CN114253288A - 多航天器轨道分布式协同跟踪最优控制方法 - Google Patents

多航天器轨道分布式协同跟踪最优控制方法 Download PDF

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CN114253288A CN202111474691.5A CN202111474691A CN114253288A CN 114253288 A CN114253288 A CN 114253288A CN 202111474691 A CN202111474691 A CN 202111474691A CN 114253288 A CN114253288 A CN 114253288A
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Abstract

本发明涉及一种多航天器轨道分布式协同跟踪最优控制方法，属于航天技术领域。考虑参考点轨道为圆轨道的情况，构建出航天器与参考点之间的相对轨道动力学及运动学模型，并建立轨道跟踪误差系统方程。设计出分布式协同跟踪控制器，利用最优控制理论求解控制器参数，使误差系统的控制性能达到最佳，并计算出能够保证航天器围绕参考点进行周期运动的初值条件。本发明提供的方法能够求解出最优控制器参数，实现最佳控制性能。

Description

多航天器轨道分布式协同跟踪最优控制方法
技术领域
本发明涉及一种多航天器的轨道控制方法，特别是一种可对控制器参数进行最优化的多航天器轨道分布式协同跟踪控制方法。
背景技术
“Improved order-reduction method for cooperative tracking control oftime-delayed multi-spacecraft network,Journal of the Franklin Institute,2018,355(5),2849-2873”公开了一种多航天器轨道控制方法。该方法利用多智能体一致性理论，设计了分布式轨道跟踪控制器，并通过线性矩阵不等式方法求解了控制器参数。
文献中所述的方法存在的主要技术问题在于：所求解出的控制器参数是次优的，致使控制器无法保证系统的性能指标最小化，即未达到最佳控制性能。
发明内容
要解决的技术问题
为了避免现有技术的不足之处，本发明提出一种可对控制器参数进行最优化的多航天器轨道分布式协同跟踪控制方法。
技术方案
一种多航天器轨道分布式协同跟踪最优控制方法，其特征在于步骤如下：
步骤1：考虑参考点绕地心飞行轨道为圆轨道的情况，构建出航天器与参考点之间的相对轨道动力学及运动学模型，并建立轨道跟踪误差系统方程；
步骤2：针对步骤1中建立的误差系统方程，设计出分布式协同跟踪控制器，并利用最优控制理论求解控制器参数，使系统的控制性能达到最佳；
步骤3：针对步骤1中构建的相对轨道动力学及运动学模型，计算出能够保证航天器围绕参考点进行周期运动的初值条件。
本发明进一步的技术方案：步骤1所述的相对轨道动力学及运动学模型：
Figure BDA0003390810220000021
式中，下角标i表示第i个航天器，i＝0表示领航者航天器，i＝1,...,N表示跟随者航天器；pix、piy、piz表示第i个航天器与参考点之间的相对位置在参考点体坐标系下的三轴分量；
Figure BDA0003390810220000022
为参考点在自身轨道内的角速度，μ0＝3.986×105kg/m3表示地球引力系数，r0为参考点与地心之间的距离；uix、uiy、uiz表示控制输入在三轴方向上的分量，假设领航者航天器的控制输入为零，即u0x＝u0y＝u0z＝0；
将式(12)化作如下所示的状态空间方程：
Figure BDA0003390810220000023
式中，
Figure BDA0003390810220000024
定义领航者航天器与第i个跟随者航天器间的跟踪误差变量
Figure BDA0003390810220000025
则可以得到如下全局误差变量：
Figure BDA0003390810220000026
式中，
Figure BDA0003390810220000027
1N＝[1,1,...,1]T表示元素均为1的N维列向量，I6表示6阶单位矩阵，
Figure BDA0003390810220000028
表示克罗内克乘积；此外，
