CN113885570B - 基于旋转势场的卫星编队重构控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及卫星编队控制技术，为解决综合考虑燃料消耗、避碰避撞等约束条件下的卫星编队控制问题。同时减少避撞时的燃料消耗，有效提高卫星编队的可靠性和安全性，本发明，基于旋转势场的卫星编队重构控制方法，步骤包括：第一部分，卫星编队重构问题描述：给出卫星编队重构的控制目标描述；第二部分，有限时间编队控制器设计；第三部分，基于旋转势场的避撞函数设计：通过改进人工势场法，构造围绕障碍物的旋转势场，使障碍物的排斥力与卫星的运动相适应。本发明主要应用于卫星编队控制场合。

Description

基于旋转势场的卫星编队重构控制方法

技术领域

本发明涉及卫星编队控制技术领域，特别是一种面向避碰及燃料约束下的卫星编队重构控制领域。具体涉及基于旋转势场的卫星编队重构控制方法。

背景技术

微小卫星因其成本低，灵活性好，可进行组网编队和独具特色的实际应用而受到全世界的广泛关注。微小卫星集群飞行在对地观测、移动通讯和科学实验等领域均有重要需求。近几年来，微小卫星技术被美国和欧盟列为太空技术研发的关键领域，以微小卫星集群为代表完成复杂太空任务，已成为国际航天领域研究的热点，国内外多个国家也出台了一系列微小卫星发射计划。然而，对于多颗卫星组成的卫星星群，其控制与管理相比于单星控制更加复杂。微小卫星进行编队飞行时，不再简单地响应地面控制，而是以一定组织结构相互协作，共同完成复杂任务。研究卫星编队控制技术可以提升卫星的自主运行能力、减少地面站的工作量、降低卫星系统的运营成本。因此，系统研究卫星编队控制理论和方法，对突破制约卫星编队自主发展的技术瓶颈，实现未来空间创新技术的新探索具有十分重要的意义。

然而，基于现有理论方法进行卫星编队控制器设计时，存在的不足主要体现在以下几个方面：(1)大部分研究主要对卫星建立带有干扰或者扰动项的相对运动模型，采用滤波、滑模和优化等方法，通过设计编队控制器，实现编队构形的运动。但是对于大规模卫星星群的编队队形重构，如何综合考虑燃料消耗少、避碰避撞等约束条件，实现大规模卫星编队控制是需要解决的重点问题。(2)传统方法通常使用人工势函数法来处理卫星之间的避碰问题，然而人工势场法会存在局部极小值问题，影响系统的稳定性，且未考虑燃料对卫星的重要性，难以做到燃料消耗最优避碰。

针对上述局限，在本发明研究中，考虑面向控制的卫星编队相对运动动力学模型，提出了基于旋转势场的卫星编队重构控制策略。首先给出卫星编队重构的问题描述，介绍了后续需要用到的图论、Lyapunov稳定性及人工势场法的基础理论；其次，在不考虑避碰的前提下，设计了有限时间编队轨迹跟踪控制器，利用Lyapunov函数严格证明了系统的稳定性；最后，通过改进人工势场法，设计了基于旋转势场的避撞函数，解决了人工势场法存在的局部极小值问题，同时将轨道面内方向作为避撞时的势场方向，减小了燃料消耗。

本发明涉及一种面向避碰及燃料约束下的卫星编队重构控制领域。具体来说，首先提出了基于旋转势场的卫星编队重构控制方法，随后通过Simulink仿真验证了本发明提出算法的有效性。

发明内容

为克服现有技术的不足，解决综合考虑燃料消耗、避碰避撞等约束条件下的卫星编队控制问题。本发明旨在有效解决人工势场法存在的局部极小值问题，同时可以减少避撞时的燃料消耗，有效提高卫星编队的可靠性和安全性。为此，本发明采取的技术方案是，基于旋转势场的卫星编队重构控制方法，步骤包括：

第一部分，卫星编队重构问题描述：建立面向控制的卫星编队非线性动力学模型，通过对卫星安全半径、检测半径、建模的假设，最后给出卫星编队重构的控制目标描述；

第二部分，有限时间编队控制器设计：基于第一部分的目标描述，设计自适应有限时间编队控制器，在不考虑避撞的前提下，确保编队卫星可以快速地到达期望的位置，该编队重构控制器仅基于卫星与邻星之间的相对位置，实现有限时间和完全分布式编队；

第三部分，基于旋转势场的避撞函数设计：通过改进人工势场法，构造围绕障碍物的旋转势场，使障碍物的排斥力与卫星的运动相适应；同时结合卫星的轨道面确定势场的方向。

详细步骤如下：

第一步，卫星编队重构问题描述：考虑n颗卫星相对于主星在椭圆平面轨道上的运动，采用如下卫星模型：

式中，i＝1,2,…,n表示第i颗卫星，p_i＝[x_i,y_i,z_i]^T∈R³为主星到第i颗卫星的相对位置矢量，θ为主星的纬度角，为主星距离地心的标量半径，其中a_c为半长轴，e_c为参考轨道的轨道偏心率，μ为万有引力常量，/>表示第i颗卫星与地心的距离，m_i表示第i颗卫星的质量，u_i＝[u_ix,u_iy,u_iz]^T为控制力矩；

为了方便表示，将卫星非线性动力学模型(1)写为以下形式：

式中，

定义编队位置误差为

e_pi＝p_i-p_di (3)

式中，p_di为从星i在主星轨道坐标系中的期望位置；

因此，基于卫星动力学模型(2)和位置跟踪误差(3)，建立卫星编队位置误差动态方程：

式中，e_vi＝v_i-v_di，v_di为从星i在主星轨道坐标系中的期望速度；

为了描述卫星之间的协同关系，利用图论对卫星的通信拓扑进行建模，假设Φ＝(V,E,W)是一个具有n个节点的有向图，包含节点集V＝{1,2,…,n}，边集和邻接权重矩阵W＝[w_ij]∈R^n×n，如果一条边上有节点i和j，(i,j)∈E表示节点j可以从节点i获取信息，仅当(i,j)∈E时w_ij＝1，反之w_ij＝0，并且假设对所有的i∈E，w_ii＝0，节点i的相邻集表示为N_i＝{j:(i,j)∈V}，如果有向图Φ的子图是一个包含所有顶点的树，则该子图称为Φ的生成树，对于含有n颗卫星的系统，主星代表顶点0，其他从星代表顶点1到n，方便起见，令C＝diag{c₁,c₂,…c_n}为主星邻接矩阵，如果卫星i能和主星沟通，那么c_i＝1，否则c_i＝0；

