CN114879508A - 一种基于模型预测控制的磨削机器人路径跟踪控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明提出了一种基于模型预测控制的磨削机器人路径跟踪控制方法，首先建立磨削机器人运动学模型，以及建立磨削机器人离散时间预测模型；然后，定义期望路径，MPC跟踪期望路径上的点。为了快速准确地跟踪期望路径，本发明设计优化目标函数，设定约束条件，采用勒让德正交多项式逼近法逐渐逼近误差，最后达到收敛的效果。本方法能够高效在线控制磨削机器人跟踪路径，且能够处理控制输入的约束，提高了磨削机器人模型的鲁棒性。

Description

一种基于模型预测控制的磨削机器人路径跟踪控制方法

技术领域

本发明属于磨削机器人跟踪控制技术领域，具体涉及一种基于模型预测控制的磨削机器人路径跟踪控制方法。

背景技术

磨削机器人(GrindingRobot,GR)是一种多轴工业打磨机器人，具有工作空间大，灵活性高等优点，能够实现自动控制、多自由度、多用途、可编程等功能。随着智能制造业和工业4.0的不断发展，越来越多的机器人被应用到实际的生产和商业中。为了应对复杂的磨削工作环境，可以依靠操作性强的磨削机器人来代替人类的打磨工作。而对于磨削机器人，提高其路径跟踪误差的收敛性，保证其运动可控是一项基本的功能要求。磨削机器人动力学与运动学模型复杂，且模型参数模糊，复杂的模型也会导致磨削机器人的控制变得复杂。随着磨削机器人不断的工作，人们对其运动控制的精度、稳定性都提出了更高的要求，因此，解决磨削机器人路径跟踪误差大，提高磨削机器人的鲁棒性成为关键性研究。

近年来，许多学者对机器人的路径跟踪控制问题进行了研究。针对磨削机器人的非线性模型，主要的控制方法有滑模控制方法、反步控制(Back-Stepping)方法、智能控制方法等。

滑模控制方法是一种特殊的变结构控制，本质上是一种非线性控制，即控制结构随着时间变化而变化。具有快速响应、设计简单、参数可变、鲁棒性稳定等优点。

反步控制(Back-Stepping)方法是基于李雅普洛夫(Lyapunov)方法的非线性系统控制设计方法。其设计思路是在Lyapunov函数的基础上设计正确的系统控制率，将高阶系统分解为多个一阶系统，当阶次较低的系统稳定收敛时，整个高阶系统也就达到了稳定状态。

智能控制方法对系统的模型没有严格要求，不依赖于系统的模型来解决系统的控制问题。智能控制是指设计一个能够学习、抽象、推理、决策并对环境信息做出适应性反应的控制器或者系统，以完成由人来执行的任务。常见的智能控制方法有四种：专家控制、模糊控制、神经网络、遗传算法。

模型预测控制(ModelPredictiveControl,MPC)是一种基于模型的控制算法，其本质是在线的滚动优化。常用的模型预测控制算法有：模型算法控制(MAC)、动态矩阵控制(DMC)、广义预测控制(GPC)。模型预测控制算法在每个采样时刻，通过在线求解一个有限时域开环最优控制问题而获得控制输入序列，解得的最优控制序列只实施第一个控制作用。这是它与传统预先计算控制律的算法最大的不同。

MPC主要有三大基本特征：预测模型、滚动优化、反馈校正。采用模型预测控制的框架来解决磨削机器人的路径点跟踪控制问题，主要有三大优势。第一，模型预测控制能够显式控制输入存在的约束，缩小优化范围。第二，模型预测控制能够优化未来一段时间的系统输出，即未来一段运动轨迹，因此适用于路径点跟踪的滚动优化过程。第三，模型预测控制能够根据系统对象的实际输出修正系统的实际输入，使系统的实际输出接近于期望输出。

模型预测控制对模型的精度要求不高，具有建模方便、滚动优化、鲁棒性好、稳定性好等优点，但迭代步骤多，计算复杂，耗时较长。因此，需要研究MPC算法的可行性，提高MPC算法的运行效率。

