CN114094890B - 一种调磁调压直流发电机系统的最优动态pi参数整定方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种调磁调压直流发电机系统的最优动态PI参数整定方法，首先在混合励磁发电机不同转速情况下，记录不同负载电流应的励磁电流的值，通过最小二乘法拟合出励磁电流、负载电流和转速的函数关系，然后基于负载端输出电容电压的状态方程，获取负载电流由I_O1到I_O3突变情况下理想最优输出电压曲线的时间函数关系，最后基于步骤S1所述拟合函数关系，对任一转速n下的特定负载电流从I_O1到I_O3的突变，求解对应的最优动态PI参数；本发明解决了现有调磁调压直流发电机系统单一外环PI参数无法满足不同负载突变下的动态特性，电压回复过程较慢的问题；同时不存在算法切换，即可实现动态性能的最优，解决了不同算法之间切换导致的纹波问题。

Description

一种调磁调压直流发电机系统的最优动态PI参数整定方法

技术领域

本发明涉及电机控制技术领域，主要涉及一种调磁调压直流发电机系统的最优动态PI参数整定方法。

背景技术

调磁调压直流发电机包括电励磁、混合励磁发电机，该类电机的励磁磁场可调、容易实现故障灭磁，能够在较宽转速范围内输出稳定电压，适合用于机载或车载直流发电系统中。

基于调磁调压直流发电系统的主要控制思想如下：输出电压给定值与电压传感器测量值作差，差值经过PI调节器得到励磁电流的给定值，然后用单相全桥变换器对励磁电压源斩波得到跟踪该励磁电流给定值的实际值。基于该控制思想，对于一般的采用不控整流输出的调磁调压直流发电系统而言，通常采用直流侧电压PI外环，励磁电流PI内环的控制方法。电压控制的动态性能主要取决于外环PI调节器参数。

上述系统采用双PI环的电压控制动态性能具有以下缺点：

(1)经过二极管整流后的电流谐波较大，为了抑制输出电压纹波，直流环节需要一个较大容值的电容器，动态响应速度因此被降低。

(2)为了减小励磁电流的值，励磁绕组匝数往往较大，由此带来励磁电感较大，使得励磁电流调节时间常数较大。

(3)电压外环固定的PI参数难以满足不同转速、不同负载突变情况下的动态响应性能如图7所示。

为了提高调磁调压发电机系统的动态性能，文献《Capacitor-Energy-basedControl of Doubly Salient Brushless DC Generator for Dynamic PerformanceOptimization,Yanwu Xu；Zhuoran Zhang；Zhangming Bian；Li Yu,IEEE Transactions onEnergy Conversion,2020,vol:35,no:4,1886-1896》提出了基于充放电能量控制的发电机控制方法，它的主要控制思想如下：滤波电容充电功率的期望值与实际值作差，差值经过PID调节器得到充电电流的期望值，充电电流的期望值与负载电流相加得到整流电路的输出电流，再根据整流电路的输出电流与励磁电流的函数关系，得到励磁电流的给定值，通过半桥变换器斩波令励磁电流的实际值跟踪上给定值。与传统电压电流双环控制策略相比，基于充放电能量控制的发电机电压控制方法以充电电流为控制目标，提高了系统的性能，减小了输出电压的动态纹波。

该方法在系统控制中使用功率外环取代一般控制方法中的电压外环，一定程度上提升了系统的动态性能。虽然合适的PI参数可以实现控制量的最终收敛，但在调磁调压直流发电系统中，负载电流的变化、转速的变化都是多样的，固定的外环PI参数必然无法满足不同转速下负载突变后系统的动态性能。因此，基于充放电能量控制的发电机电压控制方法虽然优于传统电压电流双环控制策略的动态性能，但是其输出电压的动态波形仍然存在多次调节过程。同时，考虑到发电机的输出电压受转速和负载的影响，当转速较低或者负载较重的时候都需要较大的励磁电流来维持稳定的电压，磁场易饱和。在不同工况下遭遇负载突增突卸时，系统电压的动态性能易受到固定的PI参数的影响，影响系统发电质量。

