CN104573214A - 一种多层加筋垫层内部土工格栅拉力计算方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供一种多层加筋垫层内部土工格栅拉力计算方法，先判定桩网复合地基平面布置参数，之后确定加筋垫层表面位置处的等效线性分布荷载；然后确定加筋垫层等效复合板结构的截面参数；再根据弹性地基梁解析方法，由变形协调边界条件，确定加筋垫层变形方程和内力方程；根据加筋垫层变形方程和内力方程，计算路堤填土沉降变形引起的土工格栅拉力；根据路堤填土横向滑动极限状态时内力平衡方程，计算路堤横向滑动引起的土工格栅拉力；最后将路堤填土沉降变形和横向滑动引起的土工格栅拉力叠加，得到所需土工格栅拉力参数。本计算方法在桩网复合地基桩顶垫层铺设多层土工格栅情形下，能高精度计算垫层内每一层土工格栅拉力参数。

Description

一种多层加筋垫层内部土工格栅拉力计算方法

技术领域

本发明属于岩土工程学科中的路基设计计算领域，尤其是涉及一种多层加筋垫层内部土工格栅拉力计算方法。

背景技术

桩网复合地基作为一种软弱地基处理措施，具有沉降变形小、变形稳定历时短、施工质量易控、经济性好的优点，被广泛应用于软土地区的路基加固工程。为有效均化上部填土荷载，减少桩帽边缘位置的应力集中，提高复合地基承载力，减小复合地基总体沉降量，桩网复合地基桩顶位置一般铺设一定厚度的加筋垫层。因而，多层加筋垫层结构也被广泛应用于建筑基础及路基加固工程。加筋垫层由大粒径散粒体(砂石、碎石、中粗砂等)及土工格栅两部分组成，其中散粒体粗粒料仅能承受压应力作用，而柔性的土工格栅只能承担拉应力，故两者间的共同作用也是构成多层加筋垫层结构正常工作的核心。必须指出的是，土工格栅拉力计算计算结果直接决定了垫层中需要铺设的土工格栅层数和其力学性能指标的选择，多层加筋垫层中土工格栅铺设工艺的确定必须基于相对准确的土工格栅拉力计算结果，因此，垫层内部土工格栅拉力的准确计算也多层加筋垫层设计的核心内容之一。

现在最常使用的土工格栅拉力计算方法，主要基于土拱理论和张力膜理论，先后也有不同的土拱模型被提出，如Trench模型、二维或三维棱锥模型、半球冠模型等，但这些模型均只能用于分析计算铺设单层土工格栅情形。此外，在土工格栅拉力计算中，现有土工格栅拉力计算方法大多忽略土工格栅下部地基反力作用，假定单层土工格栅在路堤填土荷载作用下变形后是形状为抛物线或悬链线，根据最终据土工格栅长期承载所允许的最大应变εmax来确定土工格栅变形稳定后的形状参数和对应的土工格栅拉力。

然而，上述已存在的加筋垫层中土工格栅拉力计算方法，计算得到的单层土工格栅拉力存在较大误差：即假定土工格栅下方为空穴，忽略地基反力对土工格栅承载及变形控制的有利影响；同时也无法考虑垫层中铺设多层土工格栅情形下，每一层土工格栅拉力的相对大小。此外，现有土工格栅拉力计算方法通过假定土工格栅长期应变εmax(4％～6％)方法计算土工格栅拉力，显然没有考虑路堤填土荷载和地基反力等因素对土工格栅长期应变的影响，仅是理论上的土工格栅拉力最大值。因而，目前忽略地基反力影响、假定土工格栅最大拉应变并只能进行单层铺设情形下的土工格栅拉力计算方法，直接导致加筋垫层中土工格栅铺设的工艺参数和力学性能参数的优化选择存在较大的盲目性。

将多层加筋垫层等效为复合板结构后，等效复合板结构本身将具有一定的刚度，其变形后也将使得土工格栅下部地基土体由于变形协调作用受压后表现出地基反力作用；因此，可以根据弹性地基梁理论模型进行多层加筋垫层等效复合板的变形及内力大小的计算，有效避免现有土工格栅拉力计算方法中忽略土工格栅下部地基反力作用的缺陷。为解决多层加筋垫层中土工格栅拉力计算问题，考虑到加筋垫层内部散粒体和土工格栅的共同承载作用，将多层加筋垫层等效为可以承受弯矩和剪力作用的复合板结构，根据等效复合板结构表面线性分布荷载和地基反力作用下的变形协调条件以及内、外力平衡条件，得到多层加筋垫层等效复合板的变形方程和内力方程，进而得到多层加筋垫层中每一层土工格栅拉力在板跨范围内的横向分布方程。

此外，垫层中多层铺设的土工格栅拉力相对大小与其铺设位置有关，底层土工格栅拉力最大，每一层土工格栅拉力不可能完全相同。因而，根据加筋垫层等效复合板不同位置处的弯矩计算每一层土工格栅拉力相对大小(路堤填土沉降变形引起的土工格栅拉力第一分量)，是一种能够反映出每一层土工格栅拉力差异化特征的有效方法。与此同时，根据多层加筋垫层等效为复合板结构弹性地基梁模型的解析解答，可得到复合板剪力分布参数，但加筋垫层中散粒体本身不能承受竖向剪力作用，垫层截面上剪力应由土工格栅拉力在竖直方向上的分力提供。因此，可以根据等效复合板剪力分布方程和复合板变形曲线方程，确定垫层截面剪力引起的土工格栅拉力第二分量。

因此，多层加筋垫层内部土工格栅拉力计算是桩网复合地基桩顶加筋垫层设计的重点内容，而现有土工格栅拉力计算方法只能进行单层土工格栅拉力计算并且忽略格栅下部地基反力的影响，导致最终的土工格栅拉力计算参数存在很大误差，工程设计计算中难以采用。

发明内容

本发明要解决的问题是提供一种多层加筋垫层内部土工格栅拉力计算方法，在桩网复合地基桩顶垫层铺设多层土工格栅情形下，能高精度的计算垫层内部每一层土工格栅拉力参数。

为解决上述技术问题，本发明采用的技术方案是：一种多层加筋垫层内部土工格栅拉力计算方法，包括如下步骤：

①首先判定桩网复合地基平面布置参数，确定加筋垫层表面位置处的等效线性分布荷载；

②确定加筋垫层等效复合板结构的截面参数；

③根据弹性地基梁解析方法，由变形协调边界条件，确定加筋垫层变形方程和内力方程；

④根据加筋垫层变形方程和内力方程，计算路堤填土沉降变形引起的土工格栅拉力；

⑤根据路堤填土横向滑动极限状态下的内力平衡方程，按多层土工格栅拉力平均分配原则计算路堤横向滑动引起的土工格栅拉力；

⑥将路堤填土沉降变形和横向滑动引起的土工格栅拉力叠加，得到所需土工格栅拉力参数。

进一步，步骤①中，在正方形和三角形布桩情形下，加筋垫层荷载传递区均为三角形区域，加筋垫层表面荷载最终等效为对称梯形分布线性荷载。

进一步，步骤②中，将多层加筋垫层等效为复合板结构时，正方形布桩情况下，桩或桩帽按面积相等原则等效为正方形截面，桩或桩帽间加筋垫层的荷载传递区域为1/2桩顶平面正方形区域；三角形布桩情形下，桩或桩帽按面积相等原则等效为正六边形截面，桩或桩帽间加筋垫层承担荷载区域为2/3桩顶平面三角形区域。

进一步，步骤③中，确定加筋垫层变形方程和内力方程时，其边界条件为：加筋垫层两端铰支，且铰支点位移和弯矩均为零。

进一步，步骤④中，路堤填土沉降变形引起的土工格栅拉力包括加筋垫层截面弯矩引起的土工格栅拉力第一分量和垫层截面剪力引起的土工格栅拉力第二分量两部分；并且弯矩方程计算土工格栅拉力时，加筋垫层截面保持为平截面，土工格栅拉力与铺设位置相关，剪力方程计算土工格栅拉力时，多层土工格栅拉力平均分配。

