CN112446323A - 基于改进emd模态混叠和端点效应的hht谐波分析方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种基于改进EMD模态混叠和端点效应的HHT谐波分析方法，针对目前分析电力谐波信号的希尔伯特—黄变换(Hilbert‑Huang Transform，HHT)方法分解易受干扰、结果不精确等问题，提出一种改进的HHT谐波分析方法。本发明利用基于B样条最小二乘拟合法对电力系统谐波信号进行预处理，较好地弱化间断事件或噪声干扰对信号的影响，达到抑制经典模态分析(empirical mode decomposition，EMD)分解中出现的模态混叠现象；并且对预处理后的拟合曲线采用斜率匹配波形延拓法，以保证信号端点处变化趋势与内部一致，保证信号的完整性，从而减弱甚至抑制EMD分解的端点效应，改善EMD分解结果。以提高分解电力系统谐波信号的精确度，快速检测出电力谐波系统中的谐波组成，扩大谐波检测的运用。

Description

基于改进EMD模态混叠和端点效应的HHT谐波分析方法

技术领域

本申请涉及电力系统谐波检测技术领域，尤其涉及一种基于改进EMD模态混叠和端点效应的HHT谐波分析方法。

背景技术

(1)电力系统谐波

电力系统谐波是电力质量的重要指标之一,谐波的存在会对输电线路和用电设备产生附加损耗、发热增加及干扰通信设备等危害，从而直接影响正常用电。为保证高质量的供电，必须要对电力系统谐波进行检测，分析电力系统中谐波状况，及时对谐波进行治理。

(2)希尔伯特—黄变换(Hilbert-Huang Transform，HHT)原理

HHT是N.E.Huang于1998年提出的一种专门针对非线性、非平稳信号处理的新型时频分析方法。它是一种适合分析非平稳过程的信号处理方法。该方法主要是由EMD分解与Hilbert变换两部分组成。HHT首先利用EMD方法对信号进行平稳化处理，得到一个基于信号局部特征的固有模态函数(Intrinsic Mode Function,IMF)的集合，然后对这些IMF分量进行Hilbert变换，得到具有合理定义与物理意义的瞬时频率、瞬时相位和瞬时幅值，实现把信号中若干不同的振动模式的信号分量进行分离，获得信号的时域频谱。

尽管HHT方法在处理非线性、非稳态信号方面有很大的优势，但在边界端点处理、模态混叠和曲线拟合等方面还存在缺陷与不足，从而影响了HHT的分析效果，仍需较多的工作对其进行优化改进。因此,本发明在综合比较了各种电力系统谐波检测的方法后，采用了HHT算法对电力系统谐波进行检测，并在基本HHT算法的基础上，选择模态混叠和边界处理为出发点，对EMD模态混叠效应和端点效应进行改进。并应用于电力系统谐波检测，不仅对提高HHT谐波分析准确性有重要意义，也是与电力系统谐波检测相结合的有益探索。

(3)模态混叠产生和抑制方法

在实际EMD分解中，存在模态混叠现象，即在信号分析中信号通常混有间断或噪声，这些间断事件会打乱信号极值点的一致分布，导致EMD分解时产生时间尺度不一致的上下包络，引起IMF分量的时间尺度不一致。目前主流的抑制模态混叠方法是基于噪声辅助法。噪声辅助法是将噪声添加发到原始信号进行EMD分解后，使得不同尺度信号成分自动分解到合适参考尺度，起到抑制模态混叠的效果。运用此方法的有总体平均经验模态分解(Ensemble Empirical Mode Decomposition，EEMD)【1】和将多元经验模态分解和噪声相结合的噪声辅助多元经验模态分解方法(NA-MEMD)。EEMD是在原始信号添加了高斯白噪声后再进行EMD分解，利用高斯白噪声的零均值特性，多次加总平均后互相抵消，从而能有效平滑信号中存在的间断事件提高IMF的分解质量，但会遗留部分辅助残余噪声，对原有信号分析造成干扰。NA-MEMD同样存在辅助噪声残余问题。

