CN114310899A - 一种基于nsga-iii优化算法的机械臂多目标轨迹规划方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于NSGA‑III算法的机械臂多目标轨迹规划方法。由于使用传统轨迹规划方法时关节抖动剧烈且运行时间长，本发明结合五次多项式插值算法和三次样条插值算法进行机械臂关节轨迹规划。依据实际使用机械臂过程中对运行速度，抖动和耗能指标的要求，本发明使用NSGA‑III多目标优化算法调整机械臂关节轨迹规划的参数。在得到满足机械臂动力学约束条件的Pareto最优解集中，按照一定规则选择Pareto最优解集中的最优解，此解能够使机械臂在确保运行时间最小的情况下，其抖动和耗能指标也处于较低水平。本算法在机械臂运行过程中在减小运行时间、降低能量损失和减弱机械臂关节的抖动方面效果较为理想，而且算法性能可靠。

Description

一种基于NSGA-III优化算法的机械臂多目标轨迹规划方法

技术领域

本发明涉及自动化控制技术，尤其涉及一种机械臂轨迹规划领域。

背景技术

工业机械臂在各行各业得到了广泛的应用，由于机械臂自身结构复杂，自由度高，控制困难等无法满足在实际工作过程中的要求。轨迹规划作为机械臂控制领域的一个分支，一直以来都是研究热点。

目前常用的机械臂轨迹规划方法有五次多项式插值算法、三次样条插值算法、五阶B样条插值算法、遗传算法(GA)、粒子群算法(PSO)等以及一些混合的算法。在某些特定的工作任务下，五次多项式插值算法计算量大，规划后的轨迹抖动剧烈。针对这些问题，采用五次多项式函数和三次样条函数相结合的方式进行插值，使得规划的轨迹具有高速特性，且适合通过多个路径点的情况。机械臂在工作的时候需要缩短时间以提高效率，减少抖动以平滑轨迹，减少能源消耗，以提高机械臂的连续工作能力。为了平衡时间、冲动、能量和约束条件之间的相互关系，实现优化设计，NSGA-II算法和粒子群优化算法等多目标优化算法在轨迹规划领域有着广泛的应用。但是NSGA-II算法通过对每个目标的距离计算无法维持高维Pareto前沿上解的良好分布，而粒子群优化算法的权值选择十分困难，往往很难取得较优的效果。因此本发明使用NSGA-III算法对机械臂的时间、能量和抖动指标进行优化，而且取得了较优的效果。

发明内容

本发明的目的在于提供一种基于NSGA-III优化算法的机械臂多目标轨迹规划方法，使得机械臂在完成任务时运行时间最短、能耗最低和关节抖动最小，从而增强机械臂的环境适应能力，减少机械臂的关节磨损，提高机械臂的使用寿命。

本发明的目的是这样实现的：

基于NSGA-III算法的机械臂多目标轨迹规划方法。其特征在于：所述方法步骤包括：

步骤1：机械臂工作空间内，利用贝塞尔曲线计算机械臂运动路径后，在此路径上选取n-1个路径点，其贝塞尔曲线表达式为：

其中，λ是自变量，λ∈[0,1]，b_i为贝塞尔曲线的控制点；

步骤2：机械臂关节空间内，利用五次多项式插值算法和三次样条插值算法相结合的方式对路径点进行插值，得到关节轨迹S(T,t)；

步骤3：建立优化约束问题模型，采用NSGA-III算法以运行时间、能量消耗和关节抖动为目标，调整机械臂关节轨迹S(T,t)的插值时间T，获得Pareto最优解集；

步骤4：按照加权适应度评价函数和运行时间最小的原则，从Pareto最优解集中选取最优解，计算机械臂的关节轨迹。

根据权利要求1所述的方法，其特征在于，五次多项式插值算法和三次样条插值算法相结合的方式规化机械臂关节轨迹，机械臂的关节轨迹可描述为：

S(T,t)＝B_icT_T(t-t_k) (2)

其中，T为路径点的插值时间向量，B_ic为轨迹规划算法的系数矩阵。

其中：

T_T＝[1,t,t²,t³,t⁴,t⁵]^T (3)

T＝[T₀,…,T_k,…,T_n-1] (4)