文献《一种混合励磁发电机的控制方法(202110256068.6)》提出了公开了一种混合励磁发电机的控制方法，在混合励磁发电机的负载发生突增或突减时，通过合理设计各时刻及励磁电流变化速率，在控制过程中满足整流电路输出电流的平均值的积分值与负载电流的积分值相等，且过程结束时整流电路输出电流平均值的瞬时值与突变时刻的负载电流瞬时值相等，从而输出电压只经过一次调节过程即可收敛，负载突变过程无超调或下调且收敛时间最短，解决了现有基于充放电能量控制的发电机电压控制充电电流与输出电压的动态曲线受PID参数影响、不能实现最优、存在多次调节过程的问题。但是该方法只适用于动态过程，当动态过程结束以后，系统需要将算法切换至传统PI控制，算法的切换导致系统存在切换纹波。

发明内容

发明目的：针对上述背景技术中存在的问题，本发明提供了一种调磁调压直流发电机系统的最优动态PI参数整定方法，指导动态过程中的电压环PI参数的设计。解决了现有基于电容能量控制的发电机输出电压动态特性受到外环固定参数影响，存在多次调节过程的问题；不需要算法切换，即可实现动态性能的最优，解决了不同算法之间切换导致的纹波问题。

技术方案：为实现上述目的，本发明采用的技术方案为：

一种调磁调压直流发电机系统的最优动态PI参数整定方法，所述采用包括混合励磁发电机、励磁电流控制模块、三相二极管不控整流电路、和负载端的混合励磁发电系统实现；所述三相二极管不控整流电路包括3个并联桥臂，每个桥臂包括2个串联二极管；所述3个桥臂中点分别与混合励磁发电机的三相电枢绕组一段相连，所述三相电枢绕组另一端短接；三相二极管不控整流电路的输出端与负载端并联，所述负载端包括并联的滤波电容和负载；所述负载两侧并联有电压传感器，负载与负载电流传感器串联接入所述输出端；所述励磁电流控制模块包括单相全桥变换器和励磁绕组电压源；所述单相全桥变换器由励磁绕组电源供电，全桥变换器由两组共四个开关管组成，所述两组开关管的中点之间连接有励磁绕组和励磁电流传感器；所述最优动态PI参数整定方法具体包括：

步骤S1、在混合励磁发电机不同转速情况下，记录不同负载电流I_O应的励磁电流I_f的值，通过最小二乘法拟合出励磁电流I_f、负载电流I_O和转速n的函数关系，具体如下：

I_f＝f(I_O，n)

步骤S2、基于负载端输出电容电压的状态方程，获取负载电流由I_O1到I_O3突变情况下理想最优输出电压曲线的时间函数关系；

步骤S3、基于步骤S1所述拟合函数关系，对任一转速n下的特定负载电流从I_O1到I_O3的突变，求解对应的最优动态PI参数。

进一步地，，所述步骤S2中求取理想最优输出电压曲线的时间函数关系具体包括：

步骤S2.1、将负载端输出电容电压的状态方程转化为一阶微分方程：

其中C为滤波电容值，Z为负载端等效阻抗，i_L为滤波电容前级的整流电流，i_O为经过滤波电容后的负载电流，稳态下i_O等于i_L；

步骤S2.2、当负载电流由I_O1突变到I_O3时，突变后的等效阻抗Z表示为其中U_O ^*为输出电压给定值；求解一阶微分方程如下：

将负载突变时刻t₀视为0，则上式简化为：

滤波电容前级的整流电流i_L由励磁电流i_f直接控制；当单相全桥变换器的开关管输出满占空比时，励磁电流i_f沿线性上升或下降，且斜率与励磁绕组的自感值有关；当不考虑磁场饱和时，i_L随i_f线性上升或下降，上升斜率设置为k₁，下降时则设置为-k₁；

步骤S2.3、当负载突增时，整流电流i_L随励磁电流i_f线性上升，用时间函数表示为：

i_L＝k₁t+I_o1

在励磁电流下降阶段的时间函数与t₂时刻有关，t₂为整流电流i_L达到最高值的时刻，设置t₂＝x，下降阶段的时间函数表达式为：

i’_L＝-k₁t+b

在t-x时刻，由i_L＝i’_L可得b＝2k₁x+I_O1；整流电流i_L可以分段表示为：

理想状态下负载突变结束时刻t₃根据t＞x时的i_L表达式，以及负载电流突变前后的值I_O1和I_O3表示如下：

步骤S2.4、当负载突增时，将分段表示的整流电流i_L代入步骤S2.2中的输出电压表达式并化简，则输出电压的理想分段时间函数表示为：

进一步地，步骤S3中求解对应的最优动态PI参数具体步骤包括：

步骤S3.1、当负载突增时，求取理想动态波形的特定时间节点t₁、t₂、t₃；在0＜t＜x段，输出电压U_O表达式对时间求导并令导数为0，即可获得t₁：

根据图形面积相等，在0～t₁段内i_L和i_O曲线围成的面积S_A、t₁～t₂段内i_L和i_O曲线围成的面积S_B和t₂～t₃段内i_L和i_O曲线围成的面积S_C满足：S_A＝S_B+S_C，其中：