Figure BDA0003390810220000029
表示通信拓扑图对应的拉普拉斯矩阵，且有
Figure BDA00033908102200000210
和lij＝-aij，其中aij表示航天器之间的相对状态保持增益，当第j个航天器能够向第i个航天器传输信息时，aij＝1，否则aij＝0；对式(15)求导，可以得到如下跟踪误差系统方程：
Figure BDA0003390810220000031
式中，
Figure BDA0003390810220000032
本发明进一步的技术方案：步骤2所述的分布式协同跟踪控制器：
Figure BDA0003390810220000033
式中，矩阵K表示控制器参数；设计控制器参数K＝R-1BTP，其中正定矩阵P为如下代数黎卡提方程的解：
PA+ATP+Q-PBR-1BTP＝0, (7)
式中，Q≥0，R＞0；
选取李雅普诺夫函数为
Figure BDA0003390810220000034
则利用李雅普诺夫稳定性理论可以证明，式(17)所设计出的控制器能够保证系统(16)渐进稳定；
选取目标函数
Figure BDA0003390810220000035
其中
Figure BDA0003390810220000036
利用最优控制理论可以证明，式(17)所设计出的控制器能够保证系统(16)的如下性能指标最优：
Figure BDA0003390810220000037
本发明进一步的技术方案：步骤3所述的初值条件计算过程如下：
根据式(12)，可以得到领航者航天器与参考点之间的相对轨道模型如下：
Figure BDA0003390810220000038
对式(20)中的微分方程组进行求解，得到如下结果：
Figure BDA0003390810220000041
式中，p0x(0)、p0y(0)、p0z(0)表示领航者航天器与参考点之间的三轴相对位置初值，
Figure BDA0003390810220000042
表示领航者航天器与参考点之间的三轴相对速度初值；式(21)中的第二个等式中含有漂移项
Figure BDA0003390810220000043
因此，初值条件须满足
Figure BDA0003390810220000044
才能够消除漂移项，使航天器进行周期运动；将
Figure BDA0003390810220000045
代入到式(21)中可得
Figure BDA0003390810220000046
式中，
Figure BDA0003390810220000047
Figure BDA0003390810220000048
根据式(22)可知，领航者航天器与参考点之间相对运动轨迹为椭圆形；若要使椭圆形的中心位于参考点处，即d0＝0，则初值条件须满足
Figure BDA0003390810220000049
有益效果
本发明提出的一种多航天器轨道分布式协同跟踪最优控制方法，考虑参考点轨道为圆轨道的情况，构建出航天器与参考点之间的相对轨道动力学及运动学模型，并建立轨道跟踪误差系统方程。设计出分布式协同跟踪控制器，利用最优控制理论求解控制器参数，使误差系统的控制性能达到最佳，并计算出能够保证航天器围绕参考点进行周期运动的初值条件。本发明提供的方法能够求解出最优控制器参数，实现最佳控制性能。
采用本发明提出的方法能够以较少的能耗来实现较快的轨道跟踪速度。在文献中提出的方法作用下，航天器的轨道跟踪误差同步收敛时间为80秒，100秒内的全局能耗为4.3×104；而在本发明提出的方法作用下，航天器的轨道跟踪误差同步收敛时间仅为40秒，100秒内的全局能耗只有2.7×104。
附图说明
附图仅用于示出具体实施例的目的，而并不认为是对本发明的限制，在整个附图中，相同的参考符号表示相同的部件。
图1是本发明的示意图；
图2是本发明实施例中，5个航天器之间的通讯网络结构图；
图3是本发明实施例中，在本发明提出的方法下航天器的状态跟踪误差范数曲线；
图4是本发明实施例中，在文献提出的方法下航天器的状态跟踪误差范数曲线；
图5是本发明实施例中，在本发明提出的方法下，航天器的全局能耗曲线；
图6是本发明实施例中，在文献提出的方法下，航天器的全局能耗曲线。
具体实施方式
为了使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚明白，以下结合附图和实施例，对本发明进行进一步详细说明。应当理解，此处所描述的具体实施例仅用以解释本发明，并不用于限定本发明。此外，下面描述的本发明各个实施方式中所涉及到的技术特征只要彼此之间未构成冲突就可以相互组合。
