CN112036039A - 一种共轭传热材料热性能的高精度数值分析方法 - Google Patents

一种共轭传热材料热性能的高精度数值分析方法 Download PDF

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CN112036039A CN202010902571.XA CN202010902571A CN112036039A CN 112036039 A CN112036039 A CN 112036039A CN 202010902571 A CN202010902571 A CN 202010902571A CN 112036039 A CN112036039 A CN 112036039A
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Abstract

本发明公开了一种共轭传热材料热性能的高精度数值分析方法，其特征在于包括以下步骤：分析共轭传热问题的实际物理过程，给出描述共轭传热过程的数学描述及控制方程；根据对夹层材料的参数和厚度、热传导系数等特点，提出描述夹层上物理量不连续条件的界面边界条件；采用数学方法对多层隔热材料导热模型进行离散，得到离散线性方程组；对离散线性方程组进行求解，并分析结果；本发明可以用来对聚合物处理的冷却系统，热整流器，高性能热电材料以及基于碳纳米管电极的材料的热传导过程和热阻性能进行高精度的快速分析方法。

Description

一种共轭传热材料热性能的高精度数值分析方法
技术领域
本发明涉及共轭传热材料的应用领域，对聚合物处理的冷却系统，热整流器，高性能热电材料以及基于碳纳米管电极材料的热传导过程和热阻性能进行高精度的快速分析方法。
背景技术
共轭传热问题是在非等温物理系统中通过非绝热接触热耦合的材料之间发现的涉及热力学过程的传热现象。共轭传热是指涉及固体和流体之间热力学过程的非等温物理系统，该系统由具有不同热性质的材料组成，这些材料通过非绝热接触而产生热耦合作用。共轭传热的问题在于确定这些多介质材料域中的温度分布，不同材料之间的接触面上满足特定的热传导率；许多的多物理场问题涉及多物质材料区域中以温度为物理量的问题，比如流体力学，固体力学和电磁学中出现的热力学，热弹性，电热磁学以及流体-热-结构相互耦合问题。因此，研究共轭传热问题的数值求解方法，对于研究和认识从核工程到航空工程的各种复杂应用中复杂热力学问题，具有非常重要的科学意义和应用价值。
共轭传热问题可以被多区域的椭圆界面问题所描述，其中各个子域对应于不同的材料，而界面对应于材料间的接触。该模型由二阶椭圆或抛物线偏微分方程组成，除了在边界上给定常见的边界条件外，还在界面上规定了温度和传导热通量的特定约束条件，称为界面条件。另外，由于接触的材料具有不同的热特性，因此该模型还包括界面上的不连续导热率，热容量和密度，但速度和热源也可能不连续。除了不连续的热特性外，不完美的热接触界面也难以解决，因为由于界面热阻，所获得的温度在界面上也不连续。由于这些原因，需要对界面条件和不连续的热特性进行适当处理的专门方法，以数值方式解决共轭传热问题。
大量的新兴工程应用涉及触点具有显着的界面热阻的多材料问题，例如聚合物处理的冷却系统，热整流器，高性能热电材料以及基于碳纳米管电极的材料。尽管具有不完善热接触的共轭传热是一个综合的问题，但是大多数数值方法只能处理完美热接触的连续性界面条件，而很少能处理具有非理想界面条件。 此外，具有复杂弯曲界面的共轭传热问题也未得到开发，特别是高阶的数值方法的研究亟待解决。因此，可以有效解决具有弯曲界面的共轭传热问题和不完善的热接触问题的数值方法越来越受到广大研究者的重视。高精度数值方法可以以提供准确的数值近似的解决方案，从而可以降低成本，可广泛用于各种工程应用。
发明内容
为了降低研发成本、缩短研发周期，本发明为共轭传热材料热性能提供一种共轭传热材料热性能的高精度数值分析方法，本方法通过数学模型及数值模拟的方法，能够方便快捷的预测隔热材料内、外侧的温度变化，从而可以对其传热过程和传热性能进行评估，同时对于研究和认识从核工程到航空工程的各种复杂应用中复杂热力学问题，具有非常重要的科学意义和应用价值。