其中时刻t₁，U_O和i_L的表达式均已知，且

上式中U_O和i_L的表达式仅有第一段已知，第二段仍然包括未知量x

令S_A＝S_B+S_C，解出单一未知量x；t₂、t₃表示如下：

t₂＝x

步骤S3.2、求取该次负载电流由I_O1到I_O3突变对应的最优动态PI参数中的积分增益系数K_i；根据步骤S1中拟合的负载电流与励磁电流的函数关系I_f＝f(I_O，n)，可以得到I_O1与I_O3对应的励磁电流初始值I_f1和I_f3；根据下式求取K_i：

步骤3.4、求取该次负载电流由I_O1到I_O3突变对应的最优动态PI参数中的比例增益系数K_p如下：

进一步地，当负载突减时，整流电流i_L的分段表达式：

式中斜率k₁符号取反，其余推导流程不变，即可获得负载突减状态下最优动态PI参数的整定方法。

有益效果：

(1)本发明提出的调磁调压直流发电机系统的最优动态PI参数整定方法，不改变传统控制策略中电压环电流环的双环PI调节器结构，整定任意负载突变过程中的最优PI参数，在动态过程中采用所整定的PI参数，能够有效地提升该类调磁调压直流发电系统在面对的负载突变时的动态性能。

(2)该类调磁调压直流发电机系统在面对负载突变时，必然存在最优的电压回复动态曲线，这是系统的固有特性，并不受系统某些参数例如负载电流、转速、电容容值等的限制。同样，对于双环PI控制这一方案也必然存在特定的外环PI参数使得特定的负载突变下系统达到最优的电压动态回复曲线。而本发明所提出方法则是求解任意特定负载突变下对应的特定PI参数，使得实际控制效果逼近最优。

(3)本发明在实现系统动态性能最优的手段是自动调节PI参数，不存在不同算法之间的切换，解决了不同算法之间切换导致的纹波问题。

(4)本发明提出的调磁调压直流发电机系统的最优动态PI参数整定方法并不是在线整定PI参数，而是提前整定一个外环PI参数表预先存入控制器中。在负载突变时，通过检测负载阻抗变化量以及当前转速值确定并应用该次突变对应的PI参数。

附图说明

图1为本发明提供的混合励磁发电机系统硬件结构图；

图2是负载电流突增情况下对应的输出电压、负载电流、整流电流理想波形；

图3是基于调磁调压直流发电机系统输出电压环、励磁电流环双PI环的控制框图；

图4是文献《Capacitor Energy based Control of Doubly Salient BrushlessDC Generator for Dynamic Performance Optimization,Yanwu Xu；Zhuoran Zhang；Zhangming Bian；Li Yu,IEEE Transactions on Energy Conversion,2020,vol:35,no:4,1886-1896》提出的基于充放电能量控制的发电机电压控制方法的控制框图；

图5为本发明提供的动态最优PI参数下的双PI环控制方法控制框图；

图6为本发明提供的调磁调压直流发电机系统的最优动态PI参数整定流程图；

图7为传统双PI环控制下面对两次不同负载突变时的输出电压波形图；

图8为电压外环输出的励磁电流给定值与实际励磁电流对比波形图；

图9为文献《一种混合励磁发电机的控制方法(202110256068.6)》提出的控制算法存在切换纹波的波形图；

图10为采用了本发明提供的整定后的动态最优PI参数下面对负载突变时的输出电压波形图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明作更进一步的说明。显然，所描述的实施例是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。

本实施例首先提供了一种包括混合励磁发电机、励磁电流控制模块、三相二极管不控整流电路、和负载端的混合励磁发电系统，硬件结构具体如图1所示，三相二极管不控整流电路包括3个并联桥臂，每个桥臂包括2个串联二极管。3个桥臂中点分别与混合励磁发电机的三相电枢绕组一段相连，三相电枢绕组另一端短接。三相二极管不控整流电路的输出端与负载端并联，负载端包括并联的滤波电容和负载。负载两侧并联有电压传感器，负载与负载电流传感器串联接入输出端。励磁电流控制模块包括单相全桥变换器和励磁绕组电压源。单相全桥变换器由励磁绕组电源供电，全桥变换器由两组共四个开关管组成，两组开关管的中点之间连接有励磁绕组和励磁电流传感器；