进一步，步骤⑤中，确定路堤横向滑动产生的土工格栅拉力时，仅考虑最上层土工格栅上表面和最底层土工格栅下表面两个接触面上的侧摩阻力。

本发明具有的优点和积极效果是：多层加筋垫层表面等效荷载的简化处理方式，充分考虑了桩网复合地基桩体平面布置方式对多层加筋垫层表面等效线性分布荷载相对大小的影响，提高加筋垫层表面分布荷载确定结果的可靠性。此外，本发明在土工格栅拉力计算中，采用弹性地基梁模型解析算法计算垫层中铺设的每一层土工格栅拉力，相较于传统土工格栅拉力计算方法只能用于单层土工格栅铺设情况具有极大进步，同时考虑加筋垫层下部地基土体反力对多层加筋垫层等效复合板变形的影响，使得加筋垫层内部土工格栅拉力参数计算结果更为接近于其真实值，防止传统的“空穴”假定和忽略地基反力假定等引起的土工格栅拉力参数计算结果的失真。因此，本发明可有效提高多层加筋垫层内部每一层土工格栅拉力计算结果的合理性、准确性和可靠性，能够应用于多层加筋垫层内部土工格栅拉力的计算。

附图说明

图1是路堤填土桩网复合地基各部分组成结构的示意图；

图2是多层加筋垫层在表面荷载和地基反力共同作用下挠度计算简图；

图3是正方形布桩情形下桩间加筋垫层表面荷载转移区域的示意图；

图4是三角形布桩情形下桩间加筋垫层表面荷载转移区域的示意图；

图5是铺设单层土工格栅的加筋垫层等效复合板截面受压区压应力和土工格栅拉应力的示意图；

图6是铺设双层土工格栅的加筋垫层等效复合板截面受压区压应力和土工格栅拉应力的示意图；

图7是铺设三层土工格栅的加筋垫层等效复合板截面受压区压应力和土工格栅拉应力的示意图；

图8是铺设单层土工格栅的加筋垫层等效复合板受压区压应变和土工格栅拉应变的示意图；

图9是铺设双层土工格栅的加筋垫层等效复合板受压区压应变和土工格栅拉应变的示意图；

图10是铺设三层土工格栅的加筋垫层等效复合板受压区压应变和土工格栅拉应变的示意图；

图11是多层加筋垫层等效复合板微段竖向力平衡的示意图；

图12是多层加筋垫层不同位置处截面剪力引起的土工格栅拉力第二分量计算示意图。

图13是路堤填土横向滑动引起的加筋垫层内部土工格栅拉力计算简图；

图14是正方形布桩情形下，铺设单层、双层以及三层土工格栅的多层加筋垫层挠度y(x)曲线图；

图15是三角形布桩情形下，铺设单层、双层以及三层土工格栅的多层加筋垫层挠度y(x)曲线图；

图16是正方形布桩情形下，铺设单层、双层以及三层土工格栅的多层加筋垫层截面弯矩M(x)分布曲线图；

图17是三角形布桩情形下，铺设单层、双层以及三层土工格栅的多层加筋垫层截面弯矩M(x)分布曲线图；

图18是正方形布桩情形下，铺设单层、双层以及三层土工格栅的多层加筋垫层截面剪力V(x)分布曲线图；

图19是三角形布桩情形下，铺设单层、双层以及三层土工格栅的多层加筋垫层截面剪力V(x)分布曲线图；

图20是正方形布桩情形，铺设单层、双层及三层土工格栅的多层加筋垫层内部，由截面弯矩M(x)引起的土工格栅拉力第一分量Tn′(x)分布曲线图；

图21是三角形布桩情形，铺设单层、双层及三层土工格栅的多层加筋垫层内部，由截面弯矩M(x)引起的土工格栅拉力第一分量Tn′(x)分布曲线图；

图22是正方形布桩情形下，铺设单层、双层以及三层土工格栅的多层加筋垫层内部，由路堤填土沉降变形引起的土工格栅拉力Tn(x)分布曲线图；

图23是三角形布桩情形下，铺设单层、双层以及三层土工格栅的多层加筋垫层内部，由路堤填土沉降变形引起的土工格栅拉力Tn(x)分布曲线图；

图24是正方形布桩情形下，铺设单层、双层以及三层土工格栅的多层加筋垫层内部，由路堤填土沉降变形和横向滑动共同引起的土工格栅总拉力Tmax(x)分布曲线图；

图25是三角形布桩情形下，铺设单层、双层以及三层土工格栅的多层加筋垫层内部，由路堤填土沉降变形和横向滑动共同引起的土工格栅总拉力Tmax(x)分布曲线图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明的具体实施例做详细说明。

一种多层加筋垫层内部土工格栅拉力计算方法，包括如下步骤：

①首先判定桩网复合地基平面布置参数，确定加筋垫层表面位置处的等效线性分布荷载；

②确定加筋垫层等效复合板结构的截面参数；

③根据弹性地基梁解析方法，由变形协调边界条件，确定加筋垫层变形方程和内力方程；

④根据加筋垫层变形方程和内力方程，计算路堤填土沉降变形引起的土工格栅拉力；

⑤根据路堤填土横向滑动极限状态下的内力平衡方程，按多层土工格栅拉力平均分配原则计算路堤横向滑动引起的土工格栅拉力；

⑥将路堤填土沉降变形和横向滑动引起的土工格栅拉力叠加，得到所需土工格栅拉力参数。

步骤①中，在正方形和三角形布桩情形下，加筋垫层荷载传递区均为三角形区域，加筋垫层表面荷载最终等效为对称梯形分布线性荷载。实际上，根据桩网复合地基平面布置参数采用不同方法对土工格栅加筋垫层表面荷载进行线性化等效处理，可有效提高加筋垫层表面位置处等效荷载的计算精度，为加筋垫层复合板的变形、内力及内部土工格栅拉力参数计算奠定基础。

根据本发明前述加筋垫层表面位置处线荷载等效方法的确定步骤，由桩网复合地基中的桩体平面布置方式，具体进行正方形和三角形两种布桩方式下的多层加筋垫层表面荷载计算。特别强调的是，加筋垫层表面线荷载是通过荷载传递区域的面荷载在多层垫层复合板宽度范围内的等效确定，可由路堤填土土拱效应分析模型(规范规定的各种用于桩土应力计算的土拱模型)进行计算，并包含加筋垫层本身的自重荷载。由此，在步骤②中，将多层加筋垫层等效为复合板结构时，正方形布桩情况下，桩或桩帽按面积相等原则等效为正方形截面，桩或桩帽间加筋垫层的荷载传递区域为1/2桩顶平面正方形区域；三角形布桩情形下，桩或桩帽按面积相等原则等效为正六边形截面，桩或桩帽间加筋垫层承担荷载区域为2/3桩顶平面三角形区域。

根据前述的多层加筋垫层等效复合板结构的弹性地基梁解析方法，首先将多层加筋垫层等效为具有一定刚度的复合板结构。正方形布桩条件下，等效复合板宽度与正方形桩体或桩帽截面的边长相等；三角形布桩条件下，等效复合板宽度与对应的正六边形桩体或桩帽截面边长相等。

之后，多层加筋垫层等效复合板结构按弹性地基梁模型进行变形和内力的解析计算时，边界条件为两端铰支，铰支点位移和弯矩均为零；垫层下部地基为Winkler弹性地基，根据等效复合板中性轴变形后曲线的曲率方程以及内弯矩平衡微分方程进行等效复合板挠度方程求解。

然后，根据解出的多层加筋垫层等效复合板挠度方程，由多层加筋垫层等效复合板变形协调条件及内力平衡条件，依次得到多层加筋垫层等效复合板结构的转角方程，弯矩方程以及剪力方程。此外，必须说明的是，多层加筋垫层等效复合板截面参数确定中，垫层中散粒体仅能承担压应力作用，土工格栅仅能承担拉应力作用，根据等效复合板结构任一截面内的内外弯矩平衡条件，在等效复合板受压区的压应变和土工格栅产生的拉应变满足平截面假定条件下，最终完成步骤②中多层加筋垫层等效复合板的截面参数(受压区和受拉区范围，截面惯性矩等参数)计算。

步骤③中，确定加筋垫层变形方程和内力方程时，其边界条件为：加筋垫层两端铰支，且铰支点位移和弯矩均为零。

需要说明的是，将多层加筋垫层等效为复合板结构后，采用弹性地基梁理论模型进行多层加筋垫层等效复合板结构的变形及内力求解，根据加筋垫层等效复合板在表面荷载和土工格栅下部地基反力共同作用下的变形曲线及内力曲线，可得到铺设多层土工格栅情形下的每一层土工格栅拉力参数分布方程。

