CN114019446B - 一种基于去噪核范数最小化的互质相干信源估计方法 - Google Patents

一种基于去噪核范数最小化的互质相干信源估计方法 Download PDF

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Abstract

本发明公开了一种基于去噪核范数最小化的互质相干信源估计方法，包括多个远场相干信源按不同的DOA均向互质阵列发射相同的电磁波信号，得到该互质阵列的接收信号；获取到内插均匀线阵的接收信号；计算内插均匀线阵的采样协方差矩阵，并构造二值标识矩阵；重构出具有完整元素的Toeplitz矩阵；对Toeplitz矩阵进行特征值分解，并通过谱峰搜索得到所估计的相干信源角度参数；最终得到相干信源的估计DOA参数。本发明方法在基于核范数最小化的互质阵内插算法的基础上，引入去噪操作，通过凸优化求解由接收信号所构成的Toeplitz矩阵的核范数最小化问题，实现对多个相干信源的高精度超分辨率DOA估计。

Description

一种基于去噪核范数最小化的互质相干信源估计方法
技术领域
本发明涉及互质阵列信号处理技术，尤其涉及一种基于去噪核范数最小化的互质相干信源估计方法。
背景技术
随着空间电磁环境的日趋复杂，夺取制空权和制电磁权在现代信息化战争中的地位越发重要，因此军事行动的效果取决于拥有制电磁权的电子侦察设备的探测能力。然而，面对敌/我双方诸多电磁武器装备所释放的电磁辐射、民用电磁设备的辐射和自然界本身所产生的电磁波，电子侦察设备迫切需要解决严重的相干信源估计问题以提高其的多目标测向能力。
相较于之前电子侦察设备所配置的均匀线阵，互质阵具有系统化的阵列结构、增广的阵列孔径和高自由度这三大特点，使得在提高电子侦察设备的测向性能的同时增加了可探测目标数。基于上述互质阵的优点，已经有很多基于互质阵的相干信源估计算法和专利被提出，例如基于核范数最小化(Nuclear norm minimization,NNM)的互质阵内插算法，基于原子范数最小化(Atom norm minimization,ANM)的互质阵内插算法和DOA估计方法。然而，这些方法在低信噪比条件下测向能力急剧下降，并且在现代电子战下的信噪比大多数都是很低的，因此针对互质阵列迫切需要提高在低信噪比条件下相干信源的测向能力。
发明内容
发明目的：本发明的目的是提供一种基于去噪核范数最小化的互质相干信源估计方法，该方法在基于核范数最小化的互质阵内插算法的基础上，引入去噪操作，通过凸优化求解由接收信号所构成的Toeplitz矩阵的核范数最小化问题，实现对多个相干信源的高精度超分辨率DOA(Direction-of-arrival)估计。
技术方案：本发明的一种基于去噪核范数最小化的互质相干信源估计方法，包括以下步骤：
S1、假设现有一对稀疏均匀子阵所构成互质阵列，其中第一个子阵由间距为Nd的M个阵元构成，第二个子阵由间距为Md的N个阵元构成，d为半波长。因此该互质阵列位置集合标记为/>同时K个远场相干信源按不同的DOA均向该互质阵发射相同的电磁波信号s1(t)，因此得到该互质阵列的接收信号为/>
S2、借助内插技巧和上述互质阵列构造内插均匀线阵(ULA)，获取到内插ULA的接收信号其中内插ULA阵元位置集合/>标记为/>l为中间变量；
S3、根据协方差公式计算内插ULA的采样协方差矩阵并取出/>第m行中所有元素用以定义具有Toeplitz结构的矩阵/>其中，/>同时，根据/>进一步构造二值标识矩阵C(m)；
