CN114740736A - 一种带输出约束的机械臂触发式容错固定时间稳定控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及工业机械臂技术领域，且公开了一种带输出约束的机械臂触发式容错固定时间稳定控制方法，其包括以下步骤：S1：建立数学模型，对式(1)进行坐标变换；S2：控制器设计；S3：稳定性分析；S4：仿真与分析，单连杆机械臂系统参数选取：J＝1，B＝2，Mgl＝10，x₁(0)＝0，x₂(0)＝0.2，系统存在两个执行器，一个工作正常，另一个在5s之前正常工作，而在5s之后完全失效。本发明通过考虑实际应用中的通信资源约束问题，设计了一种新的事件触发机制，减少控制输入信号的更新频率，从而缓解系统通信压力，通过基于固定时间稳定理论设计控制器，可以自适应补偿执行器的失效，实现系统的固定时间稳定，与此同时满足系统的输出约束要求。

Description

一种带输出约束的机械臂触发式容错固定时间稳定控制方法

技术领域

本发明涉及工业机械臂技术领域，具体涉及一种带输出约束的机械臂触发式容错固定时间稳定控制方法。

背景技术

自20世纪60年代以来，机械臂在工业领域得到应用，如点焊、打磨、喷漆、码垛、航天等。在工业自动化生产线上，为工业自动化发挥了巨大作用，工业机械臂在现代工业中占据着重要的地位。

由于执行器本身的特性，机械臂系统往往存在输出约束和失效现象，这极大地影响了系统的稳定性和安全性。多年来，在对机械臂的研究中，提出了许多控制方法，但多数只能保证系统的渐进稳定，这就意味着需要无限长的时间实现期望的系统性能。近些年来，虽然出现了一些有限时间控制方法，可以实现系统的有限时间稳定，但其依然不能使系统在一个固定的时间内达到稳定状态。此外，在实际应用中，机械臂控制的实现是基于数字平台，通过通信网络实现系统的闭环控制。系统可能只配备简单的嵌入式微处理器和有限的通信信道带宽和能源，现有的控制方法多数未考虑到实际应用中的通信资源约束问题。

发明内容

(一)解决的技术问题

针对现有技术的不足，本发明提供一种带输出约束的机械臂触发式容错固定时间稳定控制方法，以解决上述背景技术中提出的问题。

(二)技术方案

为实现上述目的，本发明提供如下技术方案：

一种带输出约束的机械臂触发式容错固定时间稳定控制方法，其包括以下步骤：

S1：建立数学模型

不失一般性，带m个执行器的机械臂系统模型设定如下：

考虑第j(j＝1,2,...,m)执行器在运行过程中存在三种状态,分别为运行正常、部分失效、完全失效，如果执行器运行正常，则：

如果执行器失效，则：

对式(1)进行坐标变换

为了简化控制器设计和分析，引入了两个集合M₁和M₂，M₁代表所有正常运行或部分失效的执行器，M₂代表所有的完全失效的执行器。由于失效时刻t_j可能不同，这两集合在执行器运行期间是动态变化的。显然，M₁∪M₂＝{1,2,...,m}；