本方法研究并总结了共轭传热材料中界面的主要特点,对复合材料接触面上的温度场不连续的现象进行研究, 给出温度物理量在接触面上的非理想跳跃关系,并对其进行数学表示。从而通过离散并求解描述存在不完美界面传热问题的偏微分方程，计算并分析共轭传热材材料的热传导过程和传热效率。
一种共轭传热材料热性能的高精度数值分析方法，包含如下步骤：
s1、分析共轭传热问题的实际物理过程，多介质传热模型进行分析和合理假设；
s2、给出描述共轭传热材料的传热过程的数学描述及控制方程；
s3、根据对夹层材料的参数和厚度、热传导系数等特点，提出描述夹层上物理量不连续条件的界面边界条件；
s4、采用数学方法对多层隔热材料导热模型进行离散，得到离散线性方程组；
s5、对离散线性方程组进行求解，并分析结果。
本发明的有益效果在于以下：
本方法通过数学模型及数值模拟的方法，能够方便快捷的预测隔热材料内、外侧的温度变化，从而可以对其传热过程和传热性能进行评估，同时对于研究和认识从核工程到航空工程的各种复杂应用中复杂热力学问题，具有非常重要的科学意义和应用价值。
附图说明
图1为具有非理想接触的多介质材料放大图。
图2为共轭传热问题的一维简化模型。
图3为一维问题网格及界面示意图。
图4为非规则点网格模板。
图5为实施例1数值解与精确解比较(a)。
图6为不同格式下的误差比较。
图7为不同网格下的误差比较。
具体实施方式
请参考图1-7，本申请揭示了一种共轭传热材料热性能的高精度数值分析方法，具体如下：
方便起见，先考虑定常共轭传热问题，即多介质材料的接触面是非理想的，且在接触面上有热阻，如图1所示； 温度在隔热材料内部的传递过程中达到稳定状态，并忽略材料本身对热量的吸收.
假设各层内材料各向同性且分布均匀，则二维问题可以沿着材料厚度方向(垂直方向)简化为一维问题来考虑，如下图2所示：
建立控制方程及界面连接条件
(a) 首先不同介质内部的稳态热传导过程可以由以下扩散方程来描述：
Figure DEST_PATH_IMAGE002
(1)
Figure DEST_PATH_IMAGE004
(2)
(b) 在不同介质间的交界面上会发生跳跃和间断，我们将采用如下的连接条件进行刻画：
Figure DEST_PATH_IMAGE006
(3)
Figure DEST_PATH_IMAGE008
(4)
其中，其中
Figure DEST_PATH_IMAGE010
，界面
Figure DEST_PATH_IMAGE012
，用字母
Figure DEST_PATH_IMAGE014
表示，界面将区域分割成为两部分，记为
Figure DEST_PATH_IMAGE016
和
Figure DEST_PATH_IMAGE018
；
Figure DEST_PATH_IMAGE020
为界面
Figure DEST_PATH_IMAGE014A
在区域
Figure DEST_PATH_IMAGE016A
上的单位外法线方向。
Figure DEST_PATH_IMAGE022
表示变量在界面处的跳跃值；
Figure DEST_PATH_IMAGE024
和
Figure DEST_PATH_IMAGE026
分别表示温度
Figure DEST_PATH_IMAGE028
在界面
Figure DEST_PATH_IMAGE014AA
两侧的极限值，即
Figure DEST_PATH_IMAGE030
Figure DEST_PATH_IMAGE032A
和
Figure DEST_PATH_IMAGE034
分别表示界面两侧介质的扩散系数。
式（3）建立了界面上左右两侧温度的关系，可以看出界面两侧温度的跳跃是和穿过界面的热流量成比例，比例系数为
Figure DEST_PATH_IMAGE036
。从式(4)中可以看出，热流穿过界面两侧相等，即界面上并不会吸收或产生热量。
离散方程并构造数值格式
构建有限差分格式
首先，对计算区域进行网格剖分，
Figure DEST_PATH_IMAGE038
，其中
Figure DEST_PATH_IMAGE040
。对方程(1)采用三点模板构建的有限差分格式可以写成
Figure DEST_PATH_IMAGE042
其中
Figure DEST_PATH_IMAGE044
.