S4、由于借助插值技巧必然导致由构成的Toeplitz结构矩阵/>缺失部分元素，即/>的部分元素值为零；为了将/>的零元素补全得到具有完整元素的Toeplitz矩阵F(m)，首先将/>中m＝1的第一行和/>的最后一行取出，分别得到/>和/>然后利用矩阵补全和低秩理论分别重构出具有完整元素的Toeplitz矩阵F(1)和/>其中F(1)是在/>基础上补全缺失元素后所得的矩阵，/>是在/>基础上补全缺失元素后所得的矩阵；
S5、分别对根据CVX工具包所求解得出的F(1)和进行特征值分解，并分别通过谱峰搜索得到第k个相干信源的角度参数/>和/>其中k＝1,…,K；
S6、根据F(1)和分别对应的噪声子空间的第k个相干信源的角度参数/>和最终得到第k个相干信源的估计DOA参数/>其中k＝1,…,K。
进一步的，步骤S1中互质阵列位置集合互质阵列的接收信号/>为：
其中，为噪声，/>为阵列流型，/>和/>分别表示为第1个和第K个相干信源的导行矢量，θ1和θK分别为第1个和第K个相干信源的真实DOA；第k个信源的导行矢量/>以及θk为第k个相干信源的真实DOA，l2和分别为第2个和第/>个阵元所在位置，/>为该互质阵列的势，α∈CK为囊括了第k个元素为非零复数αk的列向量，其中k＝1,…,K,(·)H表示为共轭转置操作算子。
进一步的，步骤S2中内插ULA的接收信号的第l个元素/>也就是内插ULA阵元位置集合/>中位于ld位置的阵元所对应的接收信号为：
其中，表示内插ULA阵元位置集合/>位于ld位置的阵元所对应的接收信号，表示互质阵列阵元位置集合/>中位于ld位置的阵元所对应的接收信号，/>为/>在上的补集。
进一步的，步骤S3具体为：
根据公式(3)计算内插ULA的采样协方差矩阵表达式为：
其中，(·)*表示为共轭操作算子，E{·}表示期望，表示/>的共轭，J为快拍数；并取出/>第m行中所有元素用以定义具有Toeplitz结构的矩阵/>表达式为：
其中，和/>分别表示/>中的第m行第1列、第m行第L-1列、第m行第L列、第m行第L+1列、和第m行第/>列元素，/>为内插ULA的势，/>为虚拟均匀子阵个数；同时，根据/>进一步构造二值标识矩阵C(m)，其中二值标识矩阵C(m)的第p行第q列的元素[C(m)]p,q为：
其中，表示/>中的第p行第q列元素。
进一步的，步骤S4包括以下步骤：
S41、因为理论上由的零元素补全得到的具有完整元素的Toeplitz矩阵F(m)的秩等于相干信源个数，所以在不减少孔径大小的情况下实现解相干的同时具有低秩性；令m＝1，F(1)为在/>基础上补全缺失元素后所得的矩阵；令/>是在/>基础上补全缺失元素后所得的矩阵；利用F(1)和/>的低秩性，分别考虑下面秩最小化优化问题：
和
其中，为直积算子，D(1)和/>表示去噪二值标识矩阵用于去噪操作，分别定义为：
和
其中，C(1)为借助第1行所构造二值标识矩阵，/>为借助/>第/>行所构造二值标识矩阵，0(L-1)×L为(L-1)×L全零矩阵，01×(L-1)为1×(L-1)全零行向量；通过约束等式项/>和/>忽略/>中第一行第一列元素和/>和第/>行第/>列元素/>对重构的作用；
S42、由于公式(6)和(7)所示优化问题是非凸的，因此将其转换为核范数最小化NNM优化问题：
和
其中，||·||*为核范数，同时借助半正定规划理论将公式(10)和(11)分别等价于如下半正定规划形式：
和
其中，W11、W12、和/>均为临时变量矩阵，trace(·)为求迹运算符，约束条件和/>表明矩阵满足半正定，(·)H表示为共轭转置操作算子；
然后通过CVX凸优化工具包求解NNM问题。
进一步的，步骤S5具体为：
分别对根据CVX工具包所求解得出的F(1)和进行特征值分解(EVD)：
和