(4)端点效应产生

在EMD分解中，其中最重要的过程就是通过提取信号的极大值和极小值点构造信号的上下包络线，但由于无法确定信号的端点是否为极值点，在进行三次样条插值拟合的过程中会出现边界摆动较大的情况，并且随着EMD的分解过程逐渐扩散到信号内部，最终破坏整个数据，造成分解结果严重失真。

目前，分析电力谐波信号的希尔伯特—黄变换(Hilbert-Huang Transform，HHT)方法分解易受干扰、结果不精确，且现有上流抑制模态混叠技术具有残留辅助噪声的缺点。

发明内容

本申请提供了一种基于改进EMD模态混叠和端点效应的HHT谐波分析方法，克服现有HHT方法存在的模态混叠和端点效应等问题，该方法有利于改进对电力系统谐波的检测，从而提高谐波辨识能力。

本申请采用的技术方案如下：

本申请提供了一种基于改进EMD模态混叠和端点效应的HHT谐波分析方法，采用基于B样条最小二乘拟合法对信号模态混叠进行抑制，利用斜率匹配波形延拓法对端点效应进行改进，再对电力系统谐波进行EMD分解，并利用Hilbert变换对经过EMD分解得到的谐波分量分解，得到该谐波信号的时频特性；所述分析方法包括以下步骤：

提取原始电网谐波信号极值点作为初始节点，进行B样条最小二乘拟合，再选取拟合曲线的极值点重复拟合步骤直至算法终止，以弱化间断事件对信号的影响，抑制模态混叠，并得到最终的拟合曲线；

对所述拟合曲线，取信号端点和第一个极值点这两点间连线的斜率作为端点参考斜率，在拟合曲线内部，以同类极值点为基准,取同方向且等长的一段单调曲线进行对比，找到与端点参考斜率最为接近的子波作为匹配波形，并取该段子波前或后端的一段数据对信号端点进行延拓，改善端点效应，得到改进的电网谐波信号；

将所述改进的电网谐波信号信号进行EMD分解，得到IMF分量信号，并对IMF分量进行希尔伯特变换，根据解析信号得到IMF分量的瞬时相位、瞬时幅度和瞬时频率，最终求得电力谐波信号的Hilbert边际谱。

进一步地，所述提取原始电网谐波信号极值点作为初始节点，进行B样条最小二乘拟合，再选取拟合曲线的极值点重复拟合步骤直至算法终止，以弱化间断事件对信号的影响，抑制模态混叠，并得到最终的拟合曲线，包括：

给定原始电网谐波信号x(t)，找到信号出现极值点的时刻，得到序列t_ex；

将所述序列t_ex扩充得到节点t_knot，对电网谐波信号做B样条最小二乘拟合，得到曲线m(t)，找到曲线m(t)极值点分布的时刻，得到新的t_ex；

重复将所述序列t_ex扩充得到节点t_knot，对电网谐波信号做B样条最小二乘拟合，得到曲线m(t)，找到曲线m(t)极值点分布的时刻，得到新的t_ex，直到满足：

其中σ为不小于0的预设值；

得到最终的拟合曲线m(t)。

进一步地，对所述拟合曲线，取信号端点和第一个极值点这两点间连线的斜率作为端点参考斜率，在拟合曲线内部，以同类极值点为基准,取同方向且等长的一段单调曲线进行对比，找到与端点参考斜率最为接近的子波作为匹配波形，并取该段子波前或后端的一段数据对信号端点进行延拓，改善端点效应，得到改进的电网谐波信号信号，包括：

