CN114357767A - 一种宽带宽角波束扫描的和差波束稀疏阵列综合方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供了一种宽带宽角波束扫描的和差波束稀疏阵列综合方法，涉及阵列天线方向图综合以及天线阵元位置优化。该方法包括如下步骤：步骤1.引入“设计频率”概念，将宽带宽角波束扫描的和差波束阵列综合问题转换为基于单一频点的和差波束阵列综合问题；步骤2.采用升幂级数(RPS)解析法对阵元进行初始布局；步骤3.在“设计频率”采用迭代凸优化方法进行多步阵元位置微扰优化，并在优化过程中设置多个约束条件，例如和波束及差波束的副瓣电平约束、目标方向上的差波束斜率约束、阵元位置微扰量幅值约束和阵元最小间距约束等。本发明可通过优化阵元布局同时生成具有宽带宽角波束扫描性能的和波束及差波束，并设置多个约束条件以满足实际的应用需求。

Description

一种宽带宽角波束扫描的和差波束稀疏阵列综合方法

技术领域

本发明涉及天线，尤其是涉及一种宽带宽角波束扫描的和差波束稀疏阵列综合方法。

背景技术

和差波束阵列天线在雷达和通信系统中对目标的精确跟踪和探测具有重要的作用，因而引起了广泛的关注。关于和差波束的阵列综合问题已经存在许多研究，大多数方法是通过优化激励分布或者阵元位置实现和波束与差波束的低副瓣辐射性能或者简化波束形成网络的设计复杂度。文献1和文献2分别采用Dolph Chebyshev和Bayliss权向量法通过两个不相关的激励分别综合和差波束，但是该方法的馈电网络设计复杂。文献3提出了两段波束成形网络方法，通过优化右半部分的激励分布，再对阵列的左右两部分以同相或反相馈入，由两种辐射模式产生和波束和差波束，但设计自由度受到较大的限制。文献4采用了子阵划分与进化差分算法结合的混合方法优化各个子阵的激励分布，从而简化馈电网络设计的复杂度和减少数字通道数量，但是只用于设计工作于单一频点的和差波束。

但是，上述这些方法无法抑制当和差波束阵列天线处于较宽的工作频段以及波束宽角扫描时所引入的栅瓣电平。众所周知，宽带阵列天线由于其较宽的工作频段，会导致栅瓣的出现以及副瓣尖峰电平的升高；特别是，对于生成和差波束的宽带阵列天线，需要同时对和波束及差波束的副瓣尖峰电平和栅瓣进行抑制。为了解决上述问题，常用的解决方法分别是紧耦合技术以及稀疏阵列技术，但是采用紧耦合技术将导致系统成本高、阵列通道数量多和存在大有源驻波比等缺点。相反稀疏阵列技术通过优化阵元布局可实现栅副瓣电平的抑制，具有散热性能较好、有效驻波比较小且减少系统成本等优点。稀疏阵列技术是指阵元之间不再以工作频点的半波长为单元间距，而是根据某种规则进行布阵，这使得稀疏阵列天线具有波束变窄、空间角分辨率高和阵元之间的互耦减弱等特点，这些特点促使阵列天线大量用于雷达、声纳等系统。目前，在和差波束阵列综合中，采用稀疏阵列技术以简化波束成形网络，而将稀疏阵列技术实现具有宽带及宽角波束扫描性能的和差波束研究却很少。

中国专利CN201611199282.8公开了一种稀布阵天线及其设计方法，该专利首先将天线阵面分为四个象限，每个象限划分为不同的子阵，每个象限的每个子阵与其它三个象限的对应子阵利用和差器得到子阵级和差波束。这些子阵级和差波束经过分别加权后再合成，就得到整个阵列的和差波束。但是该方法所综合的和差波束仍然不具有宽带及宽角波束扫描性能。

参考文献：

[1]Dolph C L.A current distribution for broadside arrays whichoptimizes the relationship between beam width and side-lobe level[J].Proceedings of the IRE,1946,34(6):335-348.

[2]Bayliss E T.Design of monopulse antenna difference patterns withlow sidelobes[J].Bell System Technical Journal,1968,47(5):623-650.

[3]Kwak S,Chun J,Park D,et al.Asymmetric sum and difference beampattern synthesis with a common weight vector[J].IEEE Antennas and WirelessPropagation.