发明内容

本发明的目的是针对现有磨削机器人模型存在参数模糊的情况，导致磨削机器人路径跟踪误差大的问题，而提供一种基于模型预测控制的磨削机器人路径跟踪控制方法。

为实现本发明的目的所采用的技术方案是：

一种基于模型预测控制的磨削机器人路径跟踪控制方法，该方法包括以下步骤：

步骤一、建立磨削机器人运动学模型；

步骤二、建立磨削机器人离散时间预测模型；

步骤三、定义期望路径：P＝{X_r(k)∈Rⁿ|X_r(k)＝p(θ_r(k))}，

其中，P为定义的参数期望路径，X_r(k)为k时刻机器人参考位置，p(θ_r(k))为k时刻的路径，θ_r(k)为k时刻的路径参数，θ_r在k+1时刻的预测期望路径为：

其中，w_p(k)为k时刻期望路径角速度，

为k时刻机器人控制输入偏差线性表达式；

步骤四、设计优化目标函数：

其中，J为代价函数(Cost Function)，Q与R为权重矩阵，ρ为权重系数，ε为松弛因子，N为状态误差的预测时域，N_c为控制输入偏差量的预测时域，θ_ref为期望轨迹；系统预测误差为：

e(k+1)＝X(k+1)-X_r(k+1|k)，

其中，X(k+1)为下一时刻机器人的实际位置，X_r(k+1|k)为下一时刻机器人的预测位置；

步骤五、设定约束条件；

设置控制量约束条件为：

u_min(k+t)≤u(k+t)≤u_max(k+t)，k＝0，1…N_c-1，

设置控制增量约束条件为：

Δu_min(k+t)≤Δu(k+t)≤Δu_max(k+t)，k＝0，1…N_c-1，

最终，约束条件转化为：

步骤六、采用正交多项式逼近法求解最优控制，具体过程如下：

定文

则称f(x)与g(x)在区间[a，b]上正交，记作：

定义

则称f(x)与g(x)在区间[a，b]上带权p(x)正交，定义一个k次多项式序列

使序列满足：

采用勒让德正交多项式，定义在区间[-1，1]上带权P(x)＝1正交的多项式P_n(x)：

定义推导公式为：

由机器人的运动学模型知：

对公式

分离变量，化简得到勒让德方程：

由勒让德方程的解得出每个时刻参数的最优解。

在上述技术方案中，步骤1中，定义X＝[x，y，θ]^T为机器人的实际位姿，(x，y)为机器人实际位置，θ为机器人实际角度；定义X_r＝[x_r，y_r，θ_r]^T为机器人参考位姿，(x_r，y_r)为机器人参考位置，θ_r为机器人参考角度，机器人的运动学模型为：

定义u＝[v，w]^T为系统的实际输入，u_r＝[v_r，w_r]^T为系统的参考输入，其中，υ为机器人实际线速度，w为机器人实际角速度，v_r为机器人参考线速度，w_r为机器人参考角速度，机器人跟踪误差模型为：

其中，[x_e，y_e，θ_e]为误差向量，(x_e，y_e)为实际位置与参考位置偏差，θ_e为角度偏差。

在上述技术方案中，步骤2中：

机器人每一时刻的状态量和控制量满足：

在任一时刻进行泰勒展开，只留一阶项，忽略高阶项，得到：

得出平衡点状态空间方程为：

其中，

为状态误差向量，

为机器人控制输入偏差向量；对式(7)进行前向欧拉法离散化得：

其中，k为采样时刻，

为k时刻机器人状态误差向量，

为k时刻机器人控制输入偏差向量，

T为采样时间。

本发明的特点和有益效果为：

本发明提出一种基于模型预测控制的磨削机器人路径跟踪控制方法，首次在磨削机器人运动学模型上实现了可在线执行的非线性模型预测控制，能够直接在线处理控制输入存在的约束。本发明通过建立GR运动学模型，建立离散时间预测模型，定义期望路径，设计优化目标函数，设定约束条件，采用勒让德(Legendre)正交多项式逼近法求解最优控制输入。解决了GR路径跟踪误差大的问题，提高了算法的鲁棒性与计算效率。