其中U1和Σ1分别为F(1)下的标准正交阵和对角矩阵，和/>分别为/>下的标准正交阵和对角矩阵；令U1N＝U1(:,K+1:L)和/>分别为F(1)和/>对应的噪声子空间，使得谱峰搜索步长/>变化，分别通过谱峰搜索得到F(1)对应的噪声子空间的第k个相干信源角度参数/>和/>对应的噪声子空间的第k个相干信源角度参数/>其中k＝1,…,K：
和
其中，P1和/>分别为对应的空间谱函数。
进一步的，步骤S6中对F(1)对应的噪声子空间的第k个相干信源角度参数和对应的噪声子空间的第k个相干信源角度参数/>进行平均操作，最终得到第k个相干信源的估计DOA参数/>为：
有益效果：与现有技术相比，本发明具有以下优点：
(1)与现有的基于核范数最小化(Nuclear norm minimization,NNM)和基于原子范数最小化(Atom norm minimization,ANM)的互质相干信源估计方法相比，本发明通过引入去噪操作，保证低信噪比条件下的高精度相干信源估计性能，进而实现了高精度DOA估计。
(2)与传统的波束形成方法相比，本发明借助核范数最小化问题实现了相干信源超分辨DOA估计。以图2(a)所示M＝2，N＝5的互质阵为例，设置信噪比(SNR)等于-5dB，快拍数为250，图3(a)的P1和图3(b)的空间谱函数图明显可以估计出角度范围差小于角分辨率等于0.886/(M+N-1)＝7.27°的两个相干信源(θ1＝10°，θ2＝17°)，而传统波束形成方法应用在等物理阵元个数的均匀线阵下其角度分辨率无法突破7.27°。
附图说明
图1是本发明方法流程图；
图2是本发明的不同阵列阵型的阵元位置排布图，其中(a)为M＝2和N＝5配置下的互质阵，(b)为M＝2和N＝5配置下的内插ULA；
图3是本发明针对M＝3和N＝5配置下的互质阵下所绘的超分辨DOA估计谱峰搜索图，其中(a)为P1空间谱函数图二维图，(b)为空间谱函数图；
图4是本发明针对M＝3和N＝5配置下的互质阵下所绘的空间谱函数图，其中(a)为P1空间谱函数图二维图，(b)为空间谱函数图；
图5是本发明针对M＝3和N＝5配置下的互质阵下所绘的估计误差曲线图，其中(a)为均方根误差(RMSE)随SNR变化曲线图，(b)为RMSE随快拍数变化曲线图。
具体实施方式
下面结合附图和具体实施例对本发明进行详细说明。
如图1所示，本发明的种基于去噪核范数最小化的互质相干信源估计方法，包括以下步骤：
S1、假设现有一对稀疏均匀子阵所构成互质阵列，其中第一个子阵由间距为Nd的M个阵元构成，第二个子阵由间距为Md的N个阵元构成，d＝λ/2为半波长，λ为波长。因此该互质阵列位置集合标记为/>同时K个远场相干信源按不同的DOA均向该互质阵列发射相同的电磁波信号s1(t)，因此可以得到该互质阵列的接收信号/>为：
其中，为噪声，/>为阵列流型，/>和/>分别表示为第1个和第K个相干信源的导行矢量，θ1和θK分别为第1个和第K个相干信源的真实DOA；便于统一标识，此处给出第k(k＝1,…,K)个信源的导行矢量/>以及θk为第k个相干信源的真实DOA，l2和/>分别为第2个和第/>个阵元所在位置，/>为该互质阵列的势，α∈CK为囊括了第k(k＝1,…,K)个元素为非零复数αk的列向量；(·)H表示为共轭转置操作算子。
S2、借助内插技巧和互质阵列构造内插均匀线阵(Uniform linear array,ULA)，其中内插均匀线阵ULA的阵元位置集合可标记为/>l为中间变量。基于此，内插ULA的接收信号/>的第l个元素/>也就是内插ULA阵元位置集合/>中位于ld位置的阵元所对应的接收信号为：