S2：控制器设计

控制器的设计采用了如下引理以及如下假设：引理1：考虑下面的动力系统：

如果存在一个正定函数V(x)，使V(x)满足：

则系统(5)的原点实际上是固定时间稳定的，其中，δ₁、δ₂、λ、p和q均为常数，且δ₁＞0，δ₂＞0，λ＞0，p∈(1,+∞)，q∈(0,1)，收敛时间T满足：

系统的解可以收敛到如下紧集：

引理2：对于

下列不等式成立，

引理3：对于

下列不等式成立，

引理4：对于a∈R，b∈R，c₁，c₂，m均为任意正数，下列不等式成立，

引理5：(杨氏不等式)对于

下列不等式成立，

引理6：对于

下列不等式成立，

引理7：对于a＞|z|，z∈R，下列不等式成立，

假设1：至少有一个执行器工作正常或失去部分性能；

假设2：参考信号y_r存在(n+1)阶导数，并存在两个大于0的常数

和d₁，满足

控制器的具体设计和稳定性分析过程如下：具体地，首先定义误差系统的表达式：

第一步：为应对系统输出约束问题，定义障碍李雅普诺夫函数V₁的表达式如下：

其中，d₁＞|z₁|，且

对V₁求导得：

第一虚拟控制律α₁的设计如下：

第二步：设计事件触发机制：

第二步：设计事件触发机制：

由式(21)可得到：

为了补偿执行器在运行过程中可能发生的失效，中间控制律

设计如下：

Q_j＝[φ_j,11,φ_j,21,φ_j,22,...,φ_j,2m]^T，

矩阵Q_j的元素具体值如下：

由于执行器的失效形式是未知的，所以矩阵Q_j是未知的。设计估计矩阵

得：

根据式(23)-式(26)可得：

根据式(21)、式(22)和引理3可得：

定义障碍李雅普诺夫函数V₂的表达式如下：

对V₂求导可得到：

其中

未知组合函数，利用模糊逻辑系统逼近

X＝[x₁,x₂,x₃,x₄]^T，x₁＝q(t)，

x₃＝y_r，

s_i(X)(i＝1,2,...,N)的定义如下：

进一步，式(32)可写为：

其中，

Φ＝[S(X)^T,1]^T，

根据杨氏不等式可得：

设计第二虚拟控制律α₂

如下：

根据式(31)、式(36)和式(37)可得到：

设计自适应律

和

如下：

可得：

根据杨氏不等式可得：

得：

其中，

得：

其中，

根据引理4，通过让a＝1，

c₁＝1-q，c₂＝q，

可以得到：

其中，

同理可以得到：

得：

其中，λ₂＝λ₁+2ι，

根据

的定义，可以得到：

由杨氏不等式可以得到：

结合

得：

其中，

为了便于分析，Q_j＝[φ_j,11,φ_j,21,φ_j,22,...,φ_j,2m]^T＝[Q_j1,Q_j2,...,Q_j(m+1)]^T，

同理可以得到，

义

可以得到：

；

根据引理6，可以得到：

其中，

是

得最大特征值，进一步，可以得到：

进一步，根据引理6和引理7，可以得到：

其中，

表示以常数e为底

的对数函数，

最后根据V₂的定义和引理6，可以得到：

其中，

S3：稳定性分析

根据引理1和式(59)，误差信号

可以收敛到以下紧集：

然后可以得到：

这表明|z₁|≤|d₁|，

因此，

系统输出y遵守约束要求，收敛时间T如下：

由式(21)可以得到：

S4：仿真与分析

单连杆机械臂系统参数选取：J＝1，B＝2，Mgl＝10，x₁(0)＝0，x₂(0)＝0.2，系统存在两个执行器，一个工作正常，另一个在5s之前正常工作，而在5s之后完全失效。

优选的，S1中q(t)是关节角，

是关节角速度，

是关节角加速度，J是转动惯量，B是摩擦阻尼系数，M是连杆质量，g是重力加速度，l是连杆长度，u_j是执行器j的输出转矩，m为整数，且m＞1，其中，t是时间，u_Pj是控制律。

优选的，步骤S1中t是时间，u_Pj是控制律，t_j是未知的失效时刻，u_Tj是未知常数；

是未知常数，并满足

如果执行器完全失效，则：

如果执行器部分失效，则：

且u_Tj＝0；如果执行器正常工作，则：

且u_Tj＝0。

优选的，步骤S1中x₁＝q(t)，

为系统状态；

表示x₁的导数；

表示x₂的导数；y为系统输出；

为系统不确定部分。

优选的，步骤S2中f(x)是连续函数；x表示状态向量，且x∈Rⁿ，x(0)＝f(0)＝0，

表示x的导数，δ₁、δ₂、λ、p和q均为常数，且δ₁＞0，δ₂＞0，λ＞0，p∈(1,+∞)，q∈(0,1)，χ为常数，且0＜χ＜1，b、c和ε均为常数，且b＞1，c＞1，ε＞0，

