CN115146527A - 基于深度学习的多物理场模型耦合式求解方法 - Google Patents

基于深度学习的多物理场模型耦合式求解方法 Download PDF

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CN115146527A CN202210557960.2A CN202210557960A CN115146527A CN 115146527 A CN115146527 A CN 115146527A CN 202210557960 A CN202210557960 A CN 202210557960A CN 115146527 A CN115146527 A CN 115146527A
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Abstract

本发明公开了一种基于深度学习的多物理场模型耦合式求解方法，可用于多物理场方程组的数值计算。本发明包括以下步骤：步骤1，建立多物理场方程组模型；步骤2，基于步骤1的多物理场方程组模型构造对应的耦合式深度学习框架；步骤3，构造损失函数，选择合适的超参数；步骤4，对多物理场方程组模型进行训练，直至损失函数值下降到给定阈值，训练完成后得到多物理场方程组的解，从而实现基于深度学习的多物理场方程组耦合式数值计算。解决了在传统方法求解高维问题时会存在精度不高的问题。

Description

基于深度学习的多物理场模型耦合式求解方法
技术领域
本发明涉及基于深度神经网络的多物理场方程组数值求解方法，属于人工智能和多物理场建模领域。
背景技术
多物理场系统是指具有一个以上物理场变量的耦合系统，在多物理场中，各个物理场相互叠加、相互影响，研究多物理场就是研究多个互相作用的物理属性之间的关系。例如，自然对流传热研究压力场、速度场、温度场之间的关系，磁流体动力学研究磁场、电场、流体场之间的关系。作为一个跨学科的研究领域，多物理场涵盖了包括数学、物理学、工程学、电磁学等各学科。在建立多物理场模型时，首先根据每个物理场建立对应的偏微分方程，最后联立方程式形成一个多物理场方程组。
数值模拟是求解多物理场模型及其背后多物理场方程组的常用方法，包括有限差分、有限元、有限体积法等。但是这类传统方法都有一定的缺陷，例如其结果依赖网格划分，在求解高维问题时可能会有精度不高的问题。而深度神经网络作为一种强大的非线性映射工具，具有求解多物理场方程组的巨大潜力。在希望获得较高的计算精度时，可以使用耦合式的深度神经网络求解多物理场方程组。首先，构建用于描述多物理场方程组模型的耦合式深度神经网络模型，该模型网络的先验信息以多物理场方程组满足的物理规律为基础，然后设计损失函数并选择神经网络的宽度、深度和激活函数，通过梯度优化算法更新网络权重，按批次训练不断得到新的损失函数值，当其收敛到一定阈值后结束训练，得到多物理场方程组的计算解。
发明内容
本发明的目的，在于提供一种基于深度学习的多物理场模型耦合式求解方法，解决了在传统方法求解高维问题时会存在精度不高的问题。
为了达成上述目的，本发明的解决方案是：
一种基于深度学习的多物理场模型耦合式求解方法，包括如下步骤：
步骤1，建立多物理场方程组模型，将多物理场方程组所蕴含的物理规律作为深度神经网络的先验信息；
步骤2，基于步骤1的多物理场方程组建立基于深度学习的耦合式神经网络；
步骤3，以等式和相应的边界条件、初始条件为基础构造损失函数，选取符合模型复杂度的神经网络的层数等参数(包括但不限于神经网络的层数、神经元数、学习率，这些参数可以通过自动机器学习获得)，这些参数可以通过自动机器学习获得；
步骤4，神经网络训练求解多物理场方程组的数值解，训练时不断得到新的损失函数值，当其收敛到一定阈值后，结束训练，从而实现多物理场方程组模型的深度神经网络求解。
优选的，所述建立多物理场方程组模型，将多物理场方程组所蕴含的物理规律作为深度神经网络的先验信息，具体包括：
步骤11，根据具体问题建立对应的多物理场方程组模型；
步骤12，将对应的多物理场方程组模型改写成如下一般公式：
Figure BDA0003653063100000021
