CN104715158A - 基于灰色gm(1,1)预测模型的经验模态分解端点效应抑制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于灰色GM(1,1)预测模型的经验模态分解端点效应抑制方法，属于信号处理领域，该方法结合灰色GM(1，1)预测模型理论，在经验模态分解“筛选”过程中利用查找出的极值点(或数据序列)，建立相关的灰色GM(1，1)预测模型，在数据端点处各预测一个极大值和一个极小值，对原始数据序列进行预测延拓，从而有效地减小了经验模态分解“筛选”过程中端点效应对分解结果的影响，并且预测建模所需数据量小，对于提高小样本数据经验模态分解精度特别适用。

Description

基于灰色GM(1,1)预测模型的经验模态分解端点效应抑制方法

技术领域

本发明涉及信号处理领域，具体地说，是基于灰色GM(1,1)预测模型的经验模态分解端点效应抑制方法。

背景技术

由于如放大器、调制器、解调器、限幅器、混频器和开关电路或脉冲电路等非线性器件的存在，在建立系统或设备的电磁兼容性模型时所需的数据基本都呈现非线性的特点，直接通过这类数据建立系统或设备的电磁兼容性模型存在着很大的困难，如何对测试数据进行处理，提高建模精度、降低建模难度成为人们研究的重点。

经验模态分解(Empirical Mode Decomposition，简称EMD)方法在处理非线性、非平稳数据方面具有独特的优势，通过EMD分解可以将复杂的非线性、非平稳数据分解成具有局部周期性的本征模态函数(Intrinsic Mode Function，IMF)和单调的、光滑的残余项。由于经验模态分解具有完备性和正交性，可以将分解后的IMF分量与残余项重构成原数据，那么就可以分别对IMF分量和残余项进行建模，通过重构获得原始数据模型，大大降低了非线性系统的建模难度。

但是经验模态分解是一个“经验”算法，在数学上还没有严格的理论模型，在许多方面还存在着一些不足。由于经验模态分解“筛选”过程中需要多次确定数据中的极值点，进行上、下包络线的拟合，由于不能确定数据样本中两端数据是否为极值点，导致构成的上、下包络线在数据的两端会出现发散现象，筛选过程中需要多次拟合上、下包络线，这样的发散现象会逐渐的由数据的两端“向内”污染整个数据，导致分解结果的大幅度失真，所以经验模态分解的“端点效应”问题是最为突出的。

发明内容

本发明的目的是为了解决上述问题，提出一种基于灰色GM(1,1)预测模型的经验模态分解端点效应抑制方法，本发明根据“端点效应”产生的机理，基于灰色GM(1,1)预测模型的理论，对数据两端进行端点的延拓，各预测一个极大值和一个极小值，对延长后数据的极值点进行上、下包络线的拟合，然后舍弃预测延长部分的数据，再进行经验模态分解，充分利用灰色均值GM(1,1)预测模型通过少量数据点就能获得较好拟合效果的特点，提高数据序列端点处的延拓效果。

一种基于灰色GM(1,1)预测模型的经验模态分解端点效应抑制方法，具体包括以下几个步骤：

步骤一：建立灰色均值GM(1,1)预测模型；

步骤二：获取x⁽¹⁾(i)＝(x⁽¹⁾(1),x⁽¹⁾(2),…,x⁽¹⁾(i)),i＞n的局部极大值和极小值；

步骤三：采用三次样条插值的方法拟合所有局部极大值和极小值点，构造数据的上、下包络线x_max(t)和x_min(t)，舍弃预测部分数值，即预测延长之后的数据和原始数据的差值x⁽¹⁾(i)-x(k))，计算出上、下包络线的均值m₁(t)＝(x_max(t)+x_min(t))/2；

步骤四：计算数据x(t)与包络均值m₁(t)的差值c₁(t)＝x(t)-m₁(t)，判断c₁(t)是否是一个IMF，如果c₁(t)符合IMF的条件，则c₁(t)为分离出来的第一个IMF分量，令IMF₁(t)＝c₁(t)，求原数据与IMF₁(t)之间的差值r₁(t)＝IMF₁(t)-c₁(t)；如果c₁(t)不符合IMF的条件，此时将c₁(t)作为一个新的数据重复步骤一和步骤二，求得包络均值m₁₁(t)以及与c₁(t)的差值c₁₁(t)，继续判断c₁₁(t)是否是一个IMF，重复进行上述判断过程，直到c_1n(t)满足了IMF的条件，此时设c_1n(t)＝c_1(n-1)(t)-m_1n(t)为第一个IMF分量，获取x(t)与第一个IMF分量的差值r₁(t)＝x(t)-IMF₁(t)；

