CN114444326A - 针对三维瞬态多群中子扩散方程的非结构网格变分节块方法 - Google Patents

针对三维瞬态多群中子扩散方程的非结构网格变分节块方法 Download PDF

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Abstract

一种针对三维瞬态多群中子扩散方程的非结构网格变分节块方法，首先使用非结构VNM对稳态中子扩散方程计算后初始化中子通量密度、缓发中子先驱核以及动力学截面，然后在瞬态计算的每个时间步内通过迭代更新反应截面以及更新动力学频率并重构响应矩阵后，使用非结构VNM求解刚性限制法(SCM)方程，实现任意几何形状下的中子的瞬态过程的模拟；本发明提高瞬态计算下变分节块法的几何适应性，并通过刚性限制法(SCM)减少VNM在时间推进中的响应矩阵重构次数以提高瞬态计算效率，能够准确模拟实际不规则几何的复杂问题。

Description

针对三维瞬态多群中子扩散方程的非结构网格变分节块方法
技术领域
本发明涉及的是一种核反应堆建造领域的技术，具体是一种针对三维瞬态多群中子扩散方程的非结构网格变分节块方法。
背景技术
反应堆物理的核心任务是准确高效地求解中子输运/扩散方程，多群瞬态中子输运/扩散方程的数值求解需要对时间和空间进行离散。现有的变分节块法(VNM)通过对每个典型节块构造一系列响应矩阵，可以较好地处理四边形、正六边形及正三角形的空间离散，然而随着核科学与技术的不断发展，各种具有强烈的非结构特点的新概念反应堆设计相继提出，现有的VNM已不能满足新的工程设计需求。另外在瞬态计算中，VNM的时间推进需要对响应矩阵进行多次重构，增大计算代价，这些因素限制VNM在工程实践中的应用性。
发明内容
本发明针对现有VNM无法应用于复杂几何的新概念反应堆设计以及瞬态非结构网格VNM计算代价相对较大的问题，提出一种针对三维瞬态多群中子扩散方程的非结构网格变分节块方法，提高瞬态计算下变分节块法的几何适应性，并通过刚性限制法(SCM)减少非结构网格VNM在时间推进中的响应矩阵重构次数以提高瞬态计算效率，能够准确模拟实际不规则几何的复杂问题，从而提高VNM在工程实践中的应用价值。
本发明是通过以下技术方案实现的：
本发明涉及一种针对三维瞬态多群中子扩散方程的非结构网格变分节块方法，首先使用非结构VNM对稳态中子扩散方程计算后初始化中子通量密度、缓发中子先驱核以及动力学截面，然后在瞬态计算的每个时间步内通过迭代更新反应截面以及更新动力学频率并重构响应矩阵后，使用非结构VNM求解刚性限制法(SCM)方程，实现任意几何形状下的中子的瞬态过程的模拟。
技术效果
本发明通过网格的空间映射，将任意形状的三角形网格映射到标准节块中，从而使得VNM可以处理任意几何的实际问题；本发明利用刚性限制法(SCM)处理瞬态中子扩散方程的时间项，消除方程的刚性，减少非结构VNM的计算代价。
与现有的瞬态中子扩散求解器相比，本发明在实现较高的计算精度的同时，具有更好的几何兼容性，可以计算任意几何的实际问题。同时可在大时间步长下进行计算，具有较好的数值稳定性，避免响应矩阵的多次重构。在以Dodds基准题为代表的复杂几何瞬态中子扩散问题中与参考解误差在1％以内；时间步由传统的0.01s减少至0.1s。
附图说明
图1为本发明流程图；
图2为实施例坐标变换示意图；
图3为Dodds基准题几何示意图；
图中：(a)基准题轴向布置，(b)基准题径向布置；
图4为实施例效果示意图。
具体实施方式