一种可对控制器参数进行最优化的多航天器轨道分布式协同跟踪控制方法，包括下述步骤：
步骤一：考虑参考点绕地心飞行轨道为圆轨道的情况，构建出航天器与参考点之间的相对轨道动力学及运动学模型，并建立轨道跟踪误差系统方程；
步骤二：针对步骤一中建立的误差系统方程，设计出分布式协同跟踪控制器，并利用最优控制理论求解控制器参数，使系统的控制性能达到最佳；
步骤三：针对步骤一中构建的相对轨道动力学及运动学模型，计算出能够保证航天器围绕参考点进行周期运动的初值条件。
具体如下：
步骤一：考虑参考点绕地心飞行轨道为圆轨道的情况，构建出航天器与参考点之间的相对轨道动力学及运动学模型，并建立轨道跟踪误差系统方程。首先考虑参考点轨道为圆轨道的情况，给出如下相对轨道动力学及运动学模型：
Figure BDA0003390810220000061
式中，下角标i表示第i个航天器，i＝0表示领航者航天器，i＝1,...,N表示跟随者航天器；pix、piy、piz表示第i个航天器与参考点之间的相对位置在参考点体坐标系下的三轴分量；
Figure BDA0003390810220000062
为参考点在自身轨道内的角速度，μ0＝3.986×105kg/m3表示地球引力系数，r0为参考点与地心之间的距离；uix、uiy、uiz表示控制输入在三轴方向上的分量，假设领航者航天器的控制输入为零，即u0x＝u0y＝u0z＝0。
将式(12)化作如下所示的状态空间方程：
Figure BDA0003390810220000063
式中，
Figure BDA0003390810220000071
定义领航者航天器与第i个跟随者航天器间的跟踪误差变量
Figure BDA0003390810220000072
则可以得到如下全局误差变量：
Figure BDA0003390810220000073
式中，
Figure BDA0003390810220000074
1N＝[1,1,...,1]T表示元素均为1的N维列向量，I6表示6阶单位矩阵，
Figure BDA0003390810220000075
表示克罗内克乘积。此外，
Figure BDA0003390810220000076
表示通信拓扑图对应的拉普拉斯矩阵，且有
Figure BDA0003390810220000077
和lij＝-aij，其中aij表示航天器之间的相对状态保持增益，当第j个航天器能够向第i个航天器传输信息时，aij＝1，否则aij＝0。对式(15)求导，可以得到如下跟踪误差系统方程：
Figure BDA0003390810220000078
式中，
Figure BDA0003390810220000079
步骤二：针对步骤一中建立的误差系统方程，设计出分布式协同跟踪控制器，并利用最优控制理论求解控制器参数，使系统的控制性能达到最佳。
设计如下分布式协同控制器
Figure BDA00033908102200000710
式中，矩阵K表示控制器参数。设计控制器参数K＝R-1BTP，其中正定矩阵P为如下代数黎卡提方程的解：
PA+ATP+Q-PBR-1BTP＝0, (18)
式中，Q≥0，R＞0。
选取李雅普诺夫函数为
Figure BDA00033908102200000711
则利用李雅普诺夫稳定性理论可以证明，式(17)所设计出的控制器能够保证系统(16)渐进稳定。
选取目标函数
Figure BDA0003390810220000081
其中
Figure BDA0003390810220000082
利用最优控制理论可以证明，式(17)所设计出的控制器能够保证系统(16)的如下性能指标最优：
Figure BDA0003390810220000083
步骤三：针对步骤一中构建的相对轨道动力学及运动学模型，计算出能够保证航天器围绕参考点进行周期运动的初值条件。
根据式(12)，可以得到领航者航天器与参考点之间的相对轨道模型如下：
Figure BDA0003390810220000084
对式(20)中的微分方程组进行求解，可以得到如下结果：
Figure BDA0003390810220000085
式中，p0x(0)、p0y(0)、p0z(0)表示领航者航天器与参考点之间的三轴相对位置初值，
Figure BDA0003390810220000086