z₁是第一误差变量，z₂是第二误差变量，α₁是第一虚拟控制律，y_r为期望的输出信号，k₁₁和k₁₂为大于0的常数，q为设计参数，且满足

k₁₁和k₁₂为大于0的常数，t和t_k,j表示时间；j是执行器索引号；ω_j(t)表示t时刻的事件触发控制输入；ρ_j、λ_0j、ο_j、

和k均为常数，且0＜ρ_j＜1，λ_0j＞0，ο_j＞0，

k为整数；u_Pj(t)表示控制律；

表示中间控制律；ω_j(t_k,j)表示t_k,j时刻的事件触发控制输入；t_k,j表示第k次事件触发的时刻，t_k+1,j表示第k+1次事件触发的时刻；m_j(t)表示测量误差，且m_j(t)＝ω_j(t_k,j)-u_Pj(t)，γ_1j(t)表示第一时变参数，且γ_1j(t)≤1；γ_2j(t)表示第二时变参数，且γ_2j(t)≤1，Q_j表示矩阵，

表示Q_j的转置；H表示控制矩阵；α₂表示第二虚拟控制律，

分别代表φ_j,11,φ_j,21,φ_j,22,...,φ_j,2m的估计值，r是正数；K_j是(m+1)阶的正定矩阵，

表示K_j的逆矩阵；

的定义将在后文给出，

未知组合函数，

理想权值向量，N表示模糊基函数的数量；ε(X)是逼近误差，且

是一个大于零的常数；S(X)＝[s₁(X),s₂(X),...,s_N(X)]^T基函数向量，p、i和j为标号，用于表述相关元素的序列号，且(i＝1,2,...,N)；x_p表示模糊逻辑系统的输入向量X中的元素，

和

表示隶属度函数，a是大于零的常数，θ为实数，且

||·||表示二范数，k₂₁和k₂₂均为常数，且k₂₁＞0，k₂₂＞0，σ，ξ，η_j和ζ_j均为大于零的常数，

d表示M₁集合元素的个数。

优选的，步骤S3中

表示事件出发控制输入ω_j(t)的一阶导数，因为

有界，所以存在一个正数

使得

由于

和m_j(t_k,j)＝0，因此时间间隔的下界

且

显然，无Zeno现象出现。

优选的，步骤S4中控制器参数：

k₁₁＝k₁₂＝10，k₂₁＝k₂₂＝5，a＝0.5，r＝σ＝ξ＝1，η_j＝ζ_j＝0.1，K_j＝[1,0，0；0,1,0；0,0,1]，

λ_0j＝2，ρ_j＝0.1，ο_j＝0.1，

参考信号y_r＝sin(2t)，仿真步长为0.01s。

与现有技术相比，本发明提供的带输出约束的机械臂触发式容错固定时间稳定控制方法，具备以下有益效果：

1、本发明通过考虑了实际应用中的通信资源约束问题，设计了一种新的事件触发机制，减少控制输入信号的更新频率，从而缓解系统通信压力。

2、本发明通过基于固定时间稳定理论设计控制器，可以自适应补偿执行器的失效，实现系统的固定时间稳定，与此同时满足系统的输出约束要求。

附图说明

图1为本发明实施例控制方法生物控制输入u1和u2示意图；

图2为本发明实施例控制方法的期望输出y_r和系统输出y示意图；

图3为本发明实施例控制方法的状态x₂示意图；

图4为本发明实施例控制方法的跟踪误差示意图；

图5为本发明实施例控制方法的控制律示意图；

图6为本发明实施例控制方法的控制信号u_Pj和ω_j示意图；

图7为本发明实施例控制方法的事件触发时间间隔示意图。

图中：S1建立数学模型，S2控制器设计，S3稳定性分析，S4仿真与分析。

具体实施方式

下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例仅仅是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。