边界条件为：
Figure BDA0003653063100000022
初始条件为：
Figure BDA0003653063100000023
其中，X(x,t)是输入量，x是空间量，t是时间量，um(m＝1,2,…,n)是方程组的解，具体含义取决于对应多物理场方程的类型，Nm[·；λm]是被λm参数化的非线性算子，
Figure BDA0003653063100000024
是对应的边界值，βm是对应的初始值。
优选的，所述基于多物理场方程组建立基于深度学习的耦合式神经网络，具体包括：
步骤21，选择深度神经网络类型；
步骤22，根据多物理场方程组构造耦合式深度神经网络。
优选的，所述根据多物理场方程组构造耦合式深度神经网络，具体包括：
步骤221，选择的神经网络类型构造一个神经网络；
步骤222，根据多物理场方程组，将方程组的自变量作为神经网络的输入量；
步骤223，根据多物理场方程组，将方程组的所有求解量作为神经网络的输出量。
优选的，所述根据多物理场方程组构造耦合式深度神经网络，具体包括：
步骤221，选择的神经网络类型构造n个神经网络；
步骤222，根据多物理场方程组，将方程组的自变量作为各神经网络的输入量；
步骤223，根据多物理场方程组，将方程组的各求解量分别作为各神经网络的输出量
优选的，所述以等式和相应的边界条件、初始条件为基础构造损失函数，选取符合模型复杂度的神经网络参数，具体包括：
步骤31，选择充分光滑的激活函数；
步骤32，根据多物理场方程组、边界条件、初始条件构造损失函数；
步骤33，选择符合模型复杂度的神经网络层数和每层的神经元数，这些参数可以通过自动机器学习获得。
优选的，所述激活函数为非线性函数。
优选的，所述根据多物理场方程组、边界条件、初始条件构造损失函数，具体包括：
步骤321，根据多物理场方程组构造损失函数的第一部分Lf；
步骤322，根据边界条件构造损失函数的第二部分Lb；
步骤323，根据初始条件构造损失函数的第三部分Li；
步骤324，构造损失函数L＝Lf+Lb+Li。
优选的，所述Lf计算公式如下：
Figure BDA0003653063100000031
Figure BDA0003653063100000032
其中Nf是在计算域内的采样点数，Ψ是激活函数；
所述Lb计算公式如下：
Figure BDA0003653063100000033
Figure BDA0003653063100000034
其中Nb是在边界域内的采样点数；
所述Li计算公式如下：
Figure BDA0003653063100000035
Figure BDA0003653063100000036
其中Ni是在边界域内的采样点数。如果没有给定初始条件，Li＝0。
优选的，所述神经网络训练求解多物理场方程组的数值解，训练时不断得到新的损失函数值，当其收敛到一定阈值后，结束训练，实现多物理场方程组模型的深度神经网络求解，具体包括：
步骤41，神经网络训练一次得到输出值；
步骤42，计算损失函数值；
步骤43，使用梯度优化算法更新神经网络权重；
步骤44，重复步骤41-43，观察神经网络的损失函数值直至其下降到给定阈值；
步骤45，观察神经网络的L2范数误差值直至其下降到给定阈值，L2范数是特征空间中两点之间的距离，若空间中有点A(x1,y1)，B(x2,y2)，则A、B两点的L2范数误差为：
Figure BDA0003653063100000041
步骤46，得到神经网络的输出，即对应多物理场方程的数值解。
有益效果
本发明一种基于深度学习的多物理场模型耦合式求解方法，解决了在传统方法求解高维问题时会存在精度不高的问题。
附图说明
图1是本发明的流程图；
图2是具体实施中1维暂态电弧模型求解的神经网络示意图。
图3是具体实施例中神经网络训练结果和有限元法计算结果的对比图；
图4是具体实施例中神经网络训练结果和有限元法计算结果的对比图。
具体实施方式
下面将结合本发明的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例仅仅是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。