在编队过程中，每颗卫星除了可以通过传感器测量获得自身的状态，还可以通过星间通信得到邻居卫星的位置和速度。

为了简化，假设所有卫星具有相同的安全半径和检测区域，同时将所有卫星建模为长方体物体，则卫星i关于卫星j的检测区域为其中，R_s为卫星安全半径，R_z为卫星的碰撞检测半径，d_ij为卫星i与卫星j之间的距离，未进入检测区域时；

因此，基于以上描述，编队重构的控制目标为：基于卫星非线性动力学模型(4)，设计有限时间控制器u_i，考虑卫星之间以及卫星与空间障碍物之间避撞的同时，尽可能减少燃料消耗，保证编队卫星快速到达各自期望位置；

为了确保控制目标的有效性，给出如下条件：

条件1至少存在一颗卫星可以获得主星的信息，即主星有指向卫星编队的路径。此外，n颗卫星的通信拓扑是无向连通的；

为了实现上述控制目标，控制器的设计分为两部分，首先不考虑卫星与空间障碍物以及航天器之间的碰撞，根据编队误差设计编队控制器，然后设计旋转势场来构造控制器中的避撞项；

第二步：有限时间编队控制器设计

针对卫星编队模型(4)，设计反馈控制器：

式中，虚拟控制量 为标称控制器，用于保证无干扰影响下编队控制的收敛，/>为补偿控制器，用于抑制外界干扰。基于式(4)和式(5)，得到：

下面将分别介绍标称控制器和补偿控制器/>的设计过程：

(1)标称控制器设计

基于卫星动力学模型(6)，不考虑外界干扰的影响时，标称系统可表示为：

考虑卫星标称系统(7)，设计如式所示的标称控制器：

式中，k_1i,k_2i＞0，0＜r_1i,r_2i＜1；

引理1：针对如下积分链系统：

定义k₁,k₂,…,k_n＞0使得多项式sⁿ+k_ns^n-1+…+k₂s+k₁是Hurwitz的，且存在ε∈(0,1)使得对于每个r∈(1-ε,1)，如果采用如下反馈控制器：

式中，r₁,r₂…,r_n满足且r_n＝r,r_n+1＝1，那么系统(9)是有限时间收敛到平衡点的。

由引理1可知，标称控制器(8)使卫星标称系统(7)在有限时间内收敛到平衡点。然而上述系统未考虑外界干扰的影响，下面将给出补偿控制器的设计过程，抑制外界干扰；

(2)补偿控制器设计

基于卫星动力学模型(6)，设计积分滑模面：

式中，e_vi(0)为e_vi的初值，标称控制器的形式如式(8)所示，由于传统滑模控制器仅能保证在滑模面上滑动过程的鲁棒性，不能保证趋近滑模面过程的鲁棒性，而由积分滑模面(11)看出，当t＝0时，滑模面s＝0，即在此滑模面下，系统初始状态就位于滑模面上，避免了趋近滑模的过程，因此积分滑模面(11)能够保证整个过程的鲁棒性；

对滑模面(11)求导，代入式(6)可得：

由式(12)可得，当系统状态到达滑模面后，即时，式(12)的等效控制量/>表示为：

将式(13)代入卫星动力学模型(6)可得：

比较式(7)及式(14)可以看出，当系统状态到达滑模面后，受干扰影响下的系统动态与标称系统动态完全一样，且由引理1可知，标称控制器能够保证系统编队误差有限时间收敛到0。因此，此时控制目标则变为设计补偿控制器保证系统状态能够有限时间收敛到滑模面(11)；

对式(12)进一步求导可得：

式中，为虚拟控制输入，基于多变量连续螺旋理论，设计为：

式中，α＞2L，可由下述引理2的有限时间滑模微分器获得；

引理2:针对输入信号f(t)，鲁棒高阶滑模微分器可对f(t)及其任意阶导数进行实时逼近，表达式如下：

式中，v_i及z_i为高阶滑模微分器的状态，λ₀,λ₁…λ_n为待设计参数；微分器(17)可以在有限时间内实现v₀＝f(t)，v_i＝z_i-1＝f⁽ⁱ⁾(t),i＝1,…,n；

因此，补偿控制输入设计为：

由式(16)及式(19)可以看出，不连续量出现在虚拟控制输入中，而真正的补偿控制输入/>是连续的，能够有效减小抖振，提高控制精度；

因此，考虑综合干扰影响下的卫星编队系统(4)，在假设1成立的条件下，如果控制器u_fi设计为式(5)，那么存在一系列常数k_1i＞0,k_2i＞0,0＜r_1i＜1,0＜r_2i＜1,α＞2L，使得系统状态在有限时间内收敛到滑模面的小领域内；

第三步：基于旋转势场的避撞函数设计

下面进行基于旋转势场的卫星避撞函数设计，该设计方法可以使障碍物的排斥力与卫星的运动相适应，即障碍物提供的势场矢量围绕障碍物旋转，其势场方向取决于卫星的运动方向；

对于二维空间，假设障碍物为长方体，智能体向障碍物的右侧运动，此时势场为逆时针方向，显然势场不可能与智能体的运动的方向相反，智能体所受的合外力不为零，因此不会产生局部极小值的问题；同理，智能体向障碍物左侧运动时，势场为顺时针方向；

考虑卫星所处的三维空间，将卫星和障碍物视为x,y,z轴上的长方体，定义旋转势场位于与长方体最小外接椭球平行的椭球上，长方体的最小外接椭球与长方体的位置和大小有关，引理1给出了体积最小的外接椭球的方程；