其中，步骤③中的加筋垫层变形方程包括挠度方程和转角方程。

其中，步骤③中的所述内力方程包括弯矩方程和剪力方程。

步骤④中，路堤填土沉降变形引起的土工格栅拉力包括加筋垫层截面弯矩引起的土工格栅拉力第一分量和垫层截面剪力引起的土工格栅拉力第二分量两部分；并且弯矩方程计算土工格栅拉力时，加筋垫层截面保持为平截面，土工格栅拉力与铺设位置相关，剪力方程计算土工格栅拉力时，多层土工格栅拉力平均分配。经过此过程的综合处理，可有效消除单层土工格栅拉力计算过程中存在的缺陷，也可考虑土工格栅下部地基反力对加筋垫层等效复合板变形和内力发展的影响，较高精度的得到多层加筋垫层内部每一层土工格栅的拉力计算参数。

步骤⑤中，确定路堤横向滑动产生的土工格栅拉力时，仅考虑最上层土工格栅上表面和最底层土工格栅下表面两个接触面上的侧摩阻力。

需要说明的是，考虑路堤填土横向滑动产生的土工格栅拉力作用，但在垫层散粒体与土工格栅接触面上侧摩阻力计算过程中，无论铺设单层还是多层土工格栅，仅考虑最上层土工格栅上表面接触面位置和最底层土工格栅下表面接触面位置处的侧摩阻力；此处理方式不仅有效考虑了垫层散粒体与土工格栅接触面上的侧摩阻力对限制路堤填土横向滑动的有利影响，同时避免垫层散粒体与多层土工格栅接触面所能提供侧摩阻力能力的过高估计，相对准确的计算多层加筋垫层内部每一层土工格栅的拉力参数。

土工格栅中拉力由两部分组成：一是路堤填土沉降变形引起的土工格栅拉力，二是路堤填土横向滑动引起的土工格栅拉力。其中，路堤填土沉降变形引起的土工格栅拉力仍可细化为两个分量，土工格栅拉力第一分量由等效复合板截面弯矩引起；土工格栅拉力第二分量由等效复合板截面剪力引起。截面弯矩计算土工格栅拉力过程中，等效复合板截面保持为平截面，根据等效复合板截面参数，计算得到的多层加筋垫层中每一层土工格栅拉力与与其铺设位置相关，且最底层土工格栅拉力计算结果最大。并且，根据多层加筋垫层等效复合板任一微段上的竖向力平衡条件，等效复合板截面上剪力由内部土工格栅拉力在竖直方向上的分力提供，由等效复合板剪力方程和转角方程得到路堤填土沉降变形引起的土工格栅拉力第二分量。有必要说明的是，计算等效复合板截面剪力引起的土工格栅拉力的过程中，当垫层内部铺设多层土工格栅时，每一层土工格栅拉力平均分配，区别于截面弯矩引起的土工格栅拉力第一分量计算方法。

由桩网复合地基平面布置参数选用与之对应的多层加筋垫层表面荷载等效简化方法(正方形布桩和三角形布桩形式)，得到多层加筋垫层等效复合板表面位置处的线性分布荷载。根据多层加筋垫层复合板两端铰支边界条件，采用弹性地基梁模型解析解答依次得到多层加筋垫层等效复合板的挠度方程、转角方程、弯矩方程和剪力方程。根据多层加筋垫层在弯矩作用下的受压区散粒体和受拉区土工格栅共同承载的等效复合板截面特点，确定多层加筋垫层等效复合板的截面参数(惯性矩)，由等效复合板截面弯矩分布方程，得到由路堤填土沉降变形引起的且其相对大小与土工格栅铺设位置相关的土工格栅拉力第一分量；根据多层加筋垫层复合板截面的剪力方程和转角方程，亦可以得到路堤填土沉降变形引起的且其相对大小与铺设位置无关的土工格栅拉力第二分量。

此外，路堤填土横向滑动引起的土工格栅拉力计算中，考虑最上层土工格栅上表面和最底层土工格栅下表面两个接触面位置处，垫层土体与土工格栅间摩阻力的有利影响。最后，将路堤填土沉降变形引起的土工格栅拉力与路堤填土横向滑动引起的土工格栅拉力叠加，得到最终的多层加筋垫层内部每一层土工格栅拉力分布参数。

根据本发明在多层加筋垫层表面等效荷载的简化处理方式，充分考虑了桩网复合地基桩体平面布置方式对多层加筋垫层表面等效线性分布荷载相对大小的影响，提高加筋垫层表面分布荷载确定结果的可靠性。此外，本发明在土工格栅拉力计算中，采用弹性地基梁模型解析算法计算垫层中铺设的每一层土工格栅拉力，相较于传统土工格栅拉力计算方法只能用于单层土工格栅铺设情况具有极大进步，同时考虑加筋垫层下部地基土体反力对多层加筋垫层等效复合板变形的影响，使得加筋垫层内部土工格栅拉力参数计算结果更为接近于其真实值，防止传统的“空穴”假定和忽略地基反力假定等引起的土工格栅拉力参数计算结果的失真。因此，本发明一种多层加筋垫层内部土工格栅拉力计算方法可有效提高多层加筋垫层内部每一层土工格栅拉力计算结果的合理性、准确性和可靠性，能够应用于多层加筋垫层内部土工格栅拉力的计算，具有较高的创新性。

本技术方案具体计算过程如下：

1.多层加筋垫层等效复合板表面荷载q(x)确定。

图1是路堤填土桩网复合地基各部分组成结构的示意图，其中，1代表桩网复合地基上部的路堤填土，2是铺设在刚性桩体3或桩帽4(桩顶设置桩帽情形)顶部的多层加筋垫层。为提高多层加筋垫层的整体工作性能，垫层内部铺设单层或多层土工格栅5，当加筋垫层2中铺设多层土工格栅时，5a表示第一层土工格栅(最底层)，5b表示第二层土工格栅(中间层)，5c表示第三层土工格栅(最上层)，各层土工格栅之间的距离均相同。图2是表示多层加筋垫层在表面荷载和地基反力共同作用下的挠度计算简图，在路堤填土1的自重荷载作用下，桩网复合地基工作过程中，多层加筋垫层2将发生沉降变形，其下部桩间地基土6在弹性工作状态下将产生地基反力作用，上部路堤填土自重荷载和下部桩间地基土反力的共同作用决定了多层加筋垫层2的沉降变形和内部土工格栅拉力发展变化情况。

本实施方式中，为得到多层加筋垫层内部土工格栅拉力参数，首先应确定多层加筋垫层2表面位置处的分布荷载。根据桩网复合地基平面布置方式(正方形或三角形布桩)，确定相邻桩3或桩帽4间多层加筋垫层等效复合板结构7的相邻荷载转移区域8的大小；其中，图3和图4分别是正方形布桩和三角形布桩情形下桩间加筋垫层表面位置荷载转移区域的示意图，多层加筋垫层等效复合板宽度与两端支撑位置处桩3或桩帽4截面边长b或b′相等。必须指出的是，图3中，正方形布桩情形下桩3或桩帽4的截面形式按照面积相等原则均等效为正方形截面；图4中，三角形布桩情形下桩3或桩帽4的截面形式按照面积相等原则均等效为正六边形截面。其中，桩网复合地基为三角形布桩方式时，采用式(1)确定圆形或正方形桩截面形式下的等效正六边形的边长b′。

式(1)中，b′为等效正六边形的边长；d为圆形截面桩体或桩帽的直径；b矩形为正方形截面桩体或桩帽的边长。

本实施方式中，根据图3和图4中正方形和三角形布桩情形下相邻桩3或桩帽4间多层加筋垫层等效复合板荷载转移区域8的相对大小，分别采用式(2)和式(3)确定两种布桩形式下的多层加筋垫层等效复合板结构2表面位置处宽度范围内的等效线荷载q(x)。

