CN105825060A - 多层包裹纤维增强智能材料过渡层电磁效应影响计算方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种多层包裹纤维增强智能材料过渡层电磁效应影响计算方法；其包括建立具有压电、压磁效应的三维物理模型，建立等效数学模型，建立电场、磁场及弹性场耦合的统一本构方程，建立电场、磁场及弹性场耦合的平衡方程，建立过渡层简化为通用非完美界面的等效理论模型，建立强形式和弱形式下的边值问题控制方程，采用扩展有限元法计算得到多层包裹纤维增强智能材料中过渡层对电磁效应影响的数值解。本发明对过渡层进行简化，采用扩展有限元法计算得到多层包裹纤维增强智能材料中过渡层对电磁效应影响的数值解，实现对多层包裹纤维增强智能材料在实际应用中出现的问题进行检测。

Description

多层包裹纤维增强智能材料过渡层电磁效应影响计算方法

技术领域

本发明属于智能复合材料应用研究领域，尤其涉及一种多层包裹纤维增强智能材料过渡层电磁效应影响计算方法。

背景技术

电磁耦合效应广泛存在于压电、压电磁等智能材料中，材料的这些特质可以使其无障碍的实现电、磁、热和力之间能量的互相转化；进而可以制造出具有这些特质的装置(像传感器、温度应变片等)。它们表现出广泛的应用前景，也越来越引起更多的学者去探索和研究。

由于材料制备、组份间相互反应、绝缘处理等原因，多层包裹纤维增强智能材料的层与层之间会产生一个有限厚度或厚度接近为0的过渡层，在理论上，该过渡层为厚度为0的结合面。该特征在根本上影响非均匀材料的整体耦合场响应、有效模量、使用寿命等特性；同时，也给理论分析和数值模拟带来了诸多困难。当前在耦合性能、有效模量、多相材料的最优组合以及有序和无序的显微结构等方面已有诸多研究，这些研究都是基于假设两种材料之间的过渡层是理想状态下成立的。实际上，在智能材料中，仅当基本量(位移、电势、磁势)场和导出量(正拉力、正电位移、正磁通量)场在结合面的两侧不发生变化的时候，过渡层才是理想状态；而强不连续(基本量(位移、电势、磁势)场不连续)和弱不连续(导出量(正拉力、正电位移、正磁通量)场不连续)都存在于智能材料相的界面之间。

在这个研究领域，Sudak在“Effectofaninterphaselayerontheelectroelasticstresseswithinathree-phaseellipticinclusion”一文中通过合成变量的方法推导出“内容物/截面/矩阵”模型的精确封闭解，研究了过渡层对电弹应力的影响。Kari等人用有限元方法研究了过渡层对任意形状的无方向性纤维和微粒状复合材料的有效模量的影响。Sevostianov和Kachanov在纳米尺度研究了过渡层对电磁材料的弹性性能和传导性能的影响。Li等人在“Aclosed-form,hierarchical,multiinterphasemodelforcomposites-Derivation,verificationandapplicationtonanocomposites.”一文中基于经典弹性理论建立了一种封闭形式的复合分层模型，探究了包含内容物过渡层对内容物的影响。总的来说，当前所有这些人做的工作都以多层包裹纤维增强智能材料内过渡层厚度接近于其周围的涂层厚度为基础。另外，国内外关于此方面的研究中，有很多研究已经建立了多层包裹纤维增强智能材料中任意形状过渡层的理论模型，但基于模型的过渡层厚度仍然偏大，且目前尚没有方法可以计算过渡层对电磁效应影响的算法。基于此，本发明提出一种描述多层包裹纤维增强智能材料内过渡层的等效方法，该方法建立了一种在多层包裹纤维增强智能材料厚度接近为0的过渡层的理论及提出一种计算过渡层对智能材料电磁效应的影响的算法。

发明内容

本发明的发明目的是：为了解决现有技术难以准确有效的描述智能材料内极薄过渡层及其对电磁效应影响的计算等问题，本发明提出了一种多层包裹纤维增强智能材料过渡层电磁效应影响计算方法。

本发明的技术方案是：一种多层包裹纤维增强智能材料过渡层电磁效应影响计算方法，包括以下步骤：

A、根据多层包裹纤维增强智能材料的实际物理模型，建立具有压电、压磁效应的多层包裹纤维增强智能材料的三维物理模型；

B、根据智能材料耦合场理论，建立多层包裹纤维增强智能材料的数学模型，其中耦合场包括电场、磁场及弹性场；

C、根据多层包裹纤维增强智能材料中电场、磁场及弹性场的耦合关系，建立电场、磁场及弹性场耦合的统一本构方程；

D、根据物理场的线性动量平衡及线性耦合关系，结合步骤C中构建的电场、磁场及弹性场耦合的本构方程，建立电场、磁场及弹性场耦合的平衡方程；

E、将步骤A中构建的多层包裹纤维增强智能材料三维物理模型中的过渡层简化为通用非完美界面，建立多层包裹纤维增强智能材料等效理论模型；

F、根据步骤E中构建的多层包裹纤维增强智能材料等效理论模型，分别建立强形式和弱形式下的边值问题控制方程；

G、采用扩展有限元法对步骤E中构建的多层包裹纤维增强智能材料等效理论模型及弱形式下的边值条件控制方程进行离散化，计算得到多层包裹纤维增强智能材料中过渡层对电磁效应影响的数值解。

