CN115204243B - 基于相似三角波形匹配延拓的lmd端点效应改善方法 - Google Patents

基于相似三角波形匹配延拓的lmd端点效应改善方法 Download PDF

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CN115204243B CN202211119765.8A CN202211119765A CN115204243B CN 115204243 B CN115204243 B CN 115204243B CN 202211119765 A CN202211119765 A CN 202211119765A CN 115204243 B CN115204243 B CN 115204243B
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Abstract

本发明公开了一种基于相似三角波形匹配延拓的LMD端点效应改善方法，属于信号处理技术领域，以左端信号为例，包括：对任意信号，以端点、第一个极大值点与第一个极小值点组成样本三角波形，记
Figure DEST_PATH_IMAGE001
为其对应的特征三角形，称为样本特征三角形；计算待匹配三角形起点或终点对应的时刻；计算得到三边比例值；计算得到匹配误差；将最小匹配误差与预设的最小匹配误差阈值进行对比，得到最优匹配波形，根据最优匹配波形对信号左端进行延拓；若未匹配到最优匹配波形，则根据信号中的极值点计算平均波形；利用平均波形对信号左端进行延拓，并利用三次样条插值法计算得到每个左端延拓信号中离散采样点的信号值。本发明解决了端点效应对LMD分解过程影响的问题。

Description

基于相似三角波形匹配延拓的LMD端点效应改善方法
技术领域
本发明属于信号处理技术领域，尤其涉及一种基于相似三角波形匹配延拓的LMD端点效应改善方法。
背景技术
局部均值分解法LMD（Local Mean Decomposition），是一种新的自适应信号处理方法。该方法对于处理非线性、非平稳的多尺度复杂数据，具有独特的优势和适用性。
局部均值分解法LMD在各个工程领域得到了广泛应用，其理论相较于传统的时频分析方法：小波分析、经验模态分解，具有一定的优势，但仍存在不足之处，如：端点效应、模态混叠和滑动步长的选择等问题。
局部均值分解法LMD是利用确定信号的局部极值点来求取局部均值函数和包络估计函数，进而求取各PF分量的过程。现实工程中，所有的待处理信号的长度都是有限的，这就导致信号边缘处的端点可能不是极值点，若端点不是极值点，在计算求取局部均值线段和包络估计线段时，所得实际结果与真实结果存在较大差异，由此通过滑动平均法平滑得到的结果，并不是待处理信号完整的局部均值函数和包络估计函数，并且随着迭代次数的逐渐增加端点效应引起的两端发散失真现象会逐渐向内部扩散，进而影响局部均值分解法LMD分解得到的每一个PF分量。
针对端点效应，已有学者进行研究并提出了系列改进方法，如：神经网络——镜像延拓法、极值延拓法、时间序列ARMA模型线性预测延拓法、多项式拟合延拓法、基于支持向量机的预测延拓法等。上述各种方法都取得了较好的效果，但存在一定局限性，数据预测和神经网络延拓方法，延拓算法复杂，运算量大，计算效率低；镜像延拓在于精确地找到放置镜子的位置，镜像位置不同，效果也不尽一样；极值延拓法只考虑端点附近的极值点对延拓信号的影响，但对于非平稳的复杂信号，仅仅考虑端点附近极值的信息，并不能很好的抑制端点效应。
发明内容
针对现有技术中的上述不足，本发明提供的一种基于相似三角波形匹配延拓的LMD端点效应改善方法，以解决端点效应对LMD分解过程的影响。
为了达到上述发明目的，本发明采用的技术方案为：一种基于相似三角波形匹配延拓的LMD端点效应改善方法，包括以下步骤：
S1、对任意的一个信号，以端点S1、第一个极大值点M1与第一个极小值点N1组成样本三角波形，记
Figure 696684DEST_PATH_IMAGE001
为其对应的特征三角形，称为样本特征三角形；
S2、以信号中相邻极值点Mi和Ni作为待匹配三角波形中的两个端点，分别对应
Figure 955889DEST_PATH_IMAGE002
中的M1和N1，并根据样本特征三角形和相似性原则，计算待匹配三角波形起点Si对应的时刻t(Si)；
S3、根据时刻t(Si)确定起点Si的信号值，并根据Mi、Ni和Si构成信号中待匹配三角波形对应的样本特征三角形
Figure 666356DEST_PATH_IMAGE003
，并计算得到样本特征三角形
Figure 738217DEST_PATH_IMAGE004
与样本特征三角形
Figure 912847DEST_PATH_IMAGE005
的三边比例值；
S4、根据三边比例值，计算得到匹配误差；
S5、判断最小匹配误差是否小于等于预设的最小匹配误差阈值，若是，则进入步骤S6，否则，进入步骤S7；
S6、根据判断结果，得到最优匹配波形，并根据最优匹配波形对信号左端进行延拓，并对信号左端延拓信号进行LMD分解，得到端点效应改善后的LMD分解结果；
S7、若未匹配到最优匹配波形，则根据信号中相邻极值点Mm和Nn计算平均波形；
S8、利用平均波形对信号左端进行延拓，并利用三次样条插值法计算得到每个左端延拓信号中离散采样点的信号值，完成对信号左端的延拓，基于延拓后的左端信号进行LMD分解，得到端点效应改善后的LMD分解结果；
S9、采用步骤S1-步骤S8的方法，对信号右端进行延拓，基于延拓后的右端信号进行LMD分解，得到端点效应改善后的LMD分解结果。
