CN114218658B - 一种适用于锚索框架结构的内力变形解析计算方法 - Google Patents

一种适用于锚索框架结构的内力变形解析计算方法 Download PDF

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Abstract

一种适用于锚索框架结构的内力变形解析计算方法，包括：(1)弹性地基上加筋梁理论解析解推导：依据殷建华解析解法，推导弹性地基上加筋Timoshenko梁的理论解析解；(2)锚索框格梁内力与变形计算：①多跨连续梁承受荷载计算，②钢筋混凝土梁上、下两侧配筋刚度计算。

Description

一种适用于锚索框架结构的内力变形解析计算方法
技术领域
本发明涉及边坡防护技术领域，具体涉及一种适用于锚索框架结构的内力变形解析计算方法。
背景技术
传统解析计算方法采用Winkler弹性地基梁理论模型，所得计算结果与实测结果趋势一致，但计算精度仍存在明显差异。究其原因，目前基于Winkler弹性地基梁的解析算法存在两个和实际不一致、需要进一步改进的地方：一是所采用的梁模型多为Euler-Bernoulli梁，不能考虑剪切变形将引起梁的附加挠度，而非能考虑剪切变形影响，且更符合实际的Timoshenko梁；二是梁的刚度计算中未考虑实际钢筋混凝土梁内的拉、压双层钢筋配筋影响。
传统解析计算方法采用Winkler弹性地基梁理论模型，所得计算结果与实测结果趋势一致。对于Winkler地基上Euler梁，已有大量的解析解和数值解。对于Winkler弹性地基上Timoshenko梁，相关学者采用各自的方法，建立了解析解和数值解。如殷建华建立了Winkler弹性地基上考虑受拉钢筋影响的Timoshenko梁受集中或分布荷载后的内力和变形解析解，该解未考虑梁内上层受压钢筋的影响，且未考虑梁在多处受力的情况。
目前基于Winkler弹性地基梁的解析算法存在两个和实际不一致、需要进一步改进的地方：一是所采用的梁模型多为Euler-Bernoulli梁，不能考虑剪切变形将引起梁的附加挠度，而非能考虑剪切变形影响，且更符合实际的Timoshenko梁；二是梁的刚度计算中未考虑实际钢筋混凝土梁内的拉、压双层钢筋配筋影响。
发明内容
为解决上述问题，本发明提供了一种适用于锚索框架结构的内力变形解析计算方法。
本发明采用如下的技术方案实现：
(1)弹性地基上加筋梁理论解析解推导：依据殷建华解析解法，推导弹性地基上加筋Timoshenko梁的理论解析解；
(2)锚索框格梁内力与变形计算：①多跨连续梁承受荷载计算，②钢筋混凝土梁上、下两侧配筋刚度计算。
附图说明
图1是本发明的加筋Timoshenko梁受力示意图；
图2是本发明的m跨连续梁荷载分布图；
图3是本发明的m跨连续梁荷载分布简化图；
图4是本发明的框格梁配筋示意图；
图5是本发明的配筋梁纵截面示意图；
图6是本发明的配筋梁横截面示意图。
具体实施方式
为使本发明的目的、技术方案和优点更加清楚明了，下面结合具体实施方式并参照附图，对本发明进一步详细说明。应该理解，这些描述只是示例性的，而并非要限制本发明的范围。此外，在以下说明中，省略了对公知结构和技术的描述，以避免不必要地混淆本发明的概念。
基于理论推导，考虑多个锚固力作用与梁体上下两侧受压、拉纵向配筋的影响，推导出Winkler弹性地基上Timoshenko梁理论解。
(1)弹性地基上加筋梁理论解析解推导
依据殷建华解析解法，推导弹性地基上加筋Timoshenko梁的理论解析解。其受力形式如图1(a)所示，取出其中一单元受力如图1(b)所示。
根据梁单元体受力平衡建立等式，得到外荷载与内力、转角之间的关系表示如下。
Figure BDA0003446914100000031
式中：M为梁的弯矩；Q为梁的剪力；q为梁上荷载；C、D分别为梁剪切刚度与梁弯曲刚度参数；ω为梁的沉降，ψ为梁的转角；ks为梁底地基弹性系数。
将式(1)中公式合并整理得：
Figure BDA0003446914100000032
将式(2)中公式合并整理，得到Winkler弹性地基上Timoshenko梁的挠曲微分方程：
Figure BDA0003446914100000033
外荷载q为任意形式荷载，可将q表示为沿梁x方向上的函数：
q＝f(x)，(0<x<L) (4)
式中：L为梁的总长度。
将荷载f(x)做傅里叶余弦级数变换：
Figure BDA0003446914100000041
其中：
Figure BDA0003446914100000042
将(6)式中外荷载的傅里叶余弦级数表达式代入(3)式可得到：
Figure BDA0003446914100000043
若已知参数C、D，即可求解此非齐次四阶微分方程，得到梁的内力与变形通解：
Figure BDA0003446914100000044