引理1以(x₀±l₁,y₀±l₂,z₀±l₃)为顶点，包围该长方体的最小体积的椭球方程如下：

式中，(x₀,y₀,z₀)为长方体的中心。

证明：假设椭球方程为

A²(x-x₀)²+B²(y-y₀)²+C²(z-z₀)²＝1 (21)

式中，A,B,C为待求解参数，椭球的体积与A²B²C²成反比，因此当(ABC)²最大时，外接椭球的体积最小，将长方体的顶点代入椭球方程(21)可得

根据式(22)可以转化为

等号当且仅当Al₁＝Bl₂＝Cl₃时取得，进而代入式(22)可解得替换式(21)中的A²,B²,C²即可得到式(20)，引理得证；

因此，以(x₀±l₁,y₀±l₂,z₀±l₃)为顶点的卫星和障碍物周围，外接的体积最小的椭球方程可以表示为

A²(x-x₀)²+B²(y-y₀)²+C²(z-z₀)²＝1 (24)

式中，势场矢量与该椭球平行，可以用如下方式表示：

式中，势场的方向沿着椭球旋转，由于椭球上的一点的切线有无数条，考虑卫星在轨道面内飞行消耗燃料较少，因此用轨道平面与势场所在的椭球相交得到一个椭圆平面，进而由这个椭圆平面确定势场矢量，下面给出轨道平面与椭球相交得到的椭圆方程的推导过程：

假设t₁时刻卫星的位置为p₁＝(x₁,y₁,z₁)^T，速度矢量v₁＝(v_x1,v_y1,v_z1)^T，t₁-Δt时刻卫星的速度矢量v₂＝(v_x2,v_y2,v_z2)^T，则由两个速度矢量和一个位置点可以确定卫星的轨道平面，轨道平面的法向量为两个速度矢量的外积：

n＝v₁×v₂＝(v_y1v_z2-v_y2v_z1)i-(v_x1v_z2-v_x2v_z1)j+(v_x1v_y2-v_x2v_y1)i (26)

由位置点p₁和法向量n可得轨道平面方程为

(v_y1v_z2-v_y2v_z1)(x-x₁)-(v_x1v_z2-v_x2v_z1)(y-y₁)+(v_x1v_y2-v_x2v_y1)(z-z₁)＝0 (27)

在编队重构过程中，从星的轨道面可以近似看作与主星的轨道面重合，因此在主星轨道坐标系中，有

v_y1v_z2-v_y2v_z1＝0,

v_x1v_z2-v_x2v_z1＝0 (28)

联立式(25)、(27)、(28)可以得到相交所得的椭圆方程为

式中，

为了方便求解椭圆上点的轨迹方程，将式(29)转化为参数形式的椭圆方程：

将式(30)求导可得

上式即为椭圆(29)上点的轨迹方程，根据人工势场法的基本思想，式(31)决定了势场提供的控制力的大小，下面讨论势场的方向；

为了避免卫星在接近障碍物时突然改变方向，基于卫星i接近障碍物的方向来确定势场的方向；定义卫星接近的方向为θ_i＝arctan2(y_i,x_i)，卫星与障碍物中心的连线与x轴正方向的夹角为当/>时，卫星应顺着逆时针方向移动，势场方向也应该为逆时针方向；同理当/>时，势场方向应该为顺时针方向；

arctan2函数的值域为[-π,π]，因此θ_i∈[-π,π]，考虑到上述方法中，θ_i和/>的取值范围在0和2π之间，因此两者之间的大小可以用以下方法进行比较：

式中，mod(x,y)表示x对y取余。

基于上述分析，障碍物周围的旋转势场对接近的卫星i所提供的控制力矩u_ai＝[u_axi,u_ayi,u_azi]^T表示为

式中，(u_axicw,u_ayicw)和(u_axiccw,u_ayiccw)分别表示顺时针和逆时针方向的控制力矩，表示为

式(33)、(34)中旋转势场矢量的大小随着物体的接近而减小，将u_ai除以r_i ²，r_i通过与卫星位置相切的椭圆来定义：

另一方面，势场提供的力矩应该足够大，以确保能够改变卫星的方向，首先将u_air除以u_i的模|u_i|进行归一化，然后引入函数t(.)，t(.)的表达式应该与未采取避撞之前，卫星所受到的作用力的大小相关，因此最终的控制力矩形式如下：

式中，u_ain为u_air的归一化形式，u_fi为未采取避撞策略之前提供的控制力，t(|u_fi|)为|u_fi|的函数，r_z为避撞策略的检测半径。

本发明的特点及有益效果是：

为了验证本发明提出的基于旋转势场的卫星编队重构控制方法的有效性，首先将卫星的编队系统在Matlab/Simulink中进行集成设计，并进行了仿真实验，主要仿真过程如下：

(1)参数设置

多卫星系统的通信拓扑由邻接矩阵W＝[w_ij],i,j＝1,2,…,12描述：

与此同时，卫星1、3、6、8可以和主星进行交流，即c_i＝1,i＝1,3,6,8，而c_i＝0,i＝2,4,5,7,9,10,11,12。主星飞行的椭圆轨道半长轴a_c＝4.224×10⁴km，轨道偏心率e_c＝0.1，纬度角θ＝0.35。每颗卫星的质量为50kg。未知干扰为d_i＝0.1[sin(t/10),cos(t/15),sin(t/20)]^TNm。

主星的参考轨迹设置为一个静止点p₀＝[0,0,0]^T。每颗星的期望位置p_di、初始位置和速度如表1所示，每颗卫星的期望速度设为0。将卫星和障碍物都视为长方体，卫星的各边长l₁＝0.1,l₂＝0.2,l₃＝0.3，障碍物的坐标为[-1.8±0.2,170.2±0.2,-2.8±0.2]^T；卫星的安全距离都假设为球形，每颗卫星的安全半径R_s＝2.5m，检测半径R_z＝10m。

