CN114965367A - 一种用于光学层析测量的混叠正弦波信号分离方法 - Google Patents

一种用于光学层析测量的混叠正弦波信号分离方法 Download PDF

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CN114965367A CN202210668836.3A CN202210668836A CN114965367A CN 114965367 A CN114965367 A CN 114965367A CN 202210668836 A CN202210668836 A CN 202210668836A CN 114965367 A CN114965367 A CN 114965367A
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何昭水
苏文青
刘太亨
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Abstract

本发明公开了一种用于光学层析测量的混叠正弦波信号分离方法，其包括以下步骤：通过测量系统采集层析测量混叠正弦波信号；根据三角恒等式求取层析测量混叠正弦波信号相邻三帧之间的关系；利用求取得到的层析测量混叠正弦波信号相邻三帧之间的关系，构建层析测量混叠正弦波信号频率估计优化问题；将构建的层析测量混叠正弦波信号频率估计优化问题转化为拉格朗日优化方程；利用交替迭代方式求解拉格朗日优化方程，并最终将层析测量混叠正弦波信号中所有频率估计出来，从而实现层析测量混叠正弦波信号的分离。与传统光学层析测量信号处理方法相比，本发明能够在更少的采样数据和更窄的光源带宽下，实现更高的深度分辨率。

Description

一种用于光学层析测量的混叠正弦波信号分离方法
技术领域
本发明涉及光学测量与信号处理的技术领域，尤其涉及到一种用于光学层析测量的混叠正弦波信号分离方法。
背景技术
光学层析测量是一种可获取被测材料内部介质层形貌信息的无损测量技术，被广泛应用于生物组织病变检测，复合材料缺陷检测等。该技术通常使用近红外宽带光源通过干涉光路分别投射至被测材料与参考镜表面。光束从被测材料表面穿透至内部若干介质层反射回来的光与参考镜反射的光发生干涉，最后由工业相机接收到该干涉光信号，该信号表现为若干正弦波的混叠信号。
由于光学测量技术具有透视测量能力，其深度分辨率成为非常重要的性能指标。深度分辨率指测量系统能够分辨被测材料内部介质层最小的间隔。因此，深度分辨率越高意味着测量系统能够分辨更加细微的内部结构细节。在光学层析测量技术中，深度分辨率与光源的带宽成正比。然而光源带宽增大的同时，会带来以下几点问题：1)波数非线性严重，由于不能忽略波数的高阶泰勒展开项，从而降低测量精度；2)昂贵且庞大的扫描源使其不实用；3)需要复杂的光学装置来消除宽带光的色散现象。因此，如何在窄带光源下实现更高的深度分辨率，是光学层析测量技术面临的关键挑战
发明内容
本发明的目的在于克服现有技术的不足，提供一种能显著提高光学层析测量深度分辨率的混叠正弦波信号分离方法。
为实现上述目的，本发明所提供的技术方案为：
一种用于光学层析测量的混叠正弦波信号分离方法，包括以下步骤：
S1、通过测量系统采集层析测量混叠正弦波信号；
S2、根据三角恒等式求取层析测量混叠正弦波信号相邻三帧之间的关系；
S3、利用步骤S2求取得到的层析测量混叠正弦波信号相邻三帧之间的关系，构建层析测量混叠正弦波信号频率估计优化问题；
S4、将步骤S3构建的层析测量混叠正弦波信号频率估计优化问题转化为拉格朗日优化方程；
S5、利用交替迭代方式求解拉格朗日优化方程，并最终将层析测量混叠正弦波信号中所有频率估计出来，从而实现层析测量混叠正弦波信号的分离。
进一步地，所述测量系统包括近红外光源、第一凸透镜、第二凸透镜、分光镜、参考镜、工业相机、被测材料；
其中，沿着近红外光源的射出方向，第一凸透镜、分光镜、第二凸透镜、参考镜顺序设置；
所述工业相机和被测材料分别位于分光镜的两侧，且所处的方位区别于第一凸透镜和第二凸透镜所处的方位。
进一步地，所述步骤S2包括：
设步骤S1通过测量系统采集得到的层析测量混叠正弦波信号为：
Figure BDA0003694038770000021
式(1)中，t表示工业相机采集信号的帧数，M表示被测材料内部介质层数；k(t)为波数；kp和kq分别代表从被测材料表面Sp和Sq反射的光强；Λpq和
Figure BDA0003694038770000022
分别代表被测材料表面Sp和Sq之间的光程差和初相位差,其中光程差Λpq＝π·fpq；
为便于优化建模，将(1)改写为如下，并且省略空间坐标(x,y)：
Figure BDA0003694038770000023