进一步地，所述步骤C中电场、磁场及弹性场耦合的统一本构方程具体为：

d^(κ)＝∏^(κ)ε^(κ)+D^(κ)e^(κ)+K^(κ)q^(κ)

b^(κ)＝H^(κ)ε^(κ)+(K^(κ))^Te^(κ)+M^(κ)q^(κ),(κ＝m,c_r,0_r,M)

其中，σ^(κ),d^(κ),b^(κ)分别为步骤B中数学模型相关的二阶应力张量，电位移矢量，磁感应通量矢量；ε^(κ),e^(κ),q^(κ)分别为数学模型相关的二阶应变张量，电场矢量，磁场矢量；D^(κ),M^(κ)分别为数学模型相关的四阶弹性系数张量，二阶电介质系数张量，二阶导磁张量；∏^(κ),H^(κ),K^(κ)分别为数学模型相关的三阶压电系数张量，三阶压磁系数张量，二阶磁电张量；κ＝m,c_r,0_r,M中m为第m个增强纤维的相关参数，c_r为第r个包裹涂层的相关参数，0_r为第r个过渡层的相关参数，M为基体相的相关参数；(·)^T为转置矩阵。

进一步地，所述步骤D中电场、磁场及弹性场耦合的平衡方程具体为：

其中，为梯度符号，J^(κ)为应力张量，为四阶耦合场系数张量，E^(κ)为耦合场应变张量，为主场量系数，α,β取值为1,2,3,4,5，i,j,k,l取值为1,2,3。

进一步地，所述步骤E中多层包裹纤维增强智能材料等效理论模型具体为：

其中，[[·]]为当穿越简化过渡层后的相关阶跃系数，ω为基本场量，〈·〉为界面平均控制因子，h^(r)为第r层过渡层简化前的厚度，j_n＝Jn，n为单位向量，div_s(·)为界面散度因子，o(·)为同阶无穷小，分别为与过渡层和基体材料参数相关的四阶张量。

进一步地，所述多层包裹纤维增强智能材料等效理论模型在强形式下的边值条件控制方程具体为：

$\mathrm{\ω}=\stackrel{\‾}{\mathrm{\ω}}$

$j_n=\stackrel{\‾}{j_n}$

其中，为ω的边界条件，为j_n的边界条件。

进一步地，所述多层包裹纤维增强智能材料等效理论模型在弱形式下的边值条件控制方程具体为：

其中，Ω为研究对象占据的体积域，m取值为1,2...η，r取值为1,2...p，η为非完美界面的总个数，p为第m个非完美界面被分割的总片数，Ξ^(r)为与第r相组成材料的参数相关量，为在切平面投影，Γ^(r)为过渡层，δω为虚基本场量，为四阶切向投影算子。

进一步地，所述步骤G中采用扩展有限元法对步骤E中构建的多层包裹纤维增强智能材料等效理论模型及弱形式下的边值条件控制方程进行离散化得到的离散方程具体为：

(K_V+K_S)W＝P

其中，W为包括正常位移和富集位移、电势自由度和磁势自由度的所有未知节点，K_V和K_S分别为多层包裹纤维增强智能材料等效理论模型在基体影响下和过渡层影响下产生的广义电导率，P为外压力、电位移和磁通量的激励。

本发明的有益效果是：本发明根据多层包裹纤维增强智能材料的实际物理模型，将过渡层简化为通用非完美界面，建立多层包裹纤维增强智能材料等效理论模型及其在强形式和弱形式下的边值条件控制方程，并采用扩展有限元法对多层包裹纤维增强智能材料等效理论模型及弱形式下的边值条件控制方程进行离散化，得到多层包裹纤维增强智能材料中的过渡层对电磁效应影响的数值解，从而实现对多层包裹纤维增强智能材料在实际应用中出现的问题进行检测，根据影响数值解的因素，可以在实际生产过程中有效归避影响压电压磁性能的不利因素。

附图说明

图1是本发明的多层包裹纤维增强智能材料过渡层电磁效应影响计算方法流程示意图。

图2是本发明的多层包裹纤维增强智能材料的三维物理模型截面示意图。

图3是本发明的多层包裹纤维增强智能材料的等效理论模型截面示意图。

图4是本发明的实际工作状态下多层包裹纤维增强智能材料的等效理论模型截面示意图。

具体实施方式

为了使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚明白，以下结合附图及实施例，对本发明进行进一步详细说明。应当理解，此处所描述的具体实施例仅用以解释本发明，并不用于限定本发明。