Figure BDA0003446914100000045
Figure BDA0003446914100000046
Figure BDA0003446914100000047
式中：C,D,α,β,an,c1～c16均为计算参数，具体求解方法参考殷建华。由以上求解过程可求得在外荷载q作用下Winkler弹性地基上加筋Timoshenko梁的沉降、转角、弯矩、剪力值。
(2)锚索框格梁内力与变形计算
根据(1)提出的解析计算方法，将其应用于锚索框格梁内力与变形计算。
①多跨连续梁承受荷载计算
针对承受多个锚固力作用的框格梁，将任意荷载表示为延梁长的分段函数,连续梁受力情况如如图2所示。
荷载的分段函数表达形式如下：
Figure BDA0003446914100000051
式中：m为连续梁作用的荷载个数；lm为第m个荷载与第m-1个荷载之间的距离；Bm为第m个荷载的分布宽度。
将得到的荷载表达式(12)代入式(6)，即可求得任意荷载作用在多跨连续梁上的内力以及位移。
在边坡加固工程中，框格梁通常采用张拉预应力锚索或锚杆的形式，在横、纵梁交叉节点处对梁体施加锚固力，所有锚索的设计锚固力是相同的。结合实际工程情况，可将锚固荷载做进一步简化，如图3所示。
简化后的荷载表达式为：
Figure BDA0003446914100000052
将式(13)回代到式(6)可得到：
Figure BDA0003446914100000053
Figure BDA0003446914100000061
求解式(14)中定积分式，可得工程情况下框格梁锚固荷载表达的一般式：
Figure BDA0003446914100000062
式中：q0为每跨作用的均布荷载；r为均布荷载端部到跨端的距离；B为均布荷载分布宽度。
将简化后的荷载一般式(15)代回原荷载表达式(5)即可求得锚索框格梁的内力、转角与沉降。
②钢筋混凝土梁上、下两侧配筋刚度计算
预应力锚索框格梁在使用过程中，梁的上下两侧均可能出现破坏部位，实际配筋设计如图4所示。弹性地基梁属于超静定梁，在梁的上下两侧均配有纵向钢筋时，会影响梁的弯曲刚度与剪切刚度，进而影响梁内力分布。推导了锚索框格梁在上下两侧均配有纵向钢筋时的内力以及位移表达公式，梁的纵截面示意图如图5。
图4、5中，h为梁的高度，b为宽度；虚线为等分梁高的中线，点划线为梁的中性轴，yc为中线距离中性轴距离；cl1为上侧钢筋的保护层厚度，hg1为上侧钢筋直径；cl2为下侧钢筋的保护层厚度，hg2为下侧钢筋直径。
梁的横截面示意图如图6，由于钢筋截面面积相对混凝土截面极小，为简化公式，计算混凝土应力面积时忽略钢筋影响。根据x方向受力平衡可得出：
∑Fx＝∫AσxdA+T1+T2＝0 (16)
其中：
Figure BDA0003446914100000063
Figure BDA0003446914100000071
Figure BDA0003446914100000072
式中：∑Fx为横截面截面x方向上的合力；σx为横截面上混凝土的应力；T1为上侧钢筋轴力；T2为下侧钢筋轴力；E为素混凝土梁弹性模量，Eg为钢筋弹性模量；n1为上侧钢筋数量，n2为下侧钢筋数量。
简化公式，令：
Figure BDA0003446914100000073
式中：A1、A2分别为上下两侧钢筋截面积。
将式(17)-(20)代入式(16)得：
Figure BDA0003446914100000074
横截面上的弯矩M计算公式为：
Figure BDA0003446914100000075
将式(17)-(20)代入式(22)得：
Figure BDA0003446914100000076
将式(23)与式(1)进行比较可知，双侧加筋梁的弯曲刚度为：
Figure BDA0003446914100000077
双侧加筋梁的剪切刚度与修正系数κ表达如下：
Figure BDA0003446914100000078
其中：
Figure BDA0003446914100000081
式中：Ge为加筋梁剪切模量；G为素混凝土梁剪切模量；A为梁横截面面积；ν为素混凝土梁泊松比；Gg为钢筋剪切模量；Ag为钢筋横截面总面积；νg为钢筋泊松比。
按照上述方法，将双侧加筋梁刚度参数C'、D'以及式(15)中求得的多跨荷载带入到式(7)-(11)中，即可求得上下两侧均配有纵向钢筋的多跨连续弹性地基梁的内力及位移，进而得到锚索框格梁的内力及位移。
应当理解的是，本发明的上述具体实施方式仅仅用于示例性说明或解释本发明的原理，而不构成对本发明的限制。因此，在不偏离本发明的精神和范围的情况下所做的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。此外，本发明所附权利要求旨在涵盖落入所附权利要求范围和边界、或者这种范围和边界的等同形式内的全部变化和修改例。