本发明的有益效果是：本方案在处理信号的过程中，可充分利用采样点与特征点间相似三角波形匹配延拓的趋势特征，并充分考虑了信号内部的变化规律，最大限度的保持原信号的内在规律特征，从原始信号内寻找满足阈值要求的最优匹配波形，以解决端点效应对LMD分解过程的影响。
进一步地，所述待匹配三角波形起点对应的时刻t(Si)的表达式如下：
Figure 44751DEST_PATH_IMAGE006
其中，t(Ni)表示待匹配三角波形中Ni所在的时刻，t(N1)表示样本三角波形中N1所在的时刻，t(S1)表示样本三角波形中S1所在的时刻，t(Mi)表示待匹配三角波形中Mi所在的时刻，t(M1)表示样本三角波形中极大值M1所在的时刻，Si、Mi和Ni分别表示待匹配三角波形中的起点、极大值点和极小值点。
上述进一步方案的有益效果是：本发明通过上式，从原始信号中找到与样本三角形波的端点对应的起点，以确定一个待匹配的三角形波。
再进一步地，所述步骤S3具体为：
根据时刻t(Si)确定起点Si的信号值，并根据Mi、Ni和Si构成信号中待匹配三角波形对应的样本特征三角形
Figure 304831DEST_PATH_IMAGE007
；
根据信号中待匹配三角波形对应的样本特征三角形
Figure 914804DEST_PATH_IMAGE008
，利用三角形相似原理，计算得到样本特征三角形
Figure 943940DEST_PATH_IMAGE009
与样本特征三角形
Figure 184428DEST_PATH_IMAGE010
的三边比例值。
再进一步地，所述三边比例值的表达式如下：
Figure 931804DEST_PATH_IMAGE011
其中，K1i、K2i和K3i表示三边比例值，
Figure 846933DEST_PATH_IMAGE012
表示距离。
上述进一步方案的有益效果是：本发明通过计算样本三角形和待匹配三角形的三边比例值，用于确定两个三角形的相似度（匹配度），从而获取最优的匹配波形，以进行延拓过程。
再进一步地，所述匹配误差的表达式如下：
Figure 996154DEST_PATH_IMAGE013
其中，e(ki)表示匹配误差，
Figure 469861DEST_PATH_IMAGE014
表示取最大值，
Figure 438954DEST_PATH_IMAGE015
表示取最小值，
Figure 593992DEST_PATH_IMAGE016
表示向上取整。
上述进一步方案的有益效果是：本发明通过上式，以通过提前设置的阈值，来筛选匹配度满足要求的待匹配三角形波。
再进一步地，所述步骤S6包括以下步骤：
S601、根据判断结果，将最小匹配误差阈值
Figure 597720DEST_PATH_IMAGE017
对应的三角波形作为最优波形；
S602、从最优波形的起点Sb往前截取至某一极小值点Nb处的所有信号序列，并记为lx；
S603、根据信号序列lx，计算得到信号集合，并基于信号集合向信号左端进行延拓；
S604、对信号左端延拓信号进行LMD分解。
上述进一步方案的有益效果是：本发明获取最优波形以后，按照一定的长度截取最优波形至最优波形左边的极小值点，截取到的信号即目标延拓信号。
再进一步地，所述信号集合的表达式如下：
Figure 976749DEST_PATH_IMAGE018
其中，Lx表示信号集合，
Figure 698717DEST_PATH_IMAGE019
表示三边比例值均值，C表示信号值的平移量，
Figure 454184DEST_PATH_IMAGE020
表示信号序列lx的终点信号值，
Figure 515680DEST_PATH_IMAGE021
表示样本三角波形的端点信号值。
上述进一步方案的有益效果是：由于三角形相似性并不能保证大小一致，因此，需要将截取到的信号进行放缩和平移，以平滑过渡至原始信号端点。
再进一步地，所述步骤S8包括以下步骤：
S801、计算信号左端端点S1与第一个极大值M1之间的采样间隔
Figure 832655DEST_PATH_IMAGE022
：
Figure 776340DEST_PATH_IMAGE023
S802、根据信号中全部极大值点Mm和相邻的极小值点Nn，计算p组采样间隔
Figure 335497DEST_PATH_IMAGE024
，并根据采样间隔
Figure 48238DEST_PATH_IMAGE025
计算得到平均波形
Figure 34649DEST_PATH_IMAGE026
，其中，所述平均波形
Figure 668892DEST_PATH_IMAGE027
为极大值点Mm和相邻的极小值点Nn之间的平均采样间隔；
Figure 31741DEST_PATH_IMAGE028
Figure 598988DEST_PATH_IMAGE029
其中，t(Mm)表示信号中Mm所在的时刻，t(Nn)表示信号中Nn所在的时刻，k表示每个采样间隔的序号；
S803、判断平均波形
Figure 756300DEST_PATH_IMAGE030
是否小于等于采样间隔
Figure 877840DEST_PATH_IMAGE031
，若是，则时刻
Figure 14685DEST_PATH_IMAGE032
处为一极小值点，并利用三角形相似原理，计算得到时刻
Figure 702019DEST_PATH_IMAGE033
处的信号值
Figure 295811DEST_PATH_IMAGE034
，并进入步骤S805，否则，所述平均波形