表示领航者航天器与参考点之间的三轴相对速度初值。式(21)中的第二个等式中含有漂移项
Figure BDA0003390810220000087
因此，初值条件须满足
Figure BDA0003390810220000088
才能够消除漂移项，使航天器进行周期运动。将
Figure BDA0003390810220000089
代入到式(21)中可得
Figure BDA0003390810220000091
式中，
Figure BDA0003390810220000092
Figure BDA0003390810220000093
根据式(22)可知，领航者航天器与参考点之间相对运动轨迹为椭圆形。若要使椭圆形的中心位于参考点处，即d0＝0，则初值条件须满足
Figure BDA0003390810220000094
采用以下实施例验证本发明的有益效果：
假设多航天器系统中有1个领航者航天器和4个跟随者航天器，描述航天器之间通讯网络的邻接矩阵和拉普拉斯矩阵如下：
Figure BDA0003390810220000095
选取参考点与地心之间的距离r0＝20000km，选取R＝5×103I3和Q＝10I6，根据式(18)，可以计算出控制器参数矩阵如下：
Figure BDA0003390810220000096
此外，采用文献中的方法，设计如下控制器：
Figure BDA0003390810220000097
其中，控制器参数
Figure BDA0003390810220000098
矩阵
Figure BDA0003390810220000099
为下列线性矩阵不等式组的解：
Figure BDA00033908102200000910
Figure BDA0003390810220000101
Figure BDA0003390810220000102
Figure BDA0003390810220000103
式中，
Figure BDA0003390810220000104
为矩阵变量，
Figure BDA0003390810220000105
为标量，v是矩阵
Figure BDA0003390810220000106
的最小特征值，η是矩阵
Figure BDA0003390810220000107
的最大特征值，α＝1×107用于描述状态初值，δ＝1×109用于描述性能指标的上界。可以求解出控制器参数为
Figure BDA0003390810220000108
选取航天器的状态初值如下：
Figure BDA0003390810220000109
其中，领航者航天器的初值x0(0)根据步骤三中的初值选取条件选取。
利用以上各参数，可以得到在本发明设计的控制器和文献中设计的控制器作用下，航天器的状态跟踪误差范数曲线||x1-x0||、||x2-x0||、||x3-x0||、||x4-x0||以及全局能耗曲线
Figure BDA00033908102200001010
通过仿真曲线可知，本发明设计的控制器能够保证4个跟随者航天器在40秒内同步跟踪上领航者航天器；而文献中设计的控制器能够保证4个跟随者航天器在80秒内同步跟踪上领航者航天器；在本发明设计的控制器作用下，航天器在100秒内的全局能耗为2.7×104；而在文献中设计的控制器作用下，航天器在100秒内的全局能耗为4.3×104。因此，相比于文献中设计的控制器，本发明所设计的控制器能够以更少的能耗来实现更快的跟踪速度。
本发明未详细介绍的内容(如代数图论、线性矩阵不等式、矩阵论、李雅普诺夫稳定性理论)属于本领域公共常识。
以上所述，仅为本发明的具体实施方式，但本发明的保护范围并不局限于此，任何熟悉本技术领域的技术人员在本发明公开的技术范围内，可轻易想到各种等效的修改或替换，这些修改或替换都应涵盖在本发明的保护范围之内。

Claims (4)

1.一种多航天器轨道分布式协同跟踪最优控制方法，其特征在于步骤如下：
步骤1：考虑参考点绕地心飞行轨道为圆轨道的情况，构建出航天器与参考点之间的相对轨道动力学及运动学模型，并建立轨道跟踪误差系统方程；
步骤2：针对步骤1中建立的误差系统方程，设计出分布式协同跟踪控制器，并利用最优控制理论求解控制器参数，使系统的控制性能达到最佳；
步骤3：针对步骤1中构建的相对轨道动力学及运动学模型，计算出能够保证航天器围绕参考点进行周期运动的初值条件。
2.根据权利要求1所述的一种多航天器轨道分布式协同跟踪最优控制方法，其特征在于步骤1所述的相对轨道动力学及运动学模型：