如图1所示，为本实施例涉及一种针对三维瞬态多群中子扩散方程的非结构网格变分节块方法，首先使用非结构VNM对稳态中子扩散方程计算后初始化中子通量密度、缓发中子先驱核以及动力学截面，然后在瞬态计算的每个时间步内通过迭代更新反应截面以及更新动力学频率并重构响应矩阵后，使用非结构VNM求解刚性限制法(SCM)方程。
本发明是通过以下技术方案实现的：
步骤1、将特征值问题(EVP)的区域划分为若干个三角形非结构网格，应用变分原理，建立包含瞬态中子扩散方程和边界条件在内的泛函Fv[φ，J]，即等价为寻找一组φ，J使得泛函Fv[φ，J]取得极小值，具体为：
Figure BDA0003520268230000021
Figure BDA0003520268230000022
其中：dV为三角形节块体积微元，dΓ为三角形的表面微元。
步骤2、对变量φ，S，Jγ在空间上采用一系列标准正交多项式展开，得到：
Figure BDA0003520268230000023
其中：fT(r)，
Figure BDA0003520268230000024
分别为三角形节块内部以及表面完备正交的多项式，通过Gramm-Schmidt正交化得到；
Figure BDA0003520268230000025
分别为上述三个变量的展开矩。
在实际的响应矩阵计算中，通过构建标准三角形节块进行Gramm-Schmidt正交化得到正交基函数，并利用坐标映射关系求解实际节块下的响应矩阵，具体如图2所示，实际节块坐标系为(ξ，η，τ)，标准节块坐标系为(x，y，z)，根据映射关系推导出任意三角形与标准三角形的积分关系满足：
Figure BDA0003520268230000026
其中：Vv，Vs分别为实际结块与标准节块的体积；|Jv|为坐标变换的雅各比行列式，vii′为克罗内克函数；进一步计算得到离散形式的泛函：
Figure BDA0003520268230000027
其中：A，M为系数矩阵，分别为：
Figure BDA0003520268230000028
标准节块为一等边三角形，如图2所示，其体积Vs恒为1，便于数值计算的实现。
步骤3、引入
Figure BDA0003520268230000031
经推导后得到响应矩阵方程为：
Figure BDA0003520268230000032
(I-RΛΠ)j+＝Bs，其中：
Figure BDA0003520268230000033
R＝[G+I]-1[G-I]，
Figure BDA0003520268230000034
Π为出射入射关系的转移矩阵，Λ为由于三角形映射引起的基函数正负关系矩阵。通过裂变源迭代、多群迭代以及群内迭代对响应矩阵方程进行求解可对稳态EVP问题进行求解。
步骤4、利用SCM对三维瞬态多群中子扩散方程进行变形后得到EVP形式的瞬态SCM方程，具体包括：
①三维瞬态多群中子扩散方程为：
Figure BDA0003520268230000035
Figure BDA0003520268230000036
其中：
Figure BDA0003520268230000037
其中：下标g为第g群，D为扩散系数，φ为中子通量密度，vg为中子速度，∑x为各类反应截面，v为一次裂变释放中子数，χg为中子裂变谱，Ci(r，t)为缓发中子先驱核，β为缓发中子份额；
②将动力学频率引入三维瞬态多群中子扩散方程以消除方程的刚性，并将动力学频率
Figure BDA0003520268230000038
进一步拆分为通量形状频率ωS，g(r，t)以及通量幅值频率ωT(t)；