Figure 170226DEST_PATH_IMAGE035
大于采样间隔
Figure 140456DEST_PATH_IMAGE036
，并进入步骤S804，其中，
Figure 682296DEST_PATH_IMAGE037
表示重新确定的极小值点的采样时刻；
S804、取信号值
Figure 384673DEST_PATH_IMAGE038
向左延拓的一极小值，计算得到该极小值点对应的时刻
Figure 11963DEST_PATH_IMAGE039
，并利用三角形相似原理，计算得到该时刻
Figure 989146DEST_PATH_IMAGE040
得的信号值，完成对信号左端的延拓，基于延拓后的左端信号进行LMD分解，得到端点效应改善后的LMD分解结果；
S805、根据信号值
Figure 418116DEST_PATH_IMAGE041
，利用三次样条插值法，按采样间隔计算得到
Figure 88132DEST_PATH_IMAGE042
每个离散采样点时刻对应的信号值，完成对信号左端的延拓，基于延拓后的左端信号进行LMD分解，得到端点效应改善后的LMD分解结果。
上述进一步方案的有益效果是：当在原始信号中没有匹配到满足要求的三角形波时，根据原始信号的相邻极值点间的平均距离，在端点处生成一个极值点，以改善端点效应。
再进一步地，所述时刻
Figure 405981DEST_PATH_IMAGE043
的表达式如下：
Figure 186855DEST_PATH_IMAGE044
所述信号值
Figure 968866DEST_PATH_IMAGE045
的表达式如下：
Figure 809783DEST_PATH_IMAGE046
其中，
Figure 614928DEST_PATH_IMAGE047
表示样本三角形波中极大值M1的信号值，
Figure 199493DEST_PATH_IMAGE048
表示样本三角形波中端点S1的信号值；
所述时刻
Figure 836011DEST_PATH_IMAGE049
的表达式如下：
Figure 847829DEST_PATH_IMAGE050
Figure 874691DEST_PATH_IMAGE051
Figure 764412DEST_PATH_IMAGE052
其中，
Figure 989857DEST_PATH_IMAGE053
表示重新确定的极小值点N0与样本三角波形中的极大值点M1的信号值的差值，
Figure 438156DEST_PATH_IMAGE054
表示样本三角波形中的端点和极大值点的信号值的差值。
上述进一步方案的有益效果是：本发明通过确定新的极值点的位置，并根据原始信号采样间距进行三次样条内插，形成完整的信号，完成信号的延拓。
附图说明
图1为本发明的方法流程图。
图2为本实施例中仿真信号的四种方法分解后的希尔伯特谱图。
图3为本实施例中GNSS和温度监测数据示意图。
图4为本实施例中未延拓LMD分解结果示意图。
图5为本实施例中镜像延拓LMD分解结果示意图。
图6为本实施例中BP神经网络延拓LMD分解结果示意图。
图7为本实施例中本发明延拓LMD分解结果示意图。
图8为本实施例中四种方法的趋势项曲线示意图。
具体实施方式
下面对本发明的具体实施方式进行描述，以便于本技术领域的技术人员理解本发明，但应该清楚，本发明不限于具体实施方式的范围，对本技术领域的普通技术人员来讲，只要各种变化在所附的权利要求限定和确定的本发明的精神和范围内，这些变化是显而易见的，一切利用本发明构思的发明创造均在保护之列。
实施例
现实工程中，所有的待处理信号的长度都有限，信号边缘处的端点可能不是极值点，若端点不是极值点，局部均值线段和包络估计线段的计算过程中会在端点附近自动添加一些虚假信息，进而影响分解效果，并且随着迭代次数的逐渐增加端点效应引起的两端发散失真现象会逐渐向内部扩散。因此，抑制LMD分解过程中的端点效应对信号的准确分解和最大限度地维护信号的内在趋势有很大的实际意义。基于此，如图1所示，本发明提供了一种基于相似三角波形匹配延拓的LMD端点效应改善方法，其实现方法如下：
S1、对任意的一个信号，以端点S1、第一个极大值点M1与第一个极小值点N1组成样本三角波形，记
Figure 14631DEST_PATH_IMAGE055
为其对应的特征三角形，称为样本特征三角形；
S2、以信号中相邻极值点Mi和Ni作为待匹配三角波形中的两个端点，分别对应
Figure 144261DEST_PATH_IMAGE056
中的M1和N1，并根据样本特征三角形和相似性原则，计算待匹配三角波形起点Si对应的时刻t(Si)；
本实施例中，以信号中相邻极值点作为待匹配三角波形的特征三角形的两个端点（Mi、Ni），根据样本特征三角形计算待匹配三角波形起（终）点Si对应的时刻t(Si)：
Figure 224212DEST_PATH_IMAGE057
其中，t(Ni)表示待匹配三角波形中Ni所在的时刻，t(N1)表示样本三角波形中N1所在的时刻，t(S1)表示样本三角波形中S1所在的时刻，t(Mi)表示待匹配三角波形中Mi所在的时刻，t(M1)表示样本三角波形中极大值M1所在的时刻，Si、Mi和Ni分别表示待匹配三角波形中的起点、极大值点和极小值点，对应特征三角形
Figure 108992DEST_PATH_IMAGE058
。
若
Figure 907183DEST_PATH_IMAGE059
，则令
Figure 371663DEST_PATH_IMAGE060
，确保每个三角波形均在相邻两个极大值范围内，若
