CN110728087B - 一种三明治型多层复合材料热性能数值分析方法 - Google Patents

一种三明治型多层复合材料热性能数值分析方法 Download PDF

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CN110728087B CN201910914729.2A CN201910914729A CN110728087B CN 110728087 B CN110728087 B CN 110728087B CN 201910914729 A CN201910914729 A CN 201910914729A CN 110728087 B CN110728087 B CN 110728087B
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Abstract

本发明公开了一种“三明治”型多层复合材料热性能数值分析方法，其特征在于包括以下步骤：分析多层传热问题的实际物理过程，多模型进行分析和合理假设；给出描述多层材料传热过程的数学描述及控制方程；根据对夹层材料的参数和厚度、热传导系数等特点，提出描述夹层上物理量不连续条件的界面边界条件；采用数学方法对多层隔热材料导热模型进行离散，得到离散线性方程组；对离散线性方程组进行求解，并分析结果;本发明可以用来对夹芯钢材，耐热防火墙等多层复合材料的热传导过程和热阻性能进行高精度的快速分析方法。

Description

一种三明治型多层复合材料热性能数值分析方法
技术领域
本发明涉及复合阻热材料的应用领域，具体为“三明治”型多层复合材料热性能数值分析方法。
背景技术
自20世纪70年代世界能源危机来,节能的需求促进了绝热技术的发展,绝热技术受到了前所未有的重视。多层隔热材料具有隔热效果好、质量小、污染小等优点，已经在航天、航空、化工、制冷、空分等领域得到广泛应用! 因此对多层隔热材料的隔热性能进行研究，对飞行器热设计具有积极的工程应用价值。一些先进的科学研究,如大型强子对撞机、空间低温技术、超导核磁共振仪、超导磁体和超导电缆等对低温绝热技术提出了新的更离的要求:更好的绝热性能、更低的使用成本、对绝热系统性能的测试评价体系及标准的完善等。多层隔热材料（Multi-Layer Insulation，简称MLI）由多层变密度物质和低热导率的间隔层交替叠合而成。多层绝热材料由于其自身传热的复杂性,目前对其在低温上的传热特性研究主要有试验方法和计算分析方法，但是实验方法耗费的成本大，周期长；计算分析方法计算体量大，结果描述不够准确。
本文首先从复合材料中存在的过渡层的物理性质出发，对复合材料过渡层的物理场不连续的现象进行研究,给出物理量在粘合过渡层的跳跃关系,并对其进行数学表示。随后利用一个不完美界面来代替复合材料中之前存在的过渡层,且保留物理场在过渡层的不连续性来建立不完美界面模型。此模型的特点式将热传导问题的不完美界面描述为在此界面处温度场不连续,且温度场的跳跃与法向热流的界面处平均值成正比。从而建立了一个描述存在不完美界面的传热问题的偏微分方程。此后，通过有限差分格式并结合浸入界面方法对偏微分方程进行离散，建立了一个稳定的二阶精度的数值格式。通过求解离散后的微分方程，可以对多介质隔热材料的导热过程和隔热性能进行快速、准确的数值模拟。
发明内容
本发明的目的在于提供一种三明治型多层复合材料热性能数值分析方法，本方法通过数学模型及数值模拟的方法，能够方便快捷的预测隔热材料内、外侧的温度变化，从而可以对其隔热热性能进行评估。同时，新的方法成本小、周期短、能够快速的对不同材料特性进行计算机模拟，因此可以为隔热材料的设计提供更好的方案和指导，所得结果也更加精准；采用计算机数值模拟的方法研究多层材料的热性能，因此不受限于材料的类型、厚度等物理因素，可以应用于任意材质的复合多层材料。
为解决上述技术问题，采用如下技术手段：
一种三明治型多层复合材料热性能数值分析方法，其特征在于，包括以下步骤：
s1：分析多层传热问题的实际物理过程，多模型进行分析和合理假设：
由三层不同材料组成的“三明治”型隔热材料，首先分析定常传热问题，即温度在隔热材料内部的传递过程中达到稳定状态，并忽略材料本身对热量的吸收，假设各层内材料各向同性且分布均匀，则二维问题可以沿着材料厚度方向(垂直方向)简化为一维问题来考虑，根据以上的分析和假设，可以将研究的问题简化为一维导热问题，其特征如下:
(a) 由三种物质组成，每两层之间存在低热导率的夹层；
(b) 在夹层上的物理量发生间断；
(c) 温度由外到内，由高到低传递；
“三明治”型复合材料之间的夹层可以通过合理的数学假设看做是非理想界面，并针对界面上的物理性质不连续的特点，提出相关的界面连接条件；既可以把实际物理问题转化为数学问题进行求解，由于稳态热传导过程是由二阶偏微分方程（Possion方程）所描述；
s2：给出描述多层材料传热过程的数学描述及控制方程：
不同介质内部的稳态热传导过程可以由以下扩散方程来描述：
Figure DEST_PATH_IMAGE001
(1)
Figure DEST_PATH_IMAGE002
(2)
(b) 在不同介质间的交界面上会发生跳跃和间断，我们将采用如下的连接条件进行刻画：
Figure DEST_PATH_IMAGE003
(3)
Figure DEST_PATH_IMAGE004
(4)
其中，其中
Figure DEST_PATH_IMAGE005
，界面
Figure DEST_PATH_IMAGE006
。
Figure DEST_PATH_IMAGE007
为界面
Figure DEST_PATH_IMAGE008
在区域
Figure DEST_PATH_IMAGE009
上的单位外法线方向；[u]表示变量在界面处的跳跃值。
Figure DEST_PATH_IMAGE010
和
Figure DEST_PATH_IMAGE011
分别表示温度
Figure DEST_PATH_IMAGE012
在界面
Figure 916760DEST_PATH_IMAGE008
两侧的极限值，即
Figure DEST_PATH_IMAGE013
Figure DEST_PATH_IMAGE014
和
Figure DEST_PATH_IMAGE015
分别表示界面两侧介质的扩散系数；
式（3）建立了界面上左右两侧温度的关系，可以看出界面两侧温度的跳跃是和穿过界面的热流量成比例，比例系数为
Figure DEST_PATH_IMAGE016
；从式(4)中可以看出，热流穿过界面两侧相等，即界面上并不会吸收或产生热量；
s3：根据对夹层材料的参数和厚度、热传导系数等特点，提出描述夹层上物理量不连续条件的界面边界条件：
左边界采用辐射换热方式，辐射方式的热量计算可以表示为：
Figure DEST_PATH_IMAGE017
其中，
Figure DEST_PATH_IMAGE018
为热流，
Figure DEST_PATH_IMAGE019
为辐射系数,
Figure DEST_PATH_IMAGE020
为Stefan-Boltzmann常数,
Figure DEST_PATH_IMAGE021
是表面温度,
Figure DEST_PATH_IMAGE022
为环境温度。
右边界采用绝热边界条件：
Figure DEST_PATH_IMAGE023
界面上采用跳跃连接条件：
Figure DEST_PATH_IMAGE024
Figure DEST_PATH_IMAGE025
由以上分析，可知方程的边界条件；问题的解存在唯一解；
s4：采用数学方法对多层隔热材料导热模型进行离散，得到离散线性方程组：
对计算区域进行网格剖分，
Figure DEST_PATH_IMAGE026
，其中
Figure DEST_PATH_IMAGE027
；对方程(1)采用三点模板构建的有限差分格式可以写成
Figure DEST_PATH_IMAGE028
(5)
其中
Figure DEST_PATH_IMAGE029
；
设界面位置满足，
Figure DEST_PATH_IMAGE030
将网格点分为两类分别进行考虑:(1)规则网格点
Figure DEST_PATH_IMAGE031
，即模板中不包含界面所属的单元的网格点; (2) 反之，称为非规则网格点;
（1）对规格网格点构建差分格式
当
Figure DEST_PATH_IMAGE032
通常可以用中心差分来近似
Figure DEST_PATH_IMAGE033
(6)
和
Figure DEST_PATH_IMAGE034
(7)
其中，
Figure DEST_PATH_IMAGE035
对规则点利用中心差分格式所构造的格式的局部截断误差为
