CN107145472A - 针对非均匀几何变分节块方法的广义矩阵分离加速方法 - Google Patents

Abstract

一种针对非均匀几何变分节块方法的广义矩阵分离加速方法，包括如下步骤：1、将表征个节块表面中子流关系的响应矩阵方程分解为6个节块表面的贡献叠加；2、将响应矩阵方程推导为关于各表面平均偏中子流密度的低阶响应矩阵加上修正源项的形式；3、建立平均出射、入射偏中子流之间的迭代格式，并利用通用的迭代方法进行迭代求解；本发明提高了矩阵分离加速算法的适用性，在迭代过程中先收敛轴向表面的平均偏中子流密度展开矩，再收敛各偏中子流密度展开矩的分量，能够有效地加快非均匀几何变分节块法的计算效率。

Description

针对非均匀几何变分节块方法的广义矩阵分离加速方法

技术领域

本发明针对核反应堆堆芯中子学计算领域，提出一种针对非均匀几何变分节块方法的广义矩阵分离加速方法。

背景技术

核反应堆中子学计算研究以核反应堆堆芯为应用对象，其堆芯由许多不同种类的组件构成。根据堆型的不同，组件内部的几何结构和材料布置复杂多变。因此，实际的反应堆中子学问题是一个三维非均匀几何的中子学问题。对核反应堆进行快速、精确的中子学计算，是反应堆设计和校核的基本保障。目前在堆芯物理设计过程中，主要采用均匀几何的扩散方程求解方法。

变分节块法是核反应堆物理设计中常用的方法之一。它以二阶偶宇称形式的中子扩散方程为出发点，方程呈现椭圆方程的形式，有利于Garlerkin方法的应用，且更适合有限元方法的空间离散。变分节块法的计算思想是：首先通过变分方法在非均匀几何求解区域建立包含二阶中子输运方程和自然边界条件的泛函；然后采用标准正交多项式进行Ritz离散，同时利用球谐函数实现角度展开，并构造响应矩阵；最后分别在三维堆芯的各个节块内分别求解响应矩阵方程；节块之间以流和其高阶矩耦合，最终得到问题区域的中子通量密度分布。变分节块法能够达到较高的精度，但仅能处理均匀节块的问题。在基于均匀节块的中子学计算过程中，无法避免均匀化过程，以及随之而来的误差。随着科学技术的发展和计算机水平的提高，人们已经越来越开始重视减少近似和假设，追求更高精度的中子学计算方法，消除均匀化过程是中子学发展的必然趋势。因此，研究具备非均匀几何处理能力的计算方法对于中子学计算具有十分重要的意义。

基于变分节块法，后续研究在变分节块法的框架下，引入了有限元方法以精确描述栅元内部的非均匀结构。在此工作中，各栅元被单独处理为节块，节块内部采用有限元网格进行细化，精确描述栅元和冷却剂的材料、几何分布。为了能够实际描述栅元的非均匀几何结构，且保证足够的计算精度，往往需要大量的有限元网格剖分，计算量很大。计算效率是制约非均匀变分节块法在工程应用的主要因素。因此，高效的加速方法对于非均匀几何变分节块方法是十分必要的。

矩阵分离算法是变分节块法中应用广泛的一类方法。它利用类似于扩散综合加速的思想，将响应矩阵方程分离为低阶矩阵方程和高阶矩阵方程。然后在迭代过程中，利用高阶项构造修正源项，来求解低阶扩散矩阵方程，通过先收敛低阶项，后收敛高阶项的思想来加速迭代。

然而，传统的矩阵分离算法仅针对均匀节块情况下的变分节块法。非均匀变分节块法在节块轴向表面使用分片常量、在径向表面使用正交多项式进行空间离散，相比于传统的变分节块法具有特殊性，因此传统的矩阵分离算法无法适用于非均匀几何变分节块法。