Figure 774962DEST_PATH_IMAGE061
不在采样时刻上，可用三次样条插值法求出该时刻的信号值。
本实施例中，首先已知一个样本特征三角形，即信号波端点处由端点S1、第一个极大值点M1与第一个极小值点N1构成的三角形
Figure 66528DEST_PATH_IMAGE062
，然后，从信号中选择一个极大值点Mi和一个极小值点Ni，作为待匹配三角形的两个顶点，但是由于Mi和Ni的时间间隔与M1和N1的时间间隔不一致，因此需要根据相似性计算另一个端点Si所在的横坐标，即采样时间，据此可以得到信号值，从而形成一个完整的三角形，并通过该完整的三角形，计算匹配误差。
S3、根据时刻t(Si)确定起点Si的信号值，并根据Mi、Ni和Si构成信号中待匹配三角波形对应的样本特征三角形
Figure 352016DEST_PATH_IMAGE063
，并计算得到样本特征三角形
Figure 885766DEST_PATH_IMAGE064
与样本特征三角形
Figure 143572DEST_PATH_IMAGE065
的三边比例值，其具体为：
根据时刻t(Si)确定起点Si的信号值，并根据Mi、Ni和Si构成信号中待匹配三角波形对应的样本特征三角形
Figure 838995DEST_PATH_IMAGE066
；
根据信号中待匹配三角波形对应的样本特征三角形
Figure 611779DEST_PATH_IMAGE067
，利用三角形相似原理，计算得到样本特征三角形
Figure 949220DEST_PATH_IMAGE068
与样本特征三角形
Figure 858270DEST_PATH_IMAGE069
的三边比例值。
本实施例中，以信号左端为例，根据待匹配的三角波形对应的特征三角形
Figure 193436DEST_PATH_IMAGE070
，利用三角形相似原理，即两个相似三角形的对应边长度比例一致的原则，求出
Figure 187937DEST_PATH_IMAGE071
与样本特征三角形
Figure 818815DEST_PATH_IMAGE072
的三边比例值，分别为K1i、K2i和K3i：
Figure 847950DEST_PATH_IMAGE073
其中，K1i、K2i和K3i表示三边比例值，
Figure 88439DEST_PATH_IMAGE074
表示距离，可利用两点的采样间隔和信号数值差通过距离公式计算得到。
S4、根据三边比例值，计算得到匹配误；
本实施例中，以信号左端为例，计算匹配误差
Figure 835815DEST_PATH_IMAGE075
：
Figure 249479DEST_PATH_IMAGE076
其中，e(ki)表示匹配误差，
Figure 398700DEST_PATH_IMAGE077
表示取最大值，
Figure 606828DEST_PATH_IMAGE078
表示取最小值，
Figure 779183DEST_PATH_IMAGE079
表示向上取整。
理想情况下，希望的匹配波形和样本波形完全相似，即有
Figure 996538DEST_PATH_IMAGE080
，K1i=K2i=K3i，但实际情况不一定完全相似，则可根据e(ki)判断其匹配误差。
S5、判断最小匹配误差是否小于等于预设的最小匹配误差阈值，若是，则进入步骤S6，否则，进入步骤S7；
本实施例中，定最小匹配误差阈值，与最小匹配误差比较：
Figure 734687DEST_PATH_IMAGE081
其中，
Figure 146339DEST_PATH_IMAGE082
表示最小匹配误差阈值。
若上式成立，则匹配成功，后续按步骤S5进行左端延拓；反之，则匹配失败，后续按步骤S6进行延拓。这里
Figure 665045DEST_PATH_IMAGE083
取值可视情况而定，本发明取值为1。
S6、根据判断结果，得到最优匹配波形，并根据最优匹配波形对信号左端进行延拓，并对信号左端延拓信号进行LMD分解，得到端点效应改善后的LMD分解结果，其实现方法如下：
S601、根据判断结果，将最小匹配误差阈值
Figure 623774DEST_PATH_IMAGE084
对应的三角波形作为最优波形
Figure 482008DEST_PATH_IMAGE085
；
S602、从最优波形
Figure 297517DEST_PATH_IMAGE085
的起点Sb往前截取至某一极小值点Nb处的所有信号序列，并记为lx；
S603、根据信号序列lx，计算得到信号集合，并基于信号集合向信号左端进行延拓；
S604、对信号左端延拓信号进行LMD分解。
本实施例中，将最小匹配误差
Figure 241203DEST_PATH_IMAGE086
对应的三角波形
Figure 800360DEST_PATH_IMAGE085
作为最优匹配波形，截取最优波形的起点Sb往前至某一极小值点Nb（本发明截取长度为0.2倍的极大值点序列长度）处的所有信号序列，记为lx，其中，Mb表示最优波形的极大值点，Nb表示最优波形的极小值点。因为是通过三角形相似原理匹配的最优波形，相似比不为1的情况下存在数值放缩现象，此时若直接将
Figure DEST_PATH_IMAGE087
放至到原始信号左端可能无法平滑连接，这时：
Figure 748987DEST_PATH_IMAGE088
其中，Lx表示信号集合，
Figure 735397DEST_PATH_IMAGE089
表示三边比例值均值，C表示信号值的平移量，