其中，表示内插ULA阵元位置集合/>位于ld位置的阵元所对应的接收信号，表示互质阵列阵元位置集合/>中位于ld位置的阵元所对应的接收信号，/>为/>在上的补集。图2中(a)和(b)给出了M＝2和N＝5配置下的互质阵列和内插均匀线阵ULA的阵元位置排布图，结合公式(2)可得：/>
S3、根据公式(3)计算内插ULA的采样协方差矩阵表达式为：
其中，(·)*表示为共轭操作算子，E{·}表示期望，表示/>的共轭，J为快拍数；并取出/>第/>行中所有元素用以定义具有Toeplitz结构的矩阵/>表达式为：
其中，和/>分别表示/>中的第m行第1列、第m行第L-1列、第m行第L列、第m行第L+1列、和第m行第/>列元素，/>为/>的势，/>为虚拟均匀子阵个数。同时，根据/>进一步构造二值标识矩阵C(m)，其中二值标识矩阵C(m)的第p行第q列的元素[C(m)]p,q为：
其中，表示/>中的第p行第q列元素。
S4、由于借助插值技巧必然导致由构成的Toeplitz结构矩阵/>缺失部分元素，即/>部分元素值为零，而缺失的元素和背景噪声的干扰是影响精确测角的两大因素。为了克服上述两大因素的影响，首先将/>中的第一行和最后一行取出，分别得到含有零值元素的/>和/>然后利用矩阵补全和低秩理论分别重构出具有完整元素的Toeplitz矩阵F(1)和/>重构具体步骤如下：
S41、因为理论上将中零元素补全后得到的具有完整元素的Toeplitz矩阵F(m)的秩等于相干信源个数，所以可以在不减少孔径大小的情况下实现解相干的同时具有低秩性。令m＝1，F(1)定位为在/>基础上补全缺失元素后所得的矩阵。令/>是在/>基础上补全缺失元素后所得的矩阵。利用F(1)和/>具有低秩性这一特性，分别考虑下面秩最小化优化问题：
和
其中，为直积算子，D(1)和/>表示去噪二值标识矩阵用于去噪操作，分别定义为：
和
其中，C(1)为借助第1行所构造二值标识矩阵，/>为借助/>第/>行所构造二值标识矩阵，0(L-1)×L为(L-1)×L全零矩阵，01×(L-1)为1×(L-1)全零行向量。通过约束等式项/>和/>忽略/>中第一行第一列元素和/>和第/>行第/>列元素/>对重构的作用(/>和/>是带噪观测值)，可以提高对噪声的鲁棒性，进而缓解噪声对测角精度的影响。
S42、由于公式(6)和(7)所示优化问题是非凸的，因此将其转换为基于核范数最小化(NNM)优化问题：
和
其中，||·||*为核范数，同时本发明借助半正定规划理论将(10)和(11)等价于如下半正定规划形式：
和
其中，W11、W12、和/>均为临时变量矩阵，trace(·)为求迹运算符，约束条件和/>表明矩阵满足半正定，(·)H表示为共轭转置操作算子。
本发明通过CVX凸优化工具包(M.Grant and S.Boyd,“CVX:Matlab software fordisciplined convex programming,version 2.1,”Available online at http://cvxr.com/cvx,Mar.2014.)以求解NNM问题。
S5、分别对根据CVX工具包所求解得出的F(1)和进行特征值分解(EVD)：
和
其中U1和Σ1分别为F(1)下的标准正交阵和对角矩阵，和/>分别为/>下的标准正交阵和对角矩阵。令U1N＝U1(:,K+1:L)和/>分别为F(1)和/>对应的噪声子空间，使得谱峰搜索步长/>变化，分别通过谱峰搜索得到F(1)对应的噪声子空间的第k个相干信源角度参数/>和/>对应的噪声子空间的第k个相干信源角度参数/>
和