Claims (1)

1.一种适用于锚索框架结构的内力变形解析计算方法，其特征在于，包括：
(1)弹性地基上加筋梁理论解析解推导：依据殷建华解析解法，推导弹性地基上加筋Timoshenko梁的理论解析解：
根据梁单元体受力平衡建立等式，得到外荷载与内力、转角之间的关系表示如下：
Figure 926129DEST_PATH_IMAGE001
(1)
式中：M为梁的弯矩；Q为梁的剪力；q为梁上荷载；C、D分别为梁剪切刚度与梁弯曲刚度参数；ω为梁的沉降，ψ为梁的转角；ks为梁底地基弹性系数；
将公式（1）合并整理得到如下公式（2）:
Figure 436744DEST_PATH_IMAGE002
(2)
将式(2)中公式合并整理，得到Winkler弹性地基上Timoshenko梁的挠曲微分方程：
Figure 577001DEST_PATH_IMAGE003
(3)
外荷载q为任意形式荷载，可将q表示为沿梁x方向上的函数：
Figure 831265DEST_PATH_IMAGE004
(4)
式中：L为梁的总长度；
将荷载f(x)做傅里叶余弦级数变换：
Figure 758155DEST_PATH_IMAGE005
(5)
其中：
Figure 908514DEST_PATH_IMAGE006
(6)
将(6)式中外荷载的傅里叶余弦级数表达式代入(3)式可得到：
Figure 503443DEST_PATH_IMAGE007
(7)
若已知参数C、D，即可求解此非齐次四阶微分方程，得到梁的内力与变形通解：
Figure 531704DEST_PATH_IMAGE008
(8)
Figure 528479DEST_PATH_IMAGE009
(9)
Figure 584160DEST_PATH_IMAGE010
(10)
Figure 400806DEST_PATH_IMAGE011
(11)
式中：C ,D ,α,β,an ,c1～c16均为计算参数，具体求解方法参考殷建华；由以上求解过程可求得在外荷载q作用下Winkler弹性地基上加筋Timoshenko梁的沉降、转角、弯矩、剪力值；
(2)锚索框格梁内力与变形计算：①多跨连续梁承受荷载计算
荷载的分段函数表达形式如下：
Figure 701600DEST_PATH_IMAGE012
(12)
式中：m为连续梁作用的荷载个数；
Figure 552881DEST_PATH_IMAGE013
为第m+1个荷载与第m个荷载之间的距离；Bm 为第m个荷载的分布宽度；
将得到的荷载表达式(12)代入式(6)，即可求得任意荷载作用在多跨连续梁上的 内力以及位移；
在边坡加固工程中，框格梁采用张拉预应力锚索或锚杆的形式，在横、纵梁交叉节点处对梁体施加锚固力，所有锚索的设计锚固力是相同的；结合实际工程情况，可将锚固荷载做进一步简化，简化后的荷载表达式为：
Figure 576201DEST_PATH_IMAGE014
(13)
将式(13)回代到式(6)可得到：
Figure 381608DEST_PATH_IMAGE015
(14)
求解式(14)中定积分式，可得工程情况下框格梁锚固荷载表达的一般式：
Figure 984628DEST_PATH_IMAGE016