[4]Letters,2016,15:1622-1625.Cui C Y,Jiao Y C,Li Z,et al.Synthesis ofsubarrayed monopluse arrays with contiguous elements using a DE Algorithm[J].IEEE Transactions on Antennas and Propagation,2017,PP(8):1-1.

发明内容

针对上述现有技术的不足，本发明提供一种宽带宽角波束扫描的和差波束稀疏阵列综合方法，通过优化后的阵元布局可同时生成具有宽带宽角波束扫描性能的和波束及差波束，并在优化过程中同时考虑和波束及差波束的副瓣电平约束，目标方向上的差波束斜率约束、阵元位置微扰量幅值约束、阵元最小单元间距约束和阵列孔径约束，从而满足实际的应用需求。

实现本发明目的的技术思路是：首先，引入“设计频率”概念，将宽带宽角波束扫描的和差波束阵列综合问题转换为基于单一频点的和差波束阵列综合问题。其次，采用升幂级数 (RPS)解析法对阵元进行初始布局，并且阵元位置关于阵列相位中心对称，从而仅以右半部分的阵元布局即可表示整个阵列的和波束及差波束阵因子。最后，为同时抑制和波束与差波束的最大副瓣电平及高频栅瓣电平且满足实际应用需求，以右半部分的阵元位置为优化变量，在“设计频率”采用迭代凸优化方法进行多步位置微扰优化，并在优化过程中嵌入多个约束条件，例如和波束及差波束的副瓣电平约束，目标方向上的差波束斜率约束、阵元位置微扰量幅值约束、阵元最小单元间距约束和阵列孔径约束。

为达上述技术目的，本发明采用如下技术方案予以实现。

一种宽带宽角波束扫描的和差波束稀疏阵列综合方法，包括以下步骤：

步骤1，为了减少时间和计算成本，将宽带扫描方向图转换为设计频率f_D＝R_fR_uf_L下的窄带侧射方向图从而进行综合；其中，R_f＝f_H/f_L宽带比用来衡量工作频段的最高频率f_H与最低频率f_L之比；由波束指向角θ₀∈[π/2-θ_max,π/2+θ_max]可以得到

采用R_u＝max{u}/max{u₀}＝(1+|sinθ_max|)波束扫描范围比衡量波束扫描后进入可见空间的增量，θ_max是波束扫描范围的最大角度，u₀∈[-1，1]是侧射波束可视空间的范围；设计频率下的侧射方向图包含了宽带扫描方向图的全部信息，即整个工作频率范围内所有波束扫描角的全部波束特征。

步骤2，以工作频段最低频的半波长为最小单元间距，采用基于升幂级数(RPS)解析法生成关于坐标原点对称且沿Z轴分布的2N个阵元初始位置，再通过选择合适的调节参数提升阵列的宽带性能。由此所生成的右半部分阵列单元和左半部分阵列单元位置表示为R_n与L_n。基于“设计频率”，以右半部分阵列单元位置R_n对右半部分阵列和左半部分阵列的阵因子分别作和运算以及差运算，则可得到和波束与差波束，其阵因子表达式分别如式(1)和(2) 所示：

其中，β_D＝2πf_D/c表示基于“设计频率”的自由空间波数，u＝cosθ-cosθ₀，θ表示从x轴观测的角度，θ₀为和波束及差波束的指向角，R_n表示右半部分阵列单元的位置。

步骤3，为了进一步降低栅瓣/副瓣区域的峰值电平，采用多步数值微扰优化法，所述多步数值微扰优化法的具体步骤为：将式(1)和(2)中阵元位置R_n(n＝0,1,2,...,N)替换为R_n+δ_n，δ_n代表每一个阵元的位置微扰量。采用一阶泰勒近似sin(u₀β_Dδ_n)≈u₀β_Dδ_n，cos(u₀β_Dδ_n)≈1对式(1)和(2)展开可得式(3)和(4)，其中|β_Dδ_n|≤1。则式(1)和(2)可改写为式(3)和(4)：