附图说明

图1是本发明基于模型预测控制的磨削机器人路径跟踪流程图。

图2是路径跟踪效果图。

图3是模型控制量变化图。

图4是路径跟踪位置图。

图5是路径跟踪误差图。

图6是区间[-1，1]上三阶勒让德(Legendre)正交多项式函数图。

对于本领域普通技术人员来讲，在不付出创造性劳动的前提下，可以根据以上附图获得其他的相关附图。

具体实施方式

以下结合附图和具体实施例对本发明作进一步详细说明。应当理解，此处所描述的具体实施例仅仅用以解释本发明，并不用于限定本发明。

本发明提出一种基于模型预测控制的磨削机器人路径跟踪控制方法，该方法包括以下步骤：

步骤一、建立磨削机器人运动学模型；具体过程如下：

定义X＝[x，y，θ]^T为机器人的实际位姿，(x，y)为机器人实际位置，θ为机器人实际角度；定义X_r＝[x_r，y_r，θ_r]^T为机器人参考位姿，(x_r，y_r)为机器人参考位置，θ_r为机器人参考角度，则机器人的运动学模型为：

定义u＝[υ，w]^T为系统的实际输入，u_r＝[v_r，w_r]^T为系统的参考输入，其中，υ为机器人实际线速度，w为机器人实际角速度，v_r为机器人参考线速度，w_r为机器人参考角速度，则机器人跟踪误差模型为：

其中，[x_e，y_e，θ_e]为误差向量，(x_e，y_e)为实际位置与参考位置偏差，θ_e为角度偏差。

步骤二、建立磨削机器人离散时间预测模型；

假设机器人已经完全沿着期望路径通过，得到路径上每个时刻的状态量和控制量，机器人每一时刻的状态量和控制量满足：

在任一时刻进行泰勒展开，只留一阶项，忽略高阶项，得到：

(5)-(4)得：

综上，得出平衡点状态空间方程为：

其中，

为状态误差向量，

为机器人控制输入偏差向量；对式(7)进行前向欧拉法离散化得：

其中，k为采样时刻，

为k时刻机器人状态误差向量，

为k时刻机器人控制输入偏差向量，

T为采样时间。

步骤三、定义期望路径：P＝{X_r(k)∈Rⁿ|X_r(k)＝p(θ_r(k))} (9)

其中，P为定义的参数期望路径，X_r(k)为k时刻机器人参考位置，p(θ_r(k))为k时刻的路径，θ_r(k)为k时刻的路径参数，θ_r在k+1时刻的预测期望路径为：

其中，w_p(k)为k时刻期望路径角速度，

为k时刻机器人控制输入偏差线性表达式，如：

其中，λ为增益系数，C为增益矩阵。

步骤四、设计优化目标函数；

为了使机器人快速、准确地跟踪期望路径，设计目标函数为：

优化式(12)目标函数，加入软约束的方法：

其中，J为代价函数(Cost Function)，Q与R为权重矩阵，ρ为权重系数，ε为松弛因子(引入ε为了避免计算过程引起迭代)，N为状态误差的预测时域，N_c为控制输入偏差量的预测时域，θ_ref为期望轨迹。系统预测误差为：

e(k+1)＝X(k+1)X_r(k+1|k) (14)

其中，X(k+1)为下一时刻机器人的实际位置，X_r(k+1|k)为下一时刻机器人的预测位置。

步骤五、设定约束条件；

控制量约束条件为：

u_min(k+t)≤u(k+t)≤u_max(k+t)，k＝0，1…N_c-1 (15)

控制增量约束条件为：

Δu_min(k+t)≤Δu(k+t)≤Δu_max(k+t)，k＝0，1…N_c-1 (16)

最终，约束条件转化为：

步骤六、采用正交多项式逼近法求解最优控制，具体过程如下：

定义

则称f(x)与g(x)在区间[a，b]上正交，记作：

定义

则称f(x)与g(x)在区间[a，b]上带权p(x)正交。定义一个k次多项式序列

使序列满足：

常用的正交多项式有雅克比(Jacobi)多项式，切比雪夫(Chebyshev)多项式，勒让德(Legendre)多项式，拉盖尔(Laguerre)多项式，埃尔米特(Hermite)多项式。本发明采用勒让德(Legendre)正交多项式，定义在区间[-1，1]上带权P(x)＝1正交的多项式P_n(x)：