正方形布桩： $q\left(x\right)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{2(s-b){\mathrm{\σ}}_s}{l}x+b{\mathrm{\σ}}_s=\mathrm{Ax}+B,& 0\≤x\≤\frac{l}{2};\\ \frac{2(s-b){\mathrm{\σ}}_s}{l}(l-x)+b{\mathrm{\σ}}_s=A(l-x)+B,& \frac{l}{2}\≤x\≤l;\end{array}\right.---\left(2\right)$

式(2)中，q(x)为多层加筋垫层等效复合板宽度范围内的等效线荷载；σs为加筋垫层表面位置处计算得到的竖向应力；A、B分别为正方形布桩等效荷载常数，A＝2(s-b)σs/l，B＝bσs；s为相邻桩之间距离；l为相邻桩之间净距，l＝s-b；其余符号意义同前

三角形布桩： $q\left(x\right)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{2(s/\sqrt{3}-b^{\′}){\mathrm{\σ}}_s}{l^{\′}}x+b^{\′}{\mathrm{\σ}}_s=A^{\′}x+B^{\′},& 0\≤x\≤\frac{l^{\′}}{2};\\ \frac{2(s/\sqrt{3}-b^{\′}){\mathrm{\σ}}_s}{l^{\′}}(l^{\′}-x)+b^{\′}{\mathrm{\σ}}_s=A^{\′}(l^{\′}-x)+B^{\′},& \frac{l^{\′}}{2}\≤x\≤l^{\′};\end{array}\right.---\left(3\right)$

式(3)中，A′，B′为三角形布桩等效荷载常数，A′＝2(s/30.5-b′)σs/l′，B′＝b′σs；l′为三角形布桩式下相邻桩之间的净距，l′＝s-30.5b′；其余符号意义同前。

2.多层加筋垫层等效复合板截面参数确定。

本实施方式中，多层加筋垫层等效复合板截面在弯矩作用下存在中性轴，中性轴以上截面为受压区，中性轴以下截面为受拉区，但复合板截面仍保持为平截面；其中，图5、图6、图7分别是铺设单层、双层以及三层土工格栅的加筋垫层等效复合板截面受压区压应力和土工格栅拉应力示意图；图8、图9、图10分别是铺设单层、双层以及三层土工格栅的加筋垫层等效复合板受压区压应变和土工格栅拉应变示意图。根据复合板平截面假定，加筋垫层等效复合板截面上的最大压应变、土工格栅拉应变同截面受拉区及受压区相对高度的大小有关；对于图8、图9、图10中铺设不同层数土工格栅情形，由式(4)分别确定受压区最大压应变εm与第一层土工格栅应变εg1间关系，第二层土工格栅拉应变εg2与第一层土工格栅应变εg1间相互关系以及第三层土工格栅拉应变εg3同第一层土工格栅应变εg1间相互关系。多层加筋垫层工作过程中，散体材料和土工格栅均处于线弹性工作阶段，可作为线弹性体；根据垫层散体材料压应变εm与横向压缩模量Em、土工格栅拉应变εg与抗拉刚度Eg，由式(5)确定多层加筋垫层内部不同位置处的最大压应力σm(x)、第二层土工格栅拉力Tn2′(x)及第三层土工格栅拉力Tn3′(x)分别与第一层土工格栅拉力Tn1′(x)之间的相互关系。

$\begin{array}{ccc}\frac{{\mathrm{\ϵ}}_m}{{\mathrm{\ϵ}}_{g1}}=\frac{h_1}{h_2};& \frac{{\mathrm{\ϵ}}_{g2}}{{\mathrm{\ϵ}}_{g1}}=\frac{h_2-\mathrm{\Δh}}{h_2};& \frac{{\mathrm{\ϵ}}_{g3}}{{\mathrm{\ϵ}}_{g1}}=\frac{h_2-2\mathrm{\Δh}}{h_2}\end{array}$

式(4)中，εm为多层加筋垫层受压区最大压应变；εg1、εg2、εg3分别为第一层、第二层及第三层土工格栅的拉应变；h1为加筋垫层等效复合板截面受压区高度；h2为加筋垫层等效复合板截面受拉区高度；h为多层加筋垫层厚度，h＝h1+h2；Δh为相邻土工格栅之间的铺设间距。

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\σ}}_m\left(x\right)={T_{n1}}^{\′}\left(x\right)\frac{h_1}{\mathrm{\β}{h}_{2}b}\\ {T_{n2}}^{\′}\left(x\right)={T_{n1}}^{\′}\left(x\right)\frac{h_2-\mathrm{\Δh}}{h_2}\\ {T_{n3}}^{\′}\left(x\right)={T_{n1}}^{\′}\left(x\right)\frac{h_2-2\mathrm{\Δh}}{h_2}\end{array}\right.---\left(5\right)$

式(5)中，σm(x)为坐标x位置处的加筋垫层截面受压区的最大压应力；Tn1′(x)、Tn2′(x)、Tn3′(x)分别为多层加筋垫层内部由截面弯矩M(x)引起的第一层、第二层及第三层土工格栅拉力；β为土工格栅抗拉刚度Eg与垫层横向压缩模量Em的比值，β＝Eg/Em；n为加筋垫层内部土工格栅铺设层数；其余符号意义同前。

具体实施方式中，根据图5、图6、图7中分别铺设单层、双层以及三层土工格栅的多层加筋垫层等效复合板截面受压区应力和土工格栅拉力计算示意图，等效复合板截面上受压区合力与土工格栅拉力的合力大小相等，式(6)为等效复合板截面上水平力平衡方程。根据式(5)中受压区最大压应力以及各层土工格栅拉力与第一层土工格栅拉力之间的相互关系，联立方程式(5)和式(6)求解，得到多层加筋垫层等效复合板受压区高度h1表达式(7)。由多层加筋垫层厚度h，亦可以进一步由式(8)确定加筋垫层截面受拉区高度h2的相对大小。

$\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{T_{\mathrm{ni}}}^{\′}\left(x\right)=\frac{1}{2}{\mathrm{\σ}}_m\left(x\right)h_{1}b={T_{n1}}^{\′}\left(x\right)\frac{{h_1}^2}{2\mathrm{\β}{h}_2}---\left(6\right)$

式(6)中，Tni′(x)为铺设n层土工格栅的加筋垫层由截面弯矩M(x)引起的第i层土工格栅拉力；其余符号意义同前。

$h_1=\sqrt{n^2{\mathrm{\β}}^2-n(n-1)\mathrm{\β\Δh}+2\mathrm{n\βh}}-\mathrm{n\β}---\left(7\right)$

式(7)中，所有符号意义同前。

$h_2=h+\mathrm{n\β}-\sqrt{n^2{\mathrm{\β}}^2-n(n-1)\mathrm{\β\Δh}+2\mathrm{n\βh}}---\left(8\right)$

式(8)中，所有符号意义同前。

本实施方式中，多层加筋垫层等效复合板结构在截面弯矩M(x)作用下，垫层中散粒体仅能承担压应力作用，忽略加筋垫层受拉区散粒体的抗拉能力，受拉区的拉应力将完全由土工格栅提供。根据多层加筋垫层等效复合板的抗弯承载特点，等效复合板惯性矩可由内外力矩平衡条件确定，采用式(9)计算铺设单层、双层以及三层土工格栅情形下的多层加筋垫层截面等效惯性矩I。

$I=I^{\′}+\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{[h_2-(i-2)\mathrm{\Δh}]}^2\mathrm{\βb}+h_2^2\mathrm{\βb}---\left(9\right)$

式(9)中，I为多层加筋垫层等效复合板截面的惯性矩；I′为截面受压区关于中性轴的惯性矩，I′＝bh13/3；i＝1…n为多层加筋垫层中铺设的每一层土工格栅编号；其余符号意义同前。

3.多层加筋垫层等效复合板结构挠度方程及内力方程求解。

如前所述，根据式(2)和式(3)确定图2中多层加筋垫层等效复合板表面位置处的线荷载q(x)后，考虑垫层下部桩间地基土体6的地基反力作用，参照图11中多层加筋垫层等效复合板中的微段竖向力平衡示意图，取等效复合板微段进行竖向力平衡分析。本实施方式中，根据等效复合板微段竖向力平衡方程和复合板变形曲率与截面弯矩间的对应关系，在图2中坐标系下得到式(10)形式的加筋垫层等效复合板挠度y(x)微分方程式。之后，基于数学物理方程等相关方面的知识，获取弹性地基梁模型的一般性解析解答，得到多层加筋垫层等效复合板结构的挠度微分方程式(10)的解析解表达式(11)。