不妨设界面位置满足，
Figure DEST_PATH_IMAGE046
，如图3所示
可以将网格点分为两类分别进行考虑:(1)规则网格点
Figure DEST_PATH_IMAGE048
，即模板中不包含界面所属的单元的网格点; (2) 反之，称为非规则网格点。
（1）对规格网格点构建差分格式
当
Figure DEST_PATH_IMAGE050
Figure DEST_PATH_IMAGE052
通常可以用四阶精度的差分来近似
Figure DEST_PATH_IMAGE054
（5）
其中
Figure DEST_PATH_IMAGE056
(6)
和
Figure DEST_PATH_IMAGE058
(7)
且，
Figure DEST_PATH_IMAGE060
，
Figure DEST_PATH_IMAGE062
.
对规则点利用四阶差分格式所构造的格式的局部截断误差为
Figure DEST_PATH_IMAGE064
Figure DEST_PATH_IMAGE066
(8)
对非规则点构建差分格式
对于非规则点
Figure DEST_PATH_IMAGE068
四阶精度的差分离散格式为
Figure DEST_PATH_IMAGE069
（9）
和
Figure DEST_PATH_IMAGE070
（10）
很明显，在格式（9）和（10）中含有两个辅助未知量
Figure DEST_PATH_IMAGE072
和
Figure DEST_PATH_IMAGE074
。为了应用以上的格式需要对
Figure DEST_PATH_IMAGE072A
和
Figure DEST_PATH_IMAGE074A
进行合理近似，使其具有一定的精度。这一问题的难度在于对一阶导数进行高精度离散。因此我们借助界面上的连接条件进行构造格式
Figure DEST_PATH_IMAGE075
（11）
将
Figure DEST_PATH_IMAGE077
和
Figure DEST_PATH_IMAGE079
分别在
Figure DEST_PATH_IMAGE081
处进行Talor展开
Figure DEST_PATH_IMAGE082
（12）
和
Figure DEST_PATH_IMAGE083
（13）
将以上两式重新改写为关于
Figure DEST_PATH_IMAGE085
和
Figure DEST_PATH_IMAGE087
的表达式
Figure DEST_PATH_IMAGE088
（14）
和
Figure DEST_PATH_IMAGE089
（15）
根据控制方程，可得
Figure DEST_PATH_IMAGE090
（16）
将（16）分别代入（14）和（15）式，并保留两式中的前两项，可以得到
Figure DEST_PATH_IMAGE085A
二阶精度的近似
Figure DEST_PATH_IMAGE091
（17）
其中
Figure DEST_PATH_IMAGE092
保留（14）和（15）式中的前3项，并根据控制方程得到三阶导数的表达式为
Figure DEST_PATH_IMAGE093
（18）
从而，将（18）式分别代入（14）和（15）中，可以得到
Figure DEST_PATH_IMAGE085AA
的三阶精度的近似格式
Figure DEST_PATH_IMAGE094
（19）
其中
Figure DEST_PATH_IMAGE095
进一步，可以得到
Figure DEST_PATH_IMAGE085AAA
的四阶精度的近似格式
Figure DEST_PATH_IMAGE096
（20）
其中
Figure DEST_PATH_IMAGE097
同理，一阶导数
Figure DEST_PATH_IMAGE087A
的二阶、三阶、四阶格式分别为
Figure DEST_PATH_IMAGE098
（21）
Figure DEST_PATH_IMAGE099
（22）
Figure DEST_PATH_IMAGE100
（23）
其中
Figure DEST_PATH_IMAGE101
计算界面辅助未知量
Figure DEST_PATH_IMAGE072AA
和
Figure DEST_PATH_IMAGE074AA
根据界面连接条件
Figure 112130DEST_PATH_IMAGE075
（24）
上节分别对一阶导数
Figure DEST_PATH_IMAGE087AA
和
Figure DEST_PATH_IMAGE085AAAA