实施例请参阅图1-7，本发明实施例提供的带输出约束的机械臂触发式容错固定时间稳定控制方法，包括以下步骤：

S1：建立数学模型

为不失一般性，带m个执行器的机械臂系统模型设定如下：

考虑第j(j＝1,2,...,m)执行器在运行过程中存在三种状态,分别为运行正常、部分失效、完全失效，如果执行器运行正常，则：

如果执行器失效，则：

对式(1)进行坐标变换

为了简化控制器设计和分析，引入两个集合M₁和M₂，M₁代表所有正常运行或部分失效的执行器，M₂代表所有的完全失效的执行器。由于失效时刻t_j可能不同，这两集合在执行器运行期间是动态变化的。显然，M₁∪M₂＝{1,2,...,m}；S1中q(t)是关节角，

是关节角速度，

是关节角加速度，J是转动惯量，B是摩擦阻尼系数，M是连杆质量，g是重力加速度，l是连杆长度，u_j是执行器j的输出转矩，m为整数，且m＞1，其中，t是时间，u_Pj是控制律S1中t是时间，u_Pj是控制律，t_j是未知的失效时刻，u_Tj是未知常数；

是未知常数，并满足

如果执行器完全失效，则：

如果执行器部分失效，则：

且u_Tj＝0；如果执行器正常工作，则：

且u_Tj＝0，S1中x₁＝q(t)，

为系统状态；

表示x₁的导数；

表示x₂的导数；y为系统输出；

为系统不确定部分；

S2：控制器设计

控制器的设计采用了如下引理以及如下假设：引理1：考虑下面的动力系统：

如果存在一个正定函数V(x)，使V(x)满足：

则系统(5)的原点实际上是固定时间稳定的，其中，δ₁、δ₂、λ、p和q均为常数，且δ₁＞0，δ₂＞0，λ＞0，p∈(1,+∞)，q∈(0,1)，收敛时间T满足：

系统的解可以收敛到如下紧集：

引理2：对于

下列不等式成立，

引理3：对于

下列不等式成立，

引理4：对于a∈R，b∈R，c₁，c₂，m均为任意正数，下列不等式成立，

引理5：(杨氏不等式)对于

下列不等式成立，

引理6：对于

下列不等式成立，

引理7：对于a＞|z|，z∈R，下列不等式成立，

假设1：至少有一个执行器工作正常或失去部分性能；

假设2：参考信号y_r存在(n+1)阶导数，并存在两个大于0的常数

和d₁，满足

控制器的具体设计和稳定性分析过程如下：具体地，首先定义误差系统的表达式：

第一步：为应对系统输出约束问题，定义障碍李雅普诺夫函数V₁的表达式如下：

其中，d₁＞|z₁|，且

对V₁求导得：

第一虚拟控制律α₁的设计如下：

第二步：设计事件触发机制：

由式(21)得到：

为了补偿执行器在运行过程中可能发生的失效，中间控制律

设计如下：

Q_j＝[φ_j,11,φ_j,21,φ_j,22,...,φ_j,2m]^T，

矩阵Q_j的元素具体值如下：

由于执行器的失效形式是未知的，所以矩阵Q_j是未知的。设计估计矩阵

得：

根据式(23)-式(26)可得：

根据式(21)、式(22)和引理3可得：

定义障碍李雅普诺夫函数V₂的表达式如下：

对V₂求导可得到：

其中

未知组合函数，利用模糊逻辑系统逼近

X＝[x₁,x₂,x₃,x₄]^T，x₁＝q(t)，

x₃＝y_r，

s_i(X)(i＝1,2,...,N)的定义如下：

进一步，式(32)可写为：

其中，

Φ＝[S(X)^T，1]^T，根据杨氏不等式可得：

设计第二虚拟控制律α₂如下：

根据式(31)、式(36)和式(37)可得到：

设计自适应律

和

如下：

可得：

根据杨氏不等式可得：