Figure 431958DEST_PATH_IMAGE090
表示信号序列lx的终点信号值，
Figure 732489DEST_PATH_IMAGE091
表示样本三角波形的端点信号值，K1i、K2i和K3i表示三边比例值，左端匹配完成后，信号集合为｛Lx(1),Lx(2),…,Lx(edn),x(2),x(3),…,x(end)｝。
S7、若未匹配到最优匹配波形，则根据信号中相邻极值点Mm和Nn计算平均波形；
S8、利用平均波形对信号左端进行延拓，并利用三次样条插值法计算得到每个左端延拓信号中离散采样点的信号值，完成对信号左端的延拓，基于延拓后的左端信号进行LMD分解，得到端点效应改善后的LMD分解结果，其实现方法如下：
S801、计算信号左端端点S1与第一个极大值M1之间的采样间隔
Figure 299737DEST_PATH_IMAGE092
：
Figure 722628DEST_PATH_IMAGE093
S802、根据信号中全部极大值点Mm和相邻的极小值点Nn，计算p组采样间隔
Figure 375326DEST_PATH_IMAGE094
，并根据采样间隔
Figure 276286DEST_PATH_IMAGE095
计算得到平均波形
Figure 166882DEST_PATH_IMAGE096
，其中，所述平均波形
Figure 495095DEST_PATH_IMAGE097
为极大值点Mm和相邻的极小值点Nn之间的平均采样间隔；
Figure 402133DEST_PATH_IMAGE098
Figure 841205DEST_PATH_IMAGE099
其中，t(Mm)表示信号中Mm所在的时刻，t(Nn)表示信号中Nn所在的时刻，k表示每个采样间隔的序号；
S803、判断平均波形
Figure 586307DEST_PATH_IMAGE100
是否小于等于采样间隔
Figure 85421DEST_PATH_IMAGE101
，若是，则时刻
Figure 978291DEST_PATH_IMAGE037
处为一极小值点，并利用三角形相似原理，计算得到时刻
Figure 221053DEST_PATH_IMAGE102
处的信号值
Figure 86241DEST_PATH_IMAGE103
，并进入步骤S805，否则，所述平均波形
Figure 756257DEST_PATH_IMAGE104
大于采样间隔
Figure 870843DEST_PATH_IMAGE105
，并进入步骤S804，其中，
Figure 917297DEST_PATH_IMAGE106
表示重新确定的极小值点的采样时刻；
S804、取信号值
Figure 636991DEST_PATH_IMAGE107
向左延拓的一极小值，计算得到该极小值点对应的时刻
Figure 979373DEST_PATH_IMAGE108
，并利用三角形相似原理，计算得到该时刻
Figure 581256DEST_PATH_IMAGE109
得的信号值，完成对信号左端的延拓，基于延拓后的左端信号进行LMD分解，得到端点效应改善后的LMD分解结果；
S805、根据信号值
Figure 165821DEST_PATH_IMAGE110
，利用三次样条插值法，按采样间隔计算得到
Figure 536759DEST_PATH_IMAGE111
每个离散采样点时刻对应的信号值，完成对信号左端的延拓，基于延拓后的左端信号进行LMD分解，得到端点效应改善后的LMD分解结果。
本实施例中，没有匹配到最优匹配波形，首先计算左端端点S1与第一个极大值
Figure 751840DEST_PATH_IMAGE112
之间的采样间隔
Figure 841019DEST_PATH_IMAGE113
，而后计算第二个极大值M2至第一个极小值N1的采样间隔，记为
Figure 229275DEST_PATH_IMAGE114
，并以此方式用往后极大值点Mm和相邻极小值点Nn计算p组
Figure 720299DEST_PATH_IMAGE115
，求其均值
Figure 106281DEST_PATH_IMAGE116
，
Figure 417177DEST_PATH_IMAGE117
表示向上取值为整数个采样间隔，比较
Figure 110588DEST_PATH_IMAGE118
与
Figure 456119DEST_PATH_IMAGE119
的大小。
①
Figure 13002DEST_PATH_IMAGE120
，则认为时刻
Figure 811194DEST_PATH_IMAGE121
处为一个极小值点，利用三角形相似原理，求出该处信号值
Figure 541253DEST_PATH_IMAGE122
，其中，
Figure 6869DEST_PATH_IMAGE123
表示样本三角形波中极大值M1的信号值，
Figure 531391DEST_PATH_IMAGE124
表示样本三角形波中端点S1的信号值；
②
Figure 20141DEST_PATH_IMAGE125
，则取
Figure 819470DEST_PATH_IMAGE126
作为向左延拓的一个极小值，该点对应的时刻
Figure 874014DEST_PATH_IMAGE127
，其中
Figure 70902DEST_PATH_IMAGE128
，
Figure 843686DEST_PATH_IMAGE129
，
Figure 118810DEST_PATH_IMAGE130
处理保证
Figure 27860DEST_PATH_IMAGE131