如图1所示，为本发明的多层包裹纤维增强智能材料过渡层电磁效应影响计算方法流程示意图。一种多层包裹纤维增强智能材料过渡层电磁效应影响计算方法，包括以下步骤：

A、根据多层包裹纤维增强智能材料的实际物理模型，建立具有压电、压磁效应的多层包裹纤维增强智能材料的三维物理模型；

B、根据智能材料耦合场理论，建立多层包裹纤维增强智能材料的数学模型，其中耦合场包括电场、磁场及弹性场；

C、根据多层包裹纤维增强智能材料中电场、磁场及弹性场的耦合关系，建立电场、磁场及弹性场耦合的统一本构方程；

D、根据物理场的线性动量平衡及线性耦合关系，结合步骤C中构建的电场、磁场及弹性场耦合的本构方程，建立电场、磁场及弹性场耦合的平衡方程；

E、将步骤A中构建的多层包裹纤维增强智能材料三维物理模型中的过渡层简化为通用非完美界面，建立多层包裹纤维增强智能材料等效理论模型；

F、根据步骤E中构建的多层包裹纤维增强智能材料等效理论模型，分别建立强形式和弱形式下的边值问题控制方程；

G、采用扩展有限元法对步骤E中构建的多层包裹纤维增强智能材料等效理论模型及弱形式下的边值条件控制方程进行离散化，计算得到多层包裹纤维增强智能材料中过渡层对电磁效应影响的数值解。

如图2所示，为本发明的多层包裹纤维增强智能材料的三维物理模型截面示意图，其中代表第m个多相任意形状的纤维；代表第r层包裹的涂层；代表包裹第m个多相任意形状的纤维的第r层涂层；是整个截面域(基体相)；代表纤维界面和涂层界面或者涂层界面和涂层界面之间的过渡层；和分别代表第r层过渡层的内界面和外界面；n^(r)代表从内向外第r层过渡层的外法向矢量；代表第m个多相任意形状的纤维的第r层过渡层的外法向矢量；n^(M)代表整个截面域的外法向矢量；Γ^(r)代表第r层厚度接近为0的过渡层；代表第m个多相任意形状的纤维的第r层过渡层；第h^(r)代表从内向外第r层的厚度；为边界条件，包括基本量场约束和导出量场约束本发明中步骤A和步骤B为本领域技术人员常用技术手段，本发明不作赘述。

在步骤C中，根据多层包裹纤维增强智能材料中电场、磁场及弹性场的耦合关系，建立电场、磁场及弹性场耦合的统一本构方程，具体为：

其中，σ^(κ),d^(κ),b^(κ)分别为步骤B中数学模型相关的二阶应力张量，电位移矢量，磁感应通量矢量；ε^(κ),e^(κ),q^(κ)分别为数学模型相关的二阶应变张量，电场矢量，磁场矢量；D^(κ),M^(κ)分别为数学模型相关的四阶弹性系数张量，二阶电介质系数张量，二阶导磁张量；∏^(κ),H^(κ),K^(κ)分别为数学模型相关的三阶压电系数张量，三阶压磁系数张量，二阶磁电张量；κ＝m,c_r,0_r,M中m为第m个增强纤维的相关参数，c_r为第r个包裹涂层的相关参数，0_r代表第r个过渡层的相关参数，M代表基体相的相关参数；(·)^T为转置矩阵。上述张量满足以下对称关系：

$\begin{array}{c}{C}_{ijkl}^{\left(\mathrm{\κ}\right)}=C_{klij}^{\left(\mathrm{\κ}\right)}=C_{ijlk}^{\left(\mathrm{\κ}\right)},D_{ij}^{\left(\mathrm{\κ}\right)}=D_{ji}^{\left(\mathrm{\κ}\right)},M_{ij}^{\left(\mathrm{\κ}\right)}=M_{ji}^{\left(\mathrm{\κ}\right)},\\ {\Π}_{ijk}^{\left(\mathrm{\κ}\right)}={\Π}_{kij}^{\left(\mathrm{\κ}\right)},H_{ijk}^{\left(\mathrm{\κ}\right)}=H_{kij}^{\left(\mathrm{\κ}\right)},K_{ij}^{\left(\mathrm{\κ}\right)}=K_{ji}^{\left(\mathrm{\κ}\right)},(i,j,k,l=1,2,3).\end{array}---\left(2\right)$

在步骤D中，根据多层包裹纤维增强智能材料中物理场的线性动量平衡特性，在不考虑物体的重力、电荷密度和磁偶极时，每一个物理场的线性动量平衡方程可以表示为：

$\▿\·{\mathrm{\σ}}^{\left(\mathrm{\κ}\right)}=0,\▿\·d^{\left(\mathrm{\κ}\right)}=0,\▿\·b^{\left(\mathrm{\κ}\right)}=0---\left(3\right)$