得：

其中，

得：

其中，

根据引理4，通过让a＝1，

c₁＝1-q，c₂＝q，

可以得到：

其中，

同理可以得到：

得：

其中，λ₂＝λ₁+2ι，

根据

的定义，可以得到：

由杨氏不等式可以得到：

结合

得：

其中，

为了便于分析，Q_j＝[φ_j,11,φ_j,21,φ_j,22,...,φ_j,2m]^T＝[Q_j1,Q_j2,...,Q_j(m+1)]^T，

同理可以得到，

义

可以得到：

根据引理6，可以得到：

其中，

是

得最大特征值，进一步，可以得到：

进一步，

根据引理6和引理7，可以得到：

其中，

表示以常数e为底

的对数函数；

最后根据V₂的定义和引理6，可以得到：

其中，

S2中f(x)是连续函数；x表示状态向量，且x∈Rⁿ，x(0)＝f(0)＝0，

表示x的导数，δ₁、δ₂、λ、p和q均为常数，且δ₁＞0，δ₂＞0，λ＞0，p∈(1,+∞)，q∈(0,1)，χ为常数，且0＜χ＜1，b、c和ε均为常数，且b＞1，c＞1，ε＞0，

z₁是第一误差变量，z₂是第二误差变量，α₁是第一虚拟控制律，y_r为期望的输出信号；k₁₁和k₁₂为大于0的常数，q为设计参数，且满足

k₁₁和k₁₂为大于0的常数，t和t_k,j表示时间；j是执行器索引号；ω_j(t)表示t时刻的事件触发控制输入；ρ_j、λ_0j、ο_j、

和k均为常数，且0＜ρ_j＜1，λ_0j＞0，ο_j＞0，

k为整数；u_Pj(t)表示控制律；

表示中间控制律；ω_j(t_k,j)表示t_k,j时刻的事件触发控制输入；t_k,j表示第k次事件触发的时刻，t_k+1,j表示第k+1次事件触发的时刻；m_j(t)表示测量误差，且m_j(t)＝ω_j(t_k,j)-u_Pj(t)，γ_1j(t)表示第一时变参数，且γ_1j(t)≤1；γ_2j(t)表示第二时变参数，且γ_2j(t)≤1，Q_j表示矩阵，

表示Q_j的转置；H表示控制矩阵；α₂表示第二虚拟控制律，

分别代表φ_j,11,φ_j,21,φ_j,22,...,φ_j,2m的估计值，r是正数；K_j是(m+1)阶的正定矩阵，

表示K_j的逆矩阵；

的定义将在后文给出，

未知组合函数，

理想权值向量，N表示模糊基函数的数量；ε(X)是逼近误差，且

是一个大于零的常数；S(X)＝[s₁(X),s₂(X),...,s_N(X)]^T基函数向量，p、i和j为标号，用于表述相关元素的序列号，且(i＝1,2,...,N)；x_p表示模糊逻辑系统的输入向量X中的元素，

和

表示隶属度函数，a是大于零的常数，θ为实数，且

||·||表示二范数，k₂₁和k₂₂均为常数，且k₂₁＞0，k₂₂＞0，σ，ξ，η_j和ζ_j均为大于零的常数，

d表示M₁集合元素的个数；

S3：稳定性分析

根据引理1和式(59)，误差信号

可以收敛到以下紧集：

然后可以得到：

这表明|z₁|≤|d₁|，

因此，

系统输出y遵守约束要求，收敛时间T如下：

由式(21)可以得到：

表示事件出发控制输入ω_j(t)的一阶导数，因为

有界，所以存在一个正数

使得

由于

和m_j(t_k,j)＝0，因此时间间隔的下界

且

显然，无Zeno现象出现；

S4：仿真与分析

单连杆机械臂系统参数选取：J＝1，B＝2，Mgl＝10，x₁(0)＝0，x₂(0)＝0.2，系统存在两个执行器，一个工作正常，另一个在5s之前正常工作，而在5s之后完全失效；S4中控制器参数：