其中，T₀为q_i0至q_i1之间的插值时间；A₁为可逆矩阵，c_i1为约束条件：

其中，q_i0,

分别为机械臂第i个关节的起始关节角度，关角速度和关节角加速度。q_i1,

分别为机械臂的第i个关节的第1个插值关节角度，速度和加速度。B_i′₂为三次样条函数的系数矩阵，其定义是式(8)：

其中，A₂为可逆矩阵；ω_ic和Q_i为三次样条的约束条件矩阵：

其中，T_k为机械臂第i个关节通过角度q_ik到角度q_i(k+1)所需的时间，且T_k＝t_k+1-t_k。

根据权利要求1所述的方法，其特征在于，优化约束问题模型为：

约束条件：

其中，z₁为时间指标，衡量机械臂的工作效率；z₂为关节加速度指标，衡量机械臂的能耗；z₃为关节加加速度指标，衡量机械臂移动过程中的关节抖动。t_k为机械臂第i个关节通过插值角度q_ik的瞬时时刻；T_all为机械臂运行总时间。

为了提高NSGA-III算法的效率，把优化约束问题模型转化为无约束问题模型：

min{z₁,z₂,z₃，z₄} (12)

其中：

z₄＝κ₁f_p1+κ₂f_p2+κ₃f_p3 (13)

其中，κ₁,κ₂,κ₃分别为机械臂动力学约束条件的权值系数。f_p1,f_p2,f_p3分别为动力学约束条件,其定义为：

分别为机械臂动力学的速度、加速度和加加速度的限定值。

根据权利要求1所述的方法，其特征在于，使用NSGA-III算法优化机械臂的关节轨迹的步骤如下：

S1：初始化：初始化NSGA-III算法的相关参数、初始化最大迭代次数、初始种群；

S2：筛选：按照优化目标进行非支配排序，从父代中选择子代种群；

S3：进化：子代种群进行交叉、变异操作；

S4：迭代：迭代次数i增加一次；

S5：更新：子代和父代合并，该种群按照优化目标进行非支配排序，采用基于参考点的方式，从该种群得到新父代种群，执行S2，直到i大于最大迭代次数；

S6：输出：获得满足条件的Pareto最优解集；

S7：选择：按照加权适应度评价函数和运行时间最小的原则选取最优解。

从非支配解集中按照加权适应度评价函数最优和运行时间最短的原则选取最优解，该解是机械臂运行时间、能量消耗指标和关节抖动指标上面取得折中的结果，其所述加权适应度评价函数F_avg表示为：

其中，a₁,a₂,a₃分别为三个适应度F₁,F₂,F₃的权值系数，F₁,F₂,F₃的表达式为：

附图说明

图1为一种基于NSGA-III算法的机械臂多目标轨迹规划方法的流程图。

图2为NSGA-III优化轨迹规划方法的流程图。

图3为实施例中Pareto前沿面图。

图4为实施例中Pareto最优解集中各解的分布关系图。

图5为实施例中机械臂实际运行关节角度图。

图6为实施例中机械臂实际运行末端轨迹与规划轨迹对比图。

具体实施方式

为了使本申请的目的、技术方案及优点更加清楚明白，下面结合附图以及实施例，对本发明进行进一步详细说明。

为了达到机械臂在运行过程中运行速度最短、抖动最小和耗能最少的目标，本发明提出一种机械臂的轨迹规划方法，提高了机械臂在运行过程中的效率。此方法的具体说明如下。

在工作空间内如图1所示，设定机械臂的初始位置为P₀，终点位置为P_n。在空间内另取一坐标P_h作为轨迹生成的辅助位置，空间位置P_h与机械臂起始位置P₀之间使用点对点的轨迹规划算法，其关节空间轨迹表达式为：

q_i0h(t)＝a_i0+a_i1t+a_i2t²+a_i3t³+a_i4t⁴+a_i5t⁵ (17)

其中，a_i1,a_i2,…,a_i5为多项式系数。

机械臂在开始位置q_i0和辅助位置q_ih的速度、加速度均为零，即

此时，机械臂通过的关节角度q_ih和q_i0的时间点是t_h和t₀时刻。解得a_i1,a_i2,…,a_i5并代入到式(17)中，得：

其中，0＜t＜t_h，设有一动点q_i1位于式(18)上，当t＝t₁时刻的关节角度为q_i1。因此q_i1可以表示为：

q_i1经过正向运动学转换到世界坐标系中为P₁。以P₁为起点P_n为终点建立贝塞尔曲线，贝塞尔曲线的表达式为：

其中，λ是自变量，λ∈[01]。b_i为贝塞尔曲线的控制点。在贝塞尔曲线上选取一系列路径点，结合机械臂的起始位置得到机械臂工作空间的路径为：

P＝[P₀,P₁,…,P_k,P_k+1,…,P_n-1,P_n] (21)