Figure DEST_PATH_IMAGE036
Figure DEST_PATH_IMAGE037
(8)
（2）对非规则点构建差分格式
当
Figure DEST_PATH_IMAGE039
时，将模板中的点
Figure DEST_PATH_IMAGE041
分别在
Figure DEST_PATH_IMAGE043
处做泰勒级数展开
Figure DEST_PATH_IMAGE044
(9)
Figure DEST_PATH_IMAGE045
(10)
Figure DEST_PATH_IMAGE046
(11)
如果
Figure DEST_PATH_IMAGE047
，那么
Figure DEST_PATH_IMAGE048
被定义为从左侧逼近的
Figure DEST_PATH_IMAGE049
的极限。对应的
Figure DEST_PATH_IMAGE050
就是这个特定极限的近似值。
因此
Figure DEST_PATH_IMAGE051
(12)
其中
Figure DEST_PATH_IMAGE052
(13)
从(3)和(4)的界面连接条件可知
Figure DEST_PATH_IMAGE053
(14)
且从方程(1)可得
Figure DEST_PATH_IMAGE054
(15)
由(13)-(15)式推出
Figure DEST_PATH_IMAGE055
(16)
将式(14),(15)代入(11)得出
Figure DEST_PATH_IMAGE056
(17)
利用(8)可得，
Figure DEST_PATH_IMAGE057
(18)
将(9),(10),(17)代入上述方程，整理可得
Figure DEST_PATH_IMAGE058
(19)根据待定系数法，为了确保
Figure DEST_PATH_IMAGE060
，则要求
Figure DEST_PATH_IMAGE062
项的系数，以及常数项
消失，因此给出了四个方程，要求
Figure DEST_PATH_IMAGE064
和
Figure DEST_PATH_IMAGE066
满足
Figure DEST_PATH_IMAGE067
(20)
Figure DEST_PATH_IMAGE068
(21)
Figure DEST_PATH_IMAGE069
(22)
Figure DEST_PATH_IMAGE070
(23)
将上述方程组写成矩阵的形式,
Figure DEST_PATH_IMAGE071
(24)
其中
Figure DEST_PATH_IMAGE072
求解(24)式的线性方程组,可得
Figure DEST_PATH_IMAGE073
，
同理，当
Figure DEST_PATH_IMAGE075
时，可得
Figure DEST_PATH_IMAGE076
和
Figure DEST_PATH_IMAGE077
满足
Figure DEST_PATH_IMAGE078
(25)
Figure DEST_PATH_IMAGE079
(26)
Figure DEST_PATH_IMAGE080
(27)
Figure DEST_PATH_IMAGE081
(28)
将上述方程组写成矩阵的形式,
Figure DEST_PATH_IMAGE082
(29)
其中
Figure DEST_PATH_IMAGE083
求解(29)式的线性方程组,可得
Figure DEST_PATH_IMAGE084
，
(3) 将数值格式转换为线性方程组
上一节中假设界面
Figure DEST_PATH_IMAGE085
, 将网格点分为两类分别构建了差分格式,
Figure DEST_PATH_IMAGE086
(30)
令
Figure DEST_PATH_IMAGE087
,则上述差分格式转换为线性方程组
Figure DEST_PATH_IMAGE088
， (31)
其中
Figure DEST_PATH_IMAGE089
其中，系数矩阵
Figure DEST_PATH_IMAGE090
为三对角矩阵，可采用追赶法快速求解；
s5：对离散线性方程组进行求解，并分析结果。
本发明的有益效果在于以下：
1.本专利发明内容可以对“三明治”型多层复合材料进行快速，稳定的数值模拟，能够方便快捷的预测隔热材料内、外侧的温度变化，从而可以对其隔热热性能进行评估，同时也可以为隔热材料的设计提供更好的方案和指导；
