。请再次参阅图7和图8，电位移和磁感应强度对指数因子和叠层方式非常敏感。由于不同层的材料性质不连续，水平电位移和水平磁感应强度在界面处不连续。

实施例3

本实施例提供了一种功能梯度多层磁电弹性纳米板的弯曲变形解析方法，其与实施例2的相似，区别在于本实施例研究的是力载荷作用下非局部参数对两种功能梯度夹层纳米板广义位移和广义应力的影响。

请参阅图9-14，显示了两种不同叠层顺序的功能梯度磁电弹夹层板在力载荷作用下位移u_x＝u_y和u_z、电势

磁势ψ、应力σ_xz,σ_zz,σ_xx,σ_xy、磁感应强度B_x,B_z和电位移D_x，D_z沿厚度方向随非局部参数l的变化规律。从图9可以发现，当取指数因子η＝5时，位移u_x、u_z在两种功能梯度夹层纳米板中的变化趋势基本相同，而且量值差异也不大，它们都是随着非局部参数的减小而增大。从图10还可以看出，非局部参数和叠加顺序对电势和磁势的影响很大，电势和磁势在界面处达到最大值。从图11和12得到非局部参数和叠层顺序对面外应力σ_xz和σ_zz几乎没有影响，但非局部参数对面内应力σ_xx和σ_xy影响非常大。不管是否考虑非局部效应，面内应力σ_xx和σ_xy在截面处都不连续。磁感应强度B_z(见图13c和d)、电位移D_z(见图14c和d)、水平磁感应强度B_x和电位移D_x对非局部参数和叠层顺序都很敏感。由于各层材料性质不同，水平磁感应强度B_x和电位移D_x在截面处不连续。

实施例4

本实施例提供了一种功能梯度多层磁电弹性纳米板的弯曲变形解析方法，其与实施例2的相似，区别在于本实施例研究的是在电载荷作用下，指数因子对两种功能梯度夹层纳米板广义位移和广义应力的影响。其中，取非局部参数l/Lx＝0.02，指数因子η＝-10，-5，0，5，10。

对于电载荷，设功能梯度磁电弹纳米板在顶部表面受到如下正弦分布的电势

其中

计算上述相同位置的响应。

图15-20分别显示了两种不同叠层顺序的功能梯度磁电弹纳米板在电载荷作用下位移ux＝uy和uz、电势

磁势ψ、应力σxz、σzz、σxx、σxy、磁感应强度Bx，Bz和电位移Dx，Dz沿厚度方向随指数因素η的变化规律。请参阅图15a和b，两个夹芯板的弹性位移是完全不同的。此外，请参阅图15a与图16a，图15b和图16b，B/F/B中弹性位移的大小大于F/B/F中弹性位移的大小。位移uz随指数因子η的减少而增加的因素。请参阅图16，由于电势外载加在顶层表面，指数因子对顶层电势的影响较其它层大。此外，底层的磁势比其他两层的磁势大。请参阅图17和图18，相比于力载荷作用的情况，应力受叠层顺序和指数因子η的影响较大。应力σxz在顶层或顶层截面处达到极大值，而应力σzz的最大值出现在中间层或中间层的表面处。请参阅图19，指数因子对F层磁感应强度的影响较大，而对B层影响较小。请参阅图20，指数因子对两种夹芯纳米板的顶层电位移影响显著，而底层电位移几乎为零。

实施例5

本实施例提供了一种功能梯度多层磁电弹性纳米板的弯曲变形解析方法，其与实施例2的相似，区别在于本实施例研究的是在电载荷作用下，非局部参数对两种功能梯度夹层纳米板广义位移和广义应力的影响。其中，取指数因子η＝5，非局部参数l/Lx＝0，0.02，0.04。

图21-26分别显示了两种不同叠层顺序的功能梯度磁电弹纳米板在电载荷作用下位移ux＝uy和uz、电势

磁势ψ、应力σxz、σzz、σxx、σxy、磁感应强度Bx，Bz和电位移Dx，Dz沿厚度方向随非局部参数l的变化规律。请参阅图21，与力荷载相比，在电载荷作用下叠加顺序对弹性位移的影响较大。在两个夹层纳米板中，非局部参数对位移uz的影响是相反的。请参阅图22，电势与非局部参数l无关，底层电势几乎为零，磁势随l的增大而增大。请参阅图23和图24，电载荷作用下，叠层顺序比非局部参数对应力分量的影响更大。在叠层顺序B/F/B板中，应力σxz和σzz的最大值发生在板的各层内，而在F/B/F板中，应力σxz和σzz的最大值发生在层与层的界面处。面内应力在板B/F/B的值较板F/B/F内的大一些。请参阅图25和图26，电位移和电势几乎独立与非局部参数l，并且在底层几乎为零。非局部参数对F层磁感应强度影响很大，而B层的磁感应强度几乎为零。