为采样时刻，
Figure 425343DEST_PATH_IMAGE132
表示重新确定的极小值点N0与样本三角形波中的极大值点M1的信号值的差值，
Figure 419844DEST_PATH_IMAGE133
表示样本三角形波中的端点和极大值点的信号值的差值；
无论是情况①还是②，最后均采用三次样条插值法，按采样间隔求出
Figure 498658DEST_PATH_IMAGE134
间每个采样点时刻对应的信号值。
S9、采用步骤S1-步骤S8的方法，对信号右端进行延拓，基于延拓后的右端信号进行LMD分解，得到端点效应改善后的LMD分解结果。
本实施例中，信号右端延拓步骤与上述步骤S1-步骤S8相同，不再赘述。延拓后的信号为
Figure 262215DEST_PATH_IMAGE135
，对
Figure 565020DEST_PATH_IMAGE136
进行LMD分解后按照
Figure 312397DEST_PATH_IMAGE138
的时间范围截取各分量，可得端点效应抑制后的分解结果。
下面对本发明作进一步的说明。
实施时，本发明分别将仿真信号和某大跨度公铁两用斜拉大桥的GNSS高程监测数据和温度监测数据作为研究对象。
首先是以仿真信号为研究对象，设仿真信号为：
Figure 227525DEST_PATH_IMAGE139
为了说明本方案的相较于传统延拓方法的优势，下面采用本发明延拓后的LMD分解结果与传统的镜像延拓后的LMD分解结果进行对比。为进一步说明端点效应的影响程度，做出四种分解结果的希尔伯特谱，如图2所示，图2（a）是未延拓的结果示意图，可直观看到125Hz、40Hz和10Hz的分量在框线的两端处频率摆动明显；图2（b）是镜像延拓的结果示意图，端点效应虽得到一定改善，还是能看出各分量两端存在一定程度的发散；图2（c）和图2（d）分别是BP神经网络延拓的结果示意图与本发明延拓的结果示意图，各分量端点效应改善效果均优于前两种方法，尤其是40Hz和10Hz两个分量的频率几乎没有摆动。
表1
Figure 314430DEST_PATH_IMAGE140
由表1可看出，表1为端点效应抑制效果评价指标，各分量的相关系数
Figure 788137DEST_PATH_IMAGE141
、均方根误差
Figure 22809DEST_PATH_IMAGE142
均能相互对应，且本发明得到的各分量与原始信号的相关系数均大于其他三种方法，均方根误差均小于其他三种方法，故可得出结论，相似三角波形匹配延拓方法对LMD分解过程中的端点效应抑制效果显著，可提高分解结果的精度。
其次，将某大跨度公铁两用斜拉大桥的GNSS高程监测数据和温度监测数据作为研究对象，分析该斜拉桥受温度变化影响而产生的高程变化。选取该桥主跨中的HSTXJ15北斗监测站，一共113天每天凌晨0-1点的公路面的平均垂向位移数据（以下沉为正，抬升为负）和平均温度数据，按温度从低到高进行排序，如图4-图7所示。大跨度斜拉桥的垂向变形主要由交通荷载、温度变化、环境噪声和长期挠度引起。因为选取的数据时间段均为每日0-1点，为铁路天窗期，同时公路面车流量相对较小，可认为每期公路面的交通荷载情况、环境噪声情况大致相同，故在较短的观测期内，可认为几乎没有长期挠度引起的高程变化趋势，其高程变化趋势主要由温度变化引起。
由图3可知，较为平缓的曲线为温度随时间变化曲线，波动较大的曲线为位桥梁垂向位移随时间变化曲线，虽然位移数据受到交通荷载和环境噪声的影响呈现一定的波动性，但随温度的逐渐升高，该桥主跨中明显呈现下降趋势，这符合一般斜拉桥主跨桥面随温度上升而逐步下沉的规律。经计算，垂向位移数据与温度数据的相关系数为0.782，仅呈现出中度相关，故所测的实际数据并不能十分精确反映跨中高程随温度变化的变化趋势。将该数据通过前文四种LMD方法分解，提取高程随温度变化的变形趋势，结果如图4-图7所示。
图4-图7中，d表示天（下同），图4为未延拓LMD分解结果，图5为镜像延拓LMD分解结果，图6为BP神经网络延拓LMD分解结果，图7为本发明延拓LMD分解结果。未延拓和BP神经网络延拓LMD均获得4个PF分量及1个残余分量R，镜像和本发明延拓LMD均获得3个PF分量及1个残余分量R。各分量分别与温度数据进行相关系数计算，计算结果如表2，表2为各分量与实测温度的相关系数：
表2
Figure 240164DEST_PATH_IMAGE143
变形监测数据经LMD分解后低频的残余分量为趋势项，通过表2可知，未延拓、镜像延拓分解和BP神经网络延拓分解的残余分量R与温度数据的相关系数分别为0.85740、0.94235和0.95460，虽均低于本发明得到的残余分量R的相关系数0.97439，但均高于其他各PF分量和原始数据的相关系数，可见残余分量R反映为桥梁跨中的垂向位移随温度变化的趋势项。图8为四种方法的趋势项曲线，因为端点效应的缘故，未延拓和镜像延拓分解所得的趋势项两端出现较明显的发散，与实测温度数据相关程度稍差；而本发明延拓分解得到的趋势项，其趋势项与实测温度数据相关性最高，趋势项曲线平滑，最能体现斜拉桥跨中的垂向位移随温度改变的变化趋势。
高频的PF1分量可认为是测量噪声，而PF2-PF4等中低频分量由于受到交通荷载，以及长周期挠度变形等因素影响，其变化呈现一定的随机性和趋势性。由表2可知未延拓的LMD分解的PF4分量，以及镜像延拓分解的PF3由于受端点效应的影响仍然与实测温度数据表现出一定的相关性。故将四种分解结果的最后两个PF分量分别与其趋势项进行组合后与温度进行相关分析，结果如表3所示，表3为低频分量组合后与温度的相关系数。