(15)
式中：q0为每跨作用的均布荷载；r为均布荷载端部到跨端的距离；B为均布荷载分布宽度；将简化后的荷载一般式(15)代回原荷载表达式(5)即可求得锚索框格梁的内力、转角与沉降；
②钢筋混凝土梁上、下两侧配筋刚度计算；
预应力锚索框格梁在使用过程中，梁的上下两侧均可能出现破坏部位，弹性地基梁属于超静定梁，在梁的上下两侧均配有纵向钢筋时，会影响梁的弯曲刚度与剪切刚度，进而影响梁内力分布；推导了锚索框格梁在上下两侧均配有纵向钢筋时的内力以及位移表达公式；h为梁的高度，b为宽度； yc为中线距离中性轴距离；cl1为上侧钢筋的保护层厚度，hg1为上侧钢筋直径；cl2为下侧钢筋的保护层厚度，hg2为下侧钢筋直径；由于钢筋截面面积相对混凝土截面极小，为简化公式，计算混凝土应力面积时忽略钢筋影响；根据x方向受力平衡可得出：
Figure 955995DEST_PATH_IMAGE017
(16)
其中：
Figure 114663DEST_PATH_IMAGE018
(17)
Figure 905901DEST_PATH_IMAGE019
(18)
Figure 312612DEST_PATH_IMAGE020
(19)
式中：∑Fx为横截面截面x方向上的合力；σx为横截面上混凝土的应力；T1为上侧钢筋轴力；T2为下侧钢筋轴力；E为素混凝土梁弹性模量，Eg为钢筋弹性模量；n1为上侧钢筋数量，n2为下侧钢筋数量；
简化公式，令：
Figure 138485DEST_PATH_IMAGE021
(20)
式中：
Figure 473914DEST_PATH_IMAGE022
、
Figure 752449DEST_PATH_IMAGE023
分别为上下两侧钢筋截面积；
将式(17)-(20)代入式(16)得：
Figure 697271DEST_PATH_IMAGE024
(21)
横截面上的弯矩
Figure 112072DEST_PATH_IMAGE025
计算公式为：
Figure 149560DEST_PATH_IMAGE026
(22)
将式(17)-(20)代入式(22)得：
Figure 180970DEST_PATH_IMAGE027
(23)
将式（23）与式（1）进行比较可知，双侧加筋梁的弯曲刚度为：
Figure 663904DEST_PATH_IMAGE028
(24)
双侧加筋梁的剪切刚度与修正系数
Figure 965835DEST_PATH_IMAGE029
表达如下：
Figure 141601DEST_PATH_IMAGE030
(25)
其中：
Figure 394728DEST_PATH_IMAGE031
(26)
式中：Ge为加筋梁剪切模量；G为素混凝土梁剪切模量；A为梁横截面面积；ν为素混 凝土梁泊松比；Gg为钢筋剪切模量；Ag为钢筋横截面总面积；νg为钢筋泊松比；按照上述方法，将双侧加筋梁刚度参数C '、D '以及式(15)中求得的多跨荷载带入 到式(7)-(11)中，即可求得上下两侧均配有纵向钢筋的多跨连续弹性地基梁的内力及位移，进而得到锚索框格梁的内力及位移。
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