经过逆运动学公式使工作空间中的路径点转化到机械臂关节空间得：

q_i＝[q_i0,q_i1,…,q_ik,q_i(k+1),…,q_i(n-1),q_in] (22)

其中，q_ik表示第i个关节的第k个路径的关节角度。q_i0为机械臂的起始关节角度,q_in为所述机械臂的终止关节角度。为了保证机械臂运动平滑，需要对路径点q_i进行插值，本发明采用五次多项式插值算法和三次样条插值算法相结合的方式插值机械臂关节轨迹，机械臂的关节轨迹可描述为：

S(T,t)＝B_icT_T(t-t_k) (23)

其中，T为插值点q_i插值时间，T_T为关于时间t的一维列向量。表达式为：

T_T＝[1,t,t²,t³,t⁴,t⁵]^T (24)

T＝[T₀,…,T_k,…,T_n-1] (25)

B_ic为轨迹规划算法的系数矩阵，其表达式为:

其中，T₀为机械臂通过q_i0至q_i1的时间。A₁为可逆矩阵，c_i1为约束条件向量，其定义为:

其中，q_i0,

分别为机械臂的起始关节角度，关节角速度和关节角加速度。q_i1,

分别为机械臂通过第1个插值时的关节角度，关节角速度和关节角加速度。

在轨迹规划算法中三次样条部分的系数矩阵B'_i2，其定义为：

其中，A₂为可逆矩阵；ω_ic和Q_i三次样条的约束条件矩阵，其表达式为:

其中，加速度

和

均可通过三次样条的中间点加速度连续性条件求得。

采用NSGA-III优化机械臂插值轨迹，其优化约束问题模型为：

约束条件:

把约束条件转化为优化目标，此时约束模型转化为无约束模型为：

min{z₁,z₂,z₃，z₄} (33)

其中：

z₄＝κ₁f_p1+κ₂f_p2+κ₃f_p3 (34)

其中，κ₁,κ₂,κ₃分别约束条件的权值系数。f_p1,f_p2,f_p3分别为动力学约束条件,其定义为：

分别为机械臂动力学的速度、加速度和加加速度的限定值。

使用NSGA-III算法对机械臂关节轨迹进行优化，其优化过程包含以下步骤，其流程图如图2所示。

S1：初始化：初始化NSGA-III算法的相关参数、初始化最大迭代次数、初始种群；

S2：筛选：按照优化目标进行非支配排序，从父代中选择子代种群；

S3：进化：子代种群进行交叉、变异操作；

S4：迭代：迭代次数i增加一次；

S5：更新：子代和父代合并，该种群按照优化目标进行非支配排序，采用基于参考点的方式，从该种群得到新父代种群，执行S2，直到i大于最大迭代次数；

S6：输出：获得满足条件的Pareto最优解集；

S7：选择：按照加权适应度评价函数和运行时间最小的原则选取最优解。

经过NSGA-III算法优化，得到Pareto最优解集，为了评价本次优化的效果，采用解的分布程度(Solution Spread Measure,SSM)衡量Pareto前沿的分布特性。其中，SSM的表达式为：

其中，M为Pareto最优解集中解的个数,i为Pareto最优解集中第i个解。d_i是每个相邻解的距离，d_l和d_f分别为Pareto前沿中的边界解和极值解的欧式距离，

为d_i的平均值。

为了进一步说明Pareto最优解集中各解的分布特性，采用距离误差率(DER)衡量Pareto最优解集中各解的接近程度，其定义为：

本发明分别采用NSGA-III算法和NSGA-II算法，以时间最短，能耗最低和关节抖动最小为目标优化机械臂的关节轨迹。其获得的Pareto最优解集中解的分布如图3所示，NSGA-III算法得到的Pareto最优解集的三个目标范围较小。Pareto最优解集中各解的距离误差率如图4所示，使用NSGA-III算法得到的Pareto最优集的误差率相对较小。其SSM值如下表1所示，使用NSGA-III算法得到的Pareto最优集的SSM值相对较小。综合以上三个指标可以看出，与传统的NSGA-II算法相比，NSGA-III算法得到的Pareto最优解集各解相对比较集中，Pareto最优集的三个目标范围较小。