步骤五：将r₁(t)作为新的数据，重复步骤一至步骤四，提取第二个特征模态函数IMF₂(t)，令r₂(t)＝r₁(t)-IMF₂(t)，再从r₂(t)中提取第三个特征模态函数IMF₃(t)，依此类推，直到满足了筛选的终止条件，此时得到残余项r_n(t)＝r_(n-1)(t)-IMF_n(t)，则原数据x(t)的经验模态分解完成，其中，终止条件为：(1)在数据样本中，极值点的数目与穿零点的数目必须相等或者最多相差1个；(2)由局部极大值所构成包络线以及由局部极小值所构成的包络线平均值为零。

本发明的优点在于：

(1)用少量数据样本就可以进行原始数据的预测延拓；

(2)有效的抑制了经验模态分解中的端点效应；

(3)提高了数据经验模态分解的精度；

附图说明

图1是本发明的方法流程图。

具体实施方式

下面将结合附图和实施例对本发明作进一步的详细说明。

本发明是一种基于灰色GM(1,1)预测模型的经验模态分解端点效应抑制方法，本发明的关键就是将灰色均值GM(1，1)预测模型加入到了经验模态分解的“筛选”过程中，对待分解数据进行预测性延拓，消除端点效应的影响，但并不是说所有的数据都能采用灰色预测模型进行建模预测的，在对数据建模之前还需要进行级比检验、建模可行性判断和数据变换处理的工作，

本发明在待分解数据的两端各取最少四个数据建立灰色均值GM(1,1)预测模型，对数据两侧进行预测延拓，在左、右端点处各增加一个局部极大值点和极小值点。

本发明一种基于灰色GM(1,1)预测模型的经验模态分解端点效应抑制方法，流程如图1所示，具体包括以下几个步骤：

步骤一：建立灰色均值GM(1,1)预测模型；

建立灰色均值GM(1，1)预测模型的具体方法为：

(1)级比检验

设待分解数据为：

x(k)＝(x(1),x(2),…,x(n))

其中，x(k)表示待分解的数据，k表示待分解数据的个数，k＝1,2,…,n，在其两端各取最少四个数据得到预测建模数据序列：

x₁(a)＝(x₁(1),x₁(2),…,x₁(a)),4≤a≤n和x₂(b)＝(x₂(1),x₂(2),…,x2(b)),4≤b≤n

其中，x₁(a)表示在待分解数据x(k)左侧取得的预测建模数据序列，下标1表示左侧，a表示所取预测建模数据的个数，预测建模数据的个数最少为4个，最多不能大于待分解数据的个数；x₂(b)表示在待分解数据x(k)右侧取得的预测建模数据序列，下标2表示右侧，b表示所取预测建模数据的个数，预测建模数据的个数最少为4个，最多不能大于待分解数据的个数；

通过下式计算预测建模数据序列x₁(a)和x₂(b)的级比：

${\mathrm{\σ}}_1\left(a\right)=\frac{x_1(a-1)}{x_1\left(a\right)}$ 和 ${\mathrm{\σ}}_{\text{2}}\left(b\right)=\frac{x_2(b-1)}{x_2\left(b\right)}$

其中，σ₁(a)表示左侧端点处预测建模数据在数据点a处的级比，x₁(a-1)表示左侧预测建模数据数据点a的前一个数据，x₁(a)表示左侧预测建模数据数据点a处的数据；σ₂(b)表示右侧端点处预测建模数据在数据点b处的级比，x₂(b-1)表示左侧预测建模数据数据点b的前一个数据，x₂(b)表示左侧预测建模数据数据点b处的数据；

设得到级比序列：

σ₁(a)_＝(σ(2),σ(3),…,σ(a))

σ₂(b)_＝(σ(2),σ(3),…,σ(b))

其中，σ₁(a)表示左侧端点处预测建模数据的级比序列，σ₂(b)表示右侧端点处预测建模数据的级比序列；

检验级比σ₁(a)和σ₂(b)是否满足覆盖：

${\mathrm{\σ}}_1\left(a\right)\∈(e^{-\frac{2}{a+1}},e^{\frac{2}{a+1}})$ 和 ${\mathrm{\σ}}_2\left(b\right)\∈(e^{-\frac{2}{b+1}},e^{\frac{2}{b+1}})$