因EMD分解采用的三次样条插值需用到左右两个临近点，为保证较好效果，应延拓两对极值点，以左端延拓为例具体步骤如下：

将进行了B样条最小二乘拟合预处理的电网谐波信号所得拟合曲线m(t)视为原始电网谐波信号x(t)，求出信号所有的极大极小值，设p_max为极大值合集，p_min为极小值合集，再设第一个极大值点M₁，第一个极小值点为N₁，左端点为S₁；

计算S₁-M₁包含的数据个数length(S₁-M₁)，t₁表示阈值，如length(S₁-M₁)＞t₁，则取S₁-M₁作为参考曲线；如length(S₁-M₁)≤t₁，则取M₁-N₁曲线的一半即M₁-Z₁作为参考曲线，并计算参考曲线的斜率，记作k₁；

依次从p_max中取出极大值点M_i，从M_i开始截取一段与参考曲线同方向且等长的子波，即S_i-M_i或M_i-Z_i，其中待匹配子波必须为单调曲线，否则判定为该段子波不匹配，求出所有匹配子波的斜率，记作集合{k_i}，i＝2，3，…；

波形延拓，令k_x＝min(abs(k₁-k_i))，则表示第x段子波匹配成功，取M_s-2-S_x(不含S_x)，将其延拓到S₁左边，若S_x左端只有一个极大值点和一个极小值点，则只需将这对极值点延拓两次，完成延拓；

若未找到斜率匹配的子波，则参考信号边缘的极值点直接进行延拓，具体操作是取信号左端两个极大值的均值作为左端点的极大值，为保证信号的包络线能完全覆盖信号，取左端两个极小值的均值和左端点中小者作为左延拓的极小值点，延拓完毕，右延拓方法和左端类似，得到改进的左右两端边界延拓电网谐波信号x(t)。

进一步地，将改进后的信号进行EMD分解，得到IMF分量信号，并对IMF分量进行希尔伯特变换，根据解析信号得到IMF分量的瞬时相位、瞬时幅度和瞬时频率，最终求得电力谐波信号的Hilbert边际谱，包括：

求出改进的左右两端边界延拓电网谐波信号x(t)所有极值点，并用三次样条插值曲线构造出极大值点和极小值点的包络；

计算上、下包络局部均值：c₁(t)＝(e_max(t)+e_min(t)/2)，e_max(t)是信号x(t)的上包络线，e_min(t)是信号x(t)的下包络线；

求信号x(t)与上、下包络局部均值c₁(t)之差：h₁(t)＝x(t)-c₁(t)，对h₁(t)进行IMF分量判断，若满足下述IMF分量的两个约束条件：

a)信号长度上，过零点数与极值数一样或最多相差不超过一个，

b)上包络线与下包络线在任一时刻都关于时间轴对称，均值为零，

则将h₁(t)作为电力系统信号的第一个IMF分量，否则h₁(t)作为新的信号替代x(t)，重复上述两个计算公式k次，直到h_k(t)满足IMF分量的约束条件；

IMF分量：g₁(t)＝h_k(t)剩余分量：r₁(t)＝x(t)-g₁(t)

EMD分解结果：

x(t)为原始电网谐波信号信号，g_i(t)为进行EMD分解时第i次筛选出的IMF，r_n(t)为最后的残余分量，对Hilbert变换影响很小，通常可以忽略；

EMD分解完成后，对电力系统谐波信号进行时频分析，即对IMF分量进行以下Hilbert变换：

P是柯西主值，H[g_i(t)]和g_i(t)形成复共轭，可得解析信号Z(t)

Z(t)＝g_i(t)+jH[g_i(t)]＝a(t)e^iθ(t)