实施例
如图1-4所示，一种基于深度学习的多物理场模型耦合式求解方法，包括如下步骤：
步骤1，建立多物理场方程组模型，将多物理场方程组所蕴含的物理规律作为深度神经网络的先验信息；
步骤2，基于步骤1的多物理场方程组建立基于深度学习的耦合式神经网络；
步骤3，以等式和相应的边界条件、初始条件为基础构造损失函数，选取符合模型复杂度的神经网络的层数等参数(包括但不限于神经网络的层数、神经元数、学习率，这些参数可以通过自动机器学习获得)，这些参数可以通过自动机器学习获得；
步骤4，神经网络训练求解多物理场方程组的数值解，训练时不断得到新的损失函数值，当其收敛到一定阈值后，结束训练，从而实现多物理场方程组模型的深度神经网络求解。
进一步的，所述建立多物理场方程组模型，将多物理场方程组所蕴含的物理规律作为深度神经网络的先验信息，具体包括：
步骤11，根据具体问题建立对应的多物理场方程组模型；
步骤12，将对应的多物理场方程组模型改写成如下一般公式：
Figure BDA0003653063100000051
边界条件为：
Figure BDA0003653063100000052
初始条件为：
Figure BDA0003653063100000053
其中，X(x,t)是输入量，x是空间量，t是时间量，um(m＝1,2,…,n)是方程组的解，具体含义取决于对应多物理场方程的类型，Nm[·；λm]是被λm参数化的非线性算子，
Figure BDA0003653063100000054
是对应的边界值，βm是对应的初始值。
进一步的，所述基于多物理场方程组建立基于深度学习的耦合式神经网络，具体包括：
步骤21，选择深度神经网络类型；
步骤22，根据多物理场方程组构造耦合式深度神经网络。
进一步的，所述根据多物理场方程组构造耦合式深度神经网络，具体包括：
步骤221，选择的神经网络类型构造一个神经网络；
步骤222，根据多物理场方程组，将方程组的自变量作为神经网络的输入量；
步骤223，根据多物理场方程组，将方程组的所有求解量作为神经网络的输出量。
进一步的，所述根据多物理场方程组构造耦合式深度神经网络，具体包括：
步骤221，选择的神经网络类型构造n个神经网络；
步骤222，根据多物理场方程组，将方程组的自变量作为各神经网络的输入量；
步骤223，根据多物理场方程组，将方程组的各求解量分别作为各神经网络的输出量
进一步的，所述以等式和相应的边界条件、初始条件为基础构造损失函数，选取符合模型复杂度的神经网络参数，具体包括：
步骤31，选择充分光滑的激活函数；
步骤32，根据多物理场方程组、边界条件、初始条件构造损失函数；
步骤33，选择符合模型复杂度的神经网络层数和每层的神经元数，这些参数可以通过自动机器学习获得。
进一步的，所述激活函数为非线性函数。
进一步的，所述根据多物理场方程组、边界条件、初始条件构造损失函数，具体包括：
步骤321，根据多物理场方程组构造损失函数的第一部分Lf；
步骤322，根据边界条件构造损失函数的第二部分Lb；
步骤323，根据初始条件构造损失函数的第三部分Li；
步骤324，构造损失函数L＝Lf+Lb+Li。
进一步的，所述Lf计算公式如下：
Figure BDA0003653063100000061
Figure BDA0003653063100000062
其中Nf是在计算域内的采样点数，Ψ是激活函数；
所述Lb计算公式如下：
Figure BDA0003653063100000063
Figure BDA0003653063100000064
其中Nb是在边界域内的采样点数；
所述Li计算公式如下：
Figure BDA0003653063100000065
Figure BDA0003653063100000066
其中Ni是在边界域内的采样点数。如果没有给定初始条件，Li＝0。
进一步的，所述神经网络训练求解多物理场方程组的数值解，训练时不断得到新的损失函数值，当其收敛到一定阈值后，结束训练，实现多物理场方程组模型的深度神经网络求解，具体包括：
步骤41，神经网络训练一次得到输出值；
