CN114529018B - 一种基于Gamma分布的舰船备件需求近似计算方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种基于Gamma分布的舰船备件需求近似计算方法，首先依据工程背景，在适当范围内设定k/n(G)系统的参数，其次计算Gamma型备件参数a,b的值，然后计算Gamma型备件需求的分布及其平均需求量，最后依次计算备件需求量为j时对应的概率值p_j；当时，D的值即为满足目标保障概率P的备件需求量。

Description

一种基于Gamma分布的舰船备件需求近似计算方法

技术领域

本发明涉及船舶维修技术领域，具体涉及一种k/n(G)系统中基于 Gamma分布的舰船备件需求近似计算方法。

背景技术

备件作为舰船维修保障的重要保障资源，设备维修方式的选择以及维修活动的实施时机都会影响备件的消耗规律。

对于结构复杂、冗余手段较多的舰船设备，由于受舰船维修环境的限制，海上期间的设备故障常常根据对任务的影响程度选择海上现场维修(应急抢修)还是返航后进行工厂集中维修，这种返港工厂集中维修与海上现场维修相结合的维修方式将直接影响舰船备件的消耗规律。具体表现为如下方面：

(1)工厂集中维修活动对舰船备件消耗规律有着很大影响，一方面，可有效降低舰船海上期间的备件消耗强度，从这个意义上来看，工厂集中维修消耗备件与海上维修消耗备件是相互关联的；另一方面，由于工厂集中维修活动主要是围绕舰船一次任务的前后进行安排，因此，对于舰船任务周期备件需求而言，其海上维修消耗备件与工厂集中维修所需备件应统筹考虑，才能有效提高备件需求预测的精确化水平。本文的舰船任务周期备件需求包括工厂集中维修消耗备件和海上现场维修所需随船备件。

(2)海上任务期间的设备故障与其实施修理的部分分离是影响舰船备件消耗规律的关键。舰船在海上任务期间，许多设备故障并不是在故障发生后立即实施现场维修，而是根据任务需求和维修实施可能性等综合考虑维修时机，即部分设备故障采取返港后进行工厂集中维修的维修策略。这主要是因为：一是，舰船设备设计中，为保证设备的可用性，对于重要设备往往采取设备冗余设计，在故障单元不影响海上任务成功性的前提下，海上任务期间通常不对故障单元进行维修，留待舰船返港后集中维修；二是，舰船海上任务期间的维修能力、维修条件有限，部分设备故障难以修复，此时，往往是通过其它设备功能冗余替代以保证任务系统的成功性。

这种舰船设备故障与维修活动的部分分离对舰船备件的影响主要表现为：首先，舰船备件保障直接面向设备维修活动，与设备故障相分离，从而导致备件供应时机与供应数量更为集中；其次，当某些设备故障不需要在海上任务期间修理时，则不需要配置或少配置随船备件，这不仅直接影响到随船备件配置方案的制定，而且还是造成当前随船备件利用率低，“备而不用”现象严重的重要原因。

基于工厂集中维修和海上现场维修的备件需求模型准确刻画了在这种维修模式下的备件需求，由于该维修模式更加贴近舰船任务期间备件保障实践，因而所建立的模型可以更加准确地反映舰船任务周期备件需求。为方便工程使用，本发明研究舰船任务周期备件需求的近似计算方法。

考察某装机数为1的伽马型备件，即其寿命T_G服从Gamma分布， T_G～Gamma(a,b)，概率密度函数为

其对应的分布函数为

其中，

Gamma分布适用范围广，如当参数a＝1时，Gamma分布就是指数分布；当参数a为正整数时，Gamma分布实际上就是爱尔兰分布。不仅如此，Gamma 分布还具有许多良好的统计性质，如Gamma分布具有可加性。对于装机数为1的伽马型备件，部件与其所配置的备件组成冷储备系统，因此利用 Gamma分布的可加性，其备件需求的计算较为容易，满足快速计算的要求。因此利用Gamma分布进行近似计算的基本思路是：