式(2)中,Ai为第i个层析测量混叠正弦波信号的幅值，
Figure BDA0003694038770000024
fi＝2Λpq；n为层析测量混叠正弦波信号个数并且n＝M(M+1)/2；fi为层析测量混叠正弦波信号中第i个信号的频率；
Figure BDA0003694038770000031
为第i个层析测量混叠正弦波信号的初相位；
根据三角恒等式，将层析测量混叠正弦波信号相邻三帧之间的关系表示为如下等式：
Figure BDA0003694038770000032
式(3)中，gi＝2cos(2πfi)，si和gi为未知量。
进一步地，所述步骤S3中，利用式(3)的关系，构建的层析测量混叠正弦波信号频率估计优化问题如下：
Figure BDA0003694038770000033
式(4)中，si＝[si(1),si(2),...,si(t),...si(T)]T。
进一步地，所述步骤S4包括：
由公式(4)的优化问题可知，需要求解的未知量为si和gi；根据拉格朗日乘子法，将公式(4)转化为拉格朗日方程，表示为：
Figure BDA0003694038770000034
式(5)中，S和gi为需要求解的变量，λ为拉格朗日乘子。
进一步地，所述步骤S5包括：
S5-1、拉格朗日方程分别对si和λ求导，并令其导数为0；
Figure BDA0003694038770000035
式(6)中，
Figure BDA0003694038770000041
Gi为如下类三角矩阵：
Figure BDA0003694038770000042
S5-2、对矩阵Di进行QR分解，即Di可分解为矩阵Qi与Ri的乘积；Qi为正交矩阵，Ri为上三角矩阵；将Ri拆分为如下四个子矩阵：
Figure BDA0003694038770000043
式(7)中，Ri1为上三角矩阵，Ri3和Ri4为0矩阵；结合公式(6)，可得：
Figure BDA0003694038770000044
其中si和
Figure BDA0003694038770000045
分别拆分为两个子矩阵：
Figure BDA0003694038770000046
和
Figure BDA0003694038770000047
将公式(7)代入公式(8)，得如下矩阵方程：
Figure BDA0003694038770000048
将方程(9)改写为如下形式：
Figure BDA0003694038770000049
对于一个正弦波信号有
Figure BDA00036940387700000410
根据公式(6)对n个正弦波信号有：
Figure BDA0003694038770000051
由公式(10)和(11)，得到如下方程组：
Figure BDA0003694038770000052
将方程组(12)整理为一个矩阵方程形式：
Figure BDA0003694038770000053
式(13)中，A(g)表示A是关于g的函数,g＝[g1,...,gn]；
S5-3、对式(13)的矩阵方程进行迭代求解：
首先对si进行求解，其分为两个阶段：
1)为g设定随机初始值，迭代估计si2；2)使用估计的si2计算si1；si2和si1的更新法则表示为：
Figure BDA0003694038770000054
式(14)中，
Figure BDA0003694038770000055
表示广义逆矩阵，k表示迭代步数，
Figure BDA0003694038770000056
为k次迭代后si1的估计值，
Figure BDA0003694038770000057
为k次迭代后si2的估计值；得到si后，对gi进行估计，gi的更新法则为：
Figure BDA0003694038770000058
其中，
Figure BDA0003694038770000061
为k+1次迭代后gi的估计值，Zi为中间变量，
Figure BDA0003694038770000062
得到gi后，计算层析测量混叠正弦波信号中第i个信号的频率fi，最终将层析测量混叠信号中所有频率f估计出来实现层析测量混叠正弦波信号的分离。
进一步地，由于不同测量系统的工业相机采集频率不同，因此实际测量信号的频率表示为：
Figure BDA0003694038770000063
式(16)中，fs为测量系统的采样频率，T为采样点数，Δk为波数范围。
与现有技术相比，本方案原理及优点如下：
本方案根据三角恒等式求取层析测量混叠正弦波信号相邻三帧之间的关系，并建立非线性优化问题，该优化问题为求解层析测量混叠正弦波信号的频率参数，然后将该优化问题转化为拉格朗日方程组进行求解，最后对拉格朗日方程中的两个未知量进行交替迭代更新，求得层析测量混叠正弦波信号的高精度频率参数，实现层析测量混叠正弦波信号的高精度分离。与传统光学层析测量信号处理方法相比，本方案能够在更少的采样数据和更窄的光源带宽下，实现更高的深度分辨率。