定义推导公式为：

由式(1)知：

对式(23)分离变量，化简得到Legendre方程：

综上，由Legendre方程的解可以得出每个时刻参数的最优解，本发明采用勒让德(Legendre)正交多项式逐渐逼近误差，最后达到收敛的效果。

参见附图2-6，是通过matlab对本发明的基于模型预测控制的磨削机器人路径跟踪控制方法进行验证得到的数据图，可以看出本发明的方法具有良好的技术效果。

以上所述仅是本发明的优选实施方式，应当指出的是，对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明原理的前提下，还可以做出若干改进和润饰，这些改进和润饰也应视为本发明的保护范围。

Claims (3)

1.一种基于模型预测控制的磨削机器人路径跟踪控制方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤一、建立磨削机器人运动学模型；

步骤二、建立磨削机器人离散时间预测模型；

步骤三、定义期望路径：P＝{X_r(k)∈Rⁿ|x_r(k)＝p(θ_r(k))}，

其中，P为定义的参数期望路径，X_r(k)为k时刻机器人参考位置，p(θ_r(k))为k时刻的路径，θ_r(k)为k时刻的路径参数，θ_r在k+1时刻的预测期望路径为：

其中，w_p(k)为k时刻期望路径角速度，

为k时刻机器人控制输入偏差线性表达式；

步骤四、设计优化目标函数：

其中，J为代价函数(Cost Function)，Q与R为权重矩阵，ρ为权重系数，ε为松弛因子，N为状态误差的预测时域，N_c为控制输入偏差量的预测时域，θ_ref为期望轨迹；系统预测误差为：

e(k+1)＝X(k+1)-X_r(k+1|k)，

其中，X(k+1)为下一时刻机器人的实际位置，X_r(k+1|k)为下一时刻机器人的预测位置；

步骤五、设定约束条件；

设置控制量约束条件为：

u_min(k+t)≤u(k+t)≤u_max(k+t)，k＝0，1…N_c-1，

设置控制增量约束条件为：

Δu_min(k+t)≤Δu(k+t)≤Δu_max(k+t)，k＝0，1…N_c-1，

最终，约束条件转化为：

步骤六、采用正交多项式逼近法求解最优控制，具体过程如下：

定义∫_a ^bf(x)g(x)＝0，则称f(x)与g(x)在区间[a，b]上正交，记作：

(f，g)＝∫_a ^bf(x)g(x)＝0；

定义∫_a ^bp(x)f(x)g(x)＝0，则称f(x)与g(x)在区间[a，b]上带权p(x)正交，定义一个k次多项式序列

使序列满足：

采用勒让德正交多项式，定义在区间[-1，1]上带权P(x)＝1正交的多项式P_n(x)：

定义推导公式为：

由机器人的运动学模型知：

对公式

分离变量，化简得到勒让德方程：

由勒让德方程的解得出每个时刻参数的最优解。

2.根据权利要求1所述的基于模型预测控制的磨削机器人路径跟踪控制方法，其特征在于：步骤1中，定义X＝[x，y，θ]^T为机器人的实际位姿，(x，y)为机器人实际位置，θ为机器人实际角度；定义X_r＝[x_r，y_r，θ_r]^T为机器人参考位姿，(x_r，y_r)为机器人参考位置，θ_r为机器人参考角度，机器人的运动学模型为：

定义u＝[υ，w]^T为系统的实际输入，u_r＝[υ_r，w_r]T为系统的参考输入，其中，υ为机器人实际线速度，w为机器人实际角速度，υ_r为机器人参考线速度，w_r为机器人参考角速度，机器人跟踪误差模型为：

其中，[x_e，y_e，θ_e]为误差向量，(x_e，y_e)为实际位置与参考位置偏差，θ_e为角度偏差。

3.根据权利要求2所述的基于模型预测控制的磨削机器人路径跟踪控制方法，其特征在于，在步骤2中：

机器人每一时刻的状态量和控制量满足：

在任一时刻进行泰勒展开，只留一阶项，忽略高阶项，得到：

得出平衡点状态空间方程为：

其中，

为状态误差向量，

为机器人控制输入偏差向量；对式(7)进行前向欧拉法离散化得：

其中，k为采样时刻，

为k时刻机器人状态误差向量，

为k时刻机器人控制输入偏差向量，

T为采样时间。

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