表1卫星编队构形矢量和初始状态

编队重构控制器的参数选取为k_1i＝10，k_2i＝20，r_1i＝1/3，r_2i＝5/7，γ₁＝0.3，α＝1，

(2)结果分析

编队相关仿真如图3-图7所示。图3为12颗卫星队形重构的轨迹示意图，从图中可以看出所有卫星最终都到达了期望的位置，利用所提出的方法可以实现编队重构，右下方小图从星1经过障碍物的避障曲线，可以看出避撞函数设计的有效性。图4为每颗星的位置变化图，可以看出大约需要800s来实现期望的构形。图5为卫星编队跟踪误差图，可以看出在控制器的作用下，编队误差可以内最终收敛至零。图6为未加避撞策略和加入避撞策略后从星1与图3中所示障碍物的距离变化图，红色虚线为两倍的卫星安全半径2R_s＝5m，从两幅图中可以看出，所提出的避撞策略可以有效解决队形重构中出现的避碰安全问题。图7为避撞阶段燃料对比图，蓝线和红线分别为所提的避撞方法和普通势函数方法的燃料消耗曲线，可以看出，由于所提方法使卫星沿轨道面内方向避撞，燃料消耗比普通势函数方法减少了34％。

附图说明：

图1基于旋转势场的卫星编队重构控制框图。

图2安全半径和检测区域示意图。

图3障碍物周围的势场和接近卫星的轨迹。

图4星群队形重构轨迹图。

图5每颗星的位置变化图(1-5号)。

图6卫星编队跟踪误差。

图7从星1与障碍物的距离对比图。

图8避撞阶段燃料对比图。

具体实施方式

本发明的目的在于解决综合考虑燃料消耗、避碰避撞等约束条件下的卫星编队控制问题。一方面，由于卫星编队任务的多样化，编队卫星在执行任务时常常需要变换队形来实现任务目标，而每颗卫星的燃料储备通常是有限的，因此低消耗的队形变换十分必要。另一方面，重构过程中，不仅仅是卫星之间，卫星与空间障碍物也有可能会发生碰撞，如何确保重构的安全性也至关重要。基于此，本发明提出了一种基于旋转势场的卫星编队重构控制方法，首先面向控制建立卫星非线性动力学模型，并给出卫星编队重构的控制目标；然后，针对上述非线性模型，设计自适应有限时间编队重构控制器，在不考虑避撞的前提下，使编队卫星能够快速准确地实现期望的构形；最后改进人工势场法，基于旋转势场设计避撞函数，结合卫星沿轨道面内飞行节省燃料的工程实际，将轨道面内作为卫星的避撞的方向，保证了编队重构过程的安全低消耗。本发明提出的自适应有限时间编队控制器通过自适应方法使编队误差能在有限时间内收敛，仅需要知道卫星与邻星的相对位置即可实现期望的编队；提出的基于旋转势场的避撞函数，可以有效解决人工势场法存在的局部极小值问题，同时可以减少避撞时的燃料消耗，有效提高卫星编队的可靠性和安全性。

本发明提出的基于旋转势场的卫星编队重构控制总体技术方案包括三部分：卫星编队重构问题描述、有限时间编队控制器设计和基于旋转势场的避撞函数设计，具体技术方案如下：

第一部分，卫星编队重构问题描述：建立面向控制的卫星编队非线性动力学模型，介绍描述编队通信所需的图论知识，通过对卫星安全半径、检测半径、建模的假设，最后给出卫星编队重构的控制目标描述。

第二部分，有限时间编队控制器设计：基于上述模型，设计自适应有限时间编队控制器，在不考虑避撞的前提下，确保编队卫星可以快速地到达期望的位置。该编队重构控制器仅基于卫星与邻星之间的相对位置，就能实现有限时间和完全分布式编队。

第三部分，基于旋转势场的避撞函数设计：通过改进人工势场法，构造围绕障碍物的旋转势场，使障碍物的排斥力与卫星的运动相适应，解决了人工势场法存在的局部极小值问题；同时结合卫星的轨道面确定势场的方向，减少了避撞时的燃料消耗。

最后为了验证本发明提出算法的有效性，搭建卫星编队重构控制的MATLAB/Simulink仿真系统，验证本发明提出算法的有效性。

星群在执行任务时往往需要变换构形以满足任务地点以及精度的要求，本发明提出了一种基于旋转势场的构形重构编队控制策略，能够在出现碰撞的问题下，保证卫星沿轨道面内运行进行避撞，以有效减小燃料消耗，并基于此设计编队控制器快速准确地实现期望的编队构形，具体实现过程如下。

第一步，卫星编队重构问题描述。考虑n颗卫星相对于主星在椭圆平面轨道上的运动，本发明采用如下卫星模型：

/>

式中，i＝1,2,…,n表示第i颗卫星，p_i＝[x_i,y_i,z_i]^T∈R³为主星到第i颗卫星的相对位置矢量，θ为主星的纬度角，为主星距离地心的标量半径，其中a_c为半长轴，e_c为参考轨道的轨道偏心率，μ为万有引力常量，/>表示第i颗卫星与地心的距离，m_i表示第i颗卫星的质量，u_i＝[u_ix,u_iy,u_iz]^T为控制力矩。

为了方便表示，将卫星非线性动力学模型(1)写为以下形式：

式中，

定义编队位置误差为

e_pi＝p_i-p_di (3)

式中，p_di为从星i在主星轨道坐标系中的期望位置。

因此，基于卫星动力学模型(2)和位置跟踪误差(3)，建立卫星编队位置误差动态方程：

式中，e_vi＝v_i-v_di，v_di为从星i在主星轨道坐标系中的期望速度。

为了描述卫星之间的协同关系，通常用图论对卫星的通信拓扑进行建模。假设Φ＝(V,E,W)是一个具有n个节点的有向图，包含节点集V＝{1,2,…,n}，边集和邻接权重矩阵W＝[w_ij]∈R^n×n。如果一条边上有节点i和j，(i,j)∈E表示节点j可以从节点i获取信息。仅当(i,j)∈E时w_ij＝1，反之w_ij＝0，并且假设对所有的i∈E，w_ii＝0。节点i的相邻集表示为N_i＝{j:(i,j)∈V}。如果有向图Φ的子图是一个包含所有顶点的树，则该子图称为Φ的生成树。对于含有n颗卫星的系统，主星代表顶点0，其他从星代表顶点1到n。方便起见，令C＝diag{c₁,c₂,…c_n}为主星邻接矩阵。如果卫星i能和主星沟通，那么c_i＝1，否则c_i＝0。