其中，e表示指数函数，

a和b分别代表左、右端点处预测建模数据的个数；

若待预测建模数据x₁(a)和x₂(b)的级比落入可容覆盖中，则x₁(a)和x₂(b)可作灰色均值GM(1,1)建模；若x₁(a)和x₂(b)未落入可容覆盖中，则转入步骤(2)对x₁(a)和x₂(b)进行数据变换处理，直到序列落于可容覆盖中。

(2)数据变换处理

对于不能落入可容覆盖中的的x₁(a)和x₂(b)，进行数据变换处理，直到序列落于可容覆盖中。

其中，数据变换处理可以为平移变换、对数变换或者方根变换的任意组合或者其他处理。

对左、右两端预测建模数据做数据变换处理后的序列为：

X₁ ⁽⁰⁾(h)＝(x₁ ⁽⁰⁾(1),x₁ ⁽⁰⁾(2),…,x₁ ⁽⁰⁾(h)),h＝a和X₂ ⁽⁰⁾(m)＝(x₂ ⁽⁰⁾(1),x₂ ⁽⁰⁾(2),…,x²⁽⁰⁾(m)),m＝b

其中X₁ ⁽⁰⁾(h)表示x₁(a)经过数据变换，满足级比要求的数据序列，h表示数据变化之后的数据个数，a表示数据变化前x₁(a)的数据个数，数据变换前后数据的个数是应该保持不变的；X₂ ⁽⁰⁾(m)表示x₂(b)经过数据变换，满足级比要求的数据序列，m表示数据变化之后的数据个数，b表示数据变化前x₂(b)的数据个数，数据变换前后数据的个数是应该保持不变的。

(3)建立灰色均值GM(1，1)预测模型

设有满足级比检验的数据序列为：

X₁ ⁽⁰⁾(h)＝(x₁ ⁽⁰⁾(1),x₁ ⁽⁰⁾(2),…,x₁ ⁽⁰⁾(h)),h＝a和X₂ ⁽⁰⁾(m)＝(x₂ ⁽⁰⁾(1),x₂ ⁽⁰⁾(2),…,x²⁽⁰⁾(m)),m＝b

其中：X₁ ⁽⁰⁾(h)表示待分解数据左侧满足级比检验的预测建模数据，X₂ ⁽⁰⁾(m)表示待分解数据右侧满足级比检验的预测建模数据，0表示未经建模处理，利用该数据序列建立灰色均值GM(1,1)预测模型，得到预测后的数据序列x⁽¹⁾(i)＝(x⁽¹⁾(1),x⁽¹⁾(2),…,x⁽¹⁾(i)),i＞n，其中x¹(i)表示预测后的待分解数据序列，包括了延长前的待分解数据x(k)和延长部分的数据，1表示数据经过预测延长，i表示的延长后数据的个数，i＞n表示预测后的待分解数据个数大于预测延长前的待分解数据个数；

步骤二：获取x⁽¹⁾(i)＝(x⁽¹⁾(1),x⁽¹⁾(2),…,x⁽¹⁾(i)),i＞n的局部极大值和极小值；

步骤三：采用三次样条插值的方法拟合所有局部极大值和极小值点，构造数据的上、下包络线x_max(t)和x_min(t)，舍弃预测部分数值，即预测延长之后的数据和原始数据的差值x⁽¹⁾(i)-x(k))，计算出上、下包络线的均值m₁(t)＝(x_max(t)+x_min(t))/2；

步骤四：计算数据x(t)与包络均值m₁(t)的差值c₁(t)＝x(t)-m₁(t)，判断c₁(t)是否是一个IMF，如果c₁(t)符合IMF的条件，则c₁(t)为分离出来的第一个IMF分量，令IMF₁(t)＝c₁(t)，求原数据与IMF₁(t)之间的差值r₁(t)＝IMF₁(t)-c₁(t)；如果c₁(t)不符合IMF的条件，此时将c₁(t)作为一个新的数据重复步骤一和步骤二，求得包络均值m₁₁(t)以及与c₁(t)的差值c₁₁(t)，继续判断c₁₁(t)是否是一个IMF，重复进行上述判断过程，直到c_1n(t)满足了IMF的条件，此时设c_1n(t)＝c_1(n-1)(t)-m_1n(t)为第一个IMF分量，获取x(t)与第一个IMF分量的差值r₁(t)＝x(t)-IMF₁(t)；