表1 NSGA-III算法的SSM值

使用NSGA-III算法对机械臂关节轨迹进行优化，获得Pareto最优解集。从最优解集中按照加权适应度评价函数最小和运行时间最短的原则选取最优解。

加权适应度评价函数表示为：

其中，z₁为时间指标，z_1max和z_1min是其最大和最小值；z₂关节加速度指标，z_2max和z_2min是其最大和最小值；z₃为关节加加速度指标，z_3max和z_3max是其最大和最小值。此时实例的平均适应度函数值为F_avg＝0.077，选择其对应的最优解获得轨迹后经过ROS节点发送机械臂执行。

图5为说明书实施例中机械臂规划的轨迹与实际机械臂执行时的轨迹的对比关系，从图中可以看出，所述轨迹规划算法可以用于机械臂的轨迹规划，且执行误差与规划误差相对较小。图6是说明书实施例机械臂末端轨迹图，由图可知所述轨迹规划算法产生的轨迹平滑，规划出的轨迹执行速度较快。在真实环境中，机械臂实际运行时间、能量指标和关节抖动如下表2所示：

表2机械臂运行实验参数

综上所述，本发明实施例具有以下有益效果：

本发明实施例的技术方案中，利用五次多项式和三次样条函数组成的迹规划算法，把时间最小、耗能最少和关节抖动最小作为优化目标，采用NSGA-III优化算法对所述轨迹规划算法的参数进行优化，在所得Pareto最优解集中按照一定原则选取一个解并计算轨迹，发送机械臂运行。本实例测试了不同的五个终点坐标位置，其机械臂的运行时间平均为2.5秒，减小了机械臂的运行时间。机械臂的能量衡量指标为6.68rad/s²，与未采用优化算法的机械臂的关节轨迹相比降低了能量的消耗。机械臂的各个关节的抖动均在约束条件之下，使用NSGA-III优化算法能有效的减小机械臂的关节抖动。以上结果表明本发明提出的轨迹规划算法在实际机械臂运行中提高了机械臂对环境的适应能力，其时间指标、耗能指标和关节抖动指标均有所减小。

Claims (4)

1.一种基于NSGA-III优化算法的机械臂多目标轨迹规划方法，其特征在于：所述方法步骤包括：

步骤1：机械臂工作空间内，利用贝塞尔曲线计算机械臂运动路径，在此路径上选取n-1个路径点，其贝塞尔曲线表达式为：

其中，λ是自变量，λ∈[0,1]，b_i为贝塞尔曲线的控制点；

步骤2：机械臂关节空间内，利用五次多项式插值算法和三次样条插值算法相结合的方式对路径点进行插值，得到关节轨迹S(T,t)；

步骤3：建立优化约束问题模型，采用NSGA-III算法以运行时间、能量消耗和关节抖动为目标，调整机械臂关节轨迹S(T,t)的插值时间T，获得Pareto最优解集；

步骤4：按照加权适应度评价函数和运行时间最小的原则，从Pareto最优解集中选取最优解，计算机械臂的关节轨迹。

2.根据权利要求1所述的方法，其特征在于，利用五次多项式插值算法和三次样条插值算法相结合的方式对路径点进行插值，其关节轨迹S(T,t)可描述为：

S(T,t)＝Β_icT_T(t-t_k)

其中，T为路径点的插值时间向量，T_T关于时间t的一维列向量，B_ic为系数矩阵。

3.根据权利要求1所述的方法，其特征在于，优化约束问题模型为：

约束条件:

其中，z₁为时间指标，衡量机械臂的工作效率；z₂为关节加速度指标，衡量机械臂的能耗；z₃为关节加加速度指标，衡量机械臂移动过程中的关节抖动；t_k为机械臂第i个关节通过插值角度q_ik的瞬时时刻；T_all为机械臂运行总时间。

4.根据权利要求1所述的方法，其特征在于，使用NSGA-III算法优化机械臂的关节轨迹的步骤如下：

S1：初始化：初始化NSGA-III算法的相关参数、初始化最大迭代次数、初始种群；

S2：筛选：按照优化目标进行非支配排序，从父代中选择子代种群；

S3：进化：子代种群进行交叉、变异操作；

S4：迭代：迭代次数i增加一次；

S5：更新：子代和父代合并，该种群按照优化目标进行非支配排序，采用基于参考点的方式，从该种群得到新父代种群，执行S2，直到i大于最大迭代次数；

S6：输出：获得满足条件的Pareto最优解集；

S7：选择：按照加权适应度评价函数和运行时间最小的原则选取最优解。

Images