2. 本专利的发明采用计算机数值模拟的方法研究多层材料的热性能，因此不受限于材料的类型、厚度等物理因素，可以应用于任意材质的复合多层材料；
3. 本专利的方法简单、可靠，当材质发生变化时只需要在计算机中调整相应的物理参数即可，因此，是一种经济省钱的研究方法，可以帮助研发和分析项目节约成本和时间。
附图说明
图1为本发明的“三明治”型隔热材料模型示意图。
图2为本发明的二维各向同性问题简化为一维问题示意图。
图3为本发明的一维问题的示意图。
图4为本发明的一维问题网格及界面示意图。
图5（a）为本发明的算例1数值解与精确解比较。
图5（b）为本发明的算例1不同网格数下误差比较。
图6（a）为本发明的算例2数值解与精确解比较。
图6（b）为本发明的算例2不同网格数下误差比较。
具体实施方式
下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例仅仅是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。
问题分析及模型假设
首先， 考虑由三层不同材料组成的 “三明治”型隔热材料模型，如图1所示：
方便起见，考虑定常传热问题，即温度在隔热材料内部的传递过程中达到稳定状态，并忽略材料本身对热量的吸收。
假设各层内材料各向同性且分布均匀，则二维问题可以沿着材料厚度方向(垂直方向)简化为一维问题来考虑，如图2所示：
根据以上的分析和假设，可以将研究的问题简化为一维导热问题，其特征如下:
(a) 由三种物质组成，每两层之间存在低热导率的夹层；
(b) 在夹层上的物理量发生间断；
(c) 温度由外到内，由高到低传递。
在本实施例中提供的方法可以对夹芯钢板的稳态导热过程进行数值模拟。夹芯钢板的物理模型示意图如图2所示。 钢板之间的夹层可以通过合理的数学假设看做是非理想界面，并针对界面上的物理性质不连续的特点，提出相关的界面连接条件。因此，就可以把实际物理问题转化为数学问题进行求解。由于稳态热传导过程是由二阶偏微分方程（Possion方程）所描述。因此，夹芯钢板传热过程和热阻性能的物理问题的控制方程可以由(1)-(4)式所示。夹芯钢板的尺寸和热传导系数如下表1（保温热夹层材料参数表）所示：
表1
Figure DEST_PATH_IMAGE091
(2) 建立数学模型
(a) 首先不同介质内部的稳态热传导过程可以由以下扩散方程来描述：
Figure DEST_PATH_IMAGE092
(1)
Figure DEST_PATH_IMAGE093
(2)
(b) 在不同介质间的交界面上会发生跳跃和间断，我们将采用如下的连接条件进行刻画：
Figure DEST_PATH_IMAGE094
(3)
Figure DEST_PATH_IMAGE095
(4)
其中，其中
Figure DEST_PATH_IMAGE096
，界面
Figure DEST_PATH_IMAGE097
。
Figure DEST_PATH_IMAGE098
为界面
Figure DEST_PATH_IMAGE099
在区域
Figure DEST_PATH_IMAGE100
上的单位外法线方向。[u]表示变量在界面处的跳跃值。
Figure DEST_PATH_IMAGE101
和
Figure DEST_PATH_IMAGE102
分别表示温度
Figure DEST_PATH_IMAGE103
在界面
Figure DEST_PATH_IMAGE104
两侧的极限值，即
Figure DEST_PATH_IMAGE105
Figure DEST_PATH_IMAGE106
和
Figure DEST_PATH_IMAGE107
分别表示界面两侧介质的扩散系数。
式（3）建立了界面上左右两侧温度的关系，可以看出界面两侧温度的跳跃是和穿过界面的热流量成比例，比例系数为
Figure DEST_PATH_IMAGE108
。从式(4)中可以看出，热流穿过界面两侧相等，即界面上并不会吸收或产生热量。
界面及边界条件
左边界采用辐射换热方式，辐射方式的热量计算可以表示为：
Figure DEST_PATH_IMAGE109
其中，
Figure DEST_PATH_IMAGE110
为热流，
Figure DEST_PATH_IMAGE111