在编队过程中，每颗卫星除了可以通过传感器测量获得自身的状态，还可以通过星间通信得到邻居卫星的位置和速度。

为了简化，假设所有卫星具有相同的安全半径和检测区域，同时将所有卫星建模为长方体物体。则卫星i关于卫星j的检测区域为其中，R_s为卫星安全半径，R_z为卫星的碰撞检测半径，d_ij为卫星i与卫星j之间的距离。未进入检测区域时，卫星i与卫星j之间的位置关系如图1所示。/>

因此，基于以上描述，编队重构的控制目标为：基于卫星非线性动力学模型(4)，设计有限时间控制器u_i，考虑卫星之间以及卫星与空间障碍物之间避撞的同时，尽可能减少燃料消耗，保证编队卫星快速到达各自期望位置。

为了确保控制目标的有效性，给出如下假设：

假设1至少存在一颗卫星可以获得主星的信息，即主星有指向卫星编队的路径。此外，n颗卫星的通信拓扑是无向连通的。

为了实现上述控制目标，控制器的设计分为两部分，首先不考虑卫星与空间障碍物以及航天器之间的碰撞，根据编队误差设计编队控制器，然后设计旋转势场来构造控制器中的避撞项。

第二步：有限时间编队控制器设计。

针对卫星编队模型(4)，设计反馈控制器：

式中，虚拟控制量 为标称控制器，用于保证无干扰影响下编队控制的收敛，/>为补偿控制器，用于抑制外界干扰。基于式(4)和式(5)，可以得到：

下面将分别介绍标称控制器和补偿控制器/>的设计过程。

(1)标称控制器设计

基于卫星动力学模型(6)，不考虑外界干扰的影响时，标称系统可表示为：

考虑卫星标称系统(7)，设计如式所示的标称控制器：

式中，k_1i,k_2i＞0，0＜r_1i,r_2i＜1；

引理1：针对如下积分链系统：

定义k₁,k₂,…,k_n＞0使得多项式sⁿ+k_ns^n-1+…+k₂s+k₁是Hurwitz的，且存在ε∈(0,1)使得对于每个r∈(1-ε,1)，如果采用如下反馈控制器：

/>

式中，r₁,r₂…,r_n满足且r_n＝r,r_n+1＝1，那么系统(9)是有限时间收敛到平衡点的。

由引理1可知，标称控制器(8)使卫星标称系统(7)在有限时间内收敛到平衡点。然而上述系统未考虑外界干扰的影响，下面将给出补偿控制器的设计过程，抑制外界干扰。

(2)补偿控制器设计

基于卫星动力学模型(6)，设计积分滑模面：

式中，e_vi(0)为e_vi的初值，标称控制器的形式如式(8)所示。由于传统滑模控制器仅能保证在滑模面上滑动过程的鲁棒性，不能保证趋近滑模面过程的鲁棒性，而由积分滑模面(11)可以看出，当t＝0时，滑模面s＝0，即在此滑模面下，系统初始状态就位于滑模面上，避免了趋近滑模的过程，因此积分滑模面(11)能够保证整个过程的鲁棒性。

对滑模面(11)求导，代入式(6)可得：

由式(12)可得，当系统状态到达滑模面后，即时，式(12)的等效控制量/>表示为：

将式(13)代入卫星动力学模型(6)可得：

比较式(7)及式(14)可以看出，当系统状态到达滑模面后，受干扰影响下的系统动态与标称系统动态完全一样，且由引理1可知，标称控制器能够保证系统编队误差有限时间收敛到0。因此，此时控制目标则变为设计补偿控制器保证系统状态能够有限时间收敛到滑模面(11)。

对式(12)进一步求导可得：

式中，为虚拟控制输入，基于多变量连续螺旋理论，设计为：

式中，α＞2L，可由下述引理2的有限时间滑模微分器获得。

引理2:针对输入信号f(t)，鲁棒高阶滑模微分器可对f(t)及其任意阶导数进行实时逼近，表达式如下：/>

式中，v_i及z_i为高阶滑模微分器的状态，λ₀,λ₁…λ_n为待设计参数。微分器(17)可以在有限时间内实现v₀＝f(t)，v_i＝z_i-1＝f⁽ⁱ⁾(t),i＝1,…,n。

因此，补偿控制输入设计为：

由式(16)及式(19)可以看出，不连续量出现在虚拟控制输入中，而真正的补偿控制输入/>是连续的，能够有效减小抖振，提高控制精度。

因此，考虑综合干扰影响下的卫星编队系统(4)，在假设1成立的条件下，如果控制器u_fi设计为式(5)，那么存在一系列常数k_1i＞0,k_2i＞0,0＜r_1i＜1,0＜r_2i＜1,α＞2L，使得系统状态在有限时间内收敛到滑模面的小领域内。

第三步：基于旋转势场的避撞函数设计

下面进行基于旋转势场的卫星避撞函数设计，该设计方法可以使障碍物的排斥力与卫星的运动相适应，即障碍物提供的势场矢量围绕障碍物旋转，其势场方向取决于卫星的运动方向。

以二维空间为例，假设障碍物为长方体，智能体向障碍物的右侧运动，如图2所示。此时势场为逆时针方向，显然势场不可能与智能体的运动的方向相反，智能体所受的合外力不为零，因此不会产生局部极小值的问题。同理，智能体向障碍物左侧运动时，势场为顺时针方向。

考虑卫星所处的三维空间，为了不失一般性，将卫星和障碍物视为x,y,z轴上的长方体，定义旋转势场位于与长方体最小外接椭球平行的椭球上。长方体的最小外接椭球与长方体的位置和大小有关，引理1给出了体积最小的外接椭球的方程。