步骤五：将r₁(t)作为新的数据，重复步骤一至步骤四，提取第二个特征模态函数IMF₂(t)，令r₂(t)＝r₁(t)-IMF₂(t)，再从r₂(t)中提取第三个特征模态函数IMF₃(t)，依此类推，直到满足了筛选的终止条件，此时得到残余项r_n(t)＝r_(n-1)(t)-IMF_n(t)，则原数据x(t)的经验模态分解完成，其中，终止条件为：(1)在数据样本中，极值点的数目与穿零点的数目必须相等或者最多相差1个；(2)由局部极大值所构成包络线以及由局部极小值所构成的包络线平均值为零。

在经验模态分解“筛选”过程中需要多次确定数据中的极值点，进行上、下包络线的拟合，由于不能确定数据样本中两端数据是否为极值点，导致构成的上、下包络线在数据的两端会出现发散现象，而通过在“筛选”过程中加入灰色预测模型，可以将待分解数据进行预测性延长，通过延长的数据可以确定待分解数据的两端是否为极值点，从而可以避免在端点处的数据发散现象。

Claims (1)

1.一种基于灰色GM(1,1)预测模型的经验模态分解端点效应抑制方法，具体包括以下几个步骤：

步骤一：建立灰色均值GM(1,1)预测模型；

建立灰色均值GM(1，1)预测模型的具体方法为：

(1)级比检验

设待分解数据为：

x(k)＝(x(1),x(2),…,x(n))

其中，x(k)表示待分解的数据，k表示待分解数据的个数，k＝1,2,…,n，在其两端各取最少四个数据得到预测建模数据序列：

x₁(a)＝(x₁(1),x₁(2),…,x₁(a)),4≤a≤n和x₂(b)＝(x₂(1),x₂(2),…,x₂(b)),4≤b≤n

其中，x₁(a)表示在待分解数据x(k)左侧取得的预测建模数据序列，下标1表示左侧，a表示所取预测建模数据的个数，预测建模数据的个数最少为4个，最多不能大于待分解数据的个数；x₂(b)表示在待分解数据x(k)右侧取得的预测建模数据序列，下标2表示右侧，b表示所取预测建模数据的个数，预测建模数据的个数最少为4个，最多不能大于待分解数据的个数；

通过下式计算预测建模数据序列x₁(a)和x₂(b)的级比：

${\mathrm{\σ}}_1\left(a\right)=\frac{x_1(a-1)}{x_1\left(a\right)}$ 和 ${\mathrm{\σ}}_2\left(b\right)=\frac{x_2(b-1)}{x_2\left(b\right)}$

其中，σ₁(a)表示左侧端点处预测建模数据在数据点a处的级比，x₁(a-1)表示左侧预测建模数据数据点a的前一个数据，x₁(a)表示左侧预测建模数据数据点a处的数据；σ₂(b)表示右侧端点处预测建模数据在数据点b处的级比，x₂(b-1)表示左侧预测建模数据数据点b的前一个数据，x₂(b)表示左侧预测建模数据数据点b处的数据；

设得到级比序列：

σ₁(a)＝(σ(2),σ(3),…,σ(a))

σ₂(b)＝(σ(2),σ(3),…,σ(b))

其中，σ₁(a)表示左侧端点处预测建模数据的级比序列，σ₂(b)表示右侧端点处预测建模数据的级比序列；

检验级比σ₁(a)和σ₂(b)是否满足覆盖：

${\mathrm{\σ}}_1\left(a\right)\∈(e^{-\frac{2}{a+1}},e^{\frac{2}{a+1}})$ 和 ${\mathrm{\σ}}_2\left(b\right)\∈(e^{-\frac{2}{b+1}},e^{\frac{2}{b+1}})$

其中，e表示指数函数，

a和b分别代表左、右端点处预测建模数据的个数；

若待预测建模数据x₁(a)和x₂(b)的级比落入可容覆盖中，则x₁(a)和x₂(b)作灰色均值GM(1,1)建模；若x₁(a)和x₂(b)未落入可容覆盖中，则转入步骤(2)对x₁(a)和x₂(b)进行数据变换处理，直到序列落于可容覆盖中；