以图2展示的负载突增为例，在负载端用电量突加(也可理解为功率突加)时，由于负载端存在一个稳压大电容，负载端电压不会突变，负载突增的电流首先由电容提供，此时电容开始放电，电容端电压逐渐降低。电容放电的同时，控制器控制励磁电流上升，假设此时电机转速不变，发电机的输出功率会随着励磁电流上升，表现为图1中电容前级三相不控整流电流i_L上升，延缓电容端电压下降的速度。参考图2中电压波形，负载端电容电压跌落至最低点之前的t₀到t₁阶段电容持续放电，t₁到t₃阶段电容持续充电，使得电容电压回复到稳态值。

基于以上表述，电容电荷平衡的思想即是仅通过一次电容充电和放电过程使得电容端电压回复稳态，要使得这个过程达到最快，那么控制量即励磁电流i_f应当以最大的斜率变化使得电容前级整流电流i_L以最快的速度跟踪上负载突变电流，全过程波形如图2所示。在实际系统中，励磁绕组自感较大，只有当励磁绕组两端开关管的控制信号在一个控制周期中为满占空比时，即一个控制周期中开关管全开或全关时励磁电流才能够以最大斜率变化。

本发明所提出的一种调磁调压直流发电机系统的最优动态PI参数整定，以此为目标，依据检测到的负载电流突变量，以及系统在上一段稳态过程中的部分参数，检测到负载突变后立即改变PI参数，使得图2所示波形中的t₀到t₂阶段励磁绕组端开关管输出满占空比，t₂到t₃输出相反的满占空比，直到t₃输出电压回复稳态。图2所示电压曲线即为最优的电压动态回复曲线。对于双环PI控制这一方案也必然存在特定的外环PI参数使得特定的负载突变下系统达到最优的电压回复动态曲线。而本发明所提出方法则是求解任意特定负载突变下对应的特定PI参数，使得实际控制效果逼近最优。

下面对双环PI调节器控制方案作补充说明。

图8所示为电压环PI调节器输出的励磁电流给定值与实际励磁电流的对比波形图。励磁电流给定值与实际励磁电流的差值作为电流环PI调节器的输入。当差值足够大时，电流环PI调节器的输出同载波交截后能够向开关管输出占空比为1或者0的PWM信号。即实际励磁电流无法跟踪上给定电流。后述详细步骤中电压环PI调节器参数中的K_p的据此进行设计。另外，电流环的目的是为了电流地快速跟踪。为了使得图8中励磁电流给定值与实际值交截后开关管的满占空比输出更快地反转，在动态过程中，电流环可以采用电流跟踪能力更强的滞环控制取代存在与一定滞后的电流环PI调节器。

通过以上描述，可以明确存在一组电压环PI参数使得控制实际效果逼近最优的电压回复动态曲线。对于调磁调压直流发电机系统的稳态而言，由于输出电压一定，电机转速和负载电流两个量与励磁电流之间存在一个固定的对应关系，换句话说，一组负载电流、转速参数，必然对应一个可以确定实际值的励磁电流。而在系统稳态运行过程中的实际励磁电流值与电压环PI调节器输出为相同的恒定值。另外稳态时由于输出电压一定，电压环比例环节的输出可以视为0。而动态过程中电压环PI调节器的输出是由比例环节和积分环节共同决定的。系统经过一个负载突变的动态过程后，无论积分增益系数Ki为何值，励磁电流前后变化的差值是固定。根据图2中最优的电压回复动态曲线与给定电压包络的面积为定值，决定系统电压能够达到最优动态曲线的首要因素为PI调节器的积分增益系数K_i。比例增益系数K_p则由所计算得到开关管满占空比输出反转时刻t₂、t₂时刻的输出电压以及计算得到的积分增益系数K_i决定。

下面提供基于上述调磁调压直流发电机系统的最优动态PI参数整定方法，具体流程如图6所示。

步骤S1、在混合励磁发电机不同转速情况下，记录不同负载电流I_O应的励磁电流I_f的值，通过最小二乘法拟合出励磁电流I_f、负载电流I_O和转速n的函数关系，具体如下：

I_f＝f(I_O，n)