若通过适当选取伽马型备件参数a，b的取值，使得其备件需求与基于工厂集中维修和海上现场维修的备件需求近似相同，则可以将伽马型备件的备件需求近似作为基于工厂集中维修和海上现场维修的备件需求。

发明内容

本发明针对现有技术中存在的技术问题，提供一种k/n(G)系统中服从 Gamma分布的舰船备件需求近似计算方法。

本发明解决上述技术问题的技术方案如下：

一种k/n(G)系统中服从Gamma分布的舰船备件需求近似计算方法，包括以下步骤：

S1，依据工程背景，在适当范围内设定k/n(G)系统的参数T₀，k，n， P的取值；其中，n为k/n(G)系统中影响系统运行的相互独立的相同单元的总数，k为保证k/n(G)系统正常运行最小单元个数、T₀为任务周期长度以及P为目标保障概率；

S2，利用下式计算Gamma型备件参数a，b的值；

式中，EN_R表示在一次维修活动中的备件需求量，EY表示维修平均时间间隔；

S3，利用下式计算Gamma型备件需求的分布，

P(N_G＝j)＝p_j＝G^(j)(T₀)-G^(j+1)(T₀)

式中，G^(j)(T₀)表示Gamma分布的j重卷积，即

并利用下式计算Gamma型备件的平均需求量：

S4，调整D的大小，依次计算备件需求量为j时对应的概率值p_j，当时，D的值即为满足目标保障概率P的备件需求量。

附图说明

图1为工厂集中维修和海上现场维修示意图；

图2为在一个周期内n-k+1个单元发生故障示意图；

图3为在一个周期内n-k+1+j个单元发生故障示意图。

具体实施方式

以下结合附图对本发明的原理和特征进行描述，所举实例只用于解释本发明，并非用于限定本发明的范围。

由n个相互独立的相同单元组成的k/n(G)关系，即当正常单元个数不少于k时，系统可以正常工作。为了使模型更好地反映真实备件需求，提出以下假设：

假设1：舰船在执行海上任务期间采取工厂集中维修和海上现场维修相结合的维修方式。在执行海上任务之前，对舰船设备进行集中检修，保证舰船设备完好状态；在海上执行任务过程中，如果设备发生故障，按如下方式处置：当单元故障不影响系统工作时不进行维修，在任务结束后对故障进行集中维修，恢复设备的正常状态；当单元故障影响系统工作时立即进行维修。

假设2：不考虑海上现场维修的维修时间。舰船在海上执行任务期间，通常采取换件修理的方式，与任务时间相比，换件修理所需时间极少，维修时间忽略不计。

假设3：假设各单元独立工作，且寿命均服从指数分布E(λ)。

指数分布大量存在于舰船设备中，如印制电路板插件、电子部件、电阻、电容和集成电路等电子类设备的寿命一般服从指数分布。为方便起见，本文针对单元寿命服从指数分布的情况建立备件需求模型。即寿命T的概率密度为：

单元的寿命分布函数为：

F(t)＝1-e^-λt，t≥0 (4.3.2)

可靠度函数为：

R(t)＝1-F(t)＝e^-λt，t≥0 (4.3.3)

利用式(4.3.3)，可知k/n(G)系统的可靠度函数为：

在上述假设下，可以得到在一个典型的任务周期T0内，该k/n(G)系统的维修活动的发生时刻如图1所示。图中t₁，t₂，...，t_n-k，t′₁，t′₂，...，t′_n-k表示单元发生故障的时刻，T₁，T₂，...，T_i表示系统发生故障的时刻，即事后修理发生的时刻。

对于一个k/n(G)系统，设该系统的工厂集中维修和海上现场维修如图1 所示。假设在一个任务周期[0，T₀]内的备件需求量为N，则需求量N包含海上现场维修和返港后工厂集中维修所需的备件，但不包含任务前集中检修所需备件。显然，需求量N是一个取非负整数的随机变量。

任务周期内不进行维修的概率

首先分析备件需求量在N＜n-k+1时系统的故障特点：由于在周期[0，T₀]内，系统中发生故障的单元数没有超过n-k个，即正常工作单元不少于k个，因此到海上任务结束时系统仍然能够正常工作，即在[0，T₀]内不需进行海上现场维修。