引理1以(x₀±l₁,y₀±l₂,z₀±l₃)为顶点，包围该长方体的最小体积的椭球方程如下：

式中，(x₀,y₀,z₀)为长方体的中心。

证明：假设椭球方程为

A²(x-x₀)²+B²(y-y₀)²+C²(z-z₀)²＝1 (21)

式中，A,B,C为待求解参数，椭球的体积与A²B²C²成反比，因此当(ABC)²最大时，外接椭球的体积最小。将长方体的顶点代入椭球方程(21)可得

根据式(22)可以转化为

等号当且仅当Al₁＝Bl₂＝Cl₃时取得，进而代入式(22)可解得替换式(21)中的A²,B²,C²即可得到式(20)，引理得证。

因此，以(x₀±l₁,y₀±l₂,z₀±l₃)为顶点的卫星和障碍物周围，外接的体积最小的椭球方程可以表示为

A²(x-x₀)²+B²(y-y₀)²+C²(z-z₀)²＝1 (24)

式中，势场矢量与该椭球平行，可以用如下方式表示：

式中，势场的方向沿着椭球旋转，由于椭球上的一点的切线有无数条，考虑卫星在轨道面内飞行消耗燃料较少，因此用轨道平面与势场所在的椭球相交得到一个椭圆平面，进而由这个椭圆平面确定势场矢量。下面给出轨道平面与椭球相交得到的椭圆方程的推导过程。

假设t₁时刻卫星的位置为p₁＝(x₁,y₁,z₁)^T，速度矢量v₁＝(v_x1,v_y1,v_z1)^T，t₁-Δt时刻卫星的速度矢量v₂＝(v_x2,v_y2,v_z2)^T，则由两个速度矢量和一个位置点可以确定卫星的轨道平面，轨道平面的法向量为两个速度矢量的外积：

n＝v₁×v₂＝(v_y1v_z2-v_y2v_z1)i-(v_x1v_z2-v_x2v_z1)j+(v_x1v_y2-v_x2v_y1)i (26)

由位置点p₁和法向量n可得轨道平面方程为

(v_y1v_z2-v_y2v_z1)(x-x₁)-(v_x1v_z2-v_x2v_z1)(y-y₁)+(v_x1v_y2-v_x2v_y1)(z-z₁)＝0 (27)

在编队重构过程中，从星的轨道面可以近似看作与主星的轨道面重合，因此在主星轨道坐标系中，有

v_y1v_z2-v_y2v_z1＝0,

v_x1v_z2-v_x2v_z1＝0 (28)

联立式(25)、(27)、(28)可以得到相交所得的椭圆方程为

式中，/>

为了方便求解椭圆上点的轨迹方程，将式(29)转化为参数形式的椭圆方程：

将式(30)求导可得

上式即为椭圆(29)上点的轨迹方程，根据人工势场法的基本思想，式(31)决定了势场提供的控制力的大小，下面讨论势场的方向。

为了避免卫星在接近障碍物时突然改变方向，基于卫星i接近障碍物的方向来确定势场的方向。定义卫星接近的方向为θ_i＝arctan2(y_i,x_i)，卫星与障碍物中心的连线与x轴正方向的夹角为结合图2可以看出，当/>时，卫星应顺着逆时针方向移动，势场方向也应该为逆时针方向；同理当/>时，势场方向应该为顺时针方向。

arctan2函数的值域为[-π,π]，因此θ_i∈[-π,π]，考虑到上述方法中，θ_i和/>的取值范围在0和2π之间，因此两者之间的大小可以用以下方法进行比较：

式中，mod(x,y)表示x对y取余。

基于上述分析，障碍物周围的旋转势场对接近的卫星i所提供的控制力矩u_ai＝[u_axi,u_ayi,u_azi]^T可以初步表示为

式中，(u_axicw,u_ayicw)和(u_axiccw,u_ayiccw)分别表示顺时针和逆时针方向的控制力矩，可以表示为

/>

式(33)、(34)中旋转势场矢量的大小随着物体的接近而减小，然而在实际过程中，我们希望势场是增大的。因此将u_ai除以r_i ²，r_i通过与卫星位置相切的椭圆来定义：

注1从r_i的表达式(35)可以看出，当卫星接近障碍物时，r_i减小，增大，势场矢量的值也增大。

另一方面，势场提供的力矩应该足够大，以确保能够改变卫星的方向。首先将u_air除以u_i的模|u_i|进行归一化，然后引入函数t(.)，t(.)的表达式应该与未采取避撞之前，卫星所受到的作用力的大小相关，因此最终的控制力矩形式如下：

式中，u_ain为u_air的归一化形式，u_fi为未采取避撞策略之前提供的控制力，t(|u_fi|)为|u_fi|的函数，r_z为避撞策略的检测半径。

注2式(36)中最后一项可以保持势场矢量对卫星的内聚力，也就是说，r_i越小(即越接近障碍物)，势场产生的避撞力越大。

注3显然，卫星的期望位置不能在旋转势场的有效区域之内，否则卫星会一直受到势场的影响来回振动，否则永远无法到达目标点。

基于以上三步，就完成了整个卫星队形重构控制过程。

以上所述，仅为本发明的具体实施方式，但本发明的保护范围并不局限于此，任何熟悉本技术领域的技术人员在本发明披露的技术范围内，可轻易想到的变化或替换，都应涵盖在本发明的保护范围之内。

Claims (1)

1.一种基于旋转势场的卫星编队重构控制方法，其特征是，步骤如下：

第一部分，卫星编队重构问题描述：建立面向控制的卫星编队非线性动力学模型，通过对卫星安全半径、检测半径、建模的假设，最后给出卫星编队重构的控制目标描述；

第二部分，有限时间编队控制器设计：基于第一部分的目标描述，设计自适应有限时间编队控制器，在不考虑避撞的前提下，确保编队卫星可以快速地到达期望的位置，该编队控制器仅基于卫星与邻星之间的相对位置，实现有限时间和完全分布式编队；