步骤S2、基于负载端输出电容电压的状态方程，获取负载电流由I_O1到I_O3突变情况下理想最优输出电压曲线的时间函数关系。

步骤S2.1、将负载端输出电容电压的状态方程转化为一阶微分方程：

其中C为滤波电容值，Z为负载端等效阻抗，i_L为滤波电容前级的整流电流，i_O为经过滤波电容后的负载电流，稳态下i_O等于i_L；

步骤S2.2、当负载电流由I_O1突变到I_O3时，突变后的等效阻抗Z表示为其中U_O ^*为输出电压给定值；求解一阶微分方程如下：

将负载突变时刻t₀视为0，则上式简化为：

滤波电容前级的整流电流i_L由励磁电流i_f直接控制；当单相全桥变换器的开关管输出满占空比时，励磁电流i_f沿线性上升或下降，且斜率与励磁绕组的自感值有关；当不考虑磁场饱和时，i_L随i_f线性上升或下降，上升斜率设置为k₁，下降时则设置为-k₁；

步骤S2.3、当负载突增时，整流电流i_L随励磁电流i_f线性上升，用时间函数表示为：

i_L＝k₁t+I_O1

在励磁电流下降阶段的时间函数与t₂时刻有关，t₂为整流电流i_L达到最高值的时刻，设置t₂＝x，下降阶段的时间函数表达式为：

i’_L＝-k₁t+b

在t＝x时刻，由i_L＝i’_L可得b＝2k₁x+I_O1；整流电流i_L可以分段表示为：

理想状态下负载突变结束时刻t₃根据t＞x时的i_L表达式，以及负载电流突变前后的值I_O1和I_O3表示如下：

步骤S2.4、当负载突增时，将分段表示的整流电流i_L代入步骤S2.2中的输出电压表达式并化简，则输出电压的理想分段时间函数表示为：

步骤S3、基于步骤S1所述拟合函数关系，对任一转速n下的特定负载电流从I_O1到I_O3的突变，求解对应的最优动态PI参数。

步骤S3.1、当负载突增时，求取理想动态波形的特定时间节点t₁、t₂、t₃；在0＜t＜x段，输出电压U_O表达式对时间求导并令导数为0，即可获得t₁：

根据图形面积相等，在0～t₁段内i_L和i_O曲线围成的面积S_A、t₁～t₂段内i_L和i_O曲线围成的面积S_B和t₂～t₃段内i_L和i_O曲线围成的面积S_C满足：S_A＝S_B+S_C，其中：

其中时刻t₁，U_O和i_L的表达式均已知，且

上式中U_O和i_L的表达式仅有第一段已知，第二段仍然包括未知量x

令S_A＝S_B+S_C，解出单一未知量x；t₂、t₃表示如下：

t₂＝x

步骤S3.2、求取该次负载电流由I_O1到I_O3突变对应的最优动态PI参数中的积分增益系数K_i；根据步骤S1中拟合的负载电流与励磁电流的函数关系I_f＝f(I_O，n)，可以得到I_O1与I_O3对应的励磁电流初始值I_f1和I_f3；根据下式求取K_i：

步骤3.4、求取该次负载电流由I_O1到I_O3突变对应的最优动态PI参数中的比例增益系数K_p如下：

以上的步骤推导过程以及附图均以负载突增为例。当系统负载突减时，将步骤2.3中整流电流i_L表达式中的斜率k₁符号取反，步骤2.3之后推导流程不变。

图9为文献《一种混合励磁发电机的控制方法(202110256068.6)》提出的控制算法存在切换纹波的波形图。可以看出，在动态过程中，虽然电压也只存在一次调节过程即可收敛，但是当系统切换到PI控制算法时，存在切换纹波，导致电压存在二次调节问题。

图10为采用了本发明提供的整定后的动态最优PI参数下面对负载突变时的输出电压波形图。可以看出，在动态过程中，电压只存在一次调节过程即可收敛.同时由于本发明实现电压动态性能最优的手段是通过PI参数的优化整定，不存在算法的切换，系统不存在二次调节问题。

以上所述仅是本发明的优选实施方式，应当指出：对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明原理的前提下，还可以做出若干改进和润饰，这些改进和润饰也应视为本发明的保护范围。

Claims (2)