③对缓发中子先驱核Ci(r，t)拆分为缓发中子先驱核频率
Figure BDA0003520268230000039
将动力学有效增殖系数kD引入扩散方程得到变形后的三维瞬态多群中子扩散方程：
Figure BDA00035202682300000310
以及
Figure BDA00035202682300000311
Figure BDA00035202682300000312
其中：动力学总截面
Figure BDA00035202682300000313
动力学裂变谱
Figure BDA00035202682300000314
步骤5、通过求解稳态中子扩散方程的解得到瞬态计算的中子通量密度的初值φ(r，t0)，缓发中子先驱核浓度
Figure BDA00035202682300000315
并初始化新动力学频率为0。
步骤6、利用步骤1-步骤3计算瞬态SCM方程，得到动力学有效增殖系数kD，若kD不满足收敛条件，更新动力学频率ωS，g(tn)、动力学总截面∑′t，g(r，t)和动力学裂变谱χ′g(r，t)，再据此进一步重新构造步骤3中的响应矩阵；
所述的动力学有效增殖系数kD收敛条件具体为：当|kD-1|＜ε时则认为其收敛，结束当前时间步计算。其中ε为预设的收敛限，可取为1E-6。
所述的更新动力学频率
Figure BDA0003520268230000041
Figure BDA0003520268230000042
其中：Vv代表节块体积微元，下标n代表时间步，上标m代表迭代步。
步骤7、重复步骤6直至kD收敛，结束当前时刻计算。
步骤8、根据已知条件更新反应截面，重复步骤7进行下一时刻的计算，直至达到最大预设时间，从而可以得到待求问题所有时间点下的中子通量密度分布。
经过具体实际实验，在Intel i7-8700 CPU的PC机上采用上述方法单核运行如图2所示的圆柱瞬态基准题Dodds，以测试本方法在复杂非结构几何问题中性能与应用。
所有外边界采用真空边界条件；节块内部以及表面的空间展开阶数分别为4阶与2阶；特征值、裂变源以及中子通量密度的收敛限分别为1E-6、1E-5、1E-5；时间步长设置为0.1s。瞬态计算归一化功率随时间变化的数值结果见表1。
如表1所示，在0.1s的时间步长下数值计算结果已趋于收敛。图3为不同方法的Dodds基准题的计算结果，其中VITAS-T应用本方法提出的三维瞬态多群中子扩散方程的非结构网格变分节块法。计算结果显示VITAS-T在0.1s的时间步下与TORTTD-GRS参考解的最大相对误差不超过1％，可以验证该方法在非结构网格复杂几何的Dodds瞬态基准题中取得较高的计算精度。
表1
Figure BDA0003520268230000043
如表1可见，该计算所采用的时间步长为0.1s，而现有瞬态计算一般采用的时间步长为0.01s；相对现有技术，本方法可采用更大的时间步长，具有更好的数值稳定性。
本方法对复杂非结构网格具有良好的适应性，可在大时间步长下准确高效地进行非结构多维瞬态中子扩散方程的求解，从而提高VNM在反应堆设计以及安全分析中的工程实用性。
与现有技术相比，本方法将瞬态变分节块法的适用范围推广到非结构几何，可处理任意几何形状的问题；可以采用较大的时间步长以减少响应矩阵重构次数，具有较好的数值稳定性，提高计算效率。
上述具体实施可由本领域技术人员在不背离本发明原理和宗旨的前提下以不同的方式对其进行局部调整，本发明的保护范围以权利要求书为准且不由上述具体实施所限，在其范围内的各个实现方案均受本发明之约束。