实施例6

本实施例提供了一种功能梯度多层磁电弹性纳米板的弯曲变形解析装置，该装置应用实施例1中的功能梯度多层磁电弹性纳米板的弯曲变形解析方法，而且包括结构建立模块、多方程确定模块、通解求解模块以及精确解求解模块。

结构建立模块用于先建立功能梯度多层纳米板的三维坐标系，再沿着厚度方向在功能梯度多层纳米板的两端面上施加电弹性载荷，且电场极化方向与厚度方向相同。结构建立模块主要实现实施例1中的步骤(1)中的内容，具体内容与实施例1中的内容相似，在此不再做赘述。

多方程确定模块用于基于三维坐标系，先根据磁-电-弹性材料的应力、电位移和磁感应同应变、电场、磁场、弹性系数、介电系数、磁导率系数、压电系数、压磁系数和磁电系数之间关系，建立功能梯度多层纳米板的各向异性线性磁-电-弹性材料的耦合本构关系公式，并确定沿着电场极化方向上的功能梯度材料的材料系数公式一以及各向同性材料的材料系数公式二，再建立应变、电场和磁场同弹性位移、电势和磁势的扩展应变-位移关系式，最后确定应力、电位移和磁感应的平衡方程。多方程确定模块主要实现实施例1中的步骤(2)中的内容，具体内容与实施例1中的内容相似，在此不再做赘述。

通解求解模块用于先计算简支边界条件下的功能梯度磁-电-弹性纳米板的扩展位移矢量，再根据扩展位移矢量依次代入扩展应变-位移关系式、耦合本构关系公式以及平衡方程，获得特征方程，然后通过多个向量对特征方程进行化简以获得线性本征方程组，最后确定功能梯度多层纳米板不含正弦和余弦的扩展位移矢量和应力矢量的一般解公式，以计算出作为简支边界条件下的功能梯度磁-电-弹性纳米板具有非局部效应的扩展位移和应力的通解。通解求解模块主要实现实施例1中的步骤(3)中的内容，具体内容与实施例1中的内容相似，在此不再做赘述。

精确解求解模块用于先根据扩展位移和应力的通解，通过传播矩阵确定功能梯度多层纳米板各层中广义位移和应力的通解表达式，并重复通解表达式中的传播关系，将通解从功能梯度多层纳米板的底面传递至顶面，并获得对应的矩阵传播关系，再在功能梯度多层纳米板的顶面施加力载荷和电载荷，然后根据矩阵传播关系，求解功能梯度多层纳米板的上下表面的未知扩展位移，并确定各层任意深度处的扩展位移矢量和应力矢量，最后计算出功能梯度多层纳米板在任意深度位移和应力的所有量以及相应面内分量。精确解求解模块主要实现实施例1中的步骤(4)中的内容，具体内容与实施例1中的内容相似，在此不再做赘述。

以上所述仅为本发明的较佳实施例而已，并不用以限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内所作的任何修改、等同替换和改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (10)

1.一种功能梯度多层磁电弹性纳米板的弯曲变形解析方法，其用于对磁-电-弹性材料构成的功能梯度多层纳米板在表面机械载荷和电载荷作用下的静态弯曲变形进行求解，其特征在于，其包括以下步骤：

(1)先建立所述功能梯度多层纳米板的三维坐标系，再沿着厚度方向在所述功能梯度多层纳米板的两端面上施加电弹性载荷，且电场极化方向与所述厚度方向相同；

(2)基于所述三维坐标系，先根据所述磁-电-弹性材料的应力、电位移和磁感应同应变、电场、磁场、弹性系数、介电系数、磁导率系数、压电系数、压磁系数和磁电系数之间关系，建立所述功能梯度多层纳米板的各向异性线性磁-电-弹性材料的耦合本构关系公式，并确定沿着所述电场极化方向上的功能梯度材料的材料系数公式一以及各向同性材料的材料系数公式二，再建立所述应变、所述电场和所述磁场同弹性位移、电势和磁势的扩展应变-位移关系式，最后确定所述应力、所述电位移和所述磁感应的平衡方程；