k₁₁＝k₁₂＝10，k₂₁＝k₂₂＝5，a＝0.5，r＝σ＝ξ＝1，η_j＝ζ_j＝0.1，K_j＝[1,0，0；0,1,0；0,0,1]，

λ_0j＝2，ρ_j＝0.1，ο_j＝0.1，

参考信号y_r＝sin(2t)，仿真步长为0.01s；通过考虑了实际应用中的通信资源约束问题，设计了一种事件触发机制，减少控制输入信号的更新频率，从而缓解系统通信压力，通过基于固定时间稳定理论设计控制器，可以自适应补偿执行器的失效，实现系统的固定时间稳定，与此同时满足系统的输出约束要求。

在使用时，从图1-图7知，所有信号都是有界的，在图2中，系统输出可以很好地跟踪期望轨迹，且系统输出在任何时刻都满足输出约束要求，从图3可知，状态的曲线在初始阶段有剧烈的抖动，然后逐渐变得平滑，图4描绘了3种不同初始系统状态的跟踪误差的收敛曲线，结果表明，跟踪误差控制在0.05以内，在不同的初始状态下，该系统迅速收敛，且稳定时间约为0.1s，因此，系统稳定时间的上界与系统初始状态无关，图5和图6可知，控制律和控制信号，在初始阶段有剧烈的抖动，然后逐渐变得平滑，图1可知，一个执行器工作正常，另一个执行器在5s之前正常工作，而在5s之后完全失效，从图7知，最小的时间间隔为0.02s，而最大的时间间隔是0.14s，因此，不存在Zeno现象，由表1可知，在10秒内，基于时间和事件触发机制的总触发次数分别为1000次和239次(仿真步长为0.01s)，事件触发率为23.9％，通过事件触发机制设计的控制器有效地节省了77.6％的通信资源。

本发明通过考虑实际应用中的通信资源约束问题，设计了一种新的事件触发机制，减少控制输入信号的更新频率，从而缓解系统通信压力，通过基于固定时间稳定理论设计控制器，可以自适应补偿执行器的失效，实现系统的固定时间稳定，与此同时满足系统的输出约束要求。

尽管已经示出和描述了本发明的实施例，对于本领域的普通技术人员而言，可以理解在不脱离本发明的原理和精神的情况下可以对这些实施例进行多种变化、修改、替换和变型，本发明的范围由所附权利要求及其等同物限定。

Claims (7)

1.一种带输出约束的机械臂触发式容错固定时间稳定控制方法，其特征在于：包括以下步骤：

S1：建立数学模型

为不失一般性，带m个执行器的机械臂系统模型设定如下：

考虑第j(j＝1,2,...,m)执行器在运行过程中存在三种状态,分别为运行正常、部分失效、完全失效，如果执行器运行正常，则：

如果执行器失效，则：

对式(1)进行坐标变换

对控制器进行简化设计和分析，引入两个集合M₁和M₂。M₁代表所有正常运行或部分失效的执行器，M₂代表所有的完全失效的执行器。由于失效时刻t_j可能不同，这两集合在执行器运行期间是动态变化的。显然，M₁∪M₂＝{1,2,...,m}；