为辐射系数,
Figure DEST_PATH_IMAGE112
为Stefan-Boltzmann常数,
Figure DEST_PATH_IMAGE113
是表面温度,
Figure DEST_PATH_IMAGE114
为环境温度，
Figure DEST_PATH_IMAGE116
。
右边界采用绝热边界条件：
Figure DEST_PATH_IMAGE117
界面上采用跳跃连接条件：
Figure DEST_PATH_IMAGE118
由以上分析，可知方程的边界条件。因此，该问题是适定的，问题的解也存在唯一。
离散方程并构造数值格式
首先，对计算区域进行网格剖分，
Figure DEST_PATH_IMAGE119
，其中
Figure DEST_PATH_IMAGE120
。对方程(1)采用三点模板构建的有限差分格式可以写成
Figure DEST_PATH_IMAGE121
(5)
其中
Figure DEST_PATH_IMAGE122
，
设界面位置满足，
Figure DEST_PATH_IMAGE123
，如图4所示
可以将网格点分为两类分别进行考虑:(1)规则网格点
Figure DEST_PATH_IMAGE124
，即模板中不包含界面所属的单元的网格点; (2) 反之，称为非规则网格点。
（1）对规格网格点构建差分格式
当
Figure DEST_PATH_IMAGE125
通常可以用中心差分来近似
Figure DEST_PATH_IMAGE126
(6)
和
Figure DEST_PATH_IMAGE127
(7)
其中，
Figure DEST_PATH_IMAGE128
，
对规则点利用中心差分格式所构造的格式的局部截断误差为
Figure DEST_PATH_IMAGE130
Figure DEST_PATH_IMAGE131
(8)
（2）对非规则点构建差分格式
当
Figure DEST_PATH_IMAGE132
时，将模板中的点
Figure DEST_PATH_IMAGE133
分别在
Figure DEST_PATH_IMAGE134
处做泰勒级数展开
Figure DEST_PATH_IMAGE135
(9)
Figure DEST_PATH_IMAGE136
(10)
Figure DEST_PATH_IMAGE137
(11)
如果
Figure DEST_PATH_IMAGE138
，那么
Figure DEST_PATH_IMAGE139
被定义为从左侧逼近的
Figure DEST_PATH_IMAGE140
的极限。对应的
Figure DEST_PATH_IMAGE141
就是这个特定极限的近似值。
因此
Figure DEST_PATH_IMAGE142
(12)
其中
Figure DEST_PATH_IMAGE143
(13)
从(3)和(4)的界面连接条件可知
Figure DEST_PATH_IMAGE144
(14)
且从方程(1)可得
Figure DEST_PATH_IMAGE145
(15)
由(13)-(15)式推出
Figure DEST_PATH_IMAGE146
(16)
将式(14),(15)代入(11)得出
Figure DEST_PATH_IMAGE147
(17)
利用(8)可得，
Figure DEST_PATH_IMAGE148
(18)
将(9),(10),(17)代入上述方程，整理可得
Figure DEST_PATH_IMAGE149
(19)
根据待定系数法，为了确保
Figure DEST_PATH_IMAGE150
，则要求
Figure DEST_PATH_IMAGE151
项的系数，以及常数项消失。因此给出了四个方程。要求
Figure DEST_PATH_IMAGE152
和
Figure DEST_PATH_IMAGE153
满足
Figure DEST_PATH_IMAGE154
(20)
Figure DEST_PATH_IMAGE155
(21)
Figure DEST_PATH_IMAGE156
(22)
Figure DEST_PATH_IMAGE157
(23)
将上述方程组写成矩阵的形式,
Figure DEST_PATH_IMAGE158
(24)
其中
Figure DEST_PATH_IMAGE159