其中，为梯度符号。

再考虑物理场的线性耦合特性，得到：

其中，u^(κ),φ^(κ)分别代表在物理模型的控制域中的位移，电势，磁势。

根据耦合场理论，将式(1)、(3)及(4)整理为统一形式，表示为：

其中，为弹性场中的位移量，φ^(κ)分别为电场中的电势量和磁场中的磁势量，与ω有关的量代表的为基本场量，这里具体为电场、磁场及弹性场的耦合场量。

将式(5)代入电场、磁场及弹性场耦合的统一本构方程(1)和线性动量平衡方程(3)，得到电场、磁场及弹性场耦合的平衡方程，表示为：

其中，为梯度符号，J^(κ)为应力张量，为四阶耦合场系数张量，E^(κ)为耦合场应变张量，为主场量系数，α,β取值为1,2,3,4,5，i,j,k,l取值为1,2,3；α,β为场角标：1,2,3为弹性问题模量，4为电场量，5为磁场参量；i,j,k,l为空间角标。

在步骤E中，本发明对多层包裹纤维增强智能材料的三维物理模型进行分析，在合理的误差范围内将过渡层进行简化为通用非完美界面，即将过渡层简化为厚度接近于0的曲面，从而建立多层包裹纤维增强智能材料等效理论模型。如图2所示，为本发明的多层包裹纤维增强智能材料的三维物理模型截面示意图，其中由装配或者生产的时候两种不同材料间产生的过渡层非常薄，因此，为了和实际情况相符合，对过渡层渐进分析：h^(r)表示过渡层的厚度，且在实际产生这个过渡层的时候，过渡层的厚度几乎是不变的。如图3所示，为本发明的多层包裹纤维增强智能材料的等效理论模型截面示意图，其中过渡层被简化为厚度接近为0的等价过渡层Γ^(r)。由涂层指向涂层同时也是指向过渡层的外法向以及由过渡层的内界面指向外界面的单位向量记为n^(r)，满足以下关系：

$n^{\left(r\right)}={(x_1,x_2,0)}^T,x_1^2+x_2^2=1.---\left(8\right)$

其中，x₁,x₂分别为指向x₁,x₂坐标轴的向量分量。

根据过渡层Γ^(r)的实际物理意义，在图3中过渡层Γ^(r)被描述为有缺陷的、厚度接近为0的、任意形状的封闭曲面。本发明为了保持等效理论模型与三维物理模型相符合及计算的便捷，三维物理模型中的符号在等效理论模型中代表的物理意义不变。为了使等效理论模型和三维物理模型的物理意义相符，本发明引入两个二阶张量和两个四阶张量，分别表示为：

$N^{\left(r\right)}=n^{\left(r\right)}\⊗n^{\left(r\right)},T^{\left(r\right)}=I-N^{\left(r\right)}.---\left(9\right)$

其中，I和1分别代表3维和5维二阶特性张量；和分别代表张量和克罗内克张量符号，N^(r)为二阶法向投影算子，T^(r)为二阶切向投影算子，为四阶切向投影算子，为四阶法向投影算子，r为第r层过渡层或涂层相关量。和材料性质相关的以下参数同样对过渡层Γ^(r)的界面关系有较大的影响，分别表示为：

其中，为与对应层数相关四阶弹性张量，为与过渡层及其层数相关的四阶张量，为与基体材料参数及其层数相关的四阶张量，同时也为四阶切向Hill算子，为四阶法向Hill算子，Q^(κ)、G^(κ)均为中间变量。

对多层包裹纤维增强智能材料的三维物理模型用渐近分析和泰勒展开，即把有实际厚度的三维物理模型过渡层的中面应用渐近分析和泰勒展开，从中面进行泰勒展开，可以近似过渡层的影响，误差为h²的同阶无穷小，得到均匀厚度过渡层的截面关系，表示为：

其中，j_n＝Jn。[[·]]^(r)是当穿越过渡层Γ^(r)的跳跃算子，满足：[[·]]^(r)＝(·)⁽⁺)-(·)^(-)，(·)⁽⁺⁾和(·)^(-)分别代表衡量系数(·)在涂层和涂层两侧的分布；和分别代表由和控制的模型相关材料系数；o(·)为同阶无穷小；div_s(·)为表面散度算子，且满足以下关系：

${\mathrm{div}}_s(\·)=\▿(\·):T---\left(14\right)$

其中，:为缩聚算子，T为二阶切向投影张量。

本发明根据三维物理模型经过推导得到用于描述截面模型的式(12)和(13)，从而定量描述了表面关系、物体材料系数和过渡层几何结构等因素之间的关系。在此基础上建立一种可以描述多层纤维复合材料中过渡层的方程。应用以下恒等式：

${(\&CenterDot;)}^{(\&PlusMinus;)}=<\&CenterDot;{>}^{\left(r\right)}\&PlusMinus;\frac{{\&lsqb;\&lsqb;\&CenterDot;\&rsqb;\&rsqb;}^{\left(r\right)}}{2}---\left(15\right)$