(1)概率P{N＝0}。事件{N＝0}表示k/n(G)系统工作到T₀时，所有单元均未发生故障，即

P(N＝0)＝R(T₀)R(T₀)…R(T₀) (4.3.5)

利用式(4.3.3)得到

P(N＝0)＝exp(-nλT₀) (4.3.6)

(2)概率P{N＝1}。由于事件{N＝1}表示k/n(G)系统工作到T₀时，有1个单元发生故障，此时系统仍正常工作，在周期[0，T₀]内不需要维修。因此

代入式(4.3.2)、(4.3.3)可得到

P(N＝1)＝nexp[-(n-1)λT₀][1-exp(-λT₀)] (4.3.7)

(3)概率P{N＝i}(i≤n-k)。由于事件{N＝i}(i≤n-k)表示k/n(G)系统工作到T₀时，有i个单元发生故障，此时仍有n-i个单元正常工作，从而系统正常工作，因此在检修周期内不需维修，而是在定期维修时刻T时进行维修，因此

特殊地，事件{N＝n-k}的概率为

由此可见，在一次海上执行任务期间不动用随船备件事件为 A₀＝{N≤n-k}，该事件的概率为

任务周期内只进行一次维修的概率

首先分析备件需求量在满n-k+1≤N≤2(n-k)+1时的系统故障特点：

①当单元故障数达到n-k+1时，由于正常单元个数低于k个，此时系统发生故障，需要进行海上现场维修，维修后所有单元均正常工作；

②当故障数再增加n-k个，即故障数达到2(n-k)+1时，由于系统仍有k 个单元正常工作，因此不需维修。即备件需求量满足n-k+1≤N≤2(n-k)+1时，系统在[0，T₀]内仅需要进行1次维修。

(1)概率P{N＝n-k+1}。由于事件{N＝n-k+1}表示k/n(G)系统工作到T₀时单元故障次数为n-k+1。记第n-k+1次单元故障发生时刻为t，则事件 {N＝n-k+1}表明：系统在t时刻发生故障，此时需要对系统中所有故障单元进行更换，而更换后在[t，T₀]内不再有单元发生故障。因此该周期内的故障情况如图2所示。

显然，在[0，t]内有n-k个单元发生故障的概率P(N(0，t)＝n-k)为

在t时刻，由于系统中已有n-k个单元发生故障，即有k个单元正常工作，因此，利用指数分布的“无记忆性”可知，在[t，t+dt]内有1个单元发生故障的概率P(N(t，t+dt)＝1)为

由于系统在t+dt时刻已经对所有故障单元进行了维修，即所有单元均正常工作。因此利用指数分布的“无记忆性”可知，在[t+dt，T₀]内无单元发生故障的概率P(N(t，T₀)＝0)为

P(N(t，T₀)＝0)＝exp[-nλ(T₀-t)] (4.3.13)

由此可见，在一个周期内备件需求为n-k+1的概率为

将式(4.3.11)至式(4.3.13)代入式(4.3.14)，整理得

(2)概率P{N＝n-k+1+j}(j＝1，2，...，n-k)。类推地可求出j＝1，2，...，n-k时，系统在周期[0，T₀]内发生n-k+1+j次故障的概率P{N＝n-k+1+j}。

由于事件{N＝n-k+1+j}表示系统在[0，t]内有n-k个单元发生故障、在 [t，t+dt]内有1个单元发生故障、在[t+dt，T₀]内有j个单元发生故障，因此其故障情况如图3所示。

由此可得，当j＝1，2，…，n-k时，

其中，P(N(t，T₀)＝j)表示在[t+dt，T₀]内有j个单元发生故障的概率。

由于在t+dt时刻所有单元均正常工作，因此

将式(4.3.11)、(4.3.12)、(4.3.17)代入式(4.3.16)，整理得

其中，j＝1，2，…，n-k。

任务周期内需要进行多次维修的概率

显然，备件需求量N＞2(n-k)+1表示系统故障次数大于1。从工程实践角度来看，对于有冗余设计的k/n(G)系统，特别是随着技术进步和管理水平提高，在一个定期维修周期内系统故障大于1的概率通常较小。