Claims (6)

1.一种针对三维瞬态多群中子扩散方程的非结构网格变分节块方法，其特征在于，首先使用非结构VNM对稳态中子扩散方程计算后初始化中子通量密度、缓发中子先驱核以及动力学截面，然后在瞬态计算的每个时间步内通过迭代更新反应截面以及更新动力学频率并重构响应矩阵后，使用非结构VNM求解刚性限制法方程，实现任意几何形状下的中子的瞬态过程的模拟。
2.根据权利要求1所述的针对三维瞬态多群中子扩散方程的非结构网格变分节块方法，其特征是，具体包括：
步骤1、将特征值问题(EVP)的区域划分为若干个三角形非结构网格，应用变分原理，建立包含瞬态中子扩散方程和边界条件在内的泛函Fv[φ，J]，即等价为寻找一组φ，J使得泛函Fv[φ，J]取得极小值，具体为：
Figure FDA0003520268220000011
Figure FDA0003520268220000012
其中：dV为三角形节块体积微元，dΓ为三角形的表面微元；
步骤2、对变量φ，S，Jγ在空间上采用一系列标准正交多项式展开，得到：
Figure FDA0003520268220000013
其中：fT(r)，
Figure FDA0003520268220000014
分别为三角形节块内部以及表面完备正交的多项式，通过Gramm-Schmidt正交化得到；
Figure FDA0003520268220000015
s，Jγ分别为上述三个变量的展开矩；
步骤3、引入
Figure FDA0003520268220000016
经推导后得到响应矩阵方程为：
Figure FDA0003520268220000017
(I-RAΠ)j+＝Bs，其中：
Figure FDA0003520268220000018
R＝[G+I]-1[G-I]，
Figure FDA0003520268220000019
П为出射入射关系的转移矩阵，Λ为由于三角形映射引起的基函数正负关系矩阵；通过裂变源迭代、多群迭代以及群内迭代对响应矩阵方程进行求解可对稳态EVP问题进行求解；
步骤4、利用SCM对三维瞬态多群中子扩散方程进行变形后得到EVP形式的瞬态SCM方程，具体包括：
①三维瞬态多群中子扩散方程为：
Figure FDA00035202682200000110
Figure FDA00035202682200000111
其中：
Figure FDA00035202682200000112
其中：下标g为第g群，D为扩散系数，φ为中子通量密度，vg为中子速度，∑x为各类反应截面，v为一次裂变释放中子数，χg为中子裂变谱，Ci(r，t)为缓发中子先驱核，β为缓发中子份额；
②将动力学频率引入三维瞬态多群中子扩散方程以消除方程的刚性，并将动力学频率
Figure FDA0003520268220000021
进一步拆分为通量形状频率ωS，g(r，t)以及通量幅值频率ωT(t)；
③对缓发中子先驱核Ci(r，t)拆分为缓发中子先驱核频率
Figure FDA0003520268220000022
将动力学有效增殖系数kD引入扩散方程得到变形后的三维瞬态多群中子扩散方程：
Figure FDA0003520268220000023
以及
Figure FDA0003520268220000024
Figure FDA0003520268220000025
其中：动力学总截面
Figure FDA0003520268220000026
动力学裂变谱
Figure FDA0003520268220000027
步骤5、通过求解稳态中子扩散方程的解得到瞬态计算的中子通量密度的初值φ(r，t0)，缓发中子先驱核浓度
Figure FDA0003520268220000028
并初始化新动力学频率为0；
步骤6、利用步骤1-步骤3计算瞬态SCM方程，得到动力学有效增殖系数kD，并判断其大于等于阈值时，更新动力学频率ωS，g(tn)、动力学总截面∑′t，g(r，t)和动力学裂变谱χ′g(r，t)，再据此进一步重新构造步骤3中的响应矩阵；
步骤7、重复步骤6直至kD收敛，结束当前时刻计算；
步骤8、根据已知条件更新反应截面，重复步骤7进行下一时刻的计算，直至达到最大预设时间。
3.根据权利要求2所述的针对三维瞬态多群中子扩散方程的非结构网格变分节块方法，其特征是，所述的动力学有效增殖系数满足当|kD-1|<ε时，其中ε为预设的收敛限，则结束当前时间步计算。
4.根据权利要求3所述的针对三维瞬态多群中子扩散方程的非结构网格变分节块方法，其特征是，所述的收敛限，可取为1E-6。
5.根据权利要求2所述的针对三维瞬态多群中子扩散方程的非结构网格变分节块方法，其特征是，所述的更新动力学频率
Figure FDA0003520268220000029
Figure FDA00035202682200000210
其中：Vv代表节块体积微元，下标n代表时间步，上标m代表迭代步。
6.根据权利要求2所述的针对三维瞬态多群中子扩散方程的非结构网格变分节块方法，其特征是，通过构建标准三角形节块内进行Gramm-Schmidt正交化得到正交基函数，并利用坐标映射关系求解实际节块下的响应矩阵，实际节块坐标系为(ξ，η，τ)，标准节块坐标系为(x，y，z)，根据映射关系推导出任意三角形与标准三角形的积分关系满足：
Figure FDA0003520268220000031
其中：Vv，Vs分别为实际结块与标准节块的体积；|Jv|为坐标变换的雅各比行列式，δii′为克罗内克函数；进一步计算得到离散形式的泛函：
Figure FDA0003520268220000032
其中：A，M为系数矩阵，分别为：
Figure FDA0003520268220000033
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