其中，〈·〉代表过渡层平均控制系数，也就是描述厚度接近为0的有缺陷过渡层对材料性能的影响因子；它通过公式〈·〉＝[(·)⁽⁺⁾+(·)^(-)]/2来描述。

引入关系式[[ω]]^(r)＝ο(h^(r))和[[j]]^(r)＝ο(h^(r))，对式(12)和(13)进行整理得到：

其中，

为与r-层组成材料相关的四阶张量，为与r-层组成材料相关的中间变量，便于与对应参数进行对比。

式(16)和(17)即为描述在多层压电压磁复合材料中厚度接近于0的过渡层的数学方程。

在步骤F中，多层纤维复合材料在制造过程中，各层材料在压力下结合在一起，在这种条件下形成的结合面一般是任意的形状，不同材料形成的结合面之间在微观上产生一定的化学反应，进而形成一层厚度接近为0的过渡层Γ^(r)；在实际应用中，一般为多个多层复合材料制成的纤维捆绑在一起实用。如图4所示，为本发明的实际工作状态下多层包裹纤维增强智能材料的等效理论模型截面示意图，选取图4中任意一个多层复合材料制成的纤维进行分析和计算，由一般性可知，其他多层复合材料制成的纤维同样符合当前的计算和分析。复合材料在实际应用中，其边界条件较为复杂，因此，在计算过渡层对材料性能的影响时，模型的边值需满足在弱形式下的边值问题(BVPs)。其过程为，先建立数学模型强形式下边值条件的控制方程，继而再推出数学模型的弱边值条件。这里的强形式是指外力作用下模型的真实控制方程；弱形式是在强形式基础上，通过引入虚拟基本量场而建立的用于生成有限元离散方程的等效控制方程。

在图4中，根据应用数学语言描述多层纤维复合材料的物理背景——耦合场(磁场、电场、弹性场)理论，建立多层纤维复合材料的等效数学模型，等效数学模型Ω被其外表面约束，其中代表基本量场约束，代表导出量场约束；n^(M)代表外表面的外法向向量，在等效数学模型Ω中，η个加强纤维分别记为Ω^(m)(m＝1,2,…,η)，加强纤维Ω^(m)被其周围的涂层包裹，等效数学模型界面用基体相Ω^(M)来描述。并根据等效数学模型的特点，假设等效数学模型在垂直于横截面的方向上无限长。在涂层和之间的过渡层同样是有缺陷的、任意形状的、厚度为0的一个面，描述过渡层的理论公式为(16)和(17)。过渡层的外法向向量记为厚度记为等效数学模型中的复合材料涂层不与外表面接触，也不与其他涂层相互贯穿。

假设整个等效数学模型基体相Ω中没有体力、电势和磁势影响。则由耦合理论和力学知识，对于每个涂层相满足；

对于基体相Ω^(M)满足：

对于加强纤维Ω^(m)满足

在外表面上包括外表面上的狄利克雷边界条件和Neumman边界条件分别有：

$\begin{array}{c}\mathrm{\&omega;}=\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&omega;}}\\ j_n=\stackrel{\&OverBar;}{j_n}\end{array}---\left(22\right)$

其中，为ω的边界条件，为j_n的边界条件。

在图4中，过渡层依然满足式(16)和式(17)，式(16)和式(17)与式(19)—(22)共同组成了强形式下边值条件的控制方程。

由强形式下边值条件的控制方程，引入一个分段可微的主虚数张量满足：

对基体相Ω^(M)、加强纤维Ω^(m)和涂层应用虚功原理可得：

$\begin{array}{c}{\&Integral;}_{{\mathrm{\&Omega;}}^{\left(M\right)}}J\mathrm{\&delta;}EdV={\&Integral;}_{\&part;{\mathrm{\&Omega;}}_{jn}}{\stackrel{\&OverBar;}{j}}_n\mathrm{\&delta;}\mathrm{\&omega;}dS-\underset{m=1}{\overset{\mathrm{\&eta;}}{\&Sigma;}}{\&Integral;}_{\&part;{\mathrm{\&Gamma;}}_m^{(p+1)}}{j}_n^{\left(M\right)}{\mathrm{\&delta;\&omega;}}^{\left(M\right)}dS\\ {\&Integral;}_{{\mathrm{\&Omega;}}_m^{\left(c_r\right)}}J\mathrm{\&delta;}EdV={\&Integral;}_{\&part;{\mathrm{\&Gamma;}}_m^{(r+1)}}{j}_n^{\left(c_r\right)}{\mathrm{\&delta;\&omega;}}^{\left(c_r\right)}dS-{\&Integral;}_{\&part;{\mathrm{\&Gamma;}}_m^{\left(r\right)}}{j}_n^{\left(c_r\right)}{\mathrm{\&delta;\&omega;}}^{\left(c_r\right)}dS\\ {\&Integral;}_{{\mathrm{\&Omega;}}^{\left(m\right)}}J\mathrm{\&delta;}EdV={\&Integral;}_{\&part;{\mathrm{\&Gamma;}}_m^{\left(1\right)}}{j}_n^{\left(m\right)}{\mathrm{\&delta;\&omega;}}^{\left(m\right)}dS\end{array}---\left(24\right)$