Figure FDA0003390810210000011
式中，下角标i表示第i个航天器，i＝0表示领航者航天器，i＝1,...,N表示跟随者航天器；pix、piy、piz表示第i个航天器与参考点之间的相对位置在参考点体坐标系下的三轴分量；
Figure FDA0003390810210000012
为参考点在自身轨道内的角速度，μ0＝3.986×105kg/m3表示地球引力系数，r0为参考点与地心之间的距离；uix、uiy、uiz表示控制输入在三轴方向上的分量，假设领航者航天器的控制输入为零，即u0x＝u0y＝u0z＝0；
将式(1)化作如下所示的状态空间方程：
Figure FDA0003390810210000013
式中，
Figure FDA0003390810210000021
定义领航者航天器与第i个跟随者航天器间的跟踪误差变量
Figure FDA0003390810210000022
则可以得到如下全局误差变量：
Figure FDA0003390810210000023
式中，
Figure FDA0003390810210000024
1N＝[1,1,...,1]T表示元素均为1的N维列向量，I6表示6阶单位矩阵，
Figure FDA0003390810210000025
表示克罗内克乘积；此外，
Figure FDA0003390810210000026
表示通信拓扑图对应的拉普拉斯矩阵，且有
Figure FDA0003390810210000027
和lij＝-aij，其中aij表示航天器之间的相对状态保持增益，当第j个航天器能够向第i个航天器传输信息时，aij＝1，否则aij＝0；对式(4)求导，可以得到如下跟踪误差系统方程：
Figure FDA0003390810210000028
式中，
Figure FDA0003390810210000029
3.根据权利要求1所述的一种多航天器轨道分布式协同跟踪最优控制方法，其特征在于步骤2所述的分布式协同跟踪控制器：
Figure FDA00033908102100000210
式中，矩阵K表示控制器参数；设计控制器参数K＝R-1BTP，其中正定矩阵P为如下代数黎卡提方程的解：
PA+ATP+Q-PBR-1BTP＝0, (7)
式中，Q≥0，R＞0；
选取李雅普诺夫函数为
Figure FDA00033908102100000211
则利用李雅普诺夫稳定性理论可以证明，式(6)所设计出的控制器能够保证系统(5)渐进稳定；
选取目标函数
Figure FDA0003390810210000039
其中
Figure FDA0003390810210000031
利用最优控制理论可以证明，式(6)所设计出的控制器能够保证系统(5)的如下性能指标最优：
Figure FDA0003390810210000032
4.根据权利要求1所述的一种多航天器轨道分布式协同跟踪最优控制方法，其特征在于步骤3所述的初值条件计算过程如下：
根据式(1)，可以得到领航者航天器与参考点之间的相对轨道模型如下：
Figure FDA0003390810210000033
对式(9)中的微分方程组进行求解，得到如下结果：
Figure FDA0003390810210000034
式中，p0x(0)、p0y(0)、p0z(0)表示领航者航天器与参考点之间的三轴相对位置初值，
Figure FDA0003390810210000035
表示领航者航天器与参考点之间的三轴相对速度初值；式(10)中的第二个等式中含有漂移项
Figure FDA0003390810210000036
因此，初值条件须满足
Figure FDA0003390810210000037
才能够消除漂移项，使航天器进行周期运动；将
Figure FDA0003390810210000038
代入到式(10)中可得
Figure FDA0003390810210000041
式中，
Figure FDA0003390810210000042
Figure FDA0003390810210000043
根据式(11)可知，领航者航天器与参考点之间相对运动轨迹为椭圆形；若要使椭圆形的中心位于参考点处，即d0＝0，则初值条件须满足
Figure FDA0003390810210000044
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