S2：控制器设计

控制器的设计采用如下引理以及如下假设：引理1：考虑下面的动力系统：

如果存在一个正定函数V(x)，使V(x)满足：

则系统(5)的原点实际上是固定时间稳定的，其中，δ₁、δ₂、λ、p和q均为常数，且δ₁＞0，δ₂＞0，λ＞0，p∈(1,+∞)，q∈(0,1)，收敛时间T满足：

系统的解可以收敛到如下紧集：

引理2：对于

下列不等式成立，

引理3：对于

下列不等式成立，

引理4：对于a∈R，b∈R，c₁，c₂，m均为任意正数，下列不等式成立，

引理5：(杨氏不等式)对于

下列不等式成立，

引理6：对于

下列不等式成立，

引理7：对于a＞|z|，z∈R，下列不等式成立，

假设1：至少有一个执行器工作正常或失去部分性能；

假设2：参考信号y_r存在(n+1)阶导数，并存在两个大于0的常数

和d ₁，满足

控制器的具体设计和稳定性分析过程如下：具体地，首先定义误差系统的表达式：

第一步：为应对系统输出约束问题，定义障碍李雅普诺夫函数V₁的表达式如下：

其中，d₁＞|z₁|，且

对V₁求导得：

第一虚拟控制律α₁的设计如下：

其中

第二步：设计事件触发机制：

(21)，由式(21)可得到：

为了补偿执行器在运行过程中可能发生的失效，中间控制律

设计如下：

Q_j＝[φ_j,11,φ_j,21,φ_j,22,...,φ_j,2m]^T (23)，

矩阵Q_j的元素具体值如下：

由于执行器的失效形式是未知的，所以矩阵Q_j是未知的。设计估计矩阵

得：

根据式(23)-式(26)可得：

根据式(21)、式(22)和引理3可得：

定义障碍李雅普诺夫函数V₂的表达式如下：

对V₂求导可得到：

其中

未知组合函数，利用模糊逻辑系统逼近

X＝[x₁,x₂,x₃,x₄]^T，x₁＝q(t)，

x₃＝y_r，

s_i(X)(i＝1,2,...,N)的定义如下：

进一步，式(32)可写为：

其中，

Φ＝[S(X)^T,1]^T；

根据杨氏不等式可得：

设计第二虚拟控制律α₂如下：

根据式(31)、式(36)和式(37)可得到：

设计自适应律

和

如下：

可得：

根据杨氏不等式可得：

得：

其中，

得：

其中，

根据引理4，通过让a＝1，

c₁＝1-q，c₂＝q，

可以得到：

其中，

同理可以得到：

得：

其中，λ₂＝λ₁+2ι根据

的定义，可以得到：

由杨氏不等式可以得到：

结合

得：

其中，

为了便于分析，Q_j＝[φ_j,11,φ_j,21,φ_j,22,...,φ_j,2m]^T＝[Q_j1,Q_j2,...,Q_j(m+1)]^T，

同理可以得到，

义

可以得到：

根据引理6，可以得到：

其中，

是

得最大特征值，进一步，可以得到：

进一步，根据引理6和引理7，可以得到：

其中，

表示以常数e为底

的对数函数，

最后根据V₂的定义和引理6，可以得到：

其中，

S3：稳定性分析

根据引理1和式(59)，误差信号

可以收敛到以下紧集：

然后可以得到：

这表明|z₁|≤|d₁|，

因此，

系统输出y遵守约束要求，收敛时间T如下：

由式(21)可以得到：

S4：仿真与分析

单连杆机械臂系统参数选取：J＝1，B＝2，Mgl＝10，x₁(0)＝0，x₂(0)＝0.2，系统存在两个执行器，一个工作正常，另一个在5s之前正常工作，而在5s之后完全失效。

2.根据权利要求1所述的带输出约束的机械臂触发式容错固定时间稳定控制方法，其特征在于：步骤S1中q(t)是关节角，

是关节角速度，

是关节角加速度，J是转动惯量，B是摩擦阻尼系数，M是连杆质量，g是重力加速度，l是连杆长度，u_j是执行器j的输出转矩，m为整数，且m＞1，其中，t是时间，u_Pj是控制律。

3.根据权利要求1所述的带输出约束的机械臂触发式容错固定时间稳定控制方法，其特征在于：步骤S1中t是时间，u_Pj是控制律，t_j是未知的失效时刻，u_Tj是未知常数；