发明内容

非均匀几何变分节块方法轴向表面采用的分片常量离散方式大大增加了矩阵分离算法的应用难度，为了将矩阵分离算法应用于非均匀几何变分节块法，需要重新推导适用于非均匀几何变分节块方法的广义矩阵分离加速算法，本发明的目的在于提供一种针对非均匀几何变分节块方法的广义矩阵分离加速方法。

为了实现上述目的，本发明采取了以下技术方案予以实施：

一种针对非均匀几何变分节块方法的广义矩阵分离加速方法，步骤如下：

步骤1：根据节块各个表面的不同，将公式(2)中表征各节块表面之间中子流关系的响应矩阵方程进行矩阵分解，写为6个节块表面的贡献叠加：

在非均匀几何变分节块方法中，中子通量密度展开矩的求解方程为

式中：

φ—节块内部中子通量密度展开矩向量；

j—节块表面净中子流密度展开矩向量；

q—中子源项展开矩向量；

-1—矩阵求逆符号；

—响应矩阵，二者表达形式不同，仅与节块内部的材料、几何分布有关；

响应矩阵方程为：

式中：

j ⁺—出射中子流密度展开矩向量；

j ^-—入射中子流密度展开矩向量；

s—源项展开矩向量；

—响应矩阵，仅与节块内部的材料、几何分布有关；

首先，将公式(2)的响应矩阵方程做矩阵分解，写为6个节块表面的贡献叠加：

式中：

l—对应于出射中子流的节块表面编号，取值为1,2,3,4,5,6，分别对应一个矩形节块的左、右、前、后、下、上的六个面；

l’—对应于入射中子流的节块表面编号，取值为1,2,3,4,5,6，分别对应一个矩形节块的左、右、前、后、下、上的六个面；

—对应于l表面的出射中子流密度展开矩向量；

—对应于l‘表面的入射中子流密度展开矩向量；

—响应矩阵中对应于l,l’表面的分块矩阵；

s _l—节块l的中子源展开矩向量；

步骤2：将公式(3)推导为关于各节块表面平均偏中子流密度的一个6×6的低阶响应矩阵加上修正源项的形式：

定义6个节块表面的平均偏中子流密度

其中：

—对应l表面的平均偏中子流密度；

c _l—对应l表面的转换向量；

T—转置符号；

—对应于l表面的出射和入射中子流密度展开矩向量；

对于x-y表面，由于离散多项式的正交性，其第一项即对应节块表面的平均偏中子流密度；因此，

对于z表面，其形状函数为分片常量

式中：

j_±z(x,y)—节块轴向表面的中子流分布；

h(x,y)—分片常量向量；

j _±z—节块轴向表面的中子流密度展开矩；

Δz—节块的轴向高度；

假设第i个有限元网格的面积为a_i，整个节块的面积为A，则各表面偏中子流密度应为各有限元网格的加权平均；则公式(4)中：

通过公式(5)与公式(7)中的算子求得公式(4)中左端的平均出射中子流密度另一方面，公式(3)中l表面的入射中子流密度展开矩向量写为：

将公式(4)代入以消去公式(8)中最后一项：

式中：—单位矩阵；

将公式(4)和公式(9)代入公式(3)得l表面的平均出射偏中子流密度的表达形式：

步骤3：将公式(10)写为节块l表面平均出射偏中子流密度平均入射偏中子流密度以及源项的形式，并重写迭代格式；

在公式(10)中，引入迭代上标k得：

其中

式中：

—第k+1次迭代的l表面平均出射偏中子流密度；

—第k+1次迭代的l表面平均入射偏中子流密度；

—第k次迭代的l’表面入射偏中子流密度展开矩；

—第k+1次迭代的l表面修正源项；

通过利用公式(11)和公式(12)替代公式(2)进行迭代求解，能够将迭代求解的速率显著地提升，完成针对非均匀几何变分节块方法的广义矩阵分离加速方法。

与现有技术相比，本发明具有如下突出优点：

本发明通过对非均匀几何变分节块法中轴向表面的分片常量离散方式进行特殊处理，重新推导了矩阵分离加速算法的理论模型，提高了矩阵分离加速算法的适用性，在迭代过程中先收敛轴向表面的平均偏中子流密度展开矩，再收敛各偏中子流密度展开矩的分量，能够有效地加快非均匀几何变分节块法的计算效率。