$E_{m}I\frac{d^{4}y}{{\mathrm{dx}}^4}+k_{s}b\·y\left(x\right)=q\left(x\right)---\left(10\right)$

式(10)中，y(x)为加筋垫层挠度；EmI为多层加筋垫层等效复合板的抗弯刚度；p(x)＝ksy为垫层下部桩间地基土体的地基反力；ks为地基反力系数；其余符号意义同前。

$y\left(x\right)=\left\{\begin{array}{c}{e}^{\mathrm{\λx}}(C_1\cos \mathrm{\λx}+C_2\sin \mathrm{\λx})+e^{-\mathrm{\λx}}(C_3\cos \mathrm{\λx}+C_4\sin \mathrm{\λx})+\frac{\mathrm{Ax}+B}{k_{s}b},0\≤x\≤\frac{l}{2};\\ e^{\mathrm{\λx}}(C_1\cos \mathrm{\λx}+C_2\sin \mathrm{\λx})+e^{-\mathrm{\λx}}(C_3\cos \mathrm{\λx}+C_4\sin \mathrm{\λx})+\frac{A(l-x)+B}{k_{s}b},\frac{l}{2}\≤x\≤l;\end{array}\right.---\left(11\right)$

式(11)中，λ是地基梁模型中综合反映梁土体系统抵抗变形能力的参数，称为柔度系数或特征系数，具体由式(12)进行计算；C1、C2、C3、C4为等效复合板挠度方程y(x)的积分常数，可由等效复合板边界条件确定；其余符号意义同前。

$\mathrm{\λ}=\sqrt[4]{\frac{k_{s}b}{4E_{m}I}}---\left(12\right)$

式(12)中，所有符号意义同前。

本实施方式在确定多层加筋垫层等效复合板挠度方程y(x)之后，根据式(11)中挠度方程y(x)关于横坐标x的一次、二次及三次微分，经一定处理变换后依次得到等效复合板中性轴转角tanθ(x)表达式(13)，等效复合板截面上弯矩M(x)表达式(14)，等效复合板截面上剪力V(x)表达式(15)。

$\left\{\begin{array}{c}\tan \mathrm{\θ}\left(x\right)=\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}={\mathrm{\λe}}^{\mathrm{\λx}}[(C_1+C_2)\cos \mathrm{\λx}+(C_2-C_1)\sin \mathrm{\λx}]+\\ {\mathrm{\λe}}^{-\mathrm{\λx}}[(C_4-C_3)\cos \mathrm{\λx}-(C_4+C_3)\sin \mathrm{\λx}]+\frac{A}{k_{s}b},0\≤x\≤\frac{l}{2};\\ \tan \mathrm{\θ}\left(x\right)=\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}={\mathrm{\λe}}^{\mathrm{\λx}}[(C_1+C_2)\cos \mathrm{\λx}+(C_2-C_1)\sin \mathrm{\λx}]+\\ {\mathrm{\λe}}^{-\mathrm{\λx}}[(C_4-C_3)\cos \mathrm{\λx}-(C_4+C_3)\sin \mathrm{\λx}]-\frac{A}{k_{s}b},\frac{l}{2}\≤x\≤l;\end{array}\right.---\left(13\right)$

式(13)中，tanθ(x)为等效复合板中性轴轴线转角；其余符号意义同前。

$M\left(x\right)=-E_{m}I\frac{d^{2}y}{{\mathrm{dx}}^2}={-E}_{m}I\·2{\mathrm{\λ}}^2[e^{\mathrm{\λx}}(C_2\cos \mathrm{\λx}-C_1\sin \mathrm{\λx})+e^{-\mathrm{\λx}}(-C_4\cos \mathrm{\λx}+C_3\sin \mathrm{\λx})]---\left(14\right)$

式(14)中，M(x)为加筋垫层等效复合板坐标x位置处的截面弯矩；其余符号意义同前。

$V\left(x\right)=-E_{m}I\frac{d^{3}y}{{\mathrm{dx}}^3}=-E_{m}I\·2{\mathrm{\λ}}^3\left\{\begin{array}{c}{e}^{\mathrm{\λx}}[(C_2-C_1)\cos \mathrm{\λx}-(C_1+C_2)\sin \mathrm{\λx}]+\\ e^{-\mathrm{\λx}}[(C_3+C_4)\cos \mathrm{\λx}+(C_4-C_3)\sin \mathrm{\λx}]\end{array}\right\}---\left(15\right)$

式(15)中，V(x)为加筋垫层等效复合板坐标x位置处的截面剪力；其余符号意义同前。

如前所述，图2中的多层加筋垫层等效复合板在桩3或桩帽4支撑位置处假定为铰接支撑，据此可知，加筋垫层等效复合板在支撑边界位置处(横坐标x＝0和x＝l)的挠度y(x)和弯矩M(x)均为零，对应的边界条件表达式为式(16)形式。

$\left\{\begin{array}{c}y\left(0\right)=y\left(l\right)=0\\ M\left(0\right)=M\left(l\right)=0\end{array}\right.---\left(16\right)$

式(16)中，所有符号意义同前。

本实施方式中，将图2中的多层加筋垫层等效复合板边界条件表达式(16)分别代入挠度方程式(11)和弯矩方程式(14)，最终可以解得多层加筋垫层等效复合板挠度方程式(11)中的积分常数C1、C2、C3、C4表达式(17)。

$\left\{\begin{array}{c}{C}_1=D\frac{\cos 2\mathrm{\λl}-e^{-2\mathrm{\λl}}-(e^{\mathrm{\λl}}-e^{-\mathrm{\λl}})\cos \mathrm{\λl}}{e^{2\mathrm{\λl}}+e^{-2\mathrm{\λl}}-2\cos 2\mathrm{\λl}}=D\frac{\cos 2\mathrm{\λl}-e^{-\mathrm{\λl}}-(e^{\mathrm{\λl}}-e^{-\mathrm{\λl}})\cos \mathrm{\λl}}{{(e^{\mathrm{\λl}}+e^{-\mathrm{\λl}})}^2-4{\cos }^2\mathrm{\λl}}\\ C_2=C_4=D\frac{\sin 2\mathrm{\λl}-(e^{\mathrm{\λl}}+e^{-\mathrm{\λl}})\sin \mathrm{\λl}}{e^{2\mathrm{\λl}}+e^{-2\mathrm{\λl}}-\cos 2\mathrm{\λl}}=D\frac{\sin 2\mathrm{\λl}-(e^{\mathrm{\λl}}+e^{-\mathrm{\λl}})\sin \mathrm{\λl}}{{(e^{\mathrm{\λl}}+e^{-\mathrm{\λl}})}^2-4{\cos }^2\mathrm{\λl}}\\ C_3=D\frac{\cos 2\mathrm{\λl}-e^{2\mathrm{\λl}}+(e^{\mathrm{\λl}}-e^{-\mathrm{\λl}})\cos \mathrm{\λl}}{e^{2\mathrm{\λl}}+e^{-2\mathrm{\λl}}-2\cos 2\mathrm{\λl}}=D\frac{\cos 2\mathrm{\λl}-e^{2\mathrm{\λl}}+\left(e^{\mathrm{\λl}}{-e}^{-\mathrm{\λl}}\right)\cos \mathrm{\λl}}{{(e^{\mathrm{\λl}}+e^{-\mathrm{\λl}})}^2-4{\cos }^2\mathrm{\λl}}\end{array}\right.---\left(17\right)$

式(17)中，D为常数，D＝B/ksb；其余符号意义同前。

最后，根据式(17)获得多层加筋垫层等效复合板结构的挠度方程中各项系数C1、C2、C3、C4后，可以最终确定图2坐标系中荷载p(x)作用下的加筋垫层复合板挠度方程，在此基础上由式(13)(14)(15)得到加筋垫层复合板的转角方程、弯矩方程和挠度方程。

4.路堤填土沉降变形引起土工格栅拉力计算。

如前所述，路堤填土沉降变形引起的多层加筋垫层内部土工格栅拉力主要由两部分组成，其中，土工格栅拉力第一分量Tn′(x)由多层加筋垫层等效复合板截面弯矩M(x)进行计算，土工格栅拉力第二分量Tn″(x)由多层加筋垫层等效复合板截面剪力V(x)的竖向分量进行计算。