根据所述解析信号Z(t)，求解IMF分量的瞬时幅值、瞬时相位、瞬时频率：

根据所述IMF分量的瞬时属性，省略剩余分量，继续求解Hilbert谱和Hilbert边际谱：

Hilbert谱：

其中

Hilbert边际谱：

采用本申请的技术方案的有益效果如下：

本发明的一种基于改进EMD模态混叠和端点效应的HHT谐波分析方法，利用基于B样条最小二乘拟合法对电力系统谐波信号进行预处理，较好地弱化间断事件或噪声干扰对信号的影响，达到抑制经典模态分析(empirical mode decomposition，EMD)分解中出现的模态混叠现象；并且对预处理后的拟合曲线采用斜率匹配波形延拓法，以保证信号端点处变化趋势与内部一致，保证信号的完整性，从而减弱甚至抑制EMD分解的端点效应，改善EMD分解结果。以提高分解电力系统谐波信号的精确度，快速检测出电力谐波系统中的谐波组成，扩大谐波检测的运用。

附图说明

为了更清楚地说明本申请的技术方案，下面将对实施例中所需要使用的附图作简单地介绍，显而易见地，对于本领域普通技术人员而言，在不付出创造性劳动的前提下，还可以根据这些附图获得其他的附图。

图1是本发明基于改进EMD模态混叠和端点效应的HHT谐波分析方法的流程图；

图2是在噪声环境下基于B样条拟合EMD分解(SAEMD)和EEMD分解的分解精度对比图；

图3是斜率波形匹配延拓法的延拓过程图；

图4示例原始电力系统谐波信号的EMD分解仿真图；

图5原始电力系统谐波信号的希尔伯特——黄变换图(纵坐标为归-化频率，横坐标为时间)。

具体实施方式

下面将详细地对实施例进行说明，其示例表示在附图中。下面的描述涉及附图时，除非另有表示，不同附图中的相同数字表示相同或相似的要素。以下实施例中描述的实施方式并不代表与本申请相一致的所有实施方式。仅是与权利要求书中所详述的、本申请的一些方面相一致的系统和方法的示例。

下面结合实施例和附图对本发明做出详细说明。

如图1所示，本发明的一种基于改进EMD模态混叠和端点效应的HHT谐波分析方法，对原始电力系统谐波信号x(t)利用基于B样条最小二乘法拟合和斜率波形匹配延拓法进行预处理，在进行HHT谐波分析，即采用基于B样条最小二乘拟合法对信号模态混叠进行抑制，利用斜率匹配波形延拓法对端点效应进行改进，再对电力系统谐波进行EMD分解，并利用Hilbert变换对经过EMD分解得到的谐波分量分解，得到该谐波信号的时频特性，最终求得电力谐波信号的Hilbert边际谱，其中，图4为示例原始电力系统谐波信号的EMD分解仿真图，图5为原始电力系统谐波信号的希尔伯特——黄变换图。

具体步骤如下：

步骤1：结合图2两种分解方法精度的对比后，提取原始电网谐波信号极值点作为初始节点，进行B样条最小二乘拟合，再选取拟合曲线的极值点重复拟合步骤直至算法终止，以弱化间断事件对信号的影响，抑制模态混叠，并得到最终的拟合曲线。

步骤1具体为：

1)给定原始电网谐波信号x(t)，找到信号出现极值点的时刻，得到序列t_ex。

2)将1)所得序列t_ex扩充得到节点t_knot，对电网谐波信号做B样条最小二乘拟合，得到曲线m(t)，找到曲线m(t)极值点分布的时刻，得到新的t_ex。

3)重复2)中步骤，直到满足

其中σ为不小于0的预设值

4)得到3)中最终的拟合曲线m(t)。

步骤2：对步骤1得到的最终的拟合曲线m(t)，取信号端点和第一个极值点这两点间连线的斜率作为端点参考斜率，在拟合曲线内部，以同类极值点为基准,取同方向且等长的一段单调曲线进行对比，找到与端点参考斜率最为接近的子波作为匹配波形，并取该段子波前(后)端的一段数据对信号端点进行延拓，改善端点效应，得到改进的电网谐波信号。