步骤4，为满足实际的需求，在优化过程中需要同时考虑和波束及差波束的多个约束条件，具体如下：

(1)和波束的副瓣电平约束：为了保证在优化过程中和波束的副瓣电平不超过指定的范围，引入辅助变量ε₁约束和波束在副瓣区域

的取值范围为[-ε₁，ε₁]。

(2)差波束的副瓣电平约束：为了保证在优化过程中差波束的副瓣电平不超过指定的范围，引入辅助变量ε₂约束差波束在副瓣区域

的取值范围为[-ε₂，ε₂]。

(3)最小间距约束：在实际天线阵布局过程中，阵元间距需不小于所设计的单元天线尺寸，因此在微扰过程中，需要满足最小间距约束d_n-d_n-1≥d_min；

(4)位置微扰量幅值约束：为了保证位置微扰的近似精度，要求δ_n(n＝0,1,2,…,N)均满足 -μ≤β_Dδ_n≤μ，此处的μ决定了位置微扰的幅度；

(5)阵列孔径约束：在某些可用空间受限的应用中，阵列空间约束的存在十分有必要。该约束可以表示为2(R_N+δ_N)≤A，其中A为可接受的最大阵列孔径；

(6)目标方向上的差波束斜率约束：对于目标检测和追踪的应用中，需要维持一个较窄和深的零点，差波束斜率被要求尽可能大以及零点深度尽可能小，该约束表示为

步骤5，以右半部分的阵元位置为优化变量，在“设计频率”采用迭代凸优化方法进行多步位置微扰优化，所设置的约束条件如步骤4所述，优化目标为最小化和波束及差波束在副瓣区域的尖峰电平之和，表达式为：

min(ε₁+ε₂)

在迭代凸优化过程中，ε₁表示和波束在副瓣区域的峰值电平，ε₂表示差波束在副瓣区域的峰值电平，

表示和波束的副瓣区域，

表示差波束的副瓣区域，η表示差波束斜率的最小值，优化目标是最小化和波束与差波束副瓣区域的峰值电平之和(ε₁+ε₂)。阵元布局的多步微扰后，当栅瓣/副瓣区域的峰值电平之和收敛到最小值时，且阵列布局也保持不变时，得到最优化阵列布局结果。

与现有技术相比，本发明的有益效果在于：通过引入“设计频率”概念，采用解析法与迭代凸优化法相结合的阵列布局优化方法，并在优化过程中同时考虑和波束及差波束的副瓣电平、差波束在目标方向上的斜率及最小单元间距等约束条件。可实现和差波束稀疏阵列在较宽的工作频段以及波束扫描范围较大时的栅瓣/副瓣电平抑制以及降低了计算复杂度，并满足了实际的应用需求。在对阵元布局的优化完成后，即可同时生成具有宽带宽角波束扫描性能的和波束及差波束。

附图说明

图1为本发明的技术方案流程图。

图2为不同r值下的和波束与差波束的栅瓣/副瓣峰值电平之和。

图3为阵列布局优化过程中和波束与差波束的栅瓣/副瓣峰值电平之和。

图4为最优化稀疏阵列正半轴的阵元位置图。

图5为基于RPS方法布局的和波束在3GHz时波束指向135度的扫描方向图。

图6为基于RPS方法布局的差波束在3GHz时波束指向135度的扫描方向图。

图7为最优化稀疏阵列的和波束在3GHz时波束指向135度的扫描方向图。

图8为最优化稀疏阵列的差波束在3GHz时波束指向135度的扫描方向图。

图9为最优化稀疏阵列的和波束在2GHz时波束指向135度的扫描方向图。

图10为最优化稀疏阵列的差波束在2GHz时波束指向135度的扫描方向图。

图11为最优化稀疏阵列的和波束在1GHz时波束指向135度的扫描方向图。

图12为最优化稀疏阵列的差波束在1GHz时波束指向135度的扫描方向图。

具体实施方式

为使本发明的目的、技术方案和优点更加清楚明白，以下结合具体实施案例，并参照附图，对本发明进一步详细说明。

下面结合一个实例对本发明做进一步解释。设计目标：频率范围在1GHz～3GHz之间，波束扫描范围为[45°,135°]，栅瓣/副瓣区域的峰值电平保持不变的和差波束无栅瓣稀疏线阵。