附图说明
为了更清楚地说明本发明实施例或现有技术中的技术方案，下面将对实施例或现有技术描述中所需要使用的服务作简单地介绍，显而易见地，下面描述中的附图仅仅是本发明的一些实施例，对于本领域普通技术人员来讲，在不付出创造性劳动的前提下，还可以根据这些附图获得其他的附图。
图1为本发明一种用于光学层析测量的混叠正弦波信号分离方法的原理流程图；
图2为本发明中采用到的测量系统的示意图；
图3为同算法对被测材料测试的频谱对比图；
图4为不同方法对被测材料前后表面测量的相位对比图。
附图标记：1-近红外光源、2-第一凸透镜、3-第二凸透镜、4-分光镜、5-参考镜、6-工业相机、7-被测材料。
具体实施方式
下面结合具体实施例对本发明作进一步说明：
如图1所示，本实施例所述的一种用于光学层析测量的混叠正弦波信号分离方法，包括以下步骤：
S1、通过测量系统采集层析测量混叠正弦波信号；
本步骤中，采用到的测量系统如图2所示，其包括近红外光源1、第一凸透镜2、第二凸透镜3、分光镜4、参考镜5、工业相机6、被测材料7；
其中，沿着近红外光源1的射出方向，第一凸透镜1、分光镜4、第二凸透镜3、参考镜5顺序设置；
所述工业相机6和被测材料7分别位于分光镜4的两侧，且所处的方位区别于第一凸透镜2和第二凸透镜3所处的方位。
S2、根据三角恒等式求取层析测量混叠正弦波信号相邻三帧之间的关系；
本步骤具体包括：
设步骤S1通过测量系统采集得到的层析测量混叠正弦波信号为：
Figure BDA0003694038770000071
式(1)中，t表示工业相机6采集信号的帧数，M表示被测材料内部介质层数；k(t)为波数；kp和kq分别代表从被测材料表面Sp和Sq反射的光强；Λpq和
Figure BDA0003694038770000072
分别代表被测材料表面Sp和Sq之间的光程差和初相位差,其中光程差Λpq＝π·fpq；
为便于优化建模，将(1)改写为如下，并且省略空间坐标(x,y)：
Figure BDA0003694038770000081
式(2)中,Ai为第i个层析测量混叠正弦波信号的幅值，
Figure BDA0003694038770000082
fi＝2Λpq；n为层析测量混叠正弦波信号个数并且n＝M(M+1)/2；fi为层析测量混叠正弦波信号中第i个信号的频率；
Figure BDA0003694038770000083
为第i个层析测量混叠正弦波信号的初相位；
根据三角恒等式，将层析测量混叠正弦波信号相邻三帧之间的关系表示为如下等式：
Figure BDA0003694038770000084
式(3)中，gi＝2cos(2πfi)，si和gi为未知量。
S3、利用步骤S2求取得到的层析测量混叠正弦波信号相邻三帧之间的关系，构建层析测量混叠正弦波信号频率估计优化问题：
Figure BDA0003694038770000085
式(4)中，si＝[si(1),si(2),...,si(t),...si(T)]T。
S4、将步骤S3构建的层析测量混叠正弦波信号频率估计优化问题转化为拉格朗日优化方程；
由公式(4)的优化问题可知，需要求解的未知量为si和gi；根据拉格朗日乘子法，将公式(4)转化为拉格朗日方程，表示为：
Figure BDA0003694038770000086
式(5)中，S和gi为需要求解的变量，λ为拉格朗日乘子。
S5、利用交替迭代方式求解拉格朗日优化方程，并最终将层析测量混叠正弦波信号中所有频率估计出来，从而实现层析测量混叠正弦波信号的分离。
本步骤具体包括：
S5-1、拉格朗日方程分别对si和λ求导，并令其导数为0；
Figure BDA0003694038770000091
式(6)中，
Figure BDA0003694038770000092
Gi为如下类三角矩阵：
Figure BDA0003694038770000093
S5-2、对矩阵Di进行QR分解，即Di可分解为矩阵Qi与Ri的乘积；Qi为正交矩阵，Ri为上三角矩阵；将Ri拆分为如下四个子矩阵：
Figure BDA0003694038770000094
式(7)中，Ri1为上三角矩阵，Ri3和Ri4为0矩阵；结合公式(6)，可得：
Figure BDA0003694038770000095
其中si和
Figure BDA0003694038770000096
分别拆分为两个子矩阵：
Figure BDA0003694038770000097
和
Figure BDA0003694038770000098
将公式(7)代入公式(8)，得如下矩阵方程：
Figure BDA0003694038770000101