步骤2具体为：

因EMD分解采用的三次样条插值需用到左右两个临近点，为保证较好效果，应延拓两对极值点，如附图3所示，以左端延拓为例的具体延拓步骤如下：

1)将步骤1中所得最终的拟合曲线m(t)视为原始电网谐波信号x(t)，求出信号所有的极大极小值，设p_max为极大值合集，p_min为极小值合集，再设第一个极大值点M₁，第一个极小值点为N₁，左端点为S₁。

2)计算S₁-M₁包含的数据个数length(S₁-M₁)，t₁表示阈值，如length(S₁-M₁)＞t₁，则取S₁-M₁作为参考曲线；如length(S₁-M₁)≤t₁，则取M₁-N₁曲线的一半即M₁-Z₁作为参考曲线，并计算参考曲线的斜率，记作k₁。

3)依次从p_max中取出极大值点M_i，从M_i开始截取一段与参考曲线同方向且等长的子波，即S_i-M_i或M_i-Z_i，其中待匹配子波必须为单调曲线，否则判定为该段子波不匹配。求出所有匹配子波的斜率，记作集合{k_i}，i＝2，3，…。

4)波形延拓，令k_x＝min(abs(k₁-k_i))，则表示第x段子波匹配成功，取M_s-2-S_x(不含S_x)，将其延拓到S₁左边。如S_x左端只有一个极大值点和一个极小值点，则只需将这对极值点延拓两次，完成延拓。否则属于匹配不成功，转为5)。

5)如没有找到斜率匹配的子波，则参考信号边缘的极值点直接进行延拓，具体操作是取信号左端两个极大值的均值作为左端点的极大值，为保证信号的包络线能完全覆盖信号，取左端两个极小值的均值和左端点中小者作为左延拓的极小值点，延拓完毕。右延拓方法和左端类似，得到改进的左右两端边界延拓电网谐波信号x(t)。

步骤3：将步骤2得到的改进后的电网谐波信号进行EMD分解，得到IMF分量信号，并对IMF分量进行希尔伯特(Hilbert)变换，根据解析信号得到IMF分量的瞬时相位、瞬时幅度和瞬时频率，最终求得电力谐波信号的Hilbert边际谱。

步骤3的具体分解步骤如下：

1)求出步骤2得到的改进谐波信号x(t)所有极值点，并用三次样条插值曲线构造出极大值点和极小值点的包络。

2)计算上、下包络局部均值：c₁(t)＝(e_max(t)+e_min(t)/2)，e_max(t)是信号x(t)的上包络线，e_min(t)是信号x(t)的下包络线。

3)作信号x(t)与局部均值c₁(t)之差：h₁(t)＝x(t)-c₁(t)

对h₁(t)进行IMF分量判断，如果它满足下述IMF分量的两个约束条件：

a)全信号长度上，过零点数与极值数一样或最多相差不超过一个。

b)上包络线与下包络线在任一时刻都关于时间轴对称，均值为零。

则将h₁(t)作为电力系统信号的第一个IMF分量，否则h₁(t)作为新的信号替代x(t)，重复上述两个计算公式k次，直到h_k(t)满足IMF分量的约束条件。

4)IMF分量：g₁(t)＝h_k(t)剩余分量：r₁(t)＝x(t)-g₁(t)

EMD分解结果：

x(t)为原始信号，g_i(t)为进行EMD分解时第i次筛选出的IMF，r_n(t)为最后的残余分量，对Hilbert变换影响很小，通常可以忽略。

5)EMD分解完成后，对电力系统谐波信号进行时频分析，即对IMF分量进行以下Hilbert变换：

P是柯西主值，H[g_i(t)]和g_i(t)形成复共轭，可得解析信号Z(t)

Z(t)＝g_i(t)+jH[g_i(t)]＝a(t)e^iθ(t)