的高阶离散格式
Figure DEST_PATH_IMAGE102
（25）
Figure DEST_PATH_IMAGE103
（26）
其中m表示不同的离散精度。
将（25）和（26）式分别代入（24）式中可以得到
Figure DEST_PATH_IMAGE104
(27)
重新整理（27）式，并将其表示为
Figure DEST_PATH_IMAGE072AAA
和
Figure DEST_PATH_IMAGE074AAA
的线性方程组可得
Figure DEST_PATH_IMAGE105
（28）
其中
Figure DEST_PATH_IMAGE106
求解以上的线性方程组，可以得到
Figure DEST_PATH_IMAGE072AAAA
和
Figure DEST_PATH_IMAGE074AAAA
具有m阶精度的表达式
Figure DEST_PATH_IMAGE107
和
Figure DEST_PATH_IMAGE108
其中
Figure DEST_PATH_IMAGE109
将数值格式转换为线性方程组
上一节中假设界面
Figure DEST_PATH_IMAGE111
, 将网格点分为两类分别构建了差分格式,
Figure DEST_PATH_IMAGE113
(30)
令
Figure DEST_PATH_IMAGE115
,则上述差分格式转换为线性方程组
Figure DEST_PATH_IMAGE117
， (31)
其中
Figure DEST_PATH_IMAGE119
Figure DEST_PATH_IMAGE121
其中，系数矩阵
Figure DEST_PATH_IMAGE123
为三对角矩阵，可采用追赶法快速求解。
求解方程组并分析结果
本部分首先通过两个具有精确解的问题对模型和数值格式进行验证。从表1可以看出，对于只有一个界面的问题，本研究所提出的算法能够准确的模拟界面两侧温度的间断和跳跃情况，并且误差随着网格数增加而不断减小，且保持近似二阶精度；从图5可以看出，数值解和精确解吻合的非常好，并且随着网格数的增大，误差不断减少；表2给出在不同网格数下的误差和CPU时间，可以看出误差随着网格数的增大而减少，并且CPU时间稳定的增加。
实施例1 考虑计算区域为
Figure DEST_PATH_IMAGE125
，界面位置
Figure DEST_PATH_IMAGE127
将区域分为两部分，该问题的精确解可以给出
Figure DEST_PATH_IMAGE128
其中，扩散系数为
Figure DEST_PATH_IMAGE130
系数
Figure DEST_PATH_IMAGE132
.
表1 例1在不同网格数下的
Figure DEST_PATH_IMAGE134
误差及收敛阶，
Figure DEST_PATH_IMAGE136
Figure DEST_PATH_IMAGE138
表2 界面辅助未知量
Figure DEST_PATH_IMAGE072AAAAA
和
Figure DEST_PATH_IMAGE074AAAAA
在各阶格式下的精度
Figure DEST_PATH_IMAGE140
。

Claims (1)

1.一种共轭传热材料热性能的高精度数值分析方法，其特征在于，包括如下步骤：
s1、先考虑定常共轭传热问题，即多介质材料的接触面是非理想的，且在接触面上有热阻；温度在隔热材料内部的传递过程中达到稳定状态，并忽略材料本身对热量的吸收；
设各层内材料各向同性且分布均匀，则二维问题可以沿着材料厚度方向简化为一维问题进行考虑：
s2、建立控制方程及界面连接条件
(a) 首先不同介质内部的稳态热传导过程可以由以下扩散方程来描述：
Figure 648109DEST_PATH_IMAGE002
(1)
Figure 896688DEST_PATH_IMAGE004
(2)
(b) 在不同介质间的交界面上会发生跳跃和间断，采用如下的连接条件进行刻画：
Figure 760739DEST_PATH_IMAGE006
(3)
Figure 43952DEST_PATH_IMAGE008
(4)
其中，其中
Figure 131994DEST_PATH_IMAGE010
，界面
Figure 867869DEST_PATH_IMAGE012
，用字母
Figure 535611DEST_PATH_IMAGE014
表示；界面将区域分割成为两部分，记为
Figure 670401DEST_PATH_IMAGE016
和
Figure 132607DEST_PATH_IMAGE018