(1)土工格栅拉力第一分量Tn′(x)计算

对于本实施方式图5、图6、图7中，多层加筋垫层等效复合板截面上受压区垫层散粒体和受拉区土工格栅共同作用产生的内力矩与外力作用弯矩M(x)相互平衡，由内外弯矩平衡条件，可以由式(18)确定铺设单层、双层以及三层土工格栅情形下的内外弯矩平衡方程。

$\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{T}_{\mathrm{ni}}^{\′}\left(x\right)=[h_2-(i-1)\mathrm{\Δh}]+\frac{1}{3}{\mathrm{\σ}}_m{h_1}^{2}b=M\left(x\right)---\left(18\right)$

式(18)中，所有符号意义同前。

并且，前述式(5)已给出铺设多层土工格栅情况下，受压区垫层散粒体的最大压应力σm、第二层土工格栅拉力Tn2′(x)以及第三层土工格栅拉力Tn3′(x)同第一层土工格栅拉力Tn1′(x)间的关系式，将其分别代入式(18)，根据已知的多层加筋垫层截面弯矩M(x)分布方程，由式(19)计算不同土工格栅铺设情形下的每一层土工格栅拉力Tni′(x)，式(19)中符号Tn′(x)代表多层加筋垫层等效复合板截面弯矩M(x)引起的土工格栅拉力第一分量。

$T_n^{\′}\left(x\right)=T_{\mathrm{ni}}^{\′}\left(x\right)=\frac{M\left(x\right)\·[h_2-(n-1)\mathrm{\Δh}]}{\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{[h_2-(i-1)\mathrm{\Δh}]}^2+\frac{{h_1}^3}{3\mathrm{\β}}}---\left(19\right)$

式(19)中，Tn′(x)为铺设n层土工格栅的加筋垫层由截面弯矩M(x)引起的土工格栅拉力第一分量；其余符号意义同前。

值得注意的是，多层加筋垫层等效复合板截面弯矩M(x)确定的每一层土工格栅拉力第一分量Tni′(x)的相对大小与其铺设位置相关，土工格栅与等效复合板中性轴之间距离越小，相应的土工格栅拉应变也将越小，与之对应的土工格栅拉力也会越小；因而不难确定，等效复合板截面弯矩M(x)计算得到的第一层土工格栅拉力Tn1′(x)最大，第一层土工格栅拉力的控制欲计算也将是整个加筋垫层设计计算的重点和核心内容。

(2)土工格栅拉力第二分量Tn″(x)计算

如前所述，路堤填土沉降变形引起的土工格栅拉力第二分量与多层加筋垫层等效复合板截面上剪力V(x)在竖直方向上的分力相等。等效复合板结构受荷变形后，各层土工格栅挠度曲线与等效复合板中性轴挠度曲线相同，可认为铺设多层土工格栅情况下，加筋垫层截面上剪力V(x)引起的每一层土工格栅拉力第二分量均相同。本实施方式中，根据图12中多层加筋垫层不同位置处截面剪力引起的土工格栅拉力第二分量计算示意图，由式(20)计算路堤填土沉降变形引起的土工格栅拉力第二分量Tn″(x)。

$T_n^{\′\′}\left(x\right)=\frac{V\left(x\right)}{n\·\sin \mathrm{\θ}\left(x\right)}=\frac{V\left(x\right)}{n}\·\frac{\sqrt{1+{\tan }^2\mathrm{\θ}\left(x\right)}}{\tan \mathrm{\θ}\left(x\right)}---\left(20\right)$

式(20)中，Tn″(x)为铺设n层土工格栅的加筋垫层由截面剪力V(x)引起的土工格栅拉力第二分量；θ(x)为加筋垫层复合板挠度曲线的切线与x轴间夹角；tanθ(x)为加筋垫层等效复合板挠度曲线的切线斜率，即挠度曲线转角；其余符号意义同前。

(3)路堤填土沉降变形引起的土工格栅总拉力Tn(x)

综合以上所述内容，根据多层加筋垫层等效复合板截面弯矩M(x)引起的土工格栅拉力第一分量和截面剪力V(x)引起的土工格栅拉力第二分量，两者叠加后可以分别得到铺设不同土工格栅层数情形下，路堤填土荷载引起的各层土工格栅总拉力Tn(x)表达式。

$T_n\left(x\right)=T_n^{\′}\left(x\right)+T_n^{\′\′}\left(x\right)=\frac{M\left(x\right)\·[h_2-(n-1)\mathrm{\Δh}]}{\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{[h_2-(i-1)\mathrm{\Δh}]}^2+\frac{{h_1}^3}{3\mathrm{\β}}}+V\left(x\right)\frac{\sqrt{1+{\tan }^2\mathrm{\θ}\left(x\right)}}{n\tan \mathrm{\θ}\left(x\right)}---\left(21\right)$

式(21)中，Tn(x)为路堤填土沉降变形引起的土工格栅拉力；其余符号意义同前。

之后，将多层加筋垫层等效复合板转角方程Tanθ(x)、弯矩方程M(x)和剪力方程V(x)表达式(13)(14)(15)代入式(21)，得到分别铺设单层(n＝1)、双层(n＝2)以及三层(n＝3)土工格栅情形下，由路堤填土沉降变形引起的每一层土工格栅拉力Tn(x)在板跨方向上的分布方程。

5.路堤填土横向滑动引起土工格栅拉力Fn计算。

如前所述，图13为路堤填土横向滑动引起的多层土工格栅筋材拉力Fn计算简图，首先根据Rankin土压力理论参照式(22)确定路堤填土边坡的坡顶截面位置处主动土压力合力Ea；之后，考虑土工格栅和垫层土体之间接触面上的摩阻力f作用，采用式(23)计算路堤填土边坡范围内土工格栅和垫层土体间的侧摩阻力；最后，根据路堤填土横向滑动的极限平衡状态，采用式

(24)计算路堤填土横向滑动引起的多层土工格栅筋材拉力Fn。

$E_a=\frac{1}{2}\mathrm{\γ}{H}^2{K}_a+q_0{K}_{a}H---\left(22\right)$

式(22)中，Ea为引起路堤填土横向滑动的填土体主动土压力合力；γ为路堤填土容重；H为路堤填土高度；Ka为路堤填土主动土压力系数，Ka＝tan2(45°-φ/2)；φ为路堤填土内摩擦角；q0为路堤填土表面位置作用的外荷载；其余符号意义同前。

$f=\frac{1}{2}\mathrm{\γ}{H}^{2}m\tan \mathrm{\δ}\·n_0---\left(23\right)$

式(23)中，f为土工格栅与垫层土体接触面位置处的侧摩阻力；m为路堤边坡坡度；δ为土工格栅与垫层土体间的内摩擦角；n0为垫层中铺设的土工格栅孔隙率，可由实际使用的土拱格栅几何参数进行取值，一般取0.9～0.95；其余符号意义同前。

$F_n=\frac{1}{n}(E_a-2f)=\frac{1}{n}(0.5\mathrm{\γ}{H}^2{K}_a+q_0{K}_{a}H-\mathrm{\γ}{H}^{2}m\tan \mathrm{\δ}\·n_0)---\left(24\right)$

式(24)中，Fn为路堤填土横向滑动引起的土工格栅筋材拉力；其余符号意义同前。

必须说明的是，对于本实施方式，根据图13计算路堤填土横向滑动引起的土工格栅拉力Fn过程中，当垫层内部铺设多层土工格栅时，每一层土工格栅的拉应变均相同，产生的土工格栅拉力亦相等；土工格栅与垫层土体接触面上的摩阻力f计算中，仅考虑土工格栅孔隙内土体产生的侧摩阻力f；此外，对于多层加筋垫层而言(n≥2)，土工格栅之间距离Δh一般较小，相邻土工格栅之间的垫层土体与土工格栅接触面上产生的摩阻力将会出现一定程度的折减，中间垫层土体提供的侧摩阻力也相对有限，但折减的幅度又难以计算，为保证土工格栅抗拉强度能够满足路堤填土横向滑动稳定性的要求，中间垫层土体与相邻土工格栅接触面上的摩阻力将不予考虑。因此，图13路堤填土横向滑动引起的土工格栅拉力Fn计算中，对于铺设任意层数的土工格栅加筋垫层，仅考虑最底层土工格栅下表面和最上层土工格栅上表面两个接触面上的摩阻力f，由式(24)计算土工格栅拉力Fn。