(3)先计算简支边界条件下的功能梯度磁-电-弹性纳米板的扩展位移矢量，再根据所述扩展位移矢量依次代入所述扩展应变-位移关系式、所述耦合本构关系公式以及所述平衡方程，获得特征方程，然后通过多个向量对所述特征方程进行化简以获得线性本征方程组，最后确定所述功能梯度多层纳米板不含正弦和余弦的扩展位移矢量和应力矢量的一般解公式，以计算出作为简支边界条件下的功能梯度磁-电-弹性纳米板具有非局部效应的扩展位移和应力的通解；

(4)先根据扩展位移和应力的通解，通过传播矩阵确定所述功能梯度多层纳米板各层中广义位移和应力的通解表达式，并重复所述通解表达式中的传播关系，将通解从所述功能梯度多层纳米板的底面传递至顶面，并获得对应的矩阵传播关系，再在所述功能梯度多层纳米板的顶面施加力载荷和电载荷，然后根据所述矩阵传播关系，求解所述功能梯度多层纳米板的上下表面的未知扩展位移，并确定各层任意深度处的扩展位移矢量和应力矢量，最后计算出所述功能梯度多层纳米板在任意深度位移和应力的所有量以及相应面内分量。

2.如权利要求1所述的功能梯度多层磁电弹性纳米板的弯曲变形解析方法，其特征在于，在步骤(1)中，以所述功能梯度多层纳米板的底面的一个角点为所述三维坐标系的坐标原点，且所述三维坐标系为笛卡儿坐标系(x,y,z)；定义所述电场极化方向为z方向，且所述功能梯度多层纳米板位于正z区域；定义所述功能梯度多层纳米板的第j层的下界面记为z_j-1，上界面记为z_j，且第j层的厚度记为h_j＝z_j-z_j-1，并满足板厚度H＝h₁+h₂+…+h_N；

在步骤(2)中，所述耦合本构关系公式为：

式中，

为三维拉普拉斯算子；l＝e₀a为非局部长度，a为内部特征长度，e₀是与给定材料相关的一个常数；σ_i、D_i和B_i分别为所述应力、所述电位移和所述磁感应；γ_i、E_i和H_i分别为所述应变、所述电场和所述磁场；C_ijkl、ε_ij和μ_ij分别为所述弹性系数、所述介电系数和所述磁导率系数；e_ij、q_ij和d_ij分别为所述压电系数、所述压磁系数和所述磁电系数。