；
Figure 355778DEST_PATH_IMAGE020
为界面
Figure 296052DEST_PATH_IMAGE014
在区域
Figure DEST_PATH_IMAGE021
上的单位外法线方向；
Figure DEST_PATH_IMAGE023
表示变量在界面处的跳跃值；
Figure DEST_PATH_IMAGE025
和
Figure DEST_PATH_IMAGE027
分别表示温度
Figure DEST_PATH_IMAGE029
在界面
Figure 429224DEST_PATH_IMAGE014
两侧的极限值，即
Figure DEST_PATH_IMAGE031
Figure DEST_PATH_IMAGE033
和
Figure DEST_PATH_IMAGE035
分别表示界面两侧介质的扩散系数；
式(3)建立了界面上左右两侧温度的关系，可以看出界面两侧温度的跳跃是和穿过界面的热流量成比例，比例系数为
Figure DEST_PATH_IMAGE037
；从式(4)中可以看出，热流穿过界面两侧相等，即界面上并不会吸收或产生热量；
s3、离散方程并构造数值格式
构建有限差分格式
首先，对计算区域进行网格剖分，
Figure DEST_PATH_IMAGE039
，其中
Figure DEST_PATH_IMAGE041
；
对方程(1)采用三点模板构建的有限差分格式可以写成
Figure DEST_PATH_IMAGE043
其中
Figure DEST_PATH_IMAGE045
；
设界面位置满足，
Figure DEST_PATH_IMAGE047
可以将网格点分为两类分别进行考虑:
规则网格点
Figure DEST_PATH_IMAGE049
，即模板中不包含界面所属的单元的网格点；
(2) 反之，称为非规则网格点；
对规格网格点构建差分格式
当
Figure DEST_PATH_IMAGE051
Figure DEST_PATH_IMAGE053
用四阶精度的差分来近似
Figure DEST_PATH_IMAGE055
（5）
其中
Figure DEST_PATH_IMAGE057
(6)
和
Figure DEST_PATH_IMAGE059
(7)
且，
Figure DEST_PATH_IMAGE061
，
Figure DEST_PATH_IMAGE063
.
对规则点利用四阶差分格式所构造的格式的局部截断误差为
Figure DEST_PATH_IMAGE065
Figure DEST_PATH_IMAGE067
(8)
对非规则点构建差分格式
对于非规则点
Figure 29707DEST_PATH_IMAGE069
四阶精度的差分离散格式为
Figure 740174DEST_PATH_IMAGE070
（9）
和
Figure DEST_PATH_IMAGE071
（10）
很明显，在格式（9）和（10）中含有两个辅助未知量
Figure DEST_PATH_IMAGE073
和
Figure 218560DEST_PATH_IMAGE075
；为了应用以上的格式需要对
Figure 330873DEST_PATH_IMAGE073
和
Figure 869301DEST_PATH_IMAGE075
进行合理近似，使其具有一定的精度；因此通过界面上的连接条件进行构造格式
Figure DEST_PATH_IMAGE076
（11）
将
Figure DEST_PATH_IMAGE078
和
Figure DEST_PATH_IMAGE080
分别在
Figure 267397DEST_PATH_IMAGE082
处进行Talor展开
Figure 815053DEST_PATH_IMAGE083
（12）
和
Figure DEST_PATH_IMAGE084
（13）
将以上两式重新改写为关于
Figure DEST_PATH_IMAGE086
和
Figure 453976DEST_PATH_IMAGE088
的表达式
Figure 694465DEST_PATH_IMAGE089
（14）
和
Figure 113945DEST_PATH_IMAGE090
（15）
根据控制方程，可得
Figure 465292DEST_PATH_IMAGE091
（16）
将（16）分别代入（14）和（15）式，并保留两式中的前两项，可以得到
Figure 286617DEST_PATH_IMAGE086
二阶精度的近似