式中，

将式(24)整理为统一形式，表示为：

${\&Integral;}_{\mathrm{\&Omega;}}J\mathrm{\&delta;}EdV={\&Integral;}_{\&part;{\mathrm{\&Omega;}}_{jn}}{\stackrel{\&OverBar;}{j}}_n\mathrm{\&delta;}\mathrm{\&omega;}dS-\underset{m=1}{\overset{\mathrm{\&eta;}}{\&Sigma;}}\underset{r=1}{\overset{p+1}{\&Sigma;}}\&lsqb;{\&Integral;}_{\&part;{\mathrm{\&Gamma;}}_m^{\left(r\right)}}{\&lsqb;\&lsqb;j_n\mathrm{\&delta;}\mathrm{\&omega;}\&rsqb;\&rsqb;}^{\left(r\right)}dS\&rsqb;---\left(25\right)$

其中，

${\&lsqb;\&lsqb;j_n\mathrm{\&delta;}\mathrm{\&omega;}\&rsqb;\&rsqb;}_m^{\left(r\right)}=j_n^{\left(c_r\right)}{\mathrm{\&delta;\&omega;}}^{\left(c_r\right)}-j_n^{\left(c_{(r-1)}\right)}{\mathrm{\&delta;\&omega;}}^{\left(c_{(r-1)}\right)}---\left(26\right)$

同时，在界面上有：

[[j_nδω]]^(r)＝[[j_n]]^(r)〈δω〉^(r)+〈j_n〉^(r)[[δω]]^(r)(27)

对式(25)的右边进行二阶积分，可得：

${\&Integral;}_{{\mathrm{\&Gamma;}}_m^{\left(r\right)}}{\&lsqb;\&lsqb;j_n\mathrm{\&delta;}\mathrm{\&omega;}\&rsqb;\&rsqb;}^{\left(r\right)}dS={\&Integral;}_{{\mathrm{\&Gamma;}}_m^{\left(r\right)}}({\&lsqb;\&lsqb;j_n\&rsqb;\&rsqb;}^{\left(r\right)}\&CenterDot;<\mathrm{\&delta;}\mathrm{\&omega;}{>}^{\left(r\right)}+<j_n{>}^{\left(r\right)}{\&lsqb;\&lsqb;\mathrm{\&delta;}\mathrm{\&omega;}\&rsqb;\&rsqb;}^{\left(r\right)})dS---\left(28\right)$

把过渡层关系式(16)和(17)代入式(28)中可以得到：

根据多层复合材料的实际分布情况，假设过渡层的截面是一个封闭的环，由表面散度定理，式(29)右侧的部分可以表示为：

将式(30)代入式(29)中进行整理得到：

通过利用和可以得到：

因此将式(31)简化为：

根据基本场量ω和虚基本场量δω去表示剩余项〈j_n〉^(r)和〈δj_n〉^(r)，解式(16)得到：

其中，表示与第r相组成材料的参数相关量。

将式(34)和式(35)代入式(33)中，得到：

将式(33)和式(36)代入式(25)，得到弱形式下边值条件的控制方程：

其中，Ω为研究对象占据的体积域，m取值为1,2...η，r取值为1,2...p，η为非完美界面的总个数，p为第m个非完美界面被分割的总片数，Ξ^(r)为与第r相组成材料的参数相关量，为在切平面投影，Γ^(r)为过渡层，δω为虚基本场量，为四阶切向投影算子。

定义表面梯度算子为：

${\&dtri;}_s(\&CenterDot;)=\&dtri;(\&CenterDot;)T$

即在T定义切平面的投影，s为切平面投影量。

对于任何二阶张量场(·)都有：

和

鉴于Ξ^(r)为对称张量，上述弱形式下的边值问题控制方程(37)中的量满足以下关系：

则弱形式下边值条件的控制方程式(37)可以简化为：

在步骤G中，由于实际物理模型形状的任意性和复杂性，本发明根据上述建立的多层包裹纤维增强智能材料有缺陷且厚度接近于0过渡层界面的控制方程式(16)和式(17)及其在弱形式下边值条件的控制方程式(42)，采用扩展有限元法的数值方法计算过渡层对材料性能的影响。

首先建立水平集函数，表示为：

$F\left(x\right)=\{\begin{array}{c}f\left(x\right)\\ \tilde{f}\left(x\right)\end{array}---\left(43\right)$

其中，f(x)为描述规则形状的物理特征的解析方程，为近似描述不规则复杂形状的物理特征的近似方程，且一般情况下为多个简单方程组合而成。

一般的，一个过渡层界面可以描述为一个0水平集函数，表示为：

这里同样假设过渡层是封闭的，则任意一个增强纤维Ω^(m)的物理模型都可以表示为：

$F_m^{\left(1\right)}\left(x\right)\&le;0---\left(45\right)$

涂层可以表示为：

和

且当的值大于0时，基体相Ω^(M)为一个确定值。

利用有限元的形函数，可以通过下式计算复合材料域中任意一点x的水平集函数值。

${\tilde{F}}_m^{\left(r\right)}\left(x\right)=\underset{\mathrm{\&lambda;}=1}{\overset{n_d}{\&Sigma;}}{N}_{\mathrm{\&lambda;}}\left(x\right)F_m^{\left(r\right)}\left(x_{\mathrm{\&lambda;}}\right)---\left(47\right)$