3.如权利要求2所述的功能梯度多层磁电弹性纳米板的弯曲变形解析方法，其特征在于，所述材料系数公式一为：

所述材料系数公式二为：

其中，η为功能梯度指数因子，表示材料在z方向上的梯度程度，η＝0表示一个均质材料的情况，上标0表示所述均质材料的材料常数情况。

4.如权利要求3所述的功能梯度多层磁电弹性纳米板的弯曲变形解析方法，其特征在于，所述扩展应变-位移关系式为：

H_i＝-ψ_i

定义体力为0时，所述平衡方程为：

σ_ij,j＝0,D_ij,j＝0,B_ij,j＝0

其中，u、

和ψ分别表示所述弹性位移、所述电势和所述磁势。

5.如权利要求4所述的功能梯度多层磁电弹性纳米板的弯曲变形解析方法，其特征在于，简支边界条件下的功能梯度磁-电-弹性纳米板的扩展位移矢量的计算公式为：

所述简支边界条件下为：

其中，p＝nπ/L_x,q＝mπ/L_y，n和m为两个正整数，s和a_i是需要确定的待定系数。

6.如权利要求5所述的功能梯度多层磁电弹性纳米板的弯曲变形解析方法，其特征在于，所述特征方程为：

[Q-ηR^T+s(R-R^T+ηT)+s²T]a＝0

且有：

a＝{a₁,a₂,a₃,a₄,a₅}^T

其中，上标T表示矩阵的转置。

7.如权利要求6所述的功能梯度多层磁电弹性纳米板的弯曲变形解析方法，其特征在于，定义扩展的应力向量t满足所述平衡方程且为：

所述功能梯度多层纳米板的面内应力和电位移、磁位移为：

定义两个向量且分别为：

b＝{b₁,b₂,b₃,b₄,b₅}^T,c＝{c₁,c₂,c₃,c₄,c₅,c₆,c₇}^T

其中，向量c与a之间的关系为：

向量b和a之间的关系为：

定义一个中间线性变换向量且为：

通过向量a、d获得线性本征方程组，且所述线性本征方程组为：

式中：

所述一般解公式为：

式中：

A₁＝[a₁,a₂,a₃,a₄,a₅],A₂＝[a₆,a₇,a₈,a₉,a₁₀]

B₁＝[b₁,b₂,b₃,b₄,b₅],B₂＝[b₆,b₇,b₈,b₉,b₁₀]

其中，向量K₁和K₂是两个需要从边界条件确定的5×1常数列向量。

8.如权利要求7所述的功能梯度多层磁电弹性纳米板的弯曲变形解析方法，其特征在于，对于j层的常数向量K₁和K₂可以表示为：

对于j层中位置z处通解表达式为：

P_j(z)为所述传播矩阵。

9.如权利要求8所述的功能梯度多层磁电弹性纳米板的弯曲变形解析方法，其特征在于，所述传播矩阵满足：

所述矩阵传播关系为：

式中，Q＝P_N(h_N)P_N-1(h_N-1)L P₂(h₂)P₁(h₁)；

在施加力载荷时，所述矩阵传播关系的左边部分表示为：

在施加电载荷时，所述矩阵传播关系的左边部分表示为：

第k层任意深度处的扩展位移矢量和应力矢量的表达式为：

其中，通过第k层任意深度处的扩展位移矢量和应力矢量的表达式计算出所述功能梯度多层纳米板在任意深度位移和应力的所有量。

10.一种功能梯度多层磁电弹性纳米板的弯曲变形解析装置，其应用于如权利要求1-9中任意一项所述的功能梯度多层磁电弹性纳米板的弯曲变形解析方法，其特征在于，其包括：

结构建立模块，其用于先建立所述功能梯度多层纳米板的三维坐标系，再沿着厚度方向在所述功能梯度多层纳米板的两端面上施加电弹性载荷，且电场极化方向与所述厚度方向相同；

多方程确定模块，其用于基于所述三维坐标系，先根据所述磁-电-弹性材料的应力、电位移和磁感应同应变、电场、磁场、弹性系数、介电系数、磁导率系数、压电系数、压磁系数和磁电系数之间关系，建立所述功能梯度多层纳米板的各向异性线性磁-电-弹性材料的耦合本构关系公式，并确定沿着所述电场极化方向上的功能梯度材料的材料系数公式一以及各向同性材料的材料系数公式二，再建立所述应变、所述电场和所述磁场同弹性位移、电势和磁势的扩展应变-位移关系式，最后确定所述应力、所述电位移和所述磁感应的平衡方程；

通解求解模块，其用于先计算简支边界条件下的功能梯度磁-电-弹性纳米板的扩展位移矢量，再根据所述扩展位移矢量依次代入所述扩展应变-位移关系式、所述耦合本构关系公式以及所述平衡方程，获得特征方程，然后通过多个向量对所述特征方程进行化简以获得线性本征方程组，最后确定所述功能梯度多层纳米板不含正弦和余弦的扩展位移矢量和应力矢量的一般解公式，以计算出作为简支边界条件下的功能梯度磁-电-弹性纳米板具有非局部效应的扩展位移和应力的通解；

精确解求解模块，其用于先根据扩展位移和应力的通解，通过传播矩阵确定所述功能梯度多层纳米板各层中广义位移和应力的通解表达式，并重复所述通解表达式中的传播关系，将通解从所述功能梯度多层纳米板的底面传递至顶面，并获得对应的矩阵传播关系，再在所述功能梯度多层纳米板的顶面施加力载荷和电载荷，然后根据所述矩阵传播关系，求解所述功能梯度多层纳米板的上下表面的未知扩展位移，并确定各层任意深度处的扩展位移矢量和应力矢量，最后计算出所述功能梯度多层纳米板在任意深度位移和应力的所有量以及相应面内分量。

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