具体实施方式

下面结合具体实施方式对本发明作进一步详细说明：

步骤1：根据节块各个表面的不同，将公式(2)中表征各节块表面之间中子流关系的响应矩阵方程进行矩阵分解，写为6个节块表面的贡献叠加：

在非均匀几何变分节块方法中，中子通量密度展开矩的求解方程为

式中：

φ—节块内部中子通量密度展开矩向量；

j—节块表面净中子流密度展开矩向量；

q—中子源项展开矩向量；

-1—矩阵求逆符号；

—系数矩阵，二者表达形式不同，仅与节块内部的材料、几何分布有关。

响应矩阵方程为：

式中：

j ⁺—出射中子流密度展开矩向量；

j ^-—入射中子流密度展开矩向量；

s—源项展开矩向量；

—响应矩阵，仅与节块内部的材料、几何分布有关。

首先，将公式(2)的响应矩阵方程做矩阵分解，写为6个节块表面的贡献叠加：

式中：

l,l’—节块各表面的编号：l＝1,2,3,4,5,6分别对应一个矩形节块的左、右、前、

l—对应于出射中子流的节块表面编号，可取值为1,2,3,4,5,6，分别对应一个矩形节块的左、右、前、后、下、上的六个面；

l’—对应于入射中子流的节块表面编号，可取值为1,2,3,4,5,6，分别对应一个矩形节块的左、右、前、后、下、上的六个面；

—对应于l表面的出射中子流密度展开矩向量；

—对应于l‘表面的入射中子流密度展开矩向量；

—响应矩阵中对应于l,l’表面的分块矩阵；

s _l—节块l的中子源展开矩向量；

步骤2：将公式(3)推导为关于各节块表面平均偏中子流密度的一个6×6的低阶响应矩阵加上修正源项的形式：

定义6个节块表面的平均偏中子流密度

其中：

—对应l表面的平均偏中子流密度；

c _l—对应l表面的转换向量；

T—转置符号；

—对应于l表面的出射和入射中子流密度展开矩向量；

对于x-y表面，由于离散多项式的正交性，其第一项即对应节块表面的平均偏中子流密度；因此，

对于z表面，其形状函数为分片常量

式中：

j_±z(x,y)—节块轴向表面的中子流分布；

h(x,y)—分片常量向量；

j _±z—节块轴向表面的中子流密度展开矩；

Δz—节块的轴向高度；

假设第i个有限元网格的面积为a_i，整个节块的面积为A，则各表面偏中子流密度应为各有限元网格的加权平均；则公式(4)中：

通过公式(5)与公式(7)中的算子求得公式(4)中左端的出射中子流另一方面，公式(3)中l表面的入射中子流密度展开矩向量写为：

将公式(4)代入以消去公式(8)中最后一项：

式中：—单位矩阵；

将公式(4)和公式(9)代入公式(3)得l表面的平均出射偏中子流密度的表达形式：

步骤3：将公式(10)写为节块l表面平均出射偏中子流密度平均入射偏中子流密度以及源项的形式，并重写迭代格式；

在公式(10)中，引入迭代上标k得：

其中

式中：

—第k+1次迭代的l表面平均出射偏中子流密度；

—第k+1次迭代的l表面平均入射偏中子流密度；

—第k次迭代的l’表面入射偏中子流密度展开矩；

—第k+1次迭代的l表面修正源项；

步骤4：利用公式(12)，通过第k次迭代的l表面入射偏中子流密度展开矩和中子源项s _l，计算得到第k次迭代的低阶矩阵方程的源项

步骤5：利用公式(11)，通过红‐黑扫描迭代求解第k+1次迭代的表面平均出射、平均入射偏中子流密度和

步骤6：更新表面出射偏中子流密度展开矩

步骤7：利用公式(3)，对节块的整个响应矩阵进行一次(或几次)迭代，更新高阶矩；

步骤8：进行到下一能群，直至最终的计算结果收敛，得到整个非均匀求解区域内各群的中子通量密度分布和有效增值因子。由于公式(11)所需要的迭代运算量远远低于原方法中公式(2)的迭代运算量，因此采用本发明能够实现针对非均匀几何变分节块方法的广义矩阵分离加速方法。