其中，N_λ(x)和分别代表在第λ节点处的形函数和水平集函数，n_d代表物理模型划分为有限元模型后总的节点数。

在过渡层一个确定点x_sf处的单位矢量可以通过以下两式表示为：

$n_m^{\left(r\right)}\left(x_{sf}\right)=\frac{\&dtri;{\tilde{F}}_m^{\left(r\right)}\left(x_{sf}\right)}{\left|\right|\&dtri;{\tilde{F}}_m^{\left(r\right)}\left(x_{sf}\right)\left|\right|}---\left(48\right)$

$\&dtri;{\tilde{F}}_m^{\left(r\right)}\left(x_{sf}\right)=\underset{\mathrm{\&lambda;}=1}{\overset{n_d}{\&Sigma;}}\frac{\&part;N_p\left(x_{sf}\right)}{\&part;x}{F}_m^{\left(r\right)}\left(x_{\mathrm{\&lambda;}}\right)---\left(49\right)$

因此本发明的图4中各个元素都可以以较简洁的方式用数值方法进行描述。

采用扩展有限元法的数值方法描述不连续的基本量场和导出量场，则耦合物理场ω可以表示为：

其中，N_λ(x)、和分别代表在第λ、λ₁和λ₂节点处的标准有限单元形状方程；为在第λ节点处的标准耦合场自由度(DOFs)，它包括位移自由度u(x_λ)，电势自由度和磁势自由度；未知量和分别代表在强不连续下和弱不连续下的富集自由度；n′_d和n″_d分别代表在富集自由度和下的富集节点数目；和是在节点λ₁和λ₂处的富集函数，为了描述产生穿过界面时基本量场和导出量场的阶跃效应；在水平集函数的描述中，不同形式的富集函数和可以用下式来表示：

且满足下式：

其中，当(·)为负、0和正时，方程sign(·)分别等于-1、0和1；n_e代表一个单元中的节点数。

本发明的式(51)和式(53)说明在过渡层处，方程会产生一个阶跃，但在整个控制域中，其导出量则是连续的。因此，上述方程可以重构位移、电势和磁场的强不连续性。添加函数旨在保证节点上耦合场自由度DOFs与真实物理含义一致。另一方面，当函数的导出量表示在过渡层上的一个点x的阶跃时，但在整个控制域(Ω)中函数却是连续的。总之，上述富集函数还可以描述引力、电位移和磁通量耦合场之间的弱不连续性。联立富集函数式(51)和式(52)，可以准确描述由前述薄过渡层感应产生的强不连续性和弱不连续性。

将式(50)带入弱形式下的控制方程(42)得到；

(K_V+K_S)W＝P(55)

其中，W为包括正常位移和富集位移、电势自由度和磁势自由度的所有未知节点，K_V和K_S分别为多层包裹纤维增强智能材料等效理论模型在基体影响下和过渡层影响下产生的广义电导率，P为外压力、电位移和磁通量的激励。K_V可以进一步表示为：

上式中，矩阵B通过得到，其中ω^e是一个单元中的待定节点；n_em表示的整个模型中的体积单元数；表示的是由体积单元表示的域。

K_S则可以进一步表示为：

其中，n_s表示划分非完美过渡层的总单元数；B₁和B₂由[[ω]]＝B₁ω^e和得知。

向量P代表外压力、电位移和磁通量的激励，可以表示为：

$P={\&Integral;}_{\&part;{\mathrm{\&Omega;}}_{jn}}{N}^T\&CenterDot;{\stackrel{\&OverBar;}{j}}_{n}dS---\left(58\right)$

本发明利用数学语言描述了前述非完美界面过渡层和体域，并采用水平集方法和扩展有限元方法对边界值问题进行了离散化。式(55)—(58)描述了控制方程的数值求解；采用扩展有限元方法求解上述离散方程(55)，可以确定耦合物理场的电传导性、磁传导性和复合材料的弹性模量，从而得到多层包裹纤维增强智能材料中的过渡层对电磁效应影响的数值解，有利于多层包裹纤维增强智能材料在实际应用中出现问题进行检测，根据影响数值解的因素，可以在实际生产过程中有效归避影响压电压磁性能的不利因素。

本领域的普通技术人员将会意识到，这里所述的实施例是为了帮助读者理解本发明的原理，应被理解为本发明的保护范围并不局限于这样的特别陈述和实施例。本领域的普通技术人员可以根据本发明公开的这些技术启示做出各种不脱离本发明实质的其它各种具体变形和组合，这些变形和组合仍然在本发明的保护范围内。

Claims (8)