Figure 698007DEST_PATH_IMAGE092
（17）
其中
Figure 401521DEST_PATH_IMAGE093
保留（14）和（15）式中的前3项，并根据控制方程得到三阶导数的表达式为
Figure 290979DEST_PATH_IMAGE094
（18）
从而，将（18）式分别代入（14）和（15）中，可以得到
Figure 232390DEST_PATH_IMAGE086
的三阶精度的近似格式
Figure 549102DEST_PATH_IMAGE095
（19）
其中
Figure 943174DEST_PATH_IMAGE096
进一步，可以得到
Figure 633394DEST_PATH_IMAGE086
的四阶精度的近似格式
Figure 163733DEST_PATH_IMAGE097
（20）
其中
Figure 916925DEST_PATH_IMAGE098
同理，一阶导数
Figure 798293DEST_PATH_IMAGE099
的二阶、三阶、四阶格式分别为
Figure 91872DEST_PATH_IMAGE100
（21）
Figure 742296DEST_PATH_IMAGE101
（22）
Figure 400810DEST_PATH_IMAGE102
（23）
其中
Figure 769475DEST_PATH_IMAGE103
计算界面辅助未知量
Figure 804427DEST_PATH_IMAGE073
和
Figure 309357DEST_PATH_IMAGE075
根据界面连接条件
Figure 138773DEST_PATH_IMAGE076
（24）
分别对一阶导数
Figure 994734DEST_PATH_IMAGE099
和
Figure 630114DEST_PATH_IMAGE086
的高阶离散格式
Figure 989551DEST_PATH_IMAGE104
（25）
Figure 255448DEST_PATH_IMAGE105
（26）
其中m表示不同的离散精度；
将（25）和（26）式分别代入（24）式中可以得到
Figure 333125DEST_PATH_IMAGE106
(27)
重新整理（27）式，并将其表示为
Figure 975459DEST_PATH_IMAGE073
和
Figure 189403DEST_PATH_IMAGE075
的线性方程组可得
Figure 623271DEST_PATH_IMAGE107
（28）
其中
Figure 188244DEST_PATH_IMAGE108
求解以上的线性方程组，可以得到
Figure 368690DEST_PATH_IMAGE073
和
Figure 702719DEST_PATH_IMAGE075
具有m阶精度的表达式
Figure 107156DEST_PATH_IMAGE109
和
Figure DEST_PATH_IMAGE110
其中
Figure 628267DEST_PATH_IMAGE111
s4、将数值格式转换为线性方程组
假设界面
Figure 346824DEST_PATH_IMAGE113
, 将网格点分为两类分别构建了差分格式，
Figure 535360DEST_PATH_IMAGE115
(30)
令
Figure 313960DEST_PATH_IMAGE117
,则上述差分格式转换为线性方程组
Figure 853526DEST_PATH_IMAGE119
， (31)
其中
Figure DEST_PATH_IMAGE120
Figure DEST_PATH_IMAGE122
其中，系数矩阵
Figure DEST_PATH_IMAGE124
为三对角矩阵，可采用追赶法快速求解；
s5、求解方程组并分析结果
首先通过两个具有精确解的问题对模型和数值格式进行验证；从表1可以看出，对于只有一个界面的问题，本研究所提出的算法能够准确的模拟界面两侧温度的间断和跳跃情况，并且误差随着网格数增加而不断减小，且保持近似二阶精度；而且数值解和精确解吻合的非常好，随着网格数的增大，误差不断减少；表2给出在不同网格数下的误差和CPU时间，可以看出误差随着网格数的增大而减少，并且CPU时间稳定的增加，
表1
Figure 579036DEST_PATH_IMAGE125
表2
Figure DEST_PATH_IMAGE126
。
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