Claims (1)

1.一种针对非均匀几何变分节块方法的广义矩阵分离加速方法，其特征在于：步骤如下：

步骤1：根据节块各个表面的不同，将公式(2)中表征各节块表面之间中子流关系的响应矩阵方程进行矩阵分解，写为6个节块表面的贡献叠加：

在非均匀几何变分节块方法中，中子通量密度展开矩的求解方程为

式中：

φ—节块内部中子通量密度展开矩向量；

j—节块表面净中子流密度展开矩向量；

q—中子源项展开矩向量；

-1—矩阵求逆符号；

—响应矩阵，二者表达形式不同，仅与节块内部的材料、几何分布有关；

响应矩阵方程为：

式中：

j ⁺—出射中子流密度展开矩向量；

j ^-—入射中子流密度展开矩向量；

s—源项展开矩向量；

—响应矩阵，仅与节块内部的材料、几何分布有关；

首先，将公式(2)的响应矩阵方程做矩阵分解，写为6个节块表面的贡献叠加：

式中：

l—对应于出射中子流的节块表面编号，取值为1,2,3,4,5,6，分别对应一个矩形节块的左、右、前、后、下、上的六个面；

l’—对应于入射中子流的节块表面编号，取值为1,2,3,4,5,6，分别对应一个矩形节块的左、右、前、后、下、上的六个面；

—对应于l表面的出射中子流密度展开矩向量；

—对应于l‘表面的入射中子流密度展开矩向量；

—响应矩阵中对应于l,l’表面的分块矩阵；

s _l—节块l的中子源展开矩向量；

步骤2：将公式(3)推导为关于各节块表面平均偏中子流密度的一个6×6的低阶响应矩阵加上修正源项的形式：

定义6个节块表面的平均偏中子流密度

其中：

—对应l表面的平均偏中子流密度；

c _l—对应l表面的转换向量；

T—转置符号；

—对应于l表面的出射和入射中子流密度展开矩向量；

对于x-y表面，由于离散多项式的正交性，其第一项即对应节块表面的平均偏中子流密度；因此，

对于z表面，其形状函数为分片常量

式中：

j_±z(x,y)—节块轴向表面的中子流分布；

h(x,y)—分片常量向量；

j _±z—节块轴向表面的中子流密度展开矩；

Δz—节块的轴向高度；

假设第i个有限元网格的面积为a_i，整个节块的面积为A，则各表面偏中子流密度应为各有限元网格的加权平均；则公式(4)中：

通过公式(5)与公式(7)中的算子求得公式(4)中左端的平均出射中子流密度另一方面，公式(3)中l表面的入射中子流密度展开矩向量写为：

将公式(4)代入以消去公式(8)中最后一项：

式中：—单位矩阵；

将公式(4)和公式(9)代入公式(3)得l表面的平均出射偏中子流密度的表达形式：

步骤3：将公式(10)写为节块l表面平均出射偏中子流密度平均入射偏中子流密度以及源项的形式，并重写迭代格式；

在公式(10)中，引入迭代上标k得：

其中

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式中：

—第k+1次迭代的l表面平均出射偏中子流密度；

—第k+1次迭代的l表面平均入射偏中子流密度；

—第k次迭代的l’表面入射偏中子流密度展开矩；

—第k+1次迭代的l表面修正源项；

通过利用公式(11)和公式(12)替代公式(2)进行迭代求解，能够将迭代求解的速率显著地提升，完成针对非均匀几何变分节块方法的广义矩阵分离加速方法。