从理论角度来看，注意到在[0，t]内有n-k个单元发生故障的概率，即式 (4.3.9)中的概率P(N(0，t)＝n-k)是时间t的增函数，因此有

P(N(0，t)＝n-k)≤P(N(0，T₀)＝n-k) (4.3.19)

类似地，有

P(N(t，T₀)＝j)≤P(N(0，T₀)＝j) (4.3.20)

将式(4.3.19)、(4.3.20)分别代入式(4.3.11)、(4.3.17)可得

因此将式(4.3.21)、(4.3.22)和式(4.3.12)代入式(4.3.16)，得

因此有

又由式(4.3.10)可知

由于备件需求量N≥2(n-k)+1的概率P(N≥2(n-k)+1)为

将式(4.3.24)、(4.3.25)代入式(4.3.26)可得

由此备件需求量N超过2(n-k+1)的概率可近似为

利用上述所得到的备件需求分布列，可以得到备件需求分布特征。

(1)备件需求的期望与方差。利用所求出的备件需求量的分布列，可以得到在[0，T₀]周期内的备件需求的期望为

对应的方差与二阶原点矩分别为

(2)维修平均间隔时间。记k/n(G)系统的寿命为T_S，系统两次维修之间的间隔时间为随机变量Y，根据定期检修时间T₀可知

利用系统可靠度函数R_S(t)，维修间隔时间的分布函数可表示为

由此可知，维修间隔时间的期望，即两次维修之间的平均间隔时间为

将式(4.3.4)代入式(4.3.33)可得

(3)平均维修次数。利用维修平均间隔时间EY，可以得到在[0，T₀]周期内的平均维修次数为

(4)一次维修的平均备件需求量。利用平均维修次数和备件需求的期望EN，可以得到在[0，T₀]周期内一次维修平均备件需求量为

对于由k个同型备件构成的k/n(G)关系，利用备件需求量的概率分布，可以建立该备件的备件保障概率模型。

在[0，T₀]时间内，该型备件需求不超过m的概率为

其中，P(N＝j)由式(4.3.10)、(4.3.18)、(4.3.27)确定。

对于给定的保障概率P(0＜α＜1)，可以利用式(4.3.37)求得在时间[0，T₀]内所需要的备件需求量m：

基于Gamma分布的舰船备件需求近似计算方法

根据近似计算的基本思路，获得近似计算模型的核心在于如何确定 Gamma分布中参数a，b的值。因此，本申请首先给出近似计算模型，即参数a，b取值的确定方法，然后分析模型的工程解释。

(1)近似计算模型

记k/n(G)关系在工厂集中维修和海上现场维修相结合的情况下，备件需求N的分布列为

P(N＝j)＝p_j，j＝0，1，2，... (4.4.3)

此时，N的期望和方差分别表示为

对于装机数为1的伽马型备件，记其备件需求N_G的分布列为

P(N_G＝j)＝p′_j，j＝0，1，2，... (4.4.6)

此时，N_G的期望和方差分别表示为

一方面，式(4.4.3)表示k/n(G)关系在工厂集中维修和海上现场维修相结合条件下的真实备件需求。另一方面，式(4.4.6)表示装机数1的伽马型备件在相同任务时间内的备件需求。事实上，当j＝0，1，2，...时

P(N_G＝j)＝p′_j＝G^(j)(T₀)-G^(j+1)(T₀) (4.4.9)

其中，G^(j)(T₀)表示Gamma分布的j重卷积，即

由此可见，当真实需求分布P(N＝j)＝p_j，j＝0，1，2，...与伽马型备件需求分布 P(N_G＝j)＝p′_j，j＝0，1，2，...近似一致时，必须要求两者的一、二阶矩相同，即建立如下等式关系

利用上述等式关系就可以确定Gamma分布的参数a，b。

(2)模型的工程解释

由式(4.4.1)可知，当a＝1时，Gamma分布退化为指数分布，参数b 即为该指数型备件的失效率。容易计算，对于装机数为1的指数型备件，其在[0，T₀]内的备件平均需求为