表3
Figure 978312DEST_PATH_IMAGE144
由表3可知，未延拓分解得到的PF3与PF4分量分别与残余分量R进行不同方式的组合后，其结果与实测温度的相关性均高于单项残余分量R与实测温度的相关性，说明由于端点效应的影响，PF3和PF4分量中仍然混杂了少量由温度变化引起的高程变化的趋势项；镜像延拓和BP神经网络延拓LMD分解得到的PF3（PF4）分量与残余分量R组合后与温度的相关程度也略高于单项残余分量R；而本发明延拓LMD分解得到的后两项PF分量与残余分量组合后与实测温度的相关性均低于单项残余分量R的与实测温度的相关性，说明其单项残余分量R是最符合跨中高程随实际随温度变化的趋势项，同时也说明本发明延拓的LMD方法，能较好抑制端点效应，使得各分量的成分相对清晰。故通过实例证明，本发明改进的LMD方法，能较好的用于实际大型公铁两用斜拉桥的变形趋势提取与分析。
本发明根据已提出的多种抑制端点效应的方法，对比分析不同方法的局限性与优越性后，根据采样点间三角波形的相似性，并充分考虑信号内部的变化规律，最大限度的保持原信号的内在规律特征，从原始信号内寻找满足阈值要求的最优匹配波形，以解决端点效应对LMD分解过程的影响。

Claims (9)

1.一种基于相似三角波形匹配延拓的LMD端点效应改善方法，其特征在于，包括以下步骤：
S1、对任意的一个信号，以端点S 1 、第一个极大值点M 1 与第一个极小值点N 1 组成样本三角波形，记
Figure 733606DEST_PATH_IMAGE001
为其对应的特征三角形，称为样本特征三角形；
S2、以信号中相邻极值点M i 和N i 作为待匹配三角波形中的两个端点，分别对应
Figure 40130DEST_PATH_IMAGE002
中的M 1 和N 1 ，并根据样本特征三角形和相似性原则，计算待匹配三角波形起点S i 对应的时刻t(S i )；
S3、根据时刻t(S i )确定起点S i 的信号值，并根据M i 、N i 和S i 构成信号中待匹配三角波形对应的样本特征三角形
Figure 232208DEST_PATH_IMAGE003
，并计算得到样本特征三角形
Figure 531340DEST_PATH_IMAGE004
与样本特征三角形
Figure 817965DEST_PATH_IMAGE005
的三边比例值；
S4、根据三边比例值，计算得到匹配误差；
S5、判断最小匹配误差是否小于等于预设的最小匹配误差阈值，若是，则进入步骤S6，否则，进入步骤S7；
S6、根据判断结果，得到最优匹配波形，并根据最优匹配波形对信号左端进行延拓，并对信号左端延拓信号进行LMD分解，得到端点效应改善后的LMD分解结果；
S7、若未匹配到最优匹配波形，则根据信号中全部极大值点M m 和相邻的极小值点N n 计算平均波形；
S8、利用平均波形对信号左端进行延拓，并利用三次样条插值法计算得到每个左端延拓信号中离散采样点的信号值，完成对信号左端的延拓，基于延拓后的左端信号进行LMD分解，得到端点效应改善后的LMD分解结果；
S9、采用步骤S1-步骤S8的方法，对信号右端进行延拓，基于延拓后的右端信号进行LMD分解，得到端点效应改善后的LMD分解结果。
2.根据权利要求1所述的基于相似三角波形匹配延拓的LMD端点效应改善方法，其特征在于，所述待匹配三角波形起点对应的时刻t(S i )的表达式如下：
Figure 958090DEST_PATH_IMAGE006
其中，t(N i )表示待匹配三角波形中N i 所在的时刻，t(N 1 )表示样本三角波形中N 1 所在的时刻，t(S 1 )表示样本三角波形中S 1 所在的时刻，t(M i )表示待匹配三角波形中M i 所在的时刻，t(M 1 )表示样本三角波形中极大值M 1 所在的时刻，S i 、M i 和N i 分别表示待匹配三角波形中的起点、极大值点和极小值点。
3.根据权利要求2所述的基于相似三角波形匹配延拓的LMD端点效应改善方法，其特征在于，所述步骤S3具体为：
根据时刻t(S i )确定起点S i 的信号值，并根据M i 、N i 和S i 构成信号中待匹配三角波形对应的样本特征三角形
Figure 304758DEST_PATH_IMAGE007
；
根据信号中待匹配三角波形对应的样本特征三角形
Figure 297378DEST_PATH_IMAGE008
，利用三角形相似原理，计算得到样本特征三角形
Figure 669585DEST_PATH_IMAGE009
与样本特征三角形
Figure 693910DEST_PATH_IMAGE010
的三边比例值。
4.根据权利要求3所述的基于相似三角波形匹配延拓的LMD端点效应改善方法，其特征在于，所述三边比例值的表达式如下：
Figure 945900DEST_PATH_IMAGE011
其中，K 1i 、K 2i 和K 3i 表示三边比例值，
Figure 189930DEST_PATH_IMAGE012
表示距离。
5.根据权利要求4所述的基于相似三角波形匹配延拓的LMD端点效应改善方法，其特征在于，所述匹配误差的表达式如下：
Figure 818358DEST_PATH_IMAGE013
其中，e(k i )表示匹配误差，
Figure 965699DEST_PATH_IMAGE014
表示取最大值，
Figure 404902DEST_PATH_IMAGE015
表示取最小值，
Figure 385496DEST_PATH_IMAGE016
表示向上取整。