第三部分，基于旋转势场的避撞函数设计：通过改进人工势场法，构造围绕障碍物的旋转势场，使障碍物的排斥力与卫星的运动相适应；同时结合卫星的轨道面确定势场的方向；详细步骤如下：

第一步，卫星编队重构问题描述：考虑n颗卫星相对于主星在椭圆平面轨道上的运动，采用如下卫星模型：

式中，i＝1,2,…,n表示第i颗卫星，p_i＝[x_i,y_i,z_i]^T∈R³为主星到第i颗卫星的相对位置矢量，θ为主星的纬度角，为主星距离地心的标量半径，其中a_c为半长轴，e_c为参考轨道的轨道偏心率，μ为万有引力常量，/>表示第i颗卫星与地心的距离，m_i表示第i颗卫星的质量，u_i＝[u_ix,u_iy,u_iz]^T为控制力矩；

为了方便表示，将卫星非线性动力学模型(1)写为以下形式：

式中，

定义编队位置误差为

e_pi＝p_i-p_di (3)

式中，p_di为从星i在主星轨道坐标系中的期望位置；

因此，基于卫星动力学模型(2)和位置跟踪误差(3)，建立卫星编队位置误差动态方程：

式中，e_vi＝v_i-v_di，v_di为从星i在主星轨道坐标系中的期望速度；

为了描述卫星之间的协同关系，利用图论对卫星的通信拓扑进行建模，假设Φ＝(V,E,W)是一个具有n个节点的有向图，包含节点集V＝{1,2,…,n}，边集和邻接权重矩阵W＝[w_ij]∈R^n×n，如果一条边上有节点i和j，(i,j)∈E表示节点j可以从节点i获取信息，仅当(i,j)∈E时w_ij＝1，反之w_ij＝0，并且假设对所有的i∈E，w_ii＝0，节点i的相邻集表示为N_i＝{j:(i,j)∈V}，如果有向图Φ的子图是一个包含所有顶点的树，则该子图称为Φ的生成树，对于含有n颗卫星的系统，主星代表顶点0，其他从星代表顶点1到n，方便起见，令C＝diag{c₁,c₂,…c_n}为主星邻接矩阵，如果卫星i能和主星沟通，那么c_i＝1，否则c_i＝0；

在编队过程中，每颗卫星除了可以通过传感器测量获得自身的状态，还可以通过星间通信得到邻居卫星的位置和速度；

为了简化，假设所有卫星具有相同的安全半径和检测区域，同时将所有卫星建模为长方体物体，则卫星i关于卫星j的检测区域为其中，R_s为卫星安全半径，R_z为卫星的碰撞检测半径，d_ij为卫星i与卫星j之间的距离，未进入检测区域时；

因此，基于以上描述，编队重构的控制目标为：基于卫星非线性动力学模型(4)，设计有限时间控制器u_i，考虑卫星之间以及卫星与空间障碍物之间避撞的同时，尽可能减少燃料消耗，保证编队卫星快速到达各自期望位置；

为了确保控制目标的有效性，给出如下条件：

条件1至少存在一颗卫星可以获得主星的信息，即主星有指向卫星编队的路径，此外，n颗卫星的通信拓扑是无向连通的；

为了实现上述控制目标，控制器的设计分为两部分，首先不考虑卫星与空间障碍物以及航天器之间的碰撞，根据编队误差设计编队控制器，然后设计旋转势场来构造控制器中的避撞项；

第二步：有限时间编队控制器设计

针对卫星编队模型(4)，设计反馈控制器：

式中，虚拟控制量 为标称控制器，用于保证无干扰影响下编队控制的收敛，/>为补偿控制器，用于抑制外界干扰，基于式(4)和式(5)，得到：

下面将分别介绍标称控制器和补偿控制器/>的设计过程：

(1)标称控制器设计

基于卫星动力学模型(6)，不考虑外界干扰的影响时，标称系统可表示为：

考虑卫星标称系统(7)，设计如式所示的标称控制器：

式中，k_1i,k_2i＞0，0＜r_1i,r_2i＜1；

引理1：针对如下积分链系统：

定义k₁,k₂,…,k_n＞0使得多项式sⁿ+k_ns^n-1+…+k₂s+k₁是Hurwitz的，且存在ε∈(0,1)使得对于每个r∈(1-ε,1)，如果采用如下反馈控制器：

式中，r₁,r₂…,r_n满足且r_n＝r,r_n+1＝1，那么系统(9)是有限时间收敛到平衡点的；

由引理1可知，标称控制器(8)使卫星标称系统(7)在有限时间内收敛到平衡点，然而上述系统未考虑外界干扰的影响，下面将给出补偿控制器的设计过程，抑制外界干扰；

(2)补偿控制器设计

基于卫星动力学模型(6)，设计积分滑模面：

式中，e_vi(0)为e_vi的初值，标称控制器的形式如式(8)所示，由于传统滑模控制器仅能保证在滑模面上滑动过程的鲁棒性，不能保证趋近滑模面过程的鲁棒性，而由积分滑模面(11)看出，当t＝0时，滑模面s＝0，即在此滑模面下，系统初始状态就位于滑模面上，避免了趋近滑模的过程，因此积分滑模面(11)能够保证整个过程的鲁棒性；

对滑模面(11)求导，代入式(6)可得：

由式(12)可得，当系统状态到达滑模面后，即时，式(12)的等效控制量/>表示为：

将式(13)代入卫星动力学模型(6)可得：

比较式(7)及式(14)可以看出，当系统状态到达滑模面后，受干扰影响下的系统动态与标称系统动态完全一样，且由引理1可知，标称控制器能够保证系统编队误差有限时间收敛到0，因此，此时控制目标则变为设计补偿控制器保证系统状态能够有限时间收敛到滑模面(11)；

对式(12)进一步求导可得：

式中，为虚拟控制输入，基于多变量连续螺旋理论，设计为：

式中，α＞2L，可由下述引理2的有限时间滑模微分器获得；

引理2:针对输入信号f(t)，鲁棒高阶滑模微分器可对f(t)及其任意阶导数进行实时逼近，表达式如下：

式中，v_i及z_i为高阶滑模微分器的状态，λ₀,λ₁…λ_n为待设计参数；微分器(17)可以在有限时间内实现v₀＝f(t)，v_i＝z_i-1＝f⁽ⁱ⁾(t),i＝1,…,n；