6.多层加筋垫层内部土工格栅拉力Tmax(x)计算。

综合本实施方式中的以上各步骤，确定路堤填土沉降变形引起的土工格栅拉力Tn(x)和路堤填土横向滑动引起的土工格栅拉力Fn后，两部分土工格栅拉力的叠加即可按照式(25)计算，得到正常工作中的多层加筋垫层内部土工格栅拉力可能达到的最大值Tmax(x)。

$\begin{array}{c}{T}_{\max }\left(x\right)=T_n\left(x\right)+F_n=\frac{M\left(x\right)\·[h_2-(n-1)\mathrm{\Δh}]}{\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{[h_2-(i-1)\mathrm{\Δh}]}^2+\frac{{h_1}^3}{3\mathrm{\β}}}+V\left(x\right)\frac{\sqrt{1+{\tan }^2\mathrm{\θ}\left(x\right)}}{n\tan \mathrm{\θ}\left(x\right)}+\\ \frac{1}{n}(\frac{1}{2}{\mathrm{\γH}}^2{K}_a+q_0{K}_{a}H-\mathrm{\γ}{H}^{2}m\tan \mathrm{\δ}\·n_0)\end{array}---\left(25\right)$

式(25)中，Tmax(x)为多层加筋垫层内部土工格栅的最终拉力参数；其余符号意义同前。

本实施方式中，对于多层加筋垫层的设计计算，当土工格栅拉力计算结果超过铺设土工格栅所能提供的格栅拉力时，可通过调整土工格栅垫层厚度h或者土工格栅铺设层数n与抗拉性能参数Eg，保证垫层中铺设的每一层土工格栅能够满足对其抗拉强度要求。

下面，通过实例来详解本多层加筋垫层内部土工格栅拉力计算方法的整个计算过程：

本实施方式的具体应用中将结合路堤填土桩网复合地基平面布置、路堤尺寸及填土性质指标、多层加筋垫层参数等指标进行实例计算，确定铺设单层、双层以及三层土工格栅情形下的每一层土工格栅拉力Tmax(x)横向分布。必须特别指出的是，桩网复合地基桩顶平面以上的路堤填土中存在土拱效应，多层加筋垫层表面位置处的实际应力σs相较于该位置处的路堤填土自重应力将出现一定幅度的减小，而土拱效应计算模型的发展相对较为常数；本实施方式中采用楔形土拱模型计算加筋垫层表面位置处的应力σs，可以理解的是，在不背离本发明实施方式后续计算条件下，可以采用其它土拱效应分析模型或桩土应力计算方法确定加筋垫层表面位置处的竖向应力σs。

为统一本发明一种多层加筋垫层内部土工格栅拉力计算中涉及各项过程参数或计算参数的计量单位，本实施方式中出现的所有物理量如无特殊说明均采用标准单位制。

(1)初始参数

①路堤尺寸、路堤填土性质指标：

路堤填土高度：H＝4.5m；

路堤填土重度：γ₁＝20 000N/m³；

路堤顶部外荷载：q₀＝10 000Pa；

路堤填土内摩擦角：c₁＝0Pa；

路堤填土内摩擦角：

路堤填土边坡坡度：m＝1.5；

路堤填土土压力系数：

②正方形布桩情形下的桩网复合地基平面布置参数：

桩网复合地基桩间距：s＝2.0m；

正方形桩或桩帽边长：b＝0.5m；

桩网复合地基桩间净距：l＝s-b＝1.5m；

正方形布桩荷载参数：A＝2(s-b)σ_s/l＝83 236Pa；

正方形布桩荷载参数：B＝2(s-b)σ_s/l＝20 809N/m；

正方形布桩荷载参数：D＝B/k_sb＝0.0 416m；

垫层表面等效线荷载：q(x)＝Ax+B＝83 236x+20 809N/m，0<x<0.75m；

q(x)＝A(l-x)+B＝83 236(1.5-x)+20 809N/m，0.75<x<1.5m。

③三角形布桩情形下的桩网复合地基平面布置参数：

桩网复合地基桩间距：s＝2.0m；

正方形桩或桩帽边长：b＝0.5m；

等效正六边形截面边长：b′＝0.62b＝0.3 102m；

桩网复合地基桩间净距：l′＝1.463m；

三角形布桩荷载参数：A′＝40 162Pa；

三角形布桩荷载参数：B′＝10 789N/m；

正方形布桩荷载参数：D′＝B′/k_sb′＝0.0 348m；

垫层表面等效线荷载：q(x)＝A′x+B′＝40 162x+10 789N/m，0<x<0.73m；

q(x)＝A′(l-x)+B′＝40 162(1.463-x)+10 789N/m，0.73<x<1.46m。

④垫层及下卧层地基参数：

加筋垫层厚度：h＝0.5m；

加筋垫层容重：γ₂＝20 000N/m³；

加筋垫层黏聚力：c₂＝0Pa；

加筋垫层内摩擦角：

下卧层地基反力系数：k_s＝1 000 000N/m³；

加筋垫层横向压缩模量：E_m＝25 000 000Pa；

正方形布桩加筋垫层表面作用荷载：σ_s＝41 618Pa；

三角形布桩加筋垫层表面作用荷载：σ_s＝34 782Pa。

⑤土工格栅参数：

土工格栅铺设层数：n＝1、2、3；

土工格栅抗拉刚度：E_g＝1 000 000N/m；

土工格栅的孔隙率：n₀＝0.9；

土工格栅铺设间距：Δh＝0.1m；

土工格栅与垫层土体接触面内摩擦角：δ＝6°；

土工格栅抗拉刚度与垫层横向压缩模量比值：β＝E_g/E_m＝0.04。

(2)多层加筋垫层截面参数

①铺设单层土工格栅：

受压区高度：h₁＝0.164m；

受拉区高度：h₂＝0.336m；

加筋垫层截面柔度系数：λ＝1.1 369m^-1；

正方形布桩截面惯性矩：I₁＝bh₁ ³/3+βbh₂ ²＝2.9 930×10^-3m⁴；

三角形布桩截面惯性矩：I₂＝b′h₁ ³/3+βb′h₂ ²＝1.8 569×10^-3m⁴；

②铺设双层土工格栅：

受压区高度：h₁＝0.200m；

受拉区高度：h₂＝0.300m；

加筋垫层截面柔度系数：λ＝1.0 618m^-1；

正方形布桩截面惯性矩：I₁＝bh₁ ³/3+βbh₂ ²＝3.9 333×10^-3m⁴；

三角形布桩截面惯性矩：I₂＝b′h₁ ³/3+βb′h₂ ²＝2.4 402×10^-3m⁴；

③铺设三层土工格栅：

受压区高度：h₁＝0.212m；

受拉区高度：h₂＝0.288m；

加筋垫层截面柔度系数：λ＝1.0 503m^-1；

正方形布桩截面惯性矩：I₁＝bh₁ ³/3+βbh₂ ²＝4.1 086×10^-3m⁴；

三角形布桩截面惯性矩：I₂＝b′h₁ ³/3+βb′h₂ ²＝2.5 490×10^-3m⁴；

(3)多层加筋垫层等效复合板挠度及内力方程

正方形布桩情形下、铺设单层、双层及三层土工格栅的多层加筋垫层等效复合板挠度方程参数C₁、C₂、C₃、C₄：

①铺设单层土工格栅：

C₁＝-0.000 366m；

C₂＝-0.007 614m；

C₃＝-0.041 252m；

C₄＝-0.007 614m。

②铺设双层土工格栅：

C₁＝-0.001 487m；

C₂＝-0.008 196m；

C₃＝-0.040 131m；

C₄＝-0.008 196m。

③铺设三层土工格栅：

C₁＝-0.001 673m；

C₂＝-0.008 273m；

C₃＝-0.039 945m；

C₄＝-0.008 273m。

三角形布桩情形下、铺设单层、双层及三层土工格栅的多层加筋垫层等效复合板挠度方程参数C₁、C₂、C₃、C₄：

①铺设单层土工格栅：

C₁＝-0.000 643m；

C₂＝-0.006 559m；

C₃＝-0.034 139m；

C₄＝-0.006 559m。

②铺设双层土工格栅：

C₁＝-0.001 603m；

C₂＝-0.006 993m；

C₃＝-0.033 178m；

C₄＝-0.006 993m。

③铺设三层土工格栅：

C₁＝-0.001 761m；

C₂＝-0.007 049m；

C₃＝-0.033 021m；

C₄＝-0.007 049m。

如上所述，根据本实施方式确定正方形布桩和三角形布桩两种情形下，分别铺设单层、双层及三层土工格栅的加筋垫层等效复合板挠度方程系数C₁、C₂、C₃、C₄后，将其代入等效复合板挠度方程式(11)，可以得到本实施方式实例计算中各计算情形下的等效复合板挠度方程。相应的，附图14和图15分别为正方形和三角形布桩情形下，分别铺设单层、双层及三层土工格栅的加筋垫层等效复合板挠度曲线。