6.根据权利要求5所述的基于相似三角波形匹配延拓的LMD端点效应改善方法，其特征在于，所述步骤S6包括以下步骤：
S601、根据判断结果，将最小匹配误差阈值
Figure 332461DEST_PATH_IMAGE017
对应的三角波形作为最优波形；
S602、从最优波形的起点S b 往前截取至某一极小值点N b 处的所有信号序列，并记为lx；
S603、根据信号序列lx，计算得到信号集合，并基于信号集合向信号左端进行延拓；
S604、对信号左端延拓信号进行LMD分解。
7.根据权利要求6所述的基于相似三角波形匹配延拓的LMD端点效应改善方法，其特征在于，所述信号集合的表达式如下：
Figure 301685DEST_PATH_IMAGE018
其中，Lx表示信号集合，
Figure 426636DEST_PATH_IMAGE019
表示三边比例值均值，C表示信号值的平移量，
Figure 615565DEST_PATH_IMAGE020
表示信号序列lx的终点信号值，
Figure 867686DEST_PATH_IMAGE021
表示样本三角波形的端点信号值。
8.根据权利要求7所述的基于相似三角波形匹配延拓的LMD端点效应改善方法，其特征在于，所述步骤S8包括以下步骤：
S801、计算信号左端端点S 1 与第一个极大值M 1 之间的采样间隔
Figure 471843DEST_PATH_IMAGE022
：
Figure 16963DEST_PATH_IMAGE023
S802、根据信号中全部极大值点M m 和相邻的极小值点N n ，计算p组采样间隔
Figure 457302DEST_PATH_IMAGE024
，并根据采样间隔
Figure 762382DEST_PATH_IMAGE025
计算得到平均波形
Figure 31882DEST_PATH_IMAGE026
，其中，所述平均波形
Figure 514947DEST_PATH_IMAGE027
为极大值点M m 和相邻的极小值点N n 之间的平均采样间隔；
Figure 941118DEST_PATH_IMAGE028
Figure 784309DEST_PATH_IMAGE029
其中，t(M m )表示信号中M m 所在的时刻，t(N n )表示信号中N n 所在的时刻，k表示每个采样间隔的序号；
S803、判断平均波形
Figure 379369DEST_PATH_IMAGE030
是否小于等于采样间隔
Figure 534801DEST_PATH_IMAGE031
，若是，则时刻
Figure 684153DEST_PATH_IMAGE032
处为一极小值点，并利用三角形相似原理，计算得到时刻
Figure 331035DEST_PATH_IMAGE033
处的信号值
Figure 747979DEST_PATH_IMAGE034
，并进入步骤S805，否则，所述平均波形
Figure 307268DEST_PATH_IMAGE035
大于采样间隔
Figure 662026DEST_PATH_IMAGE036
，并进入步骤S804，其中，
Figure 99216DEST_PATH_IMAGE037
表示重新确定的极小值点的采样时刻；
S804、取信号值
Figure 121399DEST_PATH_IMAGE038
向左延拓的一极小值，计算得到该极小值点对应的时刻
Figure 586010DEST_PATH_IMAGE039
，并利用三角形相似原理，计算得到该时刻
Figure 739648DEST_PATH_IMAGE040
得的信号值，完成对信号左端的延拓，基于延拓后的左端信号进行LMD分解，得到端点效应改善后的LMD分解结果；
S805、根据信号值
Figure 462754DEST_PATH_IMAGE041
，利用三次样条插值法，按采样间隔计算得到
Figure 824596DEST_PATH_IMAGE042
每个离散采样点时刻对应的信号值，完成对信号左端的延拓，基于延拓后的左端信号进行LMD分解，得到端点效应改善后的LMD分解结果。
9.根据权利要求8所述的基于相似三角波形匹配延拓的LMD端点效应改善方法，其特征在于，所述时刻
Figure 974954DEST_PATH_IMAGE043
的表达式如下：
Figure 87660DEST_PATH_IMAGE044
所述信号值
Figure 365189DEST_PATH_IMAGE045
的表达式如下：
Figure 830805DEST_PATH_IMAGE046
其中，
Figure 932491DEST_PATH_IMAGE047
表示样本三角形波中极大值M 1 的信号值，
Figure 765449DEST_PATH_IMAGE048
表示样本三角形波中端点S 1 的信号值；
所述时刻
Figure 564778DEST_PATH_IMAGE049
的表达式如下：
Figure 390959DEST_PATH_IMAGE050
Figure 148699DEST_PATH_IMAGE051
Figure 937795DEST_PATH_IMAGE052
其中，
Figure 586820DEST_PATH_IMAGE053
表示重新确定的极小值点N 0 与样本三角波形中的极大值点M 1 的信号值的差值，
Figure 292607DEST_PATH_IMAGE054
表示样本三角波形中的端点和极大值点的信号值的差值。
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