6)根据5)中所得解析信号，求解IMF分量的瞬时幅值、瞬时相位、瞬时频率

7)根据6)中所求IMF分量的瞬时属性，省略剩余分量，继续求解Hilbert谱和Hilbert边际谱。

Hilbert谱：

其中

Hilbert边际谱：

以上是本发明的实施例，本发明采用B样条最小二乘拟合法弱化电网谐波信号的间断信号或噪声干扰，克服现有上流抑制模态混叠技术残留辅助噪声的缺点，且能保留EMD利用信号局部尺度特征分解的优点；选取斜率匹配波形延拓法，利用信号边界端点斜率进行波形延拓，对电网谐波信号进行预处理，保证了算法复杂度中等且延拓信号与原始信号的一致性高，以抑制端点效应，是本发明欲保护的关键点。

本申请提供的实施例之间的相似部分相互参见即可，以上提供的具体实施方式只是本申请总的构思下的几个示例，并不构成本申请保护范围的限定。对于本领域的技术人员而言，在不付出创造性劳动的前提下依据本申请方案所扩展出的任何其他实施方式都属于本申请的保护范围。

Claims (4)

1.一种基于改进EMD模态混叠和端点效应的HHT谐波分析方法，其特征在于，采用基于B样条最小二乘拟合法对信号模态混叠进行抑制，利用斜率匹配波形延拓法对端点效应进行改进，再对电力系统谐波进行EMD分解，并利用Hilbert变换对经过EMD分解得到的谐波分量分解，得到该谐波信号的时频特性；所述分析方法包括以下步骤：

提取原始电网谐波信号极值点作为初始节点，进行B样条最小二乘拟合，再选取拟合曲线的极值点重复拟合步骤直至算法终止，以弱化间断事件对信号的影响，抑制模态混叠，并得到最终的拟合曲线；

对所述拟合曲线，取信号端点和第一个极值点这两点间连线的斜率作为端点参考斜率，在拟合曲线内部，以同类极值点为基准,取同方向且等长的一段单调曲线进行对比，找到与端点参考斜率最为接近的子波作为匹配波形，并取该段子波前或后端的一段数据对信号端点进行延拓，改善端点效应，得到改进的电网谐波信号；

将所述改进的电网谐波信号信号进行EMD分解，得到IMF分量信号，并对IMF分量进行希尔伯特变换，根据解析信号得到IMF分量的瞬时相位、瞬时幅度和瞬时频率，最终求得电力谐波信号的Hilbert边际谱。

2.根据权利要求1所述的基于改进EMD模态混叠和端点效应的HHT谐波分析方法，其特征在于，所述提取原始电网谐波信号极值点作为初始节点，进行B样条最小二乘拟合，再选取拟合曲线的极值点重复拟合步骤直至算法终止，以弱化间断事件对信号的影响，抑制模态混叠，并得到最终的拟合曲线，包括：

给定原始电网谐波信号x(t)，找到信号出现极值点的时刻，得到序列t_ex；

将所述序列t_ex扩充得到节点t_knot，对电网谐波信号做B样条最小二乘拟合，得到曲线m(t)，找到曲线m(t)极值点分布的时刻，得到新的t_ex；

重复将所述序列t_ex扩充得到节点t_knot，对电网谐波信号做B样条最小二乘拟合，得到曲线m(t)，找到曲线m(t)极值点分布的时刻，得到新的t_ex，直到满足：

其中σ为不小于0的预设值；

得到最终的拟合曲线m(t)。

3.根据权利要求1或2所述的基于改进EMD模态混叠和端点效应的HHT谐波分析方法，其特征在于，对所述拟合曲线，取信号端点和第一个极值点这两点间连线的斜率作为端点参考斜率，在拟合曲线内部，以同类极值点为基准,取同方向且等长的一段单调曲线进行对比，找到与端点参考斜率最为接近的子波作为匹配波形，并取该段子波前或后端的一段数据对信号端点进行延拓，改善端点效应，得到改进的电网谐波信号信号，包括：