求解(24)式的线性方程组,可得
Figure DEST_PATH_IMAGE160
，
同理，当
Figure DEST_PATH_IMAGE161
时，可得
Figure DEST_PATH_IMAGE162
和
Figure DEST_PATH_IMAGE163
满足
Figure DEST_PATH_IMAGE164
(25)
Figure DEST_PATH_IMAGE165
(26)
Figure DEST_PATH_IMAGE166
(27)
Figure DEST_PATH_IMAGE167
(28)
将上述方程组写成矩阵的形式,
Figure DEST_PATH_IMAGE168
(29)
其中
Figure DEST_PATH_IMAGE169
求解(29)式的线性方程组,可得
Figure DEST_PATH_IMAGE170
。
(3) 将数值格式转换为线性方程组
上一节中假设界面
Figure DEST_PATH_IMAGE171
, 将网格点分为两类分别构建了差分格式,
Figure DEST_PATH_IMAGE172
(30)令
Figure DEST_PATH_IMAGE173
,则上述差分格式转换为线性方程组
Figure DEST_PATH_IMAGE174
(31)
其中
Figure DEST_PATH_IMAGE175
其中，系数矩阵
Figure DEST_PATH_IMAGE176
为三对角矩阵，可采用追赶法快速求解。
（5）求解方程组并分析结果
本部分首先通过两个具有精确解的问题对模型和数值格式进行验证。从表2可以看出，对于只有一个界面的问题，本研究所提出的算法能够准确的模拟界面两侧温度的间断和跳跃情况，并且误差随着网格数增加而不断减小，且保持近似二阶精度。从图5可以看出，数值解和精确解吻合的非常好，并且随着网格数的增大，误差不断减少；表3给出算例2在不同网格数下的误差和CPU时间，可以看出误差随着网格数的增大而减少，并且CPU时间稳定的增加。
例1 考虑计算区域为
Figure DEST_PATH_IMAGE177
，界面位置
Figure DEST_PATH_IMAGE178
将区域分为两部分，该问题的精确解可以给出
Figure DEST_PATH_IMAGE179
其中，扩散系数为
Figure DEST_PATH_IMAGE180
系数
Figure DEST_PATH_IMAGE181
。
例1在不同网格数下的
Figure DEST_PATH_IMAGE182
误差及收敛阶，
Figure DEST_PATH_IMAGE183
表2
Figure DEST_PATH_IMAGE184
。
例2 以一个具有两个界面且具有精确解的问题，继续验证并考察数值格式的精度及程序设计的正确性。考虑计算区域为
Figure DEST_PATH_IMAGE185
，两个界面位置分别为
Figure DEST_PATH_IMAGE186
，并将区域分为三部分，该问题的精确解和扩散系数分别为
Figure DEST_PATH_IMAGE187
例2在不同网格数下的
Figure DEST_PATH_IMAGE188
误差及收敛阶，
Figure DEST_PATH_IMAGE189
。
表3
Figure DEST_PATH_IMAGE190
以上所述，仅为本发明较佳的具体实施方式，但本发明的保护范围并不局限于此，任何熟悉本技术领域的技术人员在本发明揭露的技术范围内，根据本发明的技术方案及其构思加以等同替换或改变，都应涵盖在本发明的保护范围之内。

Claims (1)

1.一种三明治型多层复合材料热性能数值分析方法，其特征在于，包括以下步骤：
s1：分析多层传热问题的实际物理过程，多模型进行分析和合理假设：
由三层不同材料组成的“三明治”型隔热材料，首先分析定常传热问题，即温度在隔热材料内部的传递过程中达到稳定状态，并忽略材料本身对热量的吸收，假设各层内材料各向同性且分布均匀，则二维问题可以沿着材料厚度方向简化为一维问题来考虑，根据以上的分析和假设，可以将研究的问题简化为一维导热问题，其特征如下：
(a) 由三种物质组成，每两层之间存在低热导率的夹层；
(b) 在夹层上的物理量发生间断；
(c) 温度由外到内，由高到低传递；