将方程(9)改写为如下形式：
Figure BDA0003694038770000102
对于一个正弦波信号有
Figure BDA0003694038770000103
根据公式(6)对n个正弦波信号有：
Figure BDA0003694038770000104
由公式(10)和(11)，得到如下方程组：
Figure BDA0003694038770000105
将方程组(12)整理为一个矩阵方程形式：
Figure BDA0003694038770000106
式(13)中，A(g)表示A是关于g的函数,g＝[g1,...,gn]；
S5-3、对式(13)的矩阵方程进行迭代求解：
首先对si进行求解，其分为两个阶段：
1)为g设定随机初始值，迭代估计si2；2)使用估计的si2计算si1；si2和si1的更新法则表示为：
Figure BDA0003694038770000111
式(14)中，
Figure BDA0003694038770000112
表示广义逆矩阵，k表示迭代步数，
Figure BDA0003694038770000113
为k次迭代后si1的估计值，
Figure BDA0003694038770000114
为k次迭代后si2的估计值；得到si后，对gi进行估计，gi的更新法则为：
Figure BDA0003694038770000115
其中，
Figure BDA0003694038770000116
为k+1次迭代后gi的估计值，Zi为中间变量，
Figure BDA0003694038770000117
得到gi后，计算层析测量混叠正弦波信号中第i个信号的频率fi，最终将层析测量混叠信号中所有频率f估计出来实现层析测量混叠正弦波信号的分离。
由于不同测量系统的工业相机6采集频率不同，因此实际测量信号的频率表示为：
Figure BDA0003694038770000118
式(16)中，fs为测量系统的采样频率，T为采样点数，Δk为波数范围。
为体现本发明所述方法的性能，将其与傅里叶变换算法(FT)，自回归估计算法(AR)对比。采用图2所示的测量系统对光学分辨率板的前后表面进行测量，光源带宽设置为5nm。图3为三种方法测量的频谱截面图(a为FT算法频谱结果，b为AR算法频谱结果，c为本发明算法频谱结果)，可以看到FT算法出现频谱混叠，AR算法与FT算法相比有一定提高，但整体还是无法分辨相邻两个谱峰，本发明方法可以很好地将相邻谱峰分离。图4为提取对应分辨率板前后两表面谱峰的相位结果(a为FT算法相位结果，b为AR算法相位结果，c为本发明算法相位结果)。可以看到FT算法和AR算法提取的相位均存在严重误差，难以分辨出分辨率板中的数字和纹理，本发明方法提取的相位结果非常清晰。
以上所述之实施例子只为本发明之较佳实施例，并非以此限制本发明的实施范围，故凡依本发明之形状、原理所作的变化，均应涵盖在本发明的保护范围内。

Claims (7)

1.一种用于光学层析测量的混叠正弦波信号分离方法，其特征在于，包括以下步骤：
S1、通过测量系统采集层析测量混叠正弦波信号；
S2、根据三角恒等式求取层析测量混叠正弦波信号相邻三帧之间的关系；
S3、利用步骤S2求取得到的层析测量混叠正弦波信号相邻三帧之间的关系，构建层析测量混叠正弦波信号频率估计优化问题；
S4、将步骤S3构建的层析测量混叠正弦波信号频率估计优化问题转化为拉格朗日优化方程；
S5、利用交替迭代方式求解拉格朗日优化方程，并最终将层析测量混叠正弦波信号中所有频率估计出来，从而实现层析测量混叠正弦波信号的分离。
2.根据权利要求1所述的一种用于光学层析测量的混叠正弦波信号分离方法，其特征在于，所述测量系统包括近红外光源、第一凸透镜、第二凸透镜、分光镜、参考镜、工业相机、被测材料；
其中，沿着近红外光源的射出方向，第一凸透镜、分光镜、第二凸透镜、参考镜顺序设置；
所述工业相机和被测材料分别位于分光镜的两侧，且所处的方位区别于第一凸透镜和第二凸透镜所处的方位。
3.根据权利要求1所述的一种用于光学层析测量的混叠正弦波信号分离方法，其特征在于，所述步骤S2包括：
设步骤S1通过测量系统采集得到的层析测量混叠正弦波信号为：
Figure FDA0003694038760000011
式(1)中，t表示工业相机采集信号的帧数，M表示被测材料内部介质层数；k(t)为波数；kp和kq分别代表从被测材料表面Sp和Sq反射的光强；Λpq和
Figure FDA0003694038760000012
分别代表被测材料表面Sp和Sq之间的光程差和初相位差,其中光程差Λpq＝π·fpq；
为便于优化建模，将(1)改写为如下，并且省略空间坐标(x,y)：
Figure FDA0003694038760000021