EN_E＝bT₀ (4.4.11)

另一方面，在工厂集中维修和海上现场维修相结合的维修模式下，k/n(G) 关系在[0，T₀]内的备件平均需求EN可表示为

其中，EN_R为k/n(G)关系在一次维修活动中的平均备件需求量，为 [0，T₀]内的平均维修次数，EY维修平均间隔时间。

由此可见，作为Garmma分布的一个特例，若采用指数型备件进行近似需求计算，则式(4.4.10)变为

观察式(4.4.13)可以发现：一方面，参数b反映指数型备件的失效率；另一方面，在工厂集中维修和海上现场维修相结合的模式下，由于EY表示维修平均间隔时间，EN_R表示在一次维修活动中的备件需求量，因此恰好反映k/n(G)关系在一个工作周期内的失效率。因此，作为式(4.4.10)的一个特例，式(4.4.13)本质上反映的是：当采用指数型备件作为近似需求时，核心在于利用/>对指数型备件的失效率进行调整，而/>恰好反映了在工厂集中维修和海上现场维修相结合维修模式下的备件失效率。

实际计算发现，采用式(4.4.13)进行近似计算具备较好的精度，由此可见，作为式(4.4.13)的更一般情形，式(4.4.10)表达的近似计算模型是合理的。

需要注意的是：在式(4.4.13)中，维修平均间隔时间EY可以利用式(4.4.1) 进行计算，但EN_R计算方法较为复杂。为此，接下来给出一种EN_R的快速估算方法。

(3)平均备件需求量EN_R的快速算法

根据全概率公式，一次维修的平均备件需求量EN_R可近似表示为 EN_R～E(N_R|T_S＞T₀)P(T_S＞T₀)+E(N_R|T_S≤T₀)P(T_S＜T₀) (4.4.14)

其中，T_S为k/n(G)关系的寿命，E(N_R|T_S≤T₀)＝n-k。由式(4.3.4)可知，

又因为当j＝0，1，2，...，n-k+1时，

因此

由此可见，EN_R可表示为

近似算法步骤

实际计算发现，利用式(4.4.13)进行计算具有良好的近似效果，且计算简便，下面给出基于Gamma分布的舰船任务周期备件需求近似算法流程：

Step1初始参数设定：依据工程背景，在适当范围内设定参数λ，T₀，k， n的取值；

Step2伽马型备件参数的确定：利用式(4.4.13)计算伽马型备件参数a， b的值；

Step3伽马型备件需求分布及特征的计算：利用式(4.4.9)计算该伽马型备件需求的分布，记为

P(N_G＝j)＝p′_j，j＝0，1，2，...

利用式(4.4.7)计算该伽马型备件的平均需求量；

Step4真实备件需求分布及特征的计算：利用式(4.3.10)、(4.3.18)、 (4.3.27)，计算备件需求的真实分布，记为

P(N＝j)＝p_j，j＝0，1，2，...

利用式(4.3.28)计算备件的真实平均需求量。

以上所述仅为本发明的较佳实施例，并不用以限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内，所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (1)

1.一种基于Gamma分布的舰船备件需求近似计算方法，其特征在于，包括以下步骤：

S1，依据工程背景，在适当范围内设定k/n(G)系统的参数T₀，k，n，P的取值；其中，n为k/n(G)系统中影响系统运行的相互独立的相同单元的总数，k为保证k/n(G)系统正常运行最小单元个数、T₀为任务周期长度以及P为目标保障概率；

S2，利用下式计算Gamma型备件参数a,b的值；

式中，EN_R表示在一次维修活动中的备件需求量，EY表示维修平均时间间隔；

S3，利用下式计算Gamma型备件需求的分布，

P(N_G＝j)＝p_j＝G^(j)(T₀)-G^(j+1)(T₀)

式中，G^(j)(T₀)表示Gamma分布的j重卷积，即

并利用下式计算Gamma型备件的平均需求量：

S4，调整D的大小，依次计算备件需求量为j时对应的概率值p_j，当时，D的值即为满足目标保障概率P的备件需求量。