因EMD分解采用的三次样条插值需用到左右两个临近点，为保证较好效果，应延拓两对极值点，以左端延拓为例具体步骤如下：

将进行了B样条最小二乘拟合预处理的电网谐波信号所得拟合曲线m(t)视为原始电网谐波信号x(t)，求出信号所有的极大极小值，设p_max为极大值合集，p_min为极小值合集，再设第一个极大值点M₁，第一个极小值点为N₁，左端点为S₁；

计算S₁-M₁包含的数据个数length(S₁-M₁)，t₁表示阈值，如length(S₁-M₁)＞t₁，则取S₁-M₁作为参考曲线；如length(S₁-M₁)≤t₁，则取M₁-N₁曲线的一半即M₁-Z₁作为参考曲线，并计算参考曲线的斜率，记作k₁；

依次从p_max中取出极大值点M_i，从M_i开始截取一段与参考曲线同方向且等长的子波，即S_i-M_i或M_i-Z_i，其中待匹配子波必须为单调曲线，否则判定为该段子波不匹配，求出所有匹配子波的斜率，记作集合{k_i}，i＝2，3，…；

波形延拓，令k_x＝min(abs(k₁-k_i))，则表示第x段子波匹配成功，取M_s-2-S_x(不含S_x)，将其延拓到S₁左边，若S_x左端只有一个极大值点和一个极小值点，则只需将这对极值点延拓两次，完成延拓；

若未找到斜率匹配的子波，则参考信号边缘的极值点直接进行延拓，具体操作是取信号左端两个极大值的均值作为左端点的极大值，为保证信号的包络线能完全覆盖信号，取左端两个极小值的均值和左端点中小者作为左延拓的极小值点，延拓完毕，右延拓方法和左端类似，得到改进的左右两端边界延拓电网谐波信号x(t)。

4.根据权利要求3所述的基于改进EMD模态混叠和端点效应的HHT谐波分析方法，其特征在于，将改进后的信号进行EMD分解，得到IMF分量信号，并对IMF分量进行希尔伯特变换，根据解析信号得到IMF分量的瞬时相位、瞬时幅度和瞬时频率，最终求得电力谐波信号的Hilbert边际谱，包括：

求出改进的左右两端边界延拓电网谐波信号x(t)所有极值点，并用三次样条插值曲线构造出极大值点和极小值点的包络；

计算上、下包络局部均值：c₁(t)＝(e_max(t)+e_min(t)/2)，e_max(t)是信号x(t)的上包络线，e_min(t)是信号x(t)的下包络线；

求信号x(t)与上、下包络局部均值c₁(t)之差：h₁(t)＝x(t)-c₁(t)，对h₁(t)进行IMF分量判断，若满足下述IMF分量的两个约束条件：

a)信号长度上，过零点数与极值数一样或最多相差不超过一个，

b)上包络线与下包络线在任一时刻都关于时间轴对称，均值为零，

则将h₁(t)作为电力系统信号的第一个IMF分量，否则h₁(t)作为新的信号替代x(t)，重复上述两个计算公式k次，直到h_k(t)满足IMF分量的约束条件；

IMF分量：g₁(t)＝h_k(t)剩余分量：r₁(t)＝x(t)-g₁(t)

EMD分解结果：

x(t)为原始电网谐波信号信号，g_i(t)为进行EMD分解时第i次筛选出的IMF，r_n(t)为最后的残余分量，对Hilbert变换影响很小，通常可以忽略；

EMD分解完成后，对电力系统谐波信号进行时频分析，即对IMF分量进行以下Hilbert变换：

P是柯西主值，H[g_i(t)]和g_i(t)形成复共轭，可得解析信号Z(t)

Z(t)＝g_i(t)+jH[g_i(t)]＝a(t)e^iθ(t)

根据所述解析信号Z(t)，求解IMF分量的瞬时幅值、瞬时相位、瞬时频率：

根据所述IMF分量的瞬时属性，省略剩余分量，继续求解Hilbert谱和Hilbert边际谱：

Hilbert谱：

其中

Hilbert边际谱：

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