1.一种多层包裹纤维增强智能材料过渡层电磁效应影响计算方法，其特征在于，包括以下步骤：

A、根据多层包裹纤维增强智能材料的实际物理模型，建立具有压电、压磁效应的多层包裹纤维增强智能材料的三维物理模型；

B、根据智能材料耦合场理论，建立多层包裹纤维增强智能材料的数学模型，其中耦合场包括电场、磁场及弹性场；

C、根据多层包裹纤维增强智能材料中电场、磁场及弹性场的耦合关系，建立电场、磁场及弹性场耦合的统一本构方程；

D、根据物理场的线性动量平衡及线性耦合关系，结合步骤C中构建的电场、磁场及弹性场耦合的本构方程，建立电场、磁场及弹性场耦合的平衡方程；

E、将步骤A中构建的多层包裹纤维增强智能材料三维物理模型中的过渡层简化为通用非完美界面，建立多层包裹纤维增强智能材料等效理论模型；

F、根据步骤E中构建的多层包裹纤维增强智能材料等效理论模型，分别建立强形式和弱形式下的边值问题控制方程；

G、采用扩展有限元法对步骤E中构建的多层包裹纤维增强智能材料等效理论模型及弱形式下的边值条件控制方程进行离散化，计算得到多层包裹纤维增强智能材料中过渡层对电磁效应影响的数值解。

2.如权利要求1所述的多层包裹纤维增强智能材料过渡层电磁效应影响计算方法，其特征在于，所述步骤C中电场、磁场及弹性场耦合的统一本构方程具体为：

d^(κ)＝∏^(κ)ε^(κ)+D^(κ)e^(κ)+K^(κ)q^(κ)

b^(κ)＝H^(κ)ε^(κ)+(K^(κ))^Te^(κ)+M^(κ)q^(κ),(κ＝m,c_r,0_r,M)

其中，σ^(κ),d^(κ),b^(κ)分别为步骤B中等效数学模型相关的二阶应力张量，电位移矢量，磁感应通量矢量；ε^(κ),e^(κ),q^(κ)分别为等效数学模型相关的二阶应变张量，电场矢量，磁场矢量；D^(κ),M^(κ)分别为等效数学模型相关的四阶弹性系数张量，二阶电介质系数张量，二阶导磁张量；∏^(κ),H^(κ),K^(κ)分别为等效数学模型相关的三阶压电系数张量，三阶压磁系数张量，二阶磁电张量；κ＝m,c_r,0_r,M中m为第m个增强纤维的相关参数，c_r为第r个包裹涂层的相关参数，0_r为第r个过渡层的相关参数，M为基体相的相关参数；(·)^T为转置矩阵。

3.如权利要求2所述的多层包裹纤维增强智能材料过渡层电磁效应影响计算方法，其特征在于，所述步骤D中电场、磁场及弹性场耦合的平衡方程具体为：

其中，为梯度符号，J^(κ)为应力张量，为四阶耦合场系数张量，E^(κ)为耦合场应变张量，为主场量系数，α,β取值为1,2,3,4,5，i,j,k,l取值为1,2,3。

4.如权利要求3所述的多层包裹纤维增强智能材料过渡层电磁效应影响计算方法，其特征在于，所述步骤E中多层包裹纤维增强智能材料等效理论模型具体为：

其中，[[·]]为当穿越简化过渡层后的相关阶跃系数，ω为基本场量，〈·〉为界面平均控制因子，h^(r)为第r层过渡层简化前的厚度，j_n＝Jn，n为单位向量，div_s(·)为界面散度因子，o(·)为同阶无穷小，分别为与过渡层和基体材料参数相关的四阶张量。

5.如权利要求4所述的多层包裹纤维增强智能材料过渡层电磁效应影响计算方法，其特征在于，所述步骤F中分别建立强形式和弱形式下的边值条件控制方程具体为：先对步骤E中构建的多层包裹纤维增强智能材料等效理论模型，建立其边值问题控制方程强形式；再根据虚功原理建立其控制方程弱形式。

6.如权利要求5所述的多层包裹纤维增强智能材料过渡层电磁效应影响计算方法，其特征在于，所述多层包裹纤维增强智能材料等效理论模型在强形式下的边值条件控制方程具体为：

$\mathrm{\&omega;}=\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&omega;}}$

$j_n=\stackrel{\&OverBar;}{j_n}$

其中，为ω的边界条件，为j_n的边界条件。

7.如权利要求6所述的多层包裹纤维增强智能材料过渡层电磁效应影响计算方法，其特征在于，所述多层包裹纤维增强智能材料等效理论模型在弱形式下的边值条件控制方程具体为：

其中，Ω为研究对象占据的体积域，m取值为1,2...η，r取值为1,2...p，η为非完美界面的总个数，p为第m个非完美界面被分割的总片数，Ξ^(r)为与第r相组成材料的参数相关量，为在切平面投影，Γ^(r)为过渡层，δω为虚基本场量，为四阶切向投影算子。

8.如权利要求7所述的多层包裹纤维增强智能材料过渡层电磁效应影响计算方法，其特征在于，所述步骤G中采用扩展有限元法对步骤E中构建的多层包裹纤维增强智能材料等效理论模型及弱形式下的边值条件控制方程进行离散化得到的离散方程具体为：

(K_V+K_S)W＝P

其中，W为包括正常位移和富集位移、电势自由度和磁势自由度的所有未知节点，K_V和K_S分别为多层包裹纤维增强智能材料等效理论模型在基体影响下和过渡层影响下产生的广义电导率，P为外压力、电位移和磁通量的激励。