按下面步骤实施：

步骤1：由于f_L＝1GHz和f_H＝3GHz，采用宽带比R_f＝f_H/f_L＝3衡量工作频段的最高频率与最低频率之比；由于波束指向角θ₀∈[π/2-θ_max,π/2+θ_max]，θ_max＝45°且 u∈[-1-|sinθ_max|，1+|sinθ_max|]，采用波束扫描距离比 R_u＝max{u}/max{u₀}＝(1+|sinθ_max|)＝1.707衡量波束扫描后进入可见空间的增量，其中 u₀＝cosθ，u₀∈[-1，1]是侧射波束可视空间u的范围。为了减少时间和计算成本，将对整个工作频带以及波束扫描范围内的方向图进行迭代优化转换为对设计频率 f_D＝R_fR_uf_L＝5.1213GHz下的阵列方向图进行综合。由于设计频率下的侧射方向图包含了阵列综合所需要的全部信息，即整个工作频率范围内所有波束扫描角的全部波束特征。

步骤2：在笛卡尔坐标系中,以工作频段最低频的半波长(0.15m)为最小单元间距d_min＝λ_L/2，采用基于升幂级数(RPS)解析法生成关于坐标原点对称且沿Z轴分布的2N个阵元初始位置。同时，为了避免过度稀疏化，调节参数r值不可选取的过大或过小，因此 0.75≤r≤1.25。为了选取合适的r值，由图2得知，当r取1.25时，在整个工作频率范围[1GHz,3GHz]及波束扫描范围[45°,135°]内，和波束与差波束副瓣峰值电平之和最小 -16.62dB。因此，r的取值为1.25，基于设计频率下的和波束与差波束的阵因子表达式为：

其中，从X轴观测的角度为θ，采样密度△θ是0.02°，β_D＝2πf_D/c表示“设计频率”的自由空间波数。

步骤3，为了进一步降低栅瓣/副瓣区域的峰值电平，采用多步数值微扰优化法对阵元位置进一步优化，所述多步数值微扰优化法的具体步骤为：将式(1)和(2)中阵元位置R_n(n＝0,1,2,...,N)替换为R_n+δ_n，δ_n代表每一个阵元的位置微扰量。采用一阶泰勒近似sin(u₀β_Dδ_n)≈u₀β_Dδ_n，cos(u₀β_Dδ_n)≈1对式(1)和(2)展开可得式(3)和(4)，其中|β_Dδ_n|≤1。则式(1)和(2)可改写为式(3)和(4)：

步骤4，为满足实际的需求，在优化过程中需要同时考虑和波束及差波束的多个约束条件，具体如下：

(1)和波束的副瓣电平约束：为了保证在优化过程中和波束的副瓣电平不超过指定的范围，引入辅助变量ε₁约束和波束在副瓣区域

的取值范围为[-ε₁，ε₁]。

(2)差波束的副瓣电平约束：为了保证在优化过程中差波束的副瓣电平不超过指定的范围，引入辅助变量ε₂约束差波束在副瓣区域

的取值范围为[-τ₂，τ₂]。

(3)最小间距约束：在实际天线阵布局过程中，阵元间距需不小于所设计的单元天线尺寸，因此在微扰过程中，需要满足最小间距约束d_n-d_n-1≥d_min；本例中设置的最小单元间距约束为工作最低频点的半波长λ_L/2，即d_min＝λ_L/2＝0.15m。

(4)位置微扰量幅值约束：为了保证位置微扰的近似精度，要求即对于δ_n(n＝0,1,2,…,N)均满足-μ≤β_Dδ_n≤μ，此处的μ决定了位置微扰的幅度；本例中相对于工作波长位置微扰为 1/20，即μ＝π/20。

(5)阵列孔径约束：在某些可用空间受限的应用中，阵列空间约束的存在十分有必要。该约束可以表示为2(R_N+δ_N)≤A，其中A为可接受的最大阵列孔径；本例中最大阵列孔径为 A＝64.68λ_L。

(6)目标方向上的差波束斜率约束：对于目标检测和追踪的应用中，需要维持一个较窄和深的零点，差波束斜率被要求尽可能大以及零点深度尽可能小，该约束表示为式(5)；本例中η为52.59dB。

步骤5，遵循以上约束条件，以右半部分的阵元位置为优化变量，在“设计频率”采用迭代凸优化法对和波束阵列及差波束阵列的布局进行多步位置微扰优化，所设置的约束条件如步骤4所述，优化目标为最小化和波束及差波束在副瓣区域的尖峰电平之和，表达式为(6)：

min (ε₁+ε₂)