“三明治”型复合材料之间的夹层可以通过数学假设看做是非理想界面，并针对界面上的物理性质不连续的特点，提出相关的界面连接条件；既可以把实际物理问题转化为数学问题进行求解，由于稳态热传导过程是由二阶偏微分方程所描述；
s2：给出描述多层材料传热过程的数学描述及控制方程：
不同介质内部的稳态热传导过程可以由以下扩散方程来描述：
Figure RE-DEST_PATH_IMAGE001
Figure RE-DEST_PATH_IMAGE002
在不同介质间的交界面上会发生跳跃和间断，我们将采用如下的连接条件进行刻画：
Figure RE-DEST_PATH_IMAGE003
其中
Figure RE-DEST_PATH_IMAGE004
，界面
Figure RE-DEST_PATH_IMAGE005
；
Figure RE-DEST_PATH_IMAGE006
为界面
Figure RE-DEST_PATH_IMAGE008
在区域
Figure RE-DEST_PATH_IMAGE009
上的单位外法线方向；[u]表示变量在界面处的跳跃值；
Figure RE-DEST_PATH_IMAGE010
和
Figure RE-DEST_PATH_IMAGE011
分别表示温度
Figure RE-DEST_PATH_IMAGE012
在界面
Figure RE-236843DEST_PATH_IMAGE008
两侧的极限值，即
Figure RE-DEST_PATH_IMAGE013
Figure RE-DEST_PATH_IMAGE014
和
Figure RE-DEST_PATH_IMAGE015
分别表示界面两侧介质的扩散系数；
式（3）建立了界面上左右两侧温度的关系，推出界面两侧温度的跳跃是和穿过界面的热流量成比例，比例系数为
Figure RE-DEST_PATH_IMAGE016
；从式(4)中可以看出，热流穿过界面两侧相等，即界面上并不会吸收或产生热量；
s3：根据对夹层材料的参数和厚度、热传导系数等特点，提出描述夹层上物理量不连续条件的界面边界条件：
左边界采用辐射换热方式，辐射方式的热量计算可以表示为：
Figure RE-DEST_PATH_IMAGE017
其中，
Figure RE-DEST_PATH_IMAGE018
为热流，
Figure RE-DEST_PATH_IMAGE019
为辐射系数,
Figure RE-DEST_PATH_IMAGE020
为Stefan-Boltzmann常数,
Figure RE-DEST_PATH_IMAGE021
是表面温度,
Figure RE-DEST_PATH_IMAGE022
为环境温度；
右边界采用绝热边界条件：
Figure RE-DEST_PATH_IMAGE023
界面上采用跳跃连接条件：
Figure RE-DEST_PATH_IMAGE024
由以上分析，可知方程的边界条件；问题的解存在唯一解；
s4：采用数学方法对多层隔热材料导热模型进行离散，得到离散线性方程组：
对计算区域进行网格剖分，
Figure RE-DEST_PATH_IMAGE025
，其中
Figure RE-DEST_PATH_IMAGE026
；对方程(1)采用三点模板构建的有限差分格式可以写成
Figure RE-DEST_PATH_IMAGE027
(5)
其中
Figure RE-DEST_PATH_IMAGE028
；
设界面位置满足，
Figure RE-DEST_PATH_IMAGE029
将网格点分为两类分别进行考虑：(1)规则网格点
Figure RE-DEST_PATH_IMAGE030
，即模板中不包含界面所属的单元的网格点；(2) 反之，称为非规则网格点；
（1）对规格网格点构建差分格式
当
Figure RE-DEST_PATH_IMAGE031
通常可以用中心差分来近似
Figure RE-DEST_PATH_IMAGE032
(6)
和
Figure RE-DEST_PATH_IMAGE033
(7)
其中，
Figure RE-DEST_PATH_IMAGE034
对规则点利用中心差分格式所构造的格式的局部截断误差为
Figure RE-DEST_PATH_IMAGE035
Figure RE-DEST_PATH_IMAGE036
(8)
（2）对非规则点构建差分格式
当
Figure RE-DEST_PATH_IMAGE037
时，将模板中的点
Figure RE-DEST_PATH_IMAGE038