其中，P1和/>分别为对应的空间谱函数。一般地，假设谱峰搜索步长/>为0.1°，即等间隔0.1°变化/>为了进一步说明所提方法在提高角分辨率方面的有效性，图3(a)的P1和图3(b)的/>空间谱函数图明显可以估计出角度范围差小于角分辨率等于0.886/(M+N-1)＝7.27°的两个相干信源(θ1＝10°，θ2＝17°)，而传统波束形成方法应用在等物理阵元个数的均匀线阵下其角度分辨率无法突破7.27°。图4(a)和图4(b)绘出了SNR＝-12dB，快拍数等于250，K＝3，三个目标的真实DOA定义为θ1、θ2、θ3，其值分别为θ1＝10°，θ2＝30°，θ3＝60°配置下的P1和/>空间谱函数图，可以明显看出在低信噪比条件下本发明所提方法估计得到的DOA离真实DOA最近的，即误差最小。
S6、对F(1)对应的噪声子空间的第k个相干信源角度参数和/>对应的噪声子空间的第k个相干信源角度参数/>进行平均操作，最终得到第k(k＝1,…,K)个相干信源的估计DOA参数/>
本发明提出的一种去噪核范数最小化的互质相干信源估计方法用以保证低信噪比条件下的高精度相干信源估计性能。仿真结果表明本发明所提方法不仅可以解决了相干信源导致的解相干问题，而且在提高了在低信噪比条件下的相干信源测角精度的同时也实现了超分辨率波达角估计(Direction-of-arrival,DOA)估计：(1)同物理阵元个数下的互质阵能提供更大的阵列孔径，(2)去噪操作提高对算法对噪声的鲁棒性，(3)采用了核范数最小化实现了超分辨率。图5(a)和(b)分别给出了RMSE随SNR和快拍数变化曲线图，明显发现本发明所提方法可以实现低信噪比条件下的高精度DOA估计，尤其是在-12dB至0dB。

Claims (7)

1.一种基于去噪核范数最小化的互质相干信源估计方法，其特征在于，包括以下步骤：
S1、假设现有一对稀疏均匀子阵所构成互质阵列，其中第一个子阵由间距为Nd的M个阵元构成，第二个子阵由间距为Md的N个阵元构成，d为半波长；因此该互质阵列位置集合标记为/>同时K个远场相干信源按不同的DOA均向该互质阵列发射相同的电磁波信号s1(t)，因此得到该互质阵列的接收信号为/>
S2、借助内插技巧和上述互质阵列构造内插均匀线阵(ULA)，获取到内插ULA的接收信号其中内插ULA阵元位置集合/>标记为/>l为中间变量；
S3、根据协方差公式计算内插ULA的采样协方差矩阵并取出/>第m行中所有元素用以定义具有Toeplitz结构的矩阵/>其中，/>同时，根据/>进一步构造二值标识矩阵C(m)；
S4、由于借助插值技巧必然导致由构成的Toeplitz结构矩阵/>缺失部分元素，即的部分元素值为零；为了将/>的零元素补全得到具有完整元素的Toeplitz矩阵F(m)，首先将/>中m＝1的第一行和/>的最后一行取出，分别得到/>和/>然后利用矩阵补全和低秩理论分别重构出具有完整元素的Toeplitz矩阵F(1)和/>其中F(1)是在/>基础上补全缺失元素后所得的矩阵，/>是在/>基础上补全缺失元素后所得的矩阵；
S5、分别对根据CVX工具包所求解得出的F(1)和进行特征值分解，并分别通过谱峰搜索得到第k个相干信源的角度参数/>和/>其中k＝1,…,K；
S6、根据F(1)和分别对应的噪声子空间的第k个相干信源的角度参数/>和/>最终得到第k个相干信源的估计DOA参数/>其中k＝1,…,K。
2.根据权利要求1所述的一种基于去噪核范数最小化的互质相干信源估计方法，其特征在于，步骤S1中互质阵列位置集合互质阵列的接收信号/>为：
其中，nS(t)为噪声，为阵列流型，/>和/>分别表示为第1个和第K个相干信源的导行矢量，θ1和θK分别为第1个和第K个相干信源的真实DOA；第k个信源的导行矢量/>以及θk为第k个相干信源的真实DOA，l2和/>分别为第2个和第/>个阵元所在位置，/>为该互质阵列的势，α∈CK为囊括了第k个元素为非零复数αk的列向量，其中k＝1,…,K,(·)H表示为共轭转置操作算子。