在迭代凸优化过程中，ε₁表示和波束在副瓣区域的峰值电平；ε₂表示差波束在副瓣区域的峰值电平；

表示和波束的副瓣区域；

表示差波束的副瓣区域；η表示差波束斜率的最小值；μ表示位置微扰量幅值约束；表示在每一步迭代凸优化过程中，优化目标是最小化和波束与差波束最小化栅瓣/副瓣区域的峰值电平之和；大约40次迭代优化后，当栅瓣/副瓣区域的峰值电平之和收敛到最小值-22.04dB时，且阵列布局也保持不变时，得到最优化阵列布局结果。

图2给出了对于RPS方法最优的调节参数r的取值，r为1.25时和波束和差波束的最大副瓣电平之最小，为-16.62dB。图3给出了每步微扰结果的栅瓣/副瓣区域的峰值电平值，大约40次迭代后，栅瓣/副瓣区域的峰值电平降到大约-22.04dB，随后基本保持不变，通过迭代凸优化之后的和波束与差波束栅瓣/副瓣区域的峰值电平总共降低了5.42dB。图4给出了最优化的稀疏阵列布局图，由于阵元关于原点对称分布，这里仅画出正半轴的阵元。图5和图6是基于RPS方法在3GHz工作频点进行布局后的和波束与差波束阵因子图，和波束与差波束的最大副瓣电平为-8.23dB和-8.38dB。图7和图8分别是和波束与差波束的最优化稀疏阵列在3GHz时的阵因子图，此时的和波束与差波束的栅瓣/副瓣区域峰值电平之和为-22.04dB。图7～11给出了3个不同频率(1GHz、2GHz和3GHz)下的和波束与差波束阵因子图，和波束在 3个不同频点的最大副瓣电平为-10.96dB、-10.97dB和-10.96dB，差波束在3个不同频点的最大副瓣电平为-11.04dB、-11.02dB和-11.03dB。

以上所述实施例仅表达了本发明的具体实施方式，其描述较为具体和详细，但并不能因此而理解为对本发明专利范围的限制。应当指出的是，对于本领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明构思的前提下，还可以做出若干变形和改进，这些都属于本发明的保护范围。

Claims (6)

1.一种宽带宽角波束扫描的和差波束稀疏阵列综合方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤1.根据目标工作频段以及最大波束扫描范围，引入“设计频率”概念到和差波束的综合过程，将宽带波束可扫描的和差波束阵列综合问题转换为基于单一频点的和差波束阵列综合问题；

步骤2.确定最小单元间距，即工作频段最低频点的半波长，以及阵元数目2N，采用基于升幂级数解析法生成关于阵列相位中心呈对称分布的阵元初始位置，再通过选择合适的调节参数提升阵列的宽带性能，并以右半部分的阵元布局表示整个阵列的和波束及差波束阵因子；从而，仅以右半部分的阵元布局作为优化变量，即可实现和波束及差波束的宽带及宽角扫描性能的同时优化；

步骤3.采用微扰法对阵元位置进行优化，并通过一阶泰勒近似保证可凸优化求解；

步骤4.同时考虑多个和波束及差波束的实际设计要求，在优化过程中设置多个约束条件，例如和波束及差波束的副瓣电平约束，目标方向上的差波束斜率约束、阵元位置微扰量幅值约束、阵元最小单元间距约束和阵列孔径约束；

步骤5.为同时抑制和波束与差波束的最大副瓣电平及高频栅瓣电平，并满足设置的约束条件，以右半部分的阵元位置为优化变量，在“设计频率”采用迭代凸优化方法进行多步阵元位置微扰优化，多次迭代之后当和波束及差波束副瓣/栅瓣区域的峰值电平之和收敛到最小值时，得到最优化阵列布局结果。

2.根据权利要求1所述的一种宽带宽角波束扫描的和差波束稀疏阵列综合方法，其特征在于：所述步骤1具体如下：

为了减少时间和计算成本，将宽带扫描方向图转换为设计频率f_D＝R_fR_uf_L下的窄带侧射方向图从而进行综合；其中，R_f＝f_H/f_L宽带比用来衡量工作频段的最高频率f_H与最低频率f_L之比；由波束指向角θ₀∈[π/2-θ_max,π/2+θ_max]可以得到

采用R_u＝max{u}/max{u₀}＝(1+|sinθ_max|)波束扫描范围比衡量波束扫描后进入可见空间的增量，θ_max是波束扫描范围的最大角度，u₀∈[-1，1]是侧射波束可视空间的范围；设计频率下的侧射方向图包含了宽带扫描方向图的全部信息，即整个工作频率范围内所有波束扫描角的全部波束特征。