式(2)中,Ai为第i个层析测量混叠正弦波信号的幅值，
Figure FDA0003694038760000022
fi＝2Λpq；n为层析测量混叠正弦波信号个数并且n＝M(M+1)/2；fi为层析测量混叠正弦波信号中第i个信号的频率；
Figure FDA0003694038760000023
为第i个层析测量混叠正弦波信号的初相位；
根据三角恒等式，将层析测量混叠正弦波信号相邻三帧之间的关系表示为如下等式：
Figure FDA0003694038760000024
式(3)中，gi＝2cos(2πfi)，si和gi为未知量。
4.根据权利要求3所述的一种用于光学层析测量的混叠正弦波信号分离方法，其特征在于，所述步骤S3中，利用式(3)的关系，构建的层析测量混叠正弦波信号频率估计优化问题如下：
Figure FDA0003694038760000025
式(4)中，si＝[si(1),si(2),...,si(t),...si(T)]T。
5.根据权利要求4所述的一种用于光学层析测量的混叠正弦波信号分离方法，其特征在于，所述步骤S4包括：
由公式(4)的优化问题可知，需要求解的未知量为si和gi；根据拉格朗日乘子法，将公式(4)转化为拉格朗日方程，表示为：
Figure FDA0003694038760000031
式(5)中，S和gi为需要求解的变量，λ为拉格朗日乘子。
6.根据权利要求5所述的一种用于光学层析测量的混叠正弦波信号分离方法，其特征在于，所述步骤S5包括：
S5-1、拉格朗日方程分别对si和λ求导，并令其导数为0；
Figure FDA0003694038760000032
式(6)中，
Figure FDA0003694038760000033
Gi为如下类三角矩阵：
Figure FDA0003694038760000034
S5-2、对矩阵Di进行QR分解，即Di可分解为矩阵Qi与Ri的乘积；Qi为正交矩阵，Ri为上三角矩阵；将Ri拆分为如下四个子矩阵：
Figure FDA0003694038760000035
式(7)中，Ri1为上三角矩阵，Ri3和Ri4为0矩阵；结合公式(6)，可得：
Figure FDA0003694038760000036
其中si和
Figure FDA0003694038760000037
分别拆分为两个子矩阵：
Figure FDA0003694038760000038
和
Figure FDA0003694038760000039
将公式(7)代入公式(8)，得如下矩阵方程：
Figure FDA0003694038760000041
将方程(9)改写为如下形式：
Figure FDA0003694038760000042
对于一个正弦波信号有
Figure FDA0003694038760000043
根据公式(6)对n个正弦波信号有：
Figure FDA0003694038760000044
由公式(10)和(11)，得到如下方程组：
Figure FDA0003694038760000045
将方程组(12)整理为一个矩阵方程形式：
Figure FDA0003694038760000046
式(13)中，A(g)表示A是关于g的函数,g＝[g1,...,gn]；
S5-3、对式(13)的矩阵方程进行迭代求解：
首先对si进行求解，其分为两个阶段：
1)为g设定随机初始值，迭代估计si2；2)使用估计的si2计算si1；si2和si1的更新法则表示为：
Figure FDA0003694038760000051
式(14)中，
Figure FDA0003694038760000052
表示广义逆矩阵，k表示迭代步数，
Figure FDA0003694038760000053
为k次迭代后si1的估计值，
Figure FDA0003694038760000054
为k次迭代后si2的估计值；得到si后，对gi进行估计，gi的更新法则为：
Figure FDA0003694038760000055
其中，
Figure FDA0003694038760000056
为k+1次迭代后gi的估计值，Zi为中间变量，
Figure FDA0003694038760000057
得到gi后，计算层析测量混叠正弦波信号中第i个信号的频率fi，最终将层析测量混叠信号中所有频率f估计出来实现层析测量混叠正弦波信号的分离。
7.根据权利要求6所述的一种用于光学层析测量的混叠正弦波信号分离方法，其特征在于，实际测量信号的频率表示为：
Figure FDA0003694038760000058
式(16)中，fs为测量系统的采样频率，T为采样点数，Δk为波数范围。
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