(2)数据变换处理

对于不能落入可容覆盖中的的x₁(a)和x₂(b)，进行数据变换处理，直到序列落于可容覆盖中；

对左、右两端预测建模数据做数据变换处理后的序列为：

X₁ ⁽⁰⁾(h)＝(x₁ ⁽⁰⁾(1),x₁ ⁽⁰⁾(2),…,x₁ ⁽⁰⁾(h)),h＝a和X₂ ⁽⁰⁾(m)＝(x₂ ⁽⁰⁾(1),x₂ ⁽⁰⁾(2),…,x₂ ⁽⁰⁾(m)),m＝b

其中X₁ ⁽⁰⁾(h)表示x₁(a)经过数据变换，满足级比要求的数据序列，h表示数据变化之后的数据个数，a表示数据变化前x₁(a)的数据个数，数据变换前后数据的个数保持不变；X₂ ⁽⁰⁾(m)表示x₂(b)经过数据变换，满足级比要求的数据序列，m表示数据变化之后的数据个数，b表示数据变化前x₂(b)的数据个数，数据变换前后数据的个数是应该保持不变的；

(3)建立灰色均值GM(1，1)预测模型

设有满足级比检验的数据序列为：

X₁ ⁽⁰⁾(h)＝(x₁ ⁽⁰⁾(1),x₁ ⁽⁰⁾(2),…,x₁ ⁽⁰⁾(h)),^h＝a和X₂ ⁽⁰⁾(m)＝(x₂ ⁽⁰⁾(1),x₂ ⁽⁰⁾(2),…,x₂ ⁽⁰⁾(m)),m＝b

其中：X₁ ⁽⁰⁾(h)表示待分解数据左侧满足级比检验的预测建模数据，X₂ ⁽⁰⁾(m)表示待分解数据右侧满足级比检验的预测建模数据，0表示未经建模处理，利用该数据序列建立灰色均值GM(1,1)预测模型，得到预测后的数据序列x⁽¹⁾(i)＝(x⁽¹⁾(1),x⁽¹⁾(2),…,x⁽¹⁾(i)),i＞n，其中x¹(i)表示预测后的待分解数据序列，包括了延长前的待分解数据x(k)和延长部分的数据，1表示数据经过预测延长，i表示的延长后数据的个数，i＞n表示预测后的待分解数据个数大于预测延长前的待分解数据个数；

步骤二：获取x⁽¹⁾(i)＝(x⁽¹⁾(1),x⁽¹⁾(2),…,x⁽¹⁾(i)),i＞n的局部极大值和极小值；

步骤三：采用三次样条插值的方法拟合所有局部极大值和极小值点，构造数据的上、下包络线x_max(t)和x_min(t)，舍弃预测部分数值，即预测延长之后的数据和原始数据的差值x⁽¹⁾(i)-x(k))，计算出上、下包络线的均值m₁(t)＝(x_max(t)+x_min(t))/2；

步骤四：计算数据x(t)与包络均值m₁(t)的差值c₁(t)＝x(t)-m₁(t)，判断c₁(t)是否是一个IMF，如果c₁(t)符合IMF的条件，则c₁(t)为分离出来的第一个IMF分量，令IMF₁(t)＝c₁(t)，求原数据与IMF₁(t)之间的差值r₁(t)＝IMF₁(t)-c₁(t)；如果c₁(t)不符合IMF的条件，此时将c₁(t)作为一个新的数据重复步骤一和步骤二，求得包络均值m₁₁(t)以及与c₁(t)的差值c₁₁(t)，继续判断c₁₁(t)是否是一个IMF，重复进行上述判断过程，直到c_1n(t)满足了IMF的条件，此时设c_1n(t)＝c_1(n-1)(t)-m_1n(t)为第一个IMF分量，获取x(t)与第一个IMF分量的差值r₁(t)＝x(t)-IMF₁(t)；

步骤五：将r₁(t)作为新的数据，重复步骤一至步骤四，提取第二个特征模态函数IMF₂(t)，令r₂(t)＝r₁(t)-IMF₂(t)，再从r₂(t)中提取第三个特征模态函数IMF₃(t)，依此类推，直到满足了筛选的终止条件，此时得到残余项r_n(t)＝r_(n-1)(t)-IMF_n(t)，则原数据x(t)的经验模态分解完成，其中，终止条件为：(1)在数据样本中，极值点的数目与穿零点的数目必须相等或者最多相差1个；(2)由局部极大值所构成包络线以及由局部极小值所构成的包络线平均值为零。