分别在
Figure RE-DEST_PATH_IMAGE039
处做泰勒级数展开
Figure RE-DEST_PATH_IMAGE040
(9)
Figure RE-DEST_PATH_IMAGE041
(10)
Figure RE-DEST_PATH_IMAGE042
(11)
如果
Figure RE-DEST_PATH_IMAGE043
，那么
Figure RE-DEST_PATH_IMAGE044
被定义为从左侧逼近的
Figure RE-DEST_PATH_IMAGE045
的极限，对应的
Figure RE-DEST_PATH_IMAGE046
就是这个特定极限的近似值；
因此
Figure RE-DEST_PATH_IMAGE047
(12)
其中
Figure RE-DEST_PATH_IMAGE048
(13)
从(3)和(4)的界面连接条件可知
Figure RE-DEST_PATH_IMAGE049
(14)
且从方程(1)可得
Figure RE-DEST_PATH_IMAGE050
(15)
由(13)-(15)式推出
Figure RE-DEST_PATH_IMAGE051
(16)
将式(14),(15)代入(11)得出
Figure RE-DEST_PATH_IMAGE052
(17)
利用(8)可得，
Figure RE-DEST_PATH_IMAGE053
(18)
将(9),(10),(17)代入上述方程，整理可得
Figure RE-DEST_PATH_IMAGE054
(19)
根据待定系数法，为了确保
Figure RE-DEST_PATH_IMAGE055
，则要求
Figure RE-DEST_PATH_IMAGE056
项的系数，以及常数项消失，因此给出了四个方程，要求
Figure RE-DEST_PATH_IMAGE057
和
Figure RE-DEST_PATH_IMAGE058
满足
Figure RE-DEST_PATH_IMAGE059
(20)
Figure RE-DEST_PATH_IMAGE060
(21)
Figure RE-DEST_PATH_IMAGE061
(22)
Figure RE-DEST_PATH_IMAGE062
(23)
将上述方程组写成矩阵的形式,
Figure RE-RE-DEST_PATH_IMAGE063
(24)
其中
Figure RE-DEST_PATH_IMAGE064
求解(24)式的线性方程组,可得
Figure RE-RE-DEST_PATH_IMAGE065
，
同理，当
Figure RE-DEST_PATH_IMAGE066
时，可得
Figure RE-RE-DEST_PATH_IMAGE067
和
Figure RE-DEST_PATH_IMAGE068
满足
Figure RE-RE-DEST_PATH_IMAGE069
(25)
Figure RE-DEST_PATH_IMAGE070
(26)
Figure RE-RE-DEST_PATH_IMAGE071
(27)
Figure RE-DEST_PATH_IMAGE072
(28)
将上述方程组写成矩阵的形式,
Figure RE-RE-DEST_PATH_IMAGE073
(29)
其中
Figure RE-DEST_PATH_IMAGE074
求解(29)式的线性方程组,可得
Figure RE-RE-DEST_PATH_IMAGE075
(3) 将数值格式转换为线性方程组
上一节中假设界面
Figure RE-DEST_PATH_IMAGE076
, 将网格点分为两类分别构建了差分格式,
Figure RE-RE-DEST_PATH_IMAGE077
(30)
令
Figure RE-DEST_PATH_IMAGE078
,则上述差分格式转换为线性方程组
Figure RE-RE-DEST_PATH_IMAGE079
， (31)
其中
Figure RE-DEST_PATH_IMAGE080
其中，系数矩阵
Figure RE-RE-DEST_PATH_IMAGE081
为三对角矩阵，可采用追赶法快速求解；
s5：对离散线性方程组进行求解，并分析结果。
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