同样，根据前述已经确定的A、B、D、C₁、C₂、C₃、C₄等参数的具体数值，将其代入多层加筋垫层等效复合板截面弯矩表达式(14)，得到图16中正方形布桩形式及图17中三角形布桩形式下，分别铺设n＝1、n＝2及n＝3层土工格栅的加筋垫层等效复合板截面弯矩M(x)分布曲线。

同上，经类似处理，根据多层加筋垫层等效复合板截面剪力V(x)表达式(15)，亦可以确定图18中正方形布桩及图19中三角形布桩情形下，分别铺设n＝1、n＝2及n＝3层土工格栅的加筋垫层等效复合板截面剪力V(x)分布曲线。

有必要说明的是，根据本实施方式中铺设双层及三层土工格栅的加筋垫层挠度曲线(图14和图15)、截面弯矩曲线(图16和图17)与截面剪力的分布曲线(图18和图19)特点，当加筋垫层内部土工格栅铺设层数n≥2时，多层加筋垫层的最终变形曲线和内力分布曲线十分接近，从土工格栅工作效率发挥方面考两次，垫层内部并不宜铺设过多层数的土工格栅。

(4)多层加筋垫层内部土工格栅拉力计算

如前所述，根据本实施方式关于多层加筋垫层内部土工格栅拉力的计算步骤，首先根据多层加筋垫层等效复合板截面弯矩M(x)，由式(19)确定路堤填土荷载沉降变形引起的土工格栅拉力第一分量T_n′(x)，将前述各参数数值代入后，得到图20和图21所示正方形和三角形两种布桩情形下，分别铺设单层、双层以及三层土工格栅的多层加筋垫层内部，由截面弯矩M(x)引起的土工格栅拉力第一分量T_n′(x)分布曲线。

之后，本实施方式中，根据图12中多层加筋垫层内部土工格栅拉力与垫层截面剪力V(x)间关系示意图，由式(20)计算等效复合板任意位置处的截面剪力V(x)引起的土工格栅拉力第二分量T_n″(x)分布方程，将多层加筋垫层等效复合板截面弯矩M(x)引起的土工格栅拉力第一分量T_n′(x)与截面剪力V(x)引起的土工格栅拉力第二分量T_n″(x)叠加，得到图22和图23所示正方形和三角形两种布桩情形下，分别铺设单层、双层以及三层土工格栅的多层加筋垫层内部，由路堤填土沉降变形引起的土工格栅拉力T_n(x)分布曲线。

最后，本实施方式由式(24)计算路堤填土横向滑动引起的多层加筋垫层内部土工格栅拉力F_n，将前述路堤填土沉降变形引起的土工格栅拉力T_n(x)与路堤填土横向滑动引起的土工格栅拉力F_n按照式(25)进行最终的叠加，即可以得到多层加筋垫层在正常工作中，内部的土工格栅拉力可能出现的最大土工格栅拉力T_max(x)分布方程，对应于图24和图25中正方形和三角形布桩情形下，分别铺设单层、双层以及三层土工格栅的多层加筋垫层内部土工格栅最大拉力T_max(x)分布曲线。

综合本实施方式以上步骤，可以分别得到多层加筋垫层等效复合板截面弯矩M(x)引起的土工格栅拉力第一分量T_n′(x)，截面弯矩V(x)引起的土工格栅拉力第二分量T_n″(x)，路堤填土横向滑动引起的土工格栅拉力F_n。其中，土工格栅拉力第一分量与第二分量叠加即为路堤填土沉降变形引起的土工格栅拉力T_n(x)，且此部分土工格栅拉力主要存在于多层加筋垫层正常工作中，并为正常工作状态土工格栅拉力的上限，加筋垫层设计中土工格栅材料和铺设工艺的选择必须满足路堤填土沉降变形引起的土工格栅拉力T_n(x)关于土工格栅抗拉强度的要求。路堤填土沉降变形引起的土工格栅拉力T_n(x)与路堤填土横向滑动引起的土工格栅拉力F_n叠加为路堤填土处于横向滑动极限状态时的最大土工格栅拉力T_max(x)，为理论意义上的土工格栅拉力最大值，多层加筋垫层正常工作状态下的土工格栅拉力相对大小通常介于T_n(x)和T_max(x)之间。但是，T_max(x)应作为多层加筋垫层内部铺设土工格栅应满足的最小抗拉强度的校核值，即应根据T_max(x)相对大小确定土工格栅铺设层数和土工格栅性能参数。

以上对本发明的一个实施例进行了详细说明，但所述内容仅为本发明的较佳实施例，不能被认为用于限定本发明的实施范围。凡依本发明申请范围所作的均等变化与改进等，均应仍归属于本发明的专利涵盖范围之内。

Claims (6)

1.一种多层加筋垫层内部土工格栅拉力计算方法，其特征在于，包括如下步骤：

①首先判定桩网复合地基平面布置参数，确定加筋垫层表面位置处的等效线性分布荷载；

②确定加筋垫层等效复合板结构的截面参数；

③根据弹性地基梁解析方法，由变形协调边界条件，确定加筋垫层变形方程和内力方程；

④根据加筋垫层变形方程和内力方程，计算路堤填土沉降变形引起的土工格栅拉力；

⑤根据路堤填土横向滑动极限状态下的内力平衡方程，按多层土工格栅拉力平均分配原则计算路堤横向滑动引起的土工格栅拉力；

⑥将路堤填土沉降变形和横向滑动引起的土工格栅拉力叠加，得到所需土工格栅拉力参数。

2.根据权利要求1所述的一种多层加筋垫层内部土工格栅拉力计算方法，其特征在于：步骤①中，在正方形和三角形布桩情形下，加筋垫层荷载传递区均为三角形区域，加筋垫层表面荷载等效为对称梯形分布线性荷载。

3.根据权利要求1所述的一种多层加筋垫层内部土工格栅拉力计算方法，其特征在于：步骤②中，将多层加筋垫层等效为复合板结构时，在正方形布桩情况下，桩或桩帽按面积相等原则等效为正方形截面，桩或桩帽间加筋垫层的荷载传递区域为1/2桩顶平面正方形区域；三角形布桩情形下，桩或桩帽按面积相等原则等效为正六边形截面，桩或桩帽间加筋垫层承担荷载区域为2/3桩顶平面三角形区域。

4.根据权利要求1所述的一种多层加筋垫层内部土工格栅拉力计算方法，其特征在于：步骤③中，确定加筋垫层变形方程和内力方程时，其边界条件为：加筋垫层两端铰支，且铰支点位移和弯矩均为零。

5.根据权利要求1所述的一种多层加筋垫层内部土工格栅拉力计算方法，其特征在于：步骤④中，路堤填土沉降变形引起的土工格栅拉力包括加筋垫层截面弯矩引起的土工格栅拉力第一分量和垫层截面剪力引起的土工格栅拉力第二分量两部分；并且弯矩方程计算土工格栅拉力时，加筋垫层截面保持为平截面，土工格栅拉力与铺设位置相关，剪力方程计算土工格栅拉力时，多层土工格栅拉力平均分配。

6.根据权利要求1所述的一种多层加筋垫层内部土工格栅拉力计算方法，其特征在于：步骤⑤中，确定路堤横向滑动产生的土工格栅拉力时，仅考虑最上层土工格栅上表面和最底层土工格栅下表面两个接触面上的侧摩阻力。