步骤42，计算损失函数值；
步骤43，使用梯度优化算法更新神经网络权重；
步骤44，重复步骤41-43，观察神经网络的损失函数值直至其下降到给定阈值；
步骤45，观察神经网络的L2范数误差值直至其下降到给定阈值，L2范数是特征空间中两点之间的距离，若空间中有点A(x1,y1)，B(x2,y2)，则A、B两点的L2范数误差为：
Figure BDA0003653063100000071
步骤46，得到神经网络的输出，即对应多物理场方程的数值解。
本实施例中，以1维暂态电弧为研究对象，通过耦合式建模计算1维暂态电弧方程的数值解。
请参见图1，其出示了一种基于深度学习的1维暂态电弧多物理场模型耦合式求解方法的流程图，该方法包括如下步骤：
(1)建立1维暂态电弧的多物理场方程组模型；
(11)基于质量守恒方程、能量守恒方程和欧姆定律方程建立1维电弧方程模型：
Figure BDA0003653063100000072
Figure BDA0003653063100000073
该方程组耦合了速度场、温度场两个物理场；
(12)将对应的1维暂态电弧方程模型改写成如下一般形式：
Figure BDA0003653063100000074
Figure BDA0003653063100000075
边界条件为：
T|r＝R＝Tb
Figure BDA0003653063100000081
其中，ρ是密度，t是时间，r是电弧半径，vr是电弧速度，Cp是比热，T是温度，σ是电导率，g是电弧电导，k是热导率，Erad是辐射产生的能量损失，Tb为r＝R时给定的边界温度值，代表等离子体性质的参数λ有：σ，k，Erad。
(2)基于步骤(1)的多物理场方程组建立基于深度学习的耦合式神经网络，如图2所示；
(21)选择神经网络类型，例如前馈神经网络；
(22)根据多物理场方程组构造耦合式深度神经网络；
(221)基于步骤(21)选择的神经网络类型构造一个神经网络；
(222)根据多物理场方程组，将方程组的自变量r、t作为神经网络的输入量；
(223)根据多物理场方程组，将方程组的所有求解量T、v作为神经网络的输出量。
(3)以方程等式和相应的边界条件、初始条件为基础构造损失函数，选取适当的神经网络的层数等参数；
(31)选择合适的激活函数，例如Huber函数：
Figure BDA0003653063100000082
(32)根据多物理场方程组、边界条件、初始条件构造损失函数；
(321)根据多物理场方程组构造损失函数的第一部分Lf，Lf计算公式如下：
Figure BDA0003653063100000083
Figure BDA0003653063100000084
Figure BDA0003653063100000085
其中Nf是在计算域内的采样点数；
(322)根据边界条件构造损失函数的第二部分Lb，计算公式如下：
Figure BDA0003653063100000086
Figure BDA0003653063100000087
Figure BDA0003653063100000088
其中Nb是在边界域内的采样点数；
(323)根据初始条件构造损失函数的第三部分Li，1维暂态电弧情况下没有初始条件，所以Li＝0；
(324)构造损失函数L＝Lf+Lb+Li＝Lf+Lb；
(33)选择合适的神经网络层数和每层的神经元数。
(4)神经网络训练求解多物理场方程组的数值解，训练时不断得到新的损失函数值，当其收敛到一定阈值后，结束训练，从而实现多物理场方程组模型的深度神经网络求解；
(41)神经网络训练一次得到输出值；
(42)计算损失函数值；
(43)使用梯度优化算法更新神经网络权重；
(44)重复步骤41-43，观察神经网络的损失函数值直至其下降到给定阈值；
(45)观察神经网络的L2范数误差值直至其下降到给定阈值，L2范数是特征空间中两点之间的距离，若空间中有点A(x1,y1)，B(x2,y2)，则A、B两点的L2范数误差为：
Figure BDA0003653063100000091
(46)得到神经网络的输出，即对应多物理场方程的数值解，如图3、图4所示为t＝0.9s时的温度、速度的求解结果。