因此，补偿控制输入设计为：

由式(16)及式(19)可以看出，不连续量出现在虚拟控制输入中，而真正的补偿控制输入/>是连续的，能够有效减小抖振，提高控制精度；

因此，考虑综合干扰影响下的卫星编队系统(4)，在假设1成立的条件下，如果控制器u_fi设计为式(5)，那么存在一系列常数k_1i＞0,k_2i＞0,0＜r_1i＜1,0＜r_2i＜1,α＞2L，使得系统状态在有限时间内收敛到滑模面的小领域内；

第三步：基于旋转势场的避撞函数设计

下面进行基于旋转势场的卫星避撞函数设计，该设计方法可以使障碍物的排斥力与卫星的运动相适应，即障碍物提供的势场矢量围绕障碍物旋转，其势场方向取决于卫星的运动方向；

对于二维空间，假设障碍物为长方体，智能体向障碍物的右侧运动，此时势场为逆时针方向，显然势场不可能与智能体的运动的方向相反，智能体所受的合外力不为零，因此不会产生局部极小值的问题；同理，智能体向障碍物左侧运动时，势场为顺时针方向；

考虑卫星所处的三维空间，将卫星和障碍物视为x,y,z轴上的长方体，定义旋转势场位于与长方体最小外接椭球平行的椭球上，长方体的最小外接椭球与长方体的位置和大小有关，引理1给出了体积最小的外接椭球的方程；

引理1以(x₀±l₁,y₀±l₂,z₀±l₃)为顶点，包围该长方体的最小体积的椭球方程如下：

式中，(x₀,y₀,z₀)为长方体的中心；

证明：假设椭球方程为

A²(x-x₀)²+B²(y-y₀)²+C²(z-z₀)²＝1 (21)

式中，A,B,C为待求解参数，椭球的体积与A²B²C²成反比，因此当(ABC)²最大时，外接椭球的体积最小，将长方体的顶点代入椭球方程(21)可得

根据式(22)可以转化为

等号当且仅当Al₁＝Bl₂＝Cl₃时取得，进而代入式(22)可解得 替换式(21)中的A²,B²,C²即可得到式(20)，引理得证；

因此，以(x₀±l₁,y₀±l₂,z₀±l₃)为顶点的卫星和障碍物周围，外接的体积最小的椭球方程可以表示为

式中，势场矢量与该椭球平行，可以用如下方式表示：

式中，势场的方向沿着椭球旋转，由于椭球上的一点的切线有无数条，考虑卫星在轨道面内飞行消耗燃料较少，因此用轨道平面与势场所在的椭球相交得到一个椭圆平面，进而由这个椭圆平面确定势场矢量，下面给出轨道平面与椭球相交得到的椭圆方程的推导过程：

假设t₁时刻卫星的位置为p₁＝(x₁,y₁,z₁)^T，速度矢量v₁＝(v_x1,v_y1,v_z1)^T，t₁-Δt时刻卫星的速度矢量v₂＝(v_x2,v_y2,v_z2)^T，则由两个速度矢量和一个位置点可以确定卫星的轨道平面，轨道平面的法向量为两个速度矢量的外积：

n＝v₁×v₂＝(v_y1v_z2-v_y2v_z1)i-(v_x1v_z2-v_x2v_z1)j+(v_x1v_y2-v_x2v_y1)i (26)

由位置点p₁和法向量n可得轨道平面方程为

(v_y1v_z2-v_y2v_z1)(x-x₁)-(v_x1v_z2-v_x2v_z1)(y-y₁)+(v_x1v_y2-v_x2v_y1)(z-z₁)＝0 (27)

在编队重构过程中，从星的轨道面可以近似看作与主星的轨道面重合，因此在主星轨道坐标系中，有

v_y1v_z2-v_y2v_z1＝0,

v_x1v_z2-v_x2v_z1＝0 (28)

联立式(25)、(27)、(28)可以得到相交所得的椭圆方程为

式中，

为了方便求解椭圆上点的轨迹方程，将式(29)转化为参数形式的椭圆方程：

将式(30)求导可得

上式即为椭圆(29)上点的轨迹方程，根据人工势场法的基本思想，式(31)决定了势场提供的控制力的大小，下面讨论势场的方向；

为了避免卫星在接近障碍物时突然改变方向，基于卫星i接近障碍物的方向来确定势场的方向；定义卫星接近的方向为θ_i＝arctan2(y_i,x_i)，卫星与障碍物中心的连线与x轴正方向的夹角为当/>时，卫星应顺着逆时针方向移动，势场方向也应该为逆时针方向；同理当/>时，势场方向应该为顺时针方向；

arctan2函数的值域为[-π,π]，因此θ_i∈[-π,π]，考虑到上述方法中，θ_i和的取值范围在0和2π之间，因此两者之间的大小可以用以下方法进行比较：

式中，mod(x,y)表示x对y取余；

基于上述分析，障碍物周围的旋转势场对接近的卫星i所提供的控制力矩u_ai＝[u_axi,u_ayi,u_azi]^T表示为

式中，(u_axicw,u_ayicw)和(u_axiccw,u_ayiccw)分别表示顺时针和逆时针方向的控制力矩，表示为

式(33)、(34)中旋转势场矢量的大小随着物体的接近而减小，将u_ai除以r_i ²，r_i通过与卫星位置相切的椭圆来定义：

另一方面，势场提供的力矩应该足够大，以确保能够改变卫星的方向，首先将u_air除以u_i的模|u_i|进行归一化，然后引入函数t(.)，t(.)的表达式应该与未采取避撞之前，卫星所受到的作用力的大小相关，因此最终的控制力矩形式如下：

式中，u_ain为u_air的归一化形式，u_fi为未采取避撞策略之前提供的控制力，t(|u_fi|)为|u_fi|的函数，r_z为避撞策略的检测半径。