是未知常数，并满足

如果执行器完全失效，则：

如果执行器部分失效，则：

且u_Tj＝0；如果执行器正常工作，则：

且u_Tj＝0。

4.根据权利要求1所述的带输出约束的机械臂触发式容错固定时间稳定控制方法，其特征在于：步骤S1中x₁＝q(t)，

为系统状态；

表示x₁的导数；

表示x₂的导数；y为系统输出；

为系统不确定部分。

5.根据权利要求1所述的带输出约束的机械臂触发式容错固定时间稳定控制方法，其特征在于：步骤S2中f(x)是连续函数；x表示状态向量，且x∈Rⁿ，x(0)＝f(0)＝0，

表示x的导数，δ₁、δ₂、λ、p和q均为常数，且δ₁＞0，δ₂＞0，λ＞0，p∈(1,+∞)，q∈(0,1)，χ为常数，且0＜χ＜1，b、c和ε均为常数，且b＞1，c＞1，ε＞0，

z₁是第一误差变量，z₂是第二误差变量，α₁是第一虚拟控制律，y_r为期望的输出信号；k₁₁和k₁₂为大于0的常数，q为设计参数，且满足

k₁₁和k₁₂为大于0的常数，t和t_k,j表示时间；j是执行器索引号；ω_j(t)表示t时刻的事件触发控制输入；ρ_j、λ_0j、ο_j、

和k均为常数，且0＜ρ_j＜1，λ_0j＞0，ο_j＞0，

k为整数；u_Pj(t)表示控制律；

表示中间控制律；ω_j(t_k,j)表示t_k,j时刻的事件触发控制输入；t_k,j表示第k次事件触发的时刻，t_k+1,j表示第k+1次事件触发的时刻；m_j(t)表示测量误差，且m_j(t)＝ω_j(t_k,j)-u_Pj(t)，γ_1j(t)表示第一时变参数，且γ_1j(t)≤1；γ_2j(t)表示第二时变参数，且γ_2j(t)≤1，Q_j表示矩阵，

表示Q_j的转置；H表示控制矩阵；α₂表示第二虚拟控制律，

分别代表φ_j,11,φ_j,21,φ_j,22,...,φ_j,2m的估计值，r是正数；K_j是(m+1)阶的正定矩阵，

表示K_j的逆矩阵；

的定义将在后文给出，

未知组合函数，

理想权值向量，N表示模糊基函数的数量；ε(X)是逼近误差，且

是一个大于零的常数；S(X)＝[s₁(X),s₂(X),...,s_N(X)]^T基函数向量，p、i和j为标号，用于表述相关元素的序列号，且(i＝1,2,...,N)；x_p表示模糊逻辑系统的输入向量X中的元素，

和

表示隶属度函数，a是大于零的常数，θ为实数，且

||·||表示二范数，k₂₁和k₂₂均为常数，且k₂₁＞0，k₂₂＞0，σ，ξ，η_j和ζ_j均为大于零的常数，

d表示M₁集合元素的个数。

6.根据权利要求1所述的带输出约束的机械臂触发式容错固定时间稳定控制方法，其特征在于：步骤S3中

表示事件出发控制输入ω_j(t)的一阶导数，因为

有界，所以存在一个正数

使得

由于

和m_j(t_k,j)＝0，因此时间间隔的下界

且

无Zeno现象出现。

7.根据权利要求1所述的带输出约束的机械臂触发式容错固定时间稳定控制方法，其特征在于：步骤S4中控制器参数：

k₁₁＝k₁₂＝10，k₂₁＝k₂₂＝5，a＝0.5，r＝σ＝ξ＝1，η_j＝ζ_j＝0.1，K_j＝[1,0，0；0,1,0；0,0,1]，

λ_0j＝2，ρ_j＝0.1，ο_j＝0.1，

参考信号y_r＝sin(2t)，仿真步长为0.01s。

Images