3.根据权利要求1所述的一种宽带宽角波束扫描的和差波束稀疏阵列综合方法，其特征在于：所述步骤2具体如下：

以工作频段最低频的半波长为最小单元间距，采用基于升幂级数解析法生成关于坐标原点对称且沿Z轴分布的2N个阵元初始位置，再通过选择合适的调节参数提升阵列的宽带性能,由此所生成的右半部分阵列单元和左半部分阵列单元位置表示为R_n与L_n；基于“设计频率”，以右半部分阵列单元位置R_n对右半部分阵列的阵因子AF^R(u,β_D)和左半部分阵列的阵因子AF^L(u,β_D)分别作和运算以及差运算，则可得到和波束与差波束，其阵因子表达式分别如式(1)和(2)所示：

其中，β_D＝2πf_D/c表示基于“设计频率”的自由空间波数，u＝cosθ-cosθ₀，θ表示从x轴观测的角度，θ₀为和波束及差波束的指向角，R_n表示右半部分阵列单元的位置。

4.根据权利要求3所述的一种宽带宽角波束扫描的和差波束稀疏阵列综合方法，其特征在于：所述步骤3具体如下：

为了进一步降低栅瓣/副瓣区域的峰值电平，采用多步数值微扰优化法，所述多步数值微扰优化法的具体步骤为：将式(1)和(2)中阵元位置R_n(n＝0,1,2,...,N)替换为R_n+δ_n，δ_n代表每一个阵元的位置微扰量；采用一阶泰勒近似sin(u₀β_Dδ_n)≈u₀β_Dδ_n，cos(u₀β_Dδ_n)≈1对式(1)和(2)展开可得式(3)和(4)，其中|β_Dδ_n|≤1；则式(1)和(2)可改写为式(3)和(4)：

5.根据权利要求1所述的一种宽带宽角波束扫描的和差波束稀疏阵列综合方法，其特征在于：所述步骤4具体如下：

为满足实际的需求，在优化过程中需要同时考虑和波束及差波束的多个约束条件，具体如下：

(1)和波束的副瓣电平约束：为了保证在优化过程中和波束的副瓣电平不超过指定的范围，引入辅助变量ε₁约束和波束在副瓣区域

的取值范围为[-ε₁，ε₁]；

(2)差波束的副瓣电平约束：为了保证在优化过程中差波束的副瓣电平不超过指定的范围，引入辅助变量ε₂约束差波束在副瓣区域

的取值范围为[-ε₂，ε₂]；

(3)最小间距约束：在实际天线阵布局过程中，阵元间距需不小于所设计的单元天线尺寸，因此在微扰过程中，需要满足最小间距约束d_n-d_n-1≥d_min；

(4)位置微扰量幅值约束：为了保证位置微扰的近似精度，要求δ_n(n＝0,1,2,…,N)均满足-μ≤β_Dδ_n≤μ，此处的μ决定了位置微扰的幅度；

(5)阵列孔径约束：在某些可用空间受限的应用中，阵列空间约束的存在十分有必要；该约束可以表示为2(R_N+δ_N)≤A，其中A为可接受的最大阵列孔径；

(6)目标方向上的差波束斜率约束：对于目标检测和追踪的应用中，需要维持一个较窄和深的零点，差波束斜率被要求尽可能大以及零点深度尽可能小，该约束表示为

6.根据权利要求5所述的一种宽带宽角波束扫描的和差波束稀疏阵列综合方法，其特征在于：所述步骤5具体如下：

以右半部分的阵元位置为优化变量，在“设计频率”采用迭代凸优化方法进行多步位置微扰优化，所设置的约束条件如步骤4所述，优化目标为最小化和波束及差波束在副瓣区域的尖峰电平之和，表达式为：

min(ε₁+ε₂)

在迭代凸优化过程中，ε₁表示和波束在副瓣区域的峰值电平，ε₂表示差波束在副瓣区域的峰值电平，

表示和波束的副瓣区域，

表示差波束的副瓣区域，η表示差波束斜率的最小值，优化目标是最小化和波束与差波束副瓣区域的峰值电平之和(ε₁+ε₂)；阵元布局的多步微扰后，当栅瓣/副瓣区域的峰值电平之和收敛到最小值时，且阵列布局也保持不变时，得到最优化阵列布局结果。

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