1.一种调磁调压直流发电机系统的最优动态PI参数整定方法，采用包括混合励磁发电机、励磁电流控制模块、三相二极管不控整流电路、和负载端的混合励磁发电系统实现；所述三相二极管不控整流电路包括3个并联桥臂，每个桥臂包括2个串联二极管；所述3个桥臂中点分别与混合励磁发电机的三相电枢绕组一段相连，所述三相电枢绕组另一端短接；三相二极管不控整流电路的输出端与负载端并联，所述负载端包括并联的滤波电容和负载；所述负载两侧并联有电压传感器，负载与负载电流传感器串联接入所述输出端；所述励磁电流控制模块包括单相全桥变换器和励磁绕组电压源；所述单相全桥变换器由励磁绕组电压源供电，全桥变换器由两组共四个开关管组成，所述两组开关管的中点之间连接有励磁绕组和励磁电流传感器；其特征在于，所述最优动态PI参数整定方法具体包括：

步骤S1、在混合励磁发电机不同转速情况下，记录不同负载电流I_O应的励磁电流I_f的值，通过最小二乘法拟合出励磁电流I_f、负载电流I_O和转速n的函数关系，具体如下：

I_f＝f(I_O，n)

步骤S2、基于负载端输出电容电压的状态方程，获取负载电流由I_O1到I_O3突变情况下理想最优输出电压曲线的时间函数关系；

步骤S3、基于步骤S1所述拟合函数关系，对任一转速n下的特定负载电流从I_O1到I_O3的突变，求解对应的最优动态PI参数；

所述步骤S2中求取理想最优输出电压曲线的时间函数关系具体包括：

步骤S2.1、将负载端输出电容电压的状态方程转化为一阶微分方程：

其中C为滤波电容值，Z为负载端等效阻抗，i_L为滤波电容前级的整流电流，I_O为经过滤波电容后的负载电流，稳态下i_O等于i_L；

步骤S2.2、当负载电流由I_O1突变到I_O3时，突变后的等效阻抗Z表示为其中U_O ^*为输出电压给定值；求解一阶微分方程如下：

将负载突变时刻t₀视为0，则上式简化为：

滤波电容前级的整流电流i_L由励磁电流i_f直接控制；当单相全桥变换器的开关管输出满占空比时，励磁电流i_f沿线性上升或下降，且斜率与励磁绕组的自感值有关；当不考虑磁场饱和时，i_L随i_f线性上升或下降，上升斜率设置为k₁，下降时则设置为-k₁；

步骤S2.3、当负载突增时，整流电流i_L随励磁电流i_f线性上升，用时间函数表示为：

i_L＝k₁t+I_O1

在励磁电流下降阶段的时间函数与t₂时刻有关，t₂为整流电流i_L达到最高值的时刻，设置t₂=x，下降阶段的时间函数表达式为：

i’_L＝-k₁t+b

在t＝x时刻，由i_L＝i’_L得到b＝2k₁x+I_O1；整流电流i_L分段表示为：

理想状态下负载突变结束时刻t₃根据t＞x时的i_L表达式，以及负载电流突变前后的值I_O1和I_O3表示如下：

步骤S2.4、当负载突增时，将分段表示的整流电流i_L代入步骤S2.2中的输出电压表达式并化简，则输出电压的理想分段时间函数表示为：

步骤S3中求解对应的最优动态PI参数具体步骤包括：

步骤S3.1、当负载突增时，求取理想动态波形的特定时间节点t₁、t₂、t₃；在0＜t＜x段，输出电压U_O表达式对时间求导并令导数为0，即可获得t₁：

根据图形面积相等，在0～t₁段内i_L和i_O曲线围成的面积S_A、t₁～t₂段内i_L和i_O曲线围成的面积S_B和t₂～t₃段内i_L和i_O曲线围成的面积S_C满足：S_A=S_B+S_C，其中：

其中时刻t₁，U_O和i_L的表达式均已知，且

上式中U_O和i_L的表达式仅有第一段已知，第二段仍然包括未知量x

令S_A=S_B+S_C，解出单一未知量x；t₂、t₃表示如下：

t₂＝x

步骤S3.2、求取该次负载电流由I_O1到I_O3突变对应的最优动态PI参数中的积分增益系数K_i；根据步骤S1中拟合的负载电流与励磁电流的函数关系I_f＝f(I_O，n)，可以得到I_O1与I_O3对应的励磁电流初始值I_f1和I_f3；根据下式求取K_i：

步骤3.4、求取该次负载电流由I_O1到I_O3突变对应的最优动态PI参数中的比例增益系数K_p如下：

2.根据权利要求1中任一项所述的一种调磁调压直流发电机系统的最优动态PI参数整定方法，其特征在于，当负载突减时，整流电流i_L的分段表达式：

式中斜率k₁符号取反，其余推导流程不变，即可获得负载突减状态下最优动态PI参数的整定方法。