3.根据权利要求1所述的一种基于去噪核范数最小化的互质相干信源估计方法，其特征在于，步骤S2中内插ULA的接收信号的第l个元素/>也就是内插ULA阵元位置集合/>中位于ld位置的阵元所对应的接收信号为：
其中，表示内插ULA阵元位置集合/>位于ld位置的阵元所对应的接收信号，表示互质阵列阵元位置集合/>中位于ld位置的阵元所对应的接收信号，/>为/>在上的补集。
4.根据权利要求1所述的一种基于去噪核范数最小化的互质相干信源估计方法，其特征在于，步骤S3具体为：
根据公式(3)计算内插ULA的采样协方差矩阵表达式为：
其中，(·)*表示为共轭操作算子，E{·}表示期望，表示/>的共轭，J为快拍数；并取出/>第m行中所有元素用以定义具有Toeplitz结构的矩阵/>表达式为：
其中，和/>分别表示/>中的第m行第1列、第m行第L-1列、第m行第L列、第m行第L+1列、和第m行第/>列元素，/>为内插ULA的势，/>为虚拟均匀子阵个数；同时，根据/>进一步构造二值标识矩阵C(m)，其中二值标识矩阵C(m)的第p行第q列的元素[C(m)]p,q为：
其中，表示/>中的第p行第q列元素。
5.根据权利要求1所述的一种基于去噪核范数最小化的互质相干信源估计方法，其特征在于，步骤S4包括以下步骤：
S41、因为理论上由的零元素补全得到的具有完整元素的Toeplitz矩阵F(m)的秩等于相干信源个数，所以在不减少孔径大小的情况下实现解相干的同时具有低秩性；令m＝1，F(1)为在/>基础上补全缺失元素后所得的矩阵；令/> 是在/>基础上补全缺失元素后所得的矩阵；利用F(1)和/>的低秩性，分别考虑下面秩最小化优化问题：
和
其中，为直积算子，D(1)和/>表示去噪二值标识矩阵用于去噪操作，分别定义为：
和
其中，C(1)为借助第1行所构造二值标识矩阵，/>为借助/>第/>行所构造二值标识矩阵，0(L-1)×L为(L-1)×L全零矩阵，01×(L-1)为1×(L-1)全零行向量；通过约束等式项和/>忽略/>中第一行第一列元素和/>和第/>行第列元素/>对重构的作用；
S42、由于公式(6)和(7)所示优化问题是非凸的，因此将其转换为核范数最小化NNM优化问题：
和
其中，||·||*为核范数，同时借助半正定规划理论将公式(10)和(11)分别等价于如下半正定规划形式：
和
其中，W11、W12、和/>均为临时变量矩阵，trace(·)为求迹运算符，约束条件和/>表明矩阵满足半正定，(·)H表示为共轭转置操作算子；
然后通过CVX凸优化工具包求解NNM问题。
6.根据权利要求1所述的一种基于去噪核范数最小化的互质相干信源估计方法，其特征在于，步骤S5具体为：
分别对根据CVX工具包所求解得出的F(1)和进行特征值分解(EVD)：
和
其中U1和Σ1分别为F(1)下的标准正交阵和对角矩阵，和/>分别为/>下的标准正交阵和对角矩阵；令U1N＝U1(:,K+1:L)和/>分别为F(1)和/>对应的噪声子空间，使得谱峰搜索步长/>变化，分别通过谱峰搜索得到F(1)对应的噪声子空间的第k个相干信源角度参数/>和/>对应的噪声子空间的第k个相干信源角度参数/>其中k＝1,…,K：
和
其中，P1和/>分别为对应的空间谱函数。
7.根据权利要求1所述的一种基于去噪核范数最小化的互质相干信源估计方法，其特征在于，步骤S6中对F(1)对应的噪声子空间的第k个相干信源角度参数和/>对应的噪声子空间的第k个相干信源角度参数/>进行平均操作，最终得到第k个相干信源的估计DOA参数/>为：
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