Claims (10)

1.一种基于深度学习的多物理场模型耦合式求解方法，其特征在于包括如下步骤：
步骤1，建立多物理场方程组模型，将多物理场方程组所蕴含的物理规律作为深度神经网络的先验信息；
步骤2，基于多物理场方程组建立基于深度学习的耦合式神经网络；
步骤3，以等式和相应的边界条件、初始条件为基础构造损失函数，选取符合模型复杂度的神经网络参数；
步骤4，神经网络训练求解多物理场方程组的数值解，训练时不断得到新的损失函数值，当其收敛到一定阈值后，结束训练，实现多物理场方程组模型的深度神经网络求解。
2.如权利要求1所述的基于深度学习的多物理场模型耦合式求解方法，其特征在于：所述建立多物理场方程组模型，将多物理场方程组所蕴含的物理规律作为深度神经网络的先验信息，具体包括：
步骤11，根据具体问题建立对应的多物理场方程组模型；
步骤12，将对应的多物理场方程组模型改写成如下一般公式：
Figure FDA0003653063090000011
边界条件为：
Figure FDA0003653063090000012
初始条件为：
Figure FDA0003653063090000013
其中，X(x,t)是输入量，x是空间量，t是时间量，um(m＝1,2,…,n)是方程组的解，具体含义取决于对应多物理场方程的类型，Nm[·；λm]是被λm参数化的非线性算子，
Figure FDA0003653063090000014
是对应的边界值，βm是对应的初始值。
3.如权利要求1所述的基于深度学习的多物理场模型耦合式求解方法，其特征在于：所述基于多物理场方程组建立基于深度学习的耦合式神经网络，具体包括：
步骤21，选择深度神经网络类型；
步骤22，根据多物理场方程组构造耦合式深度神经网络。
4.如权利要求3所述的基于深度学习的多物理场模型耦合式求解方法，其特征在于：所述根据多物理场方程组构造耦合式深度神经网络，具体包括：
步骤221，选择的神经网络类型构造一个神经网络；
步骤222，根据多物理场方程组，将方程组的自变量作为神经网络的输入量；
步骤223，根据多物理场方程组，将方程组的所有求解量作为神经网络的输出量。
5.如权利要求3所述的基于深度学习的多物理场模型耦合式求解方法，其特征在于：所述根据多物理场方程组构造耦合式深度神经网络，具体包括：
步骤221，选择的神经网络类型构造n个神经网络；
步骤222，根据多物理场方程组，将方程组的自变量作为各神经网络的输入量；
步骤223，根据多物理场方程组，将方程组的各求解量分别作为各神经网络的输出量。
6.如权利要求1所述的基于深度学习的多物理场模型耦合式求解方法，其特征在于：所述以等式和相应的边界条件、初始条件为基础构造损失函数，选取符合模型复杂度的神经网络参数，具体包括：
步骤31，选择充分光滑的激活函数；
步骤32，根据多物理场方程组、边界条件、初始条件构造损失函数；
步骤33，选择符合模型复杂度的神经网络层数和每层的神经元数，这些参数可以通过自动机器学习获得。
7.如权利要求7所述的基于深度学习的多物理场模型耦合式求解方法，其特征在于：所述激活函数为非线性函数。
8.如权利要求1所述的基于深度学习的多物理场模型耦合式求解方法，其特征在于：所述根据多物理场方程组、边界条件、初始条件构造损失函数，具体包括：
步骤321，根据多物理场方程组构造损失函数的第一部分Lf；
步骤322，根据边界条件构造损失函数的第二部分Lb；
步骤323，根据初始条件构造损失函数的第三部分Li；
步骤324，构造损失函数L＝Lf+Lb+Li。
9.如权利要求9所述的基于深度学习的多物理场模型耦合式求解方法，其特征在于：所述Lf计算公式如下：
Figure FDA0003653063090000021
Figure FDA0003653063090000022
其中Nf是在计算域内的采样点数，Ψ是激活函数；
所述Lb计算公式如下：
Figure FDA0003653063090000031
Figure FDA0003653063090000032
其中Nb是在边界域内的采样点数；
所述Li计算公式如下：
Figure FDA0003653063090000033
Figure FDA0003653063090000034
其中Ni是在边界域内的采样点数。如果没有给定初始条件，Li＝0。
10.如权利要求1所述的基于深度学习的多物理场模型耦合式求解方法，其特征在于：所述神经网络训练求解多物理场方程组的数值解，训练时不断得到新的损失函数值，当其收敛到一定阈值后，结束训练，实现多物理场方程组模型的深度神经网络求解，具体包括：
步骤41，神经网络训练一次得到输出值；
步骤42，计算损失函数值；
步骤43，使用梯度优化算法更新神经网络权重；
步骤44，重复步骤41-43，观察神经网络的损失函数值直至其下降到给定阈值；
步骤45，观察神经网络的L2范数误差值直至其下降到给定阈值，L2范数是特征空间中两点之间的距离，若空间中有点A(x1,y1)，B(x2,y2)，则A、B两点的L2范数误差为：
Figure FDA0003653063090000035
步骤46，得到神经网络的输出，即对应多物理场方程的数值解。
CN202210557960.2A 2022-05-19 2022-05-19 基于深度学习的多物理场模型耦合式求解方法 Pending CN115146527A (zh)

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CN115933409A (zh) * 2023-01-06 2023-04-07 青岛哈尔滨工程大学创新发展中心 一种基于多物理场弱耦合的自适应调整时间步长的方法

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CN115933409A (zh) * 2023-01-06 2023-04-07 青岛哈尔滨工程大学创新发展中心 一种基于多物理场弱耦合的自适应调整时间步长的方法
CN115933409B (zh) * 2023-01-06 2023-05-05 青岛哈尔滨工程大学创新发展中心 一种基于多物理